guia CONJUNTOS_NUMERICOS

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Coordinación General Ingreso 2023: 
Prof. Alejandra Ibáñez 
 
Dirección del Módulo de Matemática: 
Prof. Sara Pettina 
 
Coordinación General del Módulo de Matemática: 
Prof. Marianela Bello 
 
Co-Coordinación del Módulo de Matemática: 
Prof. Germán Diez 
 
Dictado de clases presenciales: 
 
Prof. Matías Albornoz 
Prof. Gabriel Aluz 
Prof. Sofía Amorós 
Prof. Melani Antolinez 
Prof. Giuliana Calani 
Prof. Carolina Camargo 
Prof. Sebastián Egea 
Prof. Carolina Gonzalez 
Prof. Lorena Granero 
Prof. Alejandra Larralde 
Prof. Agostina Ligutti 
Prof. Carolina Maza 
Prof. Paula Sosa 
Prof. Matías Vidoret 
 
 
2 
 
 Página 
Símbolos matemáticos 3 
UNIDAD N° 1: Los números 
TEMA N° 1: Conjuntos numéricos 4 
1.- Números naturales 4 
1.1.- Propiedades del conjunto de los números naturales 4 
1.2.- Múltiplos y divisores 6 
1.3.- Números primos y compuestos 7 
1.4.- Descomposición de números en factores primos 7 
1.5.- Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 9 
2.- Números enteros 11 
2.1.- Propiedades del conjunto de los números enteros 12 
2.2.- Operaciones con números enteros 12 
3.- Números racionales 16 
3.1.- Propiedades del conjunto de los números racionales 18 
3.2.- Amplificación y simplificación 19 
3.3.- Expresiones fraccionarias y decimales de los números racionales 20 
3.4.- Operaciones con números racionales 24 
3.5.- Propiedades de las operaciones con números racionales 29 
4.- Números irracionales 30 
4.1.- Números irracionales importantes 31 
4.2.- Propiedades de los números irracionales 32 
5.- Números reales 33 
5.1.- Propiedades de los números reales 33 
5.2.- Aproximación de los números reales 34 
5.3.- Operatoria con números reales 35 
5.4.- Error de aproximación de números reales 35 
5.5.- Intervalos reales 36 
5.6.- Valor absoluto o módulo de un número real 39 
6.- Unión e intersección de conjuntos 42 
TEMA N° 2: Potenciación 43 
1.- Propiedades de la potencia 43 
2.- Potencias con base entera y exponente natural 44 
3.- Potencias con base y exponente entero 45 
4.- Potencias con base racional y exponente entero 45 
5.- Operaciones con potencias 45 
TEMA N° 3: Radicación 50 
1.- Relación entre la raíz y la potencia 51 
2.- Radicales equivalentes 53 
3.- Composición o descomposición de raíces 53 
4.- Operaciones con raíces 55 
5.- Racionalización 58 
TEMA N° 4: Logaritmos 62 
1.- Logaritmos naturales o neperianos 63 
2.- Logaritmos iguales 63 
3.- Logaritmos decimales 63 
4.- Propiedades de los logaritmos 63 
Bibliografía 69 
 
 
3 
 
 
ℕ: Números naturales (a;b): Intervalo abierto 
ℤ: Números enteros (a;b]: Intervalo semiabierto por la izquierda 
ℚ: Números racionales [a;b): Intervalo semiabierto por la derecha 
𝕀: Números irracionales [a;b]: Intervalo cerrado 
ℝ: Números reales ϕ: Número irracional fi = 
1+√5
2
 
: Existe π: número irracional pi (3,1415…) 
∄: No existe e: Número e o constante de Euler (2,7182…) 
: Para todo 𝑓: 𝐴 → 𝐵: función de A en B 
: Conjunto vacío 𝑓−1: Función inversa 
∪: Unión ≅ : Aproximadamente igual 
: Intersección f o g: Composición de las funciones f y g. 
: Pertenece f(x): función de x 
: No pertenece Dom f: Dominio de la función f 
∞: Infinito Rec f: Recorrido de la función f 
−∞: Menos infinito % : Porcentaje 
a = b: a igual a b : Incluido 
a ≠ b: a distinto de b ⊈: No incluido 
a > b: a mayor a b ∆: Discriminante 
a < b: a menor a b |a|: Valor absoluto de a, para a  ℝ 
a ≥ b: a mayor o igual que b ∆= |
a b
c d
| = ad − bc: determinante 
a ≤ b: a menor o igual que b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Agrega los que vayas utilizando y no aparezcan en la lista. 
 
 
4 
 
Un concepto básico y elemental del lenguaje matemático es el de número. Para poder trabajar 
en matemática, es necesario comprender la noción de número, sus propiedades y transformaciones. 
 
TEMA N° 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
A los distintos tipos de números se los pueden agrupar en conjuntos, teniendo en cuenta una 
serie de propiedades. En esta unidad se repasarán los conjuntos de números: Naturales, Enteros, 
Racionales, Irracionales y Reales. Se analizarán las principales propiedades y sus operaciones. 
 
1.- NÚMEROS NATURALES 
 
Se llama ℕ al conjunto de los números naturales. Este es el primer conjunto numérico 
construido y estudiado por el hombre que le sirvió para contar. 
Se escribe como: ℕ = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … } 
 
La secuencia para encontrar cada número natural es sumar uno al anterior. La representación 
en la recta numérica es: 
 
 
Como se puede observar, este conjunto NO contiene al número cero. 
 
1.1.- PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES 
 
 El conjunto de los números naturales tiene un primer elemento que es el 1. 
 No tiene un elemento final, siempre se puede encontrar un número natural sumando 1 al 
último encontrado. Es por ello que se dice que es un conjunto infinito. 
 Para todo número natural n SIEMPRE existe un consecutivo (n+1) que también es natural. Por 
ejemplo: n = 3 es un número natural y su consecutivo (n+1) = 3+1 = 4 
 Para todo número natural n, NO SIEMPRE existe un antecesor (n - 1). Por ejemplo: si n = 1, su 
antecesor sería (n – 1) = 1 – 1 = 0 y cero no está incluido en el conjunto de los números 
naturales. 
 Se dice que es un conjunto discreto, ya que, entre dos números naturales consecutivos, no 
existe otro número natural. 
 
1 2 3 54 76
 
5 
 
 Al sumar o multiplicar dos números naturales entre sí, se obtiene por resultado otro número 
natural. Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de cierre o de clausura. 
 Se aplica la propiedad conmutativa con respecto a la suma y la multiplicación. Por ejemplo: 
3 + 2 = 2 + 3 = 5 
5 ∙ 4 = 4 ∙ 5 = 20 
 Se aplica la propiedad asociativa con respecto a la suma y la multiplicación. Por ejemplo: 
(4 + 2) + 3 = 4 + (2 + 3) = 9 
(3 ∙ 5) ∙ 2 = 3 ∙ (5 ∙ 2) = 30 
 Existe elemento neutro con respecto a la multiplicación. Para todo número natural n si se lo 
multiplica por el número natural 1 se obtiene el mismo número n. 
Por ejemplo: 3 ∙ 1 = 3 , siendo 3 un número natural 
 En cuanto a la propiedad distributiva, SÓLO se cumple cuando se hace referencia al 
producto respecto de la suma. 
 
 𝐚, 𝐛  𝐜  ℕ → 𝐚 ∙ (𝐛 + 𝐜) = 𝐚 ∙ 𝐛 + 𝐚 ∙ 𝐜 
 
Esto se lee: Para todo () a, b y c que pertenecen () al conjunto de los números naturales 
implica entonces que el producto de a por el resultado de la suma de b más c, es igual a, a por b 
más a por c. 
 
Cabe destacar que la propiedad distributiva NO se aplica a la suma respecto del producto. 
 𝐚, 𝐛  𝐜  ℕ, 𝐚 + (𝐛 ∙ 𝐜)  (𝐚 + 𝐛) ∙ (𝐚 + 𝐜) 
 
 En el conjunto de los números naturales, las operaciones de sustracción y división se definen 
con algunas restricciones: 
 
En la sustracción se debe cumplir que el minuendo debe ser 
mayor al sustraendo. 
Por ejemplo: 
(43 - 13) = 30 donde 30  ℕ 
(32 - 54) = -22 donde (–22)  ℕ 
 
En la división, el dividendo debe ser múltiplo del divisor. 
 
Por ejemplo: 
36 : 9 = 4 donde 4  ℕ 
27 : 4 = 6,75 donde 6,75  ℕ 
 
a - b c=
minuendo
sustraendo
diferencia
 
6 
 
1.2.- MÚLTIPLOS Y DIVISORES 
 
Los múltiplos de un número son: 
 
Los múltiplos de un número son los que contienen a este una cantidad exacta de veces. 
Se obtienen multiplicando el número por los sucesivos números cardinales. Por ejemplo: 
los múltiplos de 3 son 0, 3, 6, 9, 12, … 
 
 
PROPIEDADES DE LOS MÚLTIPLOS 
 
 
 Cualquier número es múltiplo de sí mismo. 
 Cualquier número es múltiplo de 1. 
 La suma de dos múltiplos de un número es también múltiplo de ese número. 
 Si al menos uno de los factores en una multiplicación es múltiplo de un número, el producto 
también lo es. 
 
Los divisores de un número son aquellos que lo dividen en forma exacta. 
Por ejemplo, los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 
 
 
 
PROPIEDADES DE LOS DIVISORES Todo número es divisor de sí mismo. 
 El número 1 es divisor de cualquier número. 
 Un número natural que es divisor de dos números es también divisor de su suma. 
 Si un número natural es divisor de al menos uno de los factores de una multiplicación, también 
lo es del producto. 
 
 
ALGUNOS CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 
 
Los criterios de divisibilidad permiten reconocer si un número es divisible por otro, sin realizar 
la división. 
 Un número es divisible por 2 cuando su último dígito es 0 o par. 
 Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Por ejemplo: 237 
es divisible por 3, ya que la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. (2+3+7=12). 
 Un número es divisible por 5 cuando su último dígito es 0 o 5. 
 Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez. 
 
7 
 
 Un número es divisible por 10 cuando su último dígito es 0. 
 Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los dígitos de lugar impar 
y la suma de los dígitos de lugar par es 0 o múltiplo de 11. Por ejemplo: el número 1.375 es 
divisible por 11. Ya que, (1+7)-(3+5)=8-8=0 
 
Otra forma de expresar los múltiplos y divisores de un número es: 
M(a): indica el conjunto de todos los múltiplos de a. 
Div(a): indica el conjunto de todos los divisores de un número a. 
 
Por ejemplo: M(5): 0, 1, 5, 10, 15, 20, … ; Div(6): 1, 2, 3 y 6. 
 
 
Según las reglas de divisibilidad, se distinguen dos clases genéricas de números: primos y 
compuestos. 
 
 
1.3.- NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS 
 
 
 
Por ejemplo: 3 es primo porque solo se puede dividir por 1 y 3. 
El primer número primo es 2. 
El 1 sólo tiene un divisor, NO se considera primo. 
 
 
 
 
Un número compuesto se puede descomponer como producto 
de otros factores. 
Por ejemplo: 10 es compuesto, y sus divisores son 1, 2, 5 y 10. 
 
 
1.4.- DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS 
 
Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o más factores primos. 
Para descomponer un número en producto de factores primos se siguen estos pasos: 
 
1°) Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical (actúa como "ventana" de división) y a 
su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7,... ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente 
obtenido se coloca debajo del número inicial propuesto. 
2°) Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar 
a un cociente igual a 1. 
 
Un número es primo si 
solo tiene dos divisores: 
él mismo y la unidad. 
Un número b es 
compuesto si tiene tres o 
más divisores. 
 
 
8 
 
Por ejemplo: Al realizar la descomposición en producto de factores primos del 24 se obtiene: 
 
 
 
 
Los números que están a la izquierda de la línea son los cocientes parciales y los de la 
derecha, son los factores primos. 
Recuerda que siempre se debe comenzar a dividir por el menor número primo por el cual sea 
divisible el número solicitado (en el ejemplo 24). 
 
Cada vez que veas este ícono, es porque te invitamos a ver un video. 
Haz click en él luego de haber leído cada tema de esta guía. 
¡Te dejamos el primer video! 
 
