Clase 3 movimiento circular 2019

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UNIDAD 3 CINEMATICA
Movimiento Circular:
Trayectoria y posición
Velocidad y aceleración angular
Cinemática angular
Ecuaciones del MCU y del MCUA
Relación entre velocidad angular y velocidad tangencial
Aceleración centrípeta
Componente tangencial y normal de la aceleración
Movimiento Relativo de traslación 
UNIDAD 3 CINEMATICA
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Definición: Si un punto o partícula se mueve a lo largo de una trayectoria tal que su distancia a un punto fijo se mantiene constante durante su movimiento, se esta en presencia de un Movimiento Circular. 
 Trayectoria
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
 
 
 Trayectoria
 ()
 
 ()
 0
 
 
 
La trayectoria es una circunferencia 
de radio r 
Se ubica el sistema de referencia en el origen de coordenadas coincidente con el centro de la circunferencia, punto 0
La posición de la partícula queda determinada por el ángulo  y por el módulo del vector posición 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
El cuerpo se traslada desde el punto hasta el punto siendo la posición de cada uno determinada por el radio y el ángulo para el punto inicial y y para el final
El desplazamiento angular del radio registrado se obtiene como  = - para el período de tiempo = = - 
La velocidad angular media, representada por (omega vector)
se define como el cociente del desplazamiento angular al tiempo transcurrido
Velocidad angular media = 
 = = (radianes / segundos) 
La velocidad angular se expresa en:
 radianes por segundo ≡ ≡ 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La velocidad angular instantánea , , es el límite del cociente del desplazamiento angular al tiempo transcurrido cuando ambos son infinitamente pequeños o sea es la derivada del desplazamiento angular respecto al tiempo:
  = = 
La velocidad angular suele expresarse como revoluciones por minuto – rpm- se debe transformar en radianes por segundo conociendo que 2 radianes equivalen a 360º sexagesimales.
 z
  
 x
 y
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La dirección y sentido de se determina de acuerdo con la regla de la mano derecha para el movimiento circular. La dirección es perpendicular al plano de rotación , los dedos de la mano señalan el sentido de rotación y el dedo pulgar señala la dirección del vector velocidad angular. El sentido depende si la rotación es + ( giro anti-horario o giro de ángulos positivos) corresponde eje +z.
 z
 x
 y
 -z
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Cuando un cuerpo gira con velocidad angular constante su, su velocidad angular instantánea es igual a su velocidad angular media, cualquiera que sea la duración del intervalo del intervalo de tiempo considerado. Esta clase de movimiento se denomina Movimiento Circular Uniforme ( MCU).
Se puede escribir:  = = 
Despejamos el desplazamiento angular  Δ =  . Δt 
  - =  . Δt   = +  . (t - )
Si para = 0 y = 0   =  . t 
Si ahora varia el módulo de la velocidad angular del cuerpo en rotación, se dice que el cuerpo posee aceleración angular ()
La aceleración media se define como la razón de la variación de la velocidad angular al tiempo transcurrido
Aceleración angular media = 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
 = = 
La aceleración angular instantánea:  = = 
Si aceleración media es igual a la aceleración instantánea
Entonces el movimiento se denominará Circular uniformemente acelerado (MCUA) 
  =   = +  (t - )
Si = 0 entonces  = +  .t 
El desplazamiento angular de un cuerpo en rotación es decir el ángulo girado por el cuerpo, corresponde al desplazamiento lineal de un cuerpo que se mueve sobre una recta.
Las ecuaciones del MCUA, pueden deducirse por semejanza con el MRUA
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La expresión del desplazamiento angular puede obtenerse por medio de la velocidad angular media:
 = reemplazo la expresión de  
 = = +  ( 
Por definición:
 = igualando los segundos miembros de las ecuaciones : = +  . (
  - = . (+  
Si =0  = + . +  
si =0 y =0   = .+  
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Si de las ecuaciones  = +  .t  = .+  
Eliminamos la variable “t” se obtiene:
  = .+  
después de trabajar algebraicamente y agrupar nos dá:
 = + 2  
 el resumen de ecuaciones :
  = +  .t 
  = + . +  
 = + 2  
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Relación entre las variables angulares y lineales:
Consideramos un cuerpo en rotación con MCU. Un punto P en la periferia del cuerpo. La velocidad angular es la misma para todos los puntos del cuerpo, no así la velocidad de traslación (lineal) que será distinta para los puntos ubicados sobre cada circunferencia hacia el centro de rotación
 s = arco r = cuerda
 dr = ds
 
