Arimetica básica propedeutico_mate_2011

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 Presentado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Academia de Matemáticas 
 
 
 
 
 
 
Cd. del Carmen, Campeche, 1 de Agosto 2011. 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN 
Escuela Preparatoria Diurna 
“CAMPUS II” 
 
 
AritméticA y álgebrA 
CUADERNO DE EJERCICIO DE MATEMÁTICAS 
CURSO PROPEDEÚTICO 
 
 2 
Aritmética 
 
¿Que son los Números Naturales? 
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, 
y se llama cardinal de dicho conjunto. 
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: 
N = {1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…} 
 
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. 
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para 
ordenar los elementos de un conjunto: 
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),… 
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las 
tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento 
de las cantidades. 
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el 
resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo 
que se dice que son operaciones internas. 
Propiedades de la adición de Números Naturales 
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento 
neutro. 
1.- Asociativa: 
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: 
(a + b) + c = a + (b + c) 
Por ejemplo: 
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16 
 3 
Los resultados coinciden, es decir, 
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5) 
2.-Conmutativa 
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: 
a + b = b + a 
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 
7 + 4 = 4 + 7 
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas 
de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden. 
3.- Elemento neutro 
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, 
se cumple que: 
a + 0 = a 
Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales 
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento 
neutro y distributivo del producto respecto de la suma. 
1.-Asociativa 
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: 
(a · b) · c = a · (b · c) 
Por ejemplo: 
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30 
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30 
Los resultados coinciden, es decir, 
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2) 
2.- Conmutativa 
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: 
 4 
a · b = b · a 
Por ejemplo: 
5 · 8 = 8 · 5 = 40 
3.-Elemento neutro 
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se 
cumple que: 
a · 1 = a 
 
4.- Distributiva del producto respecto de la suma 
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: 
a · (b + c) = a · b + a · c 
Por ejemplo: 
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55 
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55 
Los resultados coinciden, es decir, 
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8 
 
Propiedades de la Sustracción de Números Naturales 
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números 
naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el 
minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un 
número de otro, cualesquiera que sean éstos. 
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar. 
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuántas ovejas tenemos? Una forma de 
hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el 
mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 
4. 
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas 
que se comieron los lobos). 
 5 
Propiedades de la resta: 
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a) 
 
Propiedades de la División de Números Naturales 
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales 
puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso 
se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por 
otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales 
en la que además de un cociente se obtiene un resto 
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre un 
número de personas. 
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de 
personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra). 
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta. 
Propiedades de la división 
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a. 
Ejercicios 
 
 
 
 
 
 
Números enteros (Z). 
 
 Conjunto de todos los números positivos y negativos, incluyendo el cero. 
 
 
 
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus 
opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z: 
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…} 
 6 
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y 
ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores 
o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…). 
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es 
igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir: 
• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5; 
• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5. 
El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo. 
Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas 
porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se 
pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor. 
Suma de Números Enteros 
Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo: 
• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que 
tenían los sumandos: 
7 + 11 = 18: 
-7 - 11 = -18 
• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus 
valores absolutos y se le pone el signo del mayor: 
 7 + (-5) = 7 - 5 = 2 
 -7 + 5 = - (7 - 5) = -2 
 14 + (-14) = 0 
La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes: 
Asociativa: 
(a + b) + c = a + (b + c) 
Conmutativa: 
a + b = b + a 
 7 
 
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, 
 
a + 0 = a 
 
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a, 
 
a + (-a) = 0 
 
Multiplicación de Números Enteros 
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja 
con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los 
factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir 
del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguientemodo: 
+ · + = + 
+ · - = - 
- · + = - 
- · - = + 
La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes: 
Asociativa: 
(a · b) · c = a · (b · c) 
 
Conmutativa: 
a · b = b · a 
 
Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación, 
a · 1 = a 
 
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: 
a · (b + c) = a · b + a · c 
 
 
 8 
Resta de Números Enteros 
Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo: 
a - b = a + (-b) 
Por ejemplo: 
5 - (-3) = 5 + 3 = 8 
 
-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7 
 
Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos 
de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Los 
enteros negativos, como −1 ó −3 (se leen "menos uno", "menos tres", etc.), son menores que 
todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y 
negativos, a veces también se escribe un signo "más" delante de los positivos: +1, +5, etc. 
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra � = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, 
+3, ...}, 
Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo: 
−783 y 154 son números enteros 
45.23 y −34/95 no son números enteros 
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y 
dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario 
calcular también el signo del resultado. 
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden 
utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un 
cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total 
habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que ha aumentado en 80 − 100 
= −20 alumnos. 
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del 
cero. La altura del Everest es 8848 metros (por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla 
del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar 
como −423 m. 
 
 9 
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y 
resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad. 
El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre 
representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas). 
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque 
matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus 
trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya 
era conocida previamente por los matemáticos de la India. 
Aplicación en contabilidad 
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, 
superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos". 
Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban 
escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que 3 
escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos. 
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como: 
3 − 5 = ? 
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin 
embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo 
al hablar ganancias y pérdidas: 
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día 
siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer 
día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La 
expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las 
ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden 
expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 
2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende 
que una pérdida es una ganancia negativa. 
Números con signo 
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al 
añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos: 
Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo 
menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen "menos 1", "menos 2", "menos 3",... 
Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») 
delante y se les llama números positivos. 
Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. 
 10 
«+». 
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo 
indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de 
números son los llamados "enteros". 
Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y 
negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en "negrita de pizarra" 
como � : 
 
La recta numérica 
Artículo principal: Recta numérica 
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para 
entender como están ordenados se utiliza la recta numérica: 
 
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la 
izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor 
absoluto: 
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El 
valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales "| |". 
Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0. 
El orden de los números enteros puede resumirse en: 
El orden de los números enteros se define como: 
Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el 
positivo: −b < +a. 
Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es el 
de menor valor absoluto, si el signo común es "+", o el de mayor valor absoluto, si el 
signo común es "−" 
El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos. 
Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36 
 11 
Operaciones con números enteros 
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse 
con los números naturales. 
 
