Guía de Magnitudes Proporcionales

Vista previa del material en texto

Colección Temas Selectos 
 
ogololo galerias 
Teoría y práctica 
 
ls 
1 a 
[de da 
NUS o yA VEO [0 o
 
 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores O 
Magnitudes 
proporcionales 
twitter.com/calapenshko 
Arturo Sánchez Vásquez Lumbreras 
Editores 
 
 
twitter.com/calapenshko 
Magnitudes proporcionales 
Autor: Arturo Sánchez Vásquez 
0 Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Diseño y dlsgramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
O Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Av. Alfonso Ugarte N.* 1426, Breña. Lima-Perú. Telefax: 01-332 3786 
Para su sello editorial Lumbreras Editores 
Página web: www.elumbreras.com.pe 
Primera edición: septiembre de 2014 
Primera reimpresión: noviembre de 2017 
Tiraje: 1000 ejemplares 
ISBN: 978-612-307-409-8 
Registro del proyecto editorial N.? 31501051700823 
“Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú” N.” 2017-09491 
Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados D. LEG. N.* 822 
Distribución y ventas al por mayor y menor 
Teléfonos: Lima: 01-332 3786 / Provincia: 01-433 0713 
< ventas € elumbreras.com.pe 
Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación 
Fondo de Investigadores y Editores en el mes de noviembre de 2017. 
Calle Las Herramientas N.* 1873 / Av. Alfonso Ugarte N.* 1426, Lima-Perú, 
Teléfono: 01-336 5889
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 7 
ÓN. 9 
NOCIONES GENERALES DE LAS MAGNITUDES PROPORCIONALES 
Le IE creer 11 
A A 11 
3. Relaciones entre magnitudes DA 11 
3.1. Magnitudes directamente proporcionales (DP) .......ccancoccinianionoincionemscmmsasó 11 
3.2. Magnitudes inversamente proporcionales (IP) ......iciconnicininninsicimctesms 15 
4. Propiedades de las magnitudes proporcionales .........occcccccm. US 18 
Problemas resueltos 
A A 21 
Nivel intermedio ........ . 30 
NIOIDNTADO. on NN msi | 7 
Problemas propuestos 
WivelDÍSICO uu: . 43 
Nivel intermedio .................. o 46 
Nivel IVINZTADO -....coicrriccinicncnicinanrnecinnaniciinanonaddiicina An 48 
"MW APLICACIONES DE LAS MAGNITUDES PROPORCIONALES oia 51 
Problemas resueltos 
Nivel DI cn 58 
Nivel intermedio A 
Nivel avanzado A e E 
Problemas propuestos 
Miel DO vsciiiicia 104 
Nivel intermedio... A ia 109 
Nivel avanzado ....... sa ¿12 
ES e mero 117 
"M BIBLIOGRAFÍA . ao 118
+ PRESENTACIÓN 
O Ml : 
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de 
Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Magnitudes 
proporcionales, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde 
se realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias. 
La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los 
alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus 
conocimientos en temas especificos en los cursos de matemáticas, ciencias 
naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores 
abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque 
didáctico y cuidadoso en la relación teoria-práctica. 
Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor 
profundización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, 
por eso nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar 
una nutrida colección que permita mantener el reconocimiento y la 
confianza de los estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con 
ejercicios aplicativos y problemas resueltos y propuestos por niveles. 
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha 
significado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profe- 
sionales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro 
anhelo de una educación científica y humanística integral. En este proceso, 
deseamos reconocer la labor del profesor Arturo Sánchez Vásquez, de la 
plana de Aritmética de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en 
la elaboración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la 
enseñanza preuniversitaria. 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
+ INTRODUCCIÓN 
errar A ¿E 
Desde la Antigúedad, el hombre ha utilizado las matemáticas como una he- 
rramienta para su desarrollo. Las primeras referencias de las matemáticas 
organizadas y avanzadas aparecen en Babilonia y Egipto, en donde las mate- 
máticas estaban gobernadas por la aritmética (ciencia de los números) y la 
geometría (ciencia de las formas y de las relaciones espaciales). Siglos des- 
pués, los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilónicos 
y los egipcios, y su mayor innovación fue la invención de las matemáticas 
abstractas. 
En la historia de las matemáticas, como se sabe, Thales de Mileto, con- 
'siderado uno de los siete sabios de Grecia, fue quien calculó la altura de la 
gran pirámide de Gizeh (Keops) a partir de la sombra que proyectaba. Hay 
varias versiones de cómo lo hizo: Diógenes Laercio (tomando como fuente a 
Jerónimo) afirma que midió su altura observando la longitud de su sombra 
en el momento en que la sombra de Thales era igual a su altura; Plinio dice 
lo mismo, aunque en vez de recurrir a la altura y la sombra de Thales, supone 
que tomó como referencia las de determinados objetos; Plutarco, en fin, 
relata que usó como elemento auxiliar un bastón colocado verticalmente y 
estableció una relación de proporcionalidad entre los lados de los triángu- 
los determinados por la pirámide y sombra y el bastón y la suya. 
Quise empezar el libro con esta historia para apreciar la necesidad que 
siempre se tuvo de comparar cantidades y, sobre todo, establecer relacio- 
nes de proporcionalidad entre ellas, lo cual seguimos haciendo de manera 
cotidiana, como por ejemplo cuando se toma en cuenta la relación en que 
interviene la cantidad de cada ingrediente al preparar un pastel, la cantidad 
de dinero que pagamos por un artículo depende de la cantidad de artículos 
que compramos, el tiempo que se emplea en pintar una pared depende del 
área que se va a pintar, entre otros. 
El presente libro está pensado para estudiantes que se inician en el 
estudio de las magnitudes proporcionales así como para los que necesiten 
afianzar su conocimiento en esta materia, de tal manera que puedan enfren- 
tar sin dificultades problemas donde intervengan las magnitudes proporcio- 
nales no solo en Aritmética sino también en los otros cursos de matemática, 
Fisica y Química, y en la vida diaria.
El contenido de la presente obra está organizado de la siguiente manera: 
en la primera parte de la teoría hago una explicación clara y sencilla de las 
nociones básicas de las magnitudes proporcionales a través de ejemplos y 
aplicaciones, luego encontrará una gran cantidad de problemas resueltos 
clasificados por niveles (básico, intermedio y avanzado) y explicados de ma- 
nera didáctica, y después los problemas propuestos. Ya con más experien- 
cia en el tema, presento una segunda parte de la teoría que comprende el 
cómo se aplican las magnitudes proporcionales en los casos más comunes 
a nivel preuniversitario y de la misma forma vienen los problemas resueltos 
y propuestos. Recomiendo que siga el orden indicado ya que el libro está 
elaborado con una secuencia: de lo sencillo a lo complejo. 
Finalmente, agradezco a Lumbreras Editores por el apoyo y la confianza 
para la elaboración de dicha publicación. Con lo presentado, espero cubrir 
las expectativas de los lectores y envolverlos en el maravilloso mundo de la 
aritmética. 
 
F NOCIONES GENERALES DE LAS 
MAGNITUDES PROPORCIONALES | 
Sr IAEA ass 
H
r
 
iittercomicalanensliko 
MAGNITUD 
 
Se define magnitud matemática como toda aquella que tiene la propiedad de experimentar una va- 
riación de su valor (ya sea aumento o disminución), pero siempre que dichavariación pueda medirse. 
CANTIDAD 
 
Es un valor particular que toma una magnitud en un determinado momento del análisis. 
Ejemplos 
 
 
e Tiempo * 24min:5h 
* Longitud * 20m;32km 
+ Número de obreros + 10; 140 
* Eficiencia de los obreros +. 50%; 80% 
RELACIONES ENTRE MAGNITUDES 
 
3.1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP) 
Ejemplo 
Analizando el recorrido de un móvil en 4 horas, tenemos 
+3 x3 
 
1480 | 720 
| 120 | 180 
 
 
 
+ 3 
11
 
Observamos que al aumentar o disminuir el va- 
lor de una de las magnitudes, el valor de la otra 
también aumenta o disminuye en la misma pro- 
porción, respectivamente. Entonces decimos 
que (espacio) DP (rapidez), o que (rapidez) DP 
(espacio), o que simplemente dichas magnitu- 
des son proporcionales. 
Luego, al dividir los valores del espacio entre 
los valores correspondientes de la rapidez, o 
viceversa, en cada caso el cociente es siempre 
constante. 
Ejemplo 
valores del espacio 
—————————— =constante 
valores de la rapidez 
80 120 240 480 720 
20 30 60 120 180 
En general, si A y B son dos magnitudes 
 
valor de 4 
valor de B 
ADPB E =constante 
 
Además, como analizamos en el ejemplo ante- 
rior, tenemos que 4 DP B equivale a 8 DP A. 
APLICACIÓN 1 
Sean A y B dos magnitudes, tal que A DP 8?, 
Calcule el valor de A cuando el de B es 12 sa- 
biendo que el valor de A es 90 cuando el de B 
es 18. 
12 
Resolución 
Se tiene 
 
loo lx 
dq Rae 
30 (18 |12 
 
 
Si A DP 8? entonces 
valor de A 
———-—, = constante 
valor de B? 
Reemplazamos sus valores 
90 Xx 
=> x10 E =7 0 
=> x=40 
Por lo tanto, el valor de 4 es 40. 
Otra forma 
En los problemas de magnitudes, siempre que 
se pueda y sea conveniente, es suficiente traba- 
jar solo con la relación en la cual se encuentran 
los valores de las magnitudes. 
 
 
 
Veamos 
B| Já | 2 
Reemplazamos 
90 x 
xo (5=>7):0 
=> x=40 
Por lo tanto, el valor de A es 40.
 
 
 
 
 
e MAGNITUDES PROPORCIONALES 
APLICACIÓN 2 x 
Un niño tarda 40 min para pintar un círculo de, 83 
4 m de radio. ¿Cuánto tardará para pintar otro 
círculo de 6 m de radio? 
Resolución 
En primer lugar identificamos las magnitudes. 
¿Qué está variando? — El tiempo y la longitud 
del radio 
Ahora en el contexto del problema, lo que se 
hará es pintar el área del círculo. Entonces te- 
nemos que comparar el área y el tiempo, que 
es lo mismo que comparar el tiempo y el área. 
Por ejemplo, para pintar un área mayor se em- 
plea más tiempo, o en más tiempo se pintará 
más área. 
a DP en 
; 
Sabemos que lo que se dividen son sus valores, 
pero lo indicaremos solo así: 
tiempo 
área 
 
=constante 
 
 
A 
y 
"w Recu 
 
40 x 
«10 (==xz x10 
2? y 
=> x=90 
Por lo tanto, tardará 90 min para pintar otro 
circulo de 6 m de radio. 
w O bservación ,. 
 