 Δr v
 
 P
Para un Δt el punto P se desplaza un Δr si hacemos tender Δt →0 hasta llegar al momento que la cuerda dr se confunde con arco ds se puede decir que dr = ds
Teniendo en cuenta que el arco y el radio se relacionan como s = R 
11
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Derivando respecto a dt 
 = R 
Para el limite se tiene modulo de v entonces = R 
Muestra la relación entre tres vectores: velocidad tangencial , vector posición y velocidad angular
Aceleración Centrípeta 
En el MCU el módulo de la velocidad tangencial es constante. Varía su dirección, de esta Δv resulta una aceleración 
 = cuya dirección y sentido serán la del vector Δv
Cuando Δt →0 y Δ →0 será entonces perpendicular a la 
Apunta hacia el centro “O” 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
 
  
 rr 
  
 O O
 v A 
 
 B  
 
 C
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
El módulo de la aceleración centrípeta se desprende de la relación entre los triángulos semejantes :
 y 
Relacionando los lados correspondientes:
 =  Δv = r y dividiendo m.a.m por 
 = si consideramos el intervalo de tiempo muy pequeño (tiende a cero) en el límite:
= =) = = . 
 
 = v  = o 
 r
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Teniendo presente la relación entre velocidad angular y lineal
 = r  reemplazada en la expresión de la aceleración centrípeta resulta 
 =  = r
O también =  .  .r  =  . 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Considerando el caso mas general, cuando la partícula en una trayectoria circular, varia su velocidad lineal tanto en dirección como de magnitud, entonces la partícula posee un Movimiento Circular Acelerado ( MCA) O Variado (MCV) 
 P 
 
 r q 
 
 
 o 
El módulo del vector es mayor que el de y tiene además distinta dirección. La variación de velocidad es el vector , éste puede descomponerse en las componentes y 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La componente representa el cambio de velocidad producido por un cambio del valor numérico del módulo de la velocidad tangencial
La componente representa la variación originada por cambio de dirección de la velocidad.
Cuando →0 las direcciones de y se aproximan cada vez más.
En el límite el vector coincide con la dirección del vector , por lo tanto se encuentra sobre la tangente. 
Teniendo en cuenta que las velocidades angulares correspondientes a los posiciones p y q, se relacionan con la velocidades tangenciales como:
 = R y = R 
Como el vector variación es la diferencia de estos vectores, se tiene
 = R - R = R ( - ) = R .
Dividiendo m.a.m. por se obtiene = R 
Aplicando límites = R siendo el primer término por definición la aceleración tangencial y en el segundo el límite es la aceleración angular instantánea  = R . 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Otra forma de encontrar la misma relación es derivando respecto al tiempo “t” la ecuación: 
 = R 
 = R 
Por definición se tiene = R .  
 unidades m . = ()
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
El vector aceleración como se observa en el gráfico esta conformado por = + 
El módulo del vector es: =  + 
La dirección se obtiene de = despejando el ángulo “”
 
 trayectoria
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Movimiento Relativo de Traslación 
Para describir el movimiento de una partícula teniendo en cuenta dos observadores, el primer observador esta en un sistema de coordenadas o referencia fijo con origen O y el otro observador está en un sistema de coordenadas o referencia móvil con origen O’.
Se describe el movimiento de la partícula mediante los vectores posición respecto a los sistemas de referencia propuestos.
 
 . P
 
 
 O’
 R
 O
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Los tres vectores posición se relacionan por la suma vectorial 
 = + 
Como la partícula y el sistema de origen O’ se mueven, los tres vectores son funciones del tiempo.
Derivando la ecuación respecto del tiempo
 = + 
Esta expresión denota la relación de cambio respecto del tiempo 
 es la velocidad de la partícula P respecto del origen O
 es la velocidad de la partícula P respecto del origen O’
 es la velocidad del origen O’ respecto del fijo origen O
Se obtiene: = + 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
También puede denominarse las velocidades como
 velocidad vista respecto al sistema fijo o tierra “v”
 velocidad del sistema móvil “u” respecto al fijo o tierra 
 velocidad de la partícula “v’ “ respecto al sistema móvil
Nueva notación
 = + 
Si derivamos la ecuación respecto del tiempo 
 = + y si consideramos que el sistema móvil se mueve a velocidad constante = cte. Resulta :
 = (si = cte )
Concluimos que ambos observadores miden la misma aceleración 
Se encontró que la aceleración permanece invariante cuando se pasa de un sistema de referencia a otro que se encuentra en movimiento relativo de traslación uniforme
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La transformación de Galileo resume las siguientes ecuaciones:
Si para t =0 los orígenes referenciales son iguales O y O’ 
las componentes de los vectores son
 = - .t 
 = - .t 
 = - .t 
 t= t’
 La ecuación vectorial 
 = – t
Puede expresarse en sus tres 
componentes, si v=cte y paralela 
al eje OX:
x’ = x- vt y’ = y z’ = z t’ = t
El conjunto de ecuaciones o
La simple ecuación vectorial 
dada,son denominadas una
Transformación Galileana
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Resolución:
 + y
 = 8 
 = 50 
 0 x (m)
La ecuación del Movimiento relativo es = + 
Donde: la velocidad de la partícula respecto al sistema fijo es = -8 ()
 la velocidad del sistema móvil respecto al sistema fijo es = 50 ()= 13,9 ()
 la velocidad de la partícula respecto al sistema móvil es = ?
Despejamos la incógnita y nos queda la siguiente ecuación = - 
Reemplazo  = (-8 ) - (13,9 ) ()
Ordenando: = - 13,9 - 8 ()
El módulo se calcula  = = 16,04 ()
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
El diagrama vectorial correspondiente es:
 = + (- ) -8 
 
