Generalidades Física y Matemática

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Algunas generalidades sobre F́ısica y
Matemática
1. Números complejos
2. Ondas
3. La delta de Dirac
4. Transformadas de Fourier
5. Mecánica cuántica
6. Cristalograf́ıa
1
1. Números complejos
Si uno quisiera encontrar la solución de la ecuación x2 = −1 se encontraŕıa con que el cuadrado
de ningún número racional o irracional es igual a -1, ya que el cuadrado de un número real es
positivo o cero. Esto lleva a definir (o inventar) el número imaginario i de la siguiente manera:
i2 = −1. Podemos entonces escribir números complejos, los cuales tienen una parte real y una
parte imaginaria:
z = a+ bi (1)
en donde z es el número complejo, la parte real es a y la parte imaginaria es b.
El conjugado de un número complejo z, que se denota z∗, se define como el número complejo
con la misma parte real y con la parte imaginaria cambiada de signo, es decir:
z = a+ bi (2)
z∗ = a− bi (3)
Veremos inmediatamente el uso y utilidad del complejo conjugado.
1.1. Álgebra con números complejos
La suma y resta de números complejos se lleva a cabo para las partes reales e imaginarias de
forma separada:
z1 + z2 = (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i (4)
z1 − z2 = (a+ bi)− (c+ di) = (a− c) + (b− d)i (5)
Para multiplicar dos números complejos se usan las reglas usuales, recordando que i2 = −1:
(a+ bi) ∗ (c+ di) = ac+ adi+ bci+ bdi2 (6)
(a+ bi) ∗ (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i (7)
Si ahora multiplicamos un número complejo por su complejo conjugado obtendremos un núme-
ro real:
zz∗ = (a+ bi) ∗ (a− bi) (8)
2
zz∗ = a2 − abi+ bai− b2i2 (9)
zz∗ = a2 + b2 (10)
El producto zz∗ se llama módulo de z y que se simboliza como |z|.
Para dividir dos números complejos haremos uso del resultado anterior para eliminar del deno-
minador la parte imaginaria. Para ello multiplicaremos numerador y denominador por el complejo
conjugado del denominador:
a+ bi
c+ di
=
(a+ bi)(c− di)
(c+ di)(c− di) (11)
a+ bi
c+ di
=
(a+ bi)(c− di)
c2 + d2
(12)
a+ bi
c+ di
=
(ac+ bd) + (−ad+ bc)i
c2 + d2
(13)
1.2. Exponenciales imaginarias
La exponencial de un número imaginario puede escribirse según1:
eix = cos(x) + i sen(x) (14)
La relación entre esta ecuación y la forma para los números complejos que hemos venido usando
(ver por ejemplo ec. 1) podemos verla a continuación:
z = a+ bi = r[cos(x) + i sen(x)] = reix (15)
Veremos que las exponenciales imaginarias son de gran utilidad a la hora de hablar de ondas y
de fenómenos de scattering. El complejo conjugado de una exponencial imaginaria eix se escribe
como e−ix, ya que se puede demostrar que efectivamente e−ix es un número complejo con la parte
imaginaria cambiada de signo:
e−ix = cos(−x) + i sen(−x) (16)
Si recordamos que el coseno es una función par y el seno una función impar2, podemos obtener el
resultado esperado:
1Para demostrarlo hay que escribir un desarrollo en serie de una exponencial.
2Una función par es aquella que cumple f(x) = f(−x), mientras que para una función impar f(−x) = −f(x)
3
x
−1
0
1
se
n
o
(k
x
) λ——————————————
t
−1
0
1
se
n
o
(ω
t)
T—————————
Figura 1: Función seno como función del espacio (x) y del tiempo (t).
e−ix = cos(x)− i sen(x) (17)
2. Ondas
Una onda es un tipo de movimiento que se propaga y que podemos escribir como algún tipo de
función del espacio y del tiempo, es decir f(x, t). En particular el arquetipo de onda es la función
seno que además es periódica, es decir, que la oscilación se repite. La distancia que requiere la
onda para repetirse se llama longitud de onda, denotada usualmente como λ y que tiene unidades
de distancia, mientras que el tiempo que tarda en cumplir un ciclo se llama periodo T .