Suma 
 
 
En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo 
y su color. 
En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del 
resultado. 
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del 
siguiente modo: 
Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y 
su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos. 
Si ambos sumandos tienen distinto signo: 
El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto. 
El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y 
el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos. 
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61 
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales: 
La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades: 
Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y 
a + (b + c) son iguales. 
Propiedad conmutativa. Dadosdos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a 
son iguales. 
Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a 
+ 0 = a. 
 12 
Ejemplo. 
1. Propiedad asociativa: 
[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44) 
(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44) 
2. Propiedad conmutativa: 
(+9) + (−17) = −8 
(−17) + (+9) = −8 
 
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números 
naturales: 
Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al 
primero resulta en cero: a + (−a) = 0. 
Resta 
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma. 
La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo 
más el sustraendo cambiado de signo. 
Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) + 
(+8) = +4 , (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7 
Multiplicación 
La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el 
signo y valor absoluto del resultado. 
En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del 
resultado de la siguiente manera: 
 El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. 
 El signo es "+" si los signos de los factores son iguales, y "−" si son distintos. 
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos: 
Regla de los signos 
 (+) × (+)=(+) Más por más igual a más. 
 (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos. 
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 (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos. 
 (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más. 
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18. 
La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números 
naturales: 
La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades: 
Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × 
c y a × (b × c) son iguales. 
Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b 
× a son iguales. 
Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos 
por 1: a × 1 = a. 
Ejemplo. 
1. Propiedad asociativa: 
[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140 
(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140 
2. Propiedad conmutativa: 
(−6) × (+9) = −54 
(+9) × (−6) = −54 
 
La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números 
naturales, por la propiedad distributiva: 
Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de 
productos (a × b) + (a × c) son idénticos. 
Ejemplo. 
(−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21 
 
 
 
 
 
 14 
Ejercicios. Resuelve el siguiente crucigrama. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HORIZONTALES VERTICALES 
1. 80 − 20 1. 648 ÷ 12 
2. 51 − 23 2. 20 + 7 
4. 6 × 4 3. 45 − 19 
5. 53 −16 4. 7 × 3 
6. 150 - 54 5. 132 ÷ 4 
7. 344 ÷ 8 6. 380 ÷ 4 
8. 70 − 15 7. 85 − 40 
9. 5 × 3 8. 14 × 4 
10. 49 − 13 9. 30 − 14 
12. 644 ÷ 14 10. 2 × 16 
13. 11 × 2 11. 38 + 19 
14. 39 + 28 12. 46 + 1 
15. 300 ÷ 4 13. 42 − 17 
16. 45 − 10 14. 195 ÷ 3 
17. 43 × 2 15. 57 + 19 
18. 41 + 7 16. 57 −19 
20. 440 ÷ 10 17. 12 × 7 
21. 20 + 9 18. 245 ÷ 5 
22. 22 + 17 19. 5 + 14 
 
 
1 2 3 
4 
 
 5 6 
 
 
 7 8 
 
 
9 10 11 
12 
 
 13 14 
 
 
 15 16 
 
 
17 18 19 
20 21 22 
 15 
 
 
NÚMERO RACIONAL 
En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el 
cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término 
racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional. 
 
 
Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4. 
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una 
dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción 
irreducible, la de términos más senos. 
Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número 
decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito 
periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional 
permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto 
de cero). 
El conjunto de los números racionales se denota por , que significa «cociente» (Quotient en 
varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un 
subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son 
una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto 
de números fraccionarios. 
Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para 
cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad 
que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en 
la recta de los números reales. 
 
 
 16 
Construcción de los números racionales 
 Consideremos las parejas de números enteros donde . 
 denota a . A se le llama numerador y a se le llama denominador 
 Al conjunto de estos números se le denota por . Es decir 
 
Definición de suma y multiplicación en Q 
 Se define la suma 
 Se define la multiplicación 
 
Relaciones de equivalencia y orden en Q 
 
 
Fracción aparente que es equivalente a dos. 
 Se define la equivalencia cuando 
 Los racionales positivos son todos los tales que 
 Los racionales negativos son todos los tales que 
 Se define el orden cuando 
Notación 
 17 
 Los números de tipo son denotados por 
 Las sumas de tipo son denotadas por 
 denota a 
 Todo número se denota simplemente por . 
 
Unicidad de un racional 
Un número racional sólo puede provenir de una única fracción irreducible. 
Propiedades de los números racionales 
El conjunto de los números racionales con la suma y multiplicación definida de esta manera 
forman un Cuerpo. 
Propiedades de la suma y multiplicación 
La suma en Q es conmutativa, esto es: 
La suma en Q es asociativa, esto es: 
 
La multiplicación en Q es asociativa, esto es: 
La multiplicación se distribuye en la suma, esto es 
 
 
 
 
 18 
Existencia de neutros e inversos 
Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro 
aditivo de los racionales y se le denota por 0. 
Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro 
multiplicativo de los racionales y se le denota por 1. 
Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que 
Cada número racional: con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo tal que 
 
Equivalencias notables en Q 
si y 
 
 
, a y b ≠ 0 
, a y b ≠ 0. 
Los números enteros en Q 
Si p es un número entero entonces existe el número que equivale a p y mantiene todas 
sus propiedades de entero. Es decir, se define 
Otras notaciones de números en Q 
Fracciones mixtas 
 19 
Cada número racional se puede expresar de forma única como donde 
A es un entero no negativo, es decir 
es un racional irreducible no negativo menor que uno. Se expresa como 
 
u es una unidad. Es decir 
La notación es muy sencilla, las reglas son 
denota a 
denota a 
Por ejemplo 
 
El conjunto de los números decimales en Q 
Un número decimal es un número racional de la forma 
denota al conjunto de los números de este tipo. Es decir 
Expresión Racional de un número decimal: el número a en base 10 con un punto a n 
lugares del extremo derecho, por ejemplo se denota como 1.78 
Representación decimal de los números racionales 
Los números racionalesse caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólo 
puede ser de tres tipos: 
Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo: 
 
 20 
Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo: 
 
Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo: 
 
En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito de 
restos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto en 
dos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo: 
 
Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de la 
siguiente manera: 
Artículo principal: Número periódico 
Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como 
un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. 
Ejemplo: 
Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador 
la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como 
denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo: 
Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el 
número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como 
números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" 
 21 
como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número entonces 
y , por lo que el número buscado será 
 
 
 
 
- 4, 
5
3
, 
4
2
,
5
1
,
3
1
, 3.67 . . . etc. 
 
 
 
Ejercicios. Completa la tabla siguiente. 
 
 
 
a b c a b 
 c
ba  
cb
a

 a b c  
 
 
-5 
 
 
2 
 
 
-3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
-4 
 
 
 
-2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-3 
 
 
 
-2 
 
 
 
-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
10 
 
 
-10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operaciones con números fraccionarios 
 
a) Simplificación de fracciones. 
 
 
 22 
1) 38
2
1
de 2) 243
1
de 3) 36
4
1
de 
4) 45
5
1
de 5) 17
2
1
de 6) 27
5
1
de 
7) 39
8
1
de 8) 30
4
1
de 9) 244
3
de 
10) 81
3
2
de 11) 35
5
2
de 12) 56
8
3
de 
 
 
b) Suma de fracciones de igual denominador. 
 