 - 13,9 
El ángulo se calcula:
   = 
  = 60º 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Problema de aplicación
Una persona puede remar un bote a 6,4 km/h en aguas tranquilas.
Si esta cruzando un río donde la corriente es de 3,2 km/h, calcular:
En que dirección deberá dirigir su bote si quiere alcanzar un punto que esta directamente enfrente de su punto de partida
Si el río tiene un ancho de 4 km de ancho, cuanto tardará en atravesarlo
Cuanto tardará en avanzar 2 km a favor de la corriente y después regresar hasta su punto de partida
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Para que el bote se dirija justo al frente del punto de partida y debido a que la corriente se mueve a cierta velocidad, el bote debe orientarse en contra de la corriente de esa forma la corriente de las aguas lo trasladan justo al frente.
El esquema del problema es: u B
 
 = 3,2  v 4 km
 v’ 
 A
Ecuación = + =  = arcsen ( )  = arcsen ( ) 
  = 30º
Todas las velocidades son constantes entonces estamos en presencia de un MRU 
X = v . t t = primero calculo el valor de velocidad respecto a tierra v =  - 3,
 v = 5,5 km/h y el espacio a recorrer es x= 4 km Entonces t = = 0,72 h = 43,2 min
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
 A B
 u= 3,2 km/h v’
 v’ = 6,4 km
Tiempo total = tiempo de ida + tiempo de regreso
Velocidad desde A B v = v`+ u v = 6,4 + 3,2 = 9,6 km/h
Distancia = 2 km t (ida) = = 0,21 h
Velocidad desde B A v = v`+ u v = -6,4 + 3,2 = -3,2 km/h
Distancia = 2 km t (regreso) = = 0,63 h 
Tiempo total = 0,21 h + 0,63 h = 0,84 h = 50,4 min
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
PROBLEMA DE APLICACIÓN
Un pequeño avión vuela hacia el norte desde Cincinnati (A) hasta Detroit (B)(dos ciudades de los Estados Unidos de América que están sobre el mismo meridiano). Durante el vuelo sopla un viento constante del noroeste a 80 km/h, si la velocidad de crucero del avión es de 175 km/h. a) ¿Cuál es el rumbo del avión?. b) Con ese viento ¿cuál es la velocidad del avión respecto al suelo?
Para este tipo de problemas en primer lugar se debe realizar un esquema donde se pueda visualizar el diagrama vectorial
 
 viento NO N
 u
 B
 
 O A E
 S
Donde: viento con dirección NOROESTE, forma un ángulo de 45º 
 v’ velocidad del objeto o móvil respecto al sistema móvil
u velocidad del sistema móvil velocidad respecto al sistema fijo (tierra) 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
En el diagrama vectorial se observa la suma vectorial = + 
 
 u
  = 45º + 90º = 135º
 v’
 v
 
 aplico teorema del seno entre = 
Reemplazando valores = 
Despejamos el ángulo desconocido = 
 = 18,86º = 18º 51’ 34”
RESPUESTA:
El rumbo que debe tomar el avión es: 18º 51’ 34” al oeste del Norte 
También puede expresarse 18º 51’ 34” hacia el oeste desde el Norte
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Para calcular la velocidad respecto al sistema fijo o a tierra
 
 u como ya se conoce: = 18,86º y 
  = 135º
 v’ v Calculo  = 180 - -    = 26,14º = 26º 8’ 26”
 aplico teorema del seno entre = 
 
Reemplazando valores = 
Despejamos la velocidad desconocida v ( velocidad respecto a tierra)
 v = 175 (km/h).  v = 109,03 km/h
RESPUESTA:
Velocidad que alcanza el avión respecto al sistema fijo o tierra 
 v = 109,03 km/h
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Física 1 Ing. Ricardo Moyano