La ecuación general de la onda seno puede escribirse como A seno(kx+ ωt+ ϕ), en donde A
es la amplitud (valor máximo de la onda), k el vector de onda, ω la frecuencia angular y ϕ la fase
(que indica el desplazamiento horizontal de la onda).
Si la onda seno ha de repetirse en el espacio cada 2π, puede verificarse que k = 2π/λ, mientras
que la repetición en el tiempo se da para ω = 2π/T . La inversa del periodo se llama frecuencia
(ν) e indica el número de ciclos de la onda por segundo. La frecuencia angular se escribe a veces
en función de la frecuencia, es decir ω = 2πν.
La velocidad de una onda está dada por el producto entre su frecuencia y su longitud de onda,
es decir c = νλ.
En la Figura 2 se muestra la función seno como función de x y como función de t. Notar
que como la onda oscila alrededor del cero la fase es cero. Además el máximo es 1, por lo que la
amplitud es 1.
4
3. La delta de Dirac
La función delta de Dirac, que simbolizaremos como δ(x), resulta de gran utilidad para el estu-
dio de ciertos procesos f́ısicos, como los de dispersión de neutrones con la materia que trataremos
en este curso. Es por ello que le dedicaremos una pequeña sección para definirla y mostrar algunas
de sus propiedades básicas.
La delta de Dirac es una función que vale cero para todos los valores de x, excepto para x = 0,
y cuya integral en todo el espacio de x vale 1. Matemáticamente eso es:
δ(x) = 0 x ̸= 0 (18)
δ(x) = ∞ x = 0 (19)
∫ +∞
−∞
δ(x)dx = 1 (20)
3.1. Propiedades
Scaling
Para una constante α, la delta de Dirac satisface:
δ(αx) =
1
α
δ(x) (21)
Simetŕıa
La función delta es una distribución par, es decir que:
δ(x) = δ(−x) (22)
Traslación
La integral de δ(x− a) multiplicada por una función f(x) es:
∫ +∞
−∞
f(x)δ(x− a)dx = f(a) (23)
3.2. Representación de la delta como una integral
La delta de Dirac puede ser pensada como el caso ĺımite de varias funciones matemáticas, entre
ellas una función rectangular o una función gaussiana en el ĺımite de σ → 0. Una que resultará de
particular interés a la hora de tratar el scattering de neutrones es una representación en términos
de una integral:
5
−4 −2 0 2 4
x
−5
0
5
10
15
20
f
(x
)
k0 = 1
k0 = 5
k0 = 10
Figura 2: Función f(x) = 2sen(k0x)/x para distintos valores de k0.
δ(x) =
1
2π
∫ +∞
−∞
eikxdx (24)
Para demostrar esto podemos comenzar definiendo la función f(x) como:
f(x) =
∫ +k0
−k0
eikxdx (25)
La integral de una función exponencial eax es 1ae
ax. Por lo tanto podemos evaluar directamente
la integral que define f(x):
f(x) =
1
ix
[e+ik0x − e−ik0x] (26)
Si escribimos las exponenciales imaginarias en función de cosenos y senos, como vimos en la sección
de números complejos, nos queda:
f(x) =
1
ix
{cos(k0x) + i sen(k0x)− [cos(−k0x)− i sen(k0x)]} (27)
f(x) =
1
ix
[cos(k0x) + i sen(k0x)− cos(k0x) + i sen(k0x)] (28)
f(x) =
2
x
sen(k0x) (29)
Para relacionar esta función f(x) aparentemente arbitraria con la δ(x) veremos dos caracteŕısticas
de la misma, que son el comportamiento para distintos valores de k0 y su área.
Comencemos con el efecto de k0, Figura 3.2. De forma general la función f(x) tiene un pico
6
para x = 0 de intensidad 2k0, y decae de forma oscilatoria para ±x. El primer cero, que puede
considerarse como una medida cualitativa del ancho del pico a x = 0, ocurre para x = π/k0. El
aumento del valor de k0 produce simultáneamente un pico de mayor intensidad y a la vez menos
ancho, es decir que para k0 → ∞ f(x) se parece más y más a una δ(x).