 
 Se suman los numeradores y esta suma se parte por el denominador común. Se simplifica 
el resultado y se halla los enteros si los hay. 
 
 
Ejercicios. 
 
 
1) 
3
2
3
1 
 
 
2) 3) 
4) 
8
2
8
5
8
3 
 
5) 
5
8
5
12 6) 
9
2
9
5
8
4 
 
c) Suma de fracciones de distinto denominador. 
 
 Se simplifican los quebrados dados si es posible. Después de ser irreducibles se reducen 
al mínimo común denominador y se procede como en el caso anterior. 
 
Ejercicios. 
 
 23 
1) 
 
 
 
2) 
 
3) 
4) 
8
1
4
1
2
1 
5) 
 
 
 
6) 
4
3
5
4
1
3 
7) 
24
5
3
8
1
7 8) 
9
2
3
9
7
10
9
1
8 
 
 
 
9) 
4
3
2 
10) 
3
1
1 11) 
3
1
2
4
3
61  
 
 
 
12) 
5
2
1
3
2
6
8
5
8  
13) 
4
1
10
5
3
12
2
1
 14) 
5
4
3
4
3
2
3
2
1  
 
 
 
15) 
2
1
12
2
1
8
2
1
5  
16) 
8
1
2
3
7
5
6
 
 
 
17) 
8
1
6
1
8
7 18) 
8
7
1
6
1
5
2 
19)  4
3
2
9
8
 
 
 
20) 
3
2
6 21)  6
5
1
4 
 
 
 
 
d) Resta de fracciones de igual denominador. 
 
 Se restan los numeradores y esta diferencia se parte por el denominador común. Se 
simplifica el resultado y se halla los enteros si los hay. 
 
Ejercicios. 
 
1) 
2) 
5
1
5
4 3) 
14
5
14
11 
 24 
 
 
 
 
4) 
8
1
8
5
8
7 
 
 
 
5) 
12
4
12
7
12
11 6) 
25
7
25
11
25
23 
 
 
e) Resta de fracciones de distinto denominador. 
 
 Se simplifican los quebrados si es posible. Una vez irreducibles, se reducen al mínimo 
común denominador y se restan como en el caso anterior. 
Ejercicios. 
 
 
 
1) 
4
1
8
5 
 
 
 
2) 
24
7
12
5 3) 
8
5
64
11 
4) 
2
1
16
1
4
1 
 
 
 
5) 
3
1
6
1
5
4 6) 
5
3
10
3
4 
7)  6
2
1
4 
 
 
 
8) 
4
3
2
12
1
3
1 9) 
3
2
8 
10) 
11
1
16 
 
 
 
11) 
5
2
1
3
2
6
8
5
8  12) 
5
4
3
4
3
2
3
2
7  
 
 
f) Multiplicación de fracciones 
 
 
 25 
 Para realizar esta operación se multiplican los numeradores y los denominadores. En caso 
de que existan fracciones mixtas, se deben convertir a fracciones impropias y posteriormente 
realizar los productos. El resultado se simplifica y se halla los enteros si los hay. 
 
1) 
 
 
2) 3) 
4) 
 
 
5) 8
7
6 6) 
8
5
12 
7) 
9
2
5
3

 
 
 
8) 
8
3
7
5 9) 
5
4
7
2 

 
10) 
7
5
2
5
2
1 
 
 
11) 
2
1
2
3
6 12)  5
14
3
5
7
9
2 
13) 
4
3
2 
 
 
 
14)  4
5
2 15)  2
2
1
5 
g) División de fracciones 
 
1. Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la 
segunda fracción, el producto es el numerador de la fracción resultante. 
2. Se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la 
segunda fracción, el producto es el denominador de la fracción resultante. 
3. Se simplifica el resultado y se hallan los enteros si los hay. 
 
 
 
 
 26 
Ejercicios. 
 
1) 2) 3) 
4) 
5) 6) 
7) 
8) 9) 
10) 9
7
1
 11) 
3
2
8 12) 
3
2
9 
13)  5
4
1
2 14) 
3
1
2
2
1
1 15) 
2
1
3
3
1
2 
 
 
h) Operaciones combinadas de fracciones. 
 
 
1) 
3
2
2
3
4
1
 
 
 
2) 
18
20
5
3
15
4
6
5
 3) 
6
5
24
18
:
8
3
 
4) 
15
14
)
10
1
5
3
(

 
 
 
5) )
4
5
3
7
(
5
4

 6) 
6
5
)
4
3
2
1
(  
7) )
8
3
2
1
(
18
12


 
 
 
8) 
5
12
)
2
1
2
3
1
1(  9) 1 2 3
2 5 7
 
  
 
 
10) 1 2 3
2 5 7
  
 
 
11) 1 1 4 1
2 3 5 8
   12) 






4
3
4
1
1
3
2 
13) 





 1
2
3
4
3
 
 
 
14) 






4
3
3
1
1
2
3 15) 





 1
2
3
5
2 
 
 
 27 
 
i) Fracciones complejas. 
 
1) 
1
2
3
1
2
3


 = 
 
 
2) 
2
4 3
5
1
3
4
 
  
 

 = 3) 2+ 


4
3
4
3
3
2
1
1
 
4) 2+ 


4
1
3
2
3
2
6
2
 
5) 










6
7
1
1
1
1
7
2
1
1
2
1
3
1
2
2
1
2
2
1
3
1
1
 
 
 
6) 










19
4
7
2
5
3
4
1
4
1
2
1
3
4
1
1
7
3
1
2
 
7) 
7
3
3
2
 
8) 
4
1
1
15 9) 
8
3
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
Todo número racional puede expresarse como un decimal cuyos dígitos forman un modelo 
repetitivo. Un decimal representa un número racional si y sólo si la sucesión de d ígitos forma un 
modelo repetitivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números reales (R) 
 
 Conjunto de todos los números enteros, racionales e irracionales. 
 
 
 
 
 29 
 27 
3
4
  7.64 
 
 
 
 - 10 - 5 0 5 10 
 
 
 
 
 
Multiplicación. 
 
 Es la representación de la suma de una misma cantidad varias veces Una multiplicación 
se representa con los símbolos, “x”, “” o “( )”. 
 
 
 
Ejercicios. 
 
 Resuelve las siguientes multiplicaciones, a completando, en la línea, lo que falta para que 
se cumpla la igualdad. 
 
