CapX-T2

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Rotación de un Cuerpo Rígido
Emerson Sp. Tenorio
Departamento de Física, UdeC
e-mail:htenorio@udec.cl
Oficina 335. CFM
1Depto. de Física, Facultad de Cs. Físicas y Matemáticas,
Universidad de Concepción, Chile.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Rotación de un Cuerpo Rígido
Cuando un cuerpo extendido como una rueda
gira alrededor de su eje, el movimiento no
puede analizarse si el objeto es considerado
como una partícula, porque en cualquier
tiempo diferente, partes del objeto tienen
velocidades y aceleraciones distintas.
Al tratar un cuerpo rotando, el análisis se
simplifica si se supone que el cuerpo es rígido.
Cuerpo Rígido
Un cuerpo rígido se define como un cuerpo que no es
deformable, o en otras palabras, uno en el que la separación
entre todos los pares de partículas permanece constante.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Rotación de un Cuerpo Rígido
Todos los cuerpos reales son reformables hasta cierto grado;
sin embargo, nuestro modelo de objeto rígido es útil en
muchas situaciones donde la deformación es despreciable ó
inmutable.
En este capítulo trataremos la rotación de un
Cuerpo Rígido alrededor de un eje fijo, más
conocido como Movimiento Rotacional Puro.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Contenidos
1 Velocidad angular y aceleración angular
2 Cinemática rotacional
3 Relaciones angulares y lineales
4 Energía rotacional
5 Cálculo de los momentos de inercia
6 Teorema de los ejes paralelos
7 Ejemplos de momentos de Inercia
8 Torque
9 Torque y aceleración angular
10 Trabajo, potencia y energía rotacional
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Velocidad angular y aceleración angular
Rotación de un Cuerpo Rígido
alrededor de un eje fijo que pasa
por O.
El punto P se mueve a lo largo
de una circunferencia de radio r .
El arco que describe está dado
por:
S = rθ
θ =
S
r
S: longitud del arco.
r : radio de la circunferencia.
θ: ángulo medido en radianes.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Velocidad angular y aceleración angular
Una partícula en un cuerpo
rígido en rotación, se mueve de
P en t1 a P en t2 a lo largo del
arco de una circunferencia.
En el intervalo ∆t = tf − ti , el
radio vector barre un
desplazamiento ∆θ = θ2 − θ1.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Velocidad angular y aceleración angular
La velocidad angular promedio es:
ωz =
θf − θi
tf − ti
=
∆θ
∆t
La unidad de medida de la velocidad angular promedio en el S.I,
es:
radian
segundo =
rad
s
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
La velocidad angular será:
Positiva: si θ aumenta, es decir, el cuerpo rígido rota en
sentido antihorario.
Negativa: si θ disminuye, es decir, el cuerpo rígido rota en
sentido horario.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Velocidad angular y aceleración angular
La velocidad angular instantánea es:
ωz = lim
∆t→0
∆θ
∆t =
dθ
dt ,
rad
s
Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partícula del cuerpo
rígido tiene la misma velocidad angular y la misma aceleración
angular.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Vel. Angular como un Vector
Nuestra notación: ωz → es la vel. angular entorno al eje z
Recordemos: para el mov. rectilíneo vx es la componente del
vector ~V
ωz debe ser la componente z del vector vel. angular dirigido a
lo largo del eje de rotación
La dirección de este vector está regido por la regla de la mano
derecha
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Velocidad angular y aceleración angular
1 Un volante de un automovil gira a 24.0 rev/min.
¿cuál es la velocidad angular en rad/s?
ωz = 24
rev
min ×
1min
60s ×
2πrad
1rad =
4
5πrad/s ≈ 2.51rad/s
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Aceleración Angular
Si cambia la velocidad angular de un cuerpo rígido, entonces tiene
una aceleración angular.
Si consideramos ω1z y ω2z como las velocidades angulares en los
instantes t1 y t2, entonces definimos la la aceleración angular
media ᾱz en el intervalo ∆t como la razón de la velocidad angular
en el intervalo de tiempo como:
La aceleración angular promedio es:
αz =
ω2z − ω1z
tf − ti
=
∆ω
∆t ,
rad
s2
La aceleración instantánea es:
αz = lim
∆t→0
∆ω
∆t =
dω
dt =
d2θ
dt2 ,
rad
s2
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Aceleración Angular como Vector
En el mov. rotacional, si la aceleración angular αz es positiva,
aumenta la vel. angular ωz ; Si αz es negativa, ωz disminuye.
