Rotacion torsion torqueCapitulo 10

Vista previa del material en texto

Físca II: Rotación de un Cuerpo Rígido
MSc. Cristian Esteban Candia-Castro Vallejos1,2
Oficina 324, Departamento de Física UdeC
mail:crcandia@udec.cl
1Depto. de Física, Facultad de Cs. Físicas y Matemáticas,
Universidad de Concepción, Chile.
2Depto. de Física, Facultad de Ciencias
Universidad del Bio-Bio, Chile.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 1 / 42
Contenidos
1 Introducción
2 Cinemática de la Rotación
Movimiento de Rotación
Cinemática Rotacional
Variables de Rotación como Vectores
Relación entre variables angulares y lineales
3 Dinámica de la Rotación
Energía Cinética de la Rotación
Momento de Inercia
4 Momento de Torsión
5 Torque y Aceleración Angular
6 Trabajo, Potencia y Energía Rotacional
7 Problemas
8 Resumen
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 2 / 42
Introducción
Introducción
Cuando un cuerpo rígido, por ejemplo una rueda, gira alrededor de su eje, el movimiento
no puede ser analizado si se trata este cuerpo como partícula, puesto que en cualquier
instante t, diferentes partes del cuerpo tienen velocidades y aceleraciones lineales
diferentes.
Podemos analizar el movimiento considerando un cuerpo rígido como si estubiera
compuesto por un conjunto de partículas, cada una de las cuales tiene su velocidad y
aceleración lineal propios.
Un cuerpo rígido es aquel que no se desforma, es decir, las posiciones relativas de todas
las partículas que componen el cuerpo, permanecen constantes.
Bien sabemos que todos los cuerpos reales son desformables hasta cierto grado, sin
embargo, nuestro modelo de cuerpo rígido es útil en numerosas situaciones.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 3 / 42
Cinemática de la Rotación Movimiento de Rotación
Movimiento de Rotación
Analizamos la rotación de un cuerpo
rígido alrededor de un eje fijo que
pasa por O.
Notamos que toda partícula que
compone el cuerpo rígido, recorre
una trayectoria circunferencial.
El punto P se mueve a lo largo de
una circunfrerencia de radio r . El
arco s que describe está dado por:
s = rθ (1)
θ =
S
r (2)
Donde S es la longitud del arco, r el
radio de la circunferencia y θ es el
ángulo descrito medido en radianes.
1rad = 360
o
2π = 57.3
o (3)
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 4 / 42
Cinemática de la Rotación Movimiento de Rotación
Movimiento de Rotación
La velocidad angular promedio se define como:
ω =
θ2 − θ1
t2 − t1
=
∆θ
∆t (4)
La unidad de medida de la velocidad angular, en el sistema
internacional (SI), es el:
radian
segundo =
rad
s (5)
La velocidad angular será:
Positiva: si θ aumenta, es decir, el cuerpo rota en sentido antihorario.
Negativa: si θ disminuye, es decir, el cuerpo rota en sentido horario.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 5 / 42
Cinemática de la Rotación Movimiento de Rotación
Movimiento de Rotación
La velocidad angular instantánea se define como:
ω = l«ım
∆t→0
∆θ
∆t =
dθ
dt (6)
La aceleración angular promedio se define como:
α =
ω2 − ω1
t2 − t1
=
∆ω
∆t (7)
La aceleración instantánea se define como:
α = l«ım
∆t→0
∆ω
∆t =
dω
dt =
d2θ
dt2 (8)
IMPORTANTE: Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partícula del cuerpo
rígido tiene la misma velocidad angular y la misma aceleración angular.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 6 / 42
Cinemática de la Rotación Cinemática Rotacional
Cinemática Rotacional
Las ecuaciones de la cinemática lineal se cumplen para el movimiento
rotacional, sustituyendo x por θ, v por ω y a por α. De esta forma, si
el cuerpo rota en un eje fijo con α = cte podemos aplicar las
relaciones de cinemática rotacional:
ωf = ωi + αt (9)
θf = θi + ωi t +
1
2αt
2 (10)
ω2f = ω
2
i + 2α(θf − θi ) (11)
θf = θi +
1
2(ωi + ωf )t (12)
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 7 / 42
Cinemática de la Rotación Variables de Rotación como Vectores
Variables de Rotación como Vectores
La posición angular y el desplazamiento angular son vectores, los cuales
(por cenveniencia) expresamos en coordenadas polares.
