Lógica

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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial del Estado Trujillo “Mario Briceño Iragorry”
Núcleo “Barbarita de la Torre”
Trujillo – Edo – Trujillo
Unidad Curricular: Matemática I
Lógica 
Elaborado por:
Ojeda R. Rosimar C.
V-27.466.011
Programa de Formación Nacional en Informática
Trayecto I – Trimestre II
Mayo, 2022
Introducción
 La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado un ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.
 La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.
 El orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de proposición. Se establece el significado y utilidad de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción y contingente, y proporcionamos una lista de las tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción, en donde incluye reglas de inferencia.
Lógica
 La lógica es una ciencia formal, que forma parte de la filosofía y de las matemáticas. Se centra en el estudio de los procedimientos válidos y no válidos de pensamiento, es decir, en procesos como la demostración, la inferencia o la deducción, así como en conceptos como las falacias, las paradojas y la verdad.
 La lógica es una disciplina sumamente antigua, nacida de manera independiente entre los pensadores de las grandes civilizaciones clásicas y antiguas, como la china, la griega o la india. Desde sus inicios, se la comprendió como una forma de juzgar el pensamiento para comprobar su validez formal, o sea, para reconocer cuál es el procedimiento ideal de razonamiento, aquel que conduzca realmente a la verdad. Sin embargo, a partir del siglo XX se la ha considerado como un campo más afín a la matemática, a medida que las aplicaciones de esta última cobraron una gran importancia industrial, social y tecnológica.
 La palabra “lógica” tiene su origen en la voz griega logiké (“dotada de razón”), proveniente del término logos, equivalente a “palabra” o “pensamiento” por igual.
 Sin embargo, en el lenguaje cotidiano empleamos esta palabra como sinónimo de “sentido común”, o sea, de un modo valioso o valorado de pensar, en sus respectivos contextos posibles. También se emplea como un sinónimo de “forma de pensar”, como al referirnos a la “lógica deportiva”, “lógica militar”, entre otros.
La lógica estudia el razonamiento humano
Podemos distinguir dos tipos de lógica:
· La lógica aristotélica que estudia los conceptos, en especial los predicables y las categorías. Se ocupa del razonamiento: deductivo, categórico o de silogismos, como formas de conocimiento científico.
· La lógica matemática o proposicional consiste en utilizar símbolos a través de tablas de verdad que nos indican lo verdadero o falso.
Lógica matemática:
 Se conoce como lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica formal, lógica teorética o logística, a la aplicación del pensamiento lógico a determinadas áreas de la matemática y la ciencia.
 Esto implica el estudio del proceso de la inferencia, mediante sistemas formales de representación, como la lógica proposicional, la lógica modal o la lógica del primer orden, los cuales permiten “traducir” el lenguaje natural al lenguaje matemático para poder desarrollar así demostraciones rigurosas.
La lógica matemática abarca cuatro grandes áreas, que son:
· Teoría de modelos. Que propone el estudio de teorías axiomáticas y lógica matemática a través de estructuras matemáticas conocidas como grupos, cuerpos o grafos, atribuyendo así un contenido semántico a las construcciones puramente formales de la lógica.
· Teoría de la demostración. También llamada teoría de la prueba, propone demostraciones mediante objetos matemáticos y técnicas matemáticas como el camino para la comprobación de problemas lógicos. Así, donde la teoría de modelos se ocupa de dar una semántica (un significado) a las estructuras formales de la lógica, la Teoría de la demostración se ocupa más bien de su sintaxis (su ordenamiento).
· Teoría de conjuntos. Centrada en el estudio de las colecciones abstractas de objetos, comprendidas en sí mismas como objetos, así como sus operaciones básicas e interrelaciones. Esta rama de la lógica matemática es de las más fundamentales que existen, tanto así que constituye una herramienta básica de cualquier teoría matemática.
· Teoría de computabilidad. Área compartida entre la matemática y la computación o informática, estudia los problemas de decisión a los que un algoritmo (equivalente a una máquina de Turing) puede enfrentarse. Para ello, emplea la teoría de conjuntos, comprendiéndolos como conjuntos computables o no computables.
Lógica computacional
 La lógica computacional es la misma lógica matemática pero aplicada al ámbito de la computación, o sea, a diversos niveles fundamentales de la informática: los circuitos computacionales, la programación lógica, y la gestión de los algoritmos. Forma parte de ella también la inteligencia artificial, un campo relativamente reciente en el área.
 Podría decirse que, a grandes rasgos, la lógica computacional aspira a alimentar un sistema informático a través de estructuras lógicas que expresen, en un lenguaje matemático, las distintas posibilidades del pensamiento humano, creando así sistemas de cómputo inteligentes.
Lógica formal e informal
 También se distingue a menudo entre dos campos separados de la lógica: la formal y la informal, a partir de su abordaje del lenguaje en que se expresen los enunciados.
· La lógica formal. Es aquella que atiende al lenguaje formal, o sea, a la manera de expresar sus contenidos, empleándolos de manera estricta, sin ambigüedades, de modo tal que se pueda analizar el recorrido deductivo a partir de la validez de sus formas (de allí su nombre).
· La lógica informal. En cambio, estudia sus argumentos a posteriori, distinguiendo las formas válidas e inválidas a partir de la información dada, sin reparar en su forma lógica o en su lenguaje formal. Esta variante surgió a mediados del siglo XX como una disciplina dentro de la filosofía.
La proposición
 El Diccionario RAE define proposición como “enunciación de una verdad demostrada o que se trata de demostrar”, su análisis es el fundamento de la lógicaproposicional que, a través de este método de análisis, utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones.
La proposición sólo puede ser verdadera o falsa
 Para que un enunciado que hacemos sea una proposición el único requisito es que podamos definirla como verdadera o falsa.
 Por ejemplo son proposiciones: son las tres de la tarde, la luz está encendida, La Cibeles está en Madrid, 2+2=5, Caracas es la capital de Venezuela; en todos estos casos lo que se dice es verdadero o falso.
 No serían proposiciones las preguntas como ¿a dónde vas? o ¿cómo estás?, u otras expresiones que no enuncian realidades verdaderas o falsas como buenos días o te deseo lo mejor.
 A estas afirmaciones verdaderas o falsas las llamamos proposiciones simples y, para trabajar con ellas, las representamos con letras del alfabeto.
Proposiciones abiertas
 