La rotación se está acelerando si ωz y αz tienen el mimo
signo, y se frena si tienen signo opuesto
Si el objeto gira en torno al eje z fijo, ~α
sólo tiene componente z ; la cantidad αz
es la componente de este vector.
Cuando ~α apunta en la misma dirección
que ~ω, la rotación se está acelerando, y
cuando están en dirección opuesta se
está frenado
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejemplo
Una rueda de bicicleta frena uniformemente
desde una velocidad angular de 25.0rad/s
hasta el reposo en 5.00s
¿cuál es la aceleración angular?
αz =
ωf − ωi
tf − ti
=
0− 25rad/s
5.0sec = −5.00rad/s
2
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Cinemática Rotacional
Las ecuaciones de cinemática se cumplen para el
movimiento rotacional sustituyendo x por θ, vx por
ωz y ax por αz . De esta forma, se tiene:
Si αz = cte.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Cinemática Rotacional
αz = cte.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Cinemática Rotacional
Ejemplo:
Imagine un disco compacto que se está deteniendo, donde la
velocidad angular del disco en to = 0 es de 27.5 rad/s y su
aceleración angular constante es de -10.0 rad/s2 respectivamente.
Como referencia se ha marcado una línea sobre la superficie del
disco y etsá a lo largo del eje +x en to = 0
1 ¿Qué velocidad angular tiene el disco en t = 0.3s?
2 ¿Qué ángulo barre la línea PQ con ele +x en ese instante?
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejercicio
La rueda de bicicleta gira inicialmente con una
velocidad angular de 25.0 rad/s. ¿cuántas
revoluciones efectua hasta frenar completamente, si
tarda 5.00 s ?
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejercicio
Recuerde, que para un movimiento lineal teníamos: x = v0t + 12at
2
Aquí podemos usar la relación análoga:
∆θ = ωozt +
1
2αzt
2
= 25.0 rads (5.00s) +
1
2(−5.00
rad
s2 )(5.00s)
2 = 62.5 rad
= 62.5rad × 1rev2π = 10.0rev
donde 1rev = 360o = 2πrad .
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Relaciones angulares y lineales
Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, toda
partícula del objeto se mueve en un círculo cuyo centro es el
eje de rotación.
El cuerpo rígido rota alrededor del eje
fijo que pasa por O, el punto P tiene
una velocidad tangencial ν que es
tangente a la trayectoria circular de
radio r .
La velocidad tangencial se relaciona con
la velocidad angular de la siguiente
manera:
ν =
dS
dt =
d(rθ)
dt = r
dω
dt
ν = rω
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Relaciones angulares y lineales
Similarmente para la aceleración:
aceleración tangencial
at =
dv
dt =
d(rω)
dt = r
dω
dt
at = αr
aceleración centrípeta
ar =
dv
dt =
v2
r =
r2ω2
r
ar = rω2
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Relaciones angulares y lineales
La aceleración lineal total del punto es:
~a = ~at +~ar
La magnitud de la aceleración lineal total del punto P sobre el
cuerpo rígido es:
a =
√
a2t + a2r =
√
r2α2 + r2ω4 = r
√
α2 + ω4
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Importante
1 Utilizar ángulos en radianes → S = Rθ, v = Rω,
arad = v
2
R = ω
2R y atan = dvdt = Rα
2 Tambien son validas para cualquier partícula que tenga la
misma velocidad tangencial que un punto de un cuerpo rígido
en rotación
Ejemplo:
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Importante
1 Utilizar ángulos en radianes → S = Rθ, v = Rω,
arad = v
2
R = ω
2R y atan = dvdt = Rα
2 Tambien son validas para cualquier partícula que tenga lamisma velocidad tangencial que un punto de un cuerpo rígido
en rotación
Ejemplo:
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejemplo1
Un lanzador de un disco hace gira el disco en su mano a 0.800m
de eje de rotación
En cierto instante, el lanzador gira con una rapidez angular de
10.0rad/s y la rapidez angular aumenta a razón de 50.0rad/s
por segundo. Calcule
Las componentes de la aceleración tangencial y radial
La magnitud de la aceleración líneal
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejemplo2
Una rueda gira en torno al eje +z con una rapidez
angular de ωz = −6.00rad/s en to = 0.0s
aumentando linealmente con el tiempo y en
t = 7.00s es de +8.00rad/s respectivamente
La aceleración angular durante este intervalo es
positiva o negativa?
Durante qué intervalo está aumentando la
rapidez de la rueda?, ¿y disminuyendo?
