07 Artimetica

Vista previa del material en texto

Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
1
12
6
 = 2
18
9
 = 2
22
11
 = 2
Como todas las razones tienen el 
mismo valor o resultado, se puede 
a rmar que son equivalentes entre 
sí; dicho de otra manera, se tendría: 
12
6
 = 18
9
 = 22
11
 = ... = 2 de donde: 
12 = 6.2 ; 18 = 9.2 ; 22 = 11.2 ; …
a
b
 = k
c
d
 = k
e
f
 = k
 Como todas las razones tienen el 
mismo resultado, se puede a rmar 
que:
a
b
 = c
d
 = e
f
 = ... = k de donde:
a = b.k ; c = d.k ; e = f.k ; …
 
 
PROPORCIÓN
Es la igualdad de dos razones. Recordando que 
una razón es la comparación de dos razones, 
podemos indicar que existirán también dos clases de 
proporciones.
CLASES:
 A. ARITMÉTICA
Es la igualdad de 2 
diferencias
10 – 4 = 8 – 2
Se cumple que la 
suma de los términos 
extremos es igual a la 
suma de los términos 
medios.
10 + 2 = 4 + 8
B. GEOMÉTRICA
Es la igualdad de 2 
cocientes
12
6
= 10
5
Se cumple que el 
producto de los 
términos extremos 
es igual al producto 
de los medios. 
12 × 5 = 6 × 10
RAZÓN
Es la comparación que se puede establecer entre dos 
cantidades.
a. Razón aritmética: comparación a través de una 
diferencia.
 Antecedente
A – B = 20 Constante
 Consecuente
b. Razón geométrica: comparación a través de una 
división.
 Antecedente
A
B
 = 3 Constante
 
 Consecuente 
ANÁLISIS
Si: a
b
 = 2
7
, es decir: 
 
Donde “k” representa el valor que 
originalmente tenían en común 
“a” y “b”, y que al ser divididos, 
dicho valor se canceló. 
a = 2k
b = 7k
Se debe conocer que la razón geométrica tiene otras 
formas de identi carse:
 
RAZÓN 
RELACIÓN
SON ENTRE SÍ 
SON PROPORCIONALES 
Razón 
Geométrica
 
 
RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
Son aquellas razones geométricas que si bien no 
tienen los mismos antecedentes y consecuentes, 
tienen el mismo valor en su resultado.
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
1
TIPOS
A. PROPORCIÓN DISCRETA: Es cuando todos 
los términos que la conforman son diferentes en-
tre sí. 
 a – b = c – d a
b
 = c
d
Cuarta diferencial Cuarta proporcional
 