 El ícono del lápiz indica que hay ejercicios para practicar los temas desarrollados. 
Te recomendamos que hagas todos los ejercicios de la guía y los prácticos 
adicionales, las dudas que te surjan las puedes despejar a través del foro de la 
unidad, así como también, en las clases de consulta con los tutores. 
 
ACTIVIDAD 
 
1.- Descomponer como producto de factores primos los siguientes números: 
a) 20 
 
b) 90 
 
c) 125 
 
https://youtu.be/NYdz9q7zeGE
 
9 
 
 
1.5.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (mcd) 
 
 
A.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm) 
 
El mcm de dos o más números, es el menor de sus múltiplos comunes, distintos de 0. 
El mcm(a,b): indica el mínimo común múltiplo de a y b. 
 
 
 
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y luego se multiplican los 
factores comunes y no comunes entre los números elevados a su mayor exponente. 
 
Por ejemplo: si se quiere calcular el mcm entre 24 y 60: 
 
1°) Descomponer en factores primos cada número. 
 
 
2°) El mcm entre 24 y 60 se obtiene como el producto de los factores primos comunes y no comunes 
elevados al mayor exponente. Luego, 𝑚𝑐𝑚(24,60) = 23 ∙ 3 ∙ 5 = 120 
 
 
 
 
B.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR (mcd) 
 
El mcd de 2 o más números es el mayor de sus divisores comunes. 
mcd(a,b): indica el máximo común divisor entre a y b. 
 
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y luego se multiplican los 
factores comunes elevados a su menor exponente. 
 
https://youtu.be/QYVdlnwGnow
 
10 
 
Por ejemplo: si se quiere calcular el mcd entre 24 y 60: 
 
1°) Descomponer en factores primos cada número. 
 
 
 
2°) El mcd entre 24 y 60 se obtiene como producto de los factores primos comunes elevados al 
menor exponente. Luego, mcd(24,60) = 22 ∙ 3 = 12, lo que implica que 12 es el mayor de los 
divisores comunes entre 24 y 60. 
 
 
 
 
 
 
ACTIVIDADES 
 
2.- Obtener el mcm de: 
 
a) 42 y 12 
 
 
b) 2, 4, 15, 30 
 
 
 
3.- Calcular el mcd de: 
 
a) 12 y 18 
 
 
b) 36, 60, 84 y 96 
 
 
https://youtu.be/m3pRyjadWgI
 
11 
 
2.- NÚMEROS ENTEROS 
 
El conjunto de los números enteros está formado por todos aquellos números que sirven para 
contar, sus opuestos y el cero. Este conjunto se identifica con el símbolo ℤ y se define como: 
ℤ = {… , −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … } 
 
 
Es decir, el conjunto de los números enteros (ℤ) está formado por: 
 
 Los números enteros positivos o números naturales ( +) = 1, 2, 3, … 
 El cero = 0 
 Los números enteros negativos ( -) = -1, -2, -3, … 
 
El símbolo matemático que indica la unión es ∪ que se lee “unido”. Luego podemos escribir 
el conjunto de los números enteros como: ℤ = ℕ ∪ {𝟎} ∪ {… , −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏} 
 
 
Algunos ejemplos de situaciones cotidianas en las que utilizamos los números enteros: 
 
 -2 en el tablero del ascensor señala el segundo subsuelo: 2 niveles debajo de la planta baja 
(nivel cero). 
 -5 en la columna del termómetro indica 5 grados abajo del cero. 
 Alejandro Magno, rey de Macedonia, murió 323 años antes del año cero (comienza de la 
Era Cristiana). Se puede decir que Alejandro murió en el año -323. 
 
El signo menos adelante de la cantidad indicamos que está antes del origen elegido. 
 
En los ejemplos: -2, -5, -323 son números negativos, anteponiendo el signo menos a un 
número natural tenemos un número negativo. 
 
Al representar los números enteros en la recta numérica se hace de forma ordenada, sabiendo 
que van aumentando en la medida que se desplaza a la derecha de dicha gráfica. 
 
 
 
 
 
 
12 
 
2.1.- PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 
 
 Los números enteros son un conjunto ordenado, infinito y sin primer elemento. 
 Todo número dentro del conjunto ℤ tiene un antecesor y un sucesor. 
 Se dice que es un conjunto discreto, ya que, entre dos números enteros consecutivos, no existe 
otro número entero. 
 Se cumple la Ley de cierre o de clausura con respecto a la adición y a la multiplicación, que 
sostiene que al sumar o multiplicar dos números enteros entre sí, su resultado será un número 
entero. 
 Se cumplen las propiedades conmutativa y asociativa con respecto a la adición y a la 
multiplicación. 
 Se cumple la distributiva del producto con respecto a la suma, tanto por izquierda como por 
derecha. En símbolos:  𝐚, 𝐛  𝐜  ℤ ; 𝐚 ∙ (𝐛 + 𝐜) = (𝐛 + 𝐜) ∙ 𝐚 = 𝐚 ∙ 𝐛 + 𝐚 ∙ 𝐜 
 Los números enteros tienen elemento neutro con respecto a la adición que es el cero y con 
respecto al producto que es el 1. Ensímbolos: 
 𝐚  ℤ ,  𝟎  ℤ / (𝐚 + 𝟎) = (𝟎 + 𝐚) = 𝐚 
 𝐚  ℤ ,  𝟏  ℤ / (𝐚 ∙ 𝟏) = (𝟏 ∙ 𝐚) = 𝐚 
 
2.2.- OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS 
 
A.- ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN 
 
 SUMA O RESTA DE ENTEROS DE IGUAL SIGNO: Se suman sus valores absolutos y se 
mantiene el signo que tienen los términos. Por ejemplo: 56 + 30 = 86 / - 45 - 30 = -75 
 SUMA O RESTA DE ENTEROS DE DISTINTO SIGNO: El resultado tiene signo igual al término 
de mayor valor absoluto. El resultado tendrá como valor absoluto la diferencia entre el número 
de mayor y el de menor valor absoluto. Por ejemplo: 36 – 15 = 21 / -52 + 24 = -28 
 LA SUMA DE UN NÚMERO Y SU OPUESTO ES SIEMPRE IGUAL A CERO. 
Uso de paréntesis en operaciones de números enteros: 
Paréntesis precedidos por el signo + : Al eliminar un paréntesis precedido por un signo +, los 
números que se “ubican en el interior del paréntesis” conservan su signo. 
Ejemplo: 23 + (25 – 46 + 25) = 23 + 25 – 46 + 25 = 27 
 
Paréntesis precedidos por el signo - : Al suprimir un paréntesis precedido por un signo -, los 
términos ubicados “dentro del paréntesis” se remplazan por sus opuestos. 
Ejemplo: 12 + 40 – (16 + 22 – 20) = 12 + 40 – 16 – 22 + 20 = 34 
 
 
 
13 
 
ACTIVIDADES 
4.- Resolver las siguientes operaciones con números enteros. 
 
a) 22 + 35 = 
b) 0 + 32 = 
c) 11 + (-11) = 
d) (-12) + (-29) = 
e) –(3+7) + (-3) + (-7) = 
f) 31 – (-8) – 32 = 
 
5.- El crédito de la tarjeta para comprar es de $5000 y se hace un gasto de $1320. ¿Qué números 
enteros hay que sumar para obtener el nuevo saldo? Realizar la operación. 
 
6.- El ascensor baja tres pisos desde la planta baja y luego sigue bajando dos pisos más ¿En qué 
piso está al final del viaje? 
 
7.- Ordenar de la forma más conveniente y resolver: 
 
a) 85 + (-8) + 32 + 39 + (-16) + 7 = 
b) 8 + 0 + (-18) + 123 + (-9) + 10 = 
 
 
B.- MULTIPLICACIÓN CON ENTEROS 
 
Al multiplicar dos números enteros: 
 Si tienen el mismo signo, el resultado es positivo. 
 Si tienen signos distintos, el resultado es negativo. 
 El producto de un entero por cero es cero. 
 El producto de un entero por uno es el mismo entero. 
 El producto de un entero por (-1) es igual al opuesto del entero. 
 
Ejemplos: 
 
a) 12 ∙ 3 = 36 
b) −16 ∙ (−14) = 224 
c) −8 ∙ 24 = −192 
d) 50 ∙ (−3) = −150 
 
 
Regla de los signos 
 
14 
 
ACTIVIDADES 
8.- Calcular: 
 
a) (−4) ∙ (−3) + 2 ∙ (−5) = 
b) (−4) ∙ (−3 + 2) ∙ (−5) = 
c) (−2) ∙ (5 ∙ 2 − (−5) ∙ (7)) = 
d) (−10) ∙ (0 ∙ 2) + (−3) ∙ (7) = 
 
9.- Escribir como producto de números enteros y resolver: 
 
a) En la planilla hay un saldo inicial de $200, se cargan 5 pagos de $150. ¿Cuál es el nuevo 
saldo? 
 
b) El ascensor baja los subsuelos de a 2. Después de tres paradas en su camino descendente, 
desde la planta baja, ¿En qué piso está? 
 
c) Estudiantes de administración logran aumentar las ventas a 10 mil unidades de producto 
en el primer mes, en el segundo mes sufren una caída en las ventas de 5 mil unidades y en los 3 
meses restantes venden en cada uno el doble de lo que se vendió en el mes anterior. Al cabo de 
los 5 meses ¿Cuántas unidades de producto lograron vender? 
 
C.- DIVISIÓN CON ENTEROS 
 
Al dividir dos números enteros: 
 Si tienen signos distintos, el resultado es negativo. 
 Si tienen el mismo signo, el resultado es positivo. 
 Al dividir un número por 1 el número no cambia. 
 Al dividir un número por (-1) cambia solo el signo del número. 
 Cero dividido por cualquier entero distinto de cero es cero. 
 No se puede dividir por cero. 
 
Ejemplos: 
 
a) (-36) : (-9) = 4 
b) 54 : 6 = 9 
c) -120 : 10 = -12 
d) 84 : (-4) = -21 
 
 
https://youtu.be/frGrK32r0eI
 
15 
 
D.- OPERACIONES COMBINADAS 
 
Al resolver ejercicios que presentan varias operaciones, la prioridad para resolverlas es: 
 
1° Paréntesis, luego corchetes y finalmente llaves. 
 
2° Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 
 
3° Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha. 
 
ACTIVIDADES 
 
10.- Resolver las siguientes operaciones: 
a) 85 ∙ (−2) + 90 ∙ 5: 3 − 27 ∙ (−3) = 
b) 9 ∙ 2 + 3 ∙ (−12) + 45: (−9) − (−9): 3 = 
c) – (9 + 7 – 8) + 5 + (-3 + 4) – (-9) = 
d) -8 + 2 – (4 – 7 + 2) + (-6 + 1 – 3) = 
 
 
11.- Expresar numéricamente las siguientes situaciones: 
a) Cincuenta años antes de Cristo. 
b) Deuda de cinco mil pesos. 
c) Un punto a favor. 
d) Seis grados bajo cero. 
e) Dos metros bajo el nivel del mar. 
 
12.- Escribir todos los números enteros: 
a) Mayores que -3 y menores que 4. 
b) Mayores e iguales que -15 y menores que -3. 
 
13.- Un hombre nació el año 25 a.C. Otro hombre nació el año 10 d.C. 
a) ¿Cuántos años tenía cada uno a la fecha que nace Cristo? 
b) ¿Cuál de los dos nació más próximo al nacimiento de Cristo? Justificar. 
 
14.- Leer cada situación, plantear la operación y resolver: 
a) Un calamar se encuentra a 12 metros bajo el nivel del mar. Sube 7 metros y luego baja 3 
metros ¿A qué distancia del nivel del mar se encuentra? 
 
