Calculo DIferencial Unidad 4

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Cálculo diferencial 
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada 
 
Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
1 
Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
 
 
 
Primer Semestre 
 
 
 
Cálculo diferencial 
 
 
 
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo diferencial 
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada 
 
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2 
Índice 
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada ...............................................................................................3 
Presentación de la unidad ....................................................................................................................3 
Propósitos ...............................................................................................................................................3 
Competencia específica .......................................................................................................................3 
4.1. Derivada como razón de cambio .................................................................................................3 
Actividad 1. Cambio de variación ........................................................................................................8 
4.2. Recta tangente a una curva .........................................................................................................8 
Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva .............................................................. 15 
4.3. Máximos y mínimos .................................................................................................................... 15 
4.3.1. Criterio de la primera derivada .......................................................................................... 15 
4.3.2. Criterio de la segunda derivada ........................................................................................ 22 
4.4. Gráfica de una función ............................................................................................................... 26 
Actividad 3. Máximos y mínimos y gráfica de una función ......................................................... 36 
Evidencia de aprendizaje. Aplicación de la derivada .................................................................... 36 
Cierre de la unidad ............................................................................................................................. 36 
Para saber más ................................................................................................................................... 36 
Fuentes de consulta ........................................................................................................................... 37 
 
 
 
 
Cálculo diferencial 
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada 
 
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Unidad 4. Aplicaciones de la derivada 
 
 
Presentación de la unidad 
 
En esta unidad se presentan algunas de las aplicaciones más elementales de la derivada 
como son la razón de cambio, la recta tangente a una curva, los máximos y mínimos 
relativos y el método para graficar funciones. 
 
Estas aplicaciones se desarrollan en diversos contextos, para ver la diversas áreas que 
abarca el Cálculo diferencial y de manera específica la derivada. En Física es común 
contextualizar la derivada como tal, por ejemplo la razón de cambio que existe entre la 
velocidad a razón del tiempo. 
 
Durante esta unidad, la intención es desarrollar ejercicios donde se refleje la razón de 
cambio, representarlos gráficamente, representar una recta tangente a una curva, así como 
encontrar máximos y mínimos, en problemas contextualizados. 
 
 
Propósitos 
 
Identificar en un problema la variación de una cantidad con respecto a otra para interpretarla 
como la derivada de una función. 
 
 
Competencia específica 
 
Utilizar las propiedades de la derivada para resolver problemas de aplicaciones, a través de 
la de la derivada como razón de cambio 
 
 
Derivada como razón de cambio 
 
La idea detrás de este tipo de problemas surge de la física, en mecánica se estudia la 
velocidad y la aceleración de una partícula en un determinado punto, la velocidad no es más 
que la variación de la distancia con respecto al tiempo y la aceleración es la variación de la 
velocidad con respecto a tiempo, la primera se interpreta como la primera derivada y la 
segunda como la derivada de la velocidad, es decir, la segunda derivada. 
 
Considera que una variable y depende de la variable x , es decir, se tiene que ( )y y x , 
además la variable x depende de algún parámetro t , en símbolos ( )x x t , a la variable t a 
veces suele llamársele tiempo. La regla de la cadena garantiza que: 
 
 
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Unidad 4. Aplicaciones de la derivada 
 
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4 
 
      
( )x y x
d d d
y x t y x x t
dt dx dx
       . 
 
Lo cual establece la velocidad con la que está variando y con respecto a t en términos de 
la velocidad de y con respecto a x y la velocidad de x con respecto a t . 
 
Ejemplo 
El volumen de una esfera 3
4
3
V r donde r es el radio de la esfera. Supóngase que el 
radio r varía con respecto al tiempo entonces el volumen de la esfera también tiene una 
variación con el tiempo, la regla de la cadena afirma que: 
     
23
( )
4
( ) 4 )
3
( ) (
r r t
dV d d d
r t r t
dt dr
r r
dt t
t
d
 

 
  
 
 
 
Ejemplo 
Hallar la razón con que una pelota esférica se desinfla sabiendo que cuando radio es 3 cm 
este varia con una velocidad de 0.5 cm/min . 
 
Solución: Antes que nada es recomendable realizar un esquema que ejemplifique el 
ejercicio y que muestre las variables y constantes que estén en juego. En este caso se tiene 
lo siguiente: 
 
Esquema 1 
Después se presentan las relaciones entre las variables con el objetivo de observar las 
dependencias que hay entre ellas. En este caso el volumen de una esfera depende del 
radio de la misma con la relación 3
4
3
V r , observa que el radio r está en centímetros y 
que depende del tiempo t donde el tiempo está en minutos. 
 
Luego hay que identificar las cantidades que están variando y representarlas como 
derivadas, en este ejercicio, se tiene que la frase “su radio varia con una velocidad de 
 
 
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0.5 cm/min ” se interpreta como 0.5 cm/min
dr
dt
  (recuerda que una derivada con signo 
negativo significa que la función decrece) además la frase “la razón con que una pelota 
esférica se desinfla” se interpreta como la velocidad con la que el volumen de la esfera está 
variando con respecto al tiempo, en símbolos se utiliza 
dV
dt
, de forma más concreta se tiene 
que: 
24
d
dt dx
r
V dr
 
El resultado se obtiene sustituyendo 0.5 cm/min
dr
dt
  y 3cmr  del siguiente modo: 
   
22 34 4 03 .5 18 /cm cm/min cm min
dV dr
d
r
t dx
       . 
Por lo tanto, el volumen de la pelota decrece a razón de 318 /cm min . 
 
Ejemplo 
Una escalera de 4 m de longitud está apoyada contra una pared vertical, esta resbala 
alejándose de la pared a una velocidad constante de 0.6 m/seg . Cuando la escalera está a 
3 m de la pared ¿Qué tan rápido se desliza hacia abajo la parte superior de la escalera 
hasta caer al suelo? 
 