Veamos ahora el área bajo la curva f(x). La misma se calcula como la integral en todo el
espacio x y queda:
∫ +∞
−∞
f(x) dx =
∫ +∞
−∞
2
x
sen(k0x) dx = 2π (30)
Este resultado nos dice que el área es independiente del valor de k0 y vale siempre lo mismo: 2π.
Con estos dos elementos ya podemos conectar la función f(x), ecuación (25) con la función
delta δ(x), ecuación (24). Por un lado para hacer a f(x) cada vez más similar a una función que
vale +∞ para x = 0 y 0 para cualquier otra valor de x, k0 tiene que ser muy grande, o tender a
infinito. Esto seŕıa equivalente a reemplazar los ĺımites de integración ±k0 en la ecuación (25) por
±∞. Finalmente la función δ(x) tiene un área 1, mientras que vimos que f(x) tiene un valor de
2π,independientemente del valor de k0. Entonces si dividimos la función f(x) por 2π, obtenemos
una función con área 1. Con estos dos cambios la ecuación (25) se convierte en la ecuación (24),
que es lo que queŕıamos demostrar.
4. Transformadas de Fourier
Dada una función f(x) se define su transformada de Fourier g(k) según:
g(k) =
∫ +∞
−∞
f(x)eikxdx (31)
La inversa de esta transformada es:
f(x) =
1
2π
∫ +∞
−∞
g(k)e−ikxdk (32)
aunque en realidad cuál función llamamos directa y cuál inversa es arbitrario. A veces se llama a
f(x) y a g(k) funciones conjugadas, y a x y k variables conjugadas. Como idea cualitativa podemos
pensar que la transformada de Fourier es una forma particular de relacionar dos funciones, en donde
esa relación está dada por la multiplicación por una exponencial imaginaria (con signo positivo
o negativo) e integrando en todo el espacio. La generalización al caso tridimensional para una
función f(x, y, z) seŕıa:
g(k1, k2, k3) =
∫ +∞
−∞
dz
∫ +∞
−∞
dy
∫ +∞
−∞
dx f(x, y, z)eik1xeik2yeik3z (33)
Podemos simplificar esta expresión agrupando las exponenciales y usando el producto escalar entre
7
−6 −4 −2 0 2 4 6
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
f
(x
)
f(x) = 1√
2πσ
e
−x2
2σ2
σ = 1
σ = 2
Figura 3: Función gaussiana.
el vector r⃗ = (x, y, z) y R⃗ = (k1, k2, k3)
3:
g(R⃗) =
∫ +∞
−∞
d3r f(r⃗)eir⃗R⃗ (34)
La inversa es naturalmente:
f(r⃗) =
1
(2π)3
∫ +∞
−∞
d3R g(R⃗)e−ir⃗R⃗ (35)
4.1. Ejemplo: función gaussiana
Una función gaussiana, también llamada distribución normal, se define por la siguiente ecua-
ción:
f(x) =
1√
2πσ
e−x
2/(2σ2) (36)
en donde el punto más alto de la función está dado por el factor multiplicativo de la exponencial
1/(
√
2πσ) y σ se llama valor cuadrático medio y está relacionado con el ancho de la gaussiana.
En la Figure 4.1 se muestra un gráfico de una función gaussiana para dos valores de σ. Además∫ +∞
−∞ f(x) dx = 1, es decir que la función gaussiana está normalizada.
La integral de Fourier seŕıa entonces:
g(k) =
∫ +∞
−∞
1√
2πσ
e−x
2/(2σ2)eikxdx (37)
3El producto escalar entre dos vectores a⃗ = (x1, y1, z1) y b⃗ = (x2, y2, z2) es: a⃗⃗b = x1x2 + y1y2 + z1z2. Entonces
r⃗R⃗ = k1x+ k2y + k3z.
8
4.2. Propiedades
Mencionaremos algunas de las propiedades de las transformadas de Fourier. Como ejemplo
usaremos las funciones conjugadas f(x) y g(k).
Linealidad
Para una constante α, la transformada de Fourier de αf(x) es αg(k). Esto se desprende
directamente de la definición en la ecuación 31.