B. PROPORCIÓN CONTINUA: Es cuando los tér-
minos medios que la conforman son iguales.
 a – b = b – c a
b
 = b
c
 
 
Media diferencialMedia
 proporcional
Tercia diferencial 
Tercia proporcional
 
NIVEL BÁSICO
1. Dos números están en la razón de 4 a 11. Si su-
man 90, calcula el mayor.
a) 33 b) 66 c) 55 
d) 77 e) 44
2. La diferencia de dos números es 24; si son pro-
porcionales a 3 y 7, determina su suma.
a) 54 b) 56 c) 60 
d) 48 e) 72
3. Determina la cuarta proporcional de 12; 4 y 24. 
a) 8 b) 12 c) 6 
d) 10 e) 29 
4. Dar la suma de la tercera diferencial de 12 y 8 con 
la media proporcional de 25 y 4.
a) 12 b) 11 c) 14 
d) 13 e) 15
NIVEL INTERMEDIO
5. En una reunión había 518 personas en total. Si se 
sabe que por cada 6 hombres habían 8 mujeres; 
entonces, el número de varones en dicha reunión 
era: 
UNMSM 2014-II
a) 126 b) 222 c) 212 
d) 182 e) 196
6. Dos personas tienen dinero en la relación de 5 a 
7. Si la segunda le entregara a la primera 100 so-
les; entonces, tendrían ambos la misma cantidad. 
¿Cuánto tiene la primera persona?
a) 600 b) 700 c) 500 
d) 750 e) 640
7. Actualmente, las edades de dos personas están en 
la relación de 8 a 11 y dentro de 10 años estarán 
en la relación de 7 a 9. Determina en qué relación 
se encontraban dichas edades hace 4 años. 
a) 5/7 b) 3/7 c) 7/11 
d) 7/10 e) 3/10
8. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 
1200 metros. Si la relación de catetos es 3/4, halla 
la medida de la hipotenusa. 
a) 350 b) 250 c) 450 
d) 400 e) 500 
9. En una esta hay 160 personas, además, por cada 
5 varones hay 3 mujeres y por cada 3 que están 
bailando, 5 no bailan. ¿Cuántos varones no están 
bailando?
A la tercia se le denomina 
también “tercera”.
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
1
a) 70 b) 64 
c) 75 d) 65 
e) 60
10. Dos números son entre sí como 7 es a 13. Si al 
menor se le suma 140, el valor del otro debe mul-
tiplicarse por cinco para que la razón no se altere. 
Halla el mayor de los números. 
UNMSM 2013-II
a) 65 b) 130 
c) 52 d) 78 
e) 104 
11. Las edades de Ana y Rocío son entre sí como 2 es 
a 3, pero dentro de ocho años sus edades estarán 
en la relación de 5 a 7. ¿Hace cuántos años la rela-
ción era de 1 a 2? 
a) 10 b) 8 
c) 12 d) 16 
e) 18
12. El número de vagones que lleva un tren A es los 
5/11 del que lleva un tren B y el que lleva un tren 
C, es los 7/13 de otro tren D. Entre A y B llevan 
tantos vagones como los otros dos. Si el número 
de vagones de cada tren no puede pasar de 60, 
¿cuál es el número de vagones que lleva el tren C? 
a) 27 b) 36 c) 24 
d) 28 e) 25
NIVEL AVANZADO
13. En una esta, en un determinado momento, se 
observa que la cantidad de hombres y la cantidad 
de mujeres están en la relación de 2 a 3. El nú-
mero de personas que bailan (en pareja hombre 
y mujer) y las que no bailan están en la relación 
de 4 a 7. Si el número de hombres que no bailan y 
el número de mujeres que bailan están en la rela-
ción de 6 a N, halla el valor de N. 
UNMSM 2017-I
a) 3 b) 4 c) 7 
d) 5 e) 9
14. Una ciudad está dividida entre dos bandos A y 
B, tales que la población de A es a la de B como 
7 es 3. Si de uno de los bandos se pasa al otro 60 
personas, la razón entre las poblaciones de ambos 
bandos se invierte. ¿Cuál es la población de la ciu-
dad? 
a) 105 b) 100 c) 120 
d) 125 e) 150 
15. Se dispone de tres recipientes cúbicos cuyos lados 
de longitud L
1
; L
2
 y L
3
 cumplen con la siguiente 
condición:
L
1
1
 = 
L
2
2
 = 
L
3
3
Se pretende distribuir 434 litros de agua entre los 
tres recipientes de modo que alcancen el mismo 
nivel o altura. Determina los litros de agua que 
recibe el recipiente de longitud L2. 
UNI 2017-I 
 
a) 112 b) 120 c) 124 
d) 136 e) 146
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Profe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
2
1. MAGNITUD
 Es todo aquello que puede cambiar de valor, ya 
sea aumentando o disminuyendo este. Ej.: el nú-
mero de personas, la cantidad de metros en una 
obra, el tiempo, etc. 
2. MAGNITUD MATEMÁTICA 
 Es aquella cuyo cambio (aumento o disminución) 
se puede expresar con unidades, es decir, se puede 
medir. Ej.: la temperatura, la longitud de una ca-
rretera, etc.
3. MAGNITUDES PROPORCIONALES
 Son aquellas que, al compararse sus valores, estos 
cambian en forma proporcional. Se dividen en:
A. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PRO-
PORCIONALES (DP)
 Son aquellas que al compararse varían ambas 
en la misma forma y en el mismo sentido, es 
decir; si una de ellas aumenta al doble la otra 
también deberá duplicarse y si una de ellas se 
reduce a su tercera parte, la otra también de-
berá reducirse a su tercera parte.
MAGNITUD
1
 MAGNITUD
2
+
–
+
–
 
 PROPIEDAD: 
MAGNITUD 
1
MAGNITUD
2
 = CONSTANTE
 
● Por ejemplo, comparemos la cantidad de 
reglas que queremos comprar y el costo 
de estas mismas:
Costo (S/.) S/.3 S/.6 S/.15 S/.21
Nº de reglas 1 2 5 7
×2
×2
×5
×5
×7
×7
 
 
GRÁFICO:
# de lápices
7
5
2
1
3 6 15 21
Costo
Recta
Cuando se menciona magnitudes 
proporcionales, se hace mención a las 
magnitudes directamente proporcionales
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
2
B. MAGNITUDES INVERSAMENTE PRO-
PORCIONALES (IP)
 Son aquellas que al compararse, ambas varían 
en forma contraria; es decir, si una de ellas 
aumenta al doble, la otra deberá dividirse a la 
mitad, y si una de ellas se reduce a su tercera 
parte, la otra deberá triplicarse.
MAGNITUD
1
 MAGNITUD
2
+
–
–
+
 