 
16 
 
b) Un termómetro marcaba 3 grados bajo cero a las 9 de la mañana. Cinco horas más tarde 
subió a 7 grados, y 6 horas después bajó 5 grados ¿Qué temperatura marcó finalmente? 
c) En la ciudad de Junín, la temperatura subió 3°C por la mañana y bajó 10°C por la tarde. 
¿Cuál ha sido la variación de la temperatura a lo largo del día? 
d) Alicia y Jorge están en el mismo punto. Alicia avanza 7 pasos y retrocede 2, mientras que 
Jorge retrocede primero 2 pasos y avanza luego 7. ¿A qué distancia estarían al final el uno del otro? 
e) Matilde fue al banco y solicitó el saldo de su cuenta de ahorro. Le informaron que dicho 
saldo es de $1.258 y también le suministraron el detalle de sus movimientos en el último mes: 
depositó $2500, extrajo $300, le debitaron el impuesto inmobiliario por un valor de $4700, lo 
cobraron $500 por mantenimiento de cuenta y obtuvo $300 de intereses. ¿Cuál era su saldo hace 
un mes? 
f) El nivel de agua en un pozo ha disminuido 63 cm en una semana. Si el descenso diario es 
el mismo. ¿Cuánto ha bajado cada día? 
 
 
 
 
3.- NÚMEROS RACIONALES 
 
 “Una persona es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que es, en tanto que el denominador es lo que cree 
ser. Cuanto mayor es el denominador, tanto más pequeño es el valor de la fracción” 
 
 
 
Cita del escritor ruso, Leon Tolstoi, autor de novelas realistas “Guerra y Paz, y Ana Karentina” 
 
“Más grave que el número de oyentes era su composición social. Desde el proscenio, decorado 
con un jarroncito de flores y una pared llena de símbolos masónicos, mientras Monsieur Lagrange 
la presentaba, Flora descubrió que tres cuartas partes de los asistentes eran patrones y sólo un 
tercio obreros” 
 
Fragmento de la obra “El Paraíso en la otra esquina del escritor peruano, Mario Vargas Llosa, 
Premio Nobel de Literatura 
 
El conjunto de los números racionales está formado por todos los números que pueden ser 
escritos como una fracción, cuyo numerador y denominador son números enteros y el 
denominador debe ser siempre distinto de cero. Este conjunto se identifica con el símbolo ℚ. 
También se los puede definir como el conjunto de todos los números que pueden ser expresados 
como cociente entre dos números enteros. 
Si a y b son números enteros y b  0, 
a
b
 es un número racional. 
 
https://youtu.be/hkh0I0Ye7g0
 
17 
 
 
 
 
 
 
Dado que los números enteros se pueden expresar como fracción, el número entero dividido 
por uno se puede concluir que pertenecen al conjunto de los números racionales. 
 
Lo explicado anteriormente se resume en: 
 
 es el conjunto de números de la forma a dividido por b, tal que, a y b pertenecen a ℤ y b es 
distinto de cero. 
 
Hay que tener en cuenta que el conjunto de los racionales contiene a los números naturales, 
enteros, fracciones y decimales, positivos y negativos. 
No incluye a los decimales infinitosno periódicos, estos pertenecen al conjunto de los 
números irracionales. 
 
Ejemplos que pertenecen a los números racionales: 
 
 
Representación de los números racionales → 
 
Para representar los números racionales en una recta numérica se 
pueden seguir los siguientes pasos: 
1° Se divide cada unidad en partes iguales según lo que indica el denominador. 
2° Luego, a partir del cero, se cuenta el número de partes que indica el numerador dentro de 
cada unidad. Esta ubicación indica la posición del número racional en la recta numérica. 
Por ejemplo: Represente en la recta numérica los siguientes números racionales: 
3
2
,
7
2
, −
1
2
, −
5
2
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
A cada número racional le corresponde un único punto en la recta numérica, pero no a todo 
punto de la recta numérica le corresponde un número racional, es decir, “ℚ no completa la recta 
numérica”. 
Para comparar fracciones, en algunos casos es fácil, ya que: 
 Una fracción negativa es siempre menor que una positiva. 
 De dos fracciones de igual denominador, es menor la que tiene menor numerador. 
 Pero cuando no se puede observar directamente el orden de menor a mayor de las mismas, se 
debe saber que en general: 
a
b
<
c
d
 si y solo sí a ∙ d < c ∙ b 
 
a
b
>
c
d
 si y solo sí a ∙ d > c ∙ b 
 
a
b
=
c
d
 si y solo sí a ∙ d = c ∙ b 
 
 
3.1.- PROPIEDADES DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES 
 
 
 Los números racionales (ℚ) son un conjunto ordenado, infinito, sin primer elemento ni último. 
 Es un conjunto denso, es decir, entre dos números racionales existen infinitos racionales. 
 Hay que tener en cuenta que: 
−𝑎
𝑏
 = 
𝑎
−𝑏
 = −
𝑎
𝑏
 
 Todos los números naturales y enteros son racionales. 
 Cualquiera sea el número entero m ≠0, las expresiones 
a
b
 y 
ma
mb
 representan el mismo número 
racional, o sea, 
a
b
= 
ma
mb
 
 Para cualquier fracción se puede hallar una fracción equivalente a ella, que tenga numerador y 
denominador coprimos entre sí: 
 
1
7
 = 
3 ∙ 1
3 ∙ 7
 = 
3
21
 
 
 
(−
2
5
) = 
9 ∙ (−2)
9 ∙ 5
 = (
−18
45
) 
 
 Si el numerador y el denominador son primos, la fracción es irreducible. Por ejemplo: 
1
7
 ,
2
5
 ,
3
8
 
son irreducibles. 
 
19 
 
3.2.- AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN 
 
Una fracción se puede amplificar o simplificar, sin cambiar su valor, o sea, si realizas estos 
procedimientos se obtiene una fracción equivalente (es decir, se ven diferentes, pero representan 
el mismo valor numérico). 
 
Para amplificar una fracción se debe multiplicar por el mismo factor el numerador y 
denominador. 
Por ejemplo: 
2
3
 = 
2 ∙2
3∙2
= 
4
6
 (
2
3
 𝑠𝑒 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 2) 
 
Para simplificar una fracción se debe dividir por el mismo número el numerador y 
denominador. 
Por ejemplo: 
8
10
 = 
8:2
10:2
 = 
4
5
 (
8
10
 𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 2) 
Simplificar una fracción es hallar la fracción irreducible equivalente a ella. 
 
Mediante la amplificación y la simplificación se pueden obtener distintos representantes de un 
mismo número racional. 
 
 
 
 
ACTIVIDADES 
 
15.- Representar en la recta numérica: 
a) Los números fraccionarios positivos: 
3
8
,
8
2
,
15
4
 
b) Los números fraccionarios negativos: −
1
3
, − 5
6
,− 4
12
 
 
16.- Indicar cuáles de estos números son: 
a) Menores que 0 
b) Mayores que 0 y menores que 1 
c) Mayores que 1 
 
−
5
2
 , 
2
9
 ,
−4
5
 ,
8
7
 , −3 , −
1
3
 ,
7
4
 ,
5
6
 
 
¿Cómo pudiste determinar si los números racionales expresados como fracciones son 
menores que cero, se encuentran entre 0 y 1 o son mayores que 1? 
 
 
20 
 
17.- Escribir cinco fracciones equivalentes a 
7
10
, cuyo numerador sea menor que 49. 
 
18.- Completar con los numeradores o denominadores que faltan: 
a) 
2
3
 = 
9 
 = 
27
 
b) −
5
6
 = 
12 
 = −45 
 
19.- Escribir la fracción irreducible equivalente a: 
a) 
18
45
 = 
b) 
−28
14
 = 
 
20.- Encontrar tres fracciones irreducibles que tengan: 
a) Numerador 3 
b) Denominador 18 
 
21.- Ordenar en forma creciente y representar en la recta numérica los siguientes números 
racionales: 
3
8
 ,
5
8
 ,
5
4
 ,
1
2
 ,
9
8
 ,
1
8
 
 
22.- Encontrar un número racional comprendido entre: 
a) 
2
3
 𝑦 
11
12
 
b) 
−1
2
 𝑦 
−1
5
 
 
 
3.3.- EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y DECIMALES DE LOS NÚMEROS RACIONALES 
 
Un número racional escrito en forma de fracción es equivalente a una única expresión decimal. 
 
A.- EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL 
 
Para expresar una fracción como número decimal, se debe dividir el numerador por el 
denominador. 
 
 
21 
 
Por ejemplo: 
a) −
1
2
 = −1 ∶ 2 = −0,5 
b) −
2
3
 = −2 ∶ 3 = −0, 6 ̅ = −0,6666666 …. 
c) 
7
5
 = 7 ∶ 5 = 1,4 
 
El cociente puede ser un número decimal con una cantidad finita o infinita de cifras decimales. 
 
 Si la cantidad de decimales resultante es finita se dice que es un Expresión Decimal Exacta. 
Por ejemplo: -0,5 o 1,4 
 Si la cantidad de decimales es infinita se dice que es una Expresión Decimal Periódica. Dentro 
de ellas se identifican dos tipos: 
 Si en la parte decimal sólo hay números que se repiten infinitamente se dice que es una 
Expresión Decimal Periódica Pura. Por ejemplo: −8, 5̅ ó 0, 16̅̅̅̅ 
 Si en la parte decimal hay números que no se repiten y otros que se repiten infinitamente, 
se dice que es una Expresión Decimal Periódica Mixta. Por ejemplo: −8,63̅ ó 3,012̅̅̅̅ 
 
 
 
 
 
 
B.- EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN NÚMERO DECIMAL 
 
 
Se deben considerar tres casos: 
 
 
 TRANSFORMACIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL FINITO A UNA FRACCIÓN 
 
 
Para transformar una expresión decimal exacta en fracción: 
 
1°) Se escribe en el numerador de la fracción el número decimal sin coma. 
2°) En el denominador una potencia de 10 cuyo exponente será el número total de decimales 
o simplemente en el denominador se escribe un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales 
tenga el número decimal. 
3°) Se simplifica si es posible. 
 
 
https://youtu.be/3t7fQ2cPjxw
 
22 
 
Por ejemplo: 
 
 
 
 
 TRANSFORMACIÓN DE UN DECIMAL PERIÓDICO A UNA FRACCIÓN 
 
Los números decimales infinitos periódicos son aquellos que inmediatamente después de la 
coma decimal hay una o más cifras que se repiten infinitamente (período). 
 
Por ejemplo: 1, 4̅ = 1,444444444 … (𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 4). 
 
Para transformar este tipo de número en fracción, se escribe en el numerador el número 
decimal sin la coma menos lo que está antes del período, en este caso la parte entera, y en el 
denominador tantos nueves como cifras tenga el período. 
 
 
https://youtu.be/hGPKl1TyMC8
https://youtu.be/tG7x7pAW-8k
 
23 
 
 
 TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL SEMIPERIÓDICO A FRACCIÓN 
 
 
Los números decimales infinitos semiperiódicos son aquellos que inmediatamente después 
de la coma decimal hay una o más cifras que se repiten una cantidad finita de veces (anteperíodo) 
y luego una o más cifras que se repiten infinitamente (período). Por ejemplo: 
−0,1425̅̅̅̅ (𝑎𝑛𝑡𝑒𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 14, 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 25). 
 
Para transformar un decimal semiperiódico a fracción tienes que escribir en el numerador el 
número decimal sin la coma menos lo que está antes del período (anteperíodo + parte entera) y en 
el denominador se escribe tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el 
anteperíodo. 
Ejemplos: 
0,27 ̅ = 
27 − 2
90
 = 
25
90
 =
5
18
 
 
Como se puede observar el anteperíodo cuenta con 1 cifra y el período con 1 cifra, por lo que 
en el denominador colocamos un 9 (según las cifras del período) seguido por un 0 (según las cifras 
del anteperíodo). 
 
41,152 ̅ = 
41152 − 4115
900
 = 
37037
900
 
Período de una cifra, por lo tanto, un 9 en el denominador. Anteperíodo de 2 cifras, dos ceros 
a continuacióndel 9 del denominador. 
 
 
 
 
 
ACTIVIDAD 
 
23.- Expresar como fracción los siguientes números decimales: 
a) 5, 05̅̅̅̅ = 
b) 2,145̅ = 
c) 8,75 = 
d) 0,64 = 
 
https://youtu.be/b7iW633TxZU
 
24 
 
3.4.- OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES 
 
A.- ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN 
 
Para la adición y sustracción de números racionales se consideran dos casos: Escritos como 
fracción o como número decimal. 
 