La posición angular para todo punto P esta definida por el angulo θ medido con respecto
al origen θ = Sr , medido en radianes donde S es el arco de circunferencia recorrido y r el
radio de la trayectoria circular de dicha partícula. Notamos 1rev = 360o = 2πrad
El desplazamiento angular ∆θ = θ2 − θ1 se define como la difenrencia entre dos
posiciones angulares, con dirección en el eje polar θ
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 8 / 42
Cinemática de la Rotación Variables de Rotación como Vectores
Variables de Rotación como Vectores
La velocidad angular y la velocidad lineal son vectores:
La velocidad lineal v es SIEMPRE perpendicular a la trayectoria de la partícula.
La velocidad angular ω es SIEMPRE perpendicular al plano de movimiento.
El radio es un vector de va desde el EJE DE ROTACIÓN a la partícula en cuestión.
Notamos que para fines prácticos calculamos solo la magnitud de las cantidades angulares, puesto que
conocemos siempre sus direcciónes, el sentido (signo) dependerá de si las cantidades aumentan o disminuyen
(ver definicón de cantidades angulares).
NOTA: ~ax~b = |~a||~b|sen(θ), donde θ es el angulo entre los vectores a y b.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 9 / 42
Cinemática de la Rotación Variables de Rotación como Vectores
Variables de Rotación como Vectores
Las aceleraciones también son vectores:
La aceleración lineal aT es SIEMPRE perpendicular a la trayectoria de la partícula.
La aceleración angular α es SIEMPRE perpendicular al plano de movimiento.
La aceleración centrípeta aR apunta siempre hacia el EJE DE ROTACIÓN. (opuesta al
radio).
El radio es un vector de va desde el EJE DE ROTACIÓN a la partícula en cuestión.
Notamos que para fines prácticos calculamos solo la magnitud de las cantidades angulares, puesto que
conocemos siempre sus direcciónes, el sentido (signo) dependerá de si las cantidades aumentan o disminuyen
(ver definicón de cantidades angulares).
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 10 / 42
Cinemática de la Rotación Relación entre variables angulares y lineales
Relación entre variables angulares y lineales
Para relacionar las cantidades lineales y angulares, debemos tener en mente que cuando un
objeto rígido gira alrededor de un eje fijo, toda partícula del objeto describe una trayectoria
circular cuyo centro es el eje de rotación. Por definición el módulo de la velocidad lineal es:
v =
dS
dt
(13)
Donde, s = rθ. Podemos reemplazar esto en la ecuación anterior y tenemos:
v =
dS
dt
= r
dθ
dt
(14)
Ya que r es cte. en un punto P. Por lo tanto:
v = ωr (15)
Notamos que definimos solo la magnitud ya que los vectores son perpendiculares entre si (ver
diapos. anterirores).
Por lo tanto, aunque la velocidad angular ω sea la misma para todas las partículas del cuerpo
rígido, la velocidad lineal depende del radio. Notamos que la velocidad lineal crece a medida
que nos alejamos del eje de rotación.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 11 / 42
Cinemática de la Rotación Relación entre variables angulares y lineales
Relación entre variables angulares y lineales
De igual forma podemos relacionar los módulos de las aceleraciones angulares y lineales
(tangenciales) de un punto P. Tomamos:
aT =
dv
dt
= r
dω
dt
(16)
Ya que r es cte. en un punto P y sabemos que v = ωr . Por lo tanto:
aT = αr (17)
Sabemos que un obejto que rota en una trayectoria circular experimenta una aceleración
centrípeta o radial de magnitud v2/r , dirigida hacia el eje de rotación. Ya que v = rω, podemos
escribir:
aR =
v2
r
=
r2ω2
r
= rω2 (18)
Por lo tanto, la Aceleración Lineal Total del objeto en el punto P es:
~at = ~aT + ~aR (19)
Donde llamaremosat = a. La magnitud de a está dada por:
a =
√
a2T + a
2
R =
√
r2α2 + r2ω4 = r
√
α2 + ω4 (20)
Y para determinar su dirección angular, utilizamos la función Arco Tangente entre los
vectores aT y aR .