 
1) 2 x ___ = 18 
 
2) 3 x ___ = 27 3) ___ x 9 = 72 4) ___ x 8 = 24 
5)___ x ___ = 21 
 
6) 4 x ___ = 20 7) ___ x 7 = 28 8) ___ x 9 = 45 
9) 7 x ___ = 56 
 
10) 5 x ___ = 40 11) ___ x 3 = 15 12) 8 x ___ = 32 
 
 
 
 
Suma y resta con signos de agrupación 
 
Ejercicios: Resuelve las siguientes operaciones: 
 
 
1) 8 7 (5 4) 3      2) 7 2 (8 3) (5 2)      
 30 
 
3) (4 3) (5 2) (7 3)       
 
4) –5 - (-9 +7) 
5) 3 – ( 6 – 10 + 24) 
 
6) 7 – (-15 +8 -9 ) 
7) –8 - ( -6 –5 +4) 
 
8) (-10 + 5 –1) – (-4 – 6) 
9) (-8 – 6 ) – (10 +2) 10)   )812(564  
 
 
 
 
 
Multiplicación con signo de agrupación 
 
 
 
Ejercicios: Resuelve las siguientes operaciones. 
 
 
1) 2(7 – 4) + 3(1 – 5) + 8 
 
2) – 4(2 – 3 – 1) + 2(8 – 5) + 3(4 – 5) 
3) - 6 + {3 – [ 4 – 2(4 – 7)]} 
 
4) 8 – {5 – 4[ - 6 + 7(5 – 2)] – 3} 
5) – { - 6 + 4[ 2 – 5(4 – 3(4 – 3) + 2(7 – 3))] + 2} - 1 6) 6 – [ 4 – 3(4 – 2)] – {7 – 5[ 4 – 2(7 – 1)]} 
 
 
 
 
Jerarquía de operaciones 
 
 Indica el orden en el que se deben realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, 
división, potencia y raíz, así como los signos de agrupación. De esta forma se garantiza que se 
obtendrá el resultado correcto. 
 31 
Orden de las operaciones 
 
 Dada una expresión que involucre diferentes operaciones, se realizan en el siguiente 
orden: 
 
1) Potencias y raíces: Si se tiene la potencia o la raíz de una suma o resta, estas operaciones 
se resuelven primero. 
2) Multiplicaciones y divisiones: Se empieza a resolver de izquierda a derecha. 
3) Sumas y restas: También se resuelven de izquierda a derecha. 
 
 Ejercicios. 
1) 4 3 6 2 7    = 
 
2) 4 3 2 5 2    = 
3) 24295  = 
 
4) 342652  = 
5) 5 (5 5) 2 (3 5)     = 
 
6) 482)36(  = 
7) 5103164962  = 8) 365811612 22  = 
 
 
Números primos 
 Un número primo sólo es divisible entre sí mismo y la unidad. El 1, por definición, no es 
primo. 
 
 
 Ejemplo: 
 
 7 es número primo porque sólo es divisible entre sí mismo y la unidad (se puede dividir 
entre 7 y 1). 
 
 
 
 32 
Número compuesto (no primo) 
 Es aquel que además de ser divisible por sí mismo y por la unidad lo es por otro factor. 
 
 
 
 Ejemplo: 
 
 9 es un número compuesto porque es divisible entre 9 (por sí mismo), 1 (la unidad) y 3 
(por otro factor). 
 
 
 
Ejercicios. 
 
 Señala con una “x”, a los números primos y compuestos de acuerdo al renglón que le 
pertenece. 
 
Número 13 15 17 28 93 11 12 21 34 35 
Primo 
Compuesto 
Descomposición de un número en factores primos 
 
 Descomponer un número en sus factores primos es convertirlo en un producto indicado de 
factores primos. 
 
 
 
 
 
Ejercicios: Descomponer las siguientes cantidades en sus factores primos. 
 
 
1) 72 
 
2) 96 3) 225 4) 576 5) 945 
105 = 753  204 = 1732
2  
 33 
6) 210 
 
7) 840 8) 2310 9) 3675 10) 2376 
 
Máximo Común Divisor (MCD) 
 El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que los divide a 
todos exactamente. 
 
 
 Ejemplo: Hallar el MCD de 18 y 24. 
 
 
 
 
Ejercicios. 
 Halla el MCD de las siguientes cantidades. 
 
1) 15 y 30 
 
2) 20 y 16 3) 18 y 24 4) 21 y 28 5) 24 y 32 
6) 3, 6 y 9 
 
7) 7, 14 y 21 8) 18, 27 y 36 9) 24, 36 y 72 10) 30, 42 y 54 
 
Mínimo Común Múltiplo (MCM) 
 El Mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que contiene un 
número exacto de veces a cada uno de ellos. 
 Ejemplo: Hallar el MCM de 18 y 24. 
 
El MCD de 18, 24 es: 632  
 34 
 
 
Ejercicios. 
 Halla el MCM de las siguientes cantidades. 
 
1) 15 y 30 
 
 
2) 20 y 16 3) 18 y 24 4) 21 y 28 5) 24 y 32 
6) 3, 6 y 9 7) 7, 14 y 21 
 
8) 18, 27 y 36 9) 24, 36 y 72 10) 30, 42 y 54 
 
 
 
 
 
Razones y proporciones. 
 
 
 Razón o relación: Es el cociente entre dos cantidades, donde el numerador recibe el 
nombre de antecedente y el denominador de consecuente. 
 
 
Ejemplos: 
 
1) En la razón 
4
7 , 7 es el antecedente y 4 es el consecuente. 
 
2) En la razón 23 (se lee 2 es a 3), 2 es el antecedente y 3 es el consecuente. 
 
 
 Proporción: Es la igualdad entre dos razones. 
 
Ejemplo. 
 
El MCM de 18 y 24 es: 23 x 32 =72 
 35 
 
16
8
6
3
 o 3:6::8:16, se lee: 3 es a 6 como 8 es a 16. 
 
 3 y 16 son los extremos, 6 y 8 son los medios. Al simplificar la fracción se obtiene ½, la 
razón de proporcionalidad. 
 
 En una proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios: 
4886163  . 
 
 
Ejercicios. 
 En las proporciones siguientes determina el valor que debe tener la letra (incógnita) en 
cada caso. 
 
1) 
4
3
12

x 2) 
9
5
36

n 3) 
3
2
27

c 
 
 
 
 
 
4) 
15
11
6

b 5) 
8
7
5

a 6) 
205
2 x
 
 
 
 
 
 
 
7) 
368
3 a
 8) 
35
39

c
 9) 
12
12

y
 
 
 
 
 
 
10) 
a
96
7
16
 11) 
n
28
9
7
 12) 
m
15
13
4
 
 
 
Ejercicios de aplicación de las razones y proporciones. 
 
 
1) Media docena de huevos cuesta 80 pesos, ¿cuánto costarán 4 docenas de huevos? 
 36 
 
 
 
2) Un grupo formado por 9 obreros puede hacer una obra en 6 días. ¿Cuántos obreros se 
necesitarán para hacer la misma obra en 3 días? 
3) Un grupo de obreros emplea 12 días, trabajando 4 horas diarias, para efectuar una obra. Si 
hubiera trabajado 2 horas más cada día, ¿cuántos días habría tardado en acabar la obra? 
 