 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON FRACCIONES 
 
 CON IGUAL DENOMINADOR: Se suman o restan los numeradores y se conserva el 
denominador. Ejemplos: 
a) 
5
7
 + 
3
7
 = 
5+3
7
= 
8
7
 
b) 
8
5
 − 
2
5
 = 
8−2
5
= 
6
5
 
 
 
 CON DISTINTO DENOMINADOR: 
 
Una forma es: 
1°) Obtener el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. 
2°) Amplificar cada fracción, de modo de obtener expresiones equivalentes a ellas con igual 
denominador. 
3°) Sumar o restar los numeradores y conservar el denominador. 
 
Ejemplos: 
a) 
3
8
 + 
5
6
 = 
3∙3
8∙3
 + 
5∙4
6∙4
=
9
24
 + 
20
24
 = 
29
24
 
mcm (8,6) = 24 
 
b) 
17
15
 − 
9
10
 = 
17∙2
15∙2
 − 
9∙3
10∙3
=
34
30
 − 
27
30
 = 
7
30
 
mcm (15,10) = 30 
 
 
Otra forma de resolver es: 
 
1°) Obtengo el mcm. del denominador, que será el denominador resultado. 
En el ejemplo: mcm (3,15) = 15. 
2°) Divido a 15 por el primer denominador (3) y al resultado lo multiplico por el primer numerador (1). 
Luego obtengo: 15:3x1 = 5 → ubico el resultado en el numerador resultado en el primer lugar. 
 
https://youtu.be/TMHWkPF4yhg
 
25 
 
3°) Repito el paso 2° con la segunda fracción. Luego, 15:15x4 = 4 → lo ubico en el numerador resultado 
en el segundo lugar. 
4°) Sumo el numerador (o resto si correspondiera) y obtengo 9 de numerador resultado, copio el 
denominador común 15. 
5°) En este caso se puede simplificar el resultado obteniendo la fracción irreducible 
3
5
 
 
 
 
 
ACTIVIDADES 
 
24.- Resolver y escribir el resultado como fracción irreducible. 
 
a) −
𝟐
𝟓
 − 
𝟏
𝟏𝟎
 = 
b) 𝟑 – (−
𝟐
𝟑
) = 
c) −
𝟐
𝟏𝟎
 − 𝟏 = 
d) 
𝟕
𝟒
 + 
𝟗
𝟔
 − 
𝟏
𝟓
 = 
e) 
𝟗
𝟖
 + 
𝟏𝟑
𝟖
 + (−
𝟕
𝟖
) = 
f) −𝟑 + 
𝟏
𝟑
 + (−
𝟒
𝟑
) = 
g) 
𝟓
𝟒
 + 
𝟓
𝟏𝟔
 + (−
𝟕
𝟏𝟐
) = 
 
 
25.- Leer cada situación comprensivamente, plantear la operación y resolver: 
 
a) De su sueldo, este mes, el Sr. López gasto 
1
3
 la primera semana, 
1
4
 la segunda y 
1
6
 la 
tercera. ¿Qué parte gastó hasta ahora? 
b) Un empresario depositó 
1
4
 de las ganancias del mes pasado en el banco, gastó 
1
10
 en la 
compra de acciones y el resto lo invirtió en la empresa. ¿Qué parte de las ganancias del mes pasado 
invirtió en la empresa? 
 
https://youtu.be/EjRIiKxV_Xk
 
26 
 
 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS DECIMALES 
 
 
Para sumar o restar racionales expresados como decimales se debe: 
1°) Alinear los números en columnas, de forma que los valores posicionales coincidan, añadiendo 
los ceros, al final de los decimales, para que los números tengan la misma cantidad de cifras. 
2°) Sumar o restar siguiendo el mismo procedimiento que con los números naturales, ubicando la 
coma en el resultado bajo la “columna de las comas”. 
 
Por ejemplo: 
 
✓ 5,26 + 2,3 = 7,56 
 
5,26 
+ 
2,30 
7,56 
 
 
✓ 7,048 – 6,29 = 0,758 
 
7,048 
- 
6,290 
0,758 
 
 
Para resolver operaciones combinadas es indispensable separar en 
términos. Los signos más y menos que no estén encerrados entre 
paréntesis, corchetes o llaves separan términos. 
Las operaciones se deben resolver de izquierda a derecha. 
Se pueden efectuar en forma fraccionaria o decimal, salvo cuando haya decimales 
periódicos, en cuyo caso, primero se deben transformar en fracciones. 
 
 
ACTIVIDAD 
 
26.- Resolver 
 
3
5
 + 
7
6
 − 0,14 + 1, 3̅ −
2
3
 = 
 
 
27 
 
B.- MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES 
 
 MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES ESCRITOS COMO FRACCIÓN 
 
Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí, simplificando el 
resultado cuando sea posible. Es conveniente, si es posible, simplificar los factores del numerador 
con los del denominador y luego realizar la multiplicación. Ejemplos: 
a) 
3
7
 ∙ 
4
5
 = 
3∙4
7∙5
 = 
12
35
 
b) 
5
21
 ∙ 
28
15
 = 
1
3
∙
4
3
=
4
9
 ó 
5
21
 ∙ 
28
15
 = 
5∙28
21∙15
 = 
140
315
 =
4
9
 
 
En este ejercicio b se ha resuelto de las dos maneras posibles, primero simplificando las 
fracciones antes de realizar la multiplicación y luego se ha realizado la multiplicación simplificando 
el resultado final. 
Como se puede observar se obtienen los mismos resultados, pero resulta más sencillo primero 
simplificar y luego resolver. 
 
 
 
 
 
 MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES ESCRITOS COMO DECIMALES 
 
Estos se multiplican como números naturales y la coma se ubica en el resultado contando de 
derecha a izquierda tantas cifras decimales como cifras decimales sumen entre los dos factores. 
Ejemplo: 1,17 ∙ 4,8 = 5,616 
1,17 tiene 2 cifras decimales 
4,8 tiene 1 cifra decimal 
5,616 tiene 3 cifras decimales 
 
Hay que tener en cuenta que para multiplicar un decimal por una 
potencia de 10 (10, 100, 1000, 10.000, etc.) se traslada la coma hacia la 
derecha tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10. Por ejemplo: 
2,18 . 10 = 21,8 
3,1 . 100 = 310 
 
 
https://youtu.be/58sh2H5v088
 
28 
 
C.- DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES 
 
 DIVISIÓN DE RACIONALES ESCRITOS COMO FRACCIÓN 
 
Para dividir una fracción por otra se multiplica la primera por el inverso de la segunda. Por 
ejemplo: 
a) 
3
5
∶ 
1
2
 = 
3
5
 ∙ 
2
1
 = 
6
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 DIVISIÓN DE RACIONAL ESCRITO COMO NÚMERO DECIMAL 
 
 
 
En el este video puedes repasar cómo se realizan las divisiones entre racionales 
expresados como decimales: 
 
En este otro video también puedes repasar el tema: 
 
 
 
ACTIVIDADES 
27.- Expresar cada número racional en su forma decimal: 
a) 
1
2
= 
b) 
3
5
= 
 
28.- Expresar cada número en su forma fraccionaria: 
a) 0,6 = 
b) -3,12̅̅̅̅ = 
 
29.- Resolver: 
a) 2,88 + 0,05 − 0,439 + 4 = 
 
b) 
9
7
 ∙
35
4
∙
16
6
= 
 
c) 0,25 ∙ 2 + 3,25 ∙ 4,7 = 
 
 
https://youtu.be/FDNq2q-lEF4
https://www.youtube.com/watch?v=xz-dVI4NUiU
https://www.youtube.com/watch?v=1F0BysuI_K8
 
29 
 
d) 
2
9
∶ 
1
3
 = 
 
e) (
7
2
−
7
3
) ∙
9
5
+ 5:
5
3
= 
 
30.- Resolver: 
 
a) Margarita y Fernando fueron a un parque de diversiones y se gastaron la mitad del dinero 
en las entradas y 
3
8
 en comida. ¿Cuánto dinero llevaron, si se quedaron con $2500? 
b) Del total de estudiantes que se inscriben en el ingreso a la Facultad de Ciencias 
Económicas, aproximadamente 
2
5
 promocionan el Módulo de Matemática, 1
4
 abandonan antes del 
segundo parcial y el resto quedan libres. ¿Qué fracción de estudiantes quedan libres? 
c) Si el número de aspirantes que rinden el ingreso es de 1.500 ¿Cuántos estudiantes 
promocionan? ¿cuántos abandonan? y ¿cuántos quedan libres? 
 
3.5.- PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS NÚMEROS RACIONALES 
 
Dados a, b y c, números racionales cualesquiera, se cumplen las siguientes propiedades con 
respecto a la: 
 
ADICIÓN 
 
 CONMUTATIVA: a + b = b + a 
 ASOCIATIVA: a + (b + c) = (a + b) + c 
 Existencia de elemento neutro: Para todo número racional el elemento neutro con respecto a 
la suma es cero, porque: a + 0 = 0+ a = a 
 
MULTIPLICACIÓN 
 
 CONMUTATIVA: a . b = b . a 
 ASOCIATIVA: a . (b . c) = (a . b) . c 
 Existencia de elemento neutro: Para todo número racional distinto de cero el elemento neutro 
con respecto a la multiplicación es uno, porque: a.1 = 1. a = a 
 Existencia de elemento inverso: Para cada número a racional, siendo a distinto de cero, existe 
un número racional 
1
𝑎
= 𝑎−1, tal que: 𝑎. 𝑎−1 = 𝑎−1. 𝑎 = 1 
 Distributiva con respectoa la adición y sustracción: a.(b + c) = a.b + a.c ; a.(b - c) = a.b - a.c 
 
 
30 
 
DIVISIÓN 
 
 Distributiva sólo por derecha respecto a la adición y sustracción: 
(a + b) : c = a : c + b : c ó (a - b) : c = a : c – b : c 
 
 
¿Por qué son tan importantes las propiedades? 
 
Las propiedades son como las leyes de tránsito, que permiten cruzar una ciudad y llegar en 
forma ágil y correcta a un destino determinado. 
Las propiedades, dan permiso (o prohíben) operar de distintas formas con los números. Por 
lo tanto, préstales atención, sin ellas, difícilmente logres resolver adecuadamente los ejercicios y 
llegar a un buen resultado. 
 
4.- NÚMEROS IRRACIONALES 
 
Los pitagóricos eran un grupo de matemáticos, filósofos y músicos que surgieron alrededor 
de la figura de Pitágoras de Samos, descubrieron a los números irracionales por accidente. 
Ellos creían que todo el universo podía ser expresado en términos de números, geometría y 
relaciones entre números, lo que expresaban en una creencia dogmática de que toda cantidad era 
representable por medio de cocientes o razones entre números naturales. 
El problema se les presentó a los pitagóricos cuando trataron de 
representar como fracción la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles 
que se les formaba en una baldosa cuadrada dividida en dos partes por una de 
sus diagonales. 
Tomando como unidad el cateto de este triángulo y aplicando el Teorema 
de Pitágoras (que se repasará más adelante en la Unidad 3), apareció el primer número irracional 
que es: √2 cuyo valor aproximado es 1,4142135... 
 
 
Se llama 𝕀 al conjunto de los números irracionales. Los números irracionales son aquellos 
cuya expresión tiene infinitas cifras decimales no periódicas, por lo que no pueden ser escritos 
como una fracción o cociente entre dos números enteros. 
 
La expresión decimal de los números irracionales es un decimal infinito no periódico. Por 
ejemplo: 
 √2 = 1,414213 … 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 √7 = 2,645751 … 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 
 
31 
 
Los puntos suspensivos al final del número decimal indican que las cifras continúan hasta el 
infinito. 
En la práctica, para trabajar con números irracionales es preciso utilizar aproximaciones. 
Estas pueden obtenerse con calculadora, utilizando fórmulas algebraicas o procedimientos 
geométricos. Los valores obtenidos suelen truncarse o redondearse. 
 
4.1.- NÚMEROS IRRACIONALES IMPORTANTES 
 
Los números irracionales más utilizados en matemáticas y que se destacan por su presencia 
en numerosos contextos son , e y . 
 
