21-MAS-Pendulo simple

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TEMA
21
 
38 ANUAL EGRESADOS
MOVIMIENTO ARMÓNICO 
SIMPLE – PÉNDULO SIMPLE
MOVIMIENTO OSCILATORIO 
Es aquel movimiento de ida y vuelta.
Ejemplo: Un columpio realiza un movimiento oscilatorio.
MOVIMIENTO PERIÓDICO 
Es aquel movimiento que se repite cada cierto tiempo.
Ejemplo: El movimiento de rotación de la tierra respecto 
de su eje.
DEFINICIÓN DEL M.A.S 
Es aquel movimiento periódico y oscilatorio, realizado 
por un cuerpo móvil sobre una recta.
Oscilación.- Es el movimiento de ida y vuelta que 
realiza el móvil, recorriendo su trayectoria completa.
Periodo (T).- Es el tiempo que transcurre para una 
oscilación completa.
Unidades(S.I.): T. Segundos
Frecuencia (f).- Es el número de oscilaciones efectuadas 
en cada unidad de tiempo.
t
esoscilacion de #=f # de oscilaciones
Unidades: S.I.
HzHertzs
s
f ==== 1-1 Hz
La frecuencia es la inversa del periodo:
T
1
f =
◊	 ELEMENTOS	DEL	M.A.S.	
Elongación (x).- Es la distancia medida desde la 
posición de equilibrio hasta el lugar donde se encuentra 
el móvil en un instante cualquiera.
Posición de Equilibrio (P.E.).- Es el punto situado en la 
mitad de la trayectoria total.
Amplitud (A).- Es la distancia entre la posición de 
equilibrio y cualquiera de los extremos de la trayectoria.
La amplitud es la máxima elongación.
(Amplitud = Radio)
◊	 RECORDEMOS	 ALGUNAS	 DEFINICIONES	 DEL	
M.C.U.:	
θ
A
B
Tangente vT
acp
ω
S
Velocidad Angular:
T
rad.2p
=ω ……………… f.2p=ω
Velocidad Tangencial: R.VT ω=
Aceleración Centrípeta: R.
R
V
a 2
2
T
cp ω==acp
El M.A.S. es la proyección de un movimiento circular 
uniforme (M.C.U.) sobre una línea recta.
CINEMÁTICA DEL M.A.S 
1. Elongación del M.A.S. (x).- Se deduce proyectando 
el radio “R” del MCU sobre la horizontal.
sen( )x A tω ϕ= +
Donde:
x: elongación (Desplazamiento)
A: amplitud 
ω: frecuencia angular o circular
t: tiempo (transcurrido desde el inicio)
φ: fase inicial ó constante de fase
(ωt+φ): fase 
En el M.C.U. “ω” se denomina frecuencia angular.
◊	 VELOCIDAD	DEL	M.A.S	(V)	
Es la proyección de la velocidad tangencial del MCU 
sobre la horizontal.
cos( )v A tω ω ϕ= +
◊	 ACELERACIÓN	DEL	M.A.S	(A)	
Es la proyección de la aceleración centrípeta del MCU 
sobre la horizontal
2 ( )a Asen tω ω ϕ= +
FÍSICA
 
