Cuadernillo eje 2 de segundo

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PROPORCIONALIDAD 
Razón entre dos números 
Siempre que hablemos de razón entre dos números nos estaremos 
refiriendo al cociente (resultado de dividirlos) entre ellos. La razón entre a y b es: 
 
 
 , donde a≠0 
 Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 
 
Y la razón entre los números 0,15 y 0,3 es 
Proporción numérica 
Cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para 
ver como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción 
numérica. Entonces decimos que: Los números a, b, c y d forman 
una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d. 
 
Se lee “a” es a “b” como “c” es a “d” 
En la proporción anterior hay cuatro elementos; a y d se 
llaman extremos, c y b se llaman medios. 
Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 
y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20. 
 
Aquí: 2 y 20 son los extremos, 5 y 8 son medios. 
 
Propiedad fundamental de las proporciones 
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios. Por 
ejemplo: 
 
 
2 
 
 
Si entonces 
 
 
 
 
Ejercitación: RAZÓN Y PROPORCIÓN 
1- Escribe la razón entre los siguientes pares de números y calcula su 
valor. 
a. 18 y 3 
b. ¾ y 5 
c. 1/3 y 1/6 
d. 1,2 y 4/5 
e. 0,91 y 0,7 
2- Hallar el valor de y en la proporción 6/10 = 30/y 
3- Calcular el valor de m en la proporción 2/m = m/32 
4- Forma una proporción cuya razón valga: 
a. 3 
b. 4 
c. 0,25 
5- Determinar si las razones que se plantean en las siguientes situaciones 
forman una proporción. 
a. Una persona recorrió 3 kilómetros en una hora y otra persona 
recorrió 7 kilómetros en dos horas. 
b. En un colegio hay 2 hombres por cada 3 mujeres y en otro 
colegio hay 8 hombres por cada 12 mujeres. 
6- Calcula el valor de x en cada una de las siguientes proporciones: 
a. 2
5
24

x
 
b. 4836
27 x

 
c. x
2,6
55,0
11,0

 
d. 
x:
9
4
5
3
:6,0 
 
 
e. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f. . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
PROPORCIONALIDAD DIRECTA 
Para definir estos nuevos conceptos, comenzaremos por definir la noción de 
magnitud. Llamamos magnitud a todo aquello que se puede medir. Por ejemplo, 
la altura de una persona, la masa corporal, de edad, la cantidad de pan que 
deseamos comprar, el precio de algún producto, la distancia recorrida por un 
automóvil, etc. 
Existen muchas situaciones donde dos o más magnitudes se vinculan a 
partir de relaciones. La proporcionalidad directa e inversa es un tipo de relación 
particular. 
Consideremos las magnitudes “número de sacos de papa” y “peso (kg)”. 
Mientras más sacos de papa considero mayor es el peso que obtengo, y a menor 
cantidad de sacos de papa menor es el peso obtenido. Vemos aquí que las dos 
magnitudes suben o bajan simultáneamente. 
Ahora analicemos, si duplico la cantidad de sacos de papa se duplica el 
peso, si compro una tercera parte de la cantidad de sacos de papa inicial, el peso 
es una tercera parte del peso inicial. Veamos esto en una tabla: Si un saco de 
papas pesa 20 kg tenemos que: 
Número de sacos 
X 
Peso (kg) 
Y 
1 20 
2 
 60 
 200 
26 
Observación: 
Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20 
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20 
 Cuando este fenómeno sucede las dos magnitudes que se comparan o 
relacionan son magnitudes directamente proporcionales. 
 
4 
 
 
Observen que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 …… = 20 
La constante de proporcionalidad (que se representa con la letra “k”) para 
pasar de número de sacos a kg es 20. Se calcula: 
K = Y/X 
K se llama “constante de proporcionalidad” porque si dividimos cada valor 
de “Y” por su respectivo valor de “X”, el resultado será siempre el mismo. 
 
 Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en 
lo que llamaremos “regla de tres simple directa” y que nos servirá para resolver 
un gran cantidad de problemas matemáticos. 
 
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA 
 
Ejemplo 1 
En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de 
agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal? 
Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en 
triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de 
sal son directamente proporcionales. 
Si dos magnitudes son tales que ambas aumentan (o ambas 
disminuyen) en igual proporción, entonces se dice que esas magnitudes 
son directamente proporcionales. 
5 
 
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de 
sal, y formamos la siguiente tabla: 
Litros de agua Gramos de sal 
 50 L → 1300 gr 
 X → 5200 gr 
Se verifica : 
50 por 5.200 = 1.300 por x 
 Es decir 
 
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo: 
 
 
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se 
conoce con el nombre de regla de tres simple directa. 
 
Ejemplo 2 
Un automóvil gasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en el 
depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil? 
 
Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km 
 
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PROPORCIONALIDAD INVERSA 
Analicemos la siguiente situación: Poseo 48 rosas para armar ramos para 
regalar el día de la madre. Se desea saber de qué manera se pueden armar ramos 
sin que sobren rosas, de modo tal que todos los ramos tengan la misma cantidad 
de rosas. 
Formamos la tabla: 
Cantidad de rosas 
por ramo 
X 
Cantidad de 
ramos 
Y 
1 48 
2 24 
3 
 12 
6 
8 
12 
 2 
 1 
Observamos aquí que a medida que aumenta la cantidad de rosas que 
pondré en cada ramo, disminuye la cantidad de ramos que puedo armar. Al doble 
de rosas por ramo, armaría la mitad de ramos. 
 Cuando una magnitud sube y la otra baja en la misma cantidad, 
hablaremos de magnitudes inversamente proporcionales. 
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la 
primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces 
se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. 
 Observación: 1 por 48 = 2 por 24 = 3 por 16 = … = 48 
Nótese que aquí la constante de proporcionalidad se obtiene multiplicando 
las magnitudes y que su producto será siempre igual. Esto es: 
K = X.Y 
 
 
7 
 
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA 
 
Ejemplo 1 
Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 
días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 
vacas? 
Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá 
para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por 
tanto, son magnitudes inversamente proporcionales. 
X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas 
Nº de vacas Nº de días 
 220 → 45 
 450 → X 
 Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde 
 
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo: 
 
Luego 450 vacas podrán comer 22 días 
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se 
conoce con el nombre de regla de tres simple inversa. 
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Ejemplo 2 
Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de 
capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 
toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles? 
 
Pues la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por x 
Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la 
misma cantidad de vino. 
 Ejercitación: Proporcionalidad directa e inversa. 
1. Resuelve los siguientes problemas: 
a. Por un grifo salen 6m3 cada 10 horas. ¿Qué cantidad de agua 
saldrá en una semana? (Resultado: 100.8 m3) 
b. Si por 19kg de azúcar nos dan 2kg de café, ¿cuánto nos dan por 
1000 kg de azúcar? (Resultado: 105.26kg) 
c. Tres obreros han realizado unaobra en 280 minutos. ¿Cuánto 
habrían tardado 8 obreros? (Resultado: 105 minutos) 
d. Una motocicleta a 36km/h tarda 7horas y 30 minutos en hacer 
un recorrido. A qué velocidad debería ir para hacerlo en 1 hora y 
30 minutos. (Resultado: 180km/h). 
e. Un coche recorre 315km en 5 horas y 15 minutos. Cuánto 
recorre en 17 horas. (Resultado: 1020km). (¡Cuidado con los 
minutos!). 
f. Cuánto cuesta imprimir un texto de 196 páginas, si imprimir 16 
páginas cuesta $12. (Resultado: $147) 
 
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA 
Dos variables son directamente proporcionales si el cociente (división) entre 
los valores respectivos de cada una de las variables es constante. 
y / x = k 
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Además al aumentar o disminuir una de ellas, la otra aumenta o 
disminuye, respectivamente, en la misma razón. 
Ejemplo: 
- Indica si las variables son directamente proporcionales 
a. La medida del lado de un cuadrado y su perímetro. 
 
 
 
b. El número de trabajadores y los días que se demoran en hacer un 
trabajo, si todos trabajan de igual manera: 
 
 
 
En el caso de las funciones esta proporcionalidad directa se puede 
representar como una función de la forma 
y = k.x 
 
Donde: 
y: variable dependiente. 
 
x: variable independiente. 
 
k : constante de proporcionalidad. 
 
Por ejemplo: si tenemos la siguiente función: 
y = 3.x 
 
 
10 
 
 
La constante de proporcionalidad sería 3. 
¿Cómo se calcula la constante de proporcionalidad? 
Como y = k x entonces: k = y / x 
 
Gráfico de proporcionalidad directa 
El gráfico correspondiente a una relación de proporcionalidad directa es 
una línea recta que pasa por el punto de origen de un sistema de coordenadas 
cartesianas. 
En una función de prorcionalidad directa, si una de las variables aumenta, 
la otra también aumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, 
la otra disminuye en un mismo factor. 
Ejemplo: En un supermercado local el kilogramo de harina suelta cuesta $5. 
Si llamamos “x” a la cantidad de harina (en kg) que se desea comprar e “y” al costo 
abonado (en pesos), realiza una fórmula, una tabla y un gráfico que representen 
esta situación. 
 Y = 5.X 
 
 Como puedes ver, el gráfico es una línea recta que pasa por el origen. 
Además si nos fijamos en la tabla, nos podemos dar cuenta que el cociente 
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(división) entre las dos magnitudes (y / x) es constante. En este caso el valor de 
la constante de proporcionalidad es 5. 
 
 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA 
Dos variables son inversamente proporcionales si el producto entre los 
valores respectivos de cada una de las variables es constante: x • y = k 
Además, en una función de proporcionalidad inversa, si una de las 
variables aumenta, la otra disminuye en un mismo factor; y si una de las 
variables disminuye, la otra aumenta en un mismo factor. 
Esta relación de proporcionalidad inversa se puede representar como una 
función de la forma: 
y = k / x 
 
Donde: 
y : variable dependiente. 
 
x: variable independiente. 
 
k : constante de proporcionalidad. 
Ejemplos: 
Indica si las variables son inversamente proporcionales. 
 
a) El número de albañiles y el tiempo empleado en hacer el mismo edificio. 
 