 Identificaremos cada elemento:
 
p(x)="x∈N∣2<x<7"
 
 Se puede notar que no existe manera en que podemos determinar si es verdadero o falso, pues no podemos juzgarlo mediante ese razonamiento, estos casos son llamados proposiciones abiertas (justamente porque el valor de verdadero o falso queda abierto), donde la proposición depende de una o más variables (p(x), p(x,y)).
 
 Para comenzar, observe que al principio se tiene p(x). Como se ha dicho, p es la manera en la que identificamos la proposición y escribimos p(x), pues es una proposición que tiene una variable xx unida a ella.
 
 El conjunto de los números naturales es nuestro dominio de discurso, es decir, sustituimos x por el número que pertenezcan al conjunto de los naturales, tal que (aquel símbolo ∣∣) la x esté entre el 2 y 7.
 
 Bien, sabemos que no podemos juzgar a p(x), pero podemos juzgar, por ejemplo, p(3). O sea, vamos a sustituir xx por 33 y comprobar si es verdad: 
 
p(3)="3∈N∣2<3<7"
 
 Genial, es verdadero, 3 pertenece a los naturales y se encuentra entre 2 y 7. Serán los números 3,4,5 y 6. Entonces el conjunto:
 
{3,4,5,6}
 
 Es llamado valor de verdad .Este es el conjunto de términos que hacen que la proposición sea verdadera.
Proposiciones Universales y Particulares 
 
 Usando las proposiciones abiertas, podemos hacer afirmaciones sobre todos los elementos de un conjunto, usando el cuantificador universal ∀∀ que significa “para todo”, “para cada” o “cualquiera que sea”. Se llama cuantificador porque expresa una cantidad. 
 
Obsérvese un ejemplo: 
 
· Para escribir simbólicamente la proposición “Para todo número natural tenemos que 2n es par”:
 
∀n∈N,2n es par
 
O
 
∀n∈N,p(n)
 
En que p(n)="2n es par”
 
 Observe que el “tenemos que” está representado por una coma. 
 