Ejemplo 
Sean A y 8 dos magnitudes, tal que A DP B, 
Se muestran a continuación algunos de sus va- 
lores: 
 
 
Alo |9l15|y 
 5 . 0 Ln s 
valor de A _ 
=constante 
valor de B 
13
O e 
 
 
 
 
Gráficamente 
AjY 
AI5)=5K=15 b-----========-- 
¡La pendiente 
flo) =xK=y [--------=-=-=- Ei oa 
pon | 
ASI=3KES [=== 1 + constante 
f2)=2K=6 |------ poa 
=3 
xXx 5 
 
Entonces, fes llamada función de proporciona- 
lidad directa. 
— Fed_, 
Xx 
APLICACIÓN 3 
F(3)-f14) Halle el valor de A= =— 
FM FS) 
siendo fix) una función de proporcionalidad di- 
recta y f(10)=7. 
Resolución 
Como f(x) es una función de proporcionalidad 
directa, entonces flx)=xK (K es constante). 
Luego f(10)=7 — 10K=7 —= K= 
Además f3)=3K; f(4)=4K; AI5)=5K; [7)=7K 
14 
Reemplazamos en R 
2 
y BK6K) _ (8k) 44x 
7TK-5K fK) 
+ r=6k=6[)=0, 
10 
Por lo tanto, el valor de A es 4,2. 
 
MAGNITUDES PROPORCIONALES 
 
3.2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPOR- 
CIONALES (IP) 
Ejemplo 
Analizando el recorrido de 360 km de un móvil, 
tenemos 
+3 x3 
 
 
 
 
:60:| 120 |.180 
312 
+2 
+3 
Observamos que al aumentar o disminuir el va- 
lor de una de las magnitudes, el valor de la otra 
disminuye o aumenta en la misma proporción, 
respectivamente. Entonces decimos que (rapi- 
dez) IP (tiempo) o que (tiempo) IP (rapidez). 
Luego, al multiplicar los valores de la rapidez 
por los valores correspondientes del tiempo,.o 
viceversa, en cada caso el producto es siempre 
constante, 
Ejemplo 
valores de valores del =constante 
la rapidez tiempo 
> (20)(18)=(30)(12)=(60)(6)= 
=(120)(3)=(180)(2)=360 
*En general, si A y B son dos magnitudes, en- 
tonces 
 
AIP 8 «> (valor de A) (valor de B) =constante 
 
Además, como analizamos en el ejemplo ante- 
rior, tenemos que A IP B equivale a B IP A. 
APLICACIÓN 4 
Sean A y B dos magnitudes, tal que AIP vB. 
- Calcule el valor de A cuando el de B es 180 sa- 
biendo que el valor de A es 36 cuando el de B 
es 20, 
Resolución 
Se tiene 
 
| 36 x 
EZ 1809 
SiA IP JB, entonces 
 
 
(valor de A) (valor de /B )=constante 
Reemplazamos sus valores 
36- /1 =xX- /9 
36=3x => x=12 
Por lo tanto, el valor de A es 12. 
APLICACIÓN 5 
Tres hermanos tienen víveres para 10 días. Si 
por vacaciones reciben la visita de dos de sus 
primos, ¿para cuántos días alcanzará la ración 
anterior? 
Resolución 
En primer lugar identificamos las magnitudes. 
¿Qué está variando? — El tiempo y el número 
de personas 
Por ejemplo, si son más personas, la misma can- 
tidad de víveres alcanzará para menos tiempo, 
o para que los víveres alcancen para más tiem- 
po, deben ser menos personas. 
15
LUMBRERAS EDITORES 
 
Comparamos 
t 2) 
(n.* de personas) IP (tiempo) 
¿ 
=> (n.* de personas) (tiempo) =constante 
 
 
 
 
 10|x 
Reemplazamos sus valores 
3-10=5:x 
> x=b 
Por lo tanto, la ración anterior alcanzará para 
6 días. 
Observación | "e 
 
Ejemplo 
Sean A y B dos magnitudes, tal que 4 IP B. Se 
muestran a continuación algunos de sus valores: 
 
Aaa 6j|1s 
B. 15|10| 4 
 
 
=3 (valor de A) (valor de 8B)=constante 
> (4)(15)=(61(10)=(151(4)=(y)00)=60 
16 
 
Gráficamente 
 
 
 
 
rama de una hipérbola 
equilátera 
C 
gí4)=-7=15 El área de cada 
rectángulo es 
constante, 
9d===y | y A 
Entonces, g es llamada función de proporciona- 
lidad inversa 
 
=> glx)-x=C 
APLICACIÓN 6 
Si glx) es una función de proporcionalidad in- 
y = 26):910) _7 halle el valor de a(7). 
gls) 2 
versa y 
Resolución 
Como glx) es una función de proporcionalidad 
inversa, entonces g(x)= £ (Ces constante). 
x
+ _ MAGNITUDES PROPORCIONALES 
 
Luego 
A 
al5)== 910)=E; 915)== 
aa? C=14 
x2 
Reemplazamos en T Nos pid
erial7) 
: E C£:05_7 + am====3=2 
2 
Te > 
(a). Pe 
 Ll 1 Nota d 
 
17
LUMBRERAS EDITORES 
 A a 
PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDES PROPORCIONALES 
 
 
Sean A y 8 dos magnitudes. 
e ADPB E AP 
e AIPB e ADP > 
 
Generalmente, es conveniente pasar de IP 
a DP. 
 
Sean A y 8 dos magnitudes. 
.* ADPB “e A"DPB” 
.* AIPB eo 24 1PB” 
dondene Q a nx0 
 
 
Sean A, B y C tres magnitudes. 
- ADP B(C permanece constante) 
A DP C(8 permanece constante) 
=> ADPBxC 
(valor de A) 
. ————————— =constante 
(valor de B)(valor de C) 
Cuando se analizan más de dos magnitudes, 
se debe elegir convenientemente una de ellas 
para compararla con cada una de las otras, y 
en cada caso las otras magnitudes permanecen 
constantes. 
18 
Ejemplos 
1. Sean las magnitudes A, 8, €, D y E. En este 
ejemplo tomaremos como referencia la 
magnitud A. 
AIP8B(C, D y E permanecen constantes) 
A DP C(8, D y E permanecen constantes) 
AP D(B, C y E permanecen constantes) 
A DP E (8, C y D permanecen constantes) 
Sopa valor valor 
ideA A deB AdeD) BHdeD 
E] 
= constante 
ri ui C A de E 
En adelante se escribirá 
AXBXD _ 
CxE 
2. Sean las magnitudes la gratificación (G) que 
se entregará a tres trabajadores, el número 
de faltas injustificadas(F) que tuvieron este 
año y la cantidad de años de servicio (A) 
que tiene cada uno de ellos. 
Entonces tomamos como referencia una de 
ellas, por ejemplo G, y analizamos 
+ Si Aes constante, entonces le corres- 
ponderá mayor G al que tiene menos F. 
e Si Fes constante, entonces le corres- 
ponderá mayor G al que tiene más A. 
De lo anterior tenemos 
PF (A es constante) 
a? A (F es constante) 
GxF 
A 
= Cte.
 
MAGNITUDES PROPORCIONALES 
 
su" ds 
APLICACIÓN 7 
Sean las magnitudes A, B y C, tal que 
A1P 8? (C permanece constante) 
A? DP C(B permanece constante) 
Si en la siguiente tabla se muestran algunos va- 
lores correspondientes de las magnitudes A, B y 
C, halle el valor de x. 
 
 
 
 
75.| 25 
45 | 90 
3 x 
 
Resolución 
Elegimos la magnitud A para compararla con las 
otras dos 
A IP 8? (C permanece constante) (1) 
Por propiedad 2 
A* DP C (B permanece constante) 
( Va? op JC 
ADP JC (8 permanece constante) (11) 
De (1) y (1) tenemos que 
(111) 
 
 
 
 
 
Reemplazamos los valores en (111) 
Ax 1x2 
BE mi 
> /x=8 > x=64 
 
Por lo tanto, el valor de x es 64. 
APLICACIÓN 8 
Para un cierto tipo de vino, se ha determinado 
que el precio de la botella con vino es propor- 
cional a la cantidad de vino que contiene y a los 
años de añejamiento que tiene. Si una botella 
de 750 cc y 4 años de añejamiento cuesta $/.15, 
¿cuánto costará una botella de 1200 cc y 6 años 
de añejamiento? 
Resolución 
Las magnitudes son el precio, el volumen y el 
tiempo. 
Por dato 
: DP 
( reci o) (volumen) Mo En cada caso, la ter- 
p op cera magnitud per- 
(tiempo) e manece constante. 
Por propiedad 3 
(precio) DP (volumen) - (tiempo) 
precio 
A = Constante 
(volumen) * (tiempo) 
 
15 Xx 
 
 
 
 
Por lo tanto, la botella con vino costará $/.36. 
19
 aaa LUMBRERAS EDITORES 
15 20 25 
45 60 75 
 
 
 
* Observación , 
ries dl 
5 
hn 
+1 "a Y a y | 
| omí/l 
. 
L 
 
 
20
+ PROBLEMAS RESUELTOS 
arpas 
NIVEL BÁSICO 
PROBLEMA N.? | 
A continuación se muestran algunos valores de 
las magnitudes A y B: 
 
 
 
 
xXx 
810 
Halle x si A? DP /B. 
A) 45 B) 20 C) 36 
D) 15 E) 24 
Resolución 
En los problemas de magnitudes, cuando sea 
posible es conveniente trabajar solo con la rela- 
ción en la cual se encuentran los valores de una 
determinada magnitud. 
 
 
 
 
 
Xx 
81951 
Como A? DP /B 
2 
y E 
JB 
cana 
. 
Reemplazamos sus valores 
10? _ e 
J16 J81 
sas 
> x=9x25 
- x=3x5 
x=15 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.” 2 
A continuación se muestran algunos valores de 
las magnitudes C y D: 
 
15 960 
 
 
 
 
Halle y sabiendo que W/C 1P D?. 
A) 5 
D) 4 
B) 10 Cc) 25 
E) 16 
21
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
 
*
 
 
 
Como 
Ycipo? > Yc-D? =cte. 
Reemplazamos sus valores 
120? =Y64 x y? 
20*=4xy? 
V20? = [ax y? => 20=2xy 
y=10 
_Cuve Y 
PROBLEMA N.” 3 
Sean las magnitudes A, 8 y C, tal que A es pro- 
porcional a C cuando B permanece constante, e 
inversamente proporcional a B cuando € perma- 
nece constante. Si cuando B toma el valor 15, A 
toma- el valor 12 y C toma el valor 10, halle el 
valor que toma la magnitud 8 cuando A toma 
¿el valor 9 y C toma el valor 4. 
A] 6 B) 8 c) 12 
D) 4 E) 20 
Resolución 
 
 
 
 
 
22 
Tenemos que 
4 pa C (8 es constante) 
ME, B (Ces constante) 
AxB 
—— =cte. 
Cc 
Reemplazamos sus valores 
4 5 
XI _BXx 
10 4 
x2 (=D 
=> x=8 
 
Por lo tanto, el valor de la magnitud B es 8. 
 