 
 
 
 
 
12 
 
b) La velocidad de un auto y el trayecto recorrido en el mismo tiempo. 
 
 
 
c) La velocidad de un auto y el tiempo empleado en recorrrer el mismo 
trayecto. 
 
 
 
¿Cómo se calcula la constante de proporcionalidad? 
Como y = k/ x entonces: k = y.x 
 
Gráfico de proporcionalidad inversa: 
La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una 
curva, llamada hipérbola. Veamos mediante un problema cómo se obtiene la 
misma. 
Supongamos que tenemos 24 caramelos para ser repartidos de manera 
equitativa en cierta cantidad de personas. Si llamamos “x” a la cantidad de 
personas e “y” a la cantidad de caramelos que le tocaría a cada uno, encuentra 
una fórmula que represente la situación, realiza una tabla de valores y grafica. 
 
 
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Resumen: Observa el siguiente cuadro comparativo: 
 
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ATENCIÓN 
NO SIEMPRE LAS VARIABLES INVOLUCRADAS EN UN PROBLEMA 
SON PROPORCIONALES. POR EJEMPLO: El costo de viajar en taxi si 
pago $17 la bajada de bandera más $5 por cada kilómetro recorrido. 
 
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Ejercitación: Función de proporcionalidad directa e inversa. 
1- Analiza si las siguientes fórmulas corresponden a variables proporcionales. 
Si es así, analiza si se trata de variables directa o inversamente 
proporcionales. 
 
2- Analiza si las siguientes tablas de valores corresponden a variables 
proporcionales. Si es así, analiza si se trata de variables directa o 
inversamente proporcionales y calcula el valor de “k”. 
 
3- Analiza si los siguientes gráficos corresponden a variables proporcionales. Si 
es así, analiza si se trata de variables directa o inversamente proporcionales. 
 
 
4- Ana desea realizar paquetes de alfajores para vender, y desea saber qué 
cantidad de cajas de alfajores obtendrá, en función de la cantidad de 
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alfajores que decida colocar en cada caja. Sabiendo que ella posee en total 
80 alfajores, realiza las actividades planteadas: 
a- Completa la tabla 
Cantidad de alfajores 
por caja 
1 2 5 8 10 40 80 
Cantidad de cajas 20 5 4 
b- Las magnitudes involucradas en este problema, ¿son proporcionales? 
En caso de serlo, ¿qué tipo de proporcionalidad existe? ¿Cuánto vale la 
constante de proporcionalidad? 
c- Realiza un gráfico que represente la situación. 
d- Escribe una fórmula que represente esta situación problemática. 
5- El precio por viajar en un taxi es de $7 la bajada de bandera más $2 por 
cada kilómetro recorrido. 
a- Completa la tabla 
Cantidad de kilómetros recorridos 0 1 10 
Costo del viaje 17 
b- Realiza un gráfico que represente la situación. 
c- Las magnitudes involucradas en este problema, ¿son proporcionales? 
En caso de serlo, ¿qué tipo de proporcionalidad existe? ¿Cuánto vale la 
constante de proporcionalidad? 
6- Un coche se desplaza por la autopista Gijón-Oviedo a 120 Km. por hora. 
Construye una tabla de valores con las variables tiempo, en minutos, 
y distancia recorrida, en kilómetros, con intervalos de 5 minutos. 
tiempo (minutos) 0 5 10 15 
distancia (kilómetros) 
a- Realiza un gráfico que represente la situación. 
b- Las magnitudes involucradas en este problema, ¿son proporcionales? 
En caso de serlo, ¿qué tipo de proporcionalidad existe? ¿Cuánto vale 
la constante de proporcionalidad? 
c- Escribe una fórmula que represente esta situación problemática. 
 
 
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TEOREMA DE THALES 
"Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales, la 
razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas, es igual a la razón de los 
segmentos correspondientes en la otra." 
Es decir: sean r1, r2 y r3 rectas paralelas y t1 y t2 transversales, el 
Teorema de Thales establece las siguientes relaciones: 
 
 
Caso particular del Teorema de Thales 
Si se tienen dos rectas paralelas r1 y r2 que se cortan por dos rectas que 
presentan un punto común, se forman segmentos proporcionales que cumplen 
las siguientes relaciones: 
 
 
 
 
 
 
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Ejercitación: Teorema de Thales: 
1- Sabiendo que las rectas r, s y t son paralelas, calcula la longitud de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Sabiendo que el segmento DE es paralelo a la base del triángulo, calcula 
las medidas de los segmentos a y b son... 
 
 
 
 
 
 
 
3- Observando la escalera que aparece en el dibujo calcula la longitud de 
la cuerda que une los peldaños de la escalera con su parte posterior. 
 
 
 
 
 
 
4- Calcula la altura del edificio a partir de los datos dados.