EL NÚMERO  (pi) 
 
La relación entre la longitud (L) de la circunferencia y su diámetro (d) está dado por el 
número . Esta relación corresponde a:  = 
L
d
 
Este número irracional tiene un valor igual a 3,1415926535… con infinitas cifras decimales no 
periódicas. Al trabajar con 𝜋 muchas veces se expresan los resultados utilizando la letra que lo 
representa en lugar de hacer alguna aproximación de su valor numérico ( = 3,14). 
 
EL NÚMERO e 
 
Este número debe su nombre al matemático suizo Leonhard Euler. Su valor es 
2,7182818284…; con infinitas cifras decimales no periódicas. 
Euler observó la presencia de este número en diversas áreas del conocimiento: en 
economía para explicar modelos económicos predictivos; en biología para explicar el 
crecimiento de poblaciones; en salud para estudiar enfermedades de carácter epidémico. 
 
EL NÚMERO  (fi) 
También conocido como número de oro o razón áurea, es considerado el número de las 
proporciones perfectas y ha sido utilizado por artistas de todas las épocas, tanto en la arquitectura 
como en la pintura, escultura o fotografía. El valor de  es 1,618033989… 
 
 
 
 
32 
 
4.2.- PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES 
 
 PROPIEDAD CONMUTATIVA: En la suma y la multiplicación se cumple la propiedad 
conmutativa según la cual el orden de los sumando o factores no altera la suma o el producto 
según corresponda. Por ejemplo, 𝜋 + Φ = Φ + 𝜋; así como en la multiplicación, 𝜋 ∙ Φ = Φ ∙ 𝜋 
 PROPIEDAD ASOCIATIVA: Se cumple con respecto a la suma y la multiplicación, siendo 
(𝜋 + Φ) + e = 𝜋 + (Φ + 𝑒); y de la misma manera con la multiplicación, (𝜋 ∙ Φ) ∙ e = 𝜋 ∙ (Φ ∙ 𝑒) 
 ELEMENTO OPUESTO: Existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es 
decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo, 𝜋 − 𝜋 = 0 y de la 
misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir, Φ ∙
1
Φ
= 1 
 La multiplicación es distributiva con relación a la suma y a la resta. Se debe tener en cuenta que 
se puede distribuir por izquierda y por derecha. Por ejemplo: (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝜋 = 𝑎 ∙ 𝜋 + 𝑏 ∙ 𝜋 
 
ACTIVIDADES 
31.- Indicar si es un número racional o irracional, suponiendo que el patrón que se 
observa en la parte decimal de algunos números se mantiene. Cuando se pueda 
escríbelo como fracción. 
a) 0,2757575… 
b) 2,131131113… 
c) 1,696969… 
d) 0,05050505… 
e) 3,48000… 
f) 1,641598732549… 
32.- Determinar si el resultado de la operación es un número irracional o no. 
a) 1 + √2 
b) 3.  
c) √25 
d) 9 + √81 
33.- Realizar las siguientes sumas algebraicas con números irracionales 
a) √3 + 4 √3 − 6 √3 = 
b) √2 + 3 √2 = 
34.- Encerrar los números irracionales: −5,03054̅ √7 
3
5
 √3
3
 − π 
 
 
33 
 
5.- NÚMEROS REALES 
 
Se llama ℝ al conjunto de los números reales y es la unión del 
conjunto de los números racionales (ℚ) con el conjunto de los 
números irracionales (𝕀). En símbolos matemáticos se puede 
escribir que ℝ = ℚ ∪ 𝕀 
 
 
A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa, es decir, existe 
una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica y los números reales. Por lo 
tanto, no quedan espacios por llenar. 
 
El conjunto ℝ se representa en la recta numérica, de forma que los números aumentan en 
valor de izquierda a derecha, de la siguiente forma: 
 
 
 
 
 
 
 
5.1.- PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES 
 
 Siendo a, b y c números reales cualesquiera, la adición verifica las siguientes propiedades1: 
 
Clausura o cierre 
Al sumar dos números reales su resultado será 
un número real 
Conmutativa a + b = b + a 
Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) 
Existencia de elemento neutro ∀𝐚 ∈ ℝ, ∃𝟎 ∈ ℝ / 𝐚 + 𝟎 = 𝟎 + 𝐚 = 𝐚 
Existencia del elemento opuesto ∀𝐚 ∈ ℝ, ∃(−𝐚) ∈ ℝ / 𝐚 + (−𝐚) = (−𝐚) + 𝐚 = 𝟎 
 
 
 
1 Recuerda que el símbolo ∀ se lee “para todo”, el ∃ se lee “existe”, ∈ se lee “pertenece” y la / se lee “tal que”. Luego 
la siguiente expresión ∀𝐚 ∈ ℝ, ∃𝟎 ∈ ℝ / 𝐚 + 𝟎 = 𝟎 + 𝐚 = 𝐚, se lee “para todo a que pertenece a los reales, existe el 
número cero que pertenece a los reales, tal que, a más cero es igual a cero más a que resulta igual a a 
 
34 
 Siendo a, b y c números reales cualesquiera, el producto verifica las siguientes propiedades: 
 
Clausura o cierre 
Al multiplicar dos números reales su 
resultado será un número real 
Conmutativa a . b = b . a 
Asociativa (a . b) . c = a . (b . c) 
Existencia de elemento neutro ∀𝐚 ∈ ℝ, ∃𝟏 ∈ ℝ / 𝐚 ∙ 𝟏 = 𝟏 ∙ 𝐚 = 𝐚 
Existencia del elemento inverso ∀𝐚 ∈ ℝ, 𝐚 ≠ 𝟎, ∃𝐚−𝟏 ∈ ℝ / 𝐚 ∙ 𝐚−𝟏 = 𝐚−𝟏 ∙ 𝐚 = 𝟏 
Distributiva del producto respecto de la suma 
y/o resta. Se debe tener en cuenta que se 
puede distribuir por izquierda y por derecha. 
a . (b + c) = a.b + a.c 
 
5.2.- APROXIMACIÓN DE NÚMEROS REALES 
 
Para facilitar cálculos y operaciones con reales se puede utilizar una aproximación de su 
expresión decimal. Se pueden utilizar dos métodos: 
 
 APROXIMACIÓN POR TRUNCAMIENTO: Para truncar un número en cierta cifra decimal se 
eliminan las cifras decimales que le siguen. Por ejemplo: 
 
✓ 4,455961 truncado a la milésima resulta 4,455. 
✓ 7,1496328truncado a la décima resulta 7,1. 
 
 APROXIMACIÓN POR REDONDEO: Para redondear un número en una cierta cifra decimal 
hay que fijarse en el valor de la cifra siguiente; si es mayor o igual a 5, sumamos 1 a la cifra a 
redondear, de lo contrario la cifra se mantiene igual. Generalmente este es el método de 
aproximación más utilizado. Ejemplos: 
 
✓ 1,22578 redondeado a la milésima resulta 1,226. 
✓ 6,15489 redondeado a la centésima resulta 6,15. 
 
 
Para operar con números irracionales expresados como decimales, se puede utilizar 
aproximaciones por redondeo o por truncamiento. Por ejemplo, si se quiere calcular √5 + √2 se 
debe aproximar. Si se aproximan por redondeo a la centésima quedan: √5 ≈ 2,24 ; √2 ≈ 1,41. 
 
Luego: √5 + √2 ≈ 3,65 esto quiere decir que la suma de la raíz cuadrada de 
5 más la raíz cuadrada de 2 es aproximadamente igual (≈) a 3,65. 
 
https://youtu.be/aoE6BL2s4bM
 
35 
 
5.3.- OPERATORIA CON NÚMEROS REALES 
 
Como el conjunto de los números reales contiene a todos los conjuntos numéricos (ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀), 
las operaciones básicas mantienen las mismas reglas que en cada uno de esos conjuntos. 
Al operar con números irracionales, los resultados pueden expresarse en forma exacta, o bien, 
utilizarse alguna aproximación de ellos. Ejemplos: 
 
✓ 1,25 + 0,60 + √2 = 
 
☺ 1,85 + √2 (sería el resultado en forma exacta) 
☺ 3,26 (sería el resultado utilizando aproximación √2 ≈ 1,41) 
 
✓ (
1
4
+ ).
2
3
=
1
4
.
2
3
 + .
2
3
 = 
 
☺ 
1
6
+
2
3
 (forma exacta) 
☺ 2,26 (utilizando la aproximación ≈ 3,14) 
 
5.4.- ERROR DE APROXIMACIÓN DE NÚMEROS REALES 
 
El valor absoluto de la diferencia entre un número y su valor aproximado es el error de 
aproximación. En general el error de redondeo es menor que el que se comete al aproximar por 
truncamiento. Ejemplo: 
 
Si x = 2,7524 y tomamos �̅� = 2,8 como valor aproximado de x tenemos que: 
 
x - �̅� = 2,7524 - 2,8 = -0,0476 
 
En valor absoluto  − 0,0476 = 0,0476 es el error de aproximación. 
 
ACTIVIDADES 
 
35.- Escribir: 
a) 3 números reales que no sean naturales. 
b) 3 números reales que sean enteros, pero no naturales. 
c) 3 números reales que sean irracionales. 
d) 3 números reales que sean racionales, pero no enteros. 
e) 3 números reales que sean racionales y a la vez sean enteros negativos. 
 
 
36 
 
36.- Marcar a qué conjuntos numéricos pertenecen los siguientes números reales. 
 ℕ ℤ ℚ 𝕀 
-0, 5̅ 
2,9 
√8 
− 
9
3
 
 
 
0 
-0,88 
 
 
37.- Aproximar a la cifra indicada: 
a) Truncar 45,186 a la décima. 
b) Redondear 4,2215 a la centésima. 
c) Redondear 4,2559 a la milésima. 
 
38.- Utilizar calculadora para resolver: Calcular el valor de √3 y aproximar a la milésima. ¿Cuánto 
es el error que se comete al aproximar de esta manera? (con 5 cifras significativas) 
39.- Aproxime a los diezmilésimos el número , mediante los dos métodos que conoce. ¿Con qué 
método se comete menor error, es decir, cuál está más cerca de  en la recta numérica? 
 
 
5.5.- INTERVALOS REALES 
 
Un intervalo real es un subconjunto del conjunto de los números reales, es decir, un 
conjunto ordenado, formado por todos los números reales comprendidos entre dos valores llamados 
extremos que pueden pertenecer o no a dicho subconjunto; y que pueden ser numéricos o no. 
Geométricamente, un intervalo queda representado en la recta real como un segmento o una 
semirrecta. 
 
 
 
37 
 
 
CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS 
 
INTERVALO NOMBRE NOTACIÓN COMO CONJUNTO 
REPRESENTACIÓN 
GRÁFICA 
OBSERVACIÓN 
¿ ∈ 𝐎 ∉? 
[𝑎; 𝑏] 
Intervalo 
Cerrado 
 
[𝑎; 𝑏] = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} 
 
 
𝑎 … … [𝑎; 𝑏] 
𝑏 … … [𝑎; 𝑏] 
 
(𝑎; 𝑏) 
Intervalo 
Abierto 
 
(𝑎; 𝑏) = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} 
 
 
𝑎 … … (𝑎; 𝑏) 
𝑏 … … (𝑎; 𝑏) 
 
[𝑎; 𝑏) 
Intervalo 
Semiabierto 
por la 
derecha 
 
[𝑎; 𝑏) = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} 
 
 
𝑎 … … [𝑎; 𝑏) 
𝑏 … … [𝑎; 𝑏) 
 
(𝑎; 𝑏] 
Intervalo 
Semiabierto 
por la 
izquierda 
 
(𝑎; 𝑏] = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} 
 
 
𝑎 … … (𝑎; 𝑏] 
𝑏 … … (𝑎; 𝑏] 
 
[𝑎; ∞) 
Intervalo 
extremo 
infinito 
 
[𝑎; ∞) = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≥ 𝑎} 
 
𝑎 … … [𝑎; ∞) 
(𝑎; ∞) 
Intervalo 
extremo 
infinito 
 
(𝑎; ∞) = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 > 𝑎} 
 
𝑎 … … (𝑎; ∞) 
(−∞; 𝑎] 
Intervalo 
extremo 
infinito 
 
(−∞; 𝑎] = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑎} 
 
𝑎 … … (−∞; 𝑎] 
(−∞; 𝑎) 
Intervalo 
extremo 
infinito 
 
(−∞; 𝑎) = {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑎} 
 
𝑎 … … (−∞; 𝑎) 
 
 
 
a b 
a b 
a b 
a b 
a 
a 
a 
a 
 
38 
 
ACTIVIDAD 
 
40.- Completar la siguiente tabla: 
 
INTERVALO NOMBRE NOTACIÓN COMO 
CONJUNTO 
REPRESENTACIÓN 
GRÁFICA 
OBSERVACIÓN 
¿ ∈ O ∉? 
 
