tema_8

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Pedro_CC 1 
 
CAPÍTULO 8: TRANSFORMACIONES ORTOGONALES Y AFINES 
 PARTE A: TRANSFORMACIONES ORTOGONALES 
8.1- Definición. 
Sea 𝐸 un espacio vectorial euclídeo. Diremos que una aplicación 𝑓:𝐸 → 𝐸 es una 
transformación ortogonal si es lineal y conserva el producto escalar. Es decir, 𝑓 verifica que: 
�̅� ∘ 𝑦� = 𝑓(�̅�) ∘ 𝑓(𝑦�) ∀�̅�,𝑦� ∈ 𝐸 
8.2- Teorema. 
Una aplicación 𝑓:𝐸 → 𝐸 es una transformación ortogonal si y solo si la matriz de 𝑓 en una base 
ortonormal es ortogonal respecto del producto escalar usual, es decir, de columnas 
ortonormales. 
- Ejemplo: estudiar si la aplicación 𝑓:ℝ2 → ℝ2 que verifica 𝑓(1,1) = �0, 2
√2
� ,𝑓(0,1) =
(− 1
√2
, 1
√2
) es una transformación ortogonal. 
Veamos que la matriz 𝐴 de 𝑓 respecto de la base canónica 𝐵𝑐 (que es ortonormal) es 
ortogonal. Tenemos que: 
𝑓(1,0) = 𝑓(1,1)− 𝑓(0,1) = (
1
√2
,
1
√2
) 
𝑓(0,1) = (−
1
√2
,
1
√2
) 
de donde se sigue que 𝐴 = �
1
√2
1
√2
1
√2
− 1
√2
�, y es sencillo ver que: 
�
1
√2
,
1
√2
� ∘ �
1
√2
,
1
√2
� = 1 
�−
1
√2
,
1
√2
� ∘ �−
1
√2
,
1
√2
� = 1 
�
1
√2
,
1
√2
� ∘ �−
1
√2
,
1
√2
� = 0 
esto implica que la matriz 𝐴 es ortogonal y verifica que 𝐴𝑡 = 𝐴−1. 
- Observación: por supuesto, también podemos calcular 𝐴𝑡 y 𝐴−1 y ver si se cumple que 
𝐴𝑡 = 𝐴−1 para ver si 𝑓 es ortogonal. 
8.3- Propiedades. 
Sea 𝑓:𝐸 → 𝐸 una transformación ortogonal. Se verifica que: 
i) |�̅�| = |𝑓(�̅�)| ∀�̅� ∈ 𝐸 
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ii) 𝑆 libre ↔ 𝑓(𝑆) libre, siendo 𝑆 un sistema de vectores ortogonales dos a dos de 𝐸. 
iii) 𝑉 ⊥ 𝑊 ↔ 𝑓(𝑉) ⊥ 𝑓(𝑊), siendo 𝑉,𝑊 dos subespacios vectoriales de 𝐸. 
iv) Si 𝐴 es la matriz de 𝑓 se tiene que |𝐴| = ∓1. Además, si 𝜆 es un autovalor de 𝐴 asociado al 
autovector 𝑢� se tiene que: 
|𝑓(𝑢�)| = |𝜆𝑢�| = |𝜆||𝑢�| 
y aplicando la propiedad i) resulta: 
|𝑓(𝑢�)| = |𝑢�| 
igualando ambas expresiones se llega a |𝜆| = 1, por lo que los únicos autovalores reales 
posibles de 𝐴 son 1 y −1. 
v) De la propiedad iv) se sigue que |𝐴| ≠ 0 por lo que 𝑓 es inyectiva y, por ser un 
endomorfismo, también será suprayectiva. Por tanto, se tiene que 𝑓 es biyectiva. 
vi) De la propiedad v) se sigue que 𝑓−1 existe como aplicación lineal. De hecho, 𝑓−1 también 
es una transformación ortogonal cuya matriz asociada es 𝐴−1 
vii) La composición de transformaciones ortogonales es una transformación ortogonal cuya 
matriz es el producto de las matrices de las transformaciones ortogonales de la composición. 
8.4- Clasificación de las transformaciones ortogonales. 
Es muy importante conocer la clasificación de las transformaciones ortogonales en dimensión 
tres, ya que es probable que en el examen final haya alguna pregunta que requiera clasificar 
transformaciones ortogonales para resolverla. La clasificación en dimensión dos también es 
importante porque, aunque es mucho menos probable que haya que utilizarla en el examen, 
ayuda bastante a entender la clasificación en dimensión 3. 
 8.4.1- Espacio euclídeo de dimensión 1. 
Sea 𝐸 = 𝐿{𝑢�1}. Como los únicos autovalores reales posibles de 𝑓 son ±1 se tiene que, si no 
consideramos autovalores complejos, las únicas posibilidades son: 
i) 𝑓(𝑢�1) = 𝑢�1, en cuyo caso 𝑓 es la aplicación identidad. 
ii) 𝑓(𝑢�1) = −𝑢�1, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto del origen. 
8.4.2- Espacio euclídeo de dimensión 2. 
Sea 𝐸 = 𝐿{𝑢�1,𝑢�2}, siendo 𝐵 = {𝑢�1,𝑢�2} una base ortonormal de 𝐸. Sea 𝐴 la matriz de 𝑓 en la 
base 𝐵. Tenemos dos posibilidades: 
i) |𝐴| = 1, en este caso la matriz 𝐴 se puede poner de la forma: 
𝐴 = �cos𝛼 − sin𝛼sin𝛼 cos𝛼 � 
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y la transformación ortogonal 𝑓 es un giro de ángulo 𝛼 alrededor del origen en sentido 
antihorario. 
Algunos casos particulares interesantes son 𝛼 = 0 en cuyo caso 𝑓 es la aplicación identidad y 
𝛼 = 𝜋 en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto del origen. 
ii) ) |𝐴| = −1, en este caso la matriz 𝐴 se puede poner de la forma: 
𝐴 = �cos𝛼 sin𝛼sin𝛼 −cos𝛼� 
y la transformación ortogonal 𝑓 es una simetría respecto de un eje. 
Algunos casos particulares interesantes son 𝛼 = 0 en cuyo caso 𝑓 es la una simetría respecto 
al eje 𝑢�1 y 𝛼 = 𝜋 en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto al eje 𝑢�2. 
Para calcular el eje de dicha simetría basta con calcular la forma canónica de Jordan de la 
matriz 𝐴, ya que dicho eje permanece invariante por la acción de 𝑓. Esto implica que el eje es 
el autovector asociado al autovalor 1. De hecho, la forma canónica de Jordan de la matriz 𝐴 es 
de la forma: 
𝐽 = �1 00 −1� 
- Ejemplo: consideremos la aplicación 𝑓:ℝ2 → ℝ2 definida como: 
𝑓(𝑥,𝑦) = (
3
5
𝑥 +
4
5
𝑦,
4
5
𝑥 −
3
5
𝑦) 
Decir si 𝑓 es una transformación ortogonal y, en caso afirmativo, describirla. 
La matriz de 𝑓 en la base canónica de ℝ2 es: 
𝐴 = �
3
5
4
5
4
5
−3
5
� 
y sus columnas tienen módulo uno y el producto escalar de la primera con la segunda es cero, 
por lo que 𝑓 es una transformación ortogonal (también podríamos comprobar que se cumple 
que 𝐴𝑡 = 𝐴−1) 
Además, se tiene que |𝐴| = −1, por lo que 𝑓 es una simetría respecto de un eje. Para calcular 
dicho eje calculamos el autovector asociado a 𝜆 = 1: 
(𝐴 − 𝐼) �
𝑥
𝑦� = �
−2
5
4
5
4
5
−8
5
��
𝑥
𝑦� = �
0
0� 
de donde obtenemos la ecuación 2𝑥 = 4𝑦 por lo que el subespacio invariante buscado es 
𝑁1,1 = 𝐿{(2,1)} luego 𝑓 es una simetría respecto de la recta que pasa por el origen y tiene 
como vector director (2,1). 
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- Observación: es sencillo demostrar que toda transformación ortogonal en dimensión dos 
tiene que ser alguna de las dos opciones descritas anteriormente. Si 𝐴 es la matriz de una 
transformación ortogonal en dimensión dos tenemos que: 
𝐴𝐴−1 = 𝐴𝐴𝑡 = 𝐼 
Si tomamos 𝐴 = �𝑎 𝑏𝑐 𝑑� entonces la igualdad anterior equivale a: 
𝑎2 + 𝑏2 = 1 
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 = 0 
𝑐2 + 𝑑2 = 1 
 