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 12 / 42
Cinemática de la Rotación Relación entre variables angulares y lineales
Relación entre variables angulares y lineales
Si hacemos girar una Pioneer CDJ 2000 a razón de 33 rev/min y luego soltamos y ésta tarda
20.0 s en detenerse.
a) ¿ Cual es la aceleración angular de la CDJ, suponiendo que la aceleración es uniforme?
b) ¿ Cuantas revoluciones efectúa la CDJ antes de detenerse?
c) Si el radio de la CDJ es 14.0cm, ¿ Cuales son las magnitudes de las componentes radial y
tengencial de la aceleración lineal de un punto sobre la orilla en t = 0?
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 13 / 42
Dinámica de la Rotación Energía Cinética de la Rotación
Energía Cinética de la Rotación
La energía cinética, es la energía asociada al movimiento en el espacio, de modo que, en un contexto rotacional, no hay enregía
asociada con un movimiento de traslación. Sin embargo, las partículas que conforman el cuerpo rígido en movimiento rotacional,
se mueven por el espacio y siguen trayectorias circulares. Por lo tanto, debe haber una energía cinética asociada al mov.
rotacional. Consideremos un cuerpo como un conjunto de partículas que giran alrededor de un eje Z, con rapidez angular ω.
Cada partícula tiene energía cinética determinada por su masa y rapidez tangencial. Si la masa de la i-esima partícula vale mi y
la rapidez tangencial de dicha particula es vi , su energía cinética es:
Ki =
1
2
mi v
2
i (21)
Sabemos que vi = riω. Por lo tanto, la energía cinética TOTAL del cuerpo rígido es:
KR =
∑
i
Ki =
∑
i
1
2
mi v
2
i =
1
2
∑
i
mi r
2
i ω
2 =
1
2
(∑
i
mi r
2
i
)
ω
2 (22)
Ya que ω es igual para TODAS las partículas. La expresión entre parentesis de la ecuacion (22) se conoce como momento de
inercia, y se define:
I =
∑
i
mi r
2
i (23)
La cual tiene dimensiones de ML2 en unidades del SI (kg ∗ m2). Luego reescribimos la ecuación (22) como:
KR =
1
2
Iω2 (24)
Notamos que en general llamamos a KR energía rotacional, pero de NINGUNA MANERA es un nuevo tipo de enrgía, ya que se
deduce de la suma de las energías cinéticas individuales de las partículas que contiene el cuerpo rígido.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 14 / 42
Dinámica de la Rotación Momento de Inercia
Momento de Inercia
El momento de inercia es una medida de la resistencia del objeto a cambios en su movimiento
rotacional, igual que la masa es una medida de la tendencia de un cuerpo a resistirse a cambios
en su movimiento lineal.
Si bien podemos hacer el analogo entr m 99K I, debemos tener en cuenta que la masa es una
propiedad inherente del cuerpo, mientras que el momento de inercia depende de la selección que
se haga del eje de rotación. Por lo tanto NO HAY un valor individual del momento de inercia
para un cuerpo, solo hay un valor mínimo, el cual corresponde al calculado alrededor del eje que
pasa por el centro de masa (CM) del ceurpo.
Ejemplo: Cuatro pequeñas esferas se sujetan de los
extremos de dos varillas de masa despreciable que se
encuentra en el plano xy como muestra la figura.
Supondremos que los radios de las esferas son pequeños
en comparación con las dimensiones de las varillas.
a) Si el sistema gira alrededor del eje y , con una rapidez angular ω,
encontrar el momento de inercia y la energía cinética rotacional
alrededor de este eje.
b) Suponga que el sistema gira en el plano xy alrededor de un eje fijo
(eje z) que pasa por O (origen). Calcule el momento de inercia y
energía cinética rotacional alrededor de este eje.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 15 / 42
Dinámica de la Rotación Momento de Inercia
Calculo del Momento de Inercia
Podemos calcular el momento de inercia de un objeto extendido si imaginamos que el objeto está dividido en muchos elementos
de volumen pequeños, cada uno con masa ∆m, usando la definición I =
∑
i
r2i ∆mi , y tomando el límite de ésta suma como
∆mi −→ 0, en este límite, estamos pasando de una distribución discreta de partículas a una continua, por lo tanto, la suma se
convierte en:
l«ım
mi→0
∑
i
r2i ∆mi =
∫
r2dm (25)
Por lo general, es mas facil calcular momentos de inercia en términos del volumen de los elementos, usamos la definición de
densidad ρ = mV :
m = ρV Derivamos: (26)
dm = ρdV (27)
Sustituimos en la ecuación (25):
I =
∫
ρr2dV (28)
Si asumimos el objeto homogeneo, es decir, ρ = cte, se puede calcular la integral para una geometría conocida. Habitualmente
podemos definir tres densidades según las dimensiones en las que estemos trabajando:
Densidad Volumétrica: ρ = mV se mide en
kg
m3
.