[−4; 1] 
 
 
−4 … … [−4; 1] 
1 … … [−4; 1] 
 
 
(2; 5) 
 
 
2 … … (2; 5) 
5 … … (2; 5) 
 
 
[1; 6) 
 
 
1 … … [1; 6) 
6 … … [1; 6) 
 
 
(−1; 2] 
 
 
−1 … … (−1; 2] 
2 … … (−1; 2] 
 
 
[3; ∞) 
 
 
3 … … [3; ∞) 
 
(3; ∞) 
 
 
3 … … (3; ∞) 
 
(−∞; 2] 
 
 
2 … … (−∞; 2] 
 
(−∞; 2) 
 
 
2 … … (−∞; 2) 
 
 
39 
 
5.6.- VALOR ABSOLUTO O MÓDULO DE UN NÚMERO REAL 
 
El valor absoluto de un número corresponde a la distancia de dicho número al punto de origen 
o cero. Para representar el valor absoluto de un número se utilizan dos barritas verticales. Es decir, 
el valor absoluto de un número real “a” se representa por a. 
 
Por ejemplo: 
 
5 representa cinco unidades de distancia del cero. Es decir, 5= 5. 
-5 representa cinco unidades de distancia del cero. Es decir, -5= 5. 
Los valores absolutos de -5 y 5 son equivalentes, es decir, que estos números están a igual 
distancia del cero. 
 
 
 
Si dos números tienen igual valor absoluto, pero distinto signo, se dice que son 
opuestos. Por ejemplo, -5 y 5 son números opuestos entre sí. 
 
Entre las propiedades de los números opuestos podemos mencionar: 
 
 
 Un número cualquiera “a” es opuesto de “b”, si y solo sí, “b” es opuesto de “a”. 
 El opuesto del opuesto de “a” es “a”. 
 El opuesto de cero es cero. 
 “a” es positivo, sí y solo sí, el opuesto de “a” es negativo. 
 
 
Se puede concluir que, dado un número real, el valor absoluto o módulo de este es el mismo 
número si es positivo, mientras que, si es negativo, es el valor opuesto del número. 
Simbólicamente: 
𝑎 ∈ ℝ, |𝑎| = {
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0
 
 
 
40 
 
ACTIVIDADES 
 
41.- Intervalos reales a partir de un valor absoluto: Marca en la recta numérica los valores de x que 
cumplen con las siguientes expresiones: 
 
a) Trabajamos con valores de x menores o menores iguales a un número: 
|x| < 4 
 
 
|x| ≤ 3 
 
Luego de ver las gráficas, se puede hacer una generalización, expresando el conjunto 
solución como un intervalo real. Completa la misma: 
Si x, a ∈ ℝ ∧ a > 0 / |x| < a → x ∈ ( ; ) 
Si x, a ∈ ℝ ∧ a > 0 / |x| ≤ a → x ∈ _____________ 
 
 
b) Trabajamos con valores de x mayores o mayores iguales a un número: 
 
|x| > 2 
 
 
|x| ≥ 1 
 
 
Luego de ver las gráficas, se puede hacer una generalización, expresando el conjunto 
solución como un intervalo real. Completa la misma: 
 
Si x, a ∈ ℝ ∧ a > 0 / |x| > a → x ∈ _____________ 
 
Si x, a ∈ ℝ ∧ a > 0 / |x| ≥ a → x ∈ _____________ 
 
 
41 
 
42.- Completar la siguiente tabla: 
 
INTERVALO NOMBRE NOTACIÓN COMO 
CONJUNTO 
REPRESENTACIÓN GRÁFICA 
 {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ |𝑥| ≥ 3} 
 {𝑥/𝑥 ∈ ℝ ∧ |𝑥| < 5} 
(−∞; 6] 
(−∞; −
1
2
] ∪ [
1
2
; ∞) 
 
(−∞; −3) ∪ (3; ∞) 
[−2,5 ; ∞) 
 
 
43.- Colocar ∈ o ∉ según corresponda: 
 
a) -3 _____ (−2; 8) b) 
1
3
 _____ (−1; 1) c) −1, 5̅ _____ (−1; 2) 
d) 6 _____ (−∞; 6) e) 7 _____ (−2; 7] f) 0,81 _____ (−1; 0,91] 
g) √2 _____ (−2; 2) h) √16 _____ (0; 4] i) −9 _____ (−∞; −9,5] 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representación de 
intervalos - parte 1 
Representación de 
intervalos - parte 2 
https://youtu.be/tyt6T1Ukq3w
https://youtu.be/46WvE9S9y04https://youtu.be/tyt6T1Ukq3w
https://youtu.be/46WvE9S9y04
 
42 
 
6.- UNIÓN E INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS 
 
La “unión” entre dos conjuntos es un nuevo conjunto formado por todos los elementos que 
pertenecen a cada uno de los conjuntos que intervienen, comunes o no. 
En símbolos: Sea A y B dos conjuntos, 𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙/𝒙 ∈ 𝑨 ∨ 𝒙 ∈ 𝑩} 
La expresión simbólica se lee A unión B es igual a las x tal que x pertenece a A “o” x 
pertenece a B. El conjunto formado por A unión B incluye todos los elementos que pertenecen a A 
y todos los que pertenecen a B. 
 
 
La “intersección” entre dos conjuntos está definida como el conjunto formado por los 
elementos comunes, que pertenecen a todos los conjuntos que intervienen. 
En símbolos: Sea A y B dos conjuntos, 𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙/𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∈ 𝑩} 
La expresión simbólica se lee: A intersección B es igual a las x tal que x pertenecen a A 
“y” x pertenece a B. El conjunto formado por A intersección B incluye todos los elementos comunes 
que pertenecen a A y a B. 
Si dos o más conjuntos no tienen elementos comunes se dice que la intersección es vacía y 
el símbolo del conjunto vacío es ∅ o { }. A los conjuntos cuya intersección es el conjunto vacío se 
los llama conjuntos disjuntos. 
 
 
Ejemplos: 
 Dentro de los conjuntos numéricos ℚ ∩ 𝕀 = ∅, luego el conjunto de números racionales y el 
conjunto de números irracionales son conjuntos disjuntos. 
 Si ℚ ∪ 𝕀 = ℝ 
 (−1; 5] ∩ [1; 6) = [1; 5] 
 (−1; 5] ∪ [1; 6) = (−1; 6) 
 
ACTIVIDAD 
44.- Representar gráficamente los siguientes intervalos e indicar su solución: 
 
a) (−2; 7) ∪ [5; 9) = 
 
b) (−2; 7) ∩ [5; 9) = 
c) (−∞; 2) ∪ [2; ∞) = 
 
d) (−∞; 2) ∩ [2; ∞) = 
e) (−5; 8) ∪ (−4; −2) = 
 
f) (−5; 8) ∩ (−4; −2) = 
g) [−2; 9] ∪ [9; ∞) = 
 
h) [−2; 9] ∩ [9; ∞) = 
i) {[−2; 5] ∪ [4; 9)} ∩ (3; 7) = 
 
43 
 
 
 
TEMA N° 2: POTENCIACIÓN 
 
Una potencia es una forma abreviada de 
escribir una multiplicación de factores iguales. En 
ella se deben identificar la base y el exponente. 
La base es el factor que se repite, mientras 
que el exponente indica cuántas veces debe repetirse dicho factor. El valor de la potencia es el 
producto total que se obtiene al multiplicar la base por sí misma tantas veces como indica el 
exponente, es decir: 
 
 
 
Por ejemplo: 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8, donde la base es igual a 2, el exponente es 3 y el 
valor de la potencia es 8. 
Esta operación se puede aplicar a todos los conjuntos numéricos que se han explicado. 
 
1.- PROPIEDADES DE LA POTENCIA 
 
 Si el exponente es 0 y la base distinta de cero, el valor de la potencia es 1. Ejemplo: (-3)0 = 1 o 
150 = 1. 
 Si el exponente es 1, el valor de la potencia es igual a la base. Ejemplos: (-2)1 = (-2) o 51 = 5. 
 Si la base de una potencia es 0, entonces el resultado, para cualquier exponente natural, es 
siempre igual a cero. Ejemplo: 02 = 0. 
 Si la base de una potencia es par, el valor de la potencia para cualquier exponente es par. 
Ejemplos: 
82 = 8 . 8 = 64 
23 = 2 . 2 . 2 = 8 
 Si la base de una potencia es impar, el valor de la potencia para cualquier exponente es impar. 
 
Ejemplos: 
72 = 7 . 7 = 49 
33 = 3 . 3 . 3 = 27 
 
44 
 
 
Las potencias de exponente 2 se leen “al cuadrado” o “elevado al cuadrado”; las potencias de 
exponente 3 se leen “al cubo” o “elevado al cubo”. Esto se debe a la relación que tienen con el área 
de un cuadrado y el volumen de un cubo respectivamente. Por ejemplo: 42 se lee “cuatro al 
cuadrado” y 53 se lee “cinco al cubo”. 
 
2.- POTENCIAS CON BASE ENTERA Y EXPONENTE NATURAL 
 
Por ejemplo: (-5)4, donde (-5) es la base y 4 es el exponente. 
 
Así: (-5)4 = (-5) . (-5) . (-5) . (-5) = 625 que es el valor de la potencia 
 
Para leer esta potencia decimos: (-5) elevado a 4 o a la cuarta potencia. 
 
 
Dentro de estas potencias se debe tener en cuenta que: 
 Potencias con base positiva y exponente un número natural, el resultado siempre será positivo. 
Ejemplo: 82 = 8 . 8 = 64 
 Potencias con base negativa, el resultado es: 
 
 POSITIVO: Si el exponente es un número natural par. Ejemplo: (−2)2 = (−2) ∙ (−2) = 4 
 
 NEGATIVO: Si el exponente es un número natural impar. Ejemplo:(−2)3 = (−2) ∙ (−2) ∙ (−2) = −8 
 
BASE EXPONENTE SIGNO DEL RESULTADO 
Entero positivo Número par 
 
Positivo 
Número impar 
Entero negativo Número par Positivo 
Número impar Negativo 
 
Hay que tener cuidado que no es lo mismo: 
 
- 24 = - (2 · 2 · 2 · 2) = - 16, en este caso el exponente NO afecta el negativo que se 
encuentra delante de la base. 
 
(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) ·(- 2) = 16, en este caso la base es (-2). 
 
45 
 
3.- POTENCIAS DE BASE Y EXPONENTE ENTERO 
 
Si a y b son números enteros con a  0, entonces se tiene que: 
 
ab = a · a · a · … · a 
 
 b veces 
𝒂−𝒃 = (
𝟏
𝒂
)
𝒃 
= 
𝟏𝒃
𝒂𝒃 
 = 
𝟏
𝒂𝒃 
 
 
Si el exponente es negativo, para comenzar a realizar la operación, 
primero se debe transformar en positivo. Para ello, se da vuelta la base y 
se cambia el signo del exponente. 
 
Ejemplos: 
2−3 = (
1
2
)
3
= 
13
23
=
1
8
 
 
(−4)−2 = (
1
−4
)
2
= 
12
(−4)2
=
1
16
 
 
4.- POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO 
 
Para calcular el valor de una potencia cuya base es una fracción, se debe calcular el valor de 
la potencia del numerador y del denominador, es decir, se eleva tanto el numerador como el 
denominador al exponente. Por ejemplo: 
(
5
3
)
2
= 
5
3
 ∙ 
5
3
=
25
9
 
 
(
2
7
)
−2
= (
7
2
)
2
= 
7
2
 ∙ 
7
2
=
49
4
 
 
Tener presente que la adición reiterada de un mismo número puede representarse como un 
producto. Por ejemplo: 6 + 6 + 6 + 6 = 4 ∙ 6 = 24 . 
En cambio: 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 64 = 1.296 
n.a  an 
 
5.- OPERACIONES CON POTENCIAS 
 
A.- SUMAS Y RESTAS DE POTENCIAS 
 
Para sumar y restar potencias hay que calcular el valor de cada potencia y luego sumar o 
restar los resultados obtenidos. 
 