Nota 
En los exámenes de admisión, en lugar de 
indicar que la magnitud B toma el valor 
15, se indica B=15. 
_cuave 
 
PROBLEMA N.” 4 
Supongamos que Á varía directamente propor- 
cional a X y Z, e inversamente proporcional a W. 
Si A=154 cuando X=6, Z=11 y W=3, determine 
A cuando X=9, Z=20 y W=7. 
A) 120 
D) 180 
B) 140 C) 160 
E) 200 
UNI 2007-1
O MAGNITUDES PROPORCIONALES 
Resolución 
A continuación se muestran algunos valores de 
las magnitudes A, X, Z y W: 
 
 
 
 
 
 
A- 
> ——<te. 
xZ 
Reemplazamos sus valores 
 
22 
155x3_axí 
6x11 9x20 
> a=180 
Por lo tanto, el valor de A es 180. 
_cuve Y 
PROBLEMA N.”* 5 
Sean las magnitudes A, B y C, tal que 
A? DP B (C es constante) y 
/C DP A? (8 es constante). 
Si B=24 cuando A=48 y C=75, halle el valor de 
B cuando A=96 y C=48. 
A) 100 
D) 120 
B) 60 Cc) 110 
E) 124 
 
 
 
481 982 
24 x 
78 25 45 16 
 
 
Los valores de A al inicio y al final están en la 
relación de 1 a 2, respectivamente. 
Los valores de C al inicio y al final están en la 
relación de 25 a 16, respectivamente. 
Tenemos que 
DP. B (Ces constante) 
A? 
P. Je (B es constante) 
A? 
— BxJc ce 
Reemplazamos sus valores 
p 2 
24xV25 xx M6 
A => x=120 
120 y 
 
Por lo tanto, el valor de B es 120. 
CLAVE Sd 
PROBLEMA N.* 6 
Sean las magnitudes A, 8 y C, tal que 
A DP B (Ces constante) y 
A1P C? (B es constante). 
Si el valor de B se reduce a la mitad y el de C au- 
menta en su doble, halle el valor de A sabiendo 
que inicialmente era 180. 
A) 22,5 
D) 10 
8) 20 Cc) 12 
E) 15 
23
LUMBRERAS EDITORES 
 
Resolución 
Hacemos que el valor inicial de B sea como 2 
para que tenga mitad. 
Hacemos que el valor inicial de C sea como 1; 
luego como aumenta en su doble, entonces se 
triplica. 
Recuerda que en los problemas de magnitudes 
es suficiente trabajar solo con la relación en la 
cual se encuentran sus valores. 
Entonces los valores que toman las magnitudes 
se muestran en la siguiente tabla: 
 
 
 
Ao] 180 
2 1 
A 1 
Tenemos que 
DP. B (Ces constante) 
 
 
A 
'P (Bes constante) 
Axc? 
— =cte. 
B 
Reemplazamos sus valores 
20 
180 x P _XX 
2 1 
A 
20 
L=2 > x1=10 
z 
+2 
Por lo tanto, el valor de A es 10. 
Otra forma 
Del enunciado tenemos 
 
 
m/2 
n+2an=3n 
 
 
 
 
24 
 
a 7 
Además 
a DP, B (Ces constante) 
ha (B es constante) 
A a =cte. 
Reemplazamos sus valores 
180xn* E xx(3n)* 
m mi 
180x 1% _2XxXx9x Mé 
m6 ”ú 
180=18xx 
 
=> x=10 
Por lo tanto, el valor de A es 10. 
_Cuave Q)) 
PROBLEMA N.? 7 
Indique la alternativa correcta después de de- 
terminar si cada proposición es verdadera (V) o 
falsa (F). 
l. Dos magnitudes son DP si sus valores co- 
rrespondientes aumentan o disminuyen en 
una misma cantidad. 
Il. Lagráfica de dos magnitudes DP siempre es 
una recta. 
lL.43 1P B equivale A DP 874, 
A) VFV 
D) VFF 
B) Fw C) FFV 
E) FFF
Resolución 
Falsa 
Si A DP B, entonces sus valores correspon- 
dientes aumentan o disminuyen en la mis- 
ma proporción. 
Ejemplo 
 
 
 
 
+2 x3 
Falsa 
La gráfica de dos magnitudes que son DP 
son puntos contenidos en una misma recta 
que pasa por el origen pero no lo toma. 
Verdadera 
AFIP 8 
arira<>Ya? 1 Ya 
—— 
ADP 8 Y? 
Luego 
1/3 1 
AIPB <> ADP 3 
A 
ADP8 7? 
CLAVE a 
ñ 
PROBLEMA N.* 8 
En la gráfica siguiente, la línea 04 representa 
proporcionalidad directa entre dos magnitudes 
y la línea AB proporcionalidad inversa. Los valo- 
resdeaybson ; 
MAGNITUDES PROPORCIONALES 
 
 
4 3 5 3 A) =y- B) —y= Gh hy2 ) Y3 ) vz ) 5 
4 
DD) =y-— E) “y- 
Y3 Y3 
UNI 1997-1 
Resolución 
 
 
Del enunciado 
* Línea OA (proporcionalidad directa) 
Puntos Cy A 
1 a 
=== >= 0= 
314 Ly 
| 
es 
Línea AB (proporcionalidad inversa) 
Puntos A y B 
oxd=bx6 => p-26_8 
M-9 
a, has 
3 9
 
LUMBRERAS EDITORES a 
PROBLEMA N.* 9 A) 147 B) 1470 Cc) 1170 
Las magnitudes A y R son inversamente propor- D) 1716 E) 1176 
cionales. Halle el valor inicial de la magnitud UNI 1994-11 
A sabiendo que cuando su valor disminuye en 
280, el valor de R varía en sus 4/11. Resolución 
A) 490 B) 770 C) 1050 
D) 910 E) 440 
Resolución 
Como A IPR, entonces si el valor de A disminuye, 
el valor correspondiente de R debe aumentar. 
Hacemos que el valor inicial de R sea como 11; 
luego su valor final será como 11+ e] =15 
Mx—280 
15 
 
 
 
 
Tenemos que 4 IP R 
=> AxR=cte. 
Reemplazamos sus valores 
x*11=(x-280)-15 
70 
2380 15=4Xx 
=>3 x=1050 
Por lo tanto, el valor inicial de A es 1050. 
cuve 
PROBLEMA N.”* 10 
Sea f una función de proporcionalidad directa 
tal que f13)+f(7)=20, entonces el valor del pro- 
ducto (Elm es 
26 
Si f es una función de proporcionalidad directa, 
entonces 
fx)=x-K (Kes constante) 
=> A3)+A17)=20 
3K+7K=20 
10X=20 = K=2 
Luego 
(5) 10:10 
(Ex) (5) (7k)=147k?=147 (2) 
f 2 1m=176 
! _Cuave GD) 
PROBLEMA N.? 11 
Sean las magnitudes A, B y C, tal que 
A? DP C (Bes constante) y 
B? IP A (C es constante). 
Si inicialmente A=75 y B=24, halle el valor de A 
cuando B=20 sabiendo, además, que C dismi- 
nuye a = de su valor. 
A) 81 B) 45 C) 60 
) 54 D) 48 E
ae... ÓN 
Resolución 
Hacemos que el valor de C al inicio sea camo 4 
para que tenga cuarta. 
Tenga presente que se reduce a su cuarta parte 
y no en su cuarta parte. 
 
 
 
 
 
En este caso vamos a comparar a A con las otras 
dos magnitudes. Entonces 
+ ¿A*DPC(Bes constante) 
G DP JC (8 es constante) 
. ¿B?IPA(Ces constante) 
IP 8? (Ces constante) 
de donde 
DP__../c (8 es constante) 
a IP 8? (Ces constante) 
AxB? 
— =cCcte. 
AE 
Reemplazamos sus valores 
Por lo tanto, el valor de A es 54. 
MAGNITUDES PROPORCIONALES 
PROBLEMA N.? 12 
Sean las magnitudes A, B y C, tal que 
A DP 8? (Ces constante) y 
Ya IPC (A es constante). 
Si B disminuye en 2/3 de su valor y 4 aumenta 
en 55/9 de su valor, ¿cómo varía el valor de C? 
A) Aumenta en siete veces su valor. 
B) Aumenta en su doble. 
C) Se duplica. 
D) Disminuye a 1/3 de su valor. 
E) Aumenta en 1/8 de su valor. 
Resolución 
Hacemos que el valor de A al inicio sea como 9; 
luego su valor final será como 
9+719)=68 
Hacemos que el valor de 8 al inicio sea como 3; 
luego su valor final será como 
3-3(8)=1 
Hacemos que el valor de C al inicio sea como 1; 
luego comparamos. 
 
 
 
 
 
 
En este caso vamos a comparar a B con las otras 
dos magnitudes. Entonces 
+. A DP B* (Ces constante) 
G DP ÍA (C es constante) 
Ys IP. C(A es constante) 
_cuave Y) G IP. C? (A es constante) 
27
LUMBRERAS EDITORES 
 
de donde 
$ PSA (Ces constante) 
esa (A es constante) 
Bxc* 
A 
Reemplazamos los valores 
¿dx 1xx? 
E Js 
8=x 
3 *x=2 
 
ON
US
US
AR
|L
9/
LU
OI
'1
3I
JI
M]
 
Luego el valor final de Ces como 2. 
Por lo tanto, el valor de € se duplica. 
_Ccuve Y) 
PROBLEMA N.* 13 
Sean las magnitudes A, 8 y C, tal que 
JA DP C(B es constante) y 
a? DP C(A es constante) 
siendo algunos de sus valores 
 
20 80 45 
 YE
 E
n
 
hy
 
Xx 3 
175 | 126 | y 
 
 ad
 
 
Halle x- y six; ye Z*. 
A) 120 
D) 210 
B) 72 C) 144 
E) 180 
28 
Resolución 
Tenemos que 
DP__,/A (8 es constante) 
n 
DP, 8? (A es constante) 
€ 
JA xB? 
—+ 
 
=cte, 
Reemplazamos sus valores teniendo en cuenta 
que los de A están en la relación de 4; 16 y 9, en 
ese orden 
14 
VS _ Ay 
4? Ji6xa /9x2* 
 
_cuave 
PROBLEMA N.” 14 
El costo de alquiler mensual de un stand en una 
galería es proporcional a su área e inversamen- 
te proporcional al cuadrado del número de piso 
en el cual se encuentra. Si por un stand de 3 m? 
que está en el 2.* piso se paga S/.4500 al mes, 
¿cuánto se pagará mensualmente por un stand 
de 4,2 m* que se encuentra en el 3.% piso? 
C) S/.3500 
E) 5/.2800 
A) S/.3920 
D) S/.4000 
B) 5/.6300
MAGNITUDES PROPORCIONALES 
 e 
Resolución 
Sean las magnitudes 
* C: costo de alquiler mensual 
= A: área del stand 
+ — N: número de piso en el que se encuentra 
el stand 
 
 
4,2 
 
 
 
Del enunciado se tiene que 
CXN? 
A 
cte. 
Reemplazamos sus valores 
as00x 2? _x-3 
3 4,2 
> x=2800 
Por lo tanto, se pagará S/.2800 mensualmente. 
_Cuve Y) 
PROBLEMA N.* 15 
Un superpanetón en forma de paralelepípedo 
pesa 2130 g. Determine el peso de un minipa- 
netón de igual forma pero con sus dimensiones 
largo, ancho y alto reducidas en su quinta, cuar- 
ta y tercera parte, respectivamente. 
A) 1408 B) 35,58 
C) 284 g 
D) 8528 Ej) 1065 g 
Resolución 
Es conveniente trabajar solo con la relación en 
la cual se encuentran los valores de las magni- 
tudes. 
El largo, ancho y alto inicial los asumimos como 
5; 4 y 3, respectivamente, para que tengan quin- 
ta, cuarta y tercía, respectivamente. 
 