 PROPIEDAD:
MAGNITUD
1
 × MAGNITUD
2
 = CONSTANTE
● Por ejemplo, comparemos la cantidad de 
días que tardan en hacer una obra una 
cierta cantidad de obreros:
Nº de obreros 5 10 15 50
Nº de dìas 60 30 20 6
×2
:2
×3
:3
×10
:10
GRÁFICO:
#
Días
60 Hipérbola
Equilátera
#
Obreros
30
20
10
5 10 15 30
4. DETERMINACIÓN DE UNA FÓRMULA 
EMPÍRICA PARA MAGNITUDES PRO-
PORCIONALES
 Para poder determinar una formula empírica se 
debe tener en cuenta las propiedades de las cla-
ses de magnitudes proporcionales vistas anterior-
mente. Ej.:
 A DP B ….(I)
 A IP C ….(II)
 Se observa que en (I) : A
B
= cte, 
 
 pero también en (II) : A.C= cte, 
entonces uniendo ambas quedaría así: 
A  C
B
 = cte (Fórmula empírica) 
NIVEL BÁSICO
1. Determina la relación entre las magnitudes 
dadas:
Número de obreros N° de días
Dureza de un terreno N° de obreros
Metros de una obra N° de días
a) DP,IP,IP b) DP,DP,DP c) IP,IP,DP 
d) DP,IP,DP e) IP,DP,DP
2. Sabiendo que: A es DP a B, B es IP a C, C es DP a 
D y D es DP a E, determina la fórmula empírica 
que se obtiene.
a) A  D E
B C
 = CTE b) A  C
B D E
 = CTE
c) A  D
B C  E
 = CTE d) B  C
A D E
 = CTE
e) A  E
B C D
 = CTE
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Mater
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
2
3. Si A es DP a B3 cuando A = 24, B = 2; calcula A si 
B = 4.
a) 128 b) 144 c) 192 
d) 216 e) 236
4. Sabiendo que A es DP a B2 e IP a C cuando 
A = 24, B = 4 y C = 16; calcula A si B = 8 y C = 4.
a) 64 b) 96 c) 160 
d) 192 e) 144
NIVEL INTERMEDIO
5. Se sabe que A es DP a B, así como también a C, e 
IP a D, así como también a E. Si A = 20, B = 30, 
C = 3, D = 12 y E = 6; calcula E sabiendo que 
A = 16, B = 8, C = 6 y D = 24.
a) 12 b) 2 c) 6 
d) 8 e) 4
6. Para las magnitudes A y B, calcula (x + y) si se 
tiene:
A
4x
x + 6
x
0 y 3y y + 6 B
a) 4 b) 5 c) 3 
d) 2 e) 6
7. Según el siguiente grá co, ¿cuál es el valor de 
“a + b”?
Nº días
b
200
a
0 2 3 600 Nº obreros
a) 201 b) 300 c) 301 
d) 400 e) 602
8. En cierto país se cumple que el cuadrado del pre-
cio de un producto es proporcional a la raíz cua-
drada de su peso. Si un artículo costó 2 monedas 
cuando su peso era 49 gramos; ¿cuál es el peso de 
un artículo por el cual se pagó 6 monedas?
a) 1221 g b) 1396 g c) 3969 g 
d) 11025 g e) 1023 g
9. La e ciencia de un empleado es inversamente 
proporcional al número de días trabajados. Si el 
empleado realiza un trabajo en 24 días, ¿cuánto 
demorará en hacer dicha obra si aumenta su ren-
dimiento en 1/3?
a) 16 b) 15 c) 18 
d) 14 e) 12
 
