Aritmética

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ÍndiceÍndice
Adición.................................................................................................................................5
Sustracción y multiplicación..................................................................................................16
División................................................................................................................................27
Divisibilidad I..........................................................................................................................35
Divisibilidad II.........................................................................................................................44
Números primos.....................................................................................................................54
Números primos II..................................................................................................................64
Máximo común divisor...........................................................................................................74
Mínimo común múltiplo (MCM).............................................................................................84
Números racionales I.............................................................................................................93
Números racionales II..........................................................................................................104
Razones y proporciones.......................................................................................................114
Serie de razones geométricas equivalentes........................................................................125
Magnitudes proporcionales..................................................................................................135
Aplicaciones de magnitudes proporcionales.......................................................................145
Regla del tanto por ciento...................................................................................................155
Tanto por ciento II................................................................................................................164
Interés simple.......................................................................................................................174
Promedios...........................................................................................................................183
Regla de mezcla...................................................................................................................193
Estadística...........................................................................................................................204
Estadística II........................................................................................................................217
Análisis combinatario...........................................................................................................226
5Colegio Particular 77
¿Qué es un cuadrado mágico?
Un cuadrado mágico se obtiene colocando una serie de números naturales en 
una matriz cuadrada de tal forma que todas las filas, todas las columnas y las 
diagonales sumen el mismo número: la constante mágica. Generalmente sue-
len colocarse los números entre 1 y n2, siendo n el número de filas y columnas 
del cuadrado. A este número n se le denomina orden del cuadrado mágico.
Formando un cuadrado mágico de orden n de esta forma la suma de cada fila, cada columna 
y cada diagonal es
( )2 1
S
2n
n n +=
Una pregunta bastante lógica en ese punto es: ¿cuántos cuadrados mágicos de cada orden se 
pueden formar? Muy sencillo: de orden 3 hay esencialmente solo un cuadrado mágico (los 
demás que podríamos formar surgen de rotar o reflejar este)
Para los de orden 4 Frenicle De Bessy estableció en 1693 que existen 880 cuadrados mági-
cos. Más adelante se ha demostrado que existen 275 305 224 cuadrados mágicos de orden 5. 
Para órdenes más grandes solo se tienen estimaciones.
Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Bachet
Otro método para construir cuadrados mágicos de orden impar es el denominado método 
de Bachet. Veamos en qué consiste construyendo también un cuadrado mágico de orden 5.
Dibujamos un cuadrado de 5×5. A partir de ahí disponemos los números del 1 al 25 como 
muestra la siguiente figura:
4
5
10
9
1 7 13
6 12
3
2 8
11 17
16
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18 24
15
14 20
23
22
21
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce el tema y su aplicación en algunos casos particulares.
 ¾ Aplica las sumas notables en la resolución de situaciones concretas.
ADICIÓN
3 5
4 9
8 1
7
2
6
77
¿Qué es un cuadrado mágico?
Un cuadrado mágico se obtiene colocando una serie de números naturales en 
una matriz cuadrada de tal forma que todas las filas, todas las columnas y las 
diagonales sumen el mismo número: la constante mágica. Generalmente sue-
len colocarse los números entre 1 y n2, siendo n el número de filas y columnas 
del cuadrado. A este número n se le denomina orden del cuadrado mágico.
Formando un cuadrado mágico de orden n de esta forma la suma de cada fila, cada columna 
y cada diagonal es
( )2 1
S
2n
n n +=
Una pregunta bastante lógica en ese punto es: ¿cuántos cuadrados mágicos de cada orden se 
pueden formar? Muy sencillo: de orden 3 hay esencialmente solo un cuadrado mágico (los 
demás que podríamos formar surgen de rotar o reflejar este)
Para los de orden 4 Frenicle De Bessy estableció en 1693 que existen 880 cuadrados mági-
cos. Más adelante se ha demostrado que existen 275 305 224 cuadrados mágicos de orden 5. 
Para órdenes más grandes solo se tienen estimaciones.
Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Bachet
Otro método para construir cuadrados mágicos de orden impar es el denominado método 
de Bachet. Veamos en qué consiste construyendo también un cuadrado mágico de orden 5.
Dibujamos un cuadrado de 5×5. A partir de ahí disponemos los números del 1 al 25 como 
muestra la siguiente figura:
4
5
10
9
1 7 13
6 12
3
2 8
11 17
16
19 25
18 24
15
14 20
23
22
21
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce el tema y su aplicación en algunos casos particulares.
 ¾ Aplica las sumas notables en la resolución de situaciones concretas.
ADICIÓN
3 5
4 9
8 1
7
2
6
1
77
¿Qué es un cuadrado mágico?
Un cuadrado mágico se obtiene colocando una serie de números naturales en 
una matriz cuadrada de tal forma que todas las filas, todas las columnas y las 
diagonales sumen el mismo número: la constante mágica. Generalmente sue-
len colocarse los números entre 1 y n2, siendo n el número de filas y columnas 
del cuadrado. A este número n se le denomina orden del cuadrado mágico.
Formando un cuadrado mágico de orden n de esta forma la suma de cada fila, cada columna 
y cada diagonal es
( )2 1
S
2n
n n +=
Una pregunta bastante lógica en ese punto es: ¿cuántos cuadrados mágicos de cada orden se 
pueden formar? Muy sencillo: de orden 3 hay esencialmente solo un cuadrado mágico (los 
demás que podríamos formar surgen de rotar o reflejar este)
Para los de orden 4 Frenicle De Bessy estableció en 1693 que existen 880 cuadrados mági-
cos. Más adelante se ha demostrado que existen 275 305 224 cuadrados mágicos de orden 5. 
Para órdenes más grandes solo se tienen estimaciones.
Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Bachet
Otro método para construir cuadrados mágicos de orden impar es el denominado método 
de Bachet. Veamos en qué consiste construyendo también un cuadrado mágico de orden 5.
Dibujamos un cuadrado de 5×5. A partir de ahí disponemos los números del 1 al 25 como 
muestra la siguiente figura:
4
5
10
9
1 7 13
6 12
3
2 8
11 17
16
19 25
18 24
15
14 20
23
22
21
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
1
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce el tema y su aplicación en algunos casos particulares.
 ¾ Aplica las sumas notables en la resolución de situacionesconcretas.
ADICIÓN
3 5
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2do Año
6 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
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compendio de ciencias i
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ática
Ahora colocamos los números que han quedado fuera del cuadrado en las posiciones opuestas que quedaron libres. 
Queda el siguiente cuadrado: 
3 16 9 22 15
20 8 21 14 2
7 25 13 1 19
24 12 5 18 6
11 4 17 10 23
Ejemplo 1
Julio tiene S/254 y Patty S/300. Juntos en total, ¿cuánto 
tienen?
Resolución
Sabemos que para hallar el total tenemos que 
+ =
Sumandos Suma
254 300 554
 
Por lo tanto, juntos tendrán S/554.
En general

+ + + + =1 2 3
SumaSumandos
... S

na a a a
Ejemplo 2
Halle el valor de la suma abc + cab + bca si 
(a + b + c)2 = 169
Resolución
Si (a + b + c)2 = 169, entonces a + b + c = 13.
Se recomienda colocar los sumandos en columna
1 1
a b c +
c a b 
b c a 
1 4 4 3
Ejemplo 3
Analicemos la siguiente adición: 
352 + 885
ADICIÓN
Resolución
 
8 8 9 (10)
3 5 2 (10) +
1 1 1
1 2 4 1(10)
 ¾ En las unidades
 
Formamos un grupo 
de 10 y sobra 1; llevo 
1, coloco 1.2 + 9 = 11 = 1 × 10 + 1
QuedaLlevo
 ¾ En las decenas
Formamos un grupo 
de 10 y sobra 4; llevo 
1, coloco 4.1 + 5 + 8 = 14 = 1 × 10 + 4
QuedaLlevo
 ¾ En las centenas
Formamos un grupo 
de 10 y sobra 2; llevo 
1, coloco 2.1 + 3 + 8 = 12 = 1 × 10 + 2
QuedaLlevo
 ¾ En las unidades de millar
 Se coloca lo que llevaba (1).
Recuerda
Que si estamos en base 10 agrupamos de 10 
en 10.
Helicoteoría
Aritmética
7Colegio Particular
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2.o GrAdo compendio de cienciAs i
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1. Adición en otra base
Ejemplo
Calcule la siguiente suma:
S = 835(9)+461(9)
4 6 1 (9)
8 3 5 (9) +
1 4 0 6(9)
Observación
La adición en otras bases solo se da si los sumandos están 
en la misma base.
 ¾ En el primer orden
No podemos formar 
ningún grupo de 9, solo 
colocamos 6.5 + 1 = 6 = 0 × 9 + 6
Queda
 ¾ En el segundo orden
Formamos un grupo de 
9 y no sobra nada; llevo 
1, coloco 0.
3 + 6 = 9 = 1 × 9 + 0
 ¾ En el tercer orden
 
Formamos un grupo de 
9 y no sobra nada; llevo 
1, coloco 4.
1 + 8+4 =13=1 × 9 + 4
 ¾ En el cuarto orden 
 Coloco lo que llevaba (1).
2. Sumas notables
 Ejemplo
 Mayra ahorra cada fin de semana un S/1 más de 
la semana anterior. Si empezó a ahorrar el primer 
día un sol y así sucesivamente durante 16 semanas, 
¿cuánto ahorró en total?
 Resolución
 Hallaremos el valor de S.
 