 
 
Superpanetón 
T Minipanetón 
3. T 
pl ) 
> ¿3 
LL 5 —— |— 4 
Volumen: 5x4x3=50 4x3x2=24 
5 2 
Comparamos las magnitudes peso y volumen 
(peso) DP (volumen) 
so 
_Peso_ = cte. 
volumen 
Sea x el peso del minipanetón en gramos. 
Tenemos 
2130 _x 
5 2 
=> x=B52 
Por lo tanto, el minipanetón pesa 852 g. 
CLAVE 3) 
29
LUMBRERAS E DITORES 
NUVEL INTERMEDIO 
PROBLEMA N.* 16 
Señale la alternativa que presenta la secuencia 
correcta después de determinar si la proposi- 
ción es verdadera (V) o falsa [F). 
Il. SeanA, B y € magnitudes. 
AP B(C permanece constante) 
CIP A (8 permanece constante) 
Entonces B IP C (A permanece constante) 
Il. En una obra siempre se cumple que cada 
vez que se duplica la cantidad de obreros, 
el tiempo se reduce a la mitad. 
tl. SiA DP B, entonces ADP A-B. 
A) FVF B) VVF C) Fwv 
D) VFF E) FFF 
Resolución 
l. Verdadera 
JE B (Ces constante) 
e AE C (B es constante) 
=> AxBxC=cte. 
Luego, si A es constante —> BxC= + 
En consecuencia 
BxC=cte. 
'. BIPC(A es constante) 
ll. Falsa 
No siempre se cumple; por ejemplo, se 
puede duplicar la cantidad de obreros, pero 
estos pueden tener menos eficiencia que 
las anteriores. 
30 
 
 
 
de 
Il. Falsa 
ADPB => de 
B 
A cte. 
3 — =|— 
AXB A 
No siempre 
es constante. 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N.* 17 
En el siguiente gráfico se muestra el comporta- 
miento de las magnitudes A y B: 
 
 
:Q 
b 
Entonces las áreas S, y $, son entre sí como 
A) lesa3. 
B) 1esal. 
C) 2esa3. 
D) 1esa2. 
E] 3esa4.
 
 
 
* Puntos Py 0:AIPB 
=3 ox6b=10xb 
; ; 
5n 3n 
+ Puntos QyR:ADPB 
Xx 
10_30 
bc 
AA 
x3 
=3 c=3b=9n 
Luego 
S,=6x0=30n 
S, ==(0—b)x20 =60n 
Nos piden 
A, E 
S, 60n 2 
Por lo tanto, las áreas $, y $, son entre sí como 
1lesa2. 
_cuve Y 
A) 6 
PROBLEMA N.” 18 
De las magnitudes Z; W y X, se sabe que Z es 
directamente proporcional a e y Wes inversa- 
mente proporcional a Xx. SiN=Z+ Wy 
X=1 implica que N=6 
X=0,5 implica que N=9 
determine N si X=4/2. 
B) 8 C) 9 
D) 10 E) 12 
Resolución 
Del enunciado 
ZOPX y wir? 
Además 
N=Z+W 
Mp 
(E DP da 
xd 
ÉS 
1/4 
a 89 
e x2 
2 
a 
ó 1 1/4 2 
2b Bb b 
A 
+2 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 ERE 
E lo que piden 
 
31
 
Como 
N=Z+W 
=> da+2b=6 
a=1;b=1 
a+B8b=9 
=3 Bo+b=9 
=9 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.”* 19 
De las magnitudes A, B y C, sabemos que C? es 
proporcional a A y también a B, pero no a ambas 
a la vez. Determine el valor de A cuando B=28 
sabiendo que cuando 4=30, entonces B=24 y 
E=25. 
A) 32 8) 36 Cc) 40 
D) 56 E) 35 
Resolución 
Como en este caso C? DP A y C? DP 8, pero no 
a ambas a la vez, lo analizamos por separado y 
cada una con su respectiva constante, así: 
(+) 
 
 
 24 28 
32 
Reemplazamos sus valores 
—) x=35 
Por lo tanto, el valor de 4 es 35. 
cuve QH) 
 
PROBLEMA N.* 20 
Un diamante se cae y se rompe en tres pedazos, 
siendo el peso del segundo pedazo el doble del 
primero y del tercero media vez más que del se- 
gundo. Si la mayor diferencia entre los precios 
de dos de los pedazos es 52000, halle el precio 
del diamante antes de que se rompa sabiendo 
además que el precio del diamante es DP al cua- 
drado de su peso. 
 
A) 53250 B) $5500 C) 56000 
D) $7200 E) $9000 
Resolución 
Al inicio Al final 
Pesos: 6 1 2 3 
RA A 
2 1 
+38)
 
 
 
o 
Sabemos que (precio) DP (peso)? 
ES =constante 
(peso) 
Es la mayor diferencia 
entre los precios de 
dos de los pedazos. 
AO so 
E 
UA 
> P=6*%x250=9000Por lo tanto, el precio del diamante antes de 
que se rompa es $9000. 
Otra forma 
(precio) DP (peso)? 
Pedazos Ante de 
DH 
3 er yo 3|tr | 
dato —+ Pesos: 1 2 3 6 
(Pesos)?: 1 4 9 36 
a4K 9K 36K => Precio: K 
1 E y 
Sus valores La mayor diferencia 
se encuentran en 8X =5$2000 
la misma relación K=5250 
que los del 
(peso) 
> 36K=36(5250)=59000 
Por lo tanto, el precio del diamante antes de 
que se rompa es 59000. 
CLAVE 1 
PROBLEMA N.” 21 
Para asfaltar una carretera, se sabe que lo que 
cobra un maquinista es proporcional a la dis- 
tancia que transporta el material y al volumen 
que transporta e inversamente proporcional al 
cuadrado del número de cargadores frontales 
que tiene a su disposición. Si cuando dispone 
de tres cargadores y transporta 440 m* a 14 km 
de distancia cobra 5/.7700, ¿cuánto cobrará 
para transportar 360 m? a 20 km de distancia si 
dispondrá solo de dos cargadores? 
A) S/.10520 
B) S/.15 500 
C) S/.20 250 
D) S/.18 400 
E) S/.22 500 
Resolución 
Sean las magnitudes 
* — C:lo que cobra un maquinista 
* D:ladistancia 
s V:elvolumen 
+ — N: número de cargadores frontales 
Ordenamos los datos 
 
 
20 
 
360 
 
 
 
Del enunciado se tiene 
CxN? 
Dxv 
 cte. 
33
LUMBRERAS EDITORES A » 
 
Reemplazamos los valores 
7700x3% _ x:2 
14x440 20x360 
 
—=3 x=20250 
Por lo tanto, cobrará 5/.20 250. 
_cuave ) 
PROBLEMA N.* 22 
Según la ley de Boyle, a temperatura constan- 
te, el volumen de una determinada cantidad de 
gas es inversamente proporcional a la presión 
que esta ejerce, Determine la presión a la que 
está sometido un gas sabiendo que cuando esta 
disminuye en 1,5 atm, el volumen varía en 3/5 
de su valor. 
A) 1atm 
B) 1,2 atm 
C) 2,7 atm 
D) 3,2 atm 
E) 4 atm 
Resolución 
Sean las magnitudes 
*. P: presión que ejerce el gas 
+ V: volumen del gas 
Como por dato V IP P, entonces si el valor de P 
disminuye, el valor correspondiente de V debe 
aumentar. 
34 
Hacemos que el valor inicial de V sea como 5; 
entonces su valor inicial será como 
5+y(8)=8 
 
peor 
x—1,5 
 
 
Tenemos que PIP V 
=> PxVW=cte. 
"Reemplazamos sus valores 
x-5=(x-1,5)-8 
1,5:8=3x 
=> x=4 
Por lo tanto, el gas está sometido a una presión 
de 4 atm. 
_cuave (E) 
PROBLEMA N.? 23 
Diez tuberías con la misma sección e igual pre- 
sión de agua pueden llenar dos cilindros iguales 
de 1 m de altura y 30 cm de radio en 6 h. ¿Cuál 
debe ser la altura de cinco cilindros iguales que 
tienen 40 cm de radio para que puedan ser lle- 
nados en 20 h por 16 tuberías iguales a las ante- 
riores y en las mismas condiciones? 
A) 64 cm 
Bj) 80 cm 
C) 120 cm 
D) 115 cm 
E) 96 cm
MAGNITUDES PROPORCIONALES 
 sr" 
Resolución 
En primer lugar identificamos que las magnitu- 
des que intervienen son el número de tuberías 
(N), el volumen de agua que van a llenar (V) 
y el tiempo que demoran en llenar dicho volu- 
men (t). 
Luego tomamos como referencia N y tenemos 
DP, Y (tes constante) 
Ms IP. ,t(Ves constante) 
 
o A 
V 
5 dllindros 
2 cilindros lo 
1m n hm 
30 cm 40 cm 
3 4 
Recuerde 
Vel r2)xh 
Como es constante, no lo 
tomaremos en cuenta. 
 
 
16 
 
20 
 
s(42xh) 
 
 
Reemplazamos los valores 
10x6 - 16x20 
2(32x1) 54? xh) 
> h=1,2 
Por lo tanto, la altura del cilindro debe ser 
1,2 m, es decir, 120 cm. 
_Cuave (8) 
PROBLEMA N.” 24 
La arista de un cubo A mide 420 cm. Si Jorge 
para pintar las caras laterales del cubo A y las 
caras de un cubo B (excepto la cara de su base) 
empleó 870 min, ¿cuánto tiempo empleó para 
pintar el cubo 8 si la longitud de su arista es 3/7 
más que la del cubo A? 
A) 10h B) 8h 20 min C) 10h 25 min 
D) 9h E) 6h5 min 
Resolución 
Si la arista del cubo A es como 7, entonces la 
arista del cubo 8 es como 7+3 4% =10 
Se pintan 
solo 5 caras. 
 
35
LUMBRERAS EDITORES 
Analizando tenemos que las magnitudes a com- 
parar son el área que se va a pintar (5) y el tiem- 
po que se emplea para pintar (t). 
 
 
 
=> DPS 
E ete. 
5 
B 
ta 
s(10?) 
 
 
Reemplazamos sus valores 
ta tg =—L: t,+to=870 
Ax49 5x100 4 * 
> ty=125-5=625 min <> 10 h 25 min 
Por lo tanto, 8 empleó 10 h 25 min. 
_cuave 
PROBLEMA N.” 25 
Las magnitudes x e y son tales que (y-4) y 
(4-4) son inversamente proporcionales. Si el 
par (-1; -2) satisface esa relación, determine la 
ecuación de proporcionalidad. 
 
 
18 —18 
A = +4 B = ——— dl 
a ea 
18 C e] 
¿E a 
D) y= +6 E) y 
36 
Resolución 
Se debe entender que los componentes del par 
ordenado (-1;-2) son los valores que toman las 
magnitudes x e y, respectivamente. 
 
 
=] 
E E] e 
Como (y-4) 1P (2-4) 
> (y-4)02-4)=cte, (*) 
Reemplazamos sus valores 
(2-4) ((-1)-4)=cte. 
(-6)(-3)=cte. 
—> cte.=18 
Luego en (*) reemplazamos el valor de la cons- 
tante 
(y-4)04-4)=18 
Nos piden la ecuación de proporcionalidad, en- 
tonces despejamos y por lo tanto la ecuación de 
proporcionalidad es 
18 +4 
*-4 
 y= 
 
Nota | 
Hay que tener presente que este tipo de pro- 
blemas lo podemos interpretar de dos maneras. 
La primera, para resolverlo debemos entender 
que las magnitudes son x e y, y efectuamos los 
cálculos considerando cantidades adimensiona- 
les; mientras que la segunda, interpretándolo 
algebraicamente como funciones que han sufrido 
transformaciones, como por ejemplo desplaza- 
mientos. 
 