Solución 
Como se mencionó en el ejemplo anterior hay que realizar un diagrama ilustrativo, como lo 
muestra la siguiente figura: 
 
Figura 1 
 
Como x y y son los catetos de un triángulo rectángulo, donde x y y están en metros, el 
teorema de Pitágoras afirma que 
2 2 24 16y x x    . Que la escalera resbala alejándose 
a una velocidad constante de 0.6 m/seg significa que 0.6
dx
dt
 y la velocidad con la que se 
 
 
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desliza hacia abajo la parte superior de la escalera es 
dy
dt
, observa que distancia x está en 
metros y que depende del tiempo t donde el tiempo está en segundos. Luego se tiene que: 
 
   2 2
2 2
1
16 16
2 16 16
dy d dx d dx x dx
x x
dt dx dt dx dt dtx x
     
  
 
Solo basta sustituir 0.6
dx
dt
 y 3x  , de lo cual se obtiene: 
 
 
 
2 2
3 1.8 1.8
0.6
16 9 716 16 3
dy x dx
dt dtx
       
 
 
 
Por lo tanto, la velocidad con la que se desliza hacia abajo (recuerda lo que significa una 
derivada negativa) la parte superior de la escalera es de 
1.8
7
m/seg . 
Como habrás observado en los primeros dos ejercicios hay un algoritmo para desarrollar un 
problema de razón de cambio, a manera de sugerencia se presenta el siguiente método: 
 
Paso 1. Define las variables de la ecuación que obtendrás especificando bien en que 
unidades se está trabajando. 
Paso 2. Escribe las relaciones que hay entre las variables y sus derivadas con respecto al 
tiempo. 
Paso 3. Identifica lo que tienes que calcular. 
Paso 4. Escribe la relación que hay entre las variables que dependen del tiempo. 
Paso 5. Deriva con respecto al tiempo la relación encontrada en el paso anterior. 
Paso 6. Sustituye los valores de las cantidades conocidas en la ecuación del paso 
anterior. 
Paso 7. Presenta la conclusión de todo lo realizado en los pasos anteriores. 
 
Para ejemplificar lo anterior se presenta lo siguiente: 
 
Ejercicio: En un tambo de forma cilíndrica de 16 m de altura y 4 m de radio, se comienza a 
llegar con un líquido a razón de 32m /min ¿Qué tan rápido sube el nivel del líquido cuando 
se ha alcanzado 5 m de altura? 
 
Solución: Se procede como lo indica el algoritmo antes presentado: 
Paso 1. Se definen las siguientes variables: 
 
t es el tiempo en minutos. 
h la altura del cilindro. 
V el volumen del cilindro. 
 
 
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7 
Paso 2. El líquido fluye en el tambo a razón de 32m /min lo que implica que 2
dV
dt
 . 
Paso 3. Se desea calcular 
dh
dt
. 
Paso 4. En cualquier instante, el volumen del tambo se expresa por 16V h ya que el 
área del circulo de radio 4 es igual a  
2
14 6  . 
Paso 5. Derivando la relación anterior con respecto a t se tiene 
16
dV dV dh dh
dt dh dt dt
  . 
Paso 6. Se sustituye 2
dV
dt
 y 5h  para obtener 2 16
dh
dt
 , es decir 
1
8
dh
dt 
 , observa 
que la relación anterior no depende de h . 
Paso 7. Por lo tanto, la variación de altura con respecto al tiempo es de 
1
8
m/min

. 
 
Ejemplo: 
Dos personas van caminando, uno va hacia el oeste a una velocidad de 0.8m/s y el otro va 
hacia el norte a 1.2 m/s , van hacia una misma esquina. ¿Con qué velocidad se está 
aproximando uno al otro en el momento en que la primera persona está a 12 m y la segunda 
se encuentra a 18 m de dicha esquina? 
 
Solución: Se procede como lo indica el algoritmo antes presentado: 
 
Paso 1. Se definen las siguientes variables: 
 
t Es el tiempo en segundos. 
x La distancia en metros que tiene que recorrer la primera persona. 
y La distancia en metros que tiene que recorrer la segunda persona. 
z La distancia en metros que hay entre las dos personas. 
 
 
 
Representación de variables 1 
 
 
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8 
 
Paso 2. Como la primera persona se mueve con una velocidad de 0.8m/s y la otra con 
1.2 m/s se tiene que 0.8
dx
dt
  y 1.2
dy
dt
  , signo negativos son porque x y y 
decrecen. 
Paso 3. Se desea calcular 
dz
dt
 en el instante cuando 12x  y 18y  . 
Paso 4. El teorema de Pitágoras garantiza que 2 2 2x y z  . 
Paso 5. Derivando la relación anterior con respecto a t se tiene 
   2 2 2
2 2 2
d d
x y z
dt dt
dx dy dz
x y z
dt dt dt
dx dy
x y
dz dt dt
dt z
 
 


 
 
Paso 6. La relación de Pitágoras afirma que cuando 12x  y 18y  , se tiene que 
2 2(12) (18) 6 13z    y sustituyendo en la relación anterior se tiene lo 
siguiente: 
     
6 1
12 0.8 18 1.2
1.44
3
dx dy
x y
dz dt dt
dt z
   
    
 
Paso 7. En dicho momento, las personas se acercan a una velocidad de 1.44 m/s . 
 
 
Actividad 1. Cambio de variación 
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Recta tangente a una curva 
 
Una gran cantidad de problemas que se presentan en cálculo y física se resuelven 
encontrando la recta tangente a una curva en un determinado punto. El concepto de 
tangente a una curva tiene su origen en el estudio del círculo, aquí una recta tangente es 
aquella que toca al círculo en uno y sólo un punto, como lo muestra la figura siguiente: 
 
 
 
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Recta tangente 1 
 
Esta definición no es aplicable a cualquier curva, en algunos casos no se considerarían 
rectas tangentes y en otros casos no se podría determinar dicha recta, como la muestran las 
siguientes figuras: 
 
 
Recta tangente 2 
 
Para evitar ambigüedades como las presentadas en las figuras anteriores, se define la recta 
tangente a una curva en un punto de la siguiente manera: 
 
Definición 4.2.1: Sea ( )f x una función derivable en algún intervalo que contenga a 0x la 
recta tangente a la gráfica de ( )f x en el punto  0 0, ( )x f x está dada por la relación: 
 0 0 0'( ) ( )y f x x x f x   
 
Dado que la gráfica de una función es única haciendo un abuso de lenguaje en vez de decir 
“la recta tangente a la gráfica” se suele decir “la recta tangente a la función”, gráficamente la 
recta tangente se presenta de la siguiente manera: 
 
 
 
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De manera similar, a la recta tangente se define la recta normal a una curva como se 
presenta a continuación: 
 
Definición 4.2.2: Sea ( )f x una función derivable en algún intervalo que contenga a 0x , con 
0'( ) 0f x  , la recta normal a la gráfica de ( )f x en el punto  0 0, ( )x f x está dada por la 
relación: 
 0 0
0
1
( )
'( )
y x x f x
f x
   
 
 
De manera similar al caso de la recta tangente se suele decir “la recta normal a la función”. 
Gráficamente la recta normal se presenta de la siguiente manera: 
 
 
 
Debes observar que la recta tangente y la recta normal son ortogonales, además cuando la 
recta tangente es horizontal la recta normal es vertical. También algo que debe tener en 
cuenta todo se basa en tener el del punto de tangencia y el valor de la derivada en 
dicho punto. 
 
