Que son los números Naturales

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Introducción
En esta investigación estaremos conociendo y presentando que es el conjunto de los números naturales y sus propiedades, los numero enteros, los irracionales e irracionales y todo lo que abarca el tema en general a continuación conoceremos más sobre este gran tema.
Que son los números Naturales
 Los números naturales son los que utilizamos en la vida cotidiana para contar u ordenar. El conjunto de los números naturales se representa por ℕ y está formado por: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...} Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.
Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro
número natural
 Propiedades de los números naturales
Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden ≤ se puede redefinir así: a ≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces se cumple:
a + c ≤ b + c
a × c ≤ b × c
Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado
Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b
En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b ≠ 0, podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:
a = (b × q) + r y r < b
Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos, por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.
 Qué son los números enteros 
Se conoce como números enteros o simplemente enteros al conjunto numérico que contiene a la totalidad de los números naturales, a sus inversos negativos y al cero. Este conjunto numérico se designa mediante la letra Z, proveniente del vocablo alemán zahlen (“números”).
Los números enteros se representan en una recta numérica, teniendo el cero en medio y los números positivos (Z+) hacia la derecha y los negativos (Z-) a la izquierda, ambos lados extendiéndose hasta el infinito. Normalmente se transcriben los negativos con su signo (-), cosa que no hace falta para los positivos, pero puede hacerse para resaltar la diferencia.
De esta manera, los enteros positivos son mayores hacia la derecha, mientras que los negativos son cada vez más pequeños a medida que avanzamos a la izquierda. También puede hablarse del valor absoluto de un número entero (representado entre barras |z|), que es equivalente a la distancia entre su ubicación dentro de la recta numérica y el cero, independientemente de su signo: |5| es el valor absoluto de +5 o -5.
La incorporación de los números enteros a los números naturales permite agrandar el espectro de cosas cuantificables, abarcando cifras negativas que sirven para llevar el registro de las ausencias o las pérdidas, o incluso para ciertas magnitudes como la temperatura, que emplea valores sobre y bajo cero.
 Propiedades de los números enteros
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse tal y como los números naturales, pero siempre obedeciendo a las normas que determinan el signo resultante, de la siguiente manera:
Suma. Para determinar la suma de dos enteros, debe prestarse atención a sus signos, según lo siguiente:
Si ambos son positivos o uno de los dos es cero, simplemente se deben sumar sus valores absolutos y se conserva el signo positivo. Por ejemplo: 1 + 3 = 4.
Si ambos signos son negativos o uno de los dos es cero, simplemente se deben sumar sus valores absolutos y se conserva el signo negativo. 
Por ejemplo: -1 + -1 = -2.
Si tienen signos diferentes, en cambio, deberá restarse el valor absoluto del menor al del mayor, y se conservará en el resultado el signo del mayor.
Por ejemplo: -4 + 5 = 1.
Resta. La resta de números enteros atiende también al signo, dependiendo de cuál sea mayor y cuál menor en cuanto a valor absoluto, obedeciendo a la regla de que dos signos iguales juntos se convierten en el contrario:
Resta de dos números positivos con resultado positivo: 10 – 5 = 5
Resta de dos números positivos con resultado negativo: 5 – 10 = -5
Resta de dos números negativos con resultado negativo:(-5) – (-2) = (-5) + 2 = -3
Resta de dos números negativos con resultado positivo: (-2) – (-3) = (-2) + 3 = 1
Resta de dos números de distinto signo y resultado negativo: (-7) – (+6) = -13
Resta de dos números de distinto signo y resultado positivo: (2) – (-3) = 5.
Multiplicación. La multiplicación de enteros se realiza multiplicando normalmente los valores absolutos, y luego aplicando la regla de los signos, que estipula lo siguiente:
Más por más igual a más. Por ejemplo: (+2) x (+2) = (+4)
Más por menos igual a menos. Por ejemplo: (+2) x (-2) = (-4)
Menos por más igual a menos. Por ejemplo: (-2) x (+2) = (-4)
Menos por menos igual a más. Por ejemplo: (-2) x (-2) = (+4)
División. Funciona igual que la multiplicación. Por ejemplo:
(+10) / (-2) = (-5)
(-10) / 2 = (-5)
(-10) / (-2) = 5.
10 / 2 = 5.
Ejemplos de números enteros
Ejemplos de números enteros son cualquier número natural
1, 2, 3, 4, 5, 10, 125, 590, 1926, 76409, 9.483.920, junto con cada número negativo correspondiente: -1,-2, -3, -4, -5,-10, -590, -1926, -76409, -9.483.920. Esto incluye, claro, al cero (0).
 