Determine el desplazamiento angular de la rueda
en t = 7.00s
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejemplo3
Un elevador antiguo consta de un contrapeso, un disco giratorio de
radio 2.50m y un cable que no desliza al girar sobre el disco.
1 ¿Con cuantas rpm debe girar el
disco para subir el elevador a una
velocidad de 0.250m/s,
2 Para empezar el mover el elevador,
éste debe acelerar 18g . ¿Cuál debe
ser la aceleración angular del disco
en rad/s2?
3 ¿Qué ángulo (en rad y grados) el
disco gira, para que el elevador
suba 3.25m?
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Energía Cinética de la Rotación
Energía rotacional
Un objeto rígido gira alrededor del eje z 
con velocidad angular w. La energía 
cinética para la i-ésima partícula de 
masa m
i
 está dada por: 
K i=
1
2
mi vi
2
Así, la energía total de rotación está 
dada por: 
K R=∑ K i=∑
1
2
mi vi
2=
1
2
∑mi ri22
K R=
1
2
∑mi ri2 2
x
y
O
vi
miri
)
x
y
O
vi
miri
)
Un objeto rígido gira alrededor del eje z
con velocidad angular ω. La energía
cinética para la -ésima partícula de
masa mi está dada por:
Ki =
1
2miv
2
i
Así, la energía total de rotación está
dada por:
KR =
∑
Ki
KR =
∑ 1
2miv
2
i =
1
2
∑
mi r2i ω2
KR =
1
2
(∑
mi r2i
)
ω2
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Energía Cinética de la Rotación
KR =
1
2
(∑
mi r2i
)
ω2
La cantidad entre paréntesis recibe el nombre de Momento de
Inercia I.
I =
∑
mi r2i , kg ·m2
De esta manera, la Energía de Rotación es:
KR =
1
2 Iω
2
El cálculo del momento de inercia depende de la elección del
eje de rotación.
El momento de inercia depende de la distribución de masa del
centro de rotación (C.R.).
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejemplo
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejemplo1
Se diseña una piesa mecanica formada por tres discos gruesos
unidos por tres puntales ligeros sin masa
1 ¿Qué momento de inercia tiene
este cuerpo alrededor de un je que
pasa por el centro del disco A y es
perpendicular al plano del
diagrama?,
2 ¿Qué momento de inercia tiene
alrededor de un eje que pasa por el
centro de los discos B y C?
3 Si el cuerpo gira sobre el eje que
pasa por el cuerpo A y es
perpendicular al plano del
diagrama, con una rapidez angular
de ω = 4.0rad/s, ¿Qué energía
cinética de rotación tiene?
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Energía Cinética de la Rotación
El momento de inercia es una medida de la resistencia del cuerpo
a cambios en su movimiento rotacional, igual que la masa es una
medida de la tendencia de un cuerpo a resistirse a cambios en su
movimiento lineal.
Masa ↔ Momento de Inercia
Si bien, podemos hacer el análogo entre M ↔ I, debemos tener
en cuenta que la masa es una propiedad inherente del cuerpo,
mientras que el momento de inercia depende de la selección que se
haga del eje de rotación. Por lo tanto, NO HAY un valor
individual del momento de inercia para un cuerpo, solo hay un
valor mínimo, el cual corresponde al calculado alrededor del eje
que pasa por el centro de masa (C.M.) del cuerpo.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Energía Cinética de la Rotación
Ejemplo:
sobre energías cinéticas individuales de las partículas contenidas en el objeto rígido. La 
forma matemática de la energía cinética conocida por la ecuación 10.16 es conveniente 
cuando se trata con movimiento rotacional, siempre que se sepa cómo calcular I.
Es importante reconocer la analogía entre la energía cinética 12mv
2 asociada con el mo-
vimiento traslacional y la energía cinética rotacional 12I
2. Las cantidades I y en el movi-
miento rotacional son análogas a m y v en el movimiento traslacional, respectivamente. (De 
hecho, I toma el lugar de m y toma el lugar de v cada vez que se compara una ecuación 
de movimiento traslacional con su contraparte rotacional.) El momento de inercia es una 
medida de la resistencia de un objeto a cambios en su movimiento rotacional, tal como 
la masa es una medida de la tendencia de un objeto a resistir cambios en su movimiento 
traslacional.
 Sección 10.4 Energía cinética rotacional 277
PREVENCIÓN DE RIESGOS 
OCULTOS 10.4
No hay un solo momento de inercia
Existe una gran diferencia entre 
masa y momento de inercia. La 
masa es una propiedad inheren-
te de un objeto. El momento de 
inercia de un objeto depende 
de su elección del eje de rotación. 