Ejemplo. 
 
 
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Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la función 2( ) 3f x x x  en el punto 
 1, 2 . 
 
Solución: Utilizando la notación de la Definición 4.2.1 se tiene que 0 1x  y 0( ) 2f x   , 
luego '( ) 2 3f x x  , en particular cuando  '(1) 2 1 3 1f     por consiguiente la ecuación de 
la recta tangente es: 
    0 0 0'( ) ( ) 1 1 2 1y f x x x f x x x          
 
Por otro lado la ecuación de la recta normal es: 
 
 
 0 0
0
1 1
( ) 1 2 3
'( ) 1
y x x f x x x
f x
         

 
 
Gráficamente se tiene lo siguiente: 
 
 
Gráfica recta tangente 1 
 
Ejemplo: 
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 3( ) 3f x x x  que sea paralela a la recta 
9 4y x  . 
Solución: Hay que observar que en este ejercicio no se proporciona las coordenadas del 
punto de tangencia, sin embargo se proporciona el valor de la derivada en dicho puntoya 
que dos rectas en el plano son paralelas si y sólo sus pendientes son iguales significa que la 
recta 9 4y x  y la recta tangente la función tienen pendiente 9m . 
 
 
 
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En consecuencia el problema se limite a encontrar todo x tales que la derivada de la 
3( ) 3f x x x  sea igual a 9 , es decir ' 9y  . Por consiguiente: 
 3 2'( ) 33 3 9
d
f x x x x
dx
   
 
 
Resolviendo algebraicamente: 
2
2
23 3 9
3 2
2
1
4
x
x
x
x
 

 

 
 
Es decir, hay dos punto cuyas recta 1 y 2 que son tangentes a 
3( ) 3f x x x  y que son 
paralelas a la recta 9 4y x  . 
 
 Cuando 2x  se tiene que    
3
(2) 2 3 2 2f    , es decir, el punto tangencia es  2,2 y 
la pendiente de la recta es '(2) 9f  , lo que implica que: 
   0 0 0'( ) ( ) 9 2 2 9 16y f x x x f x x x        . 
 Cuando 2x  se tiene que    
3
( 2) 2 3 2 2f        , es decir, el punto tangencia es 
 2, 2  y la pendiente de la recta es '( 2) 9f   , lo que implica que: 
   0 0 0'( ) ( ) 9 2 2 9 16y f x x x f x x x        . 
 
La representación gráfica de lo anterior es la siguiente: 
 
 
Gráfica recta tangente 2 
 
Ejemplo: Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 2( )f x x en el punto 
1
, 2
2
 
  
 
. 
 
 
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Solución: Primero hay que observar que la información no proporcionar ni los puntos de 
tangencia ni las pendientes de dichas rectas. Como se presentó al inicio de la sección la 
ecuación de la recta tangente a una curva tiene la forma: 
 0 0 0'( ) ( )y f x x x f x   
 
Observa que 0 0'( ) 2f x x y 
2
0 0( )f x x , lo que permite obtener la siguiente relación: 
  2 20 0 0 0 02 2y x x x x x x x     
 
Dado que las rectas tangentes pasa por el punto 
1
, 2
2
 
  
 
, este debe de satisfacer la 
relación anterior, esto permite obtener las siguientes relaciones: 
  
2
0 0
2
0 0
2
0 0
00
2
1
2 2
2
2 0
2 1 0
y x x x
x x
x x
x x
 
 
    
 
  
  
 
Entonces 0 2x   o 0 1x  . 
 
 Cuando 0 2x   se tiene que  
2
(2) 2 4f   , es decir, el punto tangencia es  2,4 y la 
pendiente de la recta es  '( 2) 2 2 4f      , lo que implica que: 
   0 0 0'( ) ( ) 4 2 4 4 4y f x x x f x x x          . 
 
 Cuando 0 1x  se tiene que  
2
(1) 1 1f   , es decir, el punto tangencia es  1,1 y la 
pendiente de la recta es  '(1) 2 1 2f   , lo que implica que: 
   0 0 0'( ) ( ) 2 1 1 2 1y f x x x f x x x        . 
 
Gráficamente se tiene lo siguiente: 
 
 
 
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Gráfica recta tangente 3 
Ejemplo: 
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva 2 24 2 3 0x xy y x y      en el punto 
 1, 2 . 
 
Solución: En este tipo de ejercicio, primero hay que verificar si el punto verdaderamente 
pertenece a la curva, sustituyendo los valores asignado a las variables, en este caso 1x  y 
2y   : 
          
2 2
1 4 1 2 2 2 1 2 3 1 8 4 2 2 3 0               
Esto muestra que el punto de tangencia es  1, 2 . Ahora se procede a calcular la derivada 
de la función implícita definida por la relación 2 24 2 3 0x xy y x y      del siguiente modo: 
   
 
2 24 2 3 0
2 4 4 2 2 0
4 2 1 2 4 2
2 4 2
4 2 1
d d
x xy y x y
dx dx
dy dy dy
x x y y
dx dx dx
dy
x y x y
dx
dy x y
dx x y
     
 
      
 
     
 
 
 
 
Sustituyendo 1x  y 2y   se tiene que: 
   
   
2 1 4 2 2 2 8 2 4
4
4 1 2 2 1 4 4 1 1
dy
dx
     
      
    
 
 
Finalmente se sustituye en la fórmula de la ecuación de la recta tangente: 
 4 1 2 4 6y x x    
 
 
Gráficamente se tiene lo siguiente: 
 
 
 
 
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Gráfica recta tangente 4 
 
 
Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva 
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Máximos y mínimos 
 
Imagina que tienes una empresa que fabrica de determinado producto, como dirigente te 
conviene obtener las mayores ganancias invirtiendo lo mínimo en la fabricación del 
producto, este es un ejemplo de un problema de máximos y mínimos. En esta sección se 
presentan como la derivada es una herramienta muy importante para la resolución de este 
tipo de problemas. 
 