La expresión 𝑎2 + 𝑏2 = 1 implica que podemos poner 𝑎 = cos(𝛼) , 𝑏 = sin (𝛼) (estamos 
“parametrizando” una circunferencia de centro 0 y radio 1 en coordenadas polares). De forma 
análoga podemos poner 𝑐 = cos(𝛽) ,𝑑 = sin (𝛽) y la ecuación 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 = 0 queda: 
 
cos(𝛼) cos(𝛽) − sin(𝛼) sin(𝛽) = 0 
y como: 
cos(𝛼) cos(𝛽) − sin(𝛼) sin(𝛽) = cos (𝛼 + 𝛽) 
necesariamente tiene que ser 𝛼 + 𝛽 = 𝜋
2
 o bien 𝛼 + 𝛽 = 3𝜋
2
 . En uno de los casos se obtiene un 
giro de un cierto ángulo alrededor del origen y en el otro se obtiene una simetría respecto de 
una recta que pasa por el origen. Os invito a que completéis la demostración dejando todo en 
función de 𝛼 y paséis unos minutos pensando de forma un poco más matemática. 
8.4.3- Espacio euclídeo de dimensión 3. 
Sea 𝐴 la matriz de 𝑓 en la base 𝐵. Tenemos varias posibilidades: 
i) Si |𝐴| = 1 tenemos que las posibles formas canónicas de Jordan son: 
 𝐽 = �
1 0 0
0 1 0
0 0 1
�, en cuyo caso 𝑓 es la identidad. 
𝐽 = �
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto al eje dado por el 
autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1. 
𝐽 = �
1 0 0
0 cos𝛼 − sin𝛼
0 sin𝛼 cos𝛼
�, en cuyo caso 𝑓 es un giro de ángulo 𝛼 en sentido 
antihorario alrededor del eje dado por el autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1. 
ii) Si |𝐴| = −1 tenemos que las posibles formas canónicas de Jordan son: 
 𝐽 = �
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto del origen. 
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𝐽 = �
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto al plano que pasa por el 
origen y tiene como vector normal el autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1. 
𝐽 = �
−1 0 0
0 cos𝛼 − sin𝛼
0 sin𝛼 cos𝛼
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto al plano que pasa 
por el origen y tiene como vector normal el autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1 
seguida de un giro de ángulo 𝛼 en sentido antihorario alrededor del eje dado por el 
autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1. 
- Ejemplo: consideremos ℝ3 con el producto escalar usual y las aplicaciones 𝑓,𝑔:ℝ3 → ℝ3 
definidas de la siguiente manera:𝑓�𝑒1� − √3𝑒3� � = −2𝑒3� 
𝑓(𝑒2� ) = 𝑒2� 
𝑓�√3𝑒1� + 𝑒3� � = 2𝑒1� 
𝑔(𝑒1� ) = 𝑒1� 
𝑔(𝑒2� ) = −𝑒2� 
𝑔(𝑒3� ) = 𝑒3� 
Siendo 𝐵𝑐 = {𝑒1� , 𝑒2� , 𝑒3� } la base canónica de ℝ3. 
a) Ver que 𝑓,𝑔 son transformaciones ortogonales y describirlas. 
b) Describir la transformación ortogonal ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔. 
a) Operando en las expresiones de 𝑓 se sigue sin dificultad que 𝑓(𝑒1� ) =
√3
2
𝑒1� −
1
2
𝑒3� , 
𝑓(𝑒3� ) =
1
2
𝑒1� +
√3
2
𝑒3� por lo que la matriz de 𝑓 en la base 𝐵𝑐 es: 
𝐴 =
⎝
⎜
⎛
√3
2
0
1
2
0 1 0
−
1
2
0
√3
2 ⎠
⎟
⎞
 
es claro que las columnas son ortogonales entre si y tienen módulo 1, por lo que 𝑓 es una 
transformación ortogonal. Además se tiene que |𝐴| = 1, y la matriz 𝐴 tiene el autovalor 1 
(simple) y dos autovalores complejos por lo que se sigue que 𝑓 es un giro de 30º en sentido 
horario alrededor del eje 𝑂𝑌, que viene dado por el autovector asociado al autovalor 1. 
Por otra parte, es claro que la matriz de 𝑔 en la base 𝐵𝑐 es: 
𝐵 = �
1 0 0
0 −1 0
0 0 1
� 
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Las columnas son ortogonales entre sí y tienen módulo 1, por lo que 𝑔 es una transformación 
ortogonal. Además, en este caso es claro que los autovalores son 1 (doble) y −1 (simple) por lo 
que 𝑔 es una simetría respecto del plano 𝑦 = 0 (que es el plano que pasa por el origen y tiene 
como vector normal el autovector asociado al autovalor −1). 
b) Si denotamos por 𝐶 a la matriz de ℎ en 𝐵𝑐 tenemos que: 
𝐶 = 𝐴𝐵 =
⎝
⎜
⎛
√3
2
0
1
2
0 1 0
−
1
2
0
√3
2 ⎠
⎟
⎞
�
1 0 0
0 −1 0
0 0 1
� =
⎝
⎜
⎛
√3
2
0
1
2
0 −1 0
−
1
2
0
√3
2 ⎠
⎟
⎞
 
tenemos que |𝐶| = −1, y los autovalores de 𝐶 son −1 (simple) y dos autovalores complejos, 
por lo que se trata de una simetría respecto del plano 𝑦 = 0 seguida de un giro de 30º en 
sentido horario alrededor del eje 𝑂𝑌 (se trata del último caso descrito en el subapartado 8.4.3) 
- Ejemplo (prueba de clase 2004-2005): 
Sea la matriz 𝑀 =
⎝
⎜
⎛
𝑎 −2
3
− 2
3
𝑏 1
3
− 2
3
− 2
3
− 2
3
1
3 ⎠
⎟
⎞
, se pide: 
a) Hallar los valores reales de 𝑎 y 𝑏 para que la matriz 𝑀 sea la matriz de una transformación 
ortogonal 𝐹. 
b) Para los valores obtenidos en el apartado anterior, clasificar dicha transformación 
ortogonal. 
a) Imponemos la condición de que las columnas sean ortogonales y obtenemos el sistema de 
ecuaciones: 
−
2
3
𝑎 +
1
3
𝑏 = −
4
9
 