Por lo tanto, no hay un solo 
valor del momento de inercia 
para un objeto. Existe un valor 
mínimo del momento de inercia, 
que es el calculado en torno a 
un eje que pasa a través del 
centro de masa del objeto.
EJEMPLO 10.3 Cuatro objetos en rotación
Cuatro esferas pequeñas se amarran a los extremos de dos 
barras con masa despreciable que yacen en el plano xy (figura 
10.8). Se supondrá que los radios de las esferas son pequeños 
en comparación con las dimensiones de las barras.
A) Si el sistema da vueltas en torno al eje y (figura 10.8a) con 
una rapidez angular , encuentre el momento de inercia y la 
energía cinética rotacional del sistema en torno a este eje.
SOLUCIÓN
Conceptualizar La figura 10.8 es una representación gráfica 
que ayuda a formar ideas del sistema de esferas y cómo gira.
Categorizar Este ejemplo es un problema de sustitución 
porque es una aplicación directa de las definiciones analiza-
das en esta sección.
Aplique la ecuación 10.15 al sistema: Iy
i
mir i2 Ma2 Ma2 2Ma2
Evalúe la energía cinética rotacional con la ecuación 
10.16:
Que las dos esferas de masa m no entren en este resultado tiene sentido, porque no tienen movimiento en torno al eje de 
rotación; por tanto, no tienen energía cinética rotacional. Por similitud, se espera que el momento de inercia en torno al 
eje x sea Ix 2mb2 con una energía cinética rotacional en torno a dicho eje de KR mb2 2.
B) Suponga que el sistema da vueltas en el plano xy en torno a un eje (el eje z) a través de O (figura 10.8b). Calcule el mo-
mento de inercia y la energía cinética rotacional en torno a este eje.
SOLUCIÓN
Aplique la ecuación 10.15 a este nuevo eje de rotación: Iz
i
mir i2 Ma2 Ma2 mb2 mb2 2Ma2 2mb2
Evalúe la energía cinética rotacional con la ecuación 10.16:
Al comparar los resultados de los incisos A) y B), se concluye que el momento de inercia y, por lo tanto, la energía cinética 
rotacional asociada con una rapidez angular dada depende del eje de rotación. En la parte B) se espera que el resultado 
incluya las cuatro esferas y distancias porque las cuatro esferas están girando en el plano xy. En función del teorema traba-
jo–energía cinética, el que la energía cinética rotacional del inciso A) sea menor que la del inciso B) indica que requeriría 
menos trabajo poner el sistema en rotación en torno al eje y que en torno al eje z.
m
m
M
M
O
a
a
b
b
b)
y
m
m
M M
a a
b
b
x
a)
Figura 10.8 (Ejemplo 10.3) Cuatro esferas forman un bastón 
inusual. a) El bastón rota en torno al eje y. b) El bastón rota en 
torno al eje z.
KR
1
2Iyv
2 1
2 12Ma2 2v2 Ma2v2
KR
1
2Izv
2 1
2 12Ma2 2mb2 2v2 1Ma2 mb2 2v2
Cuatro pequeñas esferas se sujetan de
los extremos de dos varillas de masa
despreciableque se encuentra en el
plano-xy como muestra la figura.
Supondremos que los radios de las
esferas son pequeños en comparación
con las dimensiones de las varillas.
a) Si el sistema gira alrededor del eje-y , con una rapidez angular
ω, encontrar el momento de inercia y la energía cinética
rotacional alrededor de este eje.
Las dos masas m sobre el eje-y no contribuyen, luego
Iy =
∑
mi r2i = Ma2 + Ma2 = 2Ma2
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Energía Cinética de la Rotación
La energía rotaciones alrededor del eje-y es
KR =
1
2 Iyω
2 =
1
2(2Ma
2)ω2 = Ma2ω2
b) Suponga que el sistema gira en el plano-xy alrededor de un
eje fijo (eje-z) que pasa por O. Calcule el momento de inercia
y energía cinética rotacional alrededor de este eje.
ri es la distancia perpendicular al eje de rotación, luego
Iz =
∑
mi r2i = Ma2 + Ma2 + mb2 + mb2 = 2Ma2 + 2mb2
KR =
1
2 Izω
2 =
1
2
(
2Ma2 + 2mb2
)
ω2 = (Ma2 + mb2)ω2
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Calculo del Momento de Inercia
La definición dada anteriormente para calcular el momento de
inercia I, corresponde al cáculo para una distribución discreta de
partículas. Por otro lado, para una distribución continua de
partículas, como lo es un cuerpo rígido, debemos considerar el caso
límite.