10. Una imprenta calcula que el precio de un libro es 
DP al número de páginas que tiene dicho libro, e 
IP al número de ejemplares editados. Si un libro 
de 200 páginas, de los cuales se han editado 2000 
ejemplares, cuesta 20 soles; ¿cuánto costará otro 
libro de 150 hojas del cual se han editado 1200 
ejemplares?
a) 25 b) 50 c) 45 
d) 35 e) 40
11. Según la ley de Boyle: la presión es inversamente 
proporcional al volumen que contiene determi-
nada cantidad de gas. ¿Cuál será la presión de un 
gas si al aumentar esta en 2 atmósferas, el volu-
men varía en un 20%?
a) 5 b) 7 c) 3 
d) 6 e) 8
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
2
12. La magnitud R es directamente proporcional al 
cuadrado de la magnitud T. Si en el siguiente cua-
dro están representados los valores de las magni-
tudes respectivas, calcula “x + 3y”.
R 8 50 X
T y 5 6
a) 78 b) 74 c) 75 
d) 70 e) 72
NIVEL AVANZADO
13. La resistencia de un conductor es directamente 
proporcional a su longitud. Si 200 m de este con-
ductor ofrece una resistencia como 6, ¿qué longi-
tud debe tener para que la resistencia del mismo 
sea como 15?
a) 250 b) 300 c) 450 
d) 500 e) 600
14. El precio de una esmeralda varía proporcional-
mente al cuadrado de su peso. Si una esmeralda 
se compró en 5000 dólares y se rompe en dos pe-
dazos cuyos pesos estaban en la proporción de 2 a 
3; ¿cuál es la pérdida sufrida?
a) $ 2800 b) $ 2600 
c) $ 2400 d) $ 1700 
e) $ 1900
15. Se sabe que cuando una piedra cae libremente re-
corre una distancia proporcional al cuadrado del 
tiempo transcurrido. Una piedra recorre 9,8 m en 
un segundo 4 décimas. Determina la profundi-
dad de un pozo si se sabe que al soltar la piedra, 
esta llega al fondo en 2 segundos.
a) 10 m b) 5 m c) 15 m 
d) 20 m e) 18 m
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofeso
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
3
A. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
 Se usa cuando las dos magnitudes son directa-
mente proporcionales entre sí, esto quiere decir 
que, si una de ellas aumenta o disminuye, la otra 
también debe aumentar o disminuir proporcio-
nalmente.
MAGNITUD
1
a
c
+
–
MAGNITUD
2
b
x
+
–
 Entonces, se debe cumplir: a . x = c  b
B. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
 Se usa cuando las dos magnitudes son inversa-
mente proporcionales entre sí, esto quiere decir 
que, si una de ellas aumenta o disminuye, la otra 
debe disminuir o aumentar proporcionalmente.
MAGNITUD
1
a
c
+
–
MAGNITUD
2
b
x
–
+
 Entonces se debe cumplir: a . b = c  x
REGLA DE TRES SIMPLE
Es aquella que se aplica cuando en el problema participan solo dos magnitudes. Esta se divide en dos tipos:
REGLA DE TRES COMPUESTA
Se utiliza cuando en el problema participan más de dos magnitudes.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Para su mejor comprensión, ejempli caremos a través de un problema modelo:
Ocho hombres hacen 8 casas en 8 años trabajando 3 horas diarias. ¿Cuántos hombres harán el doble 
de casas en la mitad del tiempo anterior trabajando 6 horas diarias en un terreno que ofrece una doble 
dureza con respecto al anterior?
A. MÉTODO DE LOS SIGNOS
 Se debe tener cuidado en reconocer todas las magnitudes. 
 Luego se selecciona la magnitud que contiene a la incógnita.
 Se compara cada una de las restantes con la incógnita, para saber si son DP o IP con ella.
 Finalmente, se iguala la incógnita al valor que se encuentra en la parte superior a ella, mul-
tiplicando las restantes en forma de fracción, teniendo en cuenta que, si son DP, sus valores se 
invierten y si son IP los valores se deben mantener.
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
3
HOMBRES
8
X
H/D
3
6
IP
CASAS
8
16
DP
AÑOS
8
4
IP
DUREZA
1
2
DP
X = 8 . 16
8
 . 3
6
 . 8
4
 . 2
1
 entonces operando: x = 32
B. MÉTODO DE LAS RAYAS
 Las magnitudes participantes se colocan según el siguiente orden:
El que
produce
El que
ayuda
El
tiempo
Lo que va
en contraLa obra
Hombres
Máquinas
Animales
Rendimiento
E ciencia
Habilidad
Hrs/diarias
Años
Meses
Días
El trabajo
que se está
realizando
Di cultad
Resistencia
Dureza
P A T O C
 Se traza un aspa antes de la obra, y se prolonga cada extremo del aspa generando dos líneas.
 Para encontrar la respuesta se igualan los productos de los factores que se encuentran en cada una de 
las líneas generadas.
HOMBRES
8
X
DUREZA
1
2
H/D
3
6
AÑOS
8
4
CASAS
8
16
 