 
Criterio de la primera derivada 
 
En el Teorema 3.1.9 afirma que cuando una función es derivable en un intervalo y tiene un 
máximo o mínimo entonces la derivada es nula en dichos puntos, de forma gráfica, la recta 
tangente a la curva en un punto máximo o mínimo es horizontal. Este teorema simplifica la 
buscada de los máximos o mínimos de una función. 
 
Los máximos y mínimo que se estudian en esta sección son de naturaleza local, esto quiere 
decir, que solo será válido alrededor de un pequeño intervalo, por consecuente se llaman 
máximo y mínimos locales. Los valores máximos y mínimos en todo el dominio de la 
función, toman el nombre de máximo o mínimo absolutos. En lo sucesivo cuando se hable 
de máximo o mínimos se refiere a máximo y mínimos locales. 
 
 
 
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Máximo y mínimo 
 
Definición 4.3.1. Dada una función ( )f x derivable en algún conjunto de punto. Se dice que 
0x es un punto crítico de ( )f x si y sólo si 0'( ) 0f x  . 
 
El Teorema 3.1.9 afirma que los máximos y los mínimos de una función son puntos críticos, 
pero no todo punto crítico es un máximo o mínimo como lo muestra la siguiente figura: 
 
 
Punto crítico, máximo y mínimo 
 
 
Definición 4.3.2. Un punto crítico de ( )f x que no es ni máximo ni mínimo se llama punto 
de inflexión. 
 
Recordando que en una función derivable, si derivada positiva es creciente y si su derivada 
en negativa es decreciente, se tiene una clasificación de los puntos críticos de una función, 
conocido como criterio de la primera derivada. 
 
Teorema 4.3.3. Supóngase que ( )f x es derivable en un intervalo  ,a b que contenga al 
punto crítico 0x de ( )f x , entonces: 
 
 
 
Cálculo diferencial 
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada 
 
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17 
(i). Si '( ) 0f x  para 0x x y '( ) 0f x  para 0x x , ( )f x toma un mínimo en 0x . 
(ii). Si '( ) 0f x  para 0x x y '( ) 0f x  para 0x x , ( )f x toma un máximo en 0x . 
(iii). Si '( ) 0f x  ó '( ) 0f x  para 0x x , 0x es un punto de inflexión de ( )f x . 
 
Demostración: Esto se obtiene aplicando el Teorema 3.5.4. y el Corolario 3.5.5 del 
siguiente modo: 
 
(i). Como '( ) 0f x  para 0x x entonces ( )f x es decreciente y como '( ) 0f x  para 
0x x entonces ( )f x es creciente, luego en 0x la función deja de decrecer para 
comenzar a crecer entonces ( )f x toma un mínimo en 0x . 
 
 
Máximo y mínimo 
 
 
(ii). Como '( ) 0f x  para 0x x entonces ( )f x es creciente y como '( ) 0f x  para 0x x
entonces ( )f x es decreciente, luego en 0x la función deja de crecer para comenzar a 
decrecer entonces ( )f x toma un máximo en 0x . 
 
 
punto máximo 1 
 
 
 
Cálculo diferencial 
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18 
(iii). Cuando '( ) 0f x  para 0x x entonces ( )f x creciente o cuando '( ) 0f x  para 
0x x entonces ( )f x es decreciente, luego en 0x la función ( )f x no deja de crecero 
decrecer, así 0x es un punto de inflexión de ( )f x . 
 
 
punto de inflexión 1 
 
Lo que demuestra el teorema. 
 
El teorema anterior afirma que para clasificar un punto crítico basta observar los cambios de 
signos que se presenta en la derivada para valores cercanos, uno menor y otro mayor, al 
punto crítico. 
 
En resumen para calcular los máximos o mínimos de funciones de una función derivable 
( )f x se realizar el siguiente procedimiento: 
 
Paso 1. Calcula el valor de '( )f x . 
Paso 2. Encuentra los puntos críticos resolviendo la ecuación '( ) 0f x  . 
Paso 3. Clasifica los puntos críticos. 
 
 
Ejemplo 
Hallar los máximos y mínimos de la función 3( ) 3f x x x  . 
 
Solución: Se sigue el procedimiento antes mencionado: 
Paso 1. Dado que 3( ) 3f x x x  implica que 2'( ) 33f x x  . 
Paso 2. Tomando '( ) 0f x  implica que 23 3 0x   , de donde se obtiene que 1x   . 
Paso 3. Para 0 1x   se toma un valor cercano menor 1.1x   y el valor cercano mayor 
0.9x  para observar: 
   
2 2
'( 1.1) 3 1.1 3 0.63 '( 0.9) 3 0.9 3 0.57yf f          
 
 
 
Cálculo diferencial 
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19 
 
Es decir, la derivada paso de un valor positivo a otro negativo, esto quiere decir que 
3( 3)f x x x toma un máximo en 0 1x   . 
Para 0 1x  se toma un valor cercano menor 0.8x  y el valor cercano mayor 1.2x  para 
observar: 
   
2 2
'(0.8) 3 0.8 3 1.08 '(1.2) 3 1.2 3 1.32yf f      
 
 
Es decir, la derivada paso de un valor negativo a otro positivo, esto quiere decir que 
3( 3)f x x x toma un mínimo en 0 1x  . 
 
Gráficamente, se tiene lo siguiente: 
 
 
Máximo y mínimo de la función 1 
 
Ejemplo 
Considera la recta 2 4x y  y todos los rectángulos que se forman de manera similar al que 
muestra la siguiente figura: 
 
 
Máximos y mínimos 
 
 
 
Cálculo diferencial 
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20 
Hallar el rectángulo de mayor área. 
 