Cálculo de los momentos de inercia
En estricto rigor, la definición dada anteriormente para 
calcular el momento de inercia I, corresponde al cálculo para 
una distribución discreta de partículas. Ahora veremos que 
para una distribución continua de partículas, como lo es un 
sólido rígido, debemos considerar el caso límite.
ri
m
x
y
o
De la definición se tiene:
I=∑ ri2mi
En el límite 
cuando
m0
I= lim
m0
∑ ri2mi=∫ r2dm
dm=dV I=∫ r2dV
De la definición se tiene:
I =
∑
r2i ∆mi
En el límite ∆m→ 0, cuando
I = lim
∆m→0
∑
r2i ∆mi =
∫
r2dm
con dm = ρdV
I =
∫
ρr2dV
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Cálculo del Momento de Inercia
Si asumimos que el cuerpo rígido es homogéneo, es decir ρ = cte.,
se puede calcular la integral para una geometría conocida.
Podemos definir tres densidades según las dimensiones en las que
estemos trabajando:
Densidad volumétrica: ρ = MV en S.I.
kg
m3
Densidad superficial: σ = MA en S.I.
kg
m2
Densidad lineal: λ = ML en S.I.
kg
m
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejemplos de momento de Inercia
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejemplos de momento de Inercia
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejemplo1
Un cable ligero, flexible y que no se deforma está enrollado sobre
un tambor de un malacate, un cilindro de 50.0kg de masa y un
diámetro de 0.120m, que gira sobre un eje fijo horizontal montado
sobre unos cojinetes sin fricción como se muestra
Una fuerza constante de magnitud
9.00N se aplica al otro extremo del
cable a lo largo de una distancia de
2.00m. El cable no resbala y hace girar
el cilindro al desenrollarse. Si el cilindro
estaba inicialmente en reposo, calcule la
rapidez angular final y la rapidez del
cable.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejercicio2
El bastón de una bastonera esta formado por
un cilindro de masa M y de longitud L y dos
pequeñas masas de masa m, las que pueden
ser consideradas como particulasen los
estremos. Calcule el momento de inercia total
del bastón alrededor del eje que giro usual
(perpendicular al bastón y por su centro)
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Energía Cinética de la Rotación
Ejemplo3:
Una hélice de avión tiene un diámetro de 2.08m (de
punta a punta) y una masa de 117kg . Si gira a
2400rmp alrededor de un eje que pasa por su
centro. Trate la hélice como una varilla delgada.
¿Qué energía cinética rotacional tiene?
Suponga que, debido a restricciones de peso,
usted tuviera que reducir la masa de la hélice al
75% de su masa original, pero siguiera
requiriendo el mismo tamaño y energía cinética.
¿Cuál tendria que ser su rapidez angular en rmp
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Teorema de los Ejes Paralelos
El teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner establece
que el momento de inercia alrededor de cualquier eje que es
paralelo y que se encuentra a una distancia d del eje que pasa
por el centro de masa es:
I = ICM + Md2
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
ejemplo1
Una pieza de un acoplamiento mecánico tiene una
masa de 4.0kg. Si se conoce que el momento de
inercia alrededor de un eje que pasa a 0.15m de su
centro de masa es de Ip = 0.170kg ·m2. Calcule el
momento de inercia alrededor de un eje paralelo que
pasa por el centro de masa.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Momento de Torsión
Consideremos una llave inglesa usada para aflojar un tornillo como
se muestra
La medida cuantitativa uqe tiene una fuerza a causar o alterar la
rotación de un cuerpo se denomina Torque ó Torque de una fuerza.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Momento de Torsión
Ejemplo: Calcular el momento de torsión total de una cuerpo que
tiende a rotar alrededor de un punto O como muestra la figura:
La tendencia de ~F1 es hacer girar
el cuerpo en torno de O y
depende de la magnitud F1 y de
la distancia perpendicular l1 entre
O y la línea de acción de la fuerza
donde l1 se llama brazo de palanca o de momento de ~F1
alrededor de O
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Momento de Torsión
Ejemplo: Calcular el momento de torsión total de una cuerpo que
tiende a rotar alrededor de un punto O como muestra la figura:
La tendencia de ~F1 es hacer girar
el cuerpo en torno de O y
depende de la magnitud F1 y de
la distancia perpendicular l1 entre
O y la línea de acción de la fuerza
donde l1 se llama brazo de palanca o de momento de ~F1
alrededor de O
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Momento de Torsión
Definimos el Torque (momento de torsión) τ respecto a O como
una cantidad que es proporcional tanto a F1 como a l1
τ = Fl El torque siempre se mide en
torno al punto O, por lo que se
debe definir respecto a este
punto. Si cambiamos la posición
de este punto, el torque de la
fuerza tambien cambia
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Momento de Torsión
Para describir el torque de una fuerza, no basta llamarlo "Torque
de ~F ", sino que ademas se debe indicar el punto respecto al
cual rota
Sentido de Rotación
Definimos:
El sentido antihorario de una fuerza ~F que tiende a causar una
rotación alrededor de un punto O de un cuerpo como la
rotación positiva
τ = +Fl
El sentido horario de ua fuerza que tiende a hacer rotar
alrededor de un punto como una roratión negativa
τ = −Fl
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Momento de Torsión
Unidades en el S.I
[τ ] = metro · newton
Observación
Cuando se habló de Trabajo(W )-Energía(E ) → newton · metro ≡
Joule.