+
S = 1 + 2 + 3 + 4 +...+15 + 16 
S = 16 + 15 + 14 +......+ 2 + 1
2S = 17 + 17 +.........+ 17 + 17
16 sumandos
2S = 16 × 17 → 16 17S 136
2
×= =
Ahorró S/136.
 ¾ Suma de los primeros números enteros positivos.
S = 1 + 2 + 3 +...+ n
( 1)
S
2
n n +=
 Ejemplo
 S = 1 + 2 + 3 +...+ 16
 
16 17
S 136
2
×= =
 ¡Ahora tú!
 S = 1 + 2 + 3 +...+ 50
 S = _________________________
 ¾ Suma de los primeros pares enteros positivos.
S = 2 + 4 + 6 +...+ 2n
S ( 1)n n= +
 Ejemplo
 S = 2 + 4 + 6 +...+ 24
Observación
2n = 24
n = 12
 S = 12(12 + 1) = 156
 ¡Ahora tú!
 S = 2 + 4 + 6 +...+ 40
 S = ___________________
 ¾ Suma de los primeros números impares enteros 
positivos.
 S = 1 + 3 + 5+...+(2n – 1)
2S n=
 Ejemplo
 S = 1 + 3 + 5 +...+ 23
Observación
2n – 1 = 23 → n = 12 → S = 122 = 144
 ¡Ahora tú!
 S = 1 + 3 + 5 +...+ 31
 S = ____________________
2do Año
8 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
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 ¾ Suma de los primeros cuadrados perfectos en-
teros positivos.
S = 12 + 22 + 32 +...+ n2
 
( 1)(2 1)
S
6
n n n+ +=
 Ejemplo
 S = 12 + 32 + 52 +...+ 100
Observación
n2 = 100 → n = 10
+ × += =10(10 1)(2 10 1)S 385
6
 ¾ En la progresión aritmética
t1, t2, t3,..., tn
n términos
S=t1+t2+t3+...+tn
+ =  
 
1S
2
nt t n
 Ejemplo
4; 7; 10;...; 40
Una progresión aritmética 
de 13 términos
4 40
S 13 286
2
+ = × = 
 
Aritmética
9Colegio Particular
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2.o GrAdo compendio de cienciAs i
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B
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S
S 
=
 1
+
2+
3+
..
.+
n 
S 
=
 1
+
3+
5+
..
.+
(2
n–
1)
 
1 2 3 4
S 
=
 2
+
4+
6+
..
.+
(2
n)
 
S S S S 
6 
n(
n+
1)
(2
n+
1)
S 
=
 1
 +
2 
+
3 
+
..
.+
n 
2
2
2
2
2
n(
n+
1)
nn(
n+
1)
2
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 0
 :
 8
+
1+
4=
13
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 1
 :
 7
+
5+
8=
20
O
rd
en
 3
 :
 3
+
2+
9=
14
1 0
2 4 6
1 1
1
3
1 
 01
 
4
3
2
1
0
3
O
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en
O
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en
O
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en
3
111
0
22
1
857
23
3
1
69
1
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S=
37
8+
25
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2do Año
10 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
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1. Si a+b+c=7, calcule abc(5)+ bca(5) +cab(5) sin 
cambiar la base.
 Resolución
b c a (5)
c a b (5)
a b c (5) +
1 1 1
Se agrupa 
de 5 en 5
Llevo
1 3 3 2(5)
 ¾ En el primer orden
 
Formamos un grupo de 
5 y sobra 2; llevo 1 y 
coloco 2.
c+a+b = 1×5+2
 ¾ En el segundo orden
Formamos un grupo de 
5 y sobra 3; llevo 1 y 
coloco 3.
b+c+a + 1 = 1×5+3
 ¾ En el tercer orden
Formamos un grupo de 
5 y sobra 3; llevo 1 y 
coloco 3.
a+b+c+1 = 1×5+3
 ¾ En el cuarto orden 
 Coloco lo que llevaba (1).
 Rpta.: 1332(5)
2. Halle las tres últimas cifras de
P=2+22+222+2222+...+22...22
103 cifras
 Resolución
 Lo ordenamos
 2
 2 2
 2 2 2
 2 2 2 2
	 					
	 					
22 ... 222
+
103
sumandos
...mnp
 Como piden las tres últimas cifras
 
...m n p
 4 4 6
U:103×2=206 → 2 0 6 +
D:102×2=204 → 2 0 4
C:101×2=202 → 2 0 2
Rpta.: 446
3. Efectúe
 
1+1+2+3+3+5+4+7+...
40 sumandos
 Resolución
 Se observa que se puede ordenar los sumandos en 
dos grupos.
 ¾ Números consecutivos (20 primeros)
 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 20
 
20(20 1)
S 210 ...(1)
2
+= =
 ¾ Números impares consecutivos (20 primeros)
1+3+5+7+...+39 +1
÷2
40
n=20
S = 202
S = 400
∴ 210 + 400 = 610
Rpta.: 610
4. Si a; b y c son dígitos distintos, ninguno de ellos igual 
a 0, determine cuántos valores distintos puede tomar 
la suma: abc+bca+cab.
ONEM 2015 FASE 1
 Resolución
 a, b y c son digitos diferentes
 ¾ Suma mínima
1+2+3=6
 ¾ Suma máxima
9+8+7=24
 ¾ Cantidad de sumas distintos
 ∴ 24 – 6+1=19
 Rpta.: 19
Problemas resueltos
Aritmética
11Colegio Particular
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2.o GrAdo compendio de cienciAs i
13
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1. Si a+b+c=13, calcule aaa+bbb+ccc.
2. De la operación
 1a4a+5cb7=6809
 calcule a+b+c.
3. Juan tiene en su agenda los siguientes gastos:
 ¾ Útiles escolares: abab
 ¾ Pasajes : bb
 ¾ Menú : aa
 ¾ Pensión : baba
 Además anotó que a+b = 12. Determine a cuánto 
ascienden sus gastos
4. Paolo le dice a Messi:
 “Si multiplicas por 7 los goles que metí esta semana da 
35. Messi le responde: si divides 40 por la cantidad de 
goles que metiste, da la cantidad de goles que metí pero, 
la diferencia de los goles que metimos es igual a los go-
les que metió Ronaldo”. Calcule aa + bb +cc, siendo 
a, b y c la cantidad de goles de Paolo, Messi y Ronaldo.
5. Si a+b+c=12, calcule aa(6)+bb(6)+cc(6).
6. Si 
 A – B=...16(8)B – C=...17(8)
 C – D=...42(8)
 calcule la suma de las dos últimas cifras de A – D.
7. Si el triple de m es 12, 8 veces a es 16 y 
+
=
2
m a
n , calcule mna+an +mn.
8. Si 4ab7+a9b1=8a6b, calcule a2+b2.
 
