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Calculo estructural
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CALCULO ESTRUCTURAL
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Competencias del Estudiante
• El alumno evalúa la composici漃Ān y comportamiento de 
materiales de construcci漃Ān para la ejecuci漃Ān de obras de 
construcci漃Ān, de acuerdo a especificaciones t攃Ācnicas y 
normativa vigente, aportando soluciones creativas en la 
resoluci漃Ān de problemas. 
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EVALUACIONES
ES1 PRUEBA 10 %
75%
ES2 PRUEBA 15 %
ES3 PRUEBA 10 %
ES4 PRUEBA 15 %
ES5 PRUEBA 15 %
ES6 PRUEBA 15%
Nota del docente del aula 20%
25%
EXAMEN EXAMEN
EF1 UNIDAD 1TRABAJO COLABORATIVO
EF2 UNIDAD 2TRABAJO COLABORATIVO
EF3 UNIDAD 3TRABAJO COLABORATIVO
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CALCULO ESTRUCTURAL
Unidad 1:Analisis Estructural
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APRENDIZAJES ESPERADOS.
• Reconoce las caracter椃Āsticas y principios del an愃Ālisis 
estructural, en base al comportamiento de las 
estructuras. 
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Objetivos:
• Calcular las solicitaciones internas 
en estructuras simples y marcos, 
de acuerdo a especificaciones de 
proyecto. 
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Estructura
Conjunto de elementos estructurales adecuadamente 
dispuestos, capaces de soportar las cargas, generar 
esfuerzos y transmitirlos a los apoyos.
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Elemento estructurales
Vigas, losas, pilares, muros, cerchas, etc.
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¿Qué son las cargas?
Son fuerzas externas impuestas por el medio 
circundante.
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Tipos de Cargas
Normales: cargas que se aplican 
con lentitud y permanecen en el 
tiempo, ej. peso propio.
Eventuales: Cargas que varían 
con el tiempo, ej. viento, presión de 
fluidos, sismo, empuje de tierra, tráfico 
de vehículos, etc.
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Uniformemente Distribuidas: se 
considera aquellas que para fines 
prácticos son constantes sobre una 
superficie del elemento de soporte.
Puntuales o concentradas: fuerzas que 
tienen superficies de contacto tan 
pequeñas que resultan insignificantes en 
comparación con toda el área de 
superficie del elemento de soporte.
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Estado de Carga: Combinaciones de 
Carga
Normal + Eventual
Ejemplo:
PP+SC
PP+SC+SISMO
PP+SC+VIENTO
PP+SC+NIEVE
Etc.
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Estática Gráfica: Conceptos
a) Fuerza: es la medida de una acción sobre un 
punto.
Magnitud
Dirección (eje o soporte)
Sentido
Punto de aplicación
Magnitud
Sentido
Punto de 
Aplicación
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De esta forma una fuerza puede representar un:
Vector Fijo: tiene claramente definidas las cuatro 
características indicadas.
Vector Deslizante: No tiene punto fijo de aplicación. 
Su magnitud y dirección sólo están referidos a un eje 
de soporte dado.
Vector Libre: No tiene punto de aplicación ni soporte 
determinado; mantiene su magnitud, y su sentido es 
paralelo a una dirección dada.
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b) Momento de una fuerza respecto de un punto
Es una acción de giro en torno de un punto. Se representa por
un vector de magnitud igual al producto de la fuerza por la
distancia al punto, con eje perpendicular al plano definido por
los dos elementos, que pasa por el punto y cuyo sentido (+) es
en el sentido antihorario.
c) Momento de una fuerza respecto de un eje
Es una acción de giro en torno de un eje. Se representa por un
vector de magnitud igual al producto de la proyección de la
fuerza sobre un plano perpendicular al eje por la distancia de
esta proyección al eje y cuyo sentido (+) es en el sentido
antihorario. (saliendo del plano)
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d) Par de fuerzas
Es equivalente a un momento puro, corresponde a la
acción de dos fuerzas paralelas, iguales en magnitud y
opuestas en dirección. Su acción de giro no queda
referida a ningún punto definido.