−
2
3
𝑎 −
2
3
𝑏 =
2
9
 
Resolviendo el sistema se obtiene 𝑏 = −2
3
 y 𝑎 = 1
3
. Es sencillo comprobar que para dichos 
valores de 𝑎 y 𝑏 todas las columnas tienen módulo 1. 
b) Tenemos que |𝑀| = −1, y los autovalores de 𝑀 son 1 (doble) y −1 (simple) por lo que 𝐹 es 
una simetría respecto del plano que tiene como vector normal el autovector asociado a −1 y 
que pasa por el origen. Calculamos dicho autovector: 
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(𝑀 + 𝐼)�
𝑥
𝑦
𝑧
� =
⎝
⎜
⎜
⎛
4
3
−
2
3
−
2
3
−
2
3
4
3
−
2
3
−
2
3
−
2
3
4
3 ⎠
⎟
⎟
⎞
�
𝑥
𝑦
𝑧
� = �
0
0
0
� 
Operando resulta 𝑁1,−1 = 𝐿{(1,1,1)} por lo que 𝐹 es una simetría respecto del plano 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0. 
PARTE B: TRANSFORMACIONES AFINES 
8.5- Definición de aplicación afín. 
Sea 𝐴 un espacio afín asociado al espacio vectorial 𝐸. Diremos que una aplicación 𝑓:𝐴 → 𝐴 es 
una aplicación afín si ∀𝑥 ∈ 𝐴 se verifica que: 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝) + 𝐹(𝑝𝑥���) 
siendo 𝑝 un punto cualquiera de 𝐴, 𝑝𝑥��� el vector de 𝐸 que empieza en 𝑝 y acaba en 𝑥 y 
𝐹:𝐸 → 𝐸 un endomorfismo de espacios vectoriales. Diremos que dicho endomorfismo 𝐹 está 
asociado a la aplicación afín 𝑓. 
- Ejemplo: sea 𝐴 = ℝ3. Ver que la traslación de vector �̅� = (𝑣𝑥 ,𝑣𝑦,𝑣𝑧) es una aplicación afín. 
Sea 𝑥 un punto de ℝ3, y sea 𝑂 en origen de coordenadas de ℝ3. Tenemos que: 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + �̅� = 𝑂 + 𝑂𝑋���� + �̅� = 𝑂𝑋���� + �̅� = 𝑓(𝑂) + 𝑂𝑋���� 
por tanto si denominamos por 𝐹 al endomorfismo identidad se tiene que: 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑂) + 𝐹(𝑂𝑋����) 
lo que implica que una dicha traslación es una aplicación afín que tiene asociado el 
endomorfismo identidad. 
8.6- Definición de transformación afín. 
Diremos que una aplicación 𝑓:𝐴 → 𝐴 es una transformación afín si 𝑓 es una aplicación afín 
cuyo endomorfismo asociado 𝐹 es biyectivo. 
8.7- Definición de punto doble o invariante. 
Sea 𝑓:𝐴 → 𝐴 una transformación afín. Diremos que un punto 𝑥 ∈ 𝐴 es un punto invariante o 
punto doble si se verifica que 𝑓(𝑥) = 𝑥. 
8.8- Propiedades de las transformaciones afines. 
i) 𝑓 es una transformación afín ↔ 𝑓−1 es una transformación afín. 
ii) La composición de transformaciones afines es una transformación afín. 
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iii) Una transformación afín tiene cero, uno o infinitos puntos dobles. 
8.9- Representación matricial de una transformación afín. 
Sea 𝑅 = {𝑂; 𝑒1� , 𝑒2� , … , 𝑒𝑛���} una referencia afín de un espacio afín 𝐴 de dimensión 𝑛. Sean 
(𝑥1,𝑥2, … , 𝑥𝑛) las coordenadas de un punto 𝑥 ∈ 𝐴 en 𝑅 y sean (𝑦1,𝑦2, … ,𝑦𝑛) las coordenadas 
de 𝑓(𝑥) en 𝑅. Como se verifica que: 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝) + 𝐹(𝑝𝑥���) 
para cualquier 𝑝 ∈ 𝐴 podemos tomar 𝑝 como el origen de la referencia 𝑅 (vamos, 𝑝 = 𝑂) y 
tenemos: 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑂) + 𝐹(𝑜𝑥���) = 𝑓(𝑂) + 𝐹(�̅�) 
Si denotamos por (𝑏1,𝑏2, … , 𝑏𝑛) a las coordenadas de 𝑓(𝑂) en la referencia 𝑅 y por 
�
𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑛1
𝑎12 𝑎22 … …
… … … …
𝑎1𝑛 … … 𝑎𝑛𝑛
� a la matriz del endomorfismo 𝐹 en la base 𝐵 = {𝑒1� , 𝑒2� , … , 𝑒𝑛���} 
podemos expresar la ecuación anterior en forma matricial obteniendo: 
�
𝑦1
𝑦2
…
𝑦𝑛
� = �
𝑏1
𝑏2
…
𝑏𝑛
�+ �
𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑛1
𝑎12 𝑎22 … …
… … … …
𝑎1𝑛 … … 𝑎𝑛𝑛
��
𝑥1
𝑥2
…
𝑥𝑛
� 
que se puede expresar de forma más cómoda de la forma: 
⎝
⎜
⎛
1
𝑦1
𝑦2
…
𝑦𝑛⎠
⎟
⎞
=
⎝
⎜
⎛
1 0 0 … 0
𝑏1 𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑛1
𝑏2 𝑎12 𝑎22 … …
… … … … …
𝑏𝑛 𝑎1𝑛 … … 𝑎𝑛𝑛⎠
⎟
⎞
⎝
⎜
⎛
1
𝑥1
𝑥2
…
𝑥𝑛⎠
⎟
⎞
 
