clase 12 Cuerpo rígido

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Física 1 Ing. Ricardo Moyano
UNIDAD 7 
Dinamica de la Rotacion de un cuerpo Rígido
Definición de cuerpo rígido 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Dinámica del Cuerpo Rígido
Definición: cuerpo rígido es un caso especial de sistema constituido por muchas partículas, en el cual las distancias entre estas permanecen constantes cuando al cuerpo se aplica una fuerza o un momento . Es decir, el cuerpo rígido conserva su forma durante el movimiento
Movimiento General del C.R.: 
 Mov. De Traslación:  M . = 
Mov. De Rotación:  Alrededor de un eje que pasa por un punto fijo en 
 un sistema de referencia inercial = 
  Alrededor de un eje que pasa a traves del centro de
 masa = 
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Consideramos un C.R. que rota alrededor de un eje z con velocidad angular 
Cada partícula describe trayectoria circular 
La partícula de velocidad tangencial = x está ubicada por su vector posición con respecto al origen O 
El punto O se escoge como un punto fijo en un marco de referencia inercial o en el mismo centro de masa del cuerpo rígido
El impulso angular o cantidad de movimiento angular de con respecto al origen O es : = x = x 
La proyección de sobre el eje z : = cos( - )
 = sen( )
 = sen( ) = x = x = x x 
 = es un producto vectorial pero ambos vectores 
 son perpendiculares, para todos los puntos del cuerpo
 y todos los están sobre el eje z, se puede operar algebraicamente
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La componente del impulso angular total sobre el eje de rotación “z” será:
 = =  ) 
 
 = Momento de Inercia del cuerpo Rígido, con
 respecto al eje Z
Por lo tanto = .
 
El impulso angular o cantidad de movimiento angular del Cuerpo Rígido es:
	 = 
 En general no es paralelo al eje de rotación pues los no lo son. 
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Se puede demostrar que para cada cuerpo, independientemente de su forma, hay tres direcciones (perpendiculares entre sí) para las cuales se cumple que el impulso angular es paralelo al eje de rotación o sea a .
En esas direcciones están los “Ejes principales de Inercia” ( , , ) que rotan con el cuerpo
Los momentos de inercia correspondientes a ésos ejes se llaman “ Momentos principales de Inercia” ( , , )
Si el cuerpo es simétrico, los ejes principales de inercia coinciden con los ejes de simetría del cuerpo
 
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Cuando el cuerpo rígido rota en torno de un eje principal de Inercia, entonces el impulso es paralelo a la velocidad angular  = .
Si el cuerpo rígido rota en torno a un eje arbitrario, no paralelo a un eje principal, entonces el se puede relacionar con los ejes principales y los momentos principales de Inercia, mediante la siguiente ecuación:
 = + + 
Cálculo de Momento de Inercia
Como el cuerpo rígido está compuesto por un gran número de partículas la sumatoria en la ecuación del momento de inercia, la reemplazamos por una integral, de modo que :
 = = dm
Si es la densidad del cuerpo =  dm = dv  = dv
y si el cuerpo es homogéneo = cte, entonces: = dv
La integral se reduce a un factor geométrico igual para todos los cuerpos con la misma forma y tamaño
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 Z
 
 R = distancia al eje de rotación
 
 z dm
 0 y
 R Y
 x
 se observa en el diagrama que = + 
 X
Por lo tanto el momento de inercia respecto al eje z  = dv
Análogamente para los otros ejes se tiene  = dv
  = dv
Las unidades del momento de inercia en el Sistema Internacional es
 =  kg 
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Momento de inercia: El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme,  pero en este caso el momento de inercia depende de la geometría del cuerpo. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar  
llamada momento de inercia.
Radio de Giro
Para definir el radio de giro es necesario que se cumpla la siguiente relación:
	 = M . ó K= 
Donde: = momento de inercia
 M = masa del cuerpo
El radio de giro representa la “distancia al eje de rotación a la cual se puede considerar concentrada la masa del cuerpo, sin que varíe su momento de inercia” 
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Ejemplo: calcular el momento de Inercia de una varilla delgada:
Respecto a un eje perpendicular que pasa a través de un extremo.
 Y S =sección
 X
Se denomina L= longitud de la varilla S= sección recta
 dx= longitud de pequeño segmento de varilla
Volumen de pequeño segmento dV= S.dx
Distancia de cada elemento al eje “Y” es R= x
La ecuación de del momento de inercia es : = dv
 = = .S = .S 
Como el volumen de la varilla es S.L  masa = .S.L
Por lo tanto: = .S.L.
 = M.
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Ejemplo: calcular el momento de Inercia de una varilla delgada:
b) Respecto a un eje perpendicular que pasa a través del centro de masa.
 -L/2 Yc L/2
 0 x
 