Sesión I
5. En cada círculo de la siguiente figura se escribe un nú-
mero entero positivo de tal modo que la suma de los 3 
números ubicados en los vértices de cualquier triángulo 
pequeño es siempre igual a 5. Halle el mayor valor 
que puede tomar la suma de todos los números.
ONEM 2015 FASE 1
 Resolución
 
1
3
3
3
1 1
1
 Sumamáx=13
 Rpta.: 13
Helicopráctica
www.freeprintablepdf.eu
2do Año
12 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
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compendio de ciencias i
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ática
Nivel I
1. En la siguiente operación:
 35ab+b53c = cd08
 calcule a+b+c+d.
 Resolución
2. Halle el máximo valor de a+b+c a partir de la ope-
ración
ab4+ba+1c=281
 Resolución
Nivel II
3. Camila tiene apuntado en su agenda:
Rubro Dinero
Alimentos ca45
Gastos en el colegio 5ba
Gastos de luz+agua+
agua+cable+internet
47b
Ahorro 8c
Total 2bbc
 Determine cuántos es su gasto total.
 Resolución
4. Siendo a, b y c, números de una sola cifra y la suma 
de ellos es 16, calcule abc + bca + cab
 Resolución
Helicotaller
2.o Grado
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compendio de ciencias i
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ática
Nivel I
1. En la siguiente operación:
 35ab+b53c = cd08
 calcule a+b+c+d.
 Resolución
2. Halle el máximo valor de a+b+c a partir de la ope-
ración
ab4+ba+1c=281
 Resolución
Nivel II
3. Camila tiene apuntado en su agenda:
Rubro Dinero
Alimentos ca45
Gastos en el colegio 5ba
Gastos de luz+agua+
agua+cable+internet
47b
Ahorro 8c
Total 2bbc
 Determine cuántos es su gasto total.
 Resolución
4. Siendo a, b y c, números de una sola cifra y la suma 
de ellos es 16, calcule abc + bca + cab
 Resolución
Helicotaller
2.o Grado
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compendio de ciencias i
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ática
Nivel I
1. En la siguiente operación:
 35ab+b53c = cd08
 calcule a+b+c+d.
 Resolución
2. Halle el máximo valor de a+b+c a partir de la ope-
ración
ab4+ba+1c=281
 Resolución
Nivel II
3. Camila tiene apuntado en su agenda:
Rubro Dinero
Alimentos ca45
Gastos en el colegio 5ba
Gastos de luz+agua+
agua+cable+internet
47b
Ahorro 8c
Total 2bbc
 Determine cuántos es su gasto total.
 Resolución
4. Siendo a, b y c, números de una sola cifra y la suma 
de ellos es 16, calcule abc + bca + cab
 Resolución
Helicotaller
2.o Grado
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t
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a
compendio de ciencias i
14
m
atem
ática
Nivel I
1. En la siguiente operación:
 35ab+b53c = cd08
 calcule a+b+c+d.
 Resolución
2. Halle el máximo valor de a+b+c a partir de la ope-
ración
ab4+ba+1c=281
 Resolución
Nivel II
3. Camila tiene apuntado en su agenda:
Rubro Dinero
Alimentos ca45
Gastos en el colegio 5ba
Gastos de luz+agua+
agua+cable+internet
47b
Ahorro 8c
Total 2bbc
 Determine cuántos es su gasto total.
 Resolución
4. Siendo a, b y c, números de una sola cifra y la suma 
de ellos es 16, calcule abc + bca + cab
 Resolución
Helicotaller
2.o Grado
a
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it
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compendio de ciencias i
14
m
atem
ática
Nivel I
1. En la siguiente operación:
 35ab+b53c = cd08
 calcule a+b+c+d.
 Resolución
2. Halle el máximo valor de a+b+c a partir de la ope-
ración
ab4+ba+1c=281
 Resolución
Nivel II
3. Camila tiene apuntado en su agenda:
Rubro Dinero
Alimentos ca45
Gastos en el colegio 5ba
Gastos de luz+agua+
agua+cable+internet
47b
Ahorro 8c
Total 2bbc
 Determine cuántos es su gasto total.
 Resolución
4. Siendo a, b y c, números de una sola cifra y la suma 
de ellos es 16, calcule abc + bca + cab
 Resolución
Helicotaller
www.freeprintablepdf.eu
Aritmética
13Colegio Particular
A
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A
2.o GrAdo compendio de cienciAs i
15
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át
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A
5. Si 6,
2
a b+ = calcule ab(8)+ba(8).
 Resolución
Nivel III
6. Si tres veces a es 6, cinco veces b es 35 y cinco 
veces c es 25, calcule abc + ac + cb.
 Resolución
7. Si 23 ( ) 4,a b+ = calcule aa + bb + ab + ba.
 Resolución
8. Si 
 A – B = ......47(9)
 B – C = ......12(9)
 C – D = ......35(9)
 halle las dos últimas cifras de A – D.
 Resolución
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2.o GrAdo compendio de cienciAs i
15
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5. Si 6,
2
a b+ = calcule ab(8)+ba(8).
 Resolución
Nivel III
6. Si tres veces a es 6, cinco veces b es 35 y cinco 
veces c es 25, calcule abc + ac + cb.
 Resolución
7. Si 23 ( ) 4,a b+ = calcule aa + bb + ab + ba.
 Resolución
8. Si 
 A – B = ......47(9)
 B – C = ......12(9)
 C – D = ......35(9)
 halle las dos últimas cifras de A – D.
 Resolución
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2.o GrAdo compendio de cienciAs i
15
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A
5. Si 6,
2
a b+ = calcule ab(8)+ba(8).
 Resolución
Nivel III
6. Si tres veces a es 6, cinco veces b es 35 y cinco 
veces c es 25, calcule abc + ac + cb.
 Resolución
7. Si 23 ( ) 4,a b+ = calcule aa + bb + ab + ba.
 Resolución
8. Si 
 A – B = ......47(9)
 B – C = ......12(9)
 C – D = ......35(9)
 halle las dos últimas cifras de A – D.
 Resolución
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2.o GrAdo compendio de cienciAs i
15
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5. Si 6,
2
a b+ = calcule ab(8)+ba(8).
 Resolución
Nivel III
6. Si tres veces a es 6, cinco veces b es 35 y cinco 
veces c es 25, calcule abc + ac + cb.
 Resolución
7. Si 23 ( ) 4,a b+ = calcule aa + bb + ab + ba.
 Resolución
8. Si 
 A – B = ......47(9)
 B – C = ......12(9)
 C – D = ......35(9)
 halle las dos últimas cifras de A – D.
 Resolución
2do Año
14 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
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compendio de ciencias i
16
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atem
ática
Nivel I
1. Calcule a+b+c+d si
 4d2 + c8b = a2b5
A) 14 B) 15 C) 16
D) 17 E) 17 
2. Calcule (a+b)c si
 2a9 + b2c = 1a45
A) 55 B) 60 C) 70
D) 75 E) 50
3. De la operación
 aba+c5a+ba=9a9
 calcule c+ba .
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
4. Si a+b+c=17, calcule aa+bb+cc.
A) 197 B) 157 C) 147
D) 167 E) 187
Nivel II
5. Sea a y b la cantidad de goles metidos por Carrillo y 
Pizarro. Sabiendo que (a+b)2=225, calcule
 ab+ba+aa+bb
A) 330 B) 310 C) 320
D) 300 E) 290
6. Si a+b3 =4, calcule a27+5b+ba8+ba.
A) 1521 B) 1417 C) 1467
D) 1477 E) 1517
7. Si (a+b)2=81, calcule aa(7)+bb(7)+ab(7)+ba(7)
A) 264(7) B) 155(7) C) 165(7)
D) 215(7) E) 264(7)
Helicodesafío
1. Si (a+b+c)3=343, calcule abc(7)+bca(7)+cab(7).
A) 110(7) B) 100(7) C) 1111(7)
D) 1000(7) E) 1110(7)
2. Sabiendo a+3b=2b–c+14, calcule abc+cab+bca. 
Dé como respuesta la suma de cifras.
A) 15 B) 21 C) 12
D) 4 E) 29
Helicorreto
1. Sabiendo que (a + b + c)2 = 144, calcule aa + bb + cc.
A) 132 B) 133 C) 130
D) 140 E) 150 
2. Si se cumple caa + caa = d397 – caa, calcule 
a + c + d – 1.
A) 26 B) 16 C) 17
D) 24 E) 9
3. Si 24(7) + 35(7) + 42(7) = 1ab(7), calcule a + b.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 6
4. Si 6 = 3I, 20
R
 = 4 , C=R – I y S=R + C, calcule 
CR + IS.
A) 63 B) 26 C) 60
D) 36 E) 25
5. Si C – R = ... 325
 R – I = ... 672
 I – S = ... 021
 S – T = ... 435
 calcule la suma de las dos últimas cifras de C – T.
A) 6 B) 10 C) 12
D) 9 E) 8
Helicotarea
Aritmética
15Colegio Particular
A
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2.o GrAdo compendio de cienciAs i
17
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8. Iroman tiene en su agenda:
 ¾ Actualizar antivirus 3ab
 ¾ TV por cable aba
 ¾ Internet bba
 Total 
Calcule + +