Scaling
Si α es un número real distinto de cero, la transformada de Fourier de f(αx) es g(k)/α.
Traslación
La transformada de Fourier de f(x+ α) es e−ikαg(k).
Simetŕıas
Las simetŕıas de una dada función f(x) se reflejan también en su transformada de Fourier
g(k). Algunas de ellas son:
f(x) g(k)
real y par real y par
real e impar imaginaria e impar
imaginaria y par imaginaria y par
imaginaria e impar real e impar
Cuadro 1: Algunas simetŕıas de una función y su transformada de Fourier.
5. Mecánica cuántica
La mecánica cuántica surgió hace más de un siglo para explicar fenómenos de la f́ısica que
no pod́ıan ser entendidos en base a las teoŕıas del momento que describ́ıan muy bien el mundo
macroscópico, como por ejemplo el movimiento de los planetas alrededor del sol. El estudio de cier-
tos sistemas o fenómenos que ocurren a nivel microscópico requirieron el desarrollo de una nueva
teoŕıa, la mecánica cuántica. La mecánica cuántica está relacionada por ejemplo con las propie-
dades de los átomos pero también muchos fenómenos macroscópicos reflejan el comportamiento
cuántico de la materia. En las siguientes secciones veremos algunos de los conceptos fundamentales
de la mecánica cuántica.
5.1. Principios de la mecánica cuántica
Función de onda. El estado mecánico cuántico de un sistema está completamente definido
por la función de onda ψ(r⃗, t). Esta función contiene toda la información que es posible
9
conocer del sistema. No cualquier función puede ser una función de onda, ya que existen
ciertos requerimientos (que no demostraremos), como por ejemplo estar valuadas para todo
valor de r⃗ y t, ser continuas y diferenciables.
Probabilidad. ψ(r⃗, t) se interpreta como una amplitud de probabilidad de la presencia de
la part́ıcula. Si la probabilidad de encontrar la part́ıcula en todo el espacio es 1, ya que en
algún lado debe estar, tenemos:
∫
d3r⃗ ψ(r⃗, t)2 = 1 (38)
en donde la integral se extiende a todo el espacio.
Principio de superposición. Si los estados ψ1 y ψ2 son posibles, también lo es su combinación
lineal ψ3: ψ3 = c1ψ1 + c2ψ2, en donde c1 y c2 son constantes.
Ecuación de Schrödinger. La evolución de ψ(r⃗, t) está dada por una ecuación diferencial,
llamada ecuación de Schrödinger:
ih̄
∂
∂t
ψ(r⃗, t) =
−h̄2
2m
∇2ψ(r⃗, t) + V (r⃗, t)ψ(r⃗, t) (39)
en donde V (r⃗, t) es el potencial y ∇ es el operador nabla4. Esta ecuación diferencial es
lineal y homogénea. Debido a esto vale el principio de superposición mencionado en el item
anterior.
Operadores lineales. Todos los observables están descriptos por operadores lineales, que
denotaremos Â, los cuales operan sobre una dada función y devuelven otra. Dos ejemplos
son:
• operador espacio X̂: devuelve la misma función multiplicada por la coordenada x:
X̂ψ(x, y, z) = xψ(x, y, z) (40)
• operador derivada D̂x: devuelve la derivada de la función:
D̂xψ(x, y, z) =
∂
∂x
ψ(x, y, z) (41)
Es posible aplicar más de un operador a la misma función: ÂB̂ψ. En general el orden de los
operadores es importante ya que aplicar primero  y luego B̂ puede ser distinto que aplicar
primero B̂ y luego Â. Este es el caso de los dos operadores dados como ejemplo (X̂ y D̂x).
4∇ = x̂ ∂
∂x
+ ŷ ∂
∂y
+ ẑ ∂
∂z
10
Un operador de gran importancia es el Hamiltoniano Ĥ, que da la enerǵıa total del sistema.
Se define como:
Ĥ =
−h̄2∇2
2m
+ V (r⃗, t) (42)
.