_cuave (Y)
ae MAGNITUDES PROPORCIONALES 
 
 
 
NIVEL AVANZADO Nos piden 
Aog(15)) 
PROBLEMA N.* 26 : ¡(Eo Exa 230 Lo) 
Sea funa función de proporcionalidad directa y 
g una función de proporcionalidad inversa, tal 2 Alol15))=120 
que f(4); g(3) y A9) forman en ese orden una Clav ¿O 
proporción continua y f(7)+g(6)=100. —— 
Halle fíg(15)). 
qe PROBLEMA N.* 27 
A) 125 B) 120 C) 225 En la siguiente tabla se muestran algunos valo- 
D) 144 E) 240 res correspondientes de las magnitudes A y B, 
: las cuales guardan cierta relación de proporcio- 
nalidad. 
Resolución 
Del enunciado x 1418016 1|xy 
 
 
 
fl) =xK (K es constante) 
 
alx)= E (C es constante) 
x 
 
 
 
 
 
 
 
o Halle x+y+z. 
E 
Luego SS A) 80 B) 125 C) 204 
(4) _9(3) = D) 117 E) 121 
gl3) flo) a 
SN Resolución 
> f4xf9)=[9(3)1* 3 Tomamos las columnas donde se conocen los 
E valores de las magnitudes A y B. 
4Kx9K = (£ ] O 
3 o 
C=18K 5 —> C=1 
2 
Además se sabe que z 
fi7)+g(6)=100 
7k+£=100 
6 
> ADPB 
> 71+2£ 100 
6 
10K=100 —> K=10 2-9 
37
LUMBRERAS EDITORES 
 
Ahora tomamos también las columnas que tie- 
nen a las incógnitas 
 
 
 
 
 
x[9x36) 
x16 
x 100 
e | 6 | (x+y)?=36? 
300 3y 127 
x 100 
x16 
x[936) 
de donde 
+ 4x100=xY —> x=20 
* 3x16=3y > y=16 
* 3x(9x36)=122 => 2=81 
x+y+2=117 
prty=as 
Otra forma 
Tomamos dos columnas donde se conozcan los 
valores de A y B 
um 
A 2 14 
pS 
NE: A 3 12 
 
 
 
 
Observamos que tanto el valor de 4 como el de 
B aumentan, pero no en la misma proporción. 
Entonces planteamos que 
A” DP 8” 
Reemplazamos sus valores 
e gr 
y y" 
38 
> 23” 
=> 2¿n=m 
Ll 
K 2K 
En general 
AX pp a 
Si K=1, se tiene el caso que ya trabajamos 
_Cuave ) 
A? DP B 
PROBLEMA N.” 28 
En la siguiente tabla se muestran algunos valo- 
res correspondientes de las magnitudes A, B y 
C, las cuales guardan cierta relación de propor- 
cionalidad. 
 
10 | 25 | 10 | 10 
240 | 3750 |600 | y 
735 |2l11|2 
 
 
 
 
 
Halle 7 Lbayjcz*. 
A] 2 e 2 Mea 
8 80 25 
EA e 3 
40 16 
Resolución 
il 111 IV V 
 
10 25 10 | 10 
240 |3750/600 | y 
75 12 12 | 27 
 
 
 
 
Para comparar dos magnitudes, la tercera debe 
permanecer constante. Entonces de la tabla, 
tenemos lo siguiente: 
* - Enll y IV, A es constante. Entonces compa- 
ramos B con € 
 
 
 
 
 
e Enlll y IV Ces constante. Entonces compa- 
ramos 4 con B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAGNITUDESPROPORCIONALES 
Luego de (0) y (6) 
BxÁC 
A? 
 =cte. 
Reemplazamos los valores de las columnas 1, Y 
y Iv 
1350412 _ yA 27 _600J12 
xXx 10 10* 
1350x2_yx3_600x2_ 
 
 
 
= = 12 
ee 100 100 
2 -1850x2 E =48 
12x100 
y y =400 
3 
A 
y 400 
x_3 
y 80 " 
_Cuave (B) 
PROBLEMA N.” 29 
Una empresa de seguros determinó que la 
pensión mensual que le toca a un asegurado 
es proporcional a la raíz cuadrada del número 
de aportes que realizó e inversamente propor- 
cional al número de meses que no aportó, pero 
en ningún caso superará los S/.2000. Si Andrea, 
quien no aportó ” meses, recibe una pensión 
mensual de 5/.800 y la cantidad de aportes que 
realizó es 9/16 más de los que realizó su herma- 
na Daniela, ¿cuál será la pensión mensual máxi- 
ma que podrá recibir Daniela si ella no aportó 
t meses? Considere que t es entero. 
C) S/.1840 
E) S/.1920 
A) S/.1996 
D) S/.1640 
B) 5/.1980 
39
LUMBRERAS EDITORES 2. 0 lu 
Resolución 
Sean las magnitudes 
* P: pensión mensual 
+ A: número de aportes 
* — M: número de meses que no aportó 
Sila cantidad de aportes de Daniela es como 16, 
entonces la de Andrea será como 
 
 
 
 
Del enunciado se tiene 
PXxM 
A 
Reemplazamos los valores 
2 
xt x _800xt o EEE 
416 425 
Por dato 
e tez' 
* xes máximo 
* x<2000 
=> x=640 1 < 2000 
/ 
3 
> XKmáy=1920 
Por lo tanto, la pensión máxima de Daniela será 
5/.1920. : 
_cuve Y 
PROBLEMA N.? 30 
Se tienen tres tipos de cubos compactos (A, B 
y C) cuyas aristas son 30; 45 y 90 cm, respecti- 
vamente, 5e pintan todas las caras de 3 cubos 
del tipo A, 4 cubos del tipo B y 2 cubos del tipo 
C, notándose que se gastó S/.m más al pintar los 
del tipo B que los del tipo A y S/.n más al pintar 
los del tipo C que los del tipo B. Halle m+n sa- 
biendo que para pintar los cubos del tipo C se 
gastó S/.145,2. 
A) 100 B) 121 C) 125 
D) 64 E) 92 
Resolución 
Analizando tenemos que las magnitudes que 
intervienen son el área que se va a pintar (S) y 
la cantidad de dinero que se gastará para pintar 
dicha área (G). 
Notamos que al pintar más área, el gasto tam- 
bién es mayor, entonces asumimos que G DPS. 
Tenemos 
 
2 
área de | .2 2 ] 2 
bl) 3 6 
Gasto 
total (S/.): Ga Ga 145,2 
Como G DPS 
G 
3 —=Cte. 
Ss
 N' 
 
Observación 
Como el número de caras de cada cubo es 
constante, no lo tomaremos en cuenta. 
 
Reemplazamos 
 
Ga _63 145,2 _m_n_ min 
1 3 6 2.3 5 
> 24352_mi+n 
6 5 
m+n=121 
cuve Y) 
PROBLEMA N.* 31. 
En determinadas condiciones se ha observado 
que la cantidad de minutos de tardanza que un 
alumno acumula al mes es proporcional a la dis- 
tancia de su domicilio a la academia. 
Si cuando Henry cambia de domicilio la canti- 
dad de minutos de tardanza que tiene al mes 
aumenta en 20 y la distancia a la academia varia 
en 1/5 de su valor, ¿cuántos minutos de tardan- 
za acumulaba Henry al mes? 
A) 70 min 
B) 80 min 
C) 40 min 
D) 100 min 
E) 120 min 
Resolución 
Sean las magnitudes 
* T:cantidad de minutos de tardanza al mes 
e D:distancia del domicilio a la academia 
Por dato T DP D 
Como las magnitudes son proporcionales, si el 
valor de T aumenta, entonces el valor de D tam- 
bién debe aumentar y en la misma proporción. 
Asumo que la distancia inicial a la academia sea 
comú 5, luego la nueva distancia será como 
1 5+-(5)=6 ¿e 
 
 
 
 
—> —=0Cte 
x_x+20 
5 6 
x=100 
Por lo tanto, Henry acumulaba 100 min de tar- 
danza al mes. 
Otra forma 
Sabemos que si (espacio) DP (rapidez), la re- 
lación en la cual se encuentran los valores del 
espacio es la misma relación en la cual se en- 
cuentran los valores respectivos de la rapidez. 
 
 
 
 
41
LUMBRERAS EDITORES 
Entonces en el problema 
si D: 5 6 
entonces 7: 5(20) 6(20) 
_A 
Aumenta en 1(20). 
Por lo tanto, Henry acumulaba 100 min de tar- 
danza. 
_Cuave E) 
PROBLEMA N.”? 32 
Según la tercera ley de Kepler, el cuadrado del 
periodo orbital de cualquier planeta que gira en 
torno al Sol es proporcional al cubo de la longi- 
tud del semieje mayor de la órbita elíptica que 
describe, y esta ley también es válida para sa- 
télites que giran alrededor de un planeta. Dos 
satélites artificiales giran en torno de la Tierra 
con trayectorias circunferenciales, siendo el 
diámetro de una de las trayectorias siete veces 
más que el radio de la otra. Si el que está más 
cerca a la Tierra da 1/4 de vuelta en 15 h, ¿cuál 
es el periodo del otro satélite? 
A) 512h B) 480 h C) 540 h 
D) 840 h E) 680 h 
Resolución 
Sean las magnitudes 
« — T: periodo orbital 
« E: longitud del semieje mayor 
42 
Del enunciado 
7weces más 
+ Diámetro de A4=8 (radio de B) 
2xR¿=8BXRg 
| | 
relación 4 1 
 
Nota 
En este caso, los semiejes de cada órbita 
son iguales y coinciden con su radio. 
 
Satélite B:2 vuelta en 15h=x4 - pss 
=> 1vuelta (periodo) en 60 h 
 
 
ye AA di a PR 
Ne al 
Sd 7, | 60 
de 5 4 1 
T? DP E? 
2 
=$ ace, 
Reemplazamos los valores 
TA 60? 
pg 
> 1 =604x4* 
T,=60x8=480 
Por lo tanto, el periodo del otro satélite es 
480 h. 
_cuave (8)
E PROBLEMAS PROPUESTOS 
ARA rss dar 
NIVEL BÁSICO 
Sean A y B dos magnitudes, tal que YA DPB. 
Sabiendo que el valor de A es 24 cuando el 
de B es 14, halle el valor de 8 cuando el de 
Asea 375. 
A) 12 B) 20 C) 28 
D) 30 E) 35 
Sean A y 8 dos magnitudes, tal que Aa cP JB. 
Si el valor de A es 6 cuando el de B es 625, 
halle el valor de B cuando el de A sea 15. 
A) 2 B) 4 C) 16 
D| 12 E) 6 
Dos magnitudes (A y 8) son proporciona- 
les. Halle el valor inicial de la magnitud A 
sabiendo que cuando su valor aumenta en 
135 unidades, el valor de B varía en sus > 
A) 450 B) 405 C) 540 
D) 1350 E) 1080 
Dos magnitudes (A y B) son inversamente 
proporcionales. Halle el valor inicial de la 
magnitud A sabiendo que cuando su valor 
; 3 
aumenta en 210, el valor de B varía en sus 7 
A) 700 B) 240 C) 280 
D) 450 E) 490 
a MN 
Cuando el valor de la magnitud B aumenta 
en 210 unidades, el valor de la magnitud A 
de 7 É Lore 
varia en sus —. Determine el valor inicial de 
B sabiendo que JA es proporcional a B. 
A) 270 
B) 480 
C) 840 
D) 735 
E) 630 
Cuando el valor de la magnitud 8 disminu- 
ye en 350 unidades, el valor de la magnitud 
Á varía en su tercera parte. Halle el valor 
inicial de B si A? PB. 
A) 175 
B) 800 
Cc) 200 
D) 1050 
E) 640 
Sean A, 8 y € magnitudes, tal que A es pro- 
porcional a B cuando € permanece cons- 
tante, e inversamente proporcional a € 
cuando B permanece constante. Cuando 
C=35, entonces 4=24 y B=28. Halle el va- 
lor de la magnitud C cuando A=25 y B=15. 
A) 50 B) 18 c) 12 
D) 20 * E) 21 
43
LUMBRERAS EDITORES > 
 