Solución 
En este tipo de problemas hay que identificar claramente que se desea maximizar o 
minimizar, en este caso concreto se desea maximizar el área del rectángulo. Sean x y y la 
base y la altura del rectángulo respectivamente. En consecuencia, el área del mismo es 
igual a A xy . 
Por otro lado, hay que observar que un vértice esta sobre la recta 2 4x y  , lo que permite 
hacer despender una variable de la otra, sigamos 
1
2
2
y x   (también se puede hacer 
depender x de y ). Esto permite expresar el área del rectángulo con función de la variable x 
del siguiente modo 2
1 1
2 2
2 2
A xy x x x x
 
       
 
. 
La función a maximizar es 2
1
( ) 2
2
A x x x   , para ello se utiliza el procedimiento antes 
presentado: 
 
Paso 1. Dado que 2
1
( ) 2
2
A x x x   implica que '( ) 2A x x   . 
Paso 2. Tomando '( ) 0A x  implica que 2 0x   , de donde se obtiene que 2x  . 
Paso 3. Para 0 2x  se toma un valor cercano menor 1.5x  y el valor cercano mayor 
2.1x  para observar: 
   '(1.5) 1.5 2 0.5 '(2.1) 2.1 2 0.1yA A         
Es decir, la derivada paso de un valor positivo a otro negativo, esto quiere decir que 
21( ) 2
2
A x x x   toma un máximo en 0 2x  . 
Cuando 2x  se tiene que  
1 1
2 2 2 1
2 2
y x       , por consiguiente el triángulo 
mostrado en la figura es quien tiene más área: 
 
 
Rectángulo de mayor área 
 
Ejemplo 
 
 
Cálculo diferencial 
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21 
Se desea construir una lata de aluminio en forma de cilindro de tal forma que su superficie 
sea de 2100 cm y que tenga el volumen máximo. 
 
Solución 
Hay que observar que aunque seas un experto en maximizar y minimizar funciones, si no se 
conoce como se construye un cilindro este ejercicio no lo podrás entender. 
 
Primero hay que recordar que el desarrollo de un cilindro es el siguiente, donde r es el radio 
de la base y h su altura, observa que ambas variables están dadas en centímetros: 
 
Esquema 1 
 
La superficie del cilindro es igual a la suma de las áreas de los circulo con el rectángulo; 
cada una de las áreas de los círculos son igual 2r , hay que observar que la base del 
rectángulo y la circunferencia tienen que tener la misma longitud es igual a 2 r , por 
consiguiente la superficie del desarrollo del cilindro es 
2 2 2 100r r rh     
 
Además, el volumen de un cilindro está dado por la fórmula 2V hr , por consiguiente 
resolver la relación 2 50r rh   en términos de h se tiene que 
250 r
h
r



 y esto permite 
expresar el volumen V como una función del radio r del siguiente modo: 
 
2
2 2 2 350 5050
r
r h r r rr r
r
V h

   

 
     





 
 
La función a maximizar es 3( ) 50 rV r r   . Para ello se realiza lo siguiente: 
Paso 1. Dado que 3( ) 50 rV r r   implica que 2'( ) 50 3 rV r   . 
Paso 2. Tomando '( ) 0V x  implica que 20 05 3 r  , de donde se obtiene que 
50
3
r

  . 
 
 
Cálculo diferencial 
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22 
Paso 3. El valor 
0
50
3
r

  no se toma en cuenta ya que r es una distancia y no puede 
ser negativa. Para 
0
50
2.303
3
r

  se toma un valor cercano menor 2r  y el 
valor cercano mayor 2.5r  para observar: 
   
2 2
'(2) 50 3 50 12 '(2.5) 50 32 0 2. 50 185 0.75yV V          
 
 
Es decir, la derivada paso de un valor positivo a otro negativo, esto quiere decir que 
3( ) 50 rV r r   toma un máximo en 0
50
3
r

 . 
Cuando 
50
3
r

 se tiene que 
 
2
50 5050 50
3 23
10
350 50
3 3
h
 
 

 
 
        
   
  
 
 
Por lo tanto, el cilindro de superficie 2100 cm y que tiene volumen máximo se tiene cuando el 
radio 
50
3
cmr

 y su altura es 
2
10
3
cmh

 . 
 
 
Criterio de la segunda derivada 
 
En la sección anterior se presentó un método para hallar los máximos y mínimos locales de 
funciones derivables, se observó que la clave de todo es clasificar los puntos críticos de la 
función, pero para clasificar un punto crítico se requiere de elegir un punto menor y otro 
mayor a tal punto, esto puede ser engañoso ya que una pregunta natural que surge es la 
siguiente: ¿estoy tomando un valor cercano adecuadamente?, cuando la función es dos 
veces diferenciable, esta elección no será necesaria, como lo indica el siguiente resultado, 
conocido con el criterio de la segunda derivada. 
 
Teorema 4.3.4. Supóngase 0x es un punto crítico de ( )f x y que 0''( )f x existe, entonces: 
(i). Si 0''( ) 0f x  entonces ( )f x tiene un mínimo en 0x . 
(ii). Si 0''( ) 0f x  entonces ( )f x tiene un máximo en 0x . 
 
Demostración: Aplicando la definición de segunda derivada en 0x se tiene: 
0
0
0
0
'( ) '( )
''( ) lim
x x
f x f x
f x
x x



 
 
 
Cálculo diferencial 
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23 
Por hipótesis como 0'( ) 0f x  se tiene que 
0
0
0
'( )
''( ) lim
x x
f x
f x
x x


. 
Los siguientes argumentos son considerados para valores x cercanos a 0x : 
Para  i cuando 0''( ) 0f x  se tiene que cuando 0 0x x  la ley de los signos implica que 
'( ) 0f x  ; de manera similar, cuando 0 0x x  , se tiene que '( ) 0f x  , como la derivada 
varía de negativo a positivo, implica que ( )f x tiene un mínimo en 0x . 
 
Para  ii cuando 0''( ) 0f x  se tiene que cuando 0 0x x  se asume que '( ) 0f x  ; luego, 
cuando 0 0x x  , se tiene que '( ) 0f x  , como la derivada varía de positivo a negativo, 
implica que ( )f x tiene un máximo en 0x . 
Gráficamente se tiene lo siguiente: 
 
 
Máximo de una función 1 
 
Para calcularlos máximos o mínimos de funciones de una función derivable ( )f x utilizando 
el criterio de la segunda derivada se realizar el siguiente procedimiento: 
 
Paso 1. Calcula el valor de '( )f x . 
Paso 2. Encuentra los puntos críticos resolviendo la ecuación '( ) 0f x  . 
Paso 3. Calcula el valor de ''( )f x . 
Paso 4. Clasifica los puntos críticos. 
 
Ejemplo 
Hallar los máximos y mínimo de la función 4 2( ) 4f x x x  . 
 