La ecuación de Schrödinger 39 pueder ser reescrita utilizando el Hamiltoniano como:
ih̄
∂
∂t
ψ(r⃗, t) = Ĥψ(r⃗, t) (43)
6. Cristalograf́ıa
Los sólidos pueden clasificarse de acuerdo al ordenamiento de sus part́ıculas constituyentes,
ya sean átomos, moléculas o macromoléculas como las protéınas. Si estas unidades se encuentran
en un arreglo ordenado regular, u orden de largo alcance, se dice que el sólido es cristalino. Caso
contrario estamos ante un sólido amorfo. Como ejemplos, casi cualquier pieza metálica que nos
rodea es cristalina, mientras que el vidrio es un material amorfo.
El arreglo regular de un sólido cristalino puede obtenerse a partir de la repetición de un dado
paraleleṕıpedo, o celda unidad, que posee toda la simetŕıa (orden) del cristal. La celda unidad
queda completamente definida a partir de tres vectores base (⃗a, b⃗, c⃗) y los tres ángulos entre
ellos (α, β y γ). Normalmente se define el tamaño de la celda con los parámetros a, b y c, que
corresponden a las longitudes de los vectores base. Resulta que las celdas posibles no son muchas:
existen sólo 7 tipos de celda tridimensionales, o sistemas cristalinos, que se detallan en el Cuadro
2
Sin embargo nos falta saber en dónde están los átomos ya que la forma del paraleleṕıpedo,
o sistema cristalino, no nos dice nada acerca de eso. Para responder esta cuestión definiremos
primero los puntos de red. En sistemas metálicos simples se puede pensar que un punto de red es
efectivamente un átomo, como el ńıquel o el oro. Pero en sistemas más complejos el punto de red
puede ser una molécula o una protéına. Entonces al hablar de forma general de una celda unidad,
sistema cristalino celda unidad usual tipos de centrado
cúbico a = b = c α = β = γ = 90° p, b, f
hexagonal a = b ̸= c α = β = 90°, γ = 120° p
trigonal a = b ̸= c α = β = 90°, γ = 120° p, r
tetragonal a = b ̸= c α = β = γ = 90° p, i
ortorrómbico a ̸= b ̸= c α = β = γ = 90° p, c, i, f
monocĺınico a ̸= b ̸= c β ̸= α = γ = 90° p, c
tricĺınicoa ̸= b ̸= c α ̸= β ̸= γ p
Cuadro 2: Sistemas cristalinos en tres dimensiones. p: primitivo, i: centrado en el cuerpo, f: centrado
en las caras, c: centrado en algunas caras, r: centrado romboédrico.
11
más que hablar de átomos hablaremos de puntos de red para no perder generalidad, entendiéndose
a qué corresponde dicho punto según el sistema que se esté estudiando.
La información acerca de dónde están ubicadas las “entidades”que componen el cristal está
dada por el centrado, que no es nada más que decir en dónde hay puntos de red dentro de la celda
unidad. El caso más sencillo, llamado centrado primitivo, seŕıa que hubiera un punto de red sólo
en los vértices de la celda unidad. En total existen cinco tipos de centrado, que combinados con
los siete sistemas cristalinos da lugar a las 14 redes de Bravais, ver Cuadro 2.
6.1. Red rećıproca
Para algunas aplicaciones resulta útil definir para una dada red de Bravais (que llamaremos
directa), su red rećıproca, que es también una red de Bravais. Matemáticamente esto se hace
según:
A⃗ = 2π
b⃗× c⃗
v0
(44)
B⃗ = 2π
c⃗× a⃗
v0
(45)
C⃗ = 2π
a⃗× b⃗
v0
(46)
en donde v0 es el volumen de la celda directa. Es decir que aśı como la celda unidad de la red
directa está definida por tres vectores (⃗a, b⃗ y c⃗), la celda de la red rećıproca también (A⃗, B⃗ y C⃗).
12
	Números complejos
	Álgebra con números complejos
	Exponenciales imaginarias
	Ondas
	La delta de Dirac
	Propiedades
	Representación de la delta como una integral
	Transformadas de Fourier
	Ejemplo: función gaussiana
	Propiedades
	Mecánica cuántica
	Principios de la mecánica cuántica
	Cristalografía
	Red recíproca