 8.3.8.16.2 = x.6.4. 8.1, operando tenemos que: x = 32 
En el método de las rayas, si alguna magnitud no aparece en el 
enunciado, esta se ignora y se siguen colocando las restantes. El 
lugar donde se traza el aspa no cambia, operando normalmente 
con las magnitudes restantes.
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 Mate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
3
NIVEL BÁSICO
1. Juan es el triple de rápido que Pedro. Si juntos 
pueden hacer cierto trabajo en 9 días; ¿en cuántos 
días hace el trabajo Juan trabajando solo?
a) 10 b) 11 c) 12 
d) 13 e) 14
2. Se disuelven 250 gr de azúcar en 5 litros de agua. 
¿Cuántos litros de agua deben añadirse a esta 
mezcla para que en un litro de la nueva mezcla 
existan 10 gr de azúcar?
a) 24 b) 22 c) 25 
d) 26 e) 20
3. Un caballo atado a un poste con una cuerda de 
2 m tarda 8 h en comer todo el pasto que está a 
su alcance. ¿Cuántas horas requeriría este caba-
llo para consumir todo el pasto a su alcance si la 
cuerda fuese de 3 m?
a) 12hr b) 14hr c) 16hr 
d) 18 hr e) 24 hr
4. Una compañía industrial posee 3 máquinas de 
84% de rendimiento para producir 1600 envases 
cada 6 días en 8 horas diarias de trabajo. Si se de-
sea producir 3000 envases en 4 días trabajando 
a 7 horas diarias; ¿cuántas máquinas de 90% se 
requiere?
a) 8 b) 7 c) 4 
d) 6 e) 9
5. Se piensa construir una pared con 15 hombres en 
20 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios con-
tratar si se quiere concluir la pared 8 días antes?
a) 32 b) 18 c) 20 
d) 25 e) 10
6. Dos obreros hacen 350 obras en 7 días. ¿Cuántos 
obreros con el mismo rendimiento pueden hacer 
600 obras en 4 días?
a) 10 b) 9 c) 8 
d) 7 e) 6
7. Se sabe que “x + 6” máquinas pueden hacer un 
trabajo en 20 días; y, que con 3 máquinas adicio-
nales se puede hacer el mismo trabajo en 5 días 
menos. ¿En qué tiempo se podrá hacer el trabajo 
con “x” máquinas?
a) 40 días b) 50 días c) 45 días 
d) 60 días e) 75 días
8. Si “a” obreros tienen víveres para “m” días, y estos 
víveres deben alcanzar “4m” días; ¿cuántos hom-
bres deben disminuir?
a) a/9 b) a/7 c) 3a/5 
d) 3a/4 e) a/2
9. Un carpintero ha construido una mesa en 16 días. 
Si hubiera trabajado 4 horas menos, habría em-
pleado 8 días más para hacer la mesa. ¿Cuántas 
horas hubiera trabajado por día?
a) 8 b) 9 c) 10 
d) 11 e) 12
10. Ochenta obreros trabajan 8 h/d construyendo 
480 m2 de una obra en 15 días. ¿Cuántos días re-
quieren 120 obreros, trabajando 10 h/d, para ha-
cer 960m de la misma obra?
a) 16 b) 17 c) 18 
d) 19 e) 20
11. Ocho obreros, trabajando 10 h/d durante 5 días, 
pueden arar un terreno cuadrado de 400 m de 
lado. ¿Cuántos obreros de doble rendimiento se-
rán necesarios para que en 6 días, trabajando 8 
h/d, pueden arar otro terreno cuadrado de 480 m 
de lado?
a) 2 b) 7 c) 6 
d) 3 e) 4
12. Un grupo de 20 obreros ha hecho 2/5 de una obra 
en 24 días. Si se retiran 4 obreros; ¿cuánto tiempo 
emplearán los restantes para hacer lo que le falta 
de la obra?
a) 30 días b) 40 días c) 45 días 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Profe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
3
d) 48 días e) 50 días
NIVEL AVANZADO
13. Ocho obreros pueden preparar una cancha de 
fulbito de 12 m de ancho y 25 m de largo traba-
jando 10 h/d durante 5 días. Si 4 de los obreros 
aumentaran su rendimiento en 25%, ¿en qué 
tiempo podrían hacer otra cancha de fulbito de 
18 m de ancho y 24 m de largo, trabajando 2 h/d 
menos cada día?
a) 5 días b) 6 días c) 7 días 
d) 8 días e) 9 días
14. Un señor tiene 100000 cabellos. Si cada 3 días 
pierde 360 cabellos, y cada semana le crecen 140 
cabellos; ¿al cabo de cuántos días se quedará com-
pletamente calvo? 
a) 1200 b) 900 c) 450 
d) 500 e) 1000
15. Para realizar una obra en 60 días se contrató una 
cuadrilla de 48 obreros. Luego de 15 días de labor 
se les pidió terminar la obra 9 días antes del plazo 
ya establecido para lo cual se contrató “n” obre-
ros que son 20% más e cientes que los primeros 
y que van a reemplazar a 12 obreros. ¿Cuántos 
obreros fueron contratados?
a) 18 b) 15 c) 20 
d) 21 e) 12
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
4-5
REPARTO PROPORCIONAL
Operación de repartir una cantidad de manera que los resultados sean proporcionales a cantidades 
determinadas. Se divide en dos clases: simple y compuesto.
I. Reparto Simple. Se utiliza cuando el reparto se efectúa teniendo en cuenta una sola relación. Se subdivide 
en dos tipos:
A. Reparto directo: se utiliza cuando al mayor 
número proporcional le corresponde mayor 
cantidad repartida y al menor número pro-
porcional le corresponde menor cantidad re-
partida. Veamos un ejemplo:
Repartir 1200 DP a los números 5; 3 y 4
 Los índices de proporcionalidad se co-
locan en forma vertical según el orden 
que indica el ejercicio.
 Cada uno de estos debe estar acompa-
ñado por una constante, la cual se cal-
cula dividiendo el total a repartir entre 
la suma de dichos índices de propor-
cionalidad.
 Las cantidades repartidas se obtendrán 
al multiplicar el valor de la constante 
con cada índice de proporcionalidad.
K = 1200
5 + 3 + 4
K = 1200
12
K = 100
5(100) = 500
3(100) = 300
4(100) = 400
5k
3k
4k
Cuando en un enunciado se pide repartir 
en forma “proporcional” y no se indica si 
es DP o IP, se re ere a un reparto directo.
B. Reparto inverso: se utiliza cuando al mayor 
número proporcional le corresponde menor 
cantidad repartida y al menor número pro-
porcional le corresponde mayor cantidad re-
partida. Veamos un ejemplo:
Repartir 5800 IP a los números 5; 1 y 4
 Los índices de proporcionalidad se 
invierten, convirtiéndose en un re-
parto directo; y se procede a repartir 
en forma DP a los nuevos índices. De 
obtener números fraccionarios se re-
comienda multiplicar a dichos índices 
por el MCM de los denominadores, 
obteniendo así nuevos números pro-
porcionales. 
 El procedimiento a seguir es el mismo 
que se usó en el reparto directo.
 Repartir 5800 DP a los números 1
5
; 1
1
 y 1
4
 (por 
20)
 Quedaría 5800 DP a los números 4; 20 y 5, enton-
ces:
K = 5800
4 + 20 + 5
K = 5800
29
K = 200
4(200) = 800
20(200) = 4000
5(200) = 1000
4k
20k
5k
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
araPr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
4-5
II. Reparto compuesto. Se usa cuando en un enunciado se menciona más de una relación. La forma práctica 
de resolver este tipo de problema es uniformizando las relaciones, es decir, convertirlas a todas en una sola 
de estas. Se recomienda que todas sean DP, pues es más sencillo el procedimiento. Veamos un ejemplo de 
aplicación.
Repartir 5400 DP a los números 5; 3 y 4
 DP a los números 6; 2 y 5
 IP a los números 15; 1 y 2
 