veces
...
b
a a a .
A) 15 B) 16 C) 13
D) 10 E) 18
941
Nivel III
9. Indique las dos últimas cifras de R–W.
 R – S=...214
 S – U=...560
 U – W=...112
A) 86 B) 96 C) 89
D) 76 E) 98
10. Halle las tres últimas cifras de C–W.
 C – R=...142(6)
 R – I=...013(6)
 I – S=...421(6)
 S – W=...312(6)
A) 222(6) B) 132(6) C) 102(6)
D) 302(6) E) 332(6)
Sesión II
1. Dado E=2+22+222+...+222...2
18 cifras
, halle las dos 
últimas cifras de E.
2. Calcule
21(5)+33(5)
3. Daniela observa que dejando un día puede ahorrar 
un sol mas que la vez anterior. Si empezóel 3 de 
mayo con 1 sol, ¿cuánto tendrá el última día de 
mayo?
4. Fátima observa que cada día resuelve una cantidad de 
ejercicios numéricamente igual al día en que se encuen-
tra. Si cierto día contó que desde que inició el mes has-
ta ese momento había resuelto 120 problemas, calcule 
el producto de cifras del mencionada día.
5. Por tener buenas calificaciones el papá de Jorge 
prometió regalar S/1; S/2; S/3 y así sucesivamente 
durante todo el mes de mayo (solo por cada día que 
va al colegio). ¿Cuánto recibe Jorge al finalizar el 
mes si comenzó un lunes 2 de mayo y solo estudia 
de lunes a viernes?
6. Si 8+88+888+...+888...88
31 cifras
 =...xy, calcule x+y.
7. Si RAU+5RU+E68=PERU, calcule P+A+R+A.
8. Si 46(8)+35(8)+43(8)=abc(8), calcule a+b+c.
 
Helicopráctica
16 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
Multiplicación musulmana
En el libro El hombre que calculaba, del autor brasileño Julio César de Mello Souza, más 
conocido como Malba Tahan, en la sección denominada “Curiosidades numéricas” aparece 
una interesante propuesta para efectuar multiplicaciones en forma sencilla, rápida y eficaz 
que según dicho autor, es una curiosa disposición adoptada por los musulmanes para efec-
tuar dicha operación y que tal vez, dicho procedimiento sea más fácil de comprender por los 
principiantes que el proceso que nos enseñaron desde niños en la escuela, el cual es utilizado 
comúnmente por la mayoría de nosotros.
Ejemplos
Considere el siguiente producto: 5817×423.
Trace una cuadrícula, así como sus diagonales, como es muestra en la figura de la derecha.
Escriba uno de los factores, 5817, de izquierda a derecha y el otro, 423, de abajo hacia 
arriba, como se muestra en la figura.
Entonces 5817 423 2 460591× =
3 1
2 9
4 5
2
5
4
8
6
1
0
2
1
2
4
8
1
0
0
0
2
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3
3
1
2
6
2
4
2
1
1
0
0
5
7
Veamos el proceso paso a paso
Multipliquemos 234 × 51 234.
1. Construimos la cuadrícula y sus diagonales, que tendrá en este caso 15 casillas (porque 
234 tiene 3 dígitos y 51 234 tiene 5 dígitos, es decir, 3×5=15).
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce y utiliza la sustracción y sus propiedades en la resolución 
de problemas.
 ¾ Reconoce y utiliza la multiplicación y sus propiedades en la resolución 
de problemas.
SUSTRACCIÓN Y MULTIPLICACIÓN
Multiplicación musulmana
En el libro El hombre que calculaba, del autor brasileño Julio César de Mello Souza, más 
conocido como Malba Tahan, en la sección denominada “Curiosidades numéricas” aparece 
una interesante propuesta para efectuar multiplicaciones en forma sencilla, rápida y eficaz 
que según dicho autor, es una curiosa disposición adoptada por los musulmanes para efec-
tuar dicha operación y que tal vez, dicho procedimiento sea más fácil de comprender por los 
principiantes que el proceso que nos enseñaron desde niños en la escuela, el cual es utilizado 
comúnmente por la mayoría de nosotros.
Ejemplos
Considere el siguiente producto: 5817×423.
Trace una cuadrícula, así como sus diagonales, como es muestra en la figura de la derecha.
Escriba uno de los factores, 5817, de izquierda a derecha y el otro, 423, de abajo hacia 
arriba, como se muestra en la figura.
Entonces 5817 423 2 460591× =
3 1
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Veamos el proceso paso a paso
Multipliquemos 234 × 51 234.
1. Construimos la cuadrícula y sus diagonales, que tendrá en este caso 15 casillas (porque 
234 tiene 3 dígitos y 51 234 tiene 5 dígitos, es decir, 3×5=15).
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce y utiliza la sustracción y sus propiedades en la resolución 
de problemas.
 ¾ Reconoce y utiliza la multiplicación y sus propiedades en la resolución 
de problemas.
SUSTRACCIÓN Y MULTIPLICACIÓN 2
Multiplicación musulmana
En el libro El hombre que calculaba, del autor brasileño Julio César de Mello Souza, más 
conocido como Malba Tahan, en la sección denominada “Curiosidades numéricas” aparece 
una interesante propuesta para efectuar multiplicaciones en forma sencilla, rápida y eficaz 
que según dicho autor, es una curiosa disposición adoptada por los musulmanes para efec-
tuar dicha operación y que tal vez, dicho procedimiento sea más fácil de comprender por los 
principiantes que el proceso que nos enseñaron desde niños en la escuela, el cual es utilizado 
comúnmente por la mayoría de nosotros.
Ejemplos
Considere el siguiente producto: 5817×423.
Trace una cuadrícula, así como sus diagonales, como es muestra en la figura de la derecha.
Escriba uno de los factores, 5817, de izquierda a derecha y el otro, 423, de abajo hacia 
arriba, como se muestra en la figura.
Entonces 5817 423 2 460591× =
3 1
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Veamos el proceso paso a paso
Multipliquemos 234 × 51 234.
1. Construimos la cuadrícula y sus diagonales, que tendrá en este caso 15 casillas (porque 
234 tiene 3 dígitos y 51 234 tiene 5 dígitos, es decir, 3×5=15).
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
2
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce y utiliza la sustracción y sus propiedades en la resolución 
de problemas.
 ¾ Reconoce y utiliza la multiplicación y sus propiedades en la resolución 
de problemas.
SUSTRACCIÓN Y MULTIPLICACIÓN
Aritmética
17Colegio Particular
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2.o GrAdo compendio de cienciAs i
23
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2. Uno de los factores, 51 234 se escribe de izquierda a derecha y el otro, 234, de abajo hacia arriba.
 
4
3
2
1
5
1
1
9
2
8
0 0
5
6
7
0 1
1 1
9
6
2
0
0
0
6
4
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0
3
2
4
1
1
2
5
0
0
3
8
2
8
6
4
3. En cada casilla se escribe el producto de las cifras de los factores que inician la línea y columna correspondien-
te y se dispone ese producto de tal manera que la cifra de las decenas se encuentre separada de la cifra de las 
unidades por la diagonal que cruza la casilla, como se muestra en la figura. Así, al efectuar 4 × 5 = 20, escribimos 
el 2 debajo de la diagonal de la primera casilla y el cero, arriba de esta, al efectuar, 3 × 3 = 9, escribimos 0 
debajo de la diagonal de la casilla novena y 9, arriba de dicha diagonal, y así procedemos con todos los demás 
números de los factores.
4. Luego, se efectúan las sumas de las cifras adyacentes a una misma diagonal, como lo indican las flechas verdes 
y el total se escribe cerca del borde de la cuadrícula que corresponde al lado de la casilla cuyos extremos son un 
vértice de la cuadrícula y un punto donde pasa una diagonal, o por los puntos por donde pasan dos diagonales 
consecutivas.
5. Finalmente el producto se lee como indican las flechas rojas gruesas, es decir, hacia la derecha y luego hacia 
arriba; por lo tanto, el resultado final será el siguiente:
 234 × 51 234 = 11 988 756 
 Otros ejemplos
 8 × 15 = 120
 
8 0
1
1
2
5
4
0
0
85 0
1 2
8
1
0
4
8
0
 24 × 35 = 840
 
0
2
1
05
43
2
0
1
0
6
8
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0
2
2do Año
18 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
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compendio de ciencias i
24
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atem
ática
I. Sustracción
 Es una operación binaria en donde dadas dos can-
tidades llamadas minuendo y sustraendo se calcula 
una tercera llamada diferencia.
 