 
4) Un caminante recorre 9 km en 10 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 27 km? 
 
 
 
Regla de tres simple. 
 
 Es la operación que se utiliza para encontrar el cuarto término en una operación. A la 
parte que contiene los datos conocidos se le llama supuesto y a la que contiene el dato no 
conocido se le llama pregunta. 
 
a) Regla de tres simple directa. 
 
Se utiliza cuando las cantidades son directamente proporcionales. 
 
Ejemplo: 
 
 Si 12 discos compactos cuestan $ 600. ¿Cuánto costarán 18? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Planteamiento Procedimientos 
Supuesto: 12 discos cuestan $ 600. 
Pregunta: 18 discos cuestan x. 
Se forma la proporción. 
 
x
600
18
12
 
 
Se realiza la multiplicación de 
manera cruzada. 
 
12x = 10, 800 
 
Se despeja x. 
 
12
10800
x 
 
Se divide: x = 900. 
 37 
 
 
 
 
 
 
Solución: Por lo tanto, 18 discos compactos cuestan $ 900. 
 
 Observaciones: Si usted se da cuenta en este ejercicio las cantidades son directamente 
proporcionales, ya que al aumentar el número de discos el precio también se incrementa. 
 
 
 
b) Regla de tres simple inversa. 
 
Se utiliza cuando las cantidades son inversamente proporcionales. 
 
Ejemplo 
 
 Se ha planeado que una barda sea construida por 24 hombres en 18 días; sin embargo, 
sólo se logró contratar a 12 hombres, ¿en cuántos días la construirán? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Planteamiento 
 
Supuesto: 24 hombres construyen 
la barda en 18 días. 
 
Pregunta: 12 hombres la 
construirán en x días. 
Procedimientos 
 
Se forma la proporción. 
 
12
2418

x
 
 
Se invierte cualquiera de las 
razones. 
 
12
24
18

x 
Se realiza la multiplicación de 
manera cruzada. 
 
12x = 432 
 
Se despeja x. 
 
12
432
x 
 
Sedivide: x = 36. 
 
 38 
 
 
 
 
 
 
Solución: Por lo tanto, 12 hombres construyen la barda en 36 días. 
 
 Observaciones: Si usted se da cuenta en este ejercicio, las cantidades son inversamente 
proporcionales, ya que al disminuir el número de hombres, los contratados tardarán más días en 
construirla. 
 
Ejercicios. 
 
1) El precio de 25 latas de aceite es de $248, ¿cuántas latas se podrán comprar con $1,240? 
 
2) Liam escucha la radio durante 30 minutos, lapso en el que hay 7 minutos de anuncios 
comerciales; si escucha la radio durante 120 minutos, ¿cuántos minutos de anuncio 
escuchará? 
 
3) Durante 70 días de trabajo Ana ganó $3, 500. ¿cuánto ganaría si trabajara 12 días más? 
 
4) Una llave abierta 6 horas diarias durante 7 días arrojó 6, 120 litros de agua, ¿cuántos litros 
arrojará durante 14 días si se abre 4 horas diarias? 
 
5) Un automóvil gasta 9 litros de gasolina cada 120 Km. Si quedan en el depósito 6 litros, 
¿cuántos kilómetros podrá recorrer? 
 
6) En un libro de 80 páginas cada una tiene 35 líneas, ¿cuántas páginas tendrá el mismo libro 
si en cada una se colocan 40 líneas? 
 
7) Una bodega se llena con 3, 500 sacos de 6 Kg. de papas cada uno y otra de la misma 
capacidad se llena con sacos de 5 Kg. ¿cuántos sacos caben en la segunda bodega? 
 
8) Si 15 hombres hacen una obra de construcción en 60 días, ¿cuánto tiempo emplearan 20 
hombres para realizar la misma obra? 
 39 
 
9) Si 4 hombres terminan un trabajo en 63 días, ¿cuántos más deben añadirse a los primeros 
para concluir el mismo trabajo en 28 días? 
 
10) Si se llenan 24 frascos con capacidad para 250 gramos, con mermelada de fresa, ¿cuántos 
frascos de 300 gramos se pueden llenar con la misma cantidad de mermelada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40 
NÚMERO IRRACIONAL 
En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es 
un número que no puede ser expresado como una fracción , donde m y n son enteros, con n 
diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. 
Notación 
No existe una notación universal para indicarlos, como que no es generalmente aceptada. Las 
razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituyen ninguna estructura 
algebraica, como sí lo son los Naturales ( ), los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( ) y 
los Complejos ( ), por un lado, y que la es tan apropiada para designar al conjunto de Números 
Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión. 
Fuera de ello, , es la denotación del conjunto por definición. 
 