 
 
 
 
 
8. Las magnitudes A, 8 y € se relacionan de la A] 6 B) 10 Cc) 8 
siguiente manera: D) 11 E) 7 
JA IPB(C es constante) 
CDPA (Bes constante) 11. La gráfica muestra algunos valores que to- 
man las magnitudes A y B. Halle n—2m. 
Cuando A=15, entonces B=75 y C=55. Ha- 
lle el valor de B cuando A=60 y C=66. At 
= 50: PL 
A) 18 B) 30 C) 44 ' 
D) 45 E) 48 ¡NÑAIPB 
9. Silas magnitudes A y B son directamente 
proporcionales, halle m+n. 
a+ 20 POTTTTa— A 
Y ms : 14 +---- " > 1 A DP B 
(m+11) p------===--> y 0 (n-3) (m+4) (n+3) 8 
9h--- A) 0 B) 1 C) 2 
, i ; z D) 3 El 4 
im-7) (n+1) — (m+2) B 
12. Del gráfico, halle m+n. 
A) 17 B) 20 Cc) 18 At 
D) 16 E) 12 
-----A (6; m) 
10. Si las magnitudes A y 8 son inversamente ! AP 8 
proporcionales, halle m—n. : 
aq4 y 
ADF=====""">=>M : 
A er Jan »(n; 10) 
A 8 | | 
j : ' ADPB : 
(men) Y r=---= . 5/2t-=== : : 
io NS 8 
A 5 - A) 16 8) 18 Cc) 24 
0 (n-1) (n+1) (n+3) B D) 40 E) 64 
13. Sea f una función de proporcionalidad di- 
14. 
15. 
16. 
recta, tal que 
fA+2-13)+3 -f14)=6. 
Halle el valor de 
R=f(10)-A(8)—K6)-A5). 
3 5 9 As Be 2 O = Ys E ) 
p) 11 E) 2 
6 2 
Sea g una función de proporcionalidad in- 
versa, tal que 
3-g(10)-2-g(15)=15.Halle el valor de 
A=g(6) -g(3). 
A) 165 B) 150 C) 144 
D) 120 E) 80 
Sean f una función de proporcionalidad di- 
recta y g una función de proporcionalidad 
inversa, tal que 
F7)+gl4)=40 y 
g(6)-A3)=7,5. 
Halle el valor de f[g(15)). 
A) 15 B) 20 C) 24 
D) 30 E 
12 
El sueldo de un gerente es proporcional a 
la raíz cuadrada del número de emplea- 
dos que tiene a su cargo. Si actualmente 
tiene un sueldo de $/.11 250 y tiene a su 
MAGNITUDES PROPORCIONALES 
cargo 324 empleados, ¿en cuánto aumen- 
taria su sueldo si la cantidad de empleados 
que tiene a su cargo aumentara en sus de 
A) S/.8750 B) S/.2850 C) 5/.3750 
D) S/.3140 E) S/.1990 
. Un estudiante descubre que el precio de 
una joya es proporcional al cubo de su 
peso. Por descuido, esta se cae y se rompe 
en tres pedazos, siendo el peso del pedazo 
más grande una y dos veces más que los 
pesos de los otros dos, respectivamente. Si 
por este motivo se perdió S/.5400, halle el 
precio que tenía inicialmente la joya. 
A) s/.6480 B) S/.16 400 C) S/.10 040 
D) S/.6655 E) 5/.8450 
Las caras de una caja de forma cúbica sin 
considerar la tapa ni la base son pintadas 
por ambos lados y luego enumeradas a par- 
tir del 10 en forma consecutiva creciente. Si 
el tiempo empleado para pintar las caras, 
cuya numeración es un número compues- 
to, excede al tiempo empleado en pintar 
las otras caras en 36 min, ¿cuánto tiempo 
demoró en pintar todas las caras? 
Obs.: La arista de la caja mide 84 cm. 
A) 1h 44 min 
B) 2h 
C) 2h 24 min 
D) 2h 36 min 
E) 2h 44 min 
45
LUMBRERAS EDITORES 
19. 
20. 
Lo que gasta Jahaira en prendas de vestir 
cada mes es proporcional a su sueldo men- 
sual y al número de reuniones que tiene 
al mes. 
En este mes de noviembre, su sueldo fue 
de 5/.2000 y gastó en prendas de vestir 
S/.440. Si para diciembre-tiene proyectado 
- que la cantidad de reuniones aumentará 
en sus 2 y tendrá un aumento de : de su 
5 
sueldo, ambos con respecto al mes ante- 
rior, ¿cuánto gastará Jahaira en prendas de 
vestir en diciembre? 
A) 5/.297 
B) 5/.495 
C) 5/.565 
D) 5/.792 
E) 5/.840 
Un comerciante llega a la conclusión de que 
su gasto en publicidad es proporcional al 
número de volantes que reparte e inversa- 
mente proporcional al tiempo que dura la 
publicidad. 51 en la campaña anterior repar- 
tió tres millares de volantes y gastó S/.1200 
en publicidad, ¿cuánto gastará en la pu- 
blicidad de esta nueva campaña sabiendo 
que la cantidad de volantes aumentará en 
25% y el tiempo que dura la publicidad será 
ocho veces más que el anterior? 
A) 5/.375 
B) S/.750 
Cc) s/.840 
D) S/.500 
E) S/.640 
23. 
NIVEL INTERMEDIO 
Las magnitudes A, B y Cse relacionan así: 
DP 
Á e e (C es constante) 
SL (8 es constante) 
Si se sabe que el valor de B aumenta en su 
doble y el valor de € disminuye en sus > 
halle el nuevo valor de la magnitud A te- 
niendo en cuenta que al inicio era 35. 
A) 90 
D) 270 
B) 360 C) 510 
E) 120 
Sean las magnitudes A, 8 y C, tal que 
AlP C(B es constante) 
ADP /B (C es constante) 
Cuando 4=50, entonces C=18. Halle el 
valor de € cuando A=15 sabiendo además 
que B disminuye en 3 de su valor. 
9 
A) 40 
D) 60 
B) 100 C) 64 
E) 27 
Sean las magnitudes A, B y C, tal que 
4/8 1P. A(C es constante) 
A DP C? (8 es constante) 
Además se sabe que el valor de B aumenta 
en sus = y el valor de € se reduce a su ter- 
cera parte. Halle el valor de A sabiendo que 
inicialmente era 210, 
A) 14 
D) 26 
B) 30 CO 42 
E) 126
a MAGNITUDES PROPORCIONALES 
24, Se tienen las magnitudes A, B y C, tal que 
A? DP /8 (C es constante) 
ADP JC (Bes constante) 
Cuando el valor de 4 es 20, entonces el de 
B es 175. Halle el valor de A cuando el de B 
sea 112 si, además, se sabe que el valor de 
C disminuye en su quinta parte. 
A) 25 
D) 20 
B) 16 c) 12 
E) 32 
Sean A, B y € magnitudes, tal que C es in- 
versamente proporcional a B? cuando A 
permanece constante, y también es inver- 
samente proporcional a A? cuando B per- 
manece constante. ¿Cómo varía el valor de 
A cuando el valor de B aumenta en su doble 
y el de C se reduce a su cuarta parte? 
A) Se duplica. 
B) Disminuye en su tercera parte. 
C) Disminuye en sus 2/5. 
D) Aumenta en sus 2/3. 
E) No varía. 
Indique la alternativa correcta después de 
determinar si cada proposición es verdade- 
ra [V) o falsa (F). 
Il. Lagráfica de dos magnitudes que son IP 
siempre es una hipérbola. 
Il. Silas magnitudes A y B son IP, entonces 
cuando el valor de 4 aumenta, el valor 
correspondiente de B disminuye en la 
misma cantidad. 
Il. ADP YB equivale a A? 1P 877, 
A) FVV B) VFV C) FFV 
D) FVE E) FFF 
27. Sea f una función de proporcionalidad di- 
recta, tal que 
FA3)1)+A19)=30. 
Halle el valor de f(A[7)+3). 
A) 20 B) 17 C) 24 
D) 34 E) 23 
Sean f una función de proporcionalidad di- 
recta y g una función de proporcionalidad 
inversa. Si (3) excede a g(12) en 10 unida- 
des y f(4) es a g(5) como 5 es a 3, halle la 
media proporcional de f(9) y g(3). 
A) 36 
D) 30 
B) 6 c) 13 
E) 25 
Dino pintó las seis caras de un paralele- 
pipedo en 36 min. Si ahora está pintando 
las seis caras de otro paralelepípedo, cu- 
yas tres dimensiones diferentes miden dos 
veces más que las del anterior, respectiva- 
mente, ¿a qué hora terminará si empezó a 
pintar este último a las 10:36 a.m.? 
A) 5:00 p.m. B) 4:00 p.m. C) 3:00 p.m. 
D) 4:40 p.m. E) 5:36 p.m. 
La cantidad necesaria para vivir en la ciu- 
dad A es 5/7 de lo que se necesita para vivir 
en la ciudad B. Si una familia de ocho in- 
tegrantes gasta en A 5/.27 600 durante un 
año, ¿cuánto gastarán en B' 6 amigos duran- 
te 10 meses? 
A) S/.17 250 B) S/.12 321 C) S/.20 450 
D) 5/.31 240 E) 5/.24 150 
47
LUMBRERAS EDITORES 
50 
 
 
| 
h: peralte 
| 
HL b— 
ancho 
El límite de ruptura de una viga horizontal 
apoyada en sus extremos es proporcional 
tanto al ancho de la viga como al cuadra- 
do de su peralte e inversamente propor- 
cional a la distancia entre los puntos de 
apoyo. 5i una viga de 3040 cm de sección 
y 7,20 m de largo puede soportar una carga 
de 3240 kg, determine el límite de ruptura 
para la viga si esta se coloca tomando como 
base al lado de 40 cm. 
A) 2400 kg 
B) 2430 kg 
C) 2880 kg 
D) 4320 kg 
E) 3420 kg 
twitter.com/calapenshko
 
E ii - 
36. Sea f una función de proporcionalidad di- 
recta tal que 
yt 
Tp 
fi) pi i i 
E 7 X 
Halle 
HAL NEL AZ) 2 
ó= 23 3 hr E ju E pros 
A) 300 B) 360 C) 425 
D) 600 E) 900 
37. Señale la alternativa que presenta la se- 
cuencia correcta después de determinar si 
la proposición es verdadera (V) o falsa (F). 
Il. Sidibujamos varias circunferencias con- 
céntricas, entonces podemos afirmar 
que el diámetro y la longitud de la cir- 
cunferencia son inversamente propor- 
cionales. 
II. En una obra, siempre se cumple que el 
número de obreros es proporcional a la 
dificultad de la obra. 
III. Si aplicamos la misma tasa de interés a 
un mismo capital, entonces el interés 
simple es proporcional al tiempo de 
préstamo. 
A) VFV 
D) VFF 
B) FVV C) FFV 
E) FFF 
MAGNITUDES PROPORCIONALES 
 