→
↓ ↓
= Diferencia
Minuedo Sustraendo
16 – 9 7
 Ejemplo
 
M
Minuendo Sustraendo Diferencia
S D
 Entonces
 ¿Sabes efectuar la sustracción en otras bases?
 Calcule la diferencia de
 
5 2 4
5 93
10 10
51 6
 Como puedes notar está en base 10.
 Por lo tanto
 ¾ En las unidades: Como a 4 no se la puede dis-
minuir en 9 lo que se hace es regresar del orden 
de las decenas una unidad que en el orden de 
las unidades equivale a 10 unidades.
 10 + 4 – 9 = 5
 ¾ En las decenas: Como se prestó una unidad 
queda 2 – 1 = 1, y como no se puede dismi-
nuir en 5, en forma análoga, se hace el mismo 
procedimiento, tenemos
 10 + 1 – 5 = 6
 ¾ En los centenas: Comose prestó una unidad
 5 – 1 = 4
 Luego tenemos: 4 – 3 = 1
 Ejemplo
 Realice la sustracción
5 2
5
41 (7)
(7)
(7)
7 7
3
3
3
6
 Resolución
 ¾ 7 + 2 – 6 = 3
 ¾ 3 – 1 = 2 → 7 + 2 – 5 = 4
 ¾ 5 – 1 = 4 → 4 – 3 = 1
 Ejemplo
 Calcule a+b.
( )
( )
( )
6
6
6
3 5 –
 4 2
1 0 5
a
b
 Resolución
a < 2
b 4
3 5
1 0 5
2(6)
(6)
(6)a
6
 ¾ 6 + a – 2 = 5 → a = 1
 b = 2
 Sumando: 1 + 2 = 3
1. Propiedades
 Como bien sabemos
 M – S = D ↔ M = S + D
 (En cualquier base)
A. Suma de tres términos
 
↓ ↓ ↑ ↑↓ ↑
=
= → + + =
2MM D M DS S
12 – 5 7 12 5 7 24
 M + S + D = 2M
B. Diferencia de numerales de cifras iguales 
de orden inverso
 a. – =ab ba xy , a>b
 x + y = 9
 Ejemplo: 75 – 57 = 18, 7 > 5
 1 + 8 = 9
 En otra base: ab(n) – ba(n) = xy(n)
 x + y = n – 1
 Ejemplo: 52(7) – 25(7) = 24(7)
 2 + 4 = 7 – 1 = 6
SUSTRACCIÓN Y MULTIPLICACIÓN
Helicoteoría
Aritmética
19Colegio Particular
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2.o GrAdo compendio de cienciAs i
25
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 b. – ,abc cba xyz a c= >
 ¾ x + z = 9
 ¾ y = 9
 ¾ a – c = x + 1
 Ejemplo: 823 – 328 = 495, 8 > 3
 1.º 4 + 5 = 9
 2.º 8 – 3 = 4 + 1 = 5
 En otras bases abc(n)– cba(n) = xyz(n)
y = n – 1
x + z = n – 1
a – c = x + 1
 Ejemplo
 823(12)–328(12)=4(11)7(12)
1.º 4 + 7 = 12 – 1 = 11
2.º Cifra central = 12 – 1 = 11
3.º 8 – 3 = 4 + 1
2. Complemento aritmético
Regla general
CA(8) = 101 – 8 = 2 k = 1
CA(27) = 102 – 27 = 73 k = 2
CA(455) = 103 – 455 = 545 k = 3
 =CA(N) 10 – Nk
 k: cantidad de cifras de N
Regla práctica
 ¾ ( )CA (9 – )(9 – )(10 – )=abc a b c
 ¾ CA(495)=505
9910
 ¾
999910
CA(17326)=82 674
 En otras bases
Forma general
 ¾ CA(8(12))=10(12)–8(12)=4
 ¾ CA(27(9)) =10
2
(9)–27(9)
 =100(9)– 27(9)=62 (9)
 ¾ CA(485(9)) =10
3
(9)–485(9)
 =1000(9)–485(9)
 =404(9)
Forma práctica
 ¾ ( ) [ ][ ][ ]( ) ( )CA ( –1) – ( –1) – –n nabc n a n b n c=
 ¾
77 778
CA(17245 )=60533(8) (8)
 ¾
889
CA(485 )=404(9) (9)
Sabía que...
¿SABES RESTAR?
Tres amigos tienen una agradable cena juntos, la cuenta 
se hace $25.
Los tres amigos pagan $10 cada uno, dinero que entrega 
el mesero al cajero.
El cajero le devuelve $5 al mesero.
Pero el mesero no puede dividir los $5 en tres partes igua-
les, así que les da a los amigos un dólar a cada uno y se 
queda con los 2 dólares como propina.
Los amigos pagaron $10 y recibieron $1 como cambio.
$10 – $ 1 = $9
Como eran tres 
3 × $9 = $27
Si pagaron $27 y el mesero guardó $2 
$27 + $2 = $29
¿Dónde fue a parar ese dólar que falta? 
$30 – $1 = $29
II. Multiplicación
 La multiplicación es una operación definida en 
una función “.”, es decir, que asocia a cada par 
de números enteros (m; n) un único número ente-
ro llamado producto de m y n, denotado “mn” o 
“m × n” o “m⋅n”.
 Los números m y n reciben el nombre de factores.
 Ejemplo
 
12 × 5 = 60
Factores Producto
La multiplicación puede ser vista como una suma abrevia-
da. Del ejemplo anterior
 
+ + + + = × =

12 veces
5 5 5 ... 5 12 5 60
Nota
2do Año
20 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
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compendio de ciencias i
26
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ática
 Productos parciales
 Son aquellos productos obtenidos al multiplicar uno 
de los factores por cada uno de las cifras del otro 
factor. Así
 
p q r
r
q
p
Producto total
Productos
parciales
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
Ejemplo
Realicemos la siguiente multiplicación 2351×423
 
2351
423
7053
4702
9404
994473 Producto total
Productos
parciales
i) 
veces
...
m
a a a a m a+ + + + = ⋅

ii) × × × × =
veces
... p
p
a a a a a

iii) 1 × 2 × 3 ×...× n = n!
Nota
 La multiplicación satisface los siguientes axiomas:
Propiedad 
conmutativa
ab=ba
Propiedad 
asociativa
abc=(ab)c=a(bc)
Propiedad 
elemento 
neutro
Existe un número natural uno 
denotado por 1, donde 1≠0, tal 
que a·1=a,∀a∈.
Propiedad de 
cancelación
Si ac=bc y c ≠ 0 → a=b
Sabía que...
Algo de historia
El producto de dos números a y b se indica intercalando 
entre ambos el signo × (introducido por Ougtred en 1631), 
o un punto (introducido por Harriot) o simplemente yuxta-
poniéndolos cuando se designan por letras (introducido por 
Descartes), en una de las siguientes formas:
 a × b, a · b o ab
¡Juguemos con las operaciones!
× +
× - +
= 8
+ : = 11
- + -
: + = 8
= 8 = 2 = 5
¡Curiosidades!
Aquí algunas pirámides numéricas
 1 × 9 + 2 = 11
 12 × 9 + 3 = 111
 123 × 9 + 4 = 1111
 1234 × 9 + 5 = 11111
 12345 × 9 + 6 = 111111
 123456 × 9 + 7 = 1111111
 1234567 × 9 + 8 = 11111111
 12345678 × 9 + 9 = 111111111
 1 × 8 + 1 = 9
 12 × 8 + 2 = 98
 123 × 8 + 3 = 987
 1234 × 8 + 4 = 9876
 12345 × 8 + 5 = 98765
 123456 × 8 + 6 = 987654
 1234567 × 8 + 7 = 9876543
 12345678 × 8 + 8 = 98765432
 123456789 × 8 + 9 = 987654321
Números especiales: el 37.
 37 × 3 = 111
 37 × 6 = 222
 37 × 9 = 333
 37 × 12 = 444
 37 × 15 = 555
 37 × 18 = 666
 37 × 21 = 777
 37 × 24 = 888
 37 × 27 = 999
Aritmética
21Colegio Particular
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2.o GrAdo compendio de cienciAs i
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2do Año
22 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
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compendio de ciencias i
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1. Si al minuendo y al sustraendo de una diferencia se 
le resta a y b, respectivamente, y a > b, ¿qué suce-
de con la diferencia?
 Resolución
 Si M – S = D
(M – a) – (S – b) = 
 