Clasificación 
Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y 
racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aún quedan 
"huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los 
elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales. 
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante 
el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De 
este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. En general, 
toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número 
irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras 
decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras decimales no 
periódicas. 
Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente 
igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen 
referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir. 
 41 
Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos 
especiales; los tres principales son los siguientes: 
1. π (Número "pi" 3,1415 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. 
2. e (Número "e" 2,7182 ...): 
3. Φ (Número "áureo" 1,6180 ...): 
Los números irracionales se clasifican en dos tipos: 
1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un 
número finito de radicales libres o anidados; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del 
segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. 
Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el 
número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica x2 − x − 1 = 0, por lo que es un 
número irracional algebraico. 
2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o 
anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y 
exponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un 
patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los dos siguientes: 
0,193650278443757… 
0,101001000100001… 
Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución 
de ninguna ecuación algebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no 
pueden expresarse mediante radicales. 
Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el 
conjunto de los números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya 
que incluyen el conjunto de los irracionales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42 
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES 
Recordemos que en secundaria y preparatoria se incluye en los programas de matemáticas 
procedimientos para sumar fracciones o números racionales, para multiplicar y dividir polinomios, 
para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, para factorizar expresiones algebraicas, por 
mencionar algunos. En cada uno de estos temas se utilizan números reales. 
La idea fundamental en esta sección es la de poder resumir todas las propiedades algebraicas de 
los números reales que hemos utilizado o que se puedan utilizar. 
La pregunta es: Qué propiedades elementales bastarán para concluir a partir de ellas todas las 
demás propiedades que se cumplen en álgebra elemental? Qué tanto las podemos resumir? 
puesto que si hiciéramos una lista con todas las propiedades que sabemos que se cumplen 
fácilmente pasarían de cien. 
La siguiente es una lista con seis propiedades básicas, las cuales bastan para caracterizar 
completamente las propiedades algebraicas de campo de los números reales. Esto es, de aquí se 
pueden deducir las demás propiedades. 
Los números reales son un conjunto R con dos operaciones binarias + y * el cual satisface los 
siguientes axiomas. 
Axioma 1 Cerradura 
Si a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados en forma única que están 
también en R. 
Axioma 2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación) 
Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a*b = b*a. 
Axioma 3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación) 
Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a*(b*c) = (a*b)*c 
Axioma 4 Propiedad Distributiva 
Si a, b y c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac 
Axioma 5 Existencia de Elementos neutros. 
 43 
R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a los 
reales. 
Axioma 6 Elementos inversos Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a 
está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a*(1/a) = 1. 
[+ El inverso multiplicativo de a también se representa por {$ a^{−1} $} 
El primer axioma garantiza que la suma y la multiplicación son operaciones binarias en los 
números reales. Los axiomas 2 al 4 indican la forma de manipular algebraicamente las dos 
operaciones. El axioma 5 establece la existenciade dos elementos distintos 0 y 1. Y el último 
axioma indica la existencia de los elementos inverso por lo que los números reales forman un 
campo, nótese que en la segunda parte de este último axioma se supone diferente de cero el 
número a. 
También es fácil ver que combinando el axioma 2 con los axiomas 5 y 6 tenemos: 
 0 + a = 0 
 1.a = a 
 (-a) + a = 0 
 (1/a)*a = 1 
Como es costumbre en álgebra, el producto a*b se representará simplemente por ab, también se 
puede utilizar un punto a.b 
Es importante aclarar que estas propiedades de campo son el resultado de muchos años de 
trabajo de la humanidad para poder llegar a resumir la característica algebraica de los números. 
En general el álgebra estudia estructuras básicas como grupos, anillos, dominios integrales, 
espacios vectoriales, campos, etc. que es una clasificación de acuerdo a las propiedades que 
satisfacen. De las mencionadas un campo es la estructura más completa, que es precisamente la 
estructura de los números reales. 
Aparentemente, después de ver los axiomas se pensaría que faltan propiedades pues no se ha 
mencionado la resta ni la división, faltan potencias y raíces, y muchas otras cosas. Cómo es 
posible que con estas propiedades lo demás se cumpla automáticamente? 
Efectivamente, faltan las ideas de resta, división, potencias, raíces y otras más. Pero éstas son 
una consecuencia de las anteriores; podemos construirlas en base a los seis axiomas y lo único 
que faltaría es dar la definición y comprobar que es posible hacerlo. 
 44 
Una manera sencilla de recordar los axiomas básicos es agrupando en 3 leyes básicas. Ver 
Propiedades Básicas. 
Como ya habíamos mencionado a partir de estos axiomas podemos demostrar todas las 
propiedades algebraicas que conocemos de los números, como un ejemplo veremos que (-a)b = -
ab. 
Ejemplo 1.1. Comprobar (-a)b = -ab usando los axiomas. 
Demostración: 
(-a)b = (-a)b + 0 axioma 5 
 = (-a)b + [ab + (-;ab)] axioma 6 
 
 = [(-a)b +ab] + (-ab) axioma 3 
 
 = [(-a)+a]b + (-ab) axioma 4 
 
 = 0.b + (-ab) axioma 6 
 
 = [0.b + 0] + (-ab) axioma 5 
 
 = {0.b + [ab+(-ab)]} + (-ab) axioma 6 
 
 = [(0.b + ab) + (-ab)] + (-ab) axioma 3 
 
 = [(0+a).b + (-ab)] + (-ab) axioma 4 
 
 = [ab + (-ab)] + (-ab) axioma 5 
 
 = 0 + (-ab) axioma 6 
 
 = (-ab) + 0 axioma 2 
 
 = -ab axioma 5 
Cada una de las propiedades algebraicas se podría demostrar de esta forma, sin embargo una 
demostración a partir de los axiomas sería demasiado extensa y repetitiva de muchas 
propiedades. Por ejemplo si ya tuviéramos la propiedad de que a.0 = 0 nos ahorraríamos seis 
pasos en el procedimiento anterior. En realidad es conveniente comprobar algunas propiedades 
 45 
básicas sencillas de justificar y utilizarlas para la demostración de otras más complicadas. 
Empezaremos por unas de las propiedades más útiles hasta llegar a comprobar reglas 
importantes de manejo de expresiones algebraicas. 
Teorema 1.1 Propiedades de álgebra elemental. 
Si a, b, y c son números reales entonces: 
i. a+b = b+a => b = c ley de simplificación para la suma 
ii. (-a) es único; Posibilidad de la sustracción 
iii. -(-a) = a 
iv. -(a+b) = -a + (-b) 
v. ab = ac, a =/ 0 => b = c 
vi. −1 es único 
vii. (−1)1 = a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 46 
ALGEBRA 
 
 
Término o Monomio 
 
 Es una expresión algebraica, la que une a los números y a las variables con solo la 
operación multiplicación. 
 
3.a (el numero esta multiplicando a la incógnita) 
 
 
Términos semejantes: 
 
 Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos 
que tienen igual factor literal. 
 
 
Reducir términos semejantes 
 
 Consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal (incógnitas y 
exponentes) que les es común. 
 
 
Regla de signos para sumas y restas 
 
 
 Positivos 
Signos iguales se suman +3 a + 8 a = + 11 a (la incógnita se conserva) 
 
 Negativos 
 − 2b − 5b = −7b (se suman los coeficientes el signo se 
 conserva −) 
 
 
 El signo que va a predominar va ser el del numero mayor 
Signos diferentes se restan 
 − 3 a + 8 a = _______ 2b − 5b = __________ 
 
 
Ejercicios. Reduce los términos semejantes 
 
1) 7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b = 
 
 
 
 
 47 
 
2) 35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y = 
 
 
 
 
3) 24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c = 
 
 
 
 
 
4) 3m - 7n + 5m - 7n + 5n + 3n - 8p - 5n + 8p = 
 
 
 
 
 
5) 4p - 7q + 5p - 12p - 11q + 8p - 11q + 12r + p + 5r = 
 
 
 
 
 
 
6) 2a2 + 3b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 - 5 b2 = 
 
 
 
 
 
 
7) 7a - 1,8 b + 5 c - 7,2a + 5a - 6,1b - 8a + 12b = 
 
 
 
 
 
 
8) 8a + 5,2 b - 7,1a + 6,4 b + 9a - 4,3b + 7b - 3a = 
 
 
 
 
 
 
 
 48 
9) 3m - 2
5
n + 5m - 7n + 5 1
2
n + 3n - 2
5
p - 5n + 8p = 
 
 
 
 
 
 
 
10) 2 1
2
a2 + 3 3
5
b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 – 5 b2 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios. Sumar los siguientes polinomios 
 
 
1). 
5
4
55545 5
2
;3;53
9
2
xy
x
yxyyxx  
 
 
 
 
 
 
 
 
2). 52;
2
1
2
4
5
;2
6
1
;5
5
1
5
2 222232223  mnnmmnnmmmnnmnmm 
 
 
 
3). 
8
5
3
4
1
2
1
;15;
4
3
2
1
2  acbcababbcacbcacab 
 
 
 49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4). 
3
2
5
6
;
2
3
5
3
4;3
7
9
5
6 23232  mpxacbmpxacbxamp 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5). 
3333232233223
21
5
2
1
5
4
4
1
;
7
3
2
1
6
1
;2
3
2
yxxyyxyxxyyxxyyxx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uso de paréntesis en la resta: 
 
 Recuerda que los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. 
 
