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Derecho Penal I

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UNAM

jessica g

17/8/2023

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Derecho Penal I

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Geometría Analítica I
Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

2° semestre

Geometría analítica I

Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría

Clave:
05141211/06141211

Geometría Analítica I
Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica

Índice
Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica ................................................................ 3
Presentación de la unidad ............................................................................................................... 3
Propósitos de la unidad ................................................................................................................... 4
Competencia específica .................................................................................................................. 5
Definiciones alternativas de las secciones cónicas .................................................................... 5
Deducción de las cónicas usando las esferas de Dandelin................................................. 12
Definición de las cónicas por su excentricidad ...................................................................... 12
Rectas tangentes a cónicas .......................................................................................................... 14
Tangentes a la circunferencia .................................................................................................. 15
Tangentes a la parábola ............................................................................................................ 20
Tangentes a la elipse ................................................................................................................. 26
Tangentes a la hipérbola ........................................................................................................... 28
Aplicaciones .................................................................................................................................... 31
Propiedades de reflexión de las cónicas ................................................................................ 32
Las cónicas y la astronomía ..................................................................................................... 36
Problemas de movimiento ......................................................................................................... 43
Otros problemas que usan la geometría analítica................................................................. 49
Cierre de la unidad ......................................................................................................................... 51
Para saber más ............................................................................................................................... 51
Fuentes de consulta ....................................................................................................................... 52

Geometría Analítica I
Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica

Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica

Presentación de la unidad

“Al igual que nuestro sistema de numeración indo-arábico, la geometría analítica y sus
retoños son algo aparentemente tan natural, y por ello, tan aceptado de antemano, que
hay que hacer un auténtico esfuerzo para recordar que son inventos humanos y no
aspectos innatos de nuestra naturaleza conceptual o biológica.”
John Allen Paulos1

La recta y las cónicas no son meramente
objetos geométricos, sino que sirven para
modelar y explicar diferentes fenómenos. Por
ejemplo, todo fenómeno de proporcionalidad
directa se modela por medio de una recta, en
cambio, los de proporcionalidad inversa se
modelan con una hipérbola. Las cónicas, a lo
largo de la historia, han permitido describir
diferentes fenómenos físicos y sirven de
sustento a muchas aplicaciones tecnológicas,
seguramente las más conocidas son las
antenas parabólicas. Sin embargo, el camino
para lograr este conocimiento ha tomado
mucho tiempo.

Arquímedes (siglo III a. C.) –quien además de ser un gran matemático fue un
sobresaliente ingeniero–, escribió diversos tratados sobre las cónicas, entre ellos, “sobre
la medida del círculo”, o “sobre la cuadratura de la parábola”, donde determina el área de
un segmento parabólico. Existe una leyenda –porque este hecho histórico no ha sido
plenamente comprobado– que cuenta que, para defender su ciudad, Siracusa, diseñó un
espejo parabólico capaz de concentrar los rayos solares sobre las naves romanas hasta
el punto de incendiarlas.

Otros científicos también lograron grandes avances en su época al demostrar la relación
de las cónicas con el mundo físico, citemos por ejemplo a Galileo y a Kepler, quienes con
sus experimentos y análisis dieron nacimiento a una nueva disciplina: la mecánica, el
estudio matemático de cuerpos en movimiento.

1 Paulos, A. (2003) Más allá de los números. España: Tusquets Editores, S. A. p. 129.
Geometría Analítica I
Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica

 Galileo Galilei, en el siglo XVI, reconoció y demostró que las trayectorias de los
proyectiles son parabólicas.
 Kepler, en el siglo XVII, resolvió el enigma del movimiento de los planetas al
estudiar la órbita descrita por Marte, alrededor del Sol, y establecer que era de
forma elíptica con el Sol situado en uno de sus focos. Posteriormente, Isaac
Newton enunció la Ley de la gravitación universal, basándose en el
descubrimiento de Kepler.

Como puedes darte cuenta, el estudio de las cónicas no se agota con el conocimiento de
su ecuación (canónica o general), sino que es mucho más amplio. En esta unidad
deseamos brindarte una perspectiva de diferentes aplicaciones de las cónicas, tanto en la
propia matemática como en otras disciplinas científicas.

Propósitos de la unidad

Esta unidad te permitirá:
 Identificar similitudes y diferencias entre las
diferentes definiciones de las cónicas, ya sea como
secciones de un cono, como lugar geométrico
(definición bifocal) o a partir de su excentricidad.
 Reconocer las propiedades de las cónicas y sus
aplicaciones en otras ciencias, como la física o la
economía.
 Utilizar y relacionar las propiedades de los objetos
geométricos (punto, recta, cónicas) para la
modelación y solución de problemas.
 Usar lenguajes de distintos tipos: verbal, gráfico,
algebraico, simbólico y saber realizar el tránsito de
uno a otro.
 Desarrollar la capacidad para plantear y resolver
problemas y plantear, considerando diversas
alternativas, creando un plan de trabajo,
interpretando y comprobando tus resultados.

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Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica

Competencia específica

Utilizarás la geometría analítica para modelar fenómenos
físicos y sociales aplicando las propiedades, ecuaciones o
gráficas de los lugares geométricos.

Definiciones alternativas de las secciones cónicas

En la unidad anterior, se definieron las secciones cónicas como las curvas que se
obtienen al cortar, con un plano, un cono doble.

Geometría Analítica I
Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica

Imagina la siguiente construcción en el espacio:

Se tiene una recta fija, a la cual llamaremos
eje y una recta secante a ella, que
denominaremos generatriz, que forma con
el eje un ángulo.

Al girar la generatriz alrededor del eje se
forma un cono de revolución.

Finalmente observamos la formación de un cono doble con su eje.

Las secciones cónicas se forman por la intersección del
cono circular recto con un plano, alque llamaremos .
Dependiendo del ángulo que forman el plano y el eje
del cono, se obtendrán las distint as cónicas.

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Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica

Circunferencia
El plano forma un ángulo de 90° con el eje del cono.

Elipse
El ángulo que forma el plano con el eje del cono, es mayor que el ángulo que forma el eje
con la generatriz.

Parábola
El ángulo entre el plano y el eje del cono es igual al ángulo q ue forman el eje y la
generatriz.

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Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica

Hipérbola

a) El ángulo que forma el plano con el eje del cono, es menor que el ángulo
que forma el eje con la generatriz.

b) El plano es paralelo al eje del cono.

En ambos casos el plano corta las dos ramas del cono y es lo que hace que la hipérbola
se considere una sola curva con dos ramas.