( )
=M–S – ( – )
D – –
a b
a b
 ∴ La diferencia disminuye en a – b.
 Rpta.: Disminuye en a – b
2. Un número es tal que al multiplicarse por 3, por 4 y 
por 5 da, respectivamente, tres números cuya multi-
plicación de productos parciales es 79 860. Calcule 
la suma de las cifras de dicho número. 
 Resolución
 (3N)(4N)(5N)=79 860
N3=1331
N=11
∴ 1 + 1 = 2
 Rpta.: 2
3. Halle el valor de m si abc(n)+mnq(n)=cba(n), don-
de m – n + p = 7 – q. Además, n – q = 2.
 Resolución
 La suma se puede expresar como
 mpq(n)=cba(n)– abc(n)
 Por propiedad
 m + q = n – 1 y p = n – 1
 Se conoce
 
– 7 –
–1–
qm n p
n q
+ =
( ) ( )– –1 7 –n n q+ =

 9n =
8 5
3– 2
m q m
qm q
+ = → =
→ == 
 Rpta.: 5
4. Si CA(abc) = 725, calcule a + b + c.
 Resolución
CA(abc)= 725
9 9 10–
 ¾ 9 – a = 7 → a = 2
 ¾ 9 – b = 2 → b = 7
 ¾ 10 –c = 5 → c = 5
 ∴ a + b + c = 14
 Rpta.: 14
5. Si a × ab = 111, calcule ba.
 Resolución
 
a × ab = 111
3 × 37
 ∴ ba = 73 = 343
Rpta.: 343
Problemas resueltos
Aritmética
23Colegio Particular
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2.o GrAdo compendio de cienciAs i
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Sesión I
1. Si la siguiente sustracción es correcta:
−43 2
4 2
5 1
 
 calcule la suma de los valores de los casilleros en 
blanco. 
2. Si la suma de los tres términos de una sustracción es 
430, halle el valor del minuendo.
3. Un número de tres cifras disminuido en el mismo nú-
mero pero escrito en orden inverso es xy2. Calcule xy.
4. Si abc(8)–mnp(8)= cba(8), calcule m+n+p. 
5. Calcule a ⋅ b+c si CA(a3b)=1c4.
6. El complemento aritmético de ab00 es 12cd, Calcule 
a + b + c + d.
7. Calcule (a+b)c si CA(242)=abc.
8. Si la suma de los tres términos de una sustracción 
es 828, halle el valor del sustraendo si el valor de la 
diferencia es 130.
Nivel I
1. Calcule la suma de los valores de los casilleros de la 
siguiente sustracción en base 7:
4
3 1(7)
2(7) −5
6
4
2 1(7)0
 Resolución
2. Si la suma de los tres términos de una sustracción es 
460, halle el valor del minuendo.
 Resolución
Helicopráctica
Helicotaller
www.freeprintablepdf.eu
2do Año
24 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
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Nivel II
3. La suma de los tres términos de la sustracción es 
1120. Si el sustraendo es los 2/5 de la diferencia, 
entonces el menor de los tres términos es
 Resolución
4. Un número de tres cifras disminuido en el mismo 
número pero escrito en orden inverso es xy3. Cal-
cule x + y.
 Resolución
5. Si abc(5)– cba(5)=xy1(5), calcule x+y+m⋅n, además
 abc(11)–mn9(11)=cba(11)
 Resolución
Nivel III
6. Relacione según corresponda.
I. CA(320) a. 68(5)
II. CA(3200) b. 6800
III. CA(32(5)) c. 680
 d. 13(5)
 Resolución
2.o Grado
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Nivel II
3. La suma de los tres términos de la sustracción es 
1120. Si el sustraendo es los 2/5 de la diferencia, 
entonces el menor de los tres términos es
 Resolución
4. Un número de tres cifras disminuido en el mismo 
número pero escrito en orden inverso es xy3. Cal-
cule x + y.
 Resolución
5. Si abc(5)– cba(5)=xy1(5), calcule x+y+m⋅n, además
 abc(11)–mn9(11)=cba(11)
 Resolución
Nivel III
6. Relacione según corresponda.
I. CA(320) a. 68(5)
II. CA(3200) b. 6800
III. CA(32(5)) c. 680
 d. 13(5)
 Resolución
2.o Grado
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Nivel II
3. La suma de los tres términos de la sustracción es 
1120. Si el sustraendo es los 2/5 de la diferencia, 
entonces el menor de los tres términos es
 Resolución
4. Un número de tres cifras disminuido en el mismo 
número pero escrito en orden inverso es xy3. Cal-
cule x + y.
 Resolución
5. Si abc(5)– cba(5)=xy1(5), calcule x+y+m⋅n, además
 abc(11)–mn9(11)=cba(11)
 Resolución
Nivel III
6. Relacione según corresponda.
I. CA(320) a. 68(5)
II. CA(3200) b. 6800
III. CA(32(5)) c. 680
 d. 13(5)
 Resolución
2.o Grado
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Nivel II
3. La suma de los tres términos de la sustracción es 
1120. Si el sustraendo es los 2/5 de la diferencia, 
entonces el menor de los tres términos es
 Resolución
4. Un número de tres cifras disminuido en el mismo 
número pero escrito en orden inverso es xy3. Cal-
cule x + y.
 Resolución
5. Si abc(5)– cba(5)=xy1(5), calcule x+y+m⋅n, además
 abc(11)–mn9(11)=cba(11)
 Resolución
Nivel III
6. Relacione según corresponda.
I. CA(320) a. 68(5)
II. CA(3200) b. 6800
III. CA(32(5)) c. 680
 d. 13(5)
 Resolución
Aritmética
25Colegio Particular
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2.o GrAdo compendio de cienciAs i
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7. Cierto día un minion quiso calcular el complemen-
to aritmético de abcd(4) y resultó 2013(4).Calcule 
a + b + c + d.
 Resolución
8. Si abc=cba+xy8 y además abc+cba=1736, calcu-
le a2+b2+c2. 
 Resolución
Helicodesafío
1. Si
 abc – mn4 = cba y a+b+c = 20
 calcule a2+b2+c2.
A) 64 B) 147 C) 215
D) 154 E) 143
2. Si
   + + + +   
 