Solución 
Se sigue el procedimiento antes mencionado, diferencia radica en la clasificación de los 
puntos críticos. 
 
 
 
Cálculo diferencial 
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24 
Paso 1. Dado que 4 2( ) 4f x x x  implica que 3'( ) 4 8f x x x  . 
Paso 2. Tomando '( ) 0f x  implica que 34 8 0x x  , de donde se obtiene que 0x  ó 
2x   . 
Paso 3. Dado que 3'( ) 4 8f x x x  se tiene que 2''( ) 12 8f x x  . 
Paso 4. Para 0 0x  se tiene que  
2
''(0) 12 0 8 8 0f      , por consiguiente ( )f x tiene 
un máximo en 0 0x  . 
Para 
0 2x   se tiene que    
2
'' 2 12 2 8 16 0f       , por consiguiente ( )f x tiene un 
mínimo en 
0 2x   . 
Para 
0 2x  se tiene que    
2
'' 2 12 2 8 16 0f     , por consiguiente ( )f x tiene un 
mínimo en 0 2x  . 
 
Gráficamente se tiene lo siguiente: 
 
 
Máximo y mínimo de la función 2 
 
Ejemplo 
Se desea construir una caja de cartón sin tapa de base cuadrada que tenga 3200cm de 
capacidad y que tenga un mínimo de superficie. 
 
 
Solución 
Primero considera la figura que describe el problema y las variables presentadas en la 
misma: 
 
 
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25 
 
Esquema 
 
El volumen de la caja está dado por la relación 2V yx , donde x y y están centímetros, 
sustituyendo 200V  , se tiene que 
2
200
y
x
 . Por otro lado, la superficie está dada por la 
relación 24S xy x  , lo que permite obtener 2 2
2
200 800
( ) 4S x x x x
x x
 
    
 
, esta es la función 
a optimizar. 
Paso 1. Dado que 2
800
( )S x x
x
  implica que 
2
1600
'( ) 2S x x
x
   . 
Paso 2. Tomando '( ) 0S x  implica que 
2
0
1600
2x
x
  , es decir 32 100x  . 
Paso 3. Dado que 
2
1600
'( ) 2S x x
x
   se tiene que 
3
1600
2''( )S x
x
  . 
Paso 4. Para 3
0 2 100x  se tiene que 
 
3
3
1600 1600
2 2 4 0
8002 100
''( )S x      , por 
consiguiente ( )f x tiene un máximo en 3
0 2 100x  . 
 
Cuando 32 100x  se tiene que 
 
3
2
3
25
22 100
200
y   . Por lo tanto las dimensiones de la caja 
de superficie mínima están dadas en la siguiente figura: 
 
 
Esquema 
 
 
 
 
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26 
Ejemplo 
Encontrar dos números cuya diferencia sea 200 y cuyo producto sea mínimo. 
 
Solución 
Sean x y y dichos números, entonces 200x y  , además la función a maximizar es 
  2( ) 200 200f x xy x x x x     , por consiguiente: 
 
Paso 1. Dado que 2( ) 200f x x x  implica que '( ) 2 200f x x  . 
Paso 2. Tomando '( ) 0f x  implica que 2 0 020x  , es decir 100x  . 
Paso 3. Dado que '( ) 2 200f x x  se tiene que ''( ) 2f x  . 
Paso 4. Para 0 100x   se tiene que ''( ) 2 0f x   , por consiguiente ( )f x tiene un mínimo 
en 0 100x   . 
Cuando 100x  se tiene que 200 100 200 300y x       . 
 
 
Gráfica de una función 
 
En la Unidad 2 se presentó un método para visualizar un función por medio de la gráfica de 
la misma, esta se construyó evaluando algunos elementos significativos del dominio, pero 
también se mostró que esto puede ser engañoso. En esta sección se presenta un método 
para graficar función que sean derivables a partir de ubicar unos cuantos puntos 
significativos. 
 
Definición 4.5.1. Sea ( )f x una función continua definida sobre un intervalo  ,a b , se dice 
que ( )f x es cóncava hacia arriba si y sólo si el segmento que une a cualquier par de 
puntos  1 2, ,x x a b el segmento que uno a los puntos  1 1, ( )x f x y  22 , ( )x f x está por 
encima de la gráfica de ( )f x en el intervalo. De forma similar ( )f x es cóncava hacia abajo 
si y sólo si el segmento que une a cualquier par de puntos  1 2, ,x x a b el segmento que une 
a los puntos  1 1, ( )x f x y  22 , ( )x f x está por debajo de la gráfica de ( )f x . 
 
 
 
 
Cálculo diferencial 
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27 
 
Gráfica cóncava hacia abajo 
 
 
De manera equivalente se tiene que la gráfica de una función es cóncava hacia arriba si 
para cada recta tangente, la gráfica de la función queda por debajo, de manera similar la 
gráfica de una función es cóncava hacia abajo si la gráfica de la función queda por 
debajo de la las rectas tangentes, esto se presenta de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
La segunda derivada permite caracterizar la concavidad de una curva dos veces derivable, , 
dicho propiedad se presenta como la siguiente resultado 
 
Teorema 4.5.1. Sea ( )f x una función continua definida sobre un intervalo  ,a b tal que 
'( )f x y ''( )f x existe para  ,x a b . Se dice que ( )f x es cóncava hacia arriba si y sólo si 
''( ) 0f x  para todo  ,x a b . Similarmente, se dice que ( )f x es cóncava hacia abajo si y 
solo si ''( ) 0f x  para todo  ,x a b . 
 