 Números racionales
Definición Técnica 
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de números enteros y pertenecen a la recta real.
En otras palabras, los números racionales son números reales que pueden reescribirse como la fracción de dos números enteros porque se conocen tanto el numerador como el denominador
El nombre de racionales es la traducción del inglés, racional, que hace referencia a ratio, es decir fracción. Entonces, sabiendo que los números racionales se asocian a una ratio, será más fácil recordarlos.
Racional = Racional = Ratio = Fracción => Sí podemos expresarlos como fracción de dos números enteros.
Los números enteros se identifican con la letra Z y los números racionales se identifican con la letra Q, entonces, si los números racionales son fracciones de números enteros, puede verse como:
 
 Números racionales
Tipos de números racionales
Los números reales se dividen entre números irracionales y números racionales, los cuales pueden reducirse a números enteros y estos a números naturales. Es decir, que existen dos grandes tipos de números racionales: los enteros y los naturales.
	
Se dice que los números racionales son fracciones de números enteros porque los números enteros ya incluyen los números naturales
Fórmula de los números racionales
Hay infinitos números, por lo que podemos hacer infinitas fracciones de números enteros, pero hay que prestar atención en saber diferenciar cuando un número es irracional. 
Por ejemplo, 
8,75 es un número racional? 
Sí, porque podemos expresarlo como una fracción
 
Ejemplo de un número irracional 
 2,71828182845904523536028747135… es un número racional? 
No, porque no podemos expresarlo como una fracción: 
Ejemplo de un número irracional
5,666666666666667 es un número racional?
Sí por que, aunque haya decimales y la serie continúe hasta el infinito puede expresarse como una fracción
Ejemplo de un número racional
Ejemplo de números racionales
¿Parece fácil ver cuando un número es racional o irracional? Entonces, aquí va la pregunta: ¿Todas las raíces son números racionales? 
La respuesta es que algunas raíces son números racionales y otras irracionales. Por ejemplo, la raíz cuadrada de cuatro es un número racional, pero la raíz cuadrada de 93 es irracional
Otro ejemplo de números racionales, serían todos los números enteros como el 5 o el 987.En conclusión, son números racionales todos aquellos que se puedanexpresar mediante una fracción matemática. Por ejemplo, 987/5 también sería un número racional.
 Números Decimales
En el ámbito de las matemáticas, se reconoce como números decimales a aquellos que cuentan con una parte entera, más una parte decimal diferente a 0. Es decir que no alcanzan a componer un entero. Por ejemplo: 3 (3/10), 9 (19/10), 1 (1001/10).
Los números decimales son más difíciles de imaginar y representar mentalmente, y en general el único recurso que se acepta para tomar noción de lo que son en los hechos es dimensionarlos como fracciones, es decir como unidades enteras divididas. Sin embargo, se puede ver por extensión que no todos los números decimales son susceptibles de ser expresados como una fracción.
Los números decimales componen uno de los mayores grupos en el ámbito de las distribuciones de los números, prácticamente la totalidad excluyendo a los enteros y a las divisiones que sólo entre ellos pueden hacerse: los decimales no serán nunca pares ni impares
Dentro de este grupo, por ejemplo, aparecen los: Números decimales exactos. Aquellos que tienen una cantidad finita de decimal. Números decimales periódicos. Los que tienen una cantidad infinita, pues salen de una división que resulta un número decimal infinito, como 1/3.En otro sentido, aparece la división entre los decimales racionales (aquellos que pueden expresarse como una fracción) y los irracionales (los que no pueden ser expresados así, y tienen infinitas cifras no periódicas, como el famoso número pi o la raíz cuadrada de 2).
 