 
 50 
Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él. 
 
 
Ejemplos: 
 
1)   32 xaxa 2) 3x +
2
1 – (6x +3 ) 
 
 cambia _____________________________ cambia _____________________________ 
 
 
reduce ________________ reduce ________________ 
 
 
 Resuelve las siguientes operaciones 
 
1) )834(1053  yxyx
 
2) )167(658 2222 yxyxyxyx  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) )936(9 2222 ababbaababba  4) )( 3333 yxyxyxyx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 











 232
3
2
1
3
1
323
2
y
xy
xyxy
x
 6) 











 222 9
5
2
9
5
2
3 nmnnmnm 
 
7) 












5
1
4
3
2
5
1
5
3
532
8
1 34253353342 yxyxxyyxxyyxyx
 
 
 51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 











 22333322 3
4
1
7
5
4
3
5
4
2
1
3
2
mnnmnmmnnmmnnmmn
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) 
  





 4223222432 yyx
5
7
y3xy3x5xyy3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10)
 













8
7
63
3
4
2
1
2
8
4
7
9
6
2
5 223 xxxxx
 
 
 
 
 
 
 
Sumas y restas combinadas 
 
 Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan: 
 
Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él. 
 52 
 
Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él. 
 
1)      xyyyxyxxy 453693  2)      zxxz 9528128  = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3)      356756  cdadca 4)      uttwwu 977929  = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5)      452554973 222  xxxxxx 6)      11312648343597 232323  aaaaaaaaa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7)    21825712324 23423  mmmmmmm 8)      1112992834 222  yyyyyyy 
 
 
 
 
 53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9)      11723107859473 232323  yyyyyyyyy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10)          bababababa 106475332  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICACIONES : 
 
Regla de signos para multiplicaciones 
 
 
 Positivos ( los números se multiplican los exponentes 
 54 
 se suman ) 
 Signos iguales dan positivo (3 a ) (8 a ) = 24 2)()( aaa  = 
224a 
 Negativos 
 ( − 2 2b ) (− 5b) = 10 3b 
 
 
 
Signos diferentes dan negativo (− 3 3a ) ( 8 3a ) = _______ (2 3b ) ( − 5b )= __________ 
 
 
 
 
Multiplicación de monomio por monomios 
 
 
Ejercicios. 
 
1)    22 32 abba  = 
 
 
2)      222 324 xyzyzxzxy  = 
3)      baaba 232  = 
 
 
4) (8rs2t)(-6r2s) = 
5) (6x)(-3xy)(-6y) = 
 
 
6) x3(- x7 +x4 -x3 +x2 - x) = 
4) r(r3 - rs + 3s) = 
 
 
8) -2a3b2(a4b - a3b2 + 2a2b4 - b5) = 
9)  babaa 442 3
4
3
3
2











 = 
 
10) 

















maxax 423
5
3
3
2
2
1
 = 
 55 
 
11) 

















maxax 423
5
3
3
2
2
1 = 
 
 
12) 2
5
2
3
2
2
1
aba 





 = 
13)   






3
2
375 nnm = 
 
 
14)   





 2
5
2
3
2
2
1
aba = 
15) 335
6
1
3
2
zporzxy  = 
 
 
16)    342 3723 xporxxx  = 
17) 











 ba
3
4
ab
8
9
ba
3
2 322 
 
 
18)  1648
2
25  cc
c = 
19) 2(5a + 8b) – 3(3a2 - 5b) + 4a(a – 7b) = 
 
 
20) 10 – 6(x – 5y) + 2(3x – 5 + 14y) = 
 
 
 
 
Multiplicación de binomios por binomio: 
 
 Existe varias formas de multiplicar binomios esta es una de las mas usada: 
 
1) Expresión algebraica:   baba 7332  
 56 
2) Separas los términos de el primer paréntesis 2 a y -3b y multiplicas cada uno al 
segundo paréntesis. 
    baa 732 6a2–14ab    bab 733 –9ab +21b2 
 
 3) Resulta: 6a2 – 14ab – 9ab + 21b2 
 
 4) Reduces términos semejantes: 6a2 – 23ab + 21b2 
 
 
Ejercicios. Efectúa las siguientes multiplicaciones 
 
 
1) (x + 5) (2x3 +1) 
 
2)    22 2352 yxporyx  
3)    232  xporxx 
 
4)    5103  epore 
5)    15432 23  yyyy 
 
6)    331 2  aaa 
7)    abba 84  
 
8)    baaa 222  
9) )24)(25( 3223 babbba  
 
 
10)    baporbaba  22 22 
 
 
 
División entre monomios 
 
Regla de signos para divisiones 
 
 Positivos ( los números se dividen los exponentes se 
 restan ) 
 57 
 
 6 a ÷ 3 a = _______ 3 a ÷ 6 a ________ 
Al dividir signos iguales 
dan positivo Negativos 
 − 5 2b ÷ − b = _________ − b ÷ − 5 2b = _________ 
 
 
 
 
Al dividir signos diferentes − 3 3a ÷ 3a = _______ 2 3b ÷ − 5b = __________ 
 dan negativo 
 
 
 
 
1) 2
9
2 54 yx 
 
2) 3m4n5p6 3
1
 m4np5 
3) 22 aaa  
 
4) 54654
3
1
3 npmpnm  
5) xxxxx 515105 234  
 
6) 32326688 336 babababa  
7) 












5
3
4
1
5
3
3
1 23 aaa 
 
8)  aabbaa 5
3
1
5
2 5335 





 
9) 
ab
ababba
5
205 22

 
 
10)    xyyxxyyx  3322 743 
 
 
 
Uso de paréntesis: 
 
 En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Para 
eliminar paréntesis      debes fijarte en el signo que tengan: 
 58 
 
 a) Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él. 
 
 b) Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él. 
 
Nota 
 
 Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar 
desde el interior. 
 