Densidad de masa por unidad de área: σ = mA = ρL y se mide en
kg
m2
.
Densidad lineal: λ = mL = ρA y se mide en
kg
m
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 16 / 42
Dinámica de la Rotación Momento de Inercia
Teorema de los Ejes Paralelos (Teorema de Steiner)
El teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner establece que el momento de inercia
alrededor de cualquier eje que es paralelo y que se encuentra a una distancia D del eje que pasa
por el centro de masa es:
I = ICM + MD2 (29)
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 17 / 42
Dinámica de la Rotación Momento de Inercia
Calculo del momento de Inercia
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 18 / 42
Dinámica de la Rotación Momento de Inercia
Calculo del Momento de Inercia
Ejemplo: Calcule el momento de inercia para una barra rígida uniforme de longitud L y masa M:
a) Alrededor de un eje perpendicular a la barra (eje y) que pasa por el centro de masa.
b) Alrededor del eje que pasa por y ′
a) La masa dm del elemento de longitud de la
barra comprendido entre x y x + dx es:
dm =
M
L
dx (30)
El momento de inercia de la varilla es:
Ic =
∫ x2
x1
x2dm =
∫ L/2
−L/2
M
L
x2dx =
1
12
ML2
(31)
b) Usando el teorema de los ejes paralelos:
I = Ic + MD2 =
1
12
ML2 + M
(
L
2
)2
=
1
3
ML2
(32)
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 19 / 42
Dinámica de la Rotación Momento de Inercia
Calculo del Momento de Inercia
Ejemplo: Calcule el momento de inercia para una barra rígida uniforme de longitud L y masa M:
a) Alrededor de un eje perpendicular a la barra (eje y) que pasa por el centro de masa.
b) Alrededor del eje que pasa por y ′
a) La masa dm del elemento de longitud de la
barra comprendido entre x y x + dx es:
dm =
M
L
dx (30)
El momento de inercia de la varilla es:
Ic =
∫ x2
x1
x2dm =
∫ L/2
−L/2
M
L
x2dx =
1
12
ML2
(31)
b) Usando el teorema de los ejes paralelos:
I = Ic + MD2 =
1
12
ML2 + M
(
L
2
)2
=
1
3
ML2
(32)
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 19 / 42
Dinámica de la Rotación Momento de Inercia
Algunos Momentos de Inercia
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 20 / 42
Momento de Torsión
Momento de Torsión
Cuando se ejerce una fuerza sobre un objeto rígido que gira alrededor
de un eje fijo, el objeto tiende a girar en torno a ese eje.
Esta tendencia se mide por la cantidad Momento de Torsión.
Ejemplo:
Considere la fuerza requerida para
abrir una puerta.
¿ Es más facil abrir la puerta
empujando/tirando lejos de la
bisagra o cerca de ella?
MIENTRAS MÁS LEJOS DE
LA BISAGRA, MAYOR ES EL
EFECTO ROTACIONAL!!
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 21 / 42
Momento de Torsión
Momento de Torsión
El módulo del torque asociado con una fuerza F se define como:
τ = rFsin(φ) = Fd (33)
Donde d se llama Brazo de Palanca y corresponde a la distancia
perpendicular desde el ejede rotación a la línea de acción de fuerza.
La línea de acción de fuerza es la línea imaginaria que se extiende a
partir de ambos extremos del vector que representa la fuerza
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 22 / 42
Momento de Torsión
Mirada alternativa al Momento de Torsión
La fuerza también puede ser descompuesta en sus componentes x e y
La componente x , Fcos(φ), produce un torque 0N.