Demostración: Sea  0 ,x a b , supóngase que 0''( ) 0f x  luego se tiene: 
0
0
0
0
'( ) '( )
''( ) lim 0
x x
f x f x
f x
x x

 

 
 
 
Cálculo diferencial 
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28 
Luego existe un intervalo que contiene a 0x tal que 
0
0
'( ) '( )
0
f x f x
x x



 para cualquier x en tal 
intervalo. Por otra parte se tiene que la recta 
0x
tangente a la gráfica de ( )f x en 0x esta 
dada por la relación  0 0 0'( ) ( )y f x x x f x   . Para 1x cercano a 0x sea  1 1, ( )Q x f x y 
 1 1,T x y donde  1 0 1 0 0'( ) ( )y f x x x f x   , observa que gra( )Q f y 0xT  y que la 
distancia entre del segmento dirigido de TQ es igual a 
     1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )f x y f x f x x x f x f x f x f x x x            
 
Luego, por el teorema del valor medio, existe d entre 1x y 0x tal que 
0
1 0
1( ) '( )'( )
f x f x
f d
x x



 . 
o equivalentemente  0 1 01( ) '( ) '( )f x f x f d x x   . Sustituyendo se tiene que: 
      1 1 1 0 0 1 0 0 1 0( ) '( ) '( ) '( ) '( )f x y f d x x f x x x f d f x x x        
 
 
Como 1x y d están del mismo lado con respecto a 0x , de la definición de derivada se tiene 
que 0
0
'( ) ( )
0
f d f x
d x



. Si 1 0x x implica que 0d x y que 0'( ) '( ) 0f d f x  ; si 1 0x x implica 
que 0d x y que 0'( ) '( ) 0f d f x  , en consecuencia la cantidades 1 0x x y 0'( ) '( )f d f x 
tienen los mismos signos por lo tanto la distancia dirigida de T a Q es positiva. Por lo tanto 
1 1( )f x y en consecuencia la recta tangente está por debajo de la gráfica de ( )f x en un 
intervalo que contenga a 0x . Lo que demuestra que ( )f x es cóncava hacia arriba en 0x para 
todo  0 ,x a b . El caso ''( ) 0f x  es similar. 
 
Definición 4.5.2. Sea ( )f x una función continua definida sobre un intervalo  ,a b tal que 
'( )f x y ''( )f x existe para  ,x a b . Se dice que  0 ,x a b es un punto de inflexión de 
( )f x si y sólo si 0''( ) 0f x  . 
 
Gráficamente el punto de inflexión es donde la concavidad de la gráfica cambia, como lo 
muestra la siguiente imagen: 
 
Ejemplo 
 
 
Cálculo diferencial 
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29 
Para la función cuadráticas 2( )f x ax bx c  se tiene que '( ) 2f x ax b  y que ''( ) 2f x a 
en consecuencia si 0a  la parábola que representa a la función cuadrática tiene 
concavidad hacia arriba y cuando 0a tiene concavidad hacia abajo. Gráficamente se tiene 
lo siguiente: 
 
Función cuadrática 
 
Antes de enunciar el método para graficar una función se presentan los algunos conceptos 
relacionados con funciones. 
 
Dada una función ( )f x la intersección de la gráfica con el eje horizontal se obtiene 
resolviendo la ecuación ( ) 0f x  y la intersección de la gráfica con el eje vertical se obtiene 
resolviendo la ecuación (0)f y . Como lo muestra la siguiente imagen: 
 
 
 
Función cuadrática 
 
Dada una función ( )f x con dominio en , se dice que ( )f x es par si y solo si ( ) ( )f x f x  
para todo x . De forma similar, se dice que ( )f x es impar si y solo si ( ) ( )f x f x   
para todo x . Gráficamente una función es par si y solo si su gráfica es simétrica con 
respecto al eje vertical y es impar si es simétrica con respecto al origen, como lo muestra la 
siguiente figura: 
 
 
 
 
Cálculo diferencial 
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30 
 
 
Dada una función ( )f x se dice que ( )f x tiene una asíntota vertical en 0x si y sólo si 
0
lim ( )
x x
f x

 
 
De forma análoga, se dice que ( )f x tiene una asíntota horizontal en 0y si y sólo si 
0lim ( )
x
f x y

 . 
 
Si representamos de manera gráfica las asíntotas quedarían de la siguiente forma: 
 
 
 
Ahora se presenta un método para graficar funciones dos veces derivables: 
 
Paso 1. Determina el dominio de la función. 
Paso 2. Encuentra las intersecciones de la gráfica de la función con los ejes 
coordenados. 
Paso 3. Determina la simetría con respecto al eje vertical y con respecto al origen de 
coordenadas. 
Paso 4. Determina las asíntotas horizontales y verticales de la función. 
Paso 5. Calcula la primera y segunda derivada. 
Paso 6. Encuentra los puntos críticos. 
Paso 7. Clasifica los puntos críticos. 
Paso 8. Determina los intervalos donde crece y decrece la función observando el 
signo de su derivada. 
 
 
Cálculo diferencial 
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada 
 
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31 
Paso 9. Determina los puntos de inflexión. 
Paso 10. Verifica la concavidad de la función. 
 
 
Ejemplo 
Graficar la función 4 24( )f x x x . 
 
Solución 
Siguiendo el método anterior se tiene lo siguiente: 
Paso 1. La función 4 24( )f x x x es un polinomio, luego su domino es . 
Paso 2. Tomando ( ) 0f x  implica que 4 2 04x x  , así 0x  ó 2x   , luego la gráfica 
corta al eje horizontal en los puntos  2,0 ,  0,0 y  2,0 . Observa que 
cuando la gráfica pasa por  0,0 ya cortó al eje vertical. 
 
 
 
 
 
Paso 3. Basta calcular    
4 2 4 2) 4 4( ( )f x x x xx f x       , así 4 24( )f x x x es 
simétrica con respecto al eje vertical. 
Paso 4. Como 4 24( )f x x x es un polinomio, no tiene asíntotas. 
Paso 5. Para 4 24( )f x x x se tiene 3'( ) 4 8f x x x  y 2''( ) 812f x x  . 
Paso 6. Cuando '( ) 0f x  implica que 34 8 0x x  . Así 0x  y 2x   . 
Paso 7. Para 0 0x  se tiene que  
2
''(0) 12 0 8 8 0f     , luego en 0 0x  la función 
tiene un máximo cuando    
4 2
(0) 0 0 04f   . Para 
0 2x   se tiene 
   
2
'' 2 12 2 8 16 0f     es decir en 0 2x   la función toma un 
mínimo cuando      
4 2
42 422f       . Finalmente cuando 0 2x  
se tiene    
2
'' 2 12 12 8 6 0f    es decir en 0 2x  la función toma un 
mínimo cuando      
4 2
4 22 2 4f     . De donde se obtienen los 
siguientes puntos  2,4 ,  0,0 y  2, 4 . 
 
 
Cálculo diferencial 
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32 
 
 
 
 
Paso 8. Se tiene que cuando '( ) 0f x  se tiene que 34 8 0x x  , esta desigualdad 
tiene solución    22,0 ,   , en consecuencia '( ) 0f x  se satisface en el 
conjunto    2, 0, 2   . 
 