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Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica

Las secciones cónicas se pueden clasificar de la siguiente manera:
La parábola, elipse e hipérbola son secciones cónicas no degeneradas. La
circunferencia es también considerada un caso particular de la elipse, en donde los dos
focos coinciden en un solo punto, que corresponde al centro de la circunferencia.

Las otras secciones que se forman con casos particulares del corte del plano con el cono
se denominan cónicas degeneradas.

A fin de tener un panorama general sobre las cónicas degeneradas a continuación se
presenta brevemente la definición del lugar geométrico para cada caso particular.
Geometría Analítica I
Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica

Las siguientes cónicas degeneradas se obtienen cuando el plano pasa exactamente por el vértice del cono.
Nombre Vista en tres dimensiones Corte frontal
Punto

El ángulo que forma el
plano con el eje del
cono es mayor que el
ángulo que forma el eje
con la generatriz.

La intersección que se
obtiene es un único
punto (el vértice).

En este ejemplo de corte que es
perpendicular al eje del cono.

Recta

El ángulo entre el plano
y el eje del cono es
igual al ángulo que
forman el eje y la
generatriz.

Lo que nos indica que
el plano es tangente al
cono, por lo que
contiene a una de las
generatrices.

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Unidad 4. Problemas clásicos de geometría analítica

Dos
rectas

El ángulo que forma el
plano con el eje del
cono es menor que el
ángulo que forma el eje
con la generatriz.

El ángulo formado por
las rectas irá
aumentando a medida
que disminuye, hasta
alcanzar el máximo, es
decir, el ángulo entre
las dos rectas será
igual a cuando el
plano contenga al eje
del cono .

Cuando el plano contiene al eje del cono y,
por lo tanto, pasa exactamente por el
vértice, se forman dos líneas rectas, como
las que se muestran a continuación ( .

Conforme el ángulo se aproxima a las
dos líneas se acercan entre sí

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Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciatura en Matemáticas

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Deducción de las cónicas usando las esferas de Dandelin

Las cónicas no degeneradas se pueden deducir mediante el uso de las esferas de
Dandelin, este enfoque nos permite estudiar sus propiedades por métodos puramente
geométricos y deducir de esta forma su definición como lugar geométrico, de la manera
en la que se han presentado en la unidad anterior.

Definición de las cónicas por su excentricidad

La excentricidad como la razón entre la distancia del centro al foco y la distancia del
centro al vértice

Una propiedad muy interesante que cumplen la elipse y la hipérbola es que la razón de la
distancia del centro al foco y la distancia del centro a la directriz es un valor constante, al
que denominaremos excentricidad y se representa como:

Por la definición de la elipse:

De allí podemos deducir que:

La excentricidad de la elipse nos indica que tan “alargada” es, por lo que cuando el foco
se acerca más al centro, es decir, el valor de es cada vez más pequeño, por lo tanto el
valor de la excentricidad se aproxima cada vez más a cero, y será cada vez más parecida
a una circunferencia.

De allí que la circunferencia sea la cónica que tiene excentricidad cero, lo que se puede
interpretar considerando que los dos focos de la elipse coinciden con el centro de la
circunferencia, por lo que .

Por otra parte, si la excentricidad está cercana a 1, la elipse es alargada y se asemeja
cada vez más a un segmento de recta (por lo que algunos autores consideran que éste es
la cónica con excentricidad igual a 1).

Por la definición de la hipérbola:

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De allí podemos deducir que:

Es decir,

La excentricidad de la hipérbola es una característica de la forma de su rectángulo
principal y, por lo tanto, de la misma hipérbola.
Si la excentricidad está cercana a 1, la hipérbola parece contraerse hacia el eje
transversal, pero cuando la excentricidad es grande la hipérbola se asemeja a dos líneas
paralelas al eje conjugado.

Esto se debe a que cuanto menor sea la excentricidad de la hipérbola, más alargado será
su rectángulo principal en la dirección del eje que une los vértices, de igual forma, cuanto
mayor sea la excentricidad, más angosto será su rectángulo principal en esa misma
dirección.

En la siguiente escena podrás explorar el efecto de variar el valor de la excentricidad, de
acuerdo a esta definición, y la cónica que se forma.

La excentricidad como la razón de la distancia de un punto al foco y la distancia de un
punto a la directriz es constante.

Como vimos, cada esfera de Dandelin interseca el cono en una circunferencia, a la cual
hemos llamado circunferencia de tangencia. La intersección del plano que contiene a la
circunferencia de tangencia y del plano que contiene a la sección cónica será una línea, a
la cual llamaremos directriz.

En el caso de la parábola, se mostró que se forma una sola directriz.
En la elipse y la hipérbola, se forman dos directrices, las cuales son paralelas entre sí.

De manera que también podemos definir las cónicas en términos de un foco y una
directriz.
Sea una recta fija, llamada directriz, y un punto fijo, llamado foco, que no está sobre
esa recta. Se llama cónica al lugar geométrico de un punto que se mueve en el
plano de y , tal que la razón de su distancia al foco y a la directriz es siempre igual a
una constante , denominada excentricidad.

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Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciatura en Matemáticas

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Donde es un número positivo.

En otras palabras, las cónicas se pueden caracterizar como el conjunto de los puntos
del plano cuya distancia al foco es igual a veces su distancia a la directriz.

La de la cónica, de acuerdo con esta definición, nos permite determinar qué
tipo de cónica es:

Si , es una parábola.

Si , es una elipse.

Si , es una hipérbola.

Rectas tangentes a cónicas

El problema de determinar la tangente a una curva, dado uno punto que pertenece a
dicha curva, interesó a los matemáticos griegos de la antigüedad, quienes, a partir de las

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Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica

Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciaturaen Matemáticas

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observaciones realizadas en los círculos, concibieron a la tangente como la recta que
corta a una curva sin tocarla.
En los elementos de Euclides, Libro III, se establece2:
Definición 2. Una recta es tangente a una circunferencia cuando, tocando a
la circunferencia y siendo alargada, no corta a la circunferencia.

Definición 3. Dos circunferencias son tangentes cuando, tocándose el uno
con el otro, no se cortan.

Apolonio, además de estudiar la generación de las cónicas, estudia sus propiedades,
entre las que incluye las tangentes. Cabe mencionar que en su libro IV se estudian los
puntos de intersección de las cónicas, en donde destaca un método para trazar dos
tangentes a una cónica desde un punto.
Antes de iniciar con el estudio de las rectas tangentes a las cónicas, explora la siguiente
escena.

Tangentes a la circunferencia

Recta tangente a una circunferencia

Una recta es tangente a una circunferencia cuando la toca en un único punto . Esta
recta tiene dos propiedades: engreída
a) La recta tangente es perpendicular al radio de la circunferencia que va de a .
b) La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es igual al radio de
dicha circunferencia.