38. Newton estableció lo siguiente: “Dos par- 
39. 
tículas se atraen mutuamente con una fuer- 
za cuyo módulo es directamente proporcio- 
nal al producto de sus masas e inversamen- 
te proporcional al cuadrado de la distancia 
que los separa”. Según esto, ¿cómo varía 
la distancia que separa a dos partículas 
si la fuerza de atracción ha disminuido en 
29 de su valor? 
49 
A] Aumenta en de su valor. 
B) Aumenta en 3 de su valor. 
7 
C) Aumenta en : de su valor. 
D) Aumenta en 3 de su valor. 
49 
E) Disminuye en : de su valor. 
Se ha determinado que el costo de un mue- 
ble de madera es proporcional a YM ya ye 
Si el costo aumenta en sus > el valor de M 
será 81 pt y el valor de T aumentará en sus 
> ¿Qué cantidad de madera más o menos 
se utilizará? 
M: cantidad de madera que se utiliza enpt 
(pt es pie tablar) 
T: tiempo de vida útil que se proyecta (en 
años) 
A) 27 pt más 
B) 19 pt menos 
€) 11 pt menos 
D) 19 pt más 
E) 27 pt menos 
49
31. 
32, 
33, 
 
NIVEL AVANZADO 
La siguiente tabla muestra algunos valores 
correspondientes de las magnitudes A y B, 
las cuales guardan cierta relación de pro- 
porcionalidad. 
 
ZA] Ss | x|15|20|25|5y 
HB] 2 | 16 | 54 | 8z | 250| 432 
 
 
 
Halle cd 
z 
A) 1/2 B) 1 c) 2 
D) 3/2 E) 2/5 
En la siguiente tabla se muestran algunos 
valores correspondientes de las magnitu- 
des A, 8 y €, los cuales guardan cierta rela- 
ción de proporcionalidad. 
 
12 |15| y [12 |30 
 
 
 
 141|7|7156| 2 
 
Halle x-y+z, (x; y; 2) c Z*. 
A) 64 
D) 90 
B) 72 Cc) 80 
E) 100 
Las magnitudes A y B se relacionan de la si- 
guiente manera: 
A? DP B (Bs 16) 
AIP/B (16<B<25) 
YA DP 8 (8>25) 
Si cuando el valor de B es 4, entonces el de 
A es 5. Halle el valor de 4 cuando el de B 
es 100. 
A) 8 B) 64 
D) 270 
C) 144 
E) 512 
€ 5 
34. Sean funa función de proporcionalidad di- 
recta y g una función de proporcionalidad 
inversa, ambas con constantes enteras po- 
sitivas, tal que 
f115)+g(4)=31. 
SiA= su3+9(3) 
determine la diferencia positiva entre el má- 
ximo y el mínimo valor que puede tomar A. 
A) 71 
D) 83 
B) 73 C) 79 
E) 97 
35. Sean A y B magnitudes y (m; n; p) CN. 
 
SiJA,; XA, y ZA, son las áreas de los rectán- 
gulos y lA, +1B,+/A,=315 u?, halle y=x. 
5 18 A) 1 B) 2 gl ) E Hr 
po) ? g2 
5 49
APLICACIONES DE LAS 
* MAGNITUDES PO NALES 
ARRE 
En esta oportunidad veremos cómo se aplica la 
teoría de magnitudes proporcionales en dife- 
rentes situaciones. 
APLICACIÓN 1 
Halle lo que le corresponde a cada persona al 
repartir 5/.2600 proporcionalmente a sus eda- 
des que son 15; 20 y 30 años. 
Resolución 
Entonces la cantidad de dinero que le corres- 
ponde a cada persona es DP a su edad. 
(cantidad de dinero) 
(edad) 
Sean las partes A, B y € 
=> A+B+C=5/.2600 
=cte. 
Edades (años) 
15; 20; 30 
3.4606 (1) 
Luego 
A_ 
3 As
]
 c_ =¿=K (11) 
=> A=3K; B=4K; C=6K (111) 
3 A+B+C=13K=5/.2600 
K=5/.200 
HUA 
Por lo tanto, las partes son 
A=3K=5/.600 
B=4K=5/.800 
C=6K=5/,1200 
mi Observación 
 
Otra forma 
También en (11), se pueden usar las propiedades 
de series de razones geométricas equivalentes 
(SRGE) 
>. A=3(5/.200)=S/.600 
B=4(S/.200)=S/.800 
C=6(S/.200)=S/.1200 
51
LUMBRERAS EDITORES 
 
APLICACIÓN 2 
Halle lo que le corresponde a cada obrero al 
repartir 5/,3000 inversamente proporcional al 
número de faltas que tuvieron, que son 20; 12 
y 30. 
Resolución 
Entonces la cantidad de dinero que le corres- 
ponde a cada obrero es |P al número de faltas 
que tuvo. 
(cantidad de dinero) (n.* de faltas) =cte. 
Sean las partes A; B y C 
=> A+B+C=5/.3000 
Número de faltas: 20; 12 y 30 
Luego 
Ax20=Bx12=Cx30=cte. 
MCM (20; 12; 30)=60 
> O a 
3K 5K 2K 
=3 A+B+C=10K=5/.3000 
K=5/.300 
Por lo tanto, las partes son 
A=3K=5/.900 
B=5K=5/.1500 
C=2K=5/.600 
52 
Otra forma 
Para esto, debemos recordar MIPN<>M or 
Veamos 
obrero —» 1% 22 3% 
Sean las partes A B C 
Pa 20 12 30 
<>DPa xs 
30. 
=> DPa 
= Partes: 3K 5K 2K 
=> A+B+C=10K=5S/.3000 
K=5/.300 
Por lo tanto, las partes son 
A=3(5/.300)=S/.900 
B=5(5/.300)=S/.1500 
C=2(5/.300)=S/.600 
Recuerde que 60=MCM (20; 12; 30) 
APLICACIÓN 3 
Tres amigos se asociaron para formar una em- 
presa. El primero aportó 5/.400 y permaneció 6 
meses, el segundo aportó 5/.600 y permaneció 
8 meses, y el tercero aportó 5/.1000 y permane- 
ció un año. Si se obtuvo una ganancia total de 
5/.4800, ¿cuánto ganó cada uno de ellos?
a" 
Resolución 
En primer lugar identificamos las magnitudes 
que intervienen, estas son el capital (C), el tiem- 
po (t) y la ganancia (G). 
Luego, si todos los socios permanecen el mis- 
mo tiempo, entonces el que invierte más capital 
obtiene más ganancia 
G DP C (tes cte.) 
Si todos los socios invierten el mismo capital, 
entonces el que se queda más tiempo obtiene 
más ganancia. 
G DP t (C es cte.) 
=> GDPC:t 
L ae. 
Cxt 
Socios: 1% 22 qe 
C(s/.): 480 £00 1060 
2 3 5 
t (meses): £ Z Mm 
3 4 6 
G(S/): Gi G, 6 
 
5.5 () 
3 6 15 
MAGNITUDES PROPORCIONALES 
> 6G¡=3K; G,=6K; G¿=15K 
=> 6G,+G,+G3=24K=8/.4800 
K=5/.200 
Por lo tanto, las ganancias son 
G,=3K=5/.600 
G,=6K=5/.1200 
G¿=15K=S/,3000 
Recuerde que, como mencioné antes, también 
puede resolver (*) usando las propiedades de 
la SRGE, Además puede usar la observación 
de la aplicación 1. 
sí Nota 
 
Lo importante es notar que son problemas don- 
de intervienen las magnitudes proporcionales y 
que para su resolución también podemos usar 
lo aprendido en razones y proporciones. 
53
 
APLICACIÓN 4 
Se sabe que cuatro obreros pueden pintar un 
área de 240 m? en 15 días. ¿En cuántos días 
otros seis obreros podrán pintar un área de 
360 m', siendo la dificultad de esta obra la mi- 
tad de la anterior y sabiendo, además, que la 
eficiencia de los obreros del primer grupo y la 
de los del segundo están en la relación de 2 a 3, 
respectivamente? 
Resolución 
En primer lugar identificamos las magnitudes 
que intervienen; estas son el tiempo, la obra, la 
dificultad de la obra, el número de obreros y la 
eficiencia de los obreros. 
Luego tomamos como referencia el número de 
obreros y lo comparamos con cada una de las 
otras magnitudes, permaneciendo en cada caso 
las demás constantes. 
Así tenemos 
o ¡P . 
tiempo 
DP obra 
número de 
obreros IP eficiencia de 
los obreros 
DP dificultad 
de la obra 
 
n.* de eficiencia de 
Vale (tiem Pla obreros ) 
dificultad 
(obra) ba la e] 
 =cte.| (a) 
 
54 
 
 
 
 
 
Sa 
Xx 
3603 ' 
3 
1 
 
 
* Siempre que sea posible, es conveniente 
trabajar solo con la relación en la cual se en- 
cuentran los valores de una magnitud. 
Reemplazamos los valores en (ct) 
2x15x2_3xxx3 
2x2 3x1 
 
> x=5 
Por lo tanto, lo podrán pintar en 5 días. 
APLICACIÓN 5 
Una cuadrilla compuesta por 18 obreros acepta 
una obra para realizarla en 24 días trabajando 
9 h/d. Después de 10 días de trabajo, se retiran 
5 obreros y 4 días después de esto se contratan 
a n obreros más con la misma eficiencia que los 
iniciales para entregar la obra en el plazo fijado. 
Halle n, 
Resolución 
En primer lugar, identificamos las magnitudes 
que intervienen. 
¿Qué está variando? 
(n.* de obreros), (tiempo) y (obra) 
La cantidad de horas diarias de trabajo y la efi- 
ciencia son constantes, entonces como ya sabe- 
mos no las tomaremos en cuenta.
 