Para calcular el momento de inercia con respecto al eje Yc que pasa a través del centro de masa se procede de dos Formas:
A) Suponemos que la varilla esta dividida en dos, cada una de masa M/2 y longitud L/2, con sus extremos tocándose y aplicamos el resultado anterior:
 c = 2 . . = M  c = M.
B) Se procede a la integración, pero tomamos los limites de integración - y 
 ecuación del momento de inercia = dv
 = = .S = .S . = .S  + 
 = .S . 2 . = .S . = .S .L. = M.  c = M.
Teorema de los ejes paralelos:
 Z Zc
 R 
 RcP
 0 a C
 R y A
 Rc x Y Yc
 P’ 
X Xc
 
“X” eje cualquiera “Xc” eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa
“a” separación entre ejes
Se verifica la siguiente relación denominada teorema de Steiner:
 = + M. 
Donde y son los momentos de inercia del cuerpo respecto a Z y Zc
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Para probar esta relación se elige los ejes XcYcZc de modo que su origen está en el centro de masa; se escoge los ejes XYZ de manera que el eje Y coincide con Yc
Punto P arbitrario del cuerpo M
P’A es perpendicular a Yc y P’A = x CA= y OC= a
Donde: = + 
 = + 
 = + +2ay + 
 = +2ay + 
Se toma momento respecto a eje Z
 = = 
 = + 2a + 
El primer término es 
Por consiguiente = + 2a + 
Como el sistema XcYcZc Yc= 0 entonces 
 = + M 
Ecuación del Movimiento de Rotación de un cuerpo Rígido
Para un sistema de partículas con respecto a un punto en reposo en un sistema inercial se tiene:
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
EJEMPLOS 10.4 , 10.5 y 10.6 del libro ALONSO FINN VOLUMEN 1
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Energía Cinética de Rotación 
Para un sistema de partículas la energía cinética se define por
 = pero = 
 = ( = 
 = de validez general para cualquier eje de rotación, aun sino fueran ejes principales
Si fuera la rotación sobre un eje principal se puede utilizar la ecuación:
 L = . por lo tanto si multiplico y divido por nos queda
 = . = = 
 = válido solo para giro sobre eje principal
 
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Caso general de un Cuerpo Rígido en Traslación y Rotación alrededor del centro de masa
 Cuando el cuerpo rígido gira
 alrededor de un eje, rodando
 sin deslizar, sobre una superficie
 horizontal, se desplaza 
 S = R . 
Condición de Rodadura
Velocidad del centro de masa = = R . = R .  
Aceleración del centro de masa = = R . = R. 
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Traslación y rotación combinadas
El rodamiento puede verse como la superposición de una rotación y traslación puras alrededor del centro de masa
Se observa que en el movimiento rotacional puro todos los puntos del borde presentan la misma rapidez tangencial R .  
Se observa que en el movimiento traslacional puro, todos los puntos se desplazan con una velocidad igual a la del centro de masa = R .  
La combinación de los movimientos muestra que en el punto de contacto con la superficie la velocidad es igual a cero. En el punto superior la velocidad es exactamente igual al doble de la velocidad del centro de masa
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Eje instantáneo de Rotación 
En este caso de rodadura se supone que el punto de contacto “O”es un eje instantáneo de rotación. En cada instante hay un nuevo punto de contacto “O” y por lo mismo un nuevo eje de rotación que aunque momentáneamente el movimiento es una rotación alrededor de “O”.
La velocidad angular de rotación so iguales 
Como la distancia entre P y O es el doble que la que existe con el centro de masa se concluye que la rapidez en lineal en P es el doble que la velocidad del centro de masas = 2 R  = 2 
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Energía Total del cuerpo Rígido:
La energía alrededor del eje instantáneo de rotación es:
 = 
Aplicando el Teorema de los ejes paralelos
	 = + M. como a = R
 = + M. 
Remplazando en la expresión de energía
 = ( + M. = + M. 
Por consiguiente
 = 	 + M. 
 = Energía cinética de rotación + Energía cinética de traslación
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Movimiento giroscópico
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Movimiento giroscópico
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Movimiento giroscópico
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Movimiento giroscópico
Velocidad de precesión
Ω=dϕ/dt=mgb/Iω