Debemos recordar que, si las relaciones 
participantes en el reparto son iguales, 
estas se hacen una sola, multiplicando sus 
valores. 
 
 Este quedaría convertido en el siguiente reparto:
 Repartir 5400 DP a los números 5.6
15
 ; 3.2
1
 ; 4.5
2
 Finalmente: Repartir 5400 DP a los números 2; 6 y 10 (Este reparto se efectúa de la forma antes vista)
K = 5400
2 + 6 + 10
K = 5400
18
K = 300
2(300) = 600
6(300) = 1800
10(300) = 3000
2k
6k
10k
 
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DEL REPARTO. 
Si los índices de proporcionalidad poseen factores en común, estos se pueden cancelar y hacer el reparto a 
los números que quedan de dicha simpli cación, y el reparto no se altera. Veamos algunos de los casos más 
propuestos:
ÍNDICES ORIGINALES OPERACIÓN A REALIZARSE NUEVOS ÍNDICES
1200; 3000 y 4200 2(600) ; 5(600) y 7(600) 2; 5 y 7
12ax2 ; 6ax2 y 24ax2 2(6ax2) ; 1(6ax2) y 4(6ax2) 2; 1 y 4
3201 ; 3200 y 3202 31(3200); 1(3200) y 32(3200) 3; 1 y 9
50 ; 72 y 32 5 2 ; 6 2 y 4 2 5; 6 y 4
5!; 6! y 7! (1.2.3.4.5).1; (1.2.3.4.5).6 y (1.2.3.4.5).6.7 1; 6 y 42
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
4-5
NIVEL BÁSICO
1. Reparte 2400 DP a los números 2; 3; 5 y 10. Indica 
la mayor cantidad obtenida. 
a) 1000 b) 560 c) 1200 
d) 960 e) 1500
2. Reparte 5000 IP a los números 4; 7 y 2. Da como 
respuesta la suma de cifras de la cantidad menor 
obtenida en el reparto. 
a) 13 b) 8 c) 12 
d) 9 e) 11
3. Al repartir N DP a los números 3; 5 y 7, se obtuvo 
180 como menor cantidad repartida. Determina 
el valor de N. 
a) 640 b) 800 c) 1200 
d) 750 e) 900
4. Se reparte una cantidad R IP a los números 6; 3 y 
7. Si la mayor cantidad obtenida fue 1400, calcula 
el valor de R. 
a) 1200 b) 2700 c) 1400 
d) 1500 e) 1600
NIVEL INTERMEDIO
5. Reparte 4400 DP a los números 20; 30 y 15, así 
como IP a los números 10; 5 y 5. Da como res-
puesta la mayor cantidad obtenida. 
a) 2400 b) 2500 c) 3000 
d) 1600 e) 2700
6. Reparte 6300 DP a los números 20 ; 45 y 80. 
Determina la menor cantidad obtenida. 
a) 2100 b) 1500 c) 1400 
d) 1600 e) 1800
7. Reparte 5700 DP a los números 7401; 7400 y 7402. In-
dica la suma de las dos menores cantidades obte-
nidas. 
a) 600 b) 900 c) 800 
d) 1000 e) 1200
8. Un profesor les propone a tres de sus alumnos 
premiarlos con 400 soles, teniendo en cuenta la 
cantidad de problemas resueltos en forma adicio-
nal. Si las cantidades fueron 12; 20 y 8, respecti-
vamente; calcula la mayor cantidad recibida por 
uno de estos alumnos. 
a) 250 b) 300 c) 240 
d) 160 e) 180
9. Una carrera tiene un premio de 9400 dólares para 
ser repartidos entre los ciclistas que ocupen los 
tres primeros lugares. Si estos llegaron en 4; 6 y 7 
minutos, ¿cuánto le corresponde al más veloz?
 