CA ( 1)( 3)( 3) = ( 3)( – 2),
2
a
a b c a a b d
 calcule a + b + c + d.
A) 15 B) 12 C) 9
D) 8 E) 13
Helicorreto
1. Si mnp – pnm = abc, calcule a + b + c.
A) 16 B) 17 C) 20
D) 18 E) 21
2. La suma de los tres términos de una sustracción es 
2400. Si el sustraendo es la mitad del minuendo, 
determine la diferencia.
A) 600 B) 400 C) 300
D) 800 E) 12 000
3. Si mnp – pnm = a(a + 4)(2b), calcule a + b.
A) 6 B) 7 C) 5
D) 4 E) 8
4. Si abc(5) – mnp(5) = cba(5), calcule m + n + p.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
5. Calcule (a + c)b si CA a3b = 5c1.
A) 9 B) 10 C) 90
D) 18 E) 60
2do Año
26 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
2.o Grado
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Nivel I
1. Si
A 6 8 –
4 B C 
2 B B
 calcule (A+B+C)mín.
A) 14 B) 16 C) 18
D) 10 E) 12
2. Si la suma de los tres términos de una sustracción es 
200, halle el valor del minuendo.
A) 150 B) 120 C) 50
D) 200 E) 100
3. Calcule la diferencia de dos números sabiendo que si 
el minuendo aumenta en 483 y el sustraendo en 125 
la nueva diferencia es 731. 
A) 353 B) 313 C) 137
D) 473 E) 373
4. Si la suma de los tres términos de una sustracción es 
1800, halle el valor del sustraendo sabiendo que la 
diferencia es 2/3 del minuendo.
A) 300 B) 800 C) 400
D) 600 E) 900
Nivel II
5. ¿Cuál es el complemento aritmético del mayor nú-
mero de dos cifras que sea cuadrado perfecto?
A) 36 B) 9 C) 32
D) 21 E) 19
6. Si abc(6)– cba(6)=3xy(6), halle el valor de x+y.
A) 5 B) 7 C) 6
D) 2 E) 9
7. Pocoyó quiso hallar la diferencia de un número de 
tres cifras con el mismo número en orden inverso 
resultó xy5. Sabiendo que a+c=11, calcule a+c
A) 64 B) 42 C) 91
D) 73 E) 83
8. Si CA(xyz30)=624mn, calcule x+y+z+m+n.
A) 21 B) 22 C) 23
D) 24 E) 20
Nivel III
9. Si el CA(3xy(5)) es yzx(5), calcule x+y+z.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
10. Adele tiene abc soles. Si gasta cba soles le queda 
xy4. Calcule xx+yy+xy.
A) 223 B) 203 C) 243
D) 213 E) 233
Helicotarea
27Colegio Particular
Peones en lugar de números
Solamente después de lo indicado, es fácil comprender que los números se pueden repre-
sentar no solamente con ayuda de cifras, sino también con cualesquiera otros signos y aun 
objetos: lápices, pluma, reglas, gomas, etc. Basta con atribuir a cada objeto el valor de una 
cifra cualquier determinada. Se puede inclusive, por curiosidad, con ayuda de tales cifras 
objetos, representar las operaciones con los números: sumar, restar, multiplicar, dividir.
En una revista de ajedrez fue presentado un problema: determinar el verdadero significado 
del ejemplo de división de números, representado en la figura, en el cual casi toda, las cifras 
están sustituidas por peones. De 28 cifras, solo 2 son conocidas: el 8 en el cociente y, el 1 
en el residuo. Los otros 26 signos son peones de ajedrez, por lo que probablemente parecerá 
que el problema no tiene sentido.
¿Podrías encontrarlos?
8
1
–
–
–
Representación del problema publicado por una revista de ajedrez,
donde casi todas las cifras están sustituidas por peones.
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce y aplica la operación en casos particulares.
 ¾ Aplica las propiedades de la división en la resolución de problemas 
concretos.
DIVISIÓN
Peones en lugar de números
Solamente después de lo indicado, es fácil comprender que los números se pueden repre-
sentar no solamente con ayuda de cifras, sino también con cualesquiera otros signos y aun 
objetos: lápices, pluma, reglas, gomas, etc. Basta con atribuir a cada objeto el valor de una 
cifra cualquier determinada. Se puede inclusive, por curiosidad, con ayuda de tales cifras 
objetos, representar las operaciones con los números: sumar, restar, multiplicar, dividir.
En una revista de ajedrez fue presentadoun problema: determinar el verdadero significado 
del ejemplo de división de números, representado en la figura, en el cual casi toda, las cifras 
están sustituidas por peones. De 28 cifras, solo 2 son conocidas: el 8 en el cociente y, el 1 
en el residuo. Los otros 26 signos son peones de ajedrez, por lo que probablemente parecerá 
que el problema no tiene sentido.
¿Podrías encontrarlos?
8
1
–
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–
Representación del problema publicado por una revista de ajedrez,
donde casi todas las cifras están sustituidas por peones.
Helicocuriosidades
CAPÍTULO
3
Aprendizajes esperados
 ¾ Reconoce y aplica la operación en casos particulares.
 ¾ Aplica las propiedades de la división en la resolución de problemas 
concretos.
DIVISIÓN 3
2do Año
28 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
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2.o GrAdo compendio de cienciAs i
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La división es una operación definida en , es decir, una 
función“:” que asocia a cada par de números enteros (D; 
d) un único número entero llamado cociente de D y d 
denotado D : d, D
d
 o D/d. 
Los números D y d reciben el nombre de dividendo y 
divisor, respectivamente.
Ejemplo
Divisor
Cociente
Dividendo 42
6
7
Divisor
Cociente
Dividendo 42
42
6
7
Clases de división
1. División exacta
 Cuando al finalizar la operación el cociente resulta un 
número entero y no se obtiene residuo (residuo = 0).
 Ejemplos
13
39=13×3
39
0 3
→
 En general
 
dD
0 q
→ D=d ⋅ q
2. División inexacta
 Cuando al finalizar la operación el cociente es un 
número entero y se genera un residuo (residuo ≠ 0).
 Ejemplo
852
48 6
r=4
52=8 × 6+4
D=d ⋅ q + r
 D: dividendo d: divisor
 q: cociente r: residuo
0<r<d
 La división inexacta puede ser
Por defecto Por exceso
38 = 8 × 4 + 6
838
32 4
rdefecto = 6
D = d ⋅ q + r
38 = 8 × 5 – 2
D = d(q+1) – re
838
–
40 5
rexceso = 2
r
r
er er d
6 6
2
2 8
 Donde
 q: cociente por defecto
 q + 1: cociente por exceso
 r: residuo por defecto
 re: residuo por exceso
Recuerda
Propiedades para una división entera inexacta
 
rmín = 1 rmáx = d – 1
r + re = d
Observación
Teorema del algoritmo de la división
Si D y d son números enteros positivos donde D es mayor 
que d y d es diferente de 0, existen entonces dos números 
naturales r y q únicos tales que se cumple
D = d · q + r
 Así: 
 
dD
r q 
0 ≤ r < d < D
D: dividendo d: divisor
 q: cociente r: residuo
DIVISIÓN ENTERA
Helicoteoría
Aritmética
29Colegio Particular
2.o Grado
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compendio de ciencias i
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23
 =
 4
 ×
 6
 −
 1
E
je
m
pl
o
E
n 
ge
ne
ra
l:
18
 =
 3
×
6
18 0
3 6
D 0
qd
D
=
d·
q
E
je
m
pl
o
E
n 
ge
ne
ra
l
→
→
→
P
ro
pi
ed
ad
es
r
+
=
 d
r e
r
=
– 
1
m
áx
d
r
=
 1
m
ín
r
<
 d
E
le
m
en
to
s
D
: 
di
vi
de
nd
o
d:
 d
iv
is
or
q:
 c
oc
ie
nt
e
r:
 r
es
id
uo
2do Año
30 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
A
r
it
m
é
t
ic
A
2.o GrAdo compendio de cienciAs i
41
m
At
em
át
ic
A
1. El residuo por exceso de una división es 37. Si el 
otro residuo es la tercera parte del residuo máximo, 
halle el valor del residuo por defecto.
 Resolución
e 37 (1)
–1
 (2)
3
r
d
r
=
=


 De (2) se tiene: 3r = d – 1
 Descomponiendo: r + 2r = d – 1
 Sumando re: r + re + 2r = d – 1 + re = 37
 Luego: 2r = 36
 r = 18
Rpta.: 18
2. La suma de dos números es 323. Al dividir el 
mayor de los números por el otro se tiene 16 de 
cociente y residuo máximo. ¿Cuál es el número 
mayor? (UNMSM 2001)
 Resolución
 El menor es d y el mayor es 323 – d.
 323 – d = d . 16 + (d – 1)
d = 18
∴ 323 – 18 = 305
Rpta.: 305
3. Si cada letra representa un dígito en la división
 
 
 
 
 
pqq r
r pp
pq
r
p
 calcule 2p + 3q + 5r. (PUCP 94)
 Resolución
 Se observa: p . r = r → p = 1
 Luego: 1 11 1qq r= ⋅ + → q = 0 ∧ r = 9
∴ 2(1) + 3(0) + 5(9) = 47
Rpta.: 47
4. Si
 

D 17 
 
14
q
 

D 17 
 42
er
 calcule D + q + r.
 Resolución
 Por propiedad: 



14 173
er r d+ = 
 


= +
42 41
1eq q
 Sabemos
D = d × q + r
 D = 7 × 41 + 14 = 301
 → D = 301, q = 41 ∧ r = 14
 ∴ D + q + r = 356
Rpta.: 356
5. ¿Cuántos números al ser divididos por 15 generan 
un residuo que es el triple del cociente?
 Resolución
D 15 
3 x x
 Por propiedad
 