 Expresión de números decimales
La forma de expresar los números decimales, en el caso de que quiera mostrarse el número y no la fracción, es colocar a la izquierda el entero, y luego de un punto los números decimales en forma ordenada como si se tratara de un nuevo número.
Este tiene una particularidad, puesto que a diferencia de los enteros en donde la neutralidad del 0 es hacia la izquierda, en los decimales se asume la neutralidad del 0 a la derecha: 0.4 es igual a 0.40 y a 0.400, y por su puesto mayor a 0,39 y a 0,399.Si se quisiera aclarar la periodicidad de un número debería colocarse un signo por arriba de él o los números que quieren mostrarse como periódicos, pudiendo estos no ser los finales de las cifras decimales.
QUÉ SON LOS NÚMEROS DECIMALES
Un número decimal es un número no entero, compuesto por una parte entera y una parte decimal, y se usan cuando queremos representar números que son más pequeños que la unidad. Por ejemplo, 0,5 es un número decimal, y es más pequeño que la unidad, ya que se cumple que 1 es mayor que 0,5 1>0.5
Números irracionales
Los números son conceptos matemáticos que representan una determinada cantidad en relación a una unidad. Dentro de estas expresiones matemáticas, se identifican los números racionales y los irracionales:
Números racionales. Son aquellos que se pueden expresar en forma de fracción, con un denominador que no sea cero. Básicamente se trata del cociente de dos números que sean enteros. Por ejemplo: 1/3, 2/4, 5/4.
Números irracionales. En oposición a los números racionales, estos no pueden expresarse en forma de fracción porque cuentan con cifras decimales no periódicas de manera interminable o infinita. Por ejemplo: √5, √685, √201, √609.
Ejemplos de números irracionales
π (pi). Es el número irracional más conocido y se trata de la expresión de la relación que existe entre el diámetro de una esfera y su longitud. Pi equivale a 3.141592653589 (…), aunque en general se lo conoce simplemente como 3.14.
√5. 2.2360679775
√123. 11.0905365064
e. Se trata del número de Euler y es la curva que se observa en los tejidos eléctricos y que figura en procesos tales como las radiaciones radiactivas y los procesos de crecimiento. El número de Euler es: 2.718281828459 (…).
√3. 1.73205080757
√698. 26.4196896272
Áureo. Este número se representa con el símbolo Φ (que es la letra griega Fi) y se lo conoce también como razón dorada, número de oro, media, proporción áurea, entre otros. Lo que expresa este número irracional es la proporción que existe entre dos partes de una recta, ya sea de algo que se encuentre en la realidad o de una figura geométrica. Es un número muy utilizado por los artistas plásticos a la hora de establecer proporciones en sus obras. Este número es: 1.61803398874989.
1. √99. 9.94987437107
2. √685. 26.1725046566
3. √189. 13.7477270849
4. √7. 2.64575131106
5. √286. 16.9115345253
6. √76. 8.71779788708 
7. √2. 1.41421356237 
8. √19. 4.35889894354
9. √47. 6.8556546004 
10. √8. 2.82842712475
11. √78. 8.83176086633
12. √201. 14.1774468788 2
13. √609. 24.6779253585
Que es el conjunto de números reales
El conjunto de los números reales se forma al combinar el conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales. El conjunto de números reales consiste en todos los números que tienen un lugar en la recta numérica. Enteros…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …….
el conjunto de los números reales abarca a los números racionales y a los números irracionales, pudiendo ser expresados por un número entero o un número decimal.
El descubrimiento de estos números se atribuye a Pitágoras, famoso matemático griego.
 Practica final de Matemática 
1. Escribe o exprese por extensión los conjuntos siguientes:
P = {los números Primos del {2 al 13. 
P = {2,3,6,7,9,11,13}
V= {Las Vocales de nuestro alfabeto
 V= {a, e, i, o, u}
K = {números Pares del 4 al 12 
k = {4, 6, 8, 10, 18}
A= {x/x} es un planeta del sistema solar. 
 A = {Mercurio, venus, la tierra, Marte 
B= {x/x es un satélite de la tierra} 
 B= {la luna, atlas, Tefis, Encelado}
C = {x/x es un color de nuestro Bandera 
C= {Rojo, azul, Blanco}
Escribe por Comprensión los siguientes Conjuntos 
M= {A, E, O}
M= {X/X Es una Vocal}
N= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
N= {X/X Es un numero natural menor que 10}
S= {Duarte, Sánchez y Mella}
S = {X/X Son padres de la Patria}
Q= {primavera, verano, otoño, invierno}
Q= {X/X Es una Estación del año}
H= {. . . . . . -4,-3,-2,-1,0 1,2,3,4 …}
H= {X/X es un numero infinito negativo o positivo entero}
Diga cuales proporciones siguientes son verdaderas y cuales falsa dado A {0,1,2,3 
A=1 ( A = E =0 / 0 = I = O C A = 
B=3 C A = F= 2,3 C A =
C= O E A = G= 1,2,3,4 A =
D= 1 C A = H = 3,2 C A =
Obtenga El conjunto Potencia de los conjuntos Siguientes 
A 
B 
En el Diagrama siguientes Diga las comparaciones que se efectuó en cada caso de acuerdo a las partes sombreadas 
Sea 4 = a, b, c, d, e, f, a, b B =b, d, e) D d, f Determine analíticamente y gráficamente 
Diga las siguientes Relaciones que existen entre los conjuntos siguientes 
 
Conclusión
Después de haber realizado mi trabajo y haber hechos mis investigaciones a mi entender de forma general se puede concluir que: 
que los números enteros son muy importantes, ya que son parte de la base que todos debemos saber para resolver operaciones matemáticas más complejas que son posteriores a esta y que siempre podremos encontrar en la vida cotidiana.
Un número es un ente, algo intangible, por decirlo así que nos sirve para contar y establecer un orden de sucesión entre las cosas. Los números se pueden clasificar en: Naturales, Enteros, Fraccionarios, Irracionales y reales. Cada conjunto de números engloba a otros.
Bibliografía
1-wikipedia (Google)
2-Eduardo Espinosa Ramos (Matemática básica y lógica) 
3-https://concepto.de/numeros-enteros/
4-https://economipedia.com/definiciones/numeros-racionales.html