39 ANUAL EGRESADOS
DEDUCCIONES: 
◊ 1.	 VELOCIDAD	DEL	M.A.S	
22 xAv -ω±=
El signo de v dependerá de su respectivo sentido.
◊ 2.	 ACELERACIÓN	DEL	M.A.S	
xa 2ω±=
En el P.E. (x=0)
En los extremos 
(x=A)
A.vmax ω=
0amin =
0vmin =
Aa 2max ω=
SISTEMA MASA RESORTE 
X
-A A
V=0P.E.
Movimiento de vuelta 
VV=0
T/2
T/2
Recordemos que:
x..mF 2ω−=∑ ΣF = -kx
Igualando, tenemos:
x.kx..m 2 −=ω− 
Simplificando, tenemos:
m
K2 =ω ………… 
m
K
=ω ... (♠)
Obtenemos la frecuencia circular para un resorte:
◊	 PERIODO	DE	UN	M.A.S.	(MASA	-RESORTE)	
Remplazando 
T
2p
=ω en (♠), tenemos:
m
k
T
2
=
p
 ………… 
K
m
2T p=
Está formula solamente se usará para calcular 
el periodo de una masa sujeta a un resorte en 
oscilación longitudinal (a lo largo de su longitud).
◊	 ASOCIACIÓN	DE	MUELLES	ELÁSTICOS	
•	 MUELLES EN SERIE.- Cuando el desplazamiento 
(x) es acumulativo.
m
xe
Fek1 k2
21e xxx += ...(I)
Para muelles elásticos recordemos:
F = kx 
k
F
x = ...(II)
(II) en (I): 
2
2
1
1
e
e
k
F
k
F
k
F
+= ...(III)
21e FFF ==
En (III): 
21e k
1
k
1
k
1
+=
Para varios muelles en serie se empleara:
n321e k
1
...
k
1
k
1
k
1
k
1
++++=
◊	 PARA	DOS	RESORTES	EN	SERIE:	
21
12
e k.k
kk
k
1 +
= en SERIE
•	 MUELLES EN PARALELO.- Cuando la fuerza es 
acumulativa.
k1
k2
xe
Fem
21e FFF += ...( I )
Usamos: F = kx
2211ee xkxkxk += ...(II)
21e xxx +=
Simplificando en (II), tenemos:
21e kkk +=
Para varios muelles en paralelo se empleara:
n321e k...kkkk ++++=
◊	 ENERGÍA	MECANICA	EN	UN	M.A.S.	
Las energías mecánicas frecuentes son: Potencial 
(debido a su elongación) y cinética (debido a su 
velocidad).
x
m
v
P.E.
FÍSICA
 
40 ANUAL EGRESADOS
*Energía potencial: 2P kx2
1
E = kx
*Energía cinética: 2k mv2
1
E = mv
La energía total será:
22
TOTAL mv2
1
kx
2
1
E += kx mv ...(α)
 OBSERVACIÓN:
La energía total )E( T es:
a. En el extremo: x=A... 0Vmin =
 Remplazando en (α), tenemos:
 2
TOTAL kA2
1
E = kA (Energía Total)
b. En el punto de equilibrio: x=0 y la velocidad es 
máxima: AVmax ω=
 Remplazando en (α), tenemos:
 
2
maxTOTAL mv2
1
E = mv (Energía Total)
Por lo tanto, en cualquier punto del M.A.S. se cumple 
que: 
LA ENERGÍA TOTAL SE CONSERVA
Esto significa que la energía total tiene un solo valor 
en cualquier punto del MAS y se puede calcular con 
cualquiera de la siguientes formulas:
1. 2maxTOTAL mv2
1
E = mv
2. 2TOTAL KA2
1
E = kA
3. 22TOTAL mv2
1
kx
2
1
E += kx mv
Recuerde que al remplazar en cualquiera de estas 
tres fórmulas obtendrá un valor, que es la energía 
total y en los y tres casos es el mismo valor, quiere 
decir entonces que la energía se conserva.
PÉNDULO SIMPLE 
Un péndulo simple o matemático es aquel dispositivo 
mecánico constituido por una pequeña esfera o disco (para 
disminuir la resistencia del aire), la cual esta suspendida 
de un hilo inextensible y de masa despreciable.
La utilidad de un péndulo simple radica en su movimiento 
oscilatorio – periódico, para lo cual requiere ciertas 
condiciones:
mgse
n
mg
cos
m
T
ll
PE.
-x +X
g
En el D.C.L. de “m”, se nota que : Si “θ” es muy 
pequeño entonces el péndulo prácticamente solo se 
mueve horizontalmente debido la fuerza recuperadora 
horizontal: FR= mgsenθ , la cual es directamente 
proporcional a (senθ) y no a la posición o elongación “x”.
Luego, si consideramos 10º, podemos aproximar:





=→
==
l
xmgF
l
xsen
R 
θθ
mg
de esta ecuación note que (FR) D.P (x) por consiguiente 
estaríamos frente a un M.A.S., donde:
( )
( )
g
enemplazando
Tm
l
g
l
xmgxm
l
xmgamF SAMR
l2T
(*) Re
2k :M.A.S. del pero,
* ..... 
.
..
2
..
p
pω
ω
ω
=
==
==