Por lo que diremos que la matriz 𝐶 =
⎝
⎜
⎛
1 0 0 … 0
𝑏1 𝑎11 𝑎21 … 𝑎𝑛1
𝑏2 𝑎12 𝑎22 … …
… … … … …
𝑏𝑛 𝑎1𝑛 … … 𝑎𝑛𝑛⎠
⎟
⎞
 es la matriz de la 
transformación afín 𝑓 en la referencia 𝑅. 
- Ejemplo: sea 𝐴 = ℝ3. Calcular la matriz de una traslación de vector �̅� = (𝑣𝑥,𝑣𝑦,𝑣𝑧) en la 
referencia 𝑅 = {(0,0,0); (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. 
Tenemos 𝑓(0) = (𝑣𝑥,𝑣𝑦,𝑣𝑧), y hemos visto que el endomorfismo asociado 𝐹 es la identidad 
por lo que la matriz pedida es: 
�
1 0 0 0
𝑣𝑥 1 0 0
𝑣𝑦 0 1 0
𝑣𝑧 0 0 1
� 
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- Ejemplo: sea 𝐴 = ℝ3. Calcular la matriz de una homotecia de centro 𝑃 = (𝑝𝑥 ,𝑝𝑦,𝑝𝑧) y razón 
𝑘 en la referencia 𝑅 = {(0,0,0); (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, sabiendo que la imagen de un punto 
𝑥 ∈ ℝ3 por una homotecia 𝑓 de razón 𝑘 y centro 𝑃 viene dada por: 
𝑓(𝑥) = 𝑃 + 𝑘𝑃𝑋���� 
Tenemos que 𝑓(𝑥) = 𝑃 + 𝑘𝑃𝑋���� = 𝑃 + 𝐹(𝑃𝑋����) por lo que el endomorfismo asociado a 𝑓 tiene 
por matriz 𝑘𝐼. Nos queda calcular la imagen del origen: 
𝑓(0,0,0) = �𝑝𝑥 ,𝑝𝑦,𝑝𝑧� + 𝑘�−𝑝𝑥 ,−𝑝𝑦,−𝑝𝑧� = (1 − 𝑘)�𝑝𝑥 ,𝑝𝑦,𝑝𝑧� 
por tanto la matriz buscada es: 
�
1 0 0 0
(1 − 𝑘)𝑝𝑥 𝑘 0 0
(1 − 𝑘)𝑝𝑦 0 𝑘 0
(1 − 𝑘)𝑝𝑧 0 0 𝑘
� 
8.10- Movimientos. 
Diremos que una transformación afín 𝑓:𝐴 → 𝐴 es un movimiento si su endomorfismo asociado 
𝐹 es una transformación ortogonal. 
- Ejemplo: una traslación de vector �̅� = (𝑣𝑥 ,𝑣𝑦,𝑣𝑧) en ℝ3 es un movimiento, ya que su 
endomorfismo asociado es la identidad, que es una transformación ortogonal. 
- Ejemplo: una homotecia de razón 𝑘 sólo será un movimiento si 𝑘 = ±1 , ya que si 𝑘 ≠ ±1 su 
endomorfismo asociado no es una transformación ortogonal. 
8.11- Puntos dobles de un movimiento. 
Un movimiento puede tener cero, uno o infinitos puntos dobles o invariantes. 
8.12- Clasificación de los movimientos. 
Igual que con las tranformaciones ortogonales, es muy importante tener clara la clasificación 
de movimientos en el espacio afín. La clasificación de movimientos en el plano afín es menos 
importante, pero ayuda a entender las distintas posiblidades del caso tridimensional. 
8.12.1- Movimientos en el plano afín. 
Sea 𝑅 ={𝑂; 𝑒1� , 𝑒2� } una referencia ortonormal. La matriz de un movimiento en el plano afín 
respecto de dicha referencia es: 
𝑀 = �
1 0 0
𝑏1 𝑎11 𝑎12
𝑏2 𝑎21 𝑎22
� 
Siendo 𝐴 = �
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22� su transformación ortogonal asociada. Distinguimos varios casos en 
función de 𝐴. 
Pedro_CC 10 
 
i) Si |𝐴| = 1 entonces tenemos 𝐴 = �cos𝛼 − sin𝛼sin𝛼 cos𝛼 � y tenemos tres posibilidades: 
 - Si 𝛼 = 0 resulta: 
 
𝑀 = �
1 0 0
𝑏1 1 0
𝑏2 0 1
� 
el movimiento es una traslación de vector (𝑏1,𝑏2) (coordenadas en 𝑅) y no tiene 
puntos invariantes. 
- Si 𝛼 = 𝜋 resulta: 
 
𝑀 = �
1 0 0
𝑏1 −1 0
𝑏2 0 −1
� 
el movimiento es una simetría respecto de un punto 𝑃 = (𝑥,𝑦) invariante. 
- Si 𝛼 ≠ 0 y 𝛼 ≠ 𝜋 resulta: 
�
1 0 0
𝑏1 cos𝛼 −sin𝛼
𝑏2 sin𝛼 cos𝛼
� 
 el movimiento es un giro de ángulo 𝛼 en sentido antihorario alrededor de un punto 
 𝑃 = (𝑥,𝑦) invariante. 
ii) Si |𝐴| = −1 entonces tenemos 𝐴 = �cos𝛼 sin𝛼sin𝛼 −cos𝛼� y la forma canónica de Jordan de 
dicha matriz es 𝐽 = �1 00 −1�. Distinguimos dos casos: 
- Si el movimiento no tiene puntos invariantes se trata de una simetría respecto de una 
recta cuyo vector director es el autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1 seguida de una 
traslación en la dirección del el autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1. 
- Si el movimiento tiene infinitos puntos invariantes se trata de una simetría respecto 
de una recta cuyo vector director es el autovector asociado al autovalor 𝜆 = 1. 
8.12.1- Movimientos en el espacio afín. 
Sea 𝑅 = {𝑂; 𝑒1� , 𝑒2� , 𝑒3� } una referencia ortonormal. La matriz de un movimiento en el espacio 
afín respecto de dicha referencia es: 
𝑀 = �
1 0 0 0
𝑏1 𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑏2 𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑏3 𝑎31 𝑎32 𝑎33
� 
Pedro_CC 11 
 
Siendo 𝐴 = �
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
� su transformación ortogonal asociada. Distinguimos varios 
casos en función de 𝐴 y de su forma canónica de Jordan 𝐽. 
i) Si |𝐴| = 1 tenemos las siguientes posibilidades: 
- Si 𝐽 = �
1 0 0
0 1 0
0 0 1
� el movimiento es una traslación de vector (𝑏1, 𝑏2,𝑏3) 
(coordenadas en 𝑅) y no tiene puntos invariantes. 
 
- Si 𝐽 = �
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
� y 𝑀 tiene puntos invariantes el movimiento es una 
simetría respecto una recta que tiene como vector director el autovector 
asociado al autovalor 𝜆 = 1. 
- Si 𝐽 = �
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
� y 𝑀 no tiene puntos invariantes el movimiento es una 
simetría respecto una recta que tiene como vector director el autovector 
asociado al autovalor 𝜆 = 1 seguida de una traslación en la dirección de dicho 
vector. 
 
- Si 𝐽 = �
1 0 0
0 cos𝛼 − sin𝛼
0 sin𝛼 cos𝛼
� y 𝑀 tiene puntos invariantes el movimiento es 
un giro alrededor de una recta que tiene como vector director el autovector 
asociado al autovalor 𝜆 = 1. 
- Si 𝐽 = �
1 0 0
0 cos𝛼 − sin𝛼
0 sin𝛼 cos𝛼
� y 𝑀 no tiene puntos invariantes el movimiento 
es un giro alrededor de una recta que tiene como vector director el autovector 
asociado al autovalor 𝜆 = 1 seguida de una traslación en la dirección de dicho 
vector. 
i) Si |𝐴| = −1 tenemos las siguientes posibilidades: 
- Si 𝐽 = �
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
� y 𝑀 tiene un punto invariante el movimiento es una 
simetría respecto a dicho punto. 
- Si 𝐽 = �
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
� y 𝑀 no tiene puntos invariante el movimiento es una 
simetría respecto a un punto seguida de una traslación. 
Pedro_CC 12 
 
 
- Si 𝐽 = �
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
� y 𝑀 tiene puntos invariantes el movimiento es una 
simetría respecto a un plano que tiene como vector normal el autovector 
asociado al autovalor 𝜆 = −1. 
- Si 𝐽 = �
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
� y 𝑀 no tiene puntos invariante el movimiento es una 
simetría respecto a un plano que tiene como vector normal el autovector 
asociado al autovalor 𝜆 = −1 seguida de una traslación en una dirección 
paralela a dicho plano. 
 