a) 4800 b) 4200 c) 4000 
d) 4500 e) 4250
10. Tres obreros realizan una misma obra. El primer 
obrero haría solo la obra en 10 días; el segundo, 
en 8 días; y el tercero, en 12 días. Si por la obra 
se pagó 3700 soles, ¿qué pago le corresponde al 
segundo obrero? 
UNMSM 2014-II
a) 1200 b) 1000 c) 1600 
d) 1700 e) 1500
11. Una empresa contrata a tres operarios a los cua-
les les encarga pintar tres paredes cuadradas cu-
yos lados son 6; 8 y 10 metros, respectivamente. Si 
al término del trabajo la empresa desembolsa 4000 
soles, ¿cuánto le corresponde al segundo operario?
a) 1280 b) 1500 c) 1440 
d) 1120 e) 1000
12. Se quiere dividir una circunferencia en ángulos 
centrales proporcionales a los primeros 23 núme-
ros enteros positivos. Calcula la medida del ma-
yor ángulo. 
a) 15° b) 25° c) 23° 
d) 30° e) 20°
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Profe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
4-5
NIVEL AVANZADO
13. En un determinado país existen cuatro partidos 
políticos, y su senado consta de 40 escaños que se 
distribuyen en forma directamente proporcional 
al número de votos válidos obtenidos por cada 
partido. En la última elección, los votos válidos se 
distribuyeron de la siguiente manera: ALFA, 320 
mil; BETA, 220 mil; DELTA, 140 mil y GAMMA, 
120 mil. ¿Cuántos escaños más tiene ALFA que 
DELTA?
UNMSM-2019-II-Áreas C y E
a) 10 b) 9 c) 12 
d) 8 e) 11
14. Cuatro socios reúnen 200000 soles, de los cuales 
el primero aporta la quinta parte; el segundo, los 
¾ de lo que puso el primero; el tercero, los 5/3 
de lo que puso el segundo; y el cuarto, lo restan-
te. Si luego de 2 años obtuvieron una ganancia de 
150000 y se disuelve la sociedad; ¿qué cantidad 
ganó el cuarto socio?
a) 20000 b) 50000 c) 40000 
d) 60000 e) 30000
15. El gerente de una empresa reparte 121000 soles 
entre sus tres empleados, tomando en cuenta sus 
años de servicio y las inasistencias en este lapso. 
Los empleados tienen 10; 5 y 3 años de servicio 
y 9; 4 y 3 inasistencias, respectivamente. Halla la 
mayor diferencia de soles recibidos entre dos em-
pleados.
a) 9000 b) 18000 c) 12000 
d) 15000 e) 20000
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
6
DEFINICIÓN. 
Es aquel término que representa a un conjunto de 
números y que tiende a ser el valor central de todos 
ellos.
Durante los siglos XIV y XV, en Europa se dio la 
bonanza de los viajes en barcos y navíos, generalmente 
mercantes, y esto generó la aparición de los ladrones 
o “piratas” que asaltaban las embarcaciones 
que transportaban las mercaderías. Los dueños 
decidieron crear una modalidad de protección o 
pérdida menor a través del conocido AVERAGE, 
que quiere decir compensación o promedio. Esta 
solución consistía en que en el momento que se veían 
acorralados, y próximas a ser robadas su mercadería, 
arrojaban parte de esta al mar. Había, en esa acción, 
una doble intención; primero, que los piratas se 
detuvieran a recoger estas, y segundo, distraer a 
los ladrones para poder escapar a lugares seguros. 
Una vez allí, se reunían todos los comerciantes y se 
repartían en partes iguales la mercadería que no 
había sido afectada ni robada. Es así que nace la idea 
de promedios. 
Tomado de “Historia e historias de la matemática” de 
Mariano Perero
CLASES. 