==





== mg
mg
Reemplazando en
(Periodo del péndulo simple)
T: No depende de la masa y se mide en segundos 
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un sismo es básicamente la propagación de una onda 
deformación de las capas terrestres. En este contexto 
un pequeño edificio oscila verticalmente como un 
bloque resorte con una frecuencia de 10 HZ. Hallar la 
constante k del edificio si éste tiene una masa de 50 
toneladas (50x104Kg). (Considere π2= 10)
FÍSICA
 
41 ANUAL EGRESADOS
◊	 SOLUCIÓN:	
La frecuencia de un sistema bloque resorte es: 
De donde: 
 k = 4π2 f2 m 
 k = 4x10x102 50x104 N/m 
k = 2x109 N/m
Rpta.: 2 x 109 N/m
2. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes 
proposiciones en relación al MAS:
I. El movimiento del bloque, en el sistema bloque - re-
sorte, es del tipo MRUV.
II. Un sistema tiene MAS si su frecuencia no depende 
de la amplitud.
III. En un MAS el periódo del movimiento varia conti-
nuamente.
◊	 SOLUCIÓN:
I. F: (La aceleración varía con la proposición: 
 a = ω2 . x
II. 
1 k
v : (f )
2 m
=
p
III. F: (T constante T = 1/f)
Rpta.: FVF
3. Un sistema bloque - resorte está constitudo de 
bloque de masas m1 = 300g y otro de masa m2, tal 
cocmo muestra la figura. El sistema está inicialmente 
oscilando con MAS con una frecuencia f. Súbitamente 
el bloque de masa m2 escapa del sistema y la 
fecuencia de oscilación del nuevo sistema se duplica. 
Determina la masa m2.
◊	 SOLUCIÓN:
Frecuencia inicial: 
1 2
1 k
f
2 m m
=
p +
 (1)
Nueva frecuencia: 
1
1 k
2f
2 m
=
p
 (2)
De (1) y (2), resulta: 3m1= 900 g
Rpta.: 900 g
1 k
f
2 m
=
p
PRÁCTICA DIRIGIDA
1. Con relación al movimiento armónico simple (MAS) 
de un sistema bloque resorte, indicar la verdad (V) o 
falsedad de las siguientes proposiciones:
I. La fuerza resultante sobre el bloque siempre está 
dirigida hacia la posición de equilibrio y tiene direc-
ción opuesta a su desplazamiento.
II. La fuerza resultante que actúa sobre el bloquetiene magnitud máxima cuando la velocidad del 
cuerpo es nula.
III. La energía del sistema bloque – resorte depende 
de la amplitud del MAS.
A) VFF B) FVF 
C) VFV D) VVV
2. Una partícula realiza un movimiento armónico simple 
habiendo iniciado su movimiento en el instante t = 
0, partiendo desde su posición de equilibrio. ¿Qué 
fracción del periodo ha transcurrido en el instante en 
que la partícula se encuentra por primera vez a una 
distancia igual a la mitad de la amplitud desde su 
posición de equilibrio?
A) 1/3 B) 1/8
C) 1/12 D) 1/16
3. Un sistema masa – resorte oscila reposa sobre una 
superficie horizontal sin fricción. Se estira el resorte 
una distancia xo ; inmediatamente de soltar la masa, 
esta describe un movimiento armónico simple (MAS). 
Indicar la expresión incorrecta
A) La velocidad del bloque en los extremos de oscila-
ción siempre es nula
B) La energía total del sistema es independiente de 
su masa
C) La fuerza resultante sobre el bloque es diferente de 
cero en todos los puntos de la trayectoria 
D) Si existiera fricción la masa no describiría un MAS
4. Un oscilador armónico vertical se construye fijando 
una bolita de masa m al extremo de un resorte 
de constante K, suspendido por el otro extremo 
del techo. El resorte se estira y la bolita realiza 
un movimiento armónico simple (no considerar 
la fricción del aire). Determine la veracidad de las 
siguientes proposiciones:
I. Debido a la fuerza gravitacional, la bolita siempre 
está sometida a una fuerza neta no nula
II. La velocidad y la aceleración siempre están en sen-
tidos contrarios
III. La bolita se detendrá cuando llegue a una posición 
de equilibrio 
FÍSICA
 