- Si 𝐽 = �
−1 0 0
0 cos𝛼 − sin𝛼
0 sin𝛼 cos𝛼
� y 𝑀 tiene un punto invariante el movimiento 
es una simetría respecto a un plano que tiene como vector normal el 
autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1 seguida de un giro alrededor de una 
recta que tiene como vector director dicho autovector. 
- Si 𝐽 = �
−1 0 0
0 cos𝛼 − sin𝛼
0 sin𝛼 cos𝛼
� y 𝑀 no tiene puntos invariante el movimiento 
es una simetría respecto a un plano que tiene como vector normal el 
autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1 seguida de un giro alrededor de una 
recta que tiene como vector director dicho autovector seguida de una 
traslación en una dirección paralela a dicho plano. 
- Ejemplo: una transformación afín en 𝔸3 transforma los puntos 𝑃1 = (0,0,0), 𝑃2 = (1,1,1), 
𝑃3 = (1,0,1), 𝑃4 = (0,1,1) en los puntos �−
2
3
,−2
3
, 4
3
� , �1
3
, 1
3
, 7
3
� , �− 1
3
, 2
3
, 5
3
� , (2
3
,−1
3
, 5
3
) 
respectivamente. 
a) Calcular la matriz de dicha transformación. 
b) ¿Es 𝑓 un movimiento? en caso afirmativo clasificar dicho movimiento. 
Sea 𝐹 el endomorfismo asociado a 𝑓. Tenemos que: 
𝐹(1,1,1) = 𝑓(1,1,1)− 𝑓(0,0,0) = (1,1,1) 
𝐹(1,0,1) = 𝑓(1,0,1) − 𝑓(0,0,0) = (
1
3
,
4
3
,
1
3
) 
𝐹(0,1,1) = 𝑓(0,1,1) − 𝑓(0,0,0) = (
4
3
,
1
3
,
1
3
) 
de donde se sigue que: 
𝐹(1,0,0) = 𝐹(1,1,1)− 𝐹(0,1,1) = (
−1
3
,
2
3
,
2
3
) 
𝐹(0,1,0) = 𝐹(1,1,1)− 𝐹(1,0,1) = (
2
3
,
−1
3
,
2
3
) 
Pedro_CC 13 
 
𝐹(0,0,1) = 𝐹(1,1,1)− 𝐹(1,0,0) − 𝐹(0,1,0) = (
2
3
,
2
3
,
−1
3
) 
Por tanto la matriz de 𝑓 en la referencia 𝑅 = ((0,0,0); (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) es: 
 
𝑀 =
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
1 0 0 0
𝑏1
−1
3
2
3
2
3
𝑏2
2
3
−1
3
2
3
𝑏3
2
3
2
3
−1
3 ⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
 
 
y como 𝑓(0,0,0) = �− 2
3
,−2
3
, 4
3
� la matriz anterior queda: 
𝑀 =
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
1 0 0 0
−
2
3
−1
3
2
3
2
3
−
2
3
2
3
−1
3
2
3
4
3
2
3
2
3
−1
3 ⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
 
 
b) 𝑓 es un movimiento porque su endomorfismo asociado 𝐹 es una transformación ortogonal 
ya que su matriz 𝐵 =
⎝
⎜
⎛
−1
3
2
3
2
3
2
3
− 1
3
2
3
2
3
2
3
− 1
3⎠
⎟
⎞
 en la base canónica de ℝ3 tiene columnas 
ortonormales respecto del producto escalar usual. 
Además, tenemos que la traza de 𝐵 vale −1, su determinante vale 1 y como la suma de todas 
las columnas de 𝐵 vale 1 se sigue que los autovalores de 𝐵 son 𝜆 = 1 (simple) y 𝜆 = −1 
(doble). Teniendo en cuenta la clasificación de las tranformaciones ortogonales, se sigue que 𝐵 
es una simetría respecto de la recta que pasa por el origen y que tiene como vector director el 
autovector asociado a 𝜆 = 1. Calculamos dicho autovector: 
(𝐵 − 𝐼)�
𝑥
𝑦
𝑧
� =
⎝
⎜
⎜
⎛
−
4
3
2
3
2
3
2
3
−
4
3
2
3
2
3
2
3
−
4
3⎠
⎟
⎟
⎞
�
𝑥
𝑦
𝑧
� = �
0
0
0
� 
operando se obtienen las ecuaciones 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 de donde se sigue que 𝑁1,1 = 𝐿{(1,1,1)}. 
Teniendo en cuenta la clasificación de los movimientos en 𝔸3 se sigue que hay dos 
posibilidades: 
Pedro_CC 14 
 
- Que 𝑓 no tenga puntos invariantes, en cuyo caso es una simetría respecto de una recta que 
tiene como vector director (1,1,1) (que NO tiene que pasar necesariamente por el origen) 
seguida de una traslación en la dirección de dicho vector. 
- Que 𝑓 tenga puntos invariantes, en cuyo caso es una simetría respecto de una recta que tiene 
como vector director (1,1,1) (que tampoco tiene que pasar necesariamente por el origen), y 
en este caso los puntos invariantes son los de dicha recta. 
Por tanto, calculamos los puntos invariantes: 
�
1
𝑥
𝑦
𝑧
� =
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
1 0 0 0
−
2
3
−1
3
2
3
2
3
−
2
3
2
3
−1
3
2
3
4
3
2
3
2
3
−1
3 ⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
�
1
𝑥
𝑦
𝑧
� 
operando resulta que existen puntos invariantes y que son de la forma (0,0,1) + 𝜆(1,1,1). 
Notad que el conjunto de puntos invariantes, si existe, tiene que ser una recta de vector 
director (1,1,1) por lo que si obtenemos que los puntos invariantes no son de esta forma 
significa que hemos cometido un error. 
Por tanto 𝑓 es una simetría respecto de la recta que tiene por ecuación 𝑟 ≡ (0,0,1) +
𝜆(1,1,1). 
- Ejemplo: Sea 𝑓 una transformación afín en 𝔸3 cuyas ecuaciones en la referencia canónica de𝔸3 son: 
𝑥′ = 1 −
1
3
𝑥 +
2
3
𝑦 +
2
3
𝑧 
𝑦′ =
2
3
𝑥 −
1
3
𝑦 +
2
3
𝑧 
𝑧′ = −1 +
2
3
𝑥 +
2
3
𝑦 −
1
3
𝑧 
 
a) Estudiar si 𝑓 es un movimiento. En caso afirmativo clasificarlo. 
b) Se dice un plano es doble si cada uno de sus puntos se transforma mediante 𝑓 en otro punto 
del mismo plano. Calcular un plano doble que pase por el punto (1, 1
2
, 0). 
c) Hallar unas ecuaciones paramétricas de la recta transformada por 𝑓 de la recta de ecuación 
𝑥
1
= 𝑦−2
2
= 𝑧+1
3
. 
 
a) De las ecuaciones del enunciado se sigue que la matriz de 𝑓 en la referencia canónica de 𝔸3 
es: 
Pedro_CC 15 
 