La componente y , Fsen(φ), produce un torque NO-CERO
Recordamos la relación de
momento de torsión:
τ = Frsen(φ)
donde F es la fuerza aplicada
r es la distancia a lo largo del
objeto
φ es el ángulo entre la fuerza y
la recta que une el eje de
rotación con el punto de
aplicación de la fuerza.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 23 / 42
Momento de Torsión
Concepto Vectorial de Torque
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 24 / 42
Momento de Torsión
Concepto Vectorial de Torque
Donde el módulo del momento de torsión es dado por la ecuación (33):
τ = rFsen(θ) (34)
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 25 / 42
Momento de Torsión
Observaciones sobre el Vector Torque
La fuerza es aplicada en el punto P, punto del cuerpo que posee
vector posición r .
El vector resultante, torque, es perpendicular al plano formado por la
posición del punto de aplicación de la feurza y la fuerza misma.
Si la rotación es en sentido antihorario la, convención de signos nos
dice que el sentido del vector torque es positivo.
Si la rotación es en sentido horario, la convención de signos nos dice
que el sentido del vector torque es negativo.
El momento de torsión se define sólo cuando se especifica un eje de
referencia, ya que éste es producto de una fuerza y el brazo de palanca
de esa fuerza, el cual se define solo en función del eje de rotación.
NO CONFUNDIR CON FUERZA las unidades de medida del
torque, en el sistema internacional, son Nm
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 26 / 42
Momento de Torsión
Torque Neto
La fuerza ~F1 tiende a hacer girar
el cuerpo en sentido antihorario
y ~F2 en sentido horario. Por lo
tanto, el torque neto es:
~τneto = ~τ1 + ~τ2 (35)
τneto = F1d1 − F2d2 (36)
Si el torque neto es cero, entonces el cuerpo está en reposo o rota
con velocidad angular constante.
Esta ley se conoce como la la segunda ley de equilibrio.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 27 / 42
Momento de Torsión
Torque Neto: Ejemplo
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 28 / 42
Torque y Aceleración Angular
Torque y Aceleración Angular
Consideramos una partícula de masa m gira alrededor de una
circunferencia de radio r .
Según la segunda ley de Newton ~F = m~a al actuar una fuerza sobre
un cuerpo causa una aceleración en dicho cuerpo, y esta aceleración
es proporcional a la fuerza neta:
Ft = mat (37)
La magnitud del momento de torsión alrededor del centro del circulo
debido a Ft es:
τ = Ftr = (mat)r (38)
Sabemos por definición que at = αr y también que I = mr2). Por lo
tanto, el torque neto alrededor del centro de la circunferencia es:
τneto = Ftr = (mat)r = (mrα)r = (mr2)α (39)
~τneto = I~α (40)
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 29 / 42
Torque y Aceleración Angular
Torque y Aceleración Angular
El momento de torsión qie actúa sobre la partícula es proporcional a
su aceleración angular, con I constante de proporcionalidad.
Notamos que ~τ = Iα, es la analogía rotacional de la segunda ley de
Newton del movimeinto ~F = m~a.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 30 / 42
Torque y Aceleración Angular
Torque y Aceleración Angular
Apliaremos este análisis para un cuerpo rígido de forma arbitraria que rota alrededor de un
eje fijo.
Podemos considerar el cuerpo como un número infinito de lementos de masa dm de
tamaño infinitesimal.
Cada elemento de masa dm gira en un circulo alrededor del eje de rotación con una
aceleración tangencial at producida por una fuerza tangencial externa dFt .