46 
 
 
Ejemplos: 
(-2)2 + (-2)3 + (-2)4 = 4 + (-8) + 16 = 4 – 8 + 16 = 12 
 
32 + (-3)2 - (-4)3 – (-2)2 = 9 + 9 - (-64) - 4 = 9 + 9 + 64 – 4 = 78 
 
B.- POTENCIA DE UNA POTENCIA 
 
El resultado de calcular la potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y cuyo 
exponente es el producto de los dos exponentes. Es decir: (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 
 
Por ejemplo: 
(32)2 = 32∙2 = 34 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81 
((−4)2)3 = (−4)2∙3 = (−4)6 = 4.096 
((
3
4
)
2
)
2
= (
3
4
)
2∙2
= (
3
4
)
4
=
81
256
 
 
C.- PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE 
 
El producto de dos o más potencias de igual base da como resultado una potencia con la misma 
base y exponente igual a la suma de los exponentes de los factores. Es decir: 𝑎𝑏 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐 
 
Por ejemplo: 
32 ∙ 33 ∙ 34 = 32+3+4 = 39 = 19.683 
0,82 ∙ 0,83 ∙ 0,8 = 0,82+3+1 = 0,86 = 0,262144 
 
D.- COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE 
 
El cociente de potencias de igual base da como resultado una potencia con la misma base y 
exponente igual a la resta de los exponentes de los factores. Es decir: 𝑎𝑏: 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏−𝑐 
 
32: 33 = 32−3 = 3−1 =
1
3
 
0,82: 0,8 = 0,82−1 = 0,81 = 0,8 
 
 
47 
 
E.- PRODUCTO DE POTENCIAS DE DISTINTA BASE E IGUAL EXPONENTE 
 
El producto de potencias de distinta base e igual exponente es igual a una potencia con el mismo 
exponente y la base es el producto de las bases iniciales. Es decir, el producto de las bases 
elevado al mismo exponente. 𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑏 = (𝑎 ∙ 𝑐)𝑏 
 
32 ∙ 42 = (3 ∙ 4)2 = 122 = 144 
1,24 ∙ 0,34 = (1,2 ∙ 0,3)4 = 0,364 = 0,01679616 
 
F.- COCIENTE DE POTENCIAS DE DISTINTA BASE E IGUAL EXPONENTE 
 
El cociente de potencias de distinta base e igual exponente es igual a una potencia con el mismo 
exponente y la base es el cociente de las bases iniciales. Es decir, el cociente de las bases 
elevado al mismo exponente. 𝑎𝑏: 𝑐𝑏 = (𝑎: 𝑐)𝑏 
 
82: 42 = (8 ∶ 4)2 = 22 = 4 
1,24 ∶ 0,34 = (1,2 ∶ 0,3)4 = 44 = 256 
 
G.- PRODUCTO OCOCIENTE DE POTENCIAS CON DISTINTA BASE Y EXPONENTE 
 
Para multiplicar o dividir potencias de distinta base y exponente debemos resolver cada potencia 
por separado, es decir, no se pueden aplicar las propiedades antes mencionadas. 
 
(
1
2
)
2
 ∙ (
2
3
)
3
=
1
4
∙
8
27
=
2
27
 
 
H.- PROPIEDAD DISTRIBUTIVA RESPECTO AL PRODUCTO Y AL COCIENTE 
 
En símbolos: 
(𝑎 ∙ 𝑏)𝑐 = 𝑎𝑐 ∙ 𝑏𝑐 
(𝑎 ∶ 𝑏)𝑐 = 𝑎𝑐: 𝑏𝑐 
 
Por ejemplo: 
(4 ∙ 2)2 = 42 ∙ 22 
 82 = 16 ∙ 4 
 64 = 64 
(4 ∶ 2)2 = 42: 22 
 22 = 16: 4 
 4 = 4 
 
 
48 
 
Hay que tener en cuenta que no se puede distribuir con respecto a la suma o a la resta. 
 
(6 + 3)2 ≠ 62 + 32 
porque 
(6 + 3)2 = 92 = 81 
62 + 32 = 36 + 9 = 45 
Luego, 81 ≠ 45 
(10 - 6)2 ≠ 102 - 62 
porque 
(10 - 6)2 = 42 = 16 
102 - 62 = 100 - 36 = 64 
Luego, 16 ≠ 64 
 
 
 
 
 
ACTIVIDADES 
45.- Aplicar propiedades de potencia y resolver: 
 
a) (−
3
10
)
−5
∙ (−
3
10
)
4
= 
 
b) (−
1
6
)
5
: (−
1
6
)
2
= 
 
c) (
5
3
)
2
: (
5
3
)
3
= 
 
d) [(−
3
5
)
2
]
2
= 
 
e) 
3−5
3−2
= 
 
f) 25 ∙
22
210
= 
 
46.- Completar con el número que verifica las siguientes igualdades: 
 
a) (
5
3
)
….
= 
125
27
 
 
b) (
1
3
)
….
= 27 
 
Potenciación parte 1 Potenciación parte 2 
https://youtu.be/GZHccSZPdXw
https://youtu.be/S5grtqcZeLs
https://youtu.be/GZHccSZPdXw
https://youtu.be/S5grtqcZeLs
https://youtu.be/GZHccSZPdXw
https://youtu.be/S5grtqcZeLs
 
49 
 
c) (
2
7
)
….
= 
49
4
 
d) (−
1
3
)
5
 ∙ (−
1
3
)
….
= −3 
 
e) (
3
5
)
….
∶ (
3
5
)
3
= 
25
9
 
 
f) (−2)3 ∙ (4)3 = 
 
g) ( ∙ )4 = 354 
 
47.- Calcular las siguientes potencias: 
 
a) (−2)0 ∙ (4)3 = 
 
b) (0, 7̅)−3 = 
 
c) (−1,2)2 = 
 
d) (−
1
2
)
−5
 = 
 
e) 20 + 21 + 22 + 23 + 24 = 
 
f) 6 ∙ 32 −
92
9
+ 93 = 
 
g) (
3
5
)
2
∙ (
3
5
)
−5
∙ (
3
5
)
7
= 
 
h) (((−
9
5
 )
−3
)
2
)
−4
= 
 
i) (3x)4 ∙ (
y
6x
)4 ∙ (
2
5y
)4 = 
 
 
 
50 
 
TEMA N° 3: RADICACIÓN 
 
Suponiendo que en un terreno de 400 metros cuadrados se quiere armar una carpa cuadrada 
que tiene 25 metros de lado a fin de celebrar una fiesta ¿será posible armarla? 
Lo primero que se debe realizar es calcular la medida del lado del terreno, lo que se puede 
hacer mediante la radicación: √400 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠2 = 20 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. 
Como se observa si la carpa tiene de lado 25 metros no entrará en el terreno que tiene una 
medida de 20 metros de lado. Por lo tanto, se deberá buscar otro terreno u otra carpa para celebrar 
la fiesta. 
 
La radicación es la operación inversa a la potenciación y consiste en que, dados dos 
números, llamados índice y radicando, se puede hallar un tercer número, al que se llamará 
raíz. Ese número (raíz) elevada al índice, es igual al radicando. 
 
 
 
 
 
 
 
En símbolos matemáticos: √𝐚
𝐧
= 𝐛 ↔ 𝐛𝐧 = 𝐚, ∀ 𝐧 ∈ ℕ ∧ 𝐧 > 𝟏 
 
Donde: 
n es el índice de la raíz 
a es el radicando 
b es el radical o n-ésima raíz de a 
 
Para calcular el valor numérico de una raíz se debe tener en cuenta el valor del índice y el 
signo del radicando. Si se considera la raíz √a
n
 se tiene que: 
 SI n ES PAR, cuando: 
a > 0, el valor de la raíz es único. 
a = 0, en valor de la raíz es 0. 
a < 0, no existe ningún número real que cumpla la condición bn = a, 
por lo que la raíz no tiene ningún valor real. 
 
 SI n ES IMPAR, el valor de la raíz es único, sin importar el signo del radicando. 
 
 
51 
 
Por ejemplo: 
 
√49 = 7 ya que 72 = 49 
 
√−16
4
 la raíz no tiene ningún valor real 
 
√64
3
= 4 ya que 43 = 64 
 
√−32
5
= −2 ya que (−2)5 = −32 
 
Para nombrar a las raíces tenemos en cuenta su índice. Por ejemplo, si el índice es: 
 
 2 (que generalmente no se escribe) se llama raíz cuadrada. 
 3 se llama raíz cúbica. 
 4 raíz cuarta 
 5 raíz quinta, y así sucesivamente. 
 
Algunas raíces importantes: √1
𝑛
= 1 ; √0 
𝑛
= 0 ; √𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎 
 
 
1.- RELACIÓN ENTRE LA RAÍZ Y LA POTENCIA 
 
Como se puede observar existe una estrecha relación entre las potencias y raíces. En efecto, 
toda raíz puede ser expresada como una potencia de exponente fraccionario. 
 
 
Por ejemplo: 
√33
4
⋅ √3 = 33/4 ⋅ 31/2 = 33/4+1/2 = 35/4 
 
Por otro lado, toda potencia de exponente fraccionario, por ejemplo, 91/2, puede expresarse 
utilizando raíces: √9 
En general, si se tiene una potencia de exponente fraccionario de la forma 
𝐚
𝐦
𝐧 con n  ℕ y m  ℤ , se escribe: 𝐚
𝐦
𝐧 = √𝐚𝐦
𝐧
 
 
 
52 
 
Por ejemplo: 
(3,25̅)
9
2 = √(3,25̅)
9
 
2
 
(
2
3
)
5
6
= √(
2
3
)
5
 
6
 
 
(3p + 2)−
3
5 =
1
(3p + 2)
3
5
=
1
√(3p + 2)3
5
 0,01
1
3 = √0,01 
3 
 
De esta propiedad se pueden extraer algunas conclusiones: 
 
 Se puede observar que: 
Si n es impar → √an
n
= a 
 
Si n es par → √an
n
= |a| 
 
Ejemplos: 
 
√9 = √32 = 3 porque 32 = 9 o √9 = √(−3)2 = (−3) porque (−3)2 = 9 
√(−6)2 = √36 = 6 porque 62 = 36 o √(−6)2 = √36 = (−6) porque (−6)2 = 36 
√27
3
= √33
3
= 3 porque 33 = 27 
√(−8)
3
= √(−2)3
3
= −2 porque (−2)3 = (−8) 
 El índice y el exponente del radicando son simplificables entre sí. Por ejemplo: 
 
 El índice y el exponente del radicando son amplificables entre sí. Por ejemplo: 
 
Al interpretar las raíces como una potencia de exponente racional, conviene reducirlas a un 
índice común para multiplicar, dividir y comparar radicales. 
Dados dos números a y b reales positivos y n un número natural se cumple: 
 
 
 
53 
 
Por ejemplo: Si se quiere comparar √25
3
 y √7. Para ello hay que expresar los radicales con 
el mismo índice: 
√25
3
= √252
6
= √625
6
 
 
√7 = √73
6
= √343
6
 
 
Como 625 > 343 entonces √625
6
> √343
6
 ⇒ √25
3
> √7 
 
2.- RADICALES EQUIVALENTES 
 
Dos o más radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias 
asociadas son equivalentes. Por ejemplo: √49 = √427
6
 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 
9
2
=
27
6
 
 
Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales equivalentes, multiplicando o dividiendo el 
exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número. 
Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el radical. Un radical es 
irreducible, cuando la fracción de la potencia asociada es irreducible. 
 
Para cambiar el índice de la raíz se puede amplificar o simplificar dicho exponente por un 
número entero distinto de cero. 
Es decir: 
√𝑎
𝑛
= 𝑎
1
𝑛 = 𝑎
1∙𝑚
𝑛∙𝑚 = 𝑎
𝑚
𝑛𝑚 = √𝑎𝑚
𝑛𝑚
 
 
Luego la raíz √𝑎𝑚
𝑛𝑚
 es equivalente a √𝑎
𝑛
 . 
 