𝑀 =
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
1 0 0 0
1
−1
3
2
3
2
3
0
2
3
−1
3
2
3
−1
2
3
2
3
−1
3 ⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
 
 
por tanto su endomorfismo asociado 𝐹 tiene por matriz 𝐵 =
⎝
⎜
⎛
−1
3
2
3
2
3
2
3
− 1
3
2
3
2
3
2
3
− 1
3⎠
⎟
⎞
. Esto implica 
que 𝑓 es un movimiento puesto que su endomorfismo asociado 𝐹 es una transformación 
ortogonal porque las columnas de 𝐵 son ortogonales respecto del producto escalar usual. 
El endomorfismo 𝐹 es una simetría respecto de la recta que pasa por el origen y tiene como 
vector director (1,1,1) (es el mismo que en el ejemplo anterior). Para clasificar el movimiento 
estudiamos si tiene puntos dobles: 
�
1
𝑥
𝑦
𝑧
� =
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
1 0 0 0
1
−1
3
2
3
2
3
0
2
3
−1
3
2
3
−1
2
3
2
3
−1
3 ⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
�
1
𝑥
𝑦
𝑧
� 
resolviendo el sistema obtenemos que los puntos invariantes son los que pertenecen a la recta 
𝑟 ≡ (2, 3
2
,1) + 𝜆(1,1,1) por lo que 𝑓 es una simetría respecto de dicha recta. 
b) El punto (1, 1
2
, 0) es un punto invariante. Como 𝑓 es una simetría respecto de 𝑟 ≡ (2, 3
2
,1) 
+ 𝜆(1,1,1) el plano doble buscado será el que pasa por (1, 1
2
, 0) y tiene como vector normal 
(1,1,1), que es el vector director de 𝑟. Por tanto, el plano pedido es: 
𝜋 ≡ 1(𝑥 − 1) + 1 �𝑦 −
1
2
� + 1(𝑧 − 0) = 0 
Notad que si restringimos la aplicación lineal 𝑓 a dicho plano obtenemos una simetría respecto 
del punto (1, 1
2
, 0). 
c) La imagen de una recta por la aplicación 𝑓 es otra recta (en general, la imagen de una recta 
por un movimiento es otra recta porque los movimientos conservan distancias y ángulos) por 
lo que basta con calcular la imagen de dos puntos de la recta del enunciado y parametrizar la 
recta que pasa por dichos puntos. 
En concreto, dos puntos de la recta del enunciado son (0,2,−1) y (1,4,2). Sus imágenes son: 
Pedro_CC 16 
 
�
1
5/3
−4/3
2/3
� =
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
1 0 0 0
1
−1
3
2
3
2
3
0
2
3
−1
3
2
3
−1
2
3
2
3
−1
3 ⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
�
1
0
2
−1
� 
 
�
1
14/3
2/3
5/3
� =
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
1 0 0 0
1
−1
3
2
3
2
3
0
2
3
−1
3
2
3
−1
2
3
2
3
−1
3 ⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
�
1
1
4
2
� 
 
por tanto un vector director de la recta imagen será �14
3
, 2
3
, 5
3
� − �5
3
, −4
3
, 2
3
� = (3,2,1) y sus 
ecuaciones paramétricas son: 
𝑥 =
14
3
+ 3𝜆 
𝑦 =
2
3
+ 2𝜆 
𝑧 =
5
3
+ 1𝜆 
 
-Resumen capítulo 8: 
Lo más importante de este capítulo es ser capaz de clasificar transformaciones ortogonales y 
movimientos. Esto incluye ser capaz de clasificar la composición de dos movimientos (que 
tiene que ser otro movimiento) o de dos tranformaciones ortogonales (que tiene que ser otra 
transformación ortogonal). 
En concreto, es muy probable que en el examen final haya un ejercicio de este tema cuyo valor 
oscile entre los 2 y 3 puntos, así que este tema es importante. Para ir bien preparados al 
examen final podéis intentar hacer los ejercicios de examen que he puesto a continuación y 
después los ejercicios de este tema de los exámenes finales de los últimos dos o tres años. Es 
más fácil coger soltura con esto que con el tema de Jordan, por ejemplo. 
- Ejemplo (final junio 2008, 2 puntos ): 
Sea 𝑓1:ℝ3 → ℝ3 una transformación afín y sea 𝐹1:ℝ3 → ℝ3 su transformación lineal asociada. 
Se sabe que: 
i) 𝑓1 deja invariantes los puntos de la recta cuyas ecuaciones implícitas son: 
{𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑧 = 1} 
Pedro_CC 17 
 
ii) 𝐹1(0,1,1) = (−
4
3
, 1
3
, 1
3
), 𝐹1(0,0,1) = (= (−
2
3
, 2
3
,−1
3
) 
Sea 𝑓2:ℝ3 → ℝ3 otra transformación afín y sea 𝐹2:ℝ3 → ℝ3 su transformación lineal asociada. 
Se sabe que: 
iii) 𝑓2(0,0,0) = (0,−2,0) 
iv) 𝐹2 es el endomorfismo identidad. 
Se pide: 
a) Calcular las matrices de 𝑓1 y 𝑓2 en la referencia canónica de ℝ3. ¿Son 𝑓1 o 𝑓2 movimientos? 
en caso afirmativo clasificarlos y dar los elementos geométricos que los determinan. 
b) Definimos 𝑔(𝑥) = −𝑓2(𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ3. ¿Es 𝑔(𝑥) un movimiento? en caso afirmativo 
clasificarlo. 
c) Clasificar el movimiento 𝑓2 ∘ 𝑓1 y dar los elementos geométricos que lo determinan. 
a) Empezaremos por lo más fácil. Como 𝐹2 es el endomorfismo identidad su matriz asociada 
será la matriz identidad. Además tenemos la imagen del origen de la referencia en la que se 
pide calcular la matriz por lo que la matriz de 𝑓2en la referencia canónica es: 
𝐵 = �
1 0 0 0
0 1 0 0
−2 0 1 0
0 0 0 1
� 
Es claro que 𝐹2 es una transformación ortogonal, por lo que 𝑓2 es un movimiento. Además, es 
fácil comprobar que 𝑓2 no tiene puntos invariantes, por lo que teniendo en cuenta la 
clasificación de movimientos en el espacio tridimensional se sigue que 𝑓2 es una traslación de 
vector (0,−2,0). 
Por otra parte, tenemos que: 
𝐹1(0,0,1) = (−
2
3
,
2
3
,−
1
3
) 
𝐹1(0,1,0) = 𝐹1(0,1,1) − 𝐹1(0,0,1) = �−
4
3
,
1
3
,
1
3
� − �−
2
3
,
2
3
,−
1
3
� = (−
2
3
,−
1
3
,
2
3
) 
Necesitamos utilizar la condición i) para obtener el valor de 𝐹1(1,0,0) y de 𝑓1(0,0,0). Tenemos: 
𝐹1(1,0,0) = 𝑓1(1,0,0) − 𝑓1(0,0,0) = (1,0,0) − 𝑓1(0,0,0) 
(pues (1,0,0) es un punto invariante). No parece que podamos encontrar otra ecuación en la 
que aparezca 𝐹1(1,0,0) con la información que tenemos, pero resulta que (0,1,1) es un punto 
invariante y el enunciado nos da 𝐹1(0,1,1) por lo que planteamos la ecuación anterior para el 
punto (0,1,1) y obtenemos: 
�−
4
3
,
1
3
,
1
3
� = 𝐹1(0,1,1) = 𝑓1(0,1,1)− 𝑓1(0,0,0) = (0,1,1)− 𝑓1(0,0,0) 
Pedro_CC 18 
 
de aquí se sigue que 𝑓1(0,0,0) = �
4
3
, 2
3
, 2
3
� y por tanto: 
𝐹1(1,0,0) = 𝑓1(1,0,0)− 𝑓1(0,0,0) = (−
1
3
,−
2
3
,−
2
3
) 
Ya tenemos que la matriz de 𝑓1 pedida es: 
𝐴 =
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
1 0 0 0
4
3
−
1
3
−
2
3
−
2
3
2
3
−
2
3
−
1
3
2
3
2
3
−
2
3
2
3
−
1
3⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
 