Para un mejor entendimiento, trabajaremos con a
1
, a
2
, 
a
3
, …, a
n
; siendo estas las cantidades a promediarse, 
entonces:
A. PROMEDIO ARITMÉTICO (PA). Se calcula 
sumando las cantidades a promediarse, para lue-
go dividir la suma entrela cantidad de números 
a promediarse. Se le denomina, también, media 
aritmética (MA) o, simplemente, promedio. En-
tonces, quedaría:
PA = a1 + a2 + a3 + ... + an
n
B. PROMEDIO GEOMÉTRICO (PG). Se multipli-
can las cantidades a promediarse, para luego ex-
traer la raíz que lleva como índice la cantidad de 
números a promediarse. Se le denomina, también, 
media geométrica (MG). Entonces, quedaría:
PA = a
1
a
2
a
3
 ... a
n
n
C. PROMEDIO ARMÓNICO (PH). Se calcula di-
vidiendo la cantidad de términos a promediarse, 
entre la suma de las inversas de las cantidades a 
promediarse. Se le denomina, también, media ar-
mónica (MH). Entonces, quedaría:
PH = 
n
1
a
1
 + 1
a
2
 + 1
a
3
 +...+ 1
a
n
D. PROMEDIO PONDERADO (PP). Se calcula 
sumando los productos de las cantidades a pro-
mediarse por su respectivo peso (w
1
; w
2
; w
3
; …; 
w
n
), para luego dividir esto entre la suma de di-
chos pesos. Se le denomina, también, media pon-
deral (MP). Entonces, quedaría:
PP = 
a
1
w
1
 + a
2
w
2
 + a
3
w
3
 + ... + a
n
w
n
w
1
 + w
2
 + w
3
 + ... + w
n
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
6
PROPIEDADES
1. Solo para dos cantidades “a” y 
“b”:
MG2 = MAMH
3. Para “n” cantidades no necesa-
riamente iguales:
MA > MG > MH 
2. Para “n” cantidades iguales:
MA=MG= MH
NIVEL BÁSICO
1. Determinar el promedio aritmético de las propi-
nas que recibe Tito de su papá si estas son: 20; 30; 
40; 50; …; 90 soles por día.
a) 55 b) 72 c) 48 
d) 50 e) 45
2. Indica el promedio geométrico de los números 
16; 1/8 y 4.
a) 4 b) 6 c) 9 
d) 2 e) 8
3. Dar el promedio armónico de los números 2; 3; 6 
y 1/12. 
a) 3/8 b) 11/51 c) 7/11 
d) 5/12 e) 4/13
4. A partir de siguiente cuadro, determina el prome-
dio ponderado:
Evaluación Nota Peso
Examen 1 12 3
Examen 2 15 1
Examen 3 10 3
Examen 4 08 2
a) 10,3 b) 10,4 c) 10,5 
d) 10,6 e) 10,7
NIVEL INTERMEDIO
5. El promedio de 12 números es 22, y el promedio 
de otros 8 números es 32. Calcula el promedio de 
todos los números.
a) 30 b) 26 c) 28 
d) 24 e) 27
6. El promedio geométrico de 21; 22; 23; …; 2x es 32. 
Determina el valor de “x”.
a) 9 b) 10 c) 11 
d) 8 e) 7
7. Stephany sacó 12; 18; 10 en sus tres primeros exá-
menes. ¿Cuánto debe obtener en su cuarto exa-
men para que el promedio general sea 14?
a) 16 b) 14 c) 18 
d) 20 e) 15
8. El mayor de los promedios para dos números es 
25, y el menor de los promedios para estos dos 
mismos números, es 4. Determina el promedio 
geométrico de dichos dos números. 
a) 10 b) 12 c) 15 
d) 11 e) 16
9. El promedio aritmético de las edades de 4 hom-
bres es 48. Si ninguno de ellos es menor de 45 
años, ¿cuál es la edad máxima que podría tener 
uno de ellos? 
a) 63 b) 57 c) 58 
d) 60 e) 59
10. ¿En qué caso y por cuánto es mayor tomar el pro-
medio aritmético en lugar del promedio ponde-
rado de las cantidades 12; 16 y 20; y cuyas ponde-
raciones son 4; 2 y 1? 
a) Aritmético; en 6,74 
b) Aritmético: en 4,73 
c) Aritmético; en 1,72 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe
so
res
 
Ma
ter
ial
 pa
ra 
Pr
ofe
so
res
 M
ate
ria
l p
ara
 Pr
ofe