3.- COMPOSICIÓN O DESCOMPOSICIÓN DE RAÍCES 
 
A.- COMPOSICIÓN DE RAÍCES 
 
Un factor se puede introducir a una raíz, como factor del radicando, si lo elevo al índice de 
ella. 
𝑎 √𝑐
𝑏
= √𝑎𝑏 ∙ 𝑐
𝑏
 
Por ejemplo: 
2√9
5
= √25 ∙ 9
5
= √32 ∙ 9
5
= √288
5
 
 
54 
 
 
B.- DESCOMPOSICIÓN DE RAÍCES 
 
Un factor se puede extraer de una raíz si dicho factor tiene raíz exacta. 
√𝑎𝑠 ∙ 𝑏
𝑠
= 𝑎 √𝑏
𝑠
 
Por ejemplo: 
√54
3
= √27 ∙ 2
3
= √33 ∙ 2
3
= 3 √2
3
 
 
ACTIVIDADES 
 
48.- Expresar las siguientes potencias como raíces: 
 
a) 16
3
2 
b) (0,125)
1
4 
c) m−
5
3 
d) (x3)
2
3 
e) (2x − y2)
1
2 
 
49.- Expresar las siguientes raíces como potencias: 
a) √25
4
 = 
b) √−7
7
 = 
c) √112
3
 = 
d) √2x3
6
 = 
 
50.- Comparar las siguientes raíces expresando los radicales con un mismo índice: 
a) √8 y √64
6
 
 
b) √27
3
, √16
4
 y √64
6
 
 
 
55 
 
51.- Expresar los radicandos como potencia y luego obtener tres radicales equivalentes a: 
a) √8 = 
 
b) √27
3
= 
 
c) √81
4
= 
 
52.- Extraer factores del radical: 
 
a) √2 ∙ 32 ∙ 55 = 
 
b) √80 = 
 
c) √3888
4
= 
 
53.- Introducir factores en el radical: 
a) 2√3 = 
 
b) 22. 33 √6
4
= 
 
c) 81/3 √6
3
= 
 
4.- OPERACIONES CON RAÍCES 
 
A.- ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON RAÍCESPara que dos o más raíces se puedan sumar o restar es necesario que estén definidas en los 
números reales y sean semejantes, es decir, deben tener el mismo índice y el mismo radicando. 
Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica. 
Para comprobar si dos radicales son semejantes, se deben simplificar cuando sea posible y 
extraer todos los factores que sea posible. 
La suma o resta de radicales semejantes es otro radical semejante, cuyo coeficiente es igual 
a la suma o resta de los coeficientes de los radicales. 𝐚 √𝐦
𝐛
 ± 𝐜 √𝐦
𝐛
= (𝐚 ± 𝐜)√𝐦
𝐛
 
 
Ejemplo N° 1: 
 
− √𝟒
𝟑
+ 𝟑 √𝟒
𝟑
 − 𝟐 √𝟒
𝟑
+ 𝟖 √𝟒
𝟑
= (−𝟏 + 𝟑 − 𝟐 + 𝟖)√𝟒
𝟑
= 𝟖√𝟒
𝟑
 
 
 
56 
 
Ejemplo N° 2: 
𝟕 √𝟓 − 𝟔 √𝟑 + 𝟖√𝟓 − 𝟑 √𝟑 − 𝟒 √𝟑 = 
Primero se deben agrupar los términos semejantes y luego se resuelve: 
(𝟕 + 𝟖)√𝟓 + (−𝟔 − 𝟑 − 𝟒)√𝟑 = 
𝟏𝟓√𝟓 − 𝟏𝟑 √𝟑 
Ejemplo N° 3: 
√3 + √27 − 2 √75 = 
Se debe aplicar la propiedad de descomposición para obtener términos semejantes: 
 
√3 + √3 ∙ 32 − 2 √3 ∙ 52 = 
√3 + 3 √3 − 2 ∙ 5 √3 = 
(1 + 3 − 10)√3 = −6√3 
 
La adición o sustracción de dos raíces con igual índice pero distinto radicando NO es igual 
a la raíz de la suma de los radicandos. Es decir: √𝑎
𝑛
∓ √𝑏
𝑛
≠ √𝑎 ∓ 𝑏
𝑛
 
 
B.- PRODUCTO DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE 
 
El producto de dos o más raíces, definidas en los números reales, con igual índice es otra raíz 
que tiene el mismo índice y cuyo radicando es el producto de los radicandos de los factores. 
√𝐚
𝐛
 ∙ √𝐜
𝐛
= √𝐚 ∙ 𝐜
𝐛
 ∀ 𝐛 ∈ ℕ 
Por ejemplo: 
√𝟐
𝟑
 ∙ √𝟒
𝟑
= √𝟐 ∙ 𝟒
𝟑
= √𝟖
𝟑
= 𝟐 
 
C.- COCIENTE DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE 
 
El cociente de raíces, definidas en los números reales, con igual índice es otra raíz que tiene 
el mismo índice y cuyo radicando es el cociente de los radicandos del divisor y el dividendo. 
√𝐚
𝐧
∶ √𝐛
𝐧
= √𝐚: 𝐛
𝐧
 
O bien 
√𝐚
𝐧
√𝐛
𝐧 = √
𝐚
𝐛
𝐧
 
 
 
57 
 
Ejemplo: 
√𝟓𝟎 ∶ √𝟐 = √𝟓𝟎 ∶ 𝟐 = √
𝟓𝟎
𝟐
= √𝟐𝟓 = 𝟓 
 
D.- PRODUCTO O COCIENTE DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE 
 
Si los radicales no tienen el mismo índice, se deberá lograr que los tengan, para ello es 
necesario buscar el “mínimo común índice (m.c.i)”, que es el mínimo común múltiplo de los índices 
y luego escribir radicales equivalentes a los dados que tengan el índice encontrado. 
Por ejemplo: √8
4
 ∙ √4
3
= 
m.c.i(4;3) = 12 
 
√83
12
 ∙ √44
12
= √(23)3
12
 ∙ √(22)4
12
= √29 ∙ 28
12
= √217
12
= √212 ∙ 25
12
= 2 √25
12
= 2 √32
12
 
 
E.- RAÍZ DE UNA RAÍZ 
 
La raíz de una raíz es igual a otra raíz que tiene como índice el producto de los índices de las 
raíces originales y cuyo radicando es el radicando original. 
√ √𝑐
𝑏𝑎
= √𝑐
𝑎∙𝑏
 
Por ejemplo: 
√√64
3
= √64
6
= 2 
 
 
 
 
 
 
 
ACTIVIDADES 
54.- Aplicar las propiedades de la radicación y resolver: 
 
a) 3√2 + 5√2 − 4√2 = 
b) 12√2 − 8√3 + √2 + 4√3 + 6√45 = 
 
Simplificación de 
radicales | Parte 1 
Simplificación de 
radicales | Parte 2 
Simplificación de 
radicales | Parte 3 
Simplificación de 
radicales | Parte 4 
https://youtu.be/2HachLBuoZo?list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn
https://youtu.be/-EMjsWjPDLM?list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn
https://youtu.be/qSRMjsanmuU?list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn
https://youtu.be/puVdEAH4x0w?list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn
https://youtu.be/2HachLBuoZo?list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn
https://youtu.be/-EMjsWjPDLM?list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn
https://youtu.be/qSRMjsanmuU?list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn
https://youtu.be/puVdEAH4x0w?list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn
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58 
 
c) √2 ∙ √7 = 
d) √
4
3
 ∙ √
1
2
= 
e) √x
5
∶ √xy2
5
= 
f) √a11
n
: √a5
n
= 
g) 
√y2n+1
√y4n−6
= 
h) √
144
81
∶ 
36
9
= 
i) (−
5
4
∙ √9
3
) : (−√3) = 
j) √b2c5
3
∙ √b c3
4
= 
k) 
√4m
3
√64m
4 = 
 
55.- Expresar de la forma más simple posible: 
 
a) √√√a
3
= 
b) √3 √4 √2 = 
c) √√
81
16
 = 
 
 
5.- RACIONALIZACIÓN 
 
Racionalizar un denominador es, en caso de ser posible, eliminar el número irracional del 
denominador. Es decir, escribir una fracción equivalente a la dada con denominador racional. 
 
 
59 
 
Se pueden identificar tres casos: 
 
 Racionalizar fracciones que contengan raíz cuadrada en el denominador. 
 Racionalizar fracciones que contengan raíz n-ésima en el denominador. 
 Racionalizar fracciones que contengan la suma o resta de dos o más raíces cuadradas o bien 
la suma o resta de un número natural con una raíz. 
 
 
A.- RACIONALIZAR FRACCIONES QUE CONTIENEN RAÍZ CUADRADA EN EL DENOMINADOR 
 
Para racionalizar expresiones del tipo: 
 
Se debe amplificar la fracción por √b 
 
Es decir: 
a
√b
=
a
√b
∙
√b
√b
=
a ∙ √b
(√b)
2 =
a ∙ √b
b
 
Por ejemplo: 
3
√2
=
3
√2
∙
√2
√2
=
3 ∙ √2
(√2)
2 =
3 ∙ √2
2
 
 
 
B.- RACIONALIZAR FRACCIONES QUE CONTIENEN RAÍZ N-ÉSIMA EN EL DENOMINADOR 
 
Racionalizar expresiones del tipo: 
 
Se debe amplificar la fracción por √b𝑛−𝑚
𝑛
 
 
 
 
 
60 
 
 
Por ejemplo: 
3
√23
5 =
3
√23
5 ∙
√22
5
√22
5 =
3√22
5
√23 ∙ 22
5 =
3√22
5
√25
5 =
3√22
5
2
=
3√4
5
2
 
 
C.- RACIONALIZAR FRACCIONES QUE CONTIENEN LA SUMA O RESTA DE DOS O MÁS RADICALES 
DE ÍNDICE 2 O LA SUMA O RESTA DE UN NÚMERO CON UNA RAÍZ 
 
Racionalizar expresiones del tipo: 
 
 
En general cuando el denominador sea un binomio (dos términos) con al menos un radical, 
se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un 
binomio es igual al binomio con el signo central cambiado. 
También tenemos que tener en cuenta que: "el producto de una suma por la diferencia de sus 
términos es igual a la diferencia de los cuadrados de los términos". 
 
Es decir: (a + b).(a – b) = a2 - b2 
 
 
Ejemplo N° 1: 
8
√7 − √3
=
8
(√7 − √3)
 ∙
(√7 + √3)
(√7 + √3)
=
8(√7 + √3)
(√7)
2
− (√3)
2 =
8(√7 + √3)
7 − 3
=
8(√7 + √3)
4
= 2(√7 + √3) = 2√7 + 2√3 
 
 
Ejemplo N° 2: 
√10
2 + √5
=
√10
(2 + √5)
 ∙
(2 − √5)
(2 − √5)
=
√10 ∙ (2 − √5)
(2)2 − (√5)
2 =
√10 ∙ (2 − √5)
4 − 5
=
2√10 − √10 ∙ √5
−1
=
2√10 − √50
−1
= −2√10 + 5 √2 
 
 
 
 
 
Racionalización de 
denominadores | 
Parte 1 
Racionalización de 
denominadores | 
Parte 2 
Racionalización de 
denominadores | 
Parte 3 
https://youtu.be/TSFBEYLfrXM
https://youtu.be/am2c1TYFKI0
https://youtu.be/5JWgG5AYay0
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61 
 
ACTIVIDADES 
 
56.- Racionalizar los siguientes radicales: 
 
a) 
2
3√2
= 
 
b) 
2
3 √4
5 = 
 
c) 
2
√2−√3
= 
 
d) √
2
√2
3
= 
 
e) 
√3
3+2√7
= 
 
57.- Realizar las siguientes operaciones: 
 
a) 3√√x
43
+ 5 √x
12
− 6√√x
34
= 
b) (√5 + 2) ∙ (√5 − 2) = 
c) (2√7 − 3)
2
−
√7
√7−3
+ 1, 6̅ = 
d) 
√3+√5
√5−√3
− (√5 − √3)
2
+ (−2)−3 + 8(−1 3⁄ ) = 
 
58.- Resolver las siguientes operaciones combinadas y expresar el resultado como fracción 
irreducible. Recomendación: Intenta resolver