Teniendo esto es fácil comprobar que las columnas de la matriz de 𝐹1 en la base canónica de 
ℝ3 tienen módulo 1 y son ortogonales entre sí respecto al producto escalar usual por lo que 𝐹1 
es una transformación ortogonal y 𝑓1 es un movimiento. 
Finalmente, como la matriz 
⎝
⎜
⎛
−1
3
−2
3
− 2
3
− 2
3
− 1
3
2
3
− 2
3
2
3
− 1
3⎠
⎟
⎞
 tiene autovalores 𝜆 = 1 (simple) y 𝜆 = −1 
(doble) se sigue que 𝐹1 es una simetría respecto de la recta cuyo vector director es el 
autovector asociado a 𝜆 = 1 (teniendo en cuenta el enunciado es razonable que 𝐹1 fuese una 
simetría respecto de la recta que pasa por el origen y tiene como vector director el vector 
director de la recta de puntos invariantes de 𝑓1). 
Finalmente, teniendo en cuenta la clasificación de los movimientos en el espacio afín y que 𝑓1 
tiene puntos invariantes se sigue que 𝑓1 es una simetría respecto de la recta de ecuaciones 
implícitas {𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑧 = 1}. 
b) Como tenemos la matriz de 𝑓2 en la referencia canónica y nos dicen que 𝑔(𝑥) = −𝑓2(𝑥) es 
tentador multiplicar la matriz de 𝑓2 por −1 y decir que el resultado obtenido es la matriz de 𝑔 
en la referencia canónica. Sin embargo, dicha matriz tendría un −1 en el elemento de la 
primera fila y de la primera columna lo cual es “raro”, ya que todas las matrices de aplicaciones 
afines que hemos visto tienen un 1 aquí en vez de un −1. 
Vamos a razonarlo un poco: sea (𝑥,𝑦, 𝑧) un punto del espacio afín. Como 𝑓2 es una traslación 
de vector (0,−2,0) su imagen por 𝑓2 será: 
𝑓2(𝑥,𝑦, 𝑧) = (𝑥,𝑦 − 2, 𝑧) 
y como 𝑔(𝑥,𝑦, 𝑧) = −𝑓2(𝑥,𝑦, 𝑧) por el enunciado se sigue que: 
𝑔(𝑥,𝑦, 𝑧) = −(𝑥,𝑦 + 2, 𝑧) = (−𝑥,−𝑦 + 2,−𝑧) 
que podemos poner en laforma: 
Pedro_CC 19 
 
𝑔(𝑥,𝑦, 𝑧) = �
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
��
𝑥
𝑦
𝑧
� + �
0
2
0
� 
y que a su vez podemos poner en la forma: 
𝑔(𝑥,𝑦, 𝑧) = �
1 0 0 0
0 −1 0 0
2 0 −1 0
0 0 0 −1
��
1
𝑥
𝑦
𝑧
� 
la última expresión nos da la matriz de 𝑔 en la base canónica. Teniendo en cuenta esto se sigue 
que su endomorfismo asociado es una simetría respecto del origen y que 𝑔 es una simetría 
respecto del origen seguida de una traslación de vector (0,2,0). 
- Observación: al final la matriz de 𝑔 es “casi” la matriz de 𝑓2 multiplicada por −1. Si uno duda 
en el examen y en sucio multiplica la matriz de 𝑓2 por −1, de forma intuitiva ve que 𝑔 es una 
simetría respecto del origen seguida de una traslación de vector (0,2,0), comprueba que esto 
es cierto calculando las imágenes de un par de puntos y responde algo así como: 
“Como 𝑔(𝑥) = −𝑓2(𝑥) por el enunciado y 𝑓2(𝑥) es una traslación de vector (0,−2,0) se 
deduce inmediatamente que 𝑔(𝑥) es una simetría respecto del origen seguida de una 
traslación de vector (0,2,0)…” seguido de un poco de “rollo” tendría casi toda la puntuación de 
este apartado (tendrá más o menos dependiendo de lo bien que esté el “rollo” para justificar 
que efectivamente 𝑔(𝑥) es una simetría respecto del origen seguida de una traslación de 
vector (0,2,0)). 
Sin embargo, si en el examen en limpio coges la matriz de 𝑓2, la multiplicas por −1 para 
obtener la “matriz” de 𝑔 y utilizas esto en tus razonamientos no obtendrás nada o casi nada de 
puntuación porque está mal multiplicar la matriz de 𝑓2 por −1 para obtener la de 𝑔 y te estás 
basando en algo que es incorrecto. Esto muestra que hay que saber jugar con lo que uno pone 
en un examen para rascar la mayor cantidad de décimas posibles en las preguntas que no se 
tienen muy claras. 
c) Teniendo en cuenta que 𝑓1 es una simetría respecto de la recta que tiene por ecuaciones 
implícitas {𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑧 = 1} y que 𝑓2 es una traslación de vector (0,−2,0) se sigue 
inmediatamente que 𝑓2 ∘ 𝑓1 es una simetría respecto de la recta que tiene por ecuaciones 
implícitas {𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥 + 𝑧 = 1} seguida de una traslación de vector (0,−2,0). Podemos 
expresar el movimiento como una simetría respecto de una recta seguida de una traslación de 
vector paralelo a dicha recta, pero el movimiento seguiría siendo el mismo. 
- Observación: notad que hemos clasificado el movimiento 𝑓2 ∘ 𝑓1 dando los elementos 
geométricos que lo determinan sin hacer ni una sola cuenta. De hecho, es claro que no hay 
nada incorrecto en esta respuesta (alguien podría argumentar que al hacer la composición de 
ambos movimientos el resultado podría ser sólo una simetría respecto de una recta y no haber 
traslación, pero para que esto pasase el vector de la traslación tendría que ser ortogonal al 
vector director de la recta y esto no sucede en este caso). Sí que reconozco que esta respuesta 
podría perder unas décimas de la máxima puntuación y venir acompañada de un comentario 
de “explicar más” en la corrección aunque te permite ahorrarte bastantes cuentas (y tiempo) 
Pedro_CC 20 
 