De la segunda ley de Newton:
dFt = (dm)at (41)
Como at = rα, la expresión para el torque dτ
queda:
dτ = rdFt = (rdm)at = r2dmα (42)
El torque total es la integral de este diferencial:
τneto =
∫
(r2dm)α = α
∫
r2dm
~τneto = Iαk̂
~τneto = I~α (43)
Observamos
que ~τneto depende del eje de rotación y de la forma
del cuerpo. Esta definición aplica tanto para las
componentes de la fuerza radiales y tangenciales,
ya que las radiales deben pasar por el eje de
rotación, todas estas componentes producen
torque igual a cero alrededor de ese eje.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 31 / 42
Torque y Aceleración Angular
Torque y Aceleración Angular: Ejemplo
Una rueda de radio R, masa M y momento de inercia I, está montada sobre un eje
horizontal sin fricción, como se ve en la figura. Una cuerda ligera enrollada alrededor de la
rueda, sostiene un cuerpo de masa m. Calcule la aceleración angular de la rueda, la
aceleración lineal del cuerpo, y la tensión de la cuerda.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 32 / 42
Torque y Aceleración Angular
Torque y Aceleración Angular: Ejemplo
Primero analizamos la rueda: La magnitud del momento de torsión sobre la rueda
alrededor de su eje de rotación es τ = TR, donde T es la fuerza ejercida por la cuerda
sobre el borde de la rueda. Note que la fuerza gravitacional ejercida por la tierra sobre la
rueda, y la fuerza normal ejercida por el eje sobre la rueda, pasan por el eje de rotación,
por lo tanto, no producen momento de torsión). Debido a que, por definición:
∑
τ = Iα:∑
τ = Iα = TR (44)
α =
TR
I
(45)
Ahora analizemos el cuerpo, aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento del
cuerpo, tomando como positiva la dirección hacia abajo:∑
Fy = mg − T = ma (46)
a =
mg − T
m
(47)
Las ecuaciones (45) y (47) tienen 3 incógnitas: α, a y T (entonces nos falta una ecuación
para resolver el sistema). Debido a que el cuerpo y la rueda están unidos por una cuerda
que no resbala, la aceleración lineaa del cuerpo suspendido es igual a la aceleración
tangencial de un punto sobre el borde de la rueda. Por lo tanto, la aceleración angular α
de la rueda y la aceleración lineal del cuerpo están relacionadas por a = Rα.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 33 / 42
Torque y Aceleración Angular
Torque y Aceleración Angular: Ejemplo
Usando este hecho junto con las ecuaciones (45) y (47), obtenemos:
a = Rα =
TR2
I
=
mg − T
m
(48)
T =
mg
1 + (mR2/I)
(49)
Sustituyendo la ecuacion (49) en la ecuación (47) y despejando a y α, econtramos que:
a =
g
1 + (I/mR2)
(50)
α =
a
R
=
g
R + (I/mR)
(51)
¿Qué pasaría si la rueda fuera a hacerse muy grande, de modo tal que I se hace muy
grande? ¿Qué ocurre con la aceleración y la tensión?
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 34 / 42
Trabajo, Potencia y Energía Rotacional
Trabajo y Potencia
La descripción de un objeto rígido bajo movimiento rotacional, no estará completa hasta
que incluyamos un análisis de la energía cinética rotacional y de como su cambio se
relaciona con el tabajo realizado por fuerzas externas.
El trabajo hecho por una fuerza ~F al girar un cuerpo rígido una distancia infinitesimal
dS = rdθ y considerando la definición del torque es:
dW = ~F · d~s = Frsin(φ)dθ (52)
dW = τdθ (53)
Donde Fsen(φ) es la componente tangencial de ~F (componente de fuerza a lo largo del
desplazamiento). La componente radial NO REALIZA TRABAJO ya que es perpendicular
al desplazamiento (i · j = 0).
La tasa (rapidez) a la cual ~F hace el
trabajo cuando el objeto gira alrededor
del eje fijo es:
P =
dW
dt
=
τdθ
dt
(54)
P = τω (55)
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 201435 / 42
Trabajo, Potencia y Energía Rotacional
Trabajo y Energía Rotacional
A partir del mov. lineal, podemos deducir que para la rotación de un objeto simétrico
alrededor de un eje fijo, el trabajo hecho por las fuerzas externas sea igual al cambio en la
energía rotacional.
τ = Iα = I
dω
dt
= I
dω
dθ
dθ
dt
= I
dω
dθ
ω (56)
Usando la definición de trabajo τdθ = dW , e integrando a ambos lados tenemos:
W =
∫ θ
θ0
τdθ =
∫ ω
ω0
Iωdω (57)
W =
1
2
Iω2 −
1
2
Iω20 (58)
El trabajo neto realizado por las fuerzas externas (proporcional al torque neto) al hacer
girar un objeto rígido simétrico alrededor de un eje fijo es igual al cambio en la energia
rotacional del objeto.
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 36 / 42
Trabajo, Potencia y Energía Rotacional
Comparación de las Ecuaciones del Movimiento de
Rotación y Movimiento Lineal
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 37 / 42
Problemas
Problema 1
La caña de un pescador forma un ángulo de 20o con la horizontal. ¿Cuál es el momento
de torsión ejercido por el pez alrededor de un eje perpendicular a la página y que pasa por
la mano del pescador?