El torque τ no es ni trabajo ni energía, asi que debe ser expresado
en newton· metro
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejemplo1
Consideremos una barra de longitud r sobre la cual se aplica una
fuerza ~F . Determine el momento de torsión respecto al punto O,
donde el sentido de rotación es antihorario
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Torque como Vector
La cantidad rFsinθ es la magnitud del producto
vectorial ~r × ~F definido en el cap III.
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Torque como Vector
En general decimos que si una fuerza ~F actua en un punto
que tiene como radio vector posición ~r con respecto a un
origen O, entonces el torque de fuerza ~τ respecto a O es:
~τ = ~r × ~F
El vector ~τ es perpendicular al plano que contiane a los vectores ~r
y ~F . El vector ~τ tiene la dirección del eje de rotación y el sentido
esta dado por la regla de la mano derecha
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Torque como Vector
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Torque como Vector
Ejemplo Un plomero usa un tramo de un tubo paraaumentar el
mango de una llave de tuercas con el fin de alcanzar una mejor
eficacia cuando aplica 900N de fuerza al extremo del tubo
Cual es la magnitud y dirección
del torque aplicado
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Torque y Aceleración Angular
Consideremos un cuerpo que está formado por un gran número de
partículas. Para m1 tenemos que:
entonces, la fuerza total ~F1 que actúal sobre esta partícula tiene
componente radial, tangencial y en z
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Torque y Aceleración Angular
Aplicamos la 2LN en la dirección tangencial: F1tan = m1a1tan
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Torque y Aceleración Angular
Aplicamos la 2LN en la dirección tangencial: F1tan = m1a1tan
F1tanr1 = m1r21αz ⇒ τ1z =
(
m1r21
)
αz = I1αz
Considerando todas las partículas que forman el cuerpo rígido,
obtenemos
τ1z + τ2z + · · · = I1αz + I2αz + · · ·
o lo que es lo mismo
∑
i
τiz =
∑
i
Iiαz
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Torque y Aceleración Angular
En general: Para un cuerpo rígido tenemos el análogo rotacional de
la 2LN ∑
τz = Iαz
τiz : Torque en torno al eje de rotación que actúa sobre todas las
partículas
Ii : Momento de inercia total alrededor del eje de rotación
αz : aceleración angular igual para todas las partículas ya que se
trata de un cuerpo rígido
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Ejemplo
Consideremos la situación anterior, en la que un
cable de varias vueltas sobre el tambor sólido
(50.0kg y diámetro de 0.120m) se desenrolla girando
sobre su eje debido a la acción de una fuerza de
9.00N. En este caso, la aceleración del cable es
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Cable enrollado sobre un Cilindro
Consideremos un cilindro sólido de masa M y radio R, el que tiene
la facultad de girar sobre un eje sin roce. Si atamos un bloque de
masa m a uno de los extremos del cable y dejamos caer de una
altura h desde el reposo hasta el suelo.