 
 
Ejemplo. 
    2222 237 nmnmnmnm 
 
 
1) Como se podrá observar el paréntesis está dentro de un corche y este a su vez está dentro 
de una llave; primero se elimina el paréntesis multiplicando por menos a todos los 
términos que están en el interior del paréntesis. 
 
  2222 237 nmnmnmnm  
 
2) Se reduce términos semejantes, si los hay. 
 
  mnmnmnm 337 222  
 
3) Ahora se va a suprimir el corchete, sin cambiar de signos a los términos que están dentro 
de este, ya que el signo que está a lado del corchete es positivo. 
 
 mnmnmnm 337 222  
 
4) Se reduce términos semejantes, si los hay. 
 
 222 34 mnmnm  
 
5) Y por último se va a suprimir la llave, cambiando de signos a los términos que están dentro 
de éste, ya que el signo que está a lado del corchete es negativo. 
 
222 34 mnmnm  
6) Se reduce términos semejantes, si los hay. 
 
22 342 nmnm  
 
 
Ejercicios. 
 59 
 
 Elimina los signos de agrupación y reduce términos semejantes 
 
 1)      xyxyxxyx 2232243  = 
 
 
 
 
 
 
 
2) (x3 –5x +7) –(2x3 +6x2 +11x+4) = 
 
 
 
 
 
 
 
3) 2x(4x2 –6x +2) +3 (5x2 –3x-4)- 14 x2 
 
 
 
 
 
4)    babaa  252 
 
 
 
 
 
5)      mnmnmnmnm 449152297  
 
 
 
6)       98765432 2222  yxyxyxxyx 
 
 
 
 60 
 
 
 
7)       27962  cbccba 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 

















 1
3
7
5
11
28
4
3
3
7
5
11 srtrsr 
 
 
 
 
 
 
 
 
9)          cabacbacba  3134259 
 
 
 
 
 
 
10) 

























3
4
6
1
2
1
4
1
3
2
2
1
4
3
6
5
3
2
cbacaba 
 
 
 61 
 
 
 
11)    pqpqp 78543  
 
 
 
 
 
 
 
12)      yxyxyx 23535  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13)      xyxyxyxxba  6933 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14)      xyyxyx 2324310  
 
 
 
 
 
 
 
 
15)        qpqppqp  223543 
 Valoración de expresiones algebraicas 
 
 
 62 
 Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable 
de los términosy resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor 
final. 
 
Ejemplo: 
 
 Valoremos la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1 
 
 
 
 
  9)1(919
16)1)(2(81)2(8
20)1)(4(51)2(5
3
2
2



 
 
 
 
Ejercicios 
 
 
Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando: 
 
 
Expresión algebraica Reemplazar :a = 2; b =5; c=–3; d=–1; f = 0 Resultado 
 
 
1) dbca 325
2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 4 ab – 3 bc – 15d 
 
 
 
 
 
 
3) fa36 
 
 
4) 53322 dcba  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acomodando los resultados. 
- 20 – 16 + 9 = 
Reduciendo. 
= - 27. 
 63 
5) )(2)(3 dcba  
 
 
6) 
253
abc
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 2)( cb  
 
 
 
 
 
 
 
Sustitución y despeje 
 
Ejercicios. 
 
 
1) Si p + q = -6 y q = 2, entonces el valor de p es: 
 
 
 
 
 
2) Si m + 5n = 5 y n = -2, entonces el valor de m es: 
 
 
 
 
 
3) Si a = -5 y a + b = 5, entonces el valor de b es: 
 
 
 
 
4) Si 
2
n
m  y n = -16, entonces el valor de m es: 
 
 
 
 
5) Si q = -2r, r = 
2
s y s = 9, entonces el valor de q es: 
 
 
LENGUAJE ALGEBRAICO: 
 
Exprese cada una de las siguientes oraciones o frases en sımbolos algebraicos. 
 
 64 
Enunciado Representación 
matemática 
Representación 
matemática 
Un numero 
 
 
 
El doble de un numero 
 
 
 
El doble de un numero, aumentado en 5 
 
 
 
La mitas, de un numero aumentado en 3 
 
 
 
El triple de un numero, disminuido en 7 
 
 
La tercera parte , de un numero 
aumentado en 2 
 
Lo que tiene Omar es igual a lo que tiene 
Silvana 
 
Omar tiene el doble que Silvana 
 
 
Carlos tiene dos veces lo que tiene Diana 
 
“x” es tres veces “y” 
 
 
“x” es tres veces mas que “y” 
 
 
 
La suma de tres números 
 
 
 
 
La suma de tres números consecutivos 
 
 
 
 
La suma de tres números pares 
consecutivos 
 
 
 
La suma de los cuadrados de tres 
números 
 
 
 
El cuadrado de la suma de tres números 
 
 
 
El cubo del doble de un numero 
 
 
 
El doble del cubo de un numero 
 
 65 
 
 
“A” excede a “B” en 4 
 
 
 
Tres menos dos veces un numero 
cualquiera. 
 
 
 
 
Propiedades de las ecuaciones: 
 
El axioma fundamental de las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra equivalente cuando 
se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros. 
 
Es decir 
 Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad 
subsiste. 
 
 Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad 
subsiste. 
 
 
 Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad 
subsiste. 
 Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad 
subsiste. 
 
Transponer términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. Consideremos la 
ecuación 
 
3x - 2 = x + 6 lo que se debe hacer es sumar una misma cantidad a las dos partes 
 
3x – 2 + 2 = x + 6 + 2 esto se ha mecanizado y es cuando decimos que pasa con la operación 
contraria 
 se elimina se suma 
 
 
3x - 2 = x + 6 el dos pasa sumando 3 x = x + 6 +2 y la x pasa 3x ______= 8 
 
 
y el numero que multiplica la x pasa __________ así que x = ____________ 
 
 
 
1) x + 1 = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) y + 2y = 9. 
 
 
3) 3w – 4 = 2w + 5. 
 
 
 
4) 10x -25 = 6x – 5 
 
5) 5x + 6 = 10x + 5. 6) 8x – 4 + 3x = 7x + x + 14 
 66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 9y – 11 = - 10 + 12y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 21 – 6x = 27 – 8x. 
 
9) 16 + 7x – 5 + x =11x –3 – x. 
10) 
7
2

x
 
 
 
 
 
 
11) 
3
5

c
 12) 4
9
a

 
 
 
13) 
5
5

y
 
 
 
 
 
 
14) 
9
4
1
r 15) 2
82
w
 
 
 
16) 
14
4
1
t 
 
 
 
 
17) 
4
2

b
 18) b
2
16  
 
 
19) 
a
2
1
50  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20) 
54
3
2
a 21) 
10
5
2
n