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 38 / 42
Problemas
Problema 2
Una barra cilíndrica de 24cm de longitud tiene una masa de 1.2kg y un radio de 1.50cm,
tiene una bola con un diametro de 8.00cm y una masa de 2.00kg unida al extremo
superior. El arreglo está originalmente, vertical y estacionario. El aparato es libre de girar
alrededor de la parte inferior de la barra.
a) Despés de realizar 1/4 de giro, ¿Cuál es la energía cinética rotacional
del aparato?
b) ¿Cual es la velocidad angular de la barra y la bola?
c) ¿ Cual es la velocidad lineal de la bola?
d) ¿Cómo se compara con la velocidad si la pelota hubíera caído
libremente a través de la misma distancia de 28cm?
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 39 / 42
Resumen
Resumen
Si una partícula se mueve en una
trayectoria circular de radio r en un
ángulo θ (medido en radianes), la
longitud de arco que se mueve es:
S = rθ (59)
La posición angular de un cuerpo rígido
se define como el ángulo θ entre una línea
de referencia unida al objeto y una línea
de referencia fija en el espacio.
El desplazamiento angular de una
partícula que se mueve en una trayectoria
circular o cuerpo rígido que rota alrededor
de un eje fijo es:
∆θ = θf − θi (60)
La rapidez angular y la aceleración
angular instantánea de una partícula que
se mueve en una trayectoria circular o de
un cuerpo rígido que rota alrededor de un
eje fijo es:
ω =
dθ
dt
(61) α =
dω
dt
(62)
Cuando un cuerpo rígido rota alrededor
de un eje fijo, todas las partes del
cuerpo tienen la misma rapidez angular
y la misma aceleración angular
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 40 / 42
Resumen
Resumen
Si el cuerpo rota en un eje fijo con
α = cte podemos aplicar las relaciones de
cinemática rotacional que son análogas a
las del movimiento lineal:
ωf = ωi + αt (63)
θf = θi + ωi t +
1
2
αt2 (64)
ω2f = ω
2
i + 2α(θf − θi ) (65)
θf = θi +
1
2
(ωi + ωf )t (66)
Las relaciones (magnitudes) entre
cantidades lineales y angulares son:
S = rθ (67)
v = rω (68)
a = rα (69)
El momento de inercia de un sistema de
partículas (sistema discreto) se define:
I =
∑
i
mi r2i (70)
El momento de inercia de un cuerpo
rígido (sistema continuo) se define:
I =
∫
r2dm (71)
Si un cuerpo rígido rota alrededor de un
eje fijo con rapidez angular ω, su energía
cinética rotacional se puede escribir como:
KR =
1
2
Iω2 (72)
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 41 / 42
Resumen
Resumen
La magnitud del momento de torsión asociado con una fuerza ~F que actúa sobre un
obejto es:
τ = Fd (73)
d es el brazo de palanca, que se define como la distancia perpendicular desde el eje de rotación a línea de acción
de fuerza.
El momento de torsión es una medida de la tendencia de la fuerza a cambiar la rotación del objeto alrededor
de algún eje.
Si un cuerpo rígido, libre para rotar alrededor de un eje fijo, tiene un momento de torsión
externo neto que actúa sobre él, el cuerpo experimenta una aceleración angular α:∑
τ = Iα (74)
El trabajo hecho por una fuerza ~F al girar un cuerpo rígido es:
dW = τdθ (75)
La potencia se define como:
P = τω (76)
Podemos definir el trabajo hecho por las fuerzas externas en función de la energía
rotacional:
W =
1
2
Iω2 −
1
2
Iω20 (77)
crcandia@udec.cl (UdeC/UBB - Chile) Física II: Capítulo 10 13 de marzo de 2014 42 / 42
	Introducción
	Cinemática de la Rotación
	Movimiento de Rotación
	Cinemática Rotacional
	Variables de Rotación como Vectores
	Relación entre variables angulares y lineales
	Dinámica de la Rotación
	Energía Cinética de la Rotación
	Momento de Inercia
	Momento de Torsión
	Torque y Aceleración Angular
	Trabajo, Potencia y Energía Rotacional
	Problemas
	Resumen