La rapidez del bloque y la
rapidez angular del cilindro
en ese instante es:
la aceleración del bloque es
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Trabajo, potencia y energía
La aplicación de una fuerza neta ~F
sobre un cuerpo rígido en un punto p a
una distancia R medida desde O, tiene
a hacer girar el cuerpo en torno al
punto O. Esta tendencia es el momento
de torsión τ
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Trabajo, potencia y energía
La aplicación de una fuerza neta ~F
sobre un cuerpo rígido en un punto p a
una distancia R medida desde O, tiene
a hacer girar el cuerpo en torno al
punto O. Esta tendencia es el momento
de torsión τ
Sin embargo, hallemos una relación que nos permita expresar el
trabajo en terminos del torque y el desplazamiento angular
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Trabajo, potencia y energía
Consideremos una fuerza F al girar el cuerpo rígido en torno al
punto O
Trabajo, potencia y energía
El trabajo hecho por la fuerza F al girar el cuerpo rígido 
es:
La tasa a la cual se hace 
trabajo es:
P=
dW
dt
=
d 
dt
=
Es fácil mostrar que:
W=∫ d =∫ I  d= 1
2
I 2−
1
2
I 0
2
dW=F⋅d s=F r sin d = d 
O
d s
F

d  r
P
Si el cuerpo gira un ángulo dθ en torno
al eje fijo durante un intervalo de
tiempo dt.
dW = ~F · d~s = Ftands = (Fsinφ)ds
Ftan fuerza a lo largo del
desplazamiento.
Pero ds = rdθ, entonces
dW = (rFsinφ)rdθ = τzdθ
Definición del momento de torsión: τz = rFsinφ
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Trabajo, potencia y energía
Consideremos una fuerza F al girar el cuerpo rígido en torno al
punto O
Trabajo, potencia y energía
El trabajo hecho por la fuerza F al girar el cuerpo rígido 
es:
La tasa a la cual se hace 
trabajo es:
P=
dW
dt
=
d 
dt
=
Es fácil mostrar que:
W=∫ d =∫ I  d= 1
2
I 2−
1
2
I 0
2
dW=F⋅d s=F r sin d = d 
O
d s
F

d  r
P
Si el cuerpo gira un ángulo dθ en torno
al eje fijo durante un intervalo de
tiempo dt.
dW = ~F · d~s = Ftands = (Fsinφ)ds
Ftan fuerza a lo largo del
desplazamiento.
Pero ds = rdθ, entonces
dW = (rFsinφ)rdθ = τzdθ
Definición del momento de torsión: τz = rFsinφ
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Trabajo Total
El trabajo total efectuado por el torque durante el desplazamiento
angular de θ1 a θ2 es
W =
∫ θ2
θ1
τzdθ
Si el torque es constante y el ángulo es finito ∆θ = θ2 − θ1
W = τz∆θ
Unidades en el S.I:
[τ ] = Nm ·m, [θ] = rad ⇒ [W ] = J
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Trabajo Total
El trabajo total efectuado por el torque durante el desplazamiento
angular de θ1 a θ2 es
W =
∫ θ2
θ1
τzdθ
Si el torque es constante y el ángulo es finito ∆θ = θ2 − θ1
W = τz∆θ
Unidades en el S.I:
[τ ] = Nm ·m, [θ] = rad ⇒ [W ] = J
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Trabajo Total
El trabajo total efectuado por el torque durante el desplazamiento
angular de θ1 a θ2 es
W =
∫ θ2
θ1
τzdθ
Si el torque es constante y el ángulo es finito ∆θ = θ2 − θ1
W = τz∆θ
Unidades en el S.I:
[τ ] = Nm ·m, [θ] = rad ⇒ [W ] = J
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Observación
Si la fuerza ~F tiene componente axial y radial;
dichas componentes no afectan el trabajo, pues el
desplazamiento del punto p solo tiene componente
tangencial. Asi que
W =
∫ θ2
θ1
τzdθ, W = τz∆θ
Son correctas para cualquier fuerza
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Energía Cinética Rotacional
Al igual que en el caso del movimiento rectilíneo, el trabajo
relaizado por la fuerza neta era igual al cambio en la energía
cinética
Si el torque neto efectua trabajo sobre un cuerpo rígido que gira en
torno a un punto, la energía cinética cambia en una cantidad igual
a ese trabajo
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Energía Cinética Rotacional
Supongamos que τz sea el torque neto sobre un cuerpo rígido
τzdθ = (Iαz)dθ = Iωzdωz
Si τz es el torque total, entonces el ttrabajo total efectuado sobre
el cuerpo rígido en rotación es
WTot =
∫ ω2
ω1
Iωzdωz =
1
2 Iω
2
z/
ω2
ω1
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Energía Cinética Rotacional
WTot =
∫ ω2
ω1
Iωzdωz =
1
2 Iω
2
z/
ω2
ω1
es decir,
WTot =
1
2 Iω
2
2z −
1
2 Iω
2
1z
El cambio en la energía cinética rotacional de un cuerpo
rígido es igual al trabajo efectuado por las fuerzas ejercidas
desde afuera del cuerpo
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Potencia
¿Cual es la potencia asociada al trabajo efectuado por un
torque sobre un cuerpo en rotación?