e) Fuerzas sobre un cuerpo libre
En estática, la acción de un sistema de fuerzas sobre
un cuerpo libre se expresa por sus proyecciones y
momentos respecto de los ejes independientes de
movilidad o grados de libertad del cuerpo. Los grados
de libertad o número de componentes independientes
de un movimiento general son seis en un aspecto
tridimensional: tres de traslación y tres de giro
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s
P2P1
Pn
Pi
x
z
y
Rx =  Pxi
Ry =  Pyi
Rz =  Pzi
Mx =  Mxi
My =  Myi
Mz =  Mzi
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Resultante de un Sistema de Fuerzas
Es la fuerza “total cuyas componentes están 
dadas por las ecuaciones 
Rx =  Pxi
Ry =  Pyi
Rz =  Pzi
La suma de los Momentos fijan la posición de 
la resultante con respecto a los ejes x, y, z 
Mx =  Mxi
My =  Myi
Mz =  Mzi
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Tipos de apoyos de la estructura: 
Rótula móvil (rm): 
Suprime un grado de libertad
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Rótula fija (rf):
Suprime dos grados de libertad
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Empotramiento (emp):
Suprime tres grados de libertad
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EQUILIBRIO ESTATICO
Si una estructura y sus componentes están soportados de tal forma
que, después de ocurrir una pequeña deformación, no es posible
ningún movimiento adicional, se dice que está en equilibrio.
En estas circunstancias, las fuerzas externas están
equilibradas y las fuerzas internas, o esfuerzos contrarrestan
exactamente las cargas.
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EQUILIBRIO ESTATICO
Dado que no hay movimiento de traslación, la suma vectorial de
las fuerzas externas debe ser cero. Dado que no hay rotación, la
suma de los momentos de las fuerzas externas con respecto a
cualquier punto, debeser cero.
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Sistemas Estáticamente 
Equivalentes.
Son sistemas en que la resultante de las
fuerzas son todas simultáneamente cero.
Rx =  Pxi = 0
Ry =  Pyi = 0
Rz =  Pzi = 0
Mx =  Mxi = 0
My =  Myi = 0
Mz =  Mzi = 0
La Resultante es NULA en 
Magnitud y en Momentos
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Sistema de fuerzas coplanares. 
Las Fuerzas actúan en un mismo plano. Si el
plano es (x,y) se tiene:
 Pxi = 0
 Pyi = 0
 Mzi = 0
Estas tres ecuaciones se pueden
utilizar para determinar tres
incógnitas en cualquier sistema de
fuerzas coplanares no concurrentes.
Condición de equilibrio 
en el plano
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COMPOSICIÓN DE FUERZAS
COPLANARES
• Principio del paralelogramo
R = P1 + P2 
X
P
P1
P2
R
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FUERZAS CONCURRENTES
La resultante de dos fuerzas concurrentes 
puede obtenerse por el principio del 
paralelogramo como la diagonal de éste. En 
un sistemas de varias fuerzas puede 
obtenerse la resultante total 
aplicando sucesivamente el 
mismo principio: 
primero R1 entre P1 y P2,
luego R2 entre R1 y P3, etc.,
hasta incluir la última fuerza. 
P2
R2
P1
P3
P4
R3
1
2
3
4
0
R1
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2007
VINCULOS Y REACCIONES
Los vínculos son elementos que suprimen
grados de libertad de un sistema y sus
acciones sobre éste se llaman reacciones. De
acuerdo a la ubicacióny rol en el sistema,
éstos pueden ser externos, de apoyo con los
cimientos o internos, de conexión entre
cuerpos, denominándose corrientemente
apoyos o conexiones, respectivamente.
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GRADOS DE LIBERTAD
Número de coordenadas independientes que 
definen la posición de un sistema en 
movimiento. Para los fines de este análisis los 
sistemas pueden considerarse formados por 
cuerpos sólidos, cuyas posiciones quedan 
determinadas por las coordenadas de una sola 
partícula. 
El movimiento espacial contiene 6 grados de
libertad: tres de translación y tres de giro.
El movimiento plano, sólo tres: dos de
translación y uno de giro.
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REACCIONES EXTERNAS
Representan las acciones de apoyos en las
estructuras. En la concepción de éstas como
sistema de cuerpos libres en equilibrio, se les
considera fuerzas externas.
REACCIONES INTERNAS
Corresponden a la doble acción de los
vínculos de conexión de los cuerpos en
estructuras compuestas. En la concepción
mencionada anteriormente, constituyen
fuerzas separadas, de sentido opuesto e
iguales en magnitud y soporte.