r < d
3x < 15
x < 5
↓
1
2
3
4
 Reemplazando
 
D = d × q + r
D = 15 × 1 + 3 = 18
D = 15 × 2 + 6 = 36
D = 15 × 3 + 9 = 54
D = 15 × 4 + 12 = 72
4 números
Rpta.: 4 números
Problemas resueltos
Aritmética
31Colegio Particular
2.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
42
m
atem
ática
Sesión I
1. En una división exacta, el divisor es 24 y el cociente 
es su tercera parte. Calcule la suma de cifras del 
dividendo.
2. Un colegio va organizar un paseo para sus 242 alum-
nos, para lo cual debe contratar algunos buses. Si 
cada bus tiene una capacidad de 45 pasajeros, ¿cuán-
tos buses debe contratar como mínimo? 
 ONEM 2015
3. Un sacoliverino divide el número de chocolates que 
tiene entre 15 niños tocándole 12 cada niño pero, le 
sobra la mínima cantidad de chocolates. Diga:
 ¾ cuántos chocolates tenía.
 ¾ cuántos chocolates le falta para que al reparti-
los no le sobre ni le falte.
4. Si
7 7D D
4 re
q 52
 calcule la suma de cifras del dividendo.
5. Al ser dividido 129 entre 4 origina un residuo y un 
cociente. ¿Cuál es el cociente?
6. Halle el número que al ser dividido entre 12 origina 
un cociente que es la tercera parte del divisor, así 
como un residuo mínimo.
7. Calcule la suma del dividendo más el cociente 
(r<q).
7
1
- 3
2
8. Halle el valor del dividendo si el cociente es 15 y el 
divisor es 2 unidades más que el cociente. Considera 
una división exacta.
Nivel I
1. Halle el valor del dividendo si sabemos que el 
cociente es 32 y el divisor es 15, originando un 
residuo mínimo.
 Resolución
2. ¿Qué cantidades de canicas tenía Pedro si al repartir-
lo a sus 7 amigos le tocó a cada uno 26, sobrándole 
4 canicas?
 Resolución
Helicopráctica
Helicotaller
www.freeprintablepdf.eu
2do Año
32 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
A
r
it
m
é
t
ic
A
2.o GrAdo compendio de cienciAs i
43
m
At
em
át
ic
A
Nivel II
3. Una tutora divide cierto número de galletas entre 
sus, 19 estudiantes tocándole a cada uno 6 unidades 
mas que la cantidad de estudiantes, pero le sobró la 
mínima cantidad de galletas. ¿Cuántas galletas tenía 
para repartir?
 Resolución
4. ¿Qué número al ser dividido entre 34 origina un co-
ciente mayor en 1 unidad al divisor y un residuo 
menor al cociente en 29 unidades?
 Resolución
5. Si 5 5D D
3 re
..
.
..
.q 46
 calcule D+q+re.
 Resolución
Nivel III
6. Pedro tiene 156 cromos y los reparte entre 12 com-
pañeros. Si tuviera 57 cromos mas y fueran 5 ami-
gos menos, ¿cuánto recibiría cada uno?
 Resolución
A
r
it
m
é
t
ic
A
2.o GrAdo compendio de cienciAs i
43
m
At
em
át
ic
A
Nivel II
3. Una tutora divide cierto número de galletas entre 
sus, 19 estudiantes tocándole a cada uno 6 unidades 
mas que la cantidad de estudiantes, pero le sobró la 
mínima cantidad de galletas. ¿Cuántas galletas tenía 
para repartir?
 Resolución
4. ¿Qué número al ser dividido entre 34 origina un co-
ciente mayor en 1 unidad al divisor y un residuo 
menor al cociente en 29 unidades?
 Resolución
5. Si 5 5D D
3 re
..
.
..
.q 46
 calcule D+q+re.
 Resolución
Nivel III
6. Pedro tiene 156 cromos y los reparte entre 12 com-
pañeros. Si tuviera 57 cromos mas y fueran 5 ami-gos menos, ¿cuánto recibiría cada uno?
 Resolución
A
r
it
m
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A
2.o GrAdo compendio de cienciAs i
43
m
At
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át
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A
Nivel II
3. Una tutora divide cierto número de galletas entre 
sus, 19 estudiantes tocándole a cada uno 6 unidades 
mas que la cantidad de estudiantes, pero le sobró la 
mínima cantidad de galletas. ¿Cuántas galletas tenía 
para repartir?
 Resolución
4. ¿Qué número al ser dividido entre 34 origina un co-
ciente mayor en 1 unidad al divisor y un residuo 
menor al cociente en 29 unidades?
 Resolución
5. Si 5 5D D
3 re
..
.
..
.q 46
 calcule D+q+re.
 Resolución
Nivel III
6. Pedro tiene 156 cromos y los reparte entre 12 com-
pañeros. Si tuviera 57 cromos mas y fueran 5 ami-
gos menos, ¿cuánto recibiría cada uno?
 Resolución
A
r
it
m
é
t
ic
A
2.o GrAdo compendio de cienciAs i
43
m
At
em
át
ic
A
Nivel II
3. Una tutora divide cierto número de galletas entre 
sus, 19 estudiantes tocándole a cada uno 6 unidades 
mas que la cantidad de estudiantes, pero le sobró la 
mínima cantidad de galletas. ¿Cuántas galletas tenía 
para repartir?
 Resolución
4. ¿Qué número al ser dividido entre 34 origina un co-
ciente mayor en 1 unidad al divisor y un residuo 
menor al cociente en 29 unidades?
 Resolución
5. Si 5 5D D
3 re
..
.
..
.q 46
 calcule D+q+re.
 Resolución
Nivel III
6. Pedro tiene 156 cromos y los reparte entre 12 com-
pañeros. Si tuviera 57 cromos mas y fueran 5 ami-
gos menos, ¿cuánto recibiría cada uno?
 Resolución
Aritmética
33Colegio Particular
2.o Grado
a
r
it
m
é
t
ic
a
compendio de ciencias i
44
m
atem
ática
7. La directora de Belisario quiere organizar un paseo 
para 1230 estudiantes, para lo cual debe contratar 
algunos buses. Si cada bus tiene capacidad de 48 
pasajeros, ¿Cuántos buses debe contratar como mí-
nimo?
 Resolución
8. De la operación mostrada, calcule a + b + c + 2.
ba8ac
b2
b0c
c78
19
 - a5
 Resolución
Helicodesafío
1. ¿Cuántos números de tres cifras al dividirlos entre 
18 dejan como residuo 16?
A) 49 B) 50 C) 51
D) 52 E) 53
2. En una división inexacta, el cociente es 4 y el resi-
duo es 30. Si la suma de los cuatro términos de la 
división es 574, halle el valor del dividendo.
A) 394 B) 408 C) 416
D) 438 E) 482
Helicorreto
1. Reconstruye la siguiente división y da como respuesta 
la suma de cifras halladas.
 
8
3
6
1
A) 21 B) 26 C) 30
D) 42 E) 71
2. Se observa que el re = 5 y el rd = 17; el cociente 
toma el valor de 42. Calcule la suma de cifras del 
dividendo.
A) 12 B) 13 C) 14
D) 16 E) 15
3. Al dividir 484 entre x obtengo residuo mínimo y un 
cociente de 69. Calcule 2x.
A) 13 B) 14 C) 15
D) 16 E) 17
4. Tengo 484 figuritas en mi casa. Si los agrupo de 13 en 
13, ¿cuántas me sobrarían?
A) 2 B) 1 C) 3
D) 4 E) 5
5. Al efectuar la división de 431 y 73, calcule la suma 
del residuo y cociente por exceso.
A) 71 B) 11 C) 73
D) 45 E) 13
2do Año
34 Aquí nos preparamos, para servir mejor a Dios y al Hombre
A
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A
2.o GrAdo compendio de cienciAs i
45
m
At
em
át
ic
A
Nivel I
1. El dividendo en una división exacta toma el valor de 
240. Halle el valor del cociente si el divisor es una 
unidad menor que el cociente.
A) 15 B) 14 C) 19
D) 20 E) 16
2. En una división exacta, el divisor es 35 y el cociente 
es la quinta parte del divisor. Calcule la suma de 
cifras del dividendo.
A) 245 B) 175 C) 18
D) 145 E) 11
3. Leonor ha elaborado 5890 L de alcohol en gel anti-
bacterial. Si para distribuirlo lo envasa en recipien-
tes que pueden contener 380 ml, ¿cuántos envases 
necesitará? 
A) 1600 B) 16 500 C) 18 350
D) 17 650 E) 15 500
4. Halle el valor del dividendo si r = 4, re = 7 y 
qe = 3.
A) 22 B) 26 C) 24
D) 30 E) 14
Nivel II
5. Si
 
9 9D D
5 re
..
.
..
. 42
 halle el valor del dividendo.
A) 374 B) 384 C) 354
D) 364 E) 354
6. En una división inexacta, el residuo por defecto es 
15 y el residuo por exceso es 9. Si el cociente por 
defecto es 12, halle el valor del dividendo.
A) 303 B) 308 C) 318
D) 131 E) 323
7. ¿Qué número al ser dividido entre 23 origina un 
residuo máximo y un cociente que es la mitad del 
residuo?
A) 270 B) 265 C) 263
D) 272 E) 275
8. Al dividir 843 entre su complemento aritmético, 
calcule la suma del residuo por defecto, exceso y 
cociente por exceso.
A) 200 B) 139 C) 415
D) 163 E) 162
Nivel III
9. Calcule m + n · p + r en
 
m9
6p
r
n
n
A) 43 B) 37 C) 29
D) 24 E) 32
10. Halle el valor del cociente en
 
ba7b
a4
- 3b
de
bc
 - a
A) 73 B) 18 C) 83
D) 82 E) 84
Helicotarea