 Además, también se puede hacer afirmaciones sobre por lo menos un elemento de un conjunto, usando el cuantificador existencial ∃ que significa “existe”, es decir, pueden tener más elementos que satisfagan la relación. 
Obsérvese el siguiente ejemplo:
 
· Para escribir simbólicamente la proposición “Existe un número natural n que es menor que 3”
 
∃n∈N∣n<3
O
∃n∈N∣p(n)
En que p(n)="n<3"
 Existen casos en que apenas un elemento del dominio de discurso satisface la relación. Observa: 
 
· Para escribir simbólicamente la proposición “Existe un número natural n que es menor que 1” 
∃!n∈N∣n<1
 
 Se coloca un signo de exclamación para indicar que existe el elemento y es único (en este caso, sería n=0n=0)
 
 Haciendo un resumen general: la proposición es universal cuando concierne a todos los elementos de un conjunto y es particular cuando no.
Proposiciones complejas
 Una proposición compleja es la unión de dos o más proposiciones simples que están unidas por un conector lógico
 Este conector lógico del que hablamos suele consistir en una palabra que las relaciona (vincula) como “y”, “además de”, “entonces”, etc.
Por ejemplo, si tenemos dos proposiciones simples como:
· María es guapa.
· María es lista.
Con ellas podremos formar una compleja que sería “María es guapa y lista”.
Tabla de verdad
 Como hemos visto en una proposición simple solo hay dos posibilidades, o es verdadera o es falsa.
 Pero, en una proposición compuesta, hay dos o más proposiciones simples.
En este caso no hay sólo dos posibilidades: al haber dos proposiciones puede que las dos sean verdaderas, que las dos sean falsas, que una sea verdadera y la otra falsa o viceversa, por lo tanto habría cuatro posibilidades.
 Si la proposición compleja contiene tres proposiciones simples el número de posibilidades es aún mayor.
 Para calcular el número de posibilidades elevamos dos al número de proposiciones simples que participan que será el exponente.
 Así, si tenemos dos proposiciones será dos al cuadrado (4), si son tres será dos al cubo (8), si son cuatro dos a la cuarta (16) y así sucesivamente.
Conectores lógicos
 Como se ha dicho enlazan dos o más proposiciones simples, dependiendo de cómo realizan esta vinculación pueden ser:
· Conjunción: la letra “y”, en este caso para que la proposición compuesta sea verdad las dos proposiciones simples deben ser verdaderas.
· Dsyunción débil la letra “o”, para que la proposición compuesta sea verdad una de las dos proposiciones será verdadera o las dos, la proposición compuesta sólo será falsa si las dos proposiciones simples que la componen son falsas.
· Disyunción fuerte con la combinación “o...o...” como en la frase “o comes carne o comes pescado”; en este caso para que la proposición compuesta sea verdadera una de las dos simples que la componen debe ser verdadera y la otra falsa, si las dos fueran verdaderas o las dos falsas la proposición compuesta sería falsa.
· Condicional por la expresión “sí… entonces...”: la primera proposición simple es el antecedente y el segundo consecuente. En este caso la proposición será verdadera salvo que la primera sea verdadera y la segunda falsa, en cuyo caso la compuesta será falsa.
· Bicondicional por la expresión “sí y sólo sí”, como en la frase “el animal ladra sí y sólo sí es un perro”: en este caso la proposición compuesta es verdadera si las dos simples son, a la vez, verdaderas o las dos falsas, si una fuera verdadera y la otra falsa la compuesta sería falsa.
· Negación puede ser con la expresión “no” o “no es cierto que”, para que la compuesta sea verdadera al menos una de las dos que la componen ha de ser falsa.
Tablas de verdad
 Como vemos, para saber si una proposición compleja es verdadera o falsa necesitamos saber si las proposiciones simples que la componen son verdaderas o falsas.
 Dependiendo del resultado final según la combinación de estas proposiciones simples la tabla de verdad de la compleja puede ser de tres tipos:
· Tautológica cuando cualquier combinación de verdadero o falso de sus componentes da siempre como resultado que la proposición compleja es verdadera.
· Contradictoria si cualquier combinación de verdadero o falso de los componentes da siempre como resultado que la proposición compleja es falsa.
· Contingente cuando existen distintas posibilidades de resultados según la combinación de verdadero y falso de los componentes
Lenguaje Natural
 El lenguaje natural es el lenguaje hablado o escrito por humanos para propósitos generales de comunicación. Son aquellas lenguas que han sido generadas espontáneamente en un grupo de hablantes con propósito de comunicarse, Se le conoce también como lenguaje ordinario, y fue construido con reglas y convenciones lingüísticas y sociales. Es aquel lenguaje por el cual se comunican los individuos. Un individuo, por el hecho de nacer en sociedad, acepta normativamente el lenguaje de su propia comunidad lingüística. Tanto el lenguaje natural como el lenguaje artificial son humanos.