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REACCIONES EXTERNAS
Apoyo fijo
Apoyo móvil
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REACCIONES EXTERNAS
Empotramiento
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GRADOS DE ESTATICIDAD
La estabilidad de un sistema vinculado
depende de los grados de libertad y del
número de restricciones relativas a cada una
de sus partes.
g=gl-re
Donde:
gl= 3*s = grados de libertad
re=restricciones
s=Nº de cuerpos de un sistema
re=rm+2*rf+3*em
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GRADOS DE ESTATICIDAD
g>0 Mecanismo
g=0 Sistema Isostático
g<0 Sistema Hiperestático
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FUERZAS INTERNAS
Una de la leyes fundamentales de la Estática
dice, que si un cuerpo está en equilibrio,
cualquier parte del cuerpo también está en
equilibrio
En cada sección de un estructura en equilibrio,
las fuerzas internas actúan para evitar el
movimiento.
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CONVENCION DE SIGNOS
Cortante, Momento y Esfuerzo axial 
positivo
Q
M
N
Q
M
N
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Ejercicio 01
• La siguiente figura 
muestra el 
diagrama de 
cuerpo libre de 
una viga a la cual 
se le aplican 
cargas. Calcule las 
reacciones de la 
viga en su punto 
de apoyo.
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DIAGRAMA DE CORTE
Un diagrama de cortante es una
representación gráfica del cortante de
cada punto a lo largo de la estructura.
DIAGRAMA DE MOMENTO
Un diagrama de momento es una
representación gráfica del momento de
cada punto a lo largo de la estructura.
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REPRESENTACION GRAFICA DE LOS 
DIAGRAMAS DE CORTE Y MOMENTO
P1 P2 P3 P4
q
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RELACION MOMENTO - FUERZA 
CORTANTE
La pendiente de la curva en cualquier punto
de la estructura , es igual a la cortante en ese
punto. Si Q es la cortante, M el momento y x
la distancia a lo largo de la viga, entonces:
Q = dM / dx
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RELACION MOMENTO - FUERZA 
CORTANTE
La localización del punto de máximo 
momento corresponde siempre a la 
posición donde la curva de la fuerza 
cortante corta al eje de la estructura.
dM / dx = 0
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PASOS PARA CONFECCION DE 
DIAGRAMAS DE MOMENTO Y FUERZA 
CORTANTE
1) Calcular las reacciones por estática.
2) Trace un diagrama de cuerpo libre de toda
la estructura, dejando suficiente espacio
directamente debajo de él, para dibujar
los diagramas de fuerzas cortantes y
momentos flexionantes.
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PASOS PARA CONFECCION DE 
DIAGRAMAS DE MOMENTO Y FUERZA 
CORTANTE
3) Corte la estructura en cualquier sección
donde exista un tipo diferente de carga y
trácese un diagrama de cuerpo libre de
las secciones correspondientes.
4) Se escriben las ecuaciones para, la fuerza
cortante y el momento flexionante a partir
de los diagramas de cuerpo libre y se
trazan estas ecuaciones sobre los
diagramas correspondientes de V o M
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RETICULADOS ISOSTÁTICOS PLANOS
Las estructuras reticuladas o reticulados pueden definirse como sistemas 
estables formados por barras unidas en los extremos. Es un tipo de 
construcción muy usado en la práctica; sus aplicaciones principales se 
encuentran en edificios, obras civiles, estructuras mecánicas, etc.
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CerchasTípica
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Reticulados planos
Sus barras son coplanares. Pueden ser estables 
sólo en su plano.
Reticulados espaciales
Poseen barras en tres direcciones. Pueden ser 
estables en cualquier dirección.
En este curso se estudiará solamente reticulados planos.
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FORMAS Y DENOMINACIONES CONVENCIONALES
Los reticulados de cubiertas de edificios soportantes de cargas de techo y 
de otras afines, se denominan corrientemente CERCHAS; a los reticulados 
de puentes se les llama ENREJADOS.
Por disposiciones de carga y apoyos, o por razones de arquitectura, se 
adoptan preferentemente determinadas formas, cuyas denominaciones son 
ya convencionales. Las figuras muestran algunas de las más frecuentes.
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CERCHAS
 
FAN 
 
PRATT 
HOWE 
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ENREJADOS.
 
PRATT 
HOWE 
 
WARRE
N 
TIPO K 
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ENREJADOS
Fotografías del Viaducto Malleco, 
IX Región.
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ANÁLISIS DE LOS ESFUERZOS
Por condiciones intrínsecas estructurales, 
en los elementos de un reticulado el 
esfuerzo de flexión no alcanza valores de 
consideración práctica. Es el Esfuerzo 
Normal es el predominante.
