clase 11 cantidad de movimiento angular

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Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Cantidad de movimiento angular de una partícula y de un sistema de partículas
Momento de rotación 
Energía de un sistema de partículas 
Expresión del trabajo y la energía para la rotación 
Expresiones del centro de masa 
Conservación de la cantidad de movimiento angular
UNIDAD 6 
Conservación de la Cantidad de movimiento 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
MOMENTO DE ROTACIÓN
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
	
	La puerta gira cuando se aplica una fuerza sobre ella; es una fuerza de torque o momento.
Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, dicho cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. 
Ahora bien, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza.
Entonces, se llama torque o momento de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza para producir un giro o rotación alrededor de un punto. 
DINAMICA ROTACIONAL
 B A  F
 b r
 
 O 
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MOMENTO DE ROTACION: 
La fuerza F actúa sobre una partícula situada en un punto A , cuya posición con respecto al origen O del marco referencial inercial está dado por el desplazamiento r por lo tanto el momento de rotación M o  que obra sobre la partícula 
se define como = . (1) (fuerza por brazo de palanca)
Como b = r sen  M = F . r .sen (2) que es el módulo del vector producto vectorial de F y r  = x o = x 
La magnitud o módulo del MOMENTO de ROTACIÓN esta dado por la ecuación [2] siendo la dirección perpendicular al plano definido por r y el sentido lo determina la aplicación de la mano derecha
 
DINAMICA ROTACIONAL
Utilizando coordenadas cartesianas
Vector r = x + y + z
Vector F = FX + FY + FZ
 M  
 O
 r F
 b
 A 
 
 
 
 
 
 
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Momento de Rotación en coordenadas Cartesianas
Definidos el vector posición y la fuerza como
r = i x + j y + k z y F = i Fx + jFy + kFz
 = r x F = i J K
 X y z
 Fx Fy Fz
  = i ( yFz – zFy) + j ( zFx – xFz) + k (xFy- yFx) 
 
 x y z 
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Cantidad de Movimiento Angular o Momento Cinético o Impulso Angular 
 “ “
 L
 O
 r p = mv
 
 m
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Cantidad de Movimiento Angular o Momento Cinético o Impulso Angular
Definición de Momento Angular ( o Cinético) para una partícula:
 = x Módulo :  L  = r p sen
 Dirección: perpendicular al plano de r y p
 Sentido: regla mano derecha
Componentes cartesianas:
 
 = x = = Lx + Ly + Lz =
 = (y Z ) + (z  x ) + (X y )
Para el plano x-y es z=0 y Pz = 0
  Lz = (x Py  y Px )
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Teorema de Conservación del impulso Angular
A partir de la ecuación = x derivo respecto del tiempo
 = x + x 
 m 
 vectores paralelos  producto vectorial nulo
Entonces = x pero x = 
 = SI L y M se evalúan respecto al mismo punto 
Si M = 0  = 0  L = CONSTANTE
SI EL MOMENTO DE ROTACIÓN (TORQUE) SOBRE UNA PARTÍCULA ES NULO , EL IMPULSO ANGULAR DE LA MISMA ES CONSTANTE
El torque es nulo si: 1) F = 0 ENTONCES ES PARTÍCULA LIBRE
 2) F 
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Forma vectorial del momento Angular
Cuando los vectores y son perpendiculares (como el caso del movimiento circular uniforme ) entonces v =  r por lo tanto L = m r v = 
 L = m r2  cuando la dirección de L es la misma que  
Puede escribirse en FORMA VECTORIAL = m r2 
 
 
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ECUACION FUNDAMENTAL DE LA DINAMICA ROTACIONAL para una partícula
Partimos de la ecuación L = m r2  (recordar que es una ecuación vectorial)
Definimos Momento de Inercia o Inercia Rotacional, como I = m r2 
Si remplazamos L = I  ( es correcta si los vectores L y  son paralelos) 
Entonces como 
 M= = = I = I . 
 M = I .  analogía formal con F = m a
 I .  donde MOMENTO DE INERCIA es análogo
 a la masa m
DINAMICA ROTACIONAL
EXPRESION DE TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA en la ROTACIÓN
El trabajo elemental es dw = F . ds 
 dW= F ds cos 
 pero cos = sen 
 Ft F  dW= F ds sen 
 
 d  pero Ft = F sen 
 r ds  y ds = r dFt .r = M
  dW= M . d (dW=  . d )
 
 Pero también dW = dEc 
 dW = m .v dv = m . ( .r) (r d) = m .  d 
 dW = I  d 
INTEGRANDO W =  
 
 
 
Momento angular de un conjunto de partículas puntuales
El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:
                                
La variación temporal es:
                               
El término de derecha es la suma de todos los momentos producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los momentos producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los momentos de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los momentos externos:
 
El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de momentos externos. Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias.
L para un sistema de partículas
de acuerdo a la ecuación momento Mext =  ext
y si  ext =0 entonces dL/dt = 0  L = CONSTANTE
“El impulso Angular de un sistema aislado es constante en magnitud, dirección y sentido” 
 z y fuerzas externas
 
 
 
 
 
 y
 x = 
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Teorema del Trabajo y Energía para un sistema de Partículas
Si en la expresión = + 
Las fuerzas internas son conservativas, se puede asociar al trabajo a una variación por lo tanto = - debido a que y la 
 son opuestas al desplazamiento entonces W es negativo
Ese término vale para cada par de partículas.
El sistema tiene energía propia que consta de 2 términos: a) una Ec de cada partícula evaluada respecto a un sistema interno b) una Epi que es independiente de ese sistema.
 = + Expresión del teorema del T y Energía para el 
 Sistema de Partículas
La energía potencial U = + 
 = 
 
De donde si = 0 entonces = 0 y U = constante, si las fuerzas internas son conservativas
Si las velocidades de las partículas del sistema se miden respecto del centro de masas del mismo, la Energía Cinética de llama 
 por lo que = + que es independiente del sist. de Ref.
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