 
 
Paso 9. Tomando ''( ) 0f x  implica 212 8 0x   , luego 
2
3
x   , evaluando en la 
función se tiene lo siguiente 
4 2
2 2 2 20
4
3 3 3 9
f
     
            
     
   , obteniendo 
los puntos 
2 20
,
3 9
 
   
 
 y 
2 20
,
3 9
 
  
 
. 
 
 
 
Cálculo diferencial 
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33 
 
 
Paso 10. Para ''( ) 0f x  implica que 212 8 0x   , esta desigualdad tiene solución en el 
conjunto 
2 2
, ,
3 3
 
 
 
  
 
  
 
, en consecuencia ''( ) 0f x  tiene solución en el 
conjunto 
2 2
,
3 3
 
  
 
. 
 
 
 
Recopilando toda la información presentada, se tiene que un bosquejo de la gráfica de la 
función 4 24( )f x x x es: 
 
 
 
Cálculo diferencial 
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34 
 
Gráfica de la función 
 
Ejemplo 
Graficar a la función  ( ) senf x x x  . 
 
Solución 
Siguiendo el método anterior se tiene lo siguiente, a lo largo de este ejercicio se utilizan 
algunas propiedades de las funciones seno y coseno, se te recomienda que tengas presente 
la tabla donde se presentan el comportamiento de las mismas: 
 
Paso 1. La función  ( ) senf x x x  es la suma de un es un polinomio y una función 
continua en todo , así el dominio de la función es . 
Paso 2. Tomando ( ) 0f x  implica que  sen 0x x  , así 0x  , luego la gráfica corta 
al eje horizontal en  0,0 . Observa que cuando la gráfica pasa por  0,0 ya 
cortó al eje vertical. 
 
 
 
Paso 3. Basta calcular      ( ) sen sen ( )f x x xx x f x           , así 
 ( ) senf x x x  es simétrica con respecto al origen. 
Paso 4. Como  ( ) senf x x x  es la suma de un polinomio y una función continua en 
todo , no tiene asíntotas. 
Paso 5. Para  ( ) senf x x x  se tiene  1 c( s) o'f x x y  ''( ) senf x x  . 
Paso 6. Cuando '( ) 0f x  implica que  1 cos 0x  . Así  2 1x k   donde k . 
Paso 7. Para  0 2 1x k   y k se tiene que      1 se'' n2 2 1 0k kf      , 
es decir, la función  ( ) senf x x x  no tiene ni máximos ni mínimos. 
 
 
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35 
Paso 8. Se tiene que cuando '( ) 0f x  se tiene que  1 cos 0x  , esta desigualdad 
tiene solución   \ 2 1 |k k  , en consecuencia '( ) 0f x  se satisface en 
el conjunto  , esto quiere decir, que la función siempre es creciente. 
Paso 9. Tomando ''( ) 0f x  implica  sen 0x  , luego x k con k , evaluando en 
la función se tiene lo siguiente      senk k k kf       , obteniendo los 
puntos  ,k k  , con k . 
 
 
Puntos dentro de la gráfica 
 
Paso 10. Para ''( ) 0f x  implica que  sen 0x  , esta desigualdad tiene solución en el 
conjunto   
1
2 ,21
k
k k 


 , en consecuencia ''( ) 0f x  tiene solución en el 
conjunto   
1
2 , 2 1
k
k k 


 . 
 
 
Puntos dentro de la gráfica 
 
Recopilando toda la información presentada, se tiene que un bosquejo de la gráfica de la 
función es: 
 
 
 
Cálculo diferencial 
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada 
 
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36 
 
Bosquejo de gráfica 
 
 
Actividad 3. Máximos y mínimos y gráfica de una función 
Revisa el documento de actividades y espera las indicaciones de tu docente en línea 
 
 
Evidencia de aprendizaje. Aplicación de la derivada 
Revisa el documento de actividades y espera las indicaciones de tu docente en línea 
 
Recuerda que la actividad planteada se relaciona con el problema prototípico que se 
especificó en la informacióngeneral de la asignatura 
 
 
Cierre de la unidad 
 
Durante esta unidad, se presentó el concepto de razón de cambio dentro de diversas 
aplicaciones de la derivada, los cuales en algunas ocasiones las tilizamos sin darle un 
nombre especifico o sin reflexionar sobre dichas acciones. En nuestro mundo es importante 
que estos cambios se midan a través de modelos matemáticos. 
 
Cada vez que presentamos un problema donde se nota la variación de una cantidad a otra, 
estamos representando una aplicación de la derivada. Es por esto que esta unidad es de 
vital importancia para tu carrera, porque te permitirá a ti como estudiante de la Licenciatura 
en matemáticas, crear las bases para nuevos conocimientos en asignaturas posteriores. 
 
 
Para saber más 
 
En la siguiente liga que te recomiendo trata sobre la tangente de una curva, para que 
puedas reforzar los conocimientos obtenidos en esta unidad. 
 http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/28.%20Aplicaciones%20de%20la%
20Derivada.pdf 
http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/28.%20Aplicaciones%20de%20la%20Derivada.pdf
http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/28.%20Aplicaciones%20de%20la%20Derivada.pdf
 
 
Cálculo diferencial 
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada 
 
Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
37 
A través de esta liga podrás revisar diversos ejercicios sobre razón de cambio, así como las 
reglas de derivación. 
 http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm 
Este artículo está escrito en inglés, pero muestra una gran gama de aplicación de la 
derivada. 
 http://www.khanacademy.org/math/calculus/derivative_applications 
 
 
Fuentes de consulta 
Apostol, T. (1990), Calculus, Vol. 1. 2ª Edición. México. Reverté. 
Lang, S. (1986), A First Course in Calculus, 5th edition, Springer. N. Y. Senge Lang 
Larson, R. (2010), Calculo de una variable,9ª Edición, México. Mc Graw Hill. 
Spivak, M. (2008), Calculus, 4th edition, México. Reverte 
Stewart, J. B. (2010), Cálculo de una variable: Conceptos y contexto, 4ª edición, México. 
Cengage Learning. 
Zill, D. (2011), Cálculo; Trascendentes tempranas, 4ª edición, México. Mc Graw Hill. 
http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm
http://www.khanacademy.org/math/calculus/derivative_applications