Lo citado conduce a elegir barras y no 
vigas, en la concepción de estas 
estructuras; además, permite la 
idealización de éstas en modelos teóricos 
simplificados.
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a) Condiciones Estructurales
Las condiciones estructurales fundamentales son dos:
• Ejes de barras concurrentes a los nudos.
• Cargas localizadas sólo en los nudos.
La primera debe procurarse con la mayor aproximación 
posible como exigencia y medida de un buen diseño.
Respecto a la segunda condición, si la naturaleza de las 
cargas no es concordante con ella, por ser distribuida o 
concentrada fuera de los nudos, se corrige gracias a 
implementos secundarios, los cuales desempeñan 
generalmente otras funciones en la estructura.
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La figura muestra un caso típico, en que las 
costaneras de una cubierta que reciben las 
cargas de techo, descansan sobre nudos de un 
reticulado.
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b) Idealización Teórica
Las condiciones estructurales citadas fundamentan un 
modelo teórico de las siguientes características:
• Rótulas múltiples en lugar de nudos rígidos.
• Barras rectas conectadas a las rótulas múltiples.
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Cualquiera de las uniones representa una conexión rígida,
y podría considerarse como nudo rígido; sin embargo, las
barras por la escasa estabilidad a la flexión, no
constituyen nudos capaces de tomar momento, siendo su
comportamiento similar al de una rótula. Por otra parte no
existiendo flexión en las barras por momentos nodales ni
por cargas de tramo, es el Esfuerzo Normal, como ya se
dijo, el único teóricamente posible.
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c) Estaticidad externa
Una armadura posee las cualidades cinemáticas de cuerpo 
sólido: tres grados de libertad en el plano. Nos remitimos 
al análisis de estaticidad externa de éste.
Ejemplo: Determinar el grado de estaticidad externa en la 
estructura siguiente:
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En los reticulados, es frecuente el uso de 
barras como elementos de conexión; así por 
ejemplo, la barra “a representa un apoyo 
móvil. Las barras “b y “c constituyen una 
rótula fija.
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Respuesta:
Cuerpos o armaduras: S = 2
Rótulas fijas: r f = 2
Rótulas móviles: r m = 2
ge= 3 S - 2 r f - 1 r m
ge = 3 x 2 – 2 x 2 – 1 x 2 = 0 Isostaticidad externa
ge > 0  Mecanismo Externo
ge = 0  Sistema Isostático Externo
ge < 0  Sistema Hiperestático Externo
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d) Estaticidad interna
Las incógnitas internas en una armadura son los esfuerzos
normales de sus barras. El número de incógnitas internas “i
es igual al número de barras “b :
i = b
El número de ecuaciones independientes de equilibrio
estático es:
e = 2 n – 3, donde n es el número de 
nudos.
Por lo tanto, se tiene que los grados de estaticidad 
interna están dados por: 
gi = i – e
gi = b – (2 n – 3) = b – 2 n + 3
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Las alternativas de gi, determinan las
condiciones de mecanismo, estaticidad o
hiperestaticidad interna en una armadura
respectivamente
gi > 0  Mecanismo Interno
gi = 0  Sistema Isostático Interno
gi < 0  Sistema Hiperestático Interno
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e) Clasificación y Ley de Formación
Atendiendo a la geometría de formación los 
reticulados se dividen en tres grupos:
• Reticulados simples: su formación consiste en fijar 
cada nudo mediante dos barras concurrentes a él y 
conectadas a dos nudos existentes. Se empieza del 
reticulado elemental de tres barras .
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• Reticulados Compuestos: Están formados por 
reticulados simples, conectados isostáticamente. Estas 
conexiones generalmente son:
 Tres barras no concurrentes ni 
paralelas.
 Una rótula y una barra no 
colineales 
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En armaduras compuestas se puede observar:
• Se cumple la condición de isostaticidad, gi = 0.
• No puede recorrerse como armadura simple.
• Puede separarse en armaduras simples, por corte de 
conexiones isostáticas.
 
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• Reticulados Complejos: Son sistemas estables con ley 
de formación diferente a las anteriores. La figura 
siguiente muestra dos reticulados complejos:
La armadura de tipo complejo se caracteriza por:
• Se cumple la condición de isostaticidad, gi = 0.
• No puede recorrerse como armadura simple.
• No puede separarse como armadura compuesta.
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