La rapidez a la que la fuerza realiza trabajo mientras que el cuerpo
rota en torno al eje fijo un ángulo dθ en un intervalo de tiempo dt
es
dW
dt = τz
dθ
dt
pero dWdt es la definición de potencia instantanea- rapidez con la
que se realiza trabajo- rapidez a la que se transfiere energía;
P = dWdt = τz
dθ
dt = τzω
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10
Trabajo, potencia y energía
En general, es posible combinar este teorema con la forma traslacional del teorema 
trabajo–energía cinética del capítulo 7. Por lo tanto, el trabajo neto invertido por fuerzas 
externas sobre un objeto es el cambio en su energía cinética total, que es la suma de las 
energías cinética traslacional y rotacional. Por ejemplo, cuando un pitcher lanza una pe-
lota de beisbol, el trabajo invertido por la mano del pitcher aparece como energía cinética 
asociada con la pelota móvil a través del espacio, así como energía cinética rotacional 
asociada con el giro de la bola.
Además del teorema trabajo–energía cinética, también se aplican otros principios de 
energía a situaciones rotacionales. Por ejemplo, si un sistema que involucra objetos ro-
tativos se aísla y dentro del sistema no actúan fuerzas no conservativas, se pueden usar 
el modelo de sistema aislado y el principio de conservación de la energía mecánica para 
analizar el sistema como en el ejemplo 10.11 siguiente.
Por último, en algunas situaciones una aproximaciónenergética no proporciona sufi-
ciente información para resolver el problema y se debe combinar con un planteamiento 
de cantidad de movimiento. Tal caso se ilustra en el ejemplo 10.14 de la sección 10.9.
 La tabla 10.3 menciona las diversas ecuaciones que explican características del movi-
miento rotacional con las expresiones análogas para movimiento traslacional. Las últimas 
dos ecuaciones de la tabla 10.3, que involucran cantidad de movimiento angular L, se 
explican en el capítulo 11 y se incluyen sólo por motivo de integridad.
TABLA 10.3
Ecuaciones útiles en movimiento rotacional y traslacional
Movimiento rotacional en torno a un eje fijo Movimiento traslacional
 
EJEMPLO 10.11 Un nuevo vistazo a la barra giratoria
Una barra uniforme de longitud L y masa M tiene libertad de dar vuelta sobre un 
pivote sin fricción que pasa a través de un extremo (figura 10.21). La barra se libera 
desde el reposo en la posición horizontal.
A) ¿Cuál es su rapidez angular cuando la barra llega a su posición más baja?
SOLUCIÓN
Conceptualizar Considere la figura 10.21 e imagine que la barra giratoria hacia abajo 
a través de un cuarto de vuelta en torno al pivote en el extremo izquierdo. También 
regresa a ver el ejemplo 10.8. Esta situación física es la misma.
Categorizar Como se mencionó en el ejemplo 10.8, la aceleración angular de la 
barra no es constante. Por lo tanto, las ecuaciones cinemáticas para rotación (sección 
10.2) no se pueden usar para resolver este ejemplo. El sistema de la barra y la Tierra 
se clasifica como un sistema aislado sin fuerzas no conservativas actuantes y usa el 
principio de conservación de energía mecánica.
Figura 10.21 (Ejemplo 10.11) Una 
barra rígida uniforme con centro 
de giro en O da vueltas en un plano 
vertical bajo la acción de la fuerza 
gravitacional.
CM
L/2
Ef KR 
1
2 I
2
Ei U MgL/2O
Rapidez angular v du/dt Rapidez traslacional v dx/dt
Aceleración angular a dv/dt Aceleración traslacional a dv/dt
Momento de torsión neto t Ia Fuerza neta © F ma
Si vf vi at Si vf vi at
a constante uf ui vit at2 a constante xf xi vit at2
vf
2 vi
2 2a(uf ui) vf2 vi2 2a(xf xi)
Trabajo W Trabajo W 
Energía cinética rotacional KR Iv2 Energía cinética K mv2
Potencia tv Potencia Fv
Cantidad de movimiento angular L Iv Cantidad de movimiento lineal p mv
Momento de torsión neto t dL/dt Fuerza neta F dp/dt
1
2
1
2
 
xf
xi
 F x dx 
uf
ui
t du
1
2
1
2
©
©
 Sección 10.8 Consideraciones energéticas en el movimiento rotacional 289
Rotación de un Cuerpo Rígido Física II: Capítulo 10