 
 
 
 
” MAGNITUDES PROPORCIONALES 
Se sabe : Otra forma 
(n.* de obreros)(tiempo) ae De lo anterior llegamos a 
(obra) 18 obreros; 24 dias 
Tenemos obra —» A 
18 obreros; 24 días N.? de obreros: 18 13 (13+n) 
N.? de obreros: 18 13 (13+n) Aquise trabajó — Acá está la alteración 
según lo acordado. del problema. 
Tiempo (días): 10 4 10 
Obra: o b Cc 
La obra se hizo 
según la por partes. 
condición 
inicial 
_—_— 
18x24 _18x10_13x4_ (13+n)x10 
obra a b Ec * 
| (+) 
toda la obra 
 
 
Aplicamos una propiedad de la SRGE 
18x24 _18x10+13x4+(13+m)x10 
pbra a+HrFc 
 
obra=0+b+c 
18x24=18x10+13x4+(13+n)x10 
E ES 
Entonces, en estos problemas 
ya no colocaremos la obra. 
y 
 
Luego, es conveniente trabajar a partir de don- 
de se altera la condición inicial. 
Las partes ll y 11l Las partes Il y lll 
<selban a realizar así: se realizaron así: 
xr A. ¡E M«MMMMMMNSN< 
18x(24-10) = 13x4+(13+n)x10 
n=7 
Es recomendable usar esta otra forma en los 
problemas. 
 * Observación 
 
55
LUMBRERAS EDITORES | Pe! a 
Ruedas engranadas 
 
Observamos que al girar una de las ruedas la 
otra también lo hará y que la rueda A que es la 
más pequeña (tiene menos dientes) completa- 
rá primero una vuelta y siempre en un mismo 
tiempo para ambas dará más vueltasque la otra 
rueda. 
Entonces podemos decir que si dos ruedas se 
encuentran engranadas, se cumple que lo si- 
guiente: 
= La que tiene menor cantidad de dientes 
dará más vueltas. 
+ La que tiene mayor cantidad de dientes 
dará menos vueltas. 
 número de ¡P número de dientes vueltas 
 
APLICACIÓN 6 
En un sistema de engranajes, las ruedas A y B 
de 40 y 60 dientes, respectivamente, se en- 
cuentran engranadas. ¿Cuántas vueltas dará la 
rueda B cuando A dé 150 vueltas? — 
 
 
 
 
 
(n.* de dientes) (n. de vueltas) =cte. 
Resclución > 2x150=3Xx 
En primer lugar identificamos las magnitudes. 
que intervienen; estas son el número de dien- 7? X=100 
tes que tienen las ruedas y el número de vueltas | ) 
que ellas dan. —— Porlo tanto, la rueda 8 dará 100 vueltas. 
56
MAGNITUDES PROPORCIONALES 
 "" 
Otra forma 
Como las magnitudes que estamos analizando - 
son IP, se cumple que si los valores que toma 
el número de dientes están en la relación de 2 a 
3, entonces los valores que toma el número de 
vueltas estarán en la relación de 3 a 2, respecti- 
vamente. 
Veamos 
N.? de dientes: 
o . N.? de vueltas: 3 
dato — 150 
Por lo tanto, la rueda 8 dará 100 vueltas. 
És Nota 
Observamos que como las ruedas están fijas al 
mismo eje, entonces, al girar el eje, ambas rue- 
das darán el mismo número de vueltas. 
 
n.? de vueltas n.* de vueltas 
de la rueda B de la rueda A 
 
APLICACIÓN 7 
Una rueda A de 72 dientes engrana con otra 
rueda 8 de 84 dientes, y fija al eje de la rueda | 
B, va montada una rueda C de 50 dientes la 
cual engrana con una rueda D de 40 dientes. 
¿En qué relación está el número de vueltas que 
dan las ruedas A y Den ese orden, en un mismo 
tiempo? 
Resolución 
V;: vueltas de la rueda ¡ 
 
 
B y Cdan el 5Ó 
mismo número] 5 sg. 
de vueltas, 
vueltas: 7 6 4 5 
A) 
[pasas para homogeneizar perl 
que sean igual al MCM (6; 4)=12 
N.* de 
vueltas: 7(2) 6(2) 413) 5(3) 
> Va=7(2K); Va=6(20; V=4(3K); Vp=5(3K) 
V¿=14K V¿=12K V¿=12K Vp=15K 
Va, 14K 14 
Por lo tanto, el número de vueltas que dan las 
ruedas A y D está en la relación de 14 a 15. 
O) bservación ja 
 
 
SÍ
 
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
 
Resolución 
 
*« ADPB<>BDPA 
= SiA DP B, entonces la relación en la cual se 
encuentran los valores de la magnitud A es 
la misma relación en la cual se encuentran 
los valores respectivos de la magnitud B. 
 
De lo anterior 
DP: S/.10560 S/.12500 S/.31500 
3 5 9 
=> Edades: 3K 5K OK 
El mayor 
9K=27 años 
K=3 años 
Nos piden 
5K=3K=2K=6 años 
Por lo tanto, la diferencia positiva de las otras 
dos edades es 6 años. 
ca) 
PROBLEMA N.? 6 
Beto y Dino se reparten S/.N proporcionalmen- 
te a sus edades que son 9 y 15 años, respectiva- 
mente. Si el reparto se efectuara el año siguien- 
te, uno de ellos se perjudicaria con 5/.25. Halle 
el valor de N. 
A) 1000 
D) 2000 
8) 1040 C) 1860 
E) 2600 
60 
 
Importante 
En estos casos debemos notar que lo que no 
cambia es la cantidad total, 
 
Beto Dino 
| | 
E Maños 15 años 
e > Total 
_—_ 
Partes: 3 5 8 Px13K 
| / 4 
39K 65K 104k 
e. Elaño 
siguiente: 10años J6años 
5 o 8 Total 
Partes: 5 8 13 )x8k 
4 ¡ ) 
40K 6a4K 104k 
Para homogeneizar, hacemos que el total sea 
igual al MCM(8; 13)=104 por una constante, es 
decir, 104K. 
Entonces el que se perjudicaria sería Dino 
65K-64K=K=5/.25 
—> S/.N=104K=104(5/.25) 
=5/.2600 
Por lo tanto, el valor de N es 2600. 
_Cuave (8)
 
 
e ” MAGNITUDES PROPORCIONALES 
PROBLEMA N.” 3 Resolución 
Cuatro alumnos se reparten S/.N proporcional- 2 
mente a sus notas que son 10; 12; 16 y 18. Si la Nota 
mayor diferencia de dos de las partes es S/.180, 
¿cuál es la cantidad que se repartieron? 
A) 5/.1080 B) s/.1200 C) 5/.1260 
D) 5/.1400 E) 5/.1540 
' Resolución 
DP: Y_xz sy 
5 6 BA 3 
Partes: 5K 6K 8K 9K 
E 
La mayor diferencia de dos 
de las partes es 4K. 
> á4K=5/.180 
x7 | Piden N=5K+6K+8K+9K 
=28K 
=> N=(8S/.180)x7=5/.1260 
Por lo tanto, se repartieron 5/.1260. 
_cuave (8) 
PROBLEMA N.? 4 
Tres amigos reunieron 5/.6720 para sus vacacio- 
nes, lo que se repartirán proporcionalmente al 
número de exámenes aprobados. Si dos de ellos 
recibirán 5/.1600 y 5/.2880, ¿cuántos exámenes 
aprobó el otro amigo sabiendo además que en- 
tre los tres aprobaron 42 exámenes? 
A) 10 
D) 16 
B) 14 C) 15 
E) 18 
.« ADPB<>BDPA 
+= SiADPB, entonces la relación en la cual se 
encuentran los valores de la magnitud A es 
la misma relación en la cual se encuentran 
los valores respectivos de la magnitud B. 
 
5/.6720 
e l Sa el otro amigo 
DP: S/.J600 S/2880 s/.2240 
5 3 7 
n.* de exámenes 
aprobados: NDS 
Total: —21K=42 
/ 
2 
> 7K=14 
Por lo tanto, el otro amigo aprobó 14 exámenes. 
_Cuave (8) 
PROBLEMA N.* 5 
Se reparte una herencia en partes que son di- 
rectamente proporcionales a las edades de 
tres hermanos, correspondiéndoles a cada uno 
S/.10 500; 5/.17 500 y S/.31 500. Si el mayor 
tiene 27 años, halle la diferencia positiva de las 
edades de los otros dos hermanos. 
A) laño 
D) 6 años 
B) 3 años C) 4 años 
E] 9años 
59
+ PROBLEMAS RESUELTOS 
ARRE 
twitter.com/calapenshko 
NIVEL BÁSICO 
PROBLEMA N.”? 1 
Al repartir 5/.9240 en forma directamente pro- 
porcional a los puntos ganados por tres amigos 
que son 6; 14 y 22 puntos, halle la menor parte. 
A) 5/.2640 
B) S/.2040 
C) S/.1630 
D) S/.1320 
E) 5/.1230 
Resolución 
DP: g 4 2 
3 7 11 
Partes: 3K 7K 11K 
=> 3K+7K+11K=5/.9240 
21K=S/.9240 
K=5/.440 
=> 3K=5/1320 
Por lo tanto, la menor parte es 5/.1320. 
CLAVE N 
58 
PROBLEMA N.? 2 
Al repartir S/.7750 en forma inversamente pro- 
porcional al número de faltas al colegio que tu- 
vieron tres niños, las cuales son 6; 9 y 15, halle 
la mayor parte. 
A) S/.3875 
B) 5/.3750 
C) 5/.1250 
D) S/.2400 
E) 5/.3060 
Resolución 
IP: gg gg 45 
2 3 5 
Partes: 4 B Cc 
> 24=3B=5C=(30)K 
boy 
15X 10K 6K 
Es el MCM (2; 3; 5). 
>. 15k+10K+6K=5/.7750 
31K=5/.7750 
K=5/.250 
=> 15K=5/.3750 
Por lo tanto, la mayor parte es 5/.3750. 
_Cuave (B)
 
> 9K+80K+16K=2520 
105K=2520 
K=24 
Nos piden 
80K-9K=71K=71(24)=1704 
Por lo tanto, la mayor parte excede a la menor 
en 1704, 
_Cuave Y) 
PROBLEMA N.” 8 
Se reparten 3150 en tres partes que son inversa- 
mente proporcionales a los números 63 : 4112 
y 4252. Halle la mayor parte. 
A) 700 B) 910 C) 1050 
D) 1400 E) 1454 
 
 
 
ar comas MAGNITUDES PROPORCIONALES 
PROBLEMA N.* 7 Resolución 
Se reparten 2520 en tres partes que son propor- 
cionales a los números 307; 20 y 40? ¿Encuán- IP: 4/63 112 252 
to excede la mayor a la menor parte? ; . ; 
Ala Ade AA 
A) 852 8) 1080 C) 1440 ? . . 
D) 1704 E) 210 Partes: A B C 
Ius 
DP; 3 207 0? 
de | | > 3A=4B=5C=(2 
a O | Bauer ae ¿ue de a 
3 80 16 
Partes: 9K 80K 16K > 4K+3K+2K=3150 
9K=3150 
K=350 
> 4K=1400 
Por lo tanto, la mayor parte es 1400. 
_cuve Q) 
PROBLEMA N.” 9 
Se reparte N en tres partes proporcionalmente 
a los números 2*%P+?, 3100+4 ,, 2100+5. donde 
p es un número primo absoluto. Si la suma de 
las dos menores partes es 14 000, halle el valor 
deN, 
A) 33800 
B) 34.600 
C) 36400 
D) 38 600 
E) 39200 
61
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
DP: ¿Apr? 
bo | ; 
A RN 
1 4 8 
310p +4 dps 5 
Partes: K ak BK 
ES al 
Son las dos menores partes. 
=> K+4K=14 000 
5K=14 000 
K=2800 
—=> N=K+4K+4+8K 
=13K 
=13(2800)=36 400 
Por lo tanto, el valor de N es 36 400. 
_ciave 
PROBLEMA N.? 10 
Al repartir 5/.3100 en tres partes, tal que es- 
tas sean directamente proporcionales a 6; 15 y 
10, y a la vez inversamente proporcionales a 2; 
3 y 5, respectivamente, halle la parte que no es 
mayor ni menor, 
A) 5/.2550 
B) S/.1550 
Cc) s/.930 
D) 5/.1440 
E) 5/.620 
62 
Resolución 
 
Recuerde 
1 
. ALE ADES 
» ADPB(Cescte.) 
A DP C(B es cte.) 
 
3 ADPBxXC 
DP: 6 15 10