 El Procesamiento de Lenguajes Naturales (PLN, o NLP del idioma inglés
Natural Language Processing) es una subdisciplina de la Inteligencia Artificial y la rama ingenieril de la lingüística computacional. El PLN se ocupa de la formulación e investigación de mecanismos eficaces computacionalmente para la comunicación entre personas o entrepersonas y máquinas por medio de lenguajes naturales. El PLN no trata de la comunicación por medio de lenguajes naturales de una forma abstracta, sino de diseñar mecanismos para comunicarse que sean eficaces computacionalmente, que se puedan realizar por medio de programas que ejecuten o simulen la comunicación. Los modelos aplicados se enfocan no sólo a la comprensión del lenguaje de por sí, sino a aspectos generales cognitivos humanos y a la organización de la memoria. El lenguaje natural sirve sólo de medio para estudiar esos fenómenos.
Componentes y Aplicaciones del Lenguaje Natural
Componentes
· Análisis morfológico. El análisis de las palabras para extraer raíces, rasgos flexivos, unidades léxicas compuestas y otros fenómenos.
· Análisis sintáctico. El análisis de la estructura sintáctica de la frase mediante una gramática de la lengua en cuestión.
· Análisis semántico. La extracción del significado de la frase, y la resolución de ambigüedades léxicas y estructurales.
· Análisis pragmático. El análisis del texto más allá de los límites de la frase, por ejemplo, para determinar los antecedentes referenciales de los pronombres.
· Planificación de la frase. Estructurar cada frase del texto con el fin de expresar el significado adecuado.
· Generación de la frase. La generación de la cadena lineal de palabras a partir de la estructura general de la frase, con sus correspondientes flexiones, concordancias y restantes fenómenos sintácticos y morfológicos.
Aplicaciones
Las principales tareas de trabajo en el Procesamiento del Lenguaje Natural son:
· Síntesis del discurso
· Análisis del lenguaje
· Comprensión del lenguaje
· Reconocimiento del habla
· Síntesis de voz
· Generación de lenguajes naturales
· Traducción automática
· Respuesta a preguntas
· Recuperación de la información
· Extracción de la información
Lenguaje Artificial
 El lenguaje artificial, en oposición al natural, tiene como finalidad evitar justamente los inconvenientes de ambigüedad y vaguedad de los lenguajes naturales u ordinarios y, por ello, presenta un grado de artificialidad y convencionalidad mucho mayor por lo que se refiere a la construcción de símbolos y al significado que se les asigna. Símbolos y significados no pertenecen a ninguna comunidad natural de hablantes, sino a grupos de hablantes relacionados por objetivos científicos o técnicos.
 Los lenguajes artificiales se aprenden voluntaria y conscientemente. Aunque algunos tienen la característica de la infinitud discreta, son muy diferentes a los lenguajes naturales. Un ejemplo de lenguaje artificial son los lenguajes de programación utilizados para desarrollar programas informáticos usados para controlar el comportamiento de una máquina, especialmente una computadora, estos se componen de un conjunto de reglas sintácticas y semánticas que permiten expresar instrucciones que luego serán interpretadas.
Elementos y Aplicaciones del Lenguaje Artificial
Elementos 
El lenguaje artificial consta de los mismos elementos que cualquier otro lenguaje, signos y reglas, los cuales establecen lo siguiente:
· Tabla de símbolos. Éstos se combinan entre sí a través de reglas.
· Reglas de combinación. Que no se permite combinar los símbolos entre sí.
· Reglas de transformación. Que permitan transformar una fórmula en otra y que sea equivalente
Aplicaciones
 En la Informática ya que manejan signos que transforman o formalizan los lenguajes naturales como lo puede ser el idioma español a una serie de signos o símbolos matemáticos, Sin embargo, este lenguaje carece de expresividad y solo es bien interpretado si se entiende desde unos parámetros exactos.
 Un ejemplo de un signo puede ser un semáforo, el semáforo es un signo que representa algo y que cada quien es consciente de que si un semáforo esta en rojo se debe detener, al mismo tiempo este hace parte de un lenguaje artificial ya que es formalizado y no es algo natural sino que simplemente ha sido una creación del hombre.
Uso de los Signos
La lógica formal moderna utiliza ampliamente el lenguaje de los símbolos. Gracias a él se alcanza: la concepción exacta y unívoca del objeto, la posibilidad de aplicar el método matemático formal de investigación. Hay tres tipos fundamentales de símbolos con los cuales, según determinadas reglas, se construyen las expresiones (fórmulas) de tal o cual sistema lógico-formal. Esos tipos son: 1) símbolos que designan objetos lógicos elementales, que constituyen sistemas; 2) símbolos que designan conexiones u operaciones lógicas; 3) símbolos auxiliares, como por ejemplo paréntesis, puntos. En la lógica actual, existen varios sistemas aceptados de notación simbólica. A ello se debe que haya varios símbolos para unos mismos conceptos lógicos. A continuación se explica el significado de los más importantes:
1. A, B, C... X, Y, Z... (También con índices) son símbolos de proposiciones variables.
a, b, c... x, y, z... (También con índices) son símbolos de objetos variables.
P(.), R(.,.), S(.,.,.) (También con índices) son símbolos de predicados variables.
2.  – ¬ ∼   signos de negación (“no”)
∨     Signos de disyunción (“o”)
⋅ ∧    Signos de conjunción (“y”)
⊃ →   Signos de implicación (“si... entonces”)
∼ ≡ ↔   Signos de equivalencia (“si y sólo si”)
∈ ∃     Signos de cuantificador existencial
∀ ( )   Signos de cuantificador universal.
Conclusión
 La forma en que se pueden formar proposiciones compuestas usando los conectores lógicos, representar enunciados por medio de simbología lógica, conocer los conceptos de tautología, equivalencia lógica, regla de inferencia. Realizar demostraciones de teoremas por medio del método directo y contradicción. Pero con problemas que le sean familiares e interesantes. Se trata de que en cada uno de los subtemas participe proponiendo sus propios ejemplo y que sobre todo al final de la unidad él tenga la habilidad, confianza e iniciativa para inferir posibles soluciones.
 Todo enunciado puede ser planteado en términos de teoremas. Un teorema por lo general es resultado de un planteamiento de un problema, este planteamiento debe tener el siguiente formato.
(p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q
 Como se establece p1, p2 ,......,pn son hipótesis (o premisas) derivadas del mismo problema y que se consideran válidas. Pero además deberán conectarse con el operador And (Ù ), lo cual implica que p1 es cierta y (Ù ) p2 es verdad y (Ù )...... y pn también es cierta entonces (Þ ) la conclusión (q) es cierta. Para realizar la demostración formal del teorema se deberá partir de las hipótesis, y después obtener una serie de pasos que también deben ser válidos, ya que son producto de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hipótesis y reglas de inferencia pueden aparecer en una demostración formal, sino también tautologías conocidas. En el teorema anterior cada uno de los pasos p1, p2,...pn son escalones que deberán alcanzarse hasta llegar a la solución.
 Lo mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos presentan en la vida, antes de llegar a la solución debemos alcanzar ciertas metas (p1,p2,....pn) hasta llegar al objetivo o conclusión (q). Pero una vez que logramos el objetivo debemos plantearnos nuevos objetivos que nos permitirán superarnos.
 Dependiendo del área de interés al estudiante puede transportad dichos conocimientos, de tal manera que le auxilien para entender y resolver otro tipo de problemas. En el caso de computación cada línea de un programa se obtiene inconcientemente aplicando una regla de inferencia y por lo tanto cada instrucción tiene su orden en que debe de ir colocada, si se cambia esa línea seguramente el resultado ya no será igual. Pero hay tantas formas de resolver un problema por medio de un programa como alumnos distintos tenga un maestro. 
 Una demostración formal equivale a relacionar esquemas para formar estructuras cognitivas. Sí el alumno sabe inferir soluciones lógicas, estará en condiciones de resolver todo tipo de problemas.
 Uno de los objetivos principales del constructivismo,es la construcción del conocimiento. El tema de "lógica matemática", se presta para que el alumno pueda realizar los relacionamientos entre las distintas proposiciones, esto permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas ramas: matemáticas, física, química pero también en las ciencias sociales y por su puesto cualquier problema de la vida real. Porque cada vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la información por medio de reglas de inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar. Cada vez que realizamos una actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá algunos realicen dicha actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos más largos, pero al fin de cuentas lo que importa es llegar al resultado. Si se le da la confianza al alumno para que cree e innove, su estructura cognitiva seguramente va a crecer.
Bibliografía
· https://repositoriotec.tec.ac.cr/handle/2238/12443
· https://www.filosofia.org/enc/ros/si8.htm
· https://tiposdelenguaje.win/lenguaje-artificial/
· https://www.calculisto.com/topics/precalculo
· https://www.sdelsol.com/glosario/logica-proposicional/
· https://www.edu.xunta.gal/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1493724904/contido/lgica_proposicional.html (PDF)