42 ANUAL EGRESADOS
A) VVV B) FFV
C) FVF D) FFF 
5. Un sistema masa – resorte oscila de manera que 
la posición de la masa está dada por x = 0,5Sen(2p 
t), donde “t” se expresa en segundos y “x” en metros. 
Calcule la rapidez, en m/s, de la masa cuando x = - 0,3m
A) 0,2p B) 0,4p
C) 0,6p D) 0,8p 
6. Con respecto al movimiento armónico simple de un 
péndulo simple, indicar la verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones:
I. Si el periodo de un reloj de péndulo tiene un perio-
do de 1s y su longitud aumenta en una pequeña 
fracción, el reloj se adelanta.
II. Si la masa de del péndulo de un reloj aumenta, el 
reloj se retrasa.
III. Si un péndulo se libera con un desplazamiento 
angular muy pequeño θ y otro péndulo idéntico 
se libera con un desplazamiento angular θ/2, en-
tonces el primero tiene mayor periodo de oscila-
ción que el segundo
A) FFF B) VFV
C) VVF D) FVF
7. Si la longitud de un péndulo simple aumentase en 
2m, su periodo se triplicaría. La longitud del péndulo 
en metros es de:
A) 0,25 B) 2,00
C) 2,25 D) 4,00
8. Un resorte de constante elástica k y masa 
despreciable cuelga del techo. Si le colgamos en 
el extremo inferior libre un cuerpo y lo soltamos 
comienza a oscilar con un período T ¿Cuánto vale la 
amplitud A de sus oscilaciones?
A) B) 
C) D) 
9. Un reloj de péndulo en la tierra marca la hora exacta; si 
se lleva a un planeta donde la gravedad es la novena 
parte de la tierra. En dicho planeta, luego de 1 hora:
A) Se adelanta 1/3 h B) Se atrasa 3 h
C) Se adelanta 3 h D) Se atrasa 1/3 h
10. Se tiene dos péndulos simples de longitudes L1 y L2. 
Si el segundo realiza el triple de oscilaciones que 
realiza el primero, empleando todavía la mitad del 
tiempo que éste emplea. Determine la relación L1 y L2.
A) 1/4 B) 1/6
C) 4/3 D) 1/36
11. Un sismo es básicamente la propagación de una onda 
deformación de las capas terrestres. En este contexto 
un pequeño edificio oscila verticalmente como un 
bloque - resorte con una frecuencia de 10 Hz. Hallar 
la constante k del edificio si éste tiene una masa de 50 
toneladas (50 . 104kg ). (Considere p2 = 10)
A) k = 2 .109 N/m B) k = 4 . 109 N/m 
C) k = 45 . 109 N/m D) k = 8 . 109 N/m
12. Con relación al movimiento ondulatorio, indicar la verdad 
(V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. La longitud de onda, la frecuencia y la amplitud son 
elementos diferentes de una onda
II. La velocidad de una onda depende de la amplitud
III. La frecuencia de una onda depende de las propie-
dades del medio
A) FFV B) VFF
C) FVV D) FFF
13. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes 
proposiciones en relación al MAS: 
I. El movimiento del bloque, en el sistema bloque –re-
sorte, es del tipo MRUV. 
II. Un sistema tiene MAS, si su frecuencia no depen-
de de la amplitud. 
III. En un MAS el periodo del movimiento varía conti-
nuamente.
A) VVV B) VFV 
C) VFF D) FVF
14. Muchos relojes antiguos utilizaban un péndulo para 
medir el tiempo. El periodo de un péndulo simple es 
de 10s, ¿Cuál será su periodo si la longitud de la 
cuerda se duplica. (g = 10 m/s2) 
A) 14 s B) 10 s
C) 2 s D) 5 s
15. Un péndulo simple se encuentra dentro de un auto 
el cual se desplaza con velocidad constante. En este 
contexto indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes proposiciones: 
I. El periodo del péndulo varía respecto al auto en 
reposo
II. El periodo del péndulo no varía. 
III. El periodo del péndulo puede depender de la acele-
ración pero no de la velocidad del auto. 
A) FVV B) VFF 
C) VFV D) FVF