en el examen. De todas formas, es aconsejable que miréis la solución del moodle de este 
apartado para que sepáis las cuentas que habría que hacer para clasificar la composición de 
varios movimientos (podrían pedirte explícitamente que calculases la nueva recta de simetría y 
el vector de la traslación, por ejemplo). 
Veamos otro ejercicio: 
- Ejemplo (examen final septiembre 2008, 2 puntos): 
Sea 𝑓 un movimiento en ℝ3 con más de un punto fijo y sea 𝐹 su transformación ortogonal 
asociada. Sabemos que la matriz de 𝐹 en la base canónica de ℝ3 es simétrica y de 
determinante −1 y que 𝑓(0,2,1) = (−1,1,1). 
a) Calcular la matriz de 𝑓 en la referencia canónica de ℝ3 y describir el movimiento 
geométricamente. 
b) Hallar un triángulo cuyos vértices 𝐴,𝐵,𝐶 no sean todos puntos fijos de 𝑓 y tal que el 
triángulo formado por los puntos 𝑓(𝐴),𝑓(𝐵),𝑓(𝐶) sea el mismo que el formado por 𝐴,𝐵,𝐶. 
Hallar la ecuación general del plano que pasa por dichos puntos. 
a) No tenemos mucha información ni de 𝑓 ni de 𝐹 así que habrá que ir utilizando en el orden 
adecuado los pocos datos que nos dan. Nos dicen que el determinante de la matriz de 𝐹 es −1 
así que podemos utilizar la clasificación de transformaciones ortogonales en el espacio y 
reducir a tres las posibilidades. Sea 𝐽 la forma canónica de la matriz de 𝐹, las posibilidades son: 
 1) 𝐽 = �
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto del origen. 
2) 𝐽 = �
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto a un plano. 
3) 𝐽 = �
−1 0 0
0 cos𝛼 − sin𝛼
0 sin𝛼 cos𝛼
�, en cuyo caso 𝑓 es una simetría respecto a un plano 
seguida de un giro. 
Por otra parte, nos dicen que la matriz de 𝐹 en la base canónica de ℝ3 es simétrica y sabemos 
(o por lo menos lo hemos visto en un tema anterior) que toda matriz simétrica es 
estrictamente diagonalizable y tiene autovalores reales. Esto implica que podemos descartar la 
posibilidad 3. 
Nos quedan dos datos por usar: sabemos que 𝑓(0,2,1) = (−1,1,1) y que 𝑓 tiene más de un 
punto fijo y tenemos que descartar otra opción. El dato 𝑓(0,2,1) = (−1,1,1) nos puede servir 
para calcular la matriz de 𝑓 una vez que ya conocemos 𝐹, así que intentaremos usar el hecho 
de que 𝑓 tiene más de un punto fijo. Vamos a utilizar la clasificación de los movimientos en el 
espacio afín para ver las posibles matrices de 𝑓 en función de las de 𝐹: 
Pedro_CC 21 
 
1.1) Si 𝐽 = �
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
� y 𝑀 tiene un punto invariante el movimiento es 
una simetría respecto a dicho punto. 
1.2) Si 𝐽 = �
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
� y 𝑀 no tiene puntos invariante el movimiento es 
una simetría respecto a un punto seguida de una traslación. 
2.1) Si 𝐽 = �
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
� y 𝑀 tiene puntos invariantes el movimiento es una 
simetría respecto a un plano que tiene como vector normal el autovector 
asociado al autovalor 𝜆 = −1. 
2.2) Si 𝐽 = �
−1 0 0
0 1 0
0 0 1
� y 𝑀 no tiene puntos invariante el movimiento es una 
simetría respecto a un plano que tiene como vector normal el autovector 
asociado al autovalor 𝜆 = −1 seguida de una traslación en una dirección 
paralela a dicho plano. 
En los casos 1.1, 1.2 y 2.2 el movimiento tiene cero o un punto fijo, por lo que podemos 
descartarlos y deducir que 𝑓 es una simetría respecto de un plano que tiene como vector 
normal el autovector asociado al autovalor 𝜆 = −1. 
Finalmente, nos queda sin usar el dato 𝑓(0,2,1) = (−1,1,1). Como ya sabemos que 𝑓 es una 
simetría respecto de un plano se sigue que el punto 𝐴 = (0,2,1)+(−1,1,1)
2
= (−1
2
, 3
2
, 1) tiene que 
pertenecer al plano de simetría, y que el vector �̅� = (0,2,1)− (−1,1,1) = (1,1,0) es un vector 
normal a dicho plano. Por tanto, el plano de simetría será: 
𝜋 ≡ 1 �𝑥 +
1
2
� + 1 �𝑦 −
3
2
� + 0(𝑧 − 1) = 0 
Para calcular la matriz pedida tomamos un punto 𝑃′ = (𝑥′,𝑦′, 𝑧′) arbitrario y calculamos su 
imagen por 𝑓. La recta que pasa por el punto 𝑃′ y tiene como vector director (1,1,0) tiene por 
ecuaciones paramétricas {𝑥 = 𝑥′ + 𝜆,𝑦 = 𝑦′ + 𝜆, 𝑧 = 𝑧′}. Sustituimos dichas ecuaciones con 
el plano invariante para calcular la intersección entre la recta y dicho plano y resulta: 
1 �𝑥′ + 𝜆 +
1
2
� + 1 �𝑦′ + 𝜆 −
3
2
� = 0 
de donde obtenemos 𝜆 = 1−𝑥
′−𝑦′
2
 por lo que el punto de intersección es: 
𝑃𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = (
1 + 𝑥′ − 𝑦′
2
,
1 − 𝑥′ + 𝑦′
2
, 𝑧′) 
y como el punto simétrico verifica 𝑃𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑃𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜+𝑃′
2
 podemos obtenerlo de esta 
expresión y resulta: 
Pedro_CC 22 
 
𝑃𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 = 2𝑃𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 − 𝑃 = (1 − 𝑦′, 1 − 𝑥′, 𝑧′) 
En conclusión, tenemos que 𝑓(𝑥′,𝑦′, 𝑧′) = (1 − 𝑦′, 1 − 𝑥′, 𝑧′) que en forma matricial 
podemos expresar como: 
�
1
𝑥′
𝑦′
𝑧′
� = �
1 0 0 0
1 0 −1 0
1 −1 0 0
0 0 0 1
��
1
𝑥′
𝑦′
𝑧′
� 
La matriz de la ecuación anterior es la matriz pedida. Parece queesta vez hemos tenido que 
hacer las cuentas, y después de un largo rato sólo hemos resuelto un apartado de un problema 
de dos puntos. Buf… 
b) Afortunadamente este apartado parece fácil una vez hecho el anterior. Podemos tomar los 
puntos 𝐴 = (0,2,1),𝐵 = (−1,1,1) y 𝐶 un punto cualquiera del plano invariante que no esté 
alineado con los otros dos. Tomamos 𝐶 = (−1
2
, 3
2
, 0) , por ejemplo. 
Como 𝑓(𝐴) = 𝐵,𝑓(𝐵) = 𝐴,𝑓(𝐶) = 𝐶 se sigue que el triángulo de vértices 𝑓(𝐴),𝑓(𝐵),𝑓(𝐶) es 
el mismo que el triángulo de vértices 𝐴,𝐵,𝐶. 
Un vector normal al plano vendrá dado por el producto vectorial 𝐴𝐵���� × 𝐴𝐶���� = (1,−1,0) por lo 
que el plano pedido es: 
𝜋2 = 1(𝑥 + 1) − 1(𝑦 − 1) = 0 
(podemos tomar cualquiera de los tres puntos para calcular la ecuación del plano)