Una recta es normal a una circunferencia si es perpendicular a la recta tangente en el
punto . De manera que el radio de la circunferencia que une al centro con el punto de
tangencia, pertenece a la recta normal en dicho punto.

Recta tangente a un punto que pertenece a una circunferencia.

Para encontrar la recta tangente a un punto que pertenece a la circunferencia,
primero se debe encontrar la pendiente del radio . Por la propiedad de
perpendicularidad de las rectas, se cumple que , de esta forma es posible
encontrar la pendiente de la recta buscada y con la ecuación punto-pendiente se resuelve
el problema.

Ejemplo 1.

2 https://es.wikisource.org/wiki/Los_Elementos/Libro_III
https://es.wikisource.org/wiki/Los_Elementos/Libro_III

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Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia
que pasa por el punto .
Lo primero es transformar la ecuación de su forma general a la forma canónica

El centro es
La pendiente entre el centro y el punto es

Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en es

Por lo que la ecuación de la recta tangente en es

Ecuación canónica de la recta tangente

Ecuación general de la recta tangente

Recta tangente a un punto exterior a una circunferencia
Ejemplo 2

Encuentra la recta tangente a la circunferencia que pasa por el
punto .

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Primero vamos a averiguar la ecuación de la familia de rectas (o haz de rectas) que pasa
por el punto . Suponemos que la pendiente de esta familia es .

Ecuación canónica de la familia de rectas

Ecuación general de la familia de rectas

Los coeficientes de la ecuación general
son:

La segunda propiedad de las rectas tangentes nos indica que de esta familia de rectas es
necesario encontrar la recta cuya distancia al centro de la circunferencia es igual al
radio, es decir

De la ecuación de la circunferencia podemos determinar las coordenadas del centro y del
radio

Ahora aplicamos la fórmula de distancia del punto a una recta

Nota. Observa que la del lado izquierdo de la igualdad indica el centro de la
circunferencia y la del lado derecho de la igualdad indica el término independiente de la
ecuación de la recta.

Resolviendo la ecuación para

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Donde: , y

Se obtienen dos soluciones para el valor de la pendiente

Las soluciones nos indican que existen dos rectas que son tangentes a la circunferencia y
pasan por el punto . A continuación deducimos la ecuación de cada una de las
rectas, sustituyendo en las ecuaciones de las rectas encontradas anteriormente:

Ecuación canónica de la recta tangente 1

Ecuación general de la recta 1

Ecuación canónica de la recta tangente 2

Ecuación general de la recta 2

A partir de estas dos situaciones, se puede proponer una gran variedad de problemas,
variando los datos conocidos, como el que se muestra a continuación.

Ejemplo 3

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Encuentra la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta en el
punto y pasa por el punto

Una buena estrategia es representar los datos del problema

De allí podemos deducir que el centro de la circunferencia pertenece a la recta
que es perpendicular a la recta dada y que además para por el punto .

La ecuación de la recta es

Ecuación canónica de la recta

Ecuación general de la recta

Las coordenadas del centro, como pertenecen a la recta , satisfacen la ecuación, es
decir,

Por otra parte, la distancia de a debe ser igual que la distancia de a

Simplificando la ecuación anterior

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Sustituyendo el valor obtenido de en (1) se puede encontrar el valor de la abscisa del
centro

Una vez conocidas las coordenadas del centro , falta encontrar el valor
del radio para poder definir la ecuación de la circunferencia buscada

La ecuación de la circunferencia buscada es

O en su forma general

Tangentes a la parábola

Teorema

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La recta tangente a una parábola en un punto es la bisectriz del ángulo formado
por la recta que une el foco con el punto y la recta que es perpendicular a la directriz
y pasa por el punto (recta .

Observa que la recta tangente a una cónica
en un punto es aquella que interseca a la
cónica en un solo punto, de manera que todos
los demás puntos que pertenecen a esta recta
se encuentran en una sola de las regiones
determinadas por la cónica.

A continuación deduciremos la ecuación de la recta tangente a la parábola utilizando para
ello el cálculo diferencial.

Ecuación canónica de la parábola
horizontal
Ecuación canónica de la parábola vertical
Sea Sea
Sabemos que la pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de con respecto a

Derivando implícitamente la ecuación canónica de la parábola con respecto a ,
obtenemos

Para dejar expresada la ecuación anterior en términos de las variables y , podemos
despejar de la ecuación canónica el valor de

Sustituyendo

De manera que en el punto de tangencia la pendiente de la recta tangente es

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Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente en el punto que pertenece a la
circunferenciaes

Si la parábola tiene su vértice en el origen, la ecuación se simplifica

Ejemplo 1
¿Cuál es el punto de intersección de las rectas tangentes a la parábola
que pasan por los extremos del lado recto?
Solución
Lo primero es poder determinar los elementos geométricos de la parábola para poder
definir los extremos del lado recto, para ello transformamos la ecuación general de la
parábola a su forma canónica

Por la forma de la ecuación podemos establecer que la parábola es horizontal y abre
hacia la derecha. A partir de la ecuación también podemos deducir sus elementos
geométricos.
Vértice Longitud del
lado recto
Extremos del
lado recto

Sustituimos las coordenadas de y para poder encontrar la ecuación mostrada en este
ejemplo

Ecuación de la recta tangente en el punto

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El punto de intersección de las dos rectas se obtiene resolviendo el sistema de
ecuaciones

Las soluciones son

Por lo tanto, el punto de intersección es

Ejemplo 2.

En el diseño de carreteras se utiliza el trazo de curvas verticales.
“Una curva vertical es un arco de parábola de eje vertical que une dos tangentes del
alineamiento vertical; la curva vertical puede ser en columpio o en cresta, la curva
vertical en columpio es una curva vertical cuya concavidad queda hacia arriba, y la
curva vertical en cresta es aquella cuya concavidad queda hacia abajo.”3
De manera simplificada los elementos a considerar se muestran a continuación:

Donde:
PIV Punto de intersección de las
tangentes verticales
PCV Punto en donde comienza la curva
vertical
PTV Punto en donde termina la curva
vertical

3 https://es.scribd.com/document/273354815/Trazo-de-Curvas-Verticales
https://es.scribd.com/document/273354815/Trazo-de-Curvas-Verticales

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4
PSV Punto cualquiera sobre la curva
vertical
p1 Pendiente de la tangente de entrada,
en m/m
p2 Pendiente de la tangente de salida,
en m/m
L Longitud de la curva vertical, en metros
E Externa, en metros
F Flecha, en metros
Zo Elevación del PCV, en metros

Un ingeniero desea construir un puente sobre un río de de ancho para unir dos
carreteras. A un lado la carretera tiene una pendiente ascendente del 5%, y al otro lado,
una pendiente descendente de 4%. El ingeniero desea que el puente describa una cuerva
vertical en cresta y se una suavemente con los extremos de la carretera. Convéncelo de
que no es posible construir un puente de esa forma y propón otra curva que pueda
permitirle realizar el puente.

Nombremos al punto donde comienza la curva vertical y al punto donde termina. Las
ecuaciones de las rectas que pasan por esos puntos con las inclinaciones de 5% y 4%,
respectivamente, son:

Tangente en

La parábola que pasa por los puntos y se puede definir por medio de la siguiente
expresión

Donde y son las raíces de la parábola y es una constante de proporcionalidad.

Sabemos que la pendiente de la recta tangente en un punto es

Por lo que la pendiente de la recta tangente de esa parábola es

4 Imagen adaptada de http://www.construaprende.com/docs/tesis/297-trazo-construccion-
carretera?start=18
http://www.construaprende.com/docs/tesis/297-trazo-construccion-carretera?start=18
http://www.construaprende.com/docs/tesis/297-trazo-construccion-carretera?start=18

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De aquí podemos ver que para la pendiente de la recta tangente en es

Sabemos que la abscisa del punto es , por lo que podemos sustituir los valores
conocidos y resolver la ecuación para

Repitiendo el procedimiento para el punto

Conocemos que

Observamos de este resultado que se obtienen dos valores distintos para la ecuación de
la parábola, por lo que se definen dos parábolas:

Parábola 1

Parábola 2

La primera es aquella en la que la recta tangente que pasa por el punto tiene una
inclinación de 5%, la segunda en la que la recta tangente que pasa por el punto tiene
una inclinación de 4%. Por lo tanto, no se puede trazar una curva vertical que permita unir
ambos extremos de carretera con las condiciones propuestas.

Observa que en las áreas marcadas en los rectángulos rojos, las parábolas y su recta
tangente en el punto y , respectivamente, tienen un comportamiento similar.

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Tangentes a la elipse

Teorema
La recta tangente a la elipse en un punto dado es la bisectriz del ángulo formado por
las rectas que unen los focos con el punto de tangencia, es decir, las rectas y ,
con la propiedad de que todos los puntos de la recta tangente están fuera de la elipse.

Si se trazan las rectas y y sus
correspondientes bisectrices, una de ellas
cumplirá con las propiedades del Teorema
y corresponde a la recta tangente, la otra
será la recta normal, la cual es además
perpendicular a la recta tangente en el
punto .

A continuación se muestran las ecuaciones de la recta tangente a la elipse en el punto

Recta tangente a la elipse horizontal

Recta tangente a la elipse vertical

Recta tangente a la elipse horizontal con
centro en el origen

Recta tangente a la elipse vertical con
centro en el origen

Ejemplo
Desde el punto se han trazado tangentes a la elipse

Calcula los puntos de tangencia y la distancia del punto a la cuerda de la elipse que
une dichos puntos.
Solución
En la fórmula de la recta tangente a la elipse, el punto es un punto que pertenece a
la recta y las coordenadas son el punto de tangencia. Con estas consideraciones,
sabemos que , por lo que las incógnitas son . Los valores de los
semiejes, y , podemos deducirlos de la forma de la ecuación canónica. Sustituimos lo
que conocemos en la ecuación de la recta tangente a la elipse horizontal.

Geometría analítica I
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¿Qué significa esta recta que hemos encontrado? Realicemos la gráfica para representar
lo que hasta ahora conocemos.

Observamos que la ecuación de la recta recién encontrada interseca a la elipse en los
puntos y , que son justamente los puntos de tangencia, por lo que necesitamos
encontrar las coordenadas de dichos puntos. Para ello, debemos resolver el sistema de
ecuaciones conformado por la ecuación de la elipse y la ecuación general de la recta (2)

Con el propósito de facilitar los cálculos, transformamos la ecuación canónica de la elipse
a su forma general

Entonces, el sistema a resolver es el siguiente

Despejamos en la ecuación (3) y sustituimos en (4)

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Desarrollamos y simplificamos

Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos dos valores para

Sabemos que las abscisas de estos dos puntos pertenecen a la elipse y a la rectaque
contiene los puntos de tangencia, por lo que para encontrar el valor de sus respectivas
ordenadas podríamos sustituir en cualquiera de estas ecuaciones, pero por ser más
directo, las sustituiremos en la ecuación (1) de la recta.

Primer punto

Segundo punto

Los puntos y son los puntos de tangencia, los que determinan la cuerda buscada,
pero además sabemos que esa cuerda pertenece a la recta , definida por
la ecuación (2), a la que llamaremos .

Por lo tanto, el problema se transforma en encontrar la distancia del punto a la recta, es
decir,

En conclusión, la distancia del punto a la cuerda de la elipse que une los puntos de
tangencia es unidades.

Tangentes a la hipérbola

Teorema
La recta tangente a la hipérbola en un punto dado es la bisectriz del ángulo formado
por las rectas que unen los focos con el punto de tangencia, es decir, las rectas y
, con la propiedad de que todos los puntos de la recta tangente, con excepción de ,
están fuera de las ramas de la hipérbola.

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Al igual que en la elipse, si se trazan las
rectas y y sus correspondientes
bisectrices, una de ellas cumplirá con las
propiedades del Teorema y corresponde a
la recta tangente; la otra será la recta
normal, la cual es además perpendicular a
la recta tangente en el punto .

A continuación se muestran las ecuaciones de la recta tangente a la hipérbola en el punto

Recta tangente a la hipérbola horizontal

Recta tangente a la hipérbola vertical

Recta tangente a la hipérbola horizontal
con centro en el origen

Recta tangente a la hipérbola vertical con
centro en el origen

Ejemplo
Encuentra las ecuaciones de las tangentes de la hipérbola

Que son paralelas a la recta .
Solución

Lo primero es conocer la pendiente de la recta dada para poder resolver el problema.
Sabemos que

Las rectas buscadas, por la condición de paralelismo, deberán tener una pendiente

Ya que conocemos la pendiente, es posible determinar la ecuación de la recta tangente,
pero primero debemos saber si la hipérbola es vertical u horizontal, por ello
transformamos la ecuación a su forma canónica.

Geometría analítica I
Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica

Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciatura en Matemáticas

Por la forma de la ecuación podemos determinar que es una parábola vertical, además
y .
La ecuación de la recta tangente a la parábola vertical es

Donde el punto de tangencia tiene coordenadas y es cualquier punto
perteneciente a la recta.
Transformamos la ecuación de la recta tangente a su forma canónica

De aquí obtenemos que la pendiente de las rectas tangentes buscadas es

Como y pertenecen a la hipérbola, podemos sustituir este valor en su ecuación

Resolviendo para se obtienen dos soluciones, que son las coordenadas de los puntos
de tangencia, a los que nombraremos y . Por lo tanto, y
y
Sustituimos en la ecuación (1)

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Las coordenadas de los dos puntos de tangencia son

Con estos valores podemos fácilmente encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes,
sustituyéndolas en la ecuación de la forma punto-pendiente o en la ecuación de la recta
tangente a la hipérbola.

Ecuación de la recta tangente a la
hipérbola en

Aplicaciones

Si observas a tu alrededor te darás cuenta de que las cónicas están presentes en
diferentes objetos de tu vida diaria:
1. La circunferencia (como sección de una esfera, un cilindro o un cono) en las
formas de las monedas, en todo tipo de ruedas, en arquitectura para la
construcción de bóvedas, arcos, rosetones, etcétera.
2. La parábola en los arcos de puentes y puentes colgantes, además de ser el
principio de funcionamiento del radar y las antenas parabólicas.
3. La elipse, en el diseño arquitectónico (arcos elípticos, ventanales).
4. La hipérbola, en la zona de audibilidad o en esculturas cinéticas.

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Respecto a los fenómenos físicos, su valor radica en la capacidad de permitirnos
comprender o prever ciertos fenómenos del espacio físico mediante una representación
geométrica o modelación, en un plano, y la obtención y análisis de la ecuación que
describe el lugar geométrico así representado.

Sin embargo, debemos tener presente que estas curvas son idealizaciones de objetos de
la realidad material y que, para modelar, en ocasiones se hace necesario tener presente
que hay ciertas variables implícitas en el modelo.

Además, no sólo es en modelos físicos donde se ve su aplicación, también en la
modelación de comportamiento de otros campos, como la economía, en donde las
ecuaciones y sus gráficas nos permiten analizar el comportamiento de ciertos problemas,
los cuales se transforman en el análisis de una recta, una parábola o incluso una
hipérbola.

Actividad 1. Leyes de Kepler

.Revisa el documento de actividades, donde se te dará la indicaciones precisas para
la realización de la actividad.

Propiedades de reflexión de las cónicas

La reflexión es el cambio en la dirección de un rayo de luz cuando éste no logra traspasar
la interfaz entre dos medios. Este fenómeno ocurre con: la luz visible, las ondas sonoras,
las microondas, los rayos X, entre otros. 5

Este fenómeno ocurre con: la luz visible, las ondas sonoras, las microondas, los rayos X,
entre otros.
El principio de reflexión de la luz establece que, si un rayo choca contra una superficie
plana, se refleja de tal manera que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

5 https://www.astromia.com/glosario/reflexion.htm Imagen adaptada. p. 118.
https://www.astromia.com/glosario/reflexion.htm

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33
El ángulo de incidencia sobre una
superficie es aquel que se forma por el
rayo incidente y la normal.
El ángulo de reflexión es el que se forma
por el rayo reflejado y la normal.
El ángulo de incidencia es igual al ángulo
reflejado.
El rayo incidente, el rayo reflejado y la
normal a la superficie pertenecen al
mismo plano.

Propiedad de reflexión de la parábola 6

Sea la recta tangente a la parábola en un punto
, es la recta paralela al eje de la parábola
que pasa por y es la recta que une al foco y el
punto . Entonces, el ángulo de incidencia es igual al
ángulo de reflexión.7

La tangente es la bisectriz del ángulo entre las rectas
y .

Lo anterior indica que, cuando una onda se
mueve de forma paralela al eje de la parábola y
choca con ésta, se refleja hacia el foco y
viceversa, si del foco emana una onda, cuando
choca con la parábola, ésta se refleja
paralelamente al eje.

Al girar una parábola sobre uno de sus ejes se forma una superficie llamada paraboloide.
Esta superficie tiene muchas aplicaciones, principalmente en óptica y electrónica. Por
ejemplo, si se coloca una fuente luminosa en el foco y se tiene una superficie reflejante

6 Ideas adaptadas de https://www.geogebra.org/m/xHwBqDwv7 Oteyza, E., et al. (2005). Geometría analítica. México: Pearson Educación. p. 238.
https://www.geogebra.org/m/xHwBqDwv

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34
con forma de paraboloide, la luz puntual se transmite en forma de rayos paralelos al eje
del paraboloide
Las antenas parabólicas utilizan la propiedad de
reflexión de las ondas electromagnéticas para
enviar o recibir señales, utilizando el foco como
emisor o receptor, respectivamente.

Propiedad de reflexión de la elipse

Sean un punto de una elipse, la recta
tangente a la elipse en el punto , sean también
y las rectas que unen a y a los focos y
de la elipse, respectivamente. Entonces, el
ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión
formados por y este par de rectas son iguales.8

La recta tangente a una elipse en un punto
forma ángulos iguales con las rectas que pasan
por los focos, es decir, . Por lo tanto, la
tangente es la bisectriz del ángulo entre y .

Si por el punto trazamos la recta normal a la recta tangente (es decir, una recta
perpendicular a la recta tangente), observamos que también formará ángulos iguales
entre la recta normal y las rectas que pasan por los focos.

Por lo tanto, se cumple lo establecido en la definición de la propiedad de reflexión.
La recta normal, que pasa por el punto , es la bisectriz del ángulo .

Al girar la elipse sobre uno de sus ejes se forma una superficie llamada elipsoide.
Consideremos que giramos la elipse sobre su eje mayor y que esta superficie es un
espejo.

Si un rayo de luz parte de uno de los focos, al chocar contra el espejo, debido a la
propiedad de la tangente, se reflejará hacia el otro foco.

Propiedad de reflexión de la elipse

8 Oteyza, E., et al (2005). Geometría analítica. México: Pearson Educación. p. 290.

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La reflexión de la elipse tiene diversas aplicaciones, por ejemplo, para fabricar hornos en
los que se desea concentrar el calor en un punto determinado, de manera que se coloca
la fuente de calor en uno de los focos, y en el otro, el objeto que se desea calentar.

Otro ámbito de aplicación es en la arquitectura, para el diseño de “galerías de los
suspiros”, en donde si la galería es un elipsoide y una fuente emite un sonido (débil) en
uno de los focos, se escuchará claramente en el otro foco, lo que permite que se dé un
fenómeno singular: dos personas situadas cada una en los focos de una elipse pueden
mantener una conversación, hablando en voz baja y a pesar del ruido exterior.

Propiedad de reflexión de la hipérbola
Sean un punto de una elipse, la recta
tangente a la elipse en el punto y y
las rectas que unen a y a los focos y
de la hipérbola, respectivamente.
Entonces, el ángulo de incidencia y el
ángulo de reflexión formados por y este
par de rectas, son iguales.9

La recta tangente a una hipérbola en un
punto forma ángulos iguales con las
rectas y que pasan por los focos, es
decir, . Por lo tanto, la tangente es la
bisectriz del ángulo entre y .

Esta propiedad de reflexión de la hipérbola se utiliza en los espejos o reflectores
hiperbólicos, en los cuales los rayos emitidos desde un foco de una hipérbola se reflejan
en la rama más alejada de dicho foco y salen de la hipérbola como si fuesen emitidos por
el otro foco.10

9 Oteyza, E., et al (2005). Geometría analítica. México: Pearson Educación. p. 290.
10 http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0122-04/conicas/hiperbola.html
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0122-04/conicas/hiperbola.html

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La tangente a la hipérbola y los espejos hiperbólicos.
Las propiedades de reflexión de las cónicas se utilizan para construir telescopios. A
continuación se muestra el diseño de dos telescopios.

Telescopio parabólico-hiperbólico, en el
cual se combinan dos espejos, uno
hiperbólico y otro parabólico, como se
muestra en el siguiente diagrama.
Telescopio que incorpora las tres cónicas
en su diseño.
11
En ciertos diseños, el Foco tiene la
propiedad de ser el foco tanto de la parábola
como de una de las ramas de la hipérbola.

Las cónicas y la astronomía

Una de las grandes aportaciones de Kepler son precisamente las leyes que llevan su
nombre y que describen las leyes que rigen el movimiento de los planetas.
En el estudio de la geometría analítica, cabe resaltar la primera ley:

11 http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/conicas/imagenes/teles.gif
http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/conicas/imagenes/teles.gif

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37
“Los planetas se mueven en órbitas elípticas que tienen al Sol en uno de sus focos.”12

Además de los planetas, algunos cometas también siguen trayectorias elípticas, uno de
los más conocidos es el cometa Halley.

A continuación se incluye una tabla13 con la excentricidad de algunos cuerpos celestes y
la distancia media de los planetas al Sol.

La distancia media de un planeta al Sol es el semieje mayor de la órbita elíptica .

Tabla de cuerpos celestes
Cuerpo celeste Excentricidad Distancia media
(U.A.)
Mercurio 0.206 0.387
Venus 0.007 0.723
Tierra 0.027 1
Marte 0.093 1.52
Júpiter 0.048 5.2
Saturno 0.056 9.54
Urano 0.047 19.18
Neptuno 0.009 30.06
Plutón (planetoide) 0.25 39.44
Cometa Halley 0.967 17.858

Nota. La unidad astronómica (U.A.) es la distancia media de la Tierra al Sol.

A continuación te presentamos unos ejemplos.

Ejemplo 1

12 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/kepler.html#c2
13 Tabla adaptada de Oteyza, et al.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/kepler.html#c2

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Cuando un asteroide se aproxima a la Tierra más que Venus, se denomina “rozador de la
Tierra”.

El 24 de abril de 1932, el astrónomo alemán Karl Reinmuth descubrió un asteroide
rozador al que llamó Apolo. Es un asteroide muy particular porque su perihelio se
encuentra a sólo 95 millones de kilómetros del Sol y su afelio está a 353 millones de km
del Sol, por lo que su excentricidad es grande.14
Perihelio: es el punto en el cual un objeto celeste que gira alrededor de una estrella, como
el Sol, se encuentra a la mínima distancia de ella.
Afelio: es el punto en el cual un objeto celeste que gira alrededor de una estrella, como el
Sol, se encuentra a la máxima distancia de ella.

Compara ambas órbitas de manera gráfica, para ello toma en cuenta las siguientes
sugerencias:
 Supón que la órbita de Apolo se encuentra en el mismo plano que la órbita de la
Tierra.
 Elige un sistema de referencia con las unidades adecuadas para comparar ambas
órbitas.
 Ubica el Sol en el origen (recuerda que es uno de los focos de la elipse)

Solución

a) Órbita de la Tierra
Por la información mostrada en la tabla de cuerpos celestes, conocemos que la
excentricidad de la tierra es y la distancia media es de1 U.A.
De allí es sencillo deducir la distancia del centro a uno de los focos.

Y se puede obtener también el valor de

Con estos datos podemos obtener la ecuación de la órbita de la Tierra y graficarla

Centro
Focos

14 Datos obtenidos de http://www.astromia.com/astronomia/rozadores.htm
http://www.astromia.com/astronomia/rozadores.htm

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Vértices

Extremos del semieje menor

b) Órbita de Apolo

De los datos del problema, podemos calcular el valor de , para poder comparar las
órbitas en la misma gráfica, conviene utilizar también la escala de unidades astronómicas.
Copérnico determinó que la distancia media de la Tierra al Sol era de 150 millones de
kilómetros, utilizaremos este valor como una aproximación para realizar los siguientes
cálculos.
Afelio:

Perihelio

Para poder comparar las órbitas, consideraremos que el afelio y el perihelio se alinean al
igual que los de la órbita de la Tierra, por lo que uno de los vértices tiene coordenadas
y el otro vértice tiene coordenadas . Sabemos que el foco
también se encuentra en el Sol, por lo que sus coordenadas son
De manera que esta parte del problema se transforma en “encontrar la ecuación de una
elipse conocidos uno de sus focos y sus vértices”.
Los vértices determinan el diámetro focal, por lo que el punto medio será el centro de la
elipse

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Con esta información podemos deducir el valor del centro a los vértices y del foco a uno
de los vértices.

Sustituimos estos valores en

La excentricidad de la órbita es:

Con estos datos podemos obtener la ecuación de la órbita de la Tierra y graficarla

Centro
Focos

Vértices

Extremos del semieje menor

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41
En la imagen, las líneas punteadas indican el eje menor de las órbitas respectivas. Como
puedes apreciar, en la órbita de la Tierra (color azul) los focos son muy cercanos y, como
la excentricidad es cercana a cero, la forma de la órbita tiende a la de una circunferencia.

En cambio, en la órbita de Apolo (color verde) los focos tienen mayor distancia, al ser la
excentricidad , la elipse es alargada. La excentricidad del asteroide Apolo se
puede considerar muy grande, en comparación con las de los planetas mencionados en la
tabla de cuerpos celestes.

Cabe mencionar que la alineación de las órbitas fue una convención para poder
compararlas, por ese motivo los ejes mayores están alineados.

Ejemplo 2.
Grafica la órbita del cometa Halley, considera al Sol en el origen del sistema de
coordenadas y utiliza las unidades astronómicas para expresar tus resultados.
Encuentra la distancia del afelio y del perihelio de la órbita del cometa Halley y
compáralas.

Por los datos del problema y de la tabla de cuerpos celestes podemos determinar que el
Sol corresponde a uno de los focos y tiene coordenadas y la excentricidad es

De aquí que el valor de
Por la definición de excentricidad

Finalmente, el valor de

Para poder encontrar la ecuación de la elipse y graficarla, es necesario conocer las
coordenadas del centro
Como conocemos el valor de , es posible deducir las coordenadas del centro;
como la elipse es horizontal, se cumple que

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Por lo tanto, podemos deducir los valores de y , que son la abscisa y la ordenada del
centro, respectivamente.

El centro se ubica en
De allí podemos deducir los vértices de la elipse porque conocemos que
y

También podemos deducir las coordenadas del segundo foco y de los extremos del
semieje menor

Con estos datos es posible encontrar la ecuación de la elipse y graficarla

Observa que en este caso, la excentricidad es cercana a uno, por lo que el valor de es
muy próximo a . Geométricamente esto se aprecia en que los focos tienden a acercarse
a los vértices respectivos.
La distancia mínima (perihelio) del cometa al Sol es

El perihelio se encuentra a 0.589 U. A.
La distancia máxima (afelio) del cometa al Sol es

El afelio se encuentra a 35.127 U. A.
Para responder a la pregunta formulada al inicio, podemos comparar estas distancias por
medio de:
a) La diferencia entre ellas

b) Un cociente

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Reflexiona sobre el significado de cada uno de estos resultados: ¿Qué información se
obtiene al comparar por medio de un cociente? ¿Y utilizando una diferencia?
Por último, en la siguiente gráfica se muestra la órbita de la Tierra (en color azul) y la del
cometa Halley (en color gris), ambas curvas con el Sol en el mismo foco; en ellas se
aprecia la influencia de la excentricidad en la forma que toma la cónica.

Problemas de movimiento

En el sistema de navegación LORAN (del inglés LOng RAnge Navigation, navegación de
largo alcance) utiliza la propiedad expresada en la definición de la parábola como principio
de funcionamiento.
Ejemplo. Un gran salto15
Para predecir la distancia que un atleta saltará se puede realizar un análisis de
movimiento y encontrar la ecuación de la trayectoria que realiza en su salto. Una forma de
hacerlo es analizar el centro de masa del cuerpo humano.

15 Actividad cuyas imágenes fueron tomadas del video Un gran salto.
Videos desarrollados por BBC TV : Encyclopaedia Britannica, (1991) [London, England] Ficha disponible en:
http://trove.nla.gov.au/work/22415440?c=music&selectedversion=NBD44436466

http://trove.nla.gov.au/work/22415440?c=music&selectedversion=NBD44436466

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44
Este centro se analiza como si fuera el movimiento puntual sin importar ya lo que el resto
del cuerpo haga.

Entonces se puede describir la trayectoria por medio de una parábola.

Existen diferentes factores que influyen en el salto de un atleta, por ejemplo: la máxima
velocidad lograda al llegar a la marca (desde donde inicia el salto), el ángulo óptimo de
impulso alcanzado, la altura máxima alcanzada en el salto, etcétera.
En este ejemplo analizaremos solamente la trayectoria, conviene por tanto situar el origen
de los ejes de referencia en el momento en el que inicia el salto.
Analizando el gráfico se puede leer el punto de inicio del salto (considerando el centro de
masa), la altura máxima alcanzada y el punto al que llega hasta el final del salto:

Con estos puntos se puede obtener la ecuación de la parábola; como se sabe que es
vertical, la ecuación general de la parábola es

Ten cuidado de no confundir los valores de los coeficientes con las coordenadas del punto
que lleva el mismo nombre:
Dividiendo la ecuación de la parábola entre el coeficiente , se tiene:

Los cuales podemos renombrar como:

Sustituimos las coordenadas de los puntos , y , se obtienen las siguientes
ecuaciones:

Simplificando y reorganizando los términos, obtenemos el siguiente sistema de
ecuaciones:

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Al resolver el sistema de ecuaciones, los valores de los coeficientes son:

Por lo tanto, la ecuación general de la parábola es

Transformando la ecuación a la forma ordinaria, podemos ver los elementos geométricos
y graficarla:

Completando el TCP

¿Qué información nos brinda esta ecuación?
Por ejemplo, de la lectura de la ecuación (2), podemos determinar que el vértice se
encuentra en

Por lo tanto, el punto más alto (del centro de masa) durante el salto, fue de 1.861 m. Un
valor muy cercano al que obtuvimos de la lectura en la gráfica.
Ahora, encontremos las raíces de la ecuación, utilicemos para ello la ecuación (1) para
reducir los errores resultantes de las aproximaciones que realizamos en los cálculos.

Resolviendo la ecuación

De acuerdo con el modelo, la máxima distancia alcanzada por el atleta es de 7 m.
En las ecuaciones (1) y (2), están implícitas diversas variables de física, como las que
mencionamos anteriormente. En un estudio más completo, estas variables deberían ser
explícitas para poder manipularlas y observar los efectos en la distancia del salto,
producto de cada una de ellas.

Lo importante es reflexionar sobre el potencial que da la modelación de fenómenos de
física para poder resolver problemas en diversos ámbitos. Veamos un último ejemplo en
donde reconocerás el papel que juega la tecnología, su potencial y limitaciones.

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Ejemplo
Lanzamiento de martillo. Primož Kozmus es un atleta de lanzamiento de martillo que en
los Juegos Olímpicos de Pekín 2008 obtuvo el primer lugar con un lanzamiento de 82
metros.
Los lanzadores de martillo compiten lanzando una bola pesada adosada a un alambre
metálico con un asidero en el extremo. La bola, el alambre y el asa, juntos, pesan como
mínimo 7.26 kg y como máximo 7.285 kg, en la categoría masculina. La distancia desde el
asa hasta la bola forma una unidad de una longitud máxima de 1.2 metros. Además, si el
martillo no cae en el terreno de un arco de 90°, el lanzamiento no se considera válido.16
Supongamos que el siguiente diagrama ilustra el lanzamiento de Primož Kozmus, la
trayectoria que siguió el martillo se muestra en color rojo y el punto al que llegó es
.

Consideremos que el atleta está girando sobre sí mismo y ubicado en el origen del
sistema de referencias propuesto, como la longitud del alambre es de 1.2 m, entonces la
bola del martillo describe una circunferencia que tiene la siguiente ecuación

Al soltar al martillo este seguirá una trayectoria que corresponde a la recta tangente al
punto en el que fue liberado.
Entonces el problema se transforma en encontrar la recta tangente a la circunferencia
que pasa por el punto .
Primero vamos a averiguar la ecuación de la familia de rectas (o haz de rectas) que pasa
por el punto . Suponemos que la pendiente de esta familia es .

Ecuación canónica de la familia de rectas

Ecuación general de la familia de rectas

La segunda propiedad de las rectas tangentes nos indica que de esta familia de rectas es
necesario encontrar la recta cuya distancia al centro de la circunferencia es igual al
radio, es decir

16 http://elatletismo.galeon.com/enlaces1656466.html
http://elatletismo.galeon.com/enlaces1656466.html

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Ahora aplicamos la fórmula de distancia del punto a una recta

Resolviendo la ecuación para

A continuación deducimos la ecuación de cada una de las rectas, sustituyendo en las
ecuaciones de las rectas encontradas anteriormente

Ecuación canónica de la recta tangente 1

Ecuación canónica de la recta tangente 2

Como conocemos la pendiente de la recta tangente, podemos encontrar la ecuación que
contiene al radio que pasa por el punto de tangencia, sabemos que su pendiente es el
recíproco negativo de la pendiente de la recta tangente. En otras palabras, estamos
buscando la recta normal que pasa por los correspondientes puntos de tangencia y que
además, por las condiciones del problema, sabemos que pasa por el origen, por lo que
sus ecuaciones son:

Ecuación canónica de la recta normal 1

Ecuación canónica de la recta normal 2

Por lo tanto, el punto de tangencia es el punto de intersección de la recta normal con la
recta tangente, por lo que debemos resolver el sistema de ecuaciones

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Punto de tangencia 1

Punto de tangencia 2

Igualamos el sistema de ecuaciones y resolvemos para

Sustituimos en una de las ecuaciones de la recta, en este caso en la recta tangente, para
encontrar el valor de la ordenada

Los puntos de tangencia son

para la recta tangente 1

para la recta tangente 2

Hasta aquí los procedimientos son correctos; sin embargo, al sustituir en la ecuación de la
circunferencia, obtenemos los siguientes resultados:

Esto sucede porque se van acumulando errores al utilizar aproximaciones durante los
diferentes cálculos que se van realizando. Es por este motivo que en el diseño se utilizan
programas (software) especializados que permiten disminuir los errores.

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A continuación se muestran las coordenadas de los puntos de
tangencia y la ecuación de la recta tangente a la
circunferencia obtenidas por medio de un
programa de computación.

Para dar respuesta a nuestro problema utilizaremos estos resultados.
Si el atleta gira en el sentido de las manecillas del reloj, al soltar el martillo, seguirá la
trayectoria que indica la recta en color azul, es decir, irá de hacia , por lo que el punto
en el que soltó el martillo, aproximando el resultado hasta centímetros, es

¿Qué pasaría si hubiera soltado el martillo en el punto ? Este habría seguido la
trayectoria indicada por la recta, pero en dirección contraria, por lo que habría salido del
área indicada por el arco de circunferencia y el lanzamiento no sería válido.

Actividad 2. Problemas de movimiento
En el sistema de navegación LORAN (del inglés LOng RAnge Navigation,
navegación de largo alcance) utiliza la propiedad expresada en la definición de la
parábola como principio de funcionamiento.

Otros problemas que usan la geometría analítica

En este último tema veremos ejemplos de diferentes características, tanto del ámbito
matemático como dentro del contexto de ciencias afines, como la economía.
Ejemplo

Más sobre lugares geométricos.

Paso 1. Encuentra el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes
externamente a las circunferencias y .

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50
Paso 2
Realizamos un diagrama para poder analizar la información que conocemos

Paso 3
representa el centro de las circunferencias buscadas, como son tangentes con las
circunferencias propuestas, entonces la distancia de a cada uno de los centros es igual
a lasuma de los radios, es decir,

Además, se debe cumplir que

De donde

Paso 4
Vemos que la diferencia entre los radios es igual a un valor constante, por lo que, por la
definición de la hipérbola, el lugar geométrico buscado es una hipérbola cuyos focos
serán los centros de cada una de las circunferencias.

El centro de la hipérbola será el punto medio de los centros de las circunferencias dadas.

Paso 5
La distancia entre los centros de las circunferencias es igual a la distancia entre los focos

La distancia del centro a uno de los focos es

Sabemos que

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51
Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola es

Ahora se presentan una serie de ejemplos de ámbitos en los cuales se utiliza la geometría
analítica para resolver problemas.

Cierre de la unidad

Has terminado el estudio de la asignatura de Geometría analítica I.
Se espera que hayas aprendido a apreciar la belleza de las curvas, ya que tienen una
gran importancia para el desarrollo tecnológico.
Los temas expuestos te serán de gran utilidad en el estudio de las asignaturas
posteriores, por ejemplo: Geometría analítica II, Cálculo y Topología.
A lo largo del curso has aprendido a realizar demostraciones geométricas -una de las
labores más importantes del (la) matemático(a)- y a modelar problemas de diversas áreas
que requieren de la aplicación de las cónicas; pero sobre todo a aprender que las
matemáticas son parte del arte, de la vida cotidiana y del desarrollo tecnológico.

Para saber más

 En la actividad introductoria al tema de la hipérbola de laUnidad 3, por medio de la
papiroflexia logramos esbozar la curva. Cada una de las rectas que se define al
doblar el papel tiene la propiedad de ser una recta tangente a la cónica.

 "Una antena parabólica puede servir también para la observación a distancia, sin
más que colocar un espejo que refleje los rayos procedentes de los objetos a
observar y un sistema de lentes que concentren estos rayos sobre la parábola.
Este procedimiento se utiliza en la Torre Tavira, en Cádiz, España; con una
pantalla de unos tres metros de diámetro se puede ver con nitidez todo lo que
ocurre hasta unos 40 kilómetros de distancia".
 Te invitamos a que visites la siguiente página si deseas conocer más sobre esta
torre.
http://www.torretavira.com/es/funcionamiento.php

 Si lo deseas consulta la demostración de las propiedades de reflexión de la
parábola y la elipse en las siguientes páginas. En ellas se aplica el cálculo
diferencial.

http://www.torretavira.com/es/funcionamiento.php

Geometría analítica I
Unidad 4. Problemas clásicos de la geometría analítica

Ciencias exactas, ingenierías y tecnologías/Licenciatura en Matemáticas

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http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/conicas/html/
aplicac_parabola.html#prop_opt

http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/conicas/html/
aplicac_elipse.html#prop_opt
 Realiza la lectura que se presenta en la siguiente página para conocer las Leyes
de Kepler.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/kepler.html

Fuentes de consulta
Bibliográficas:
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Electrónicas:
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 --- (2003). Las leyes de Kepler. Argentina: Academia de Ciencias Luventicus.
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http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/conicas/html/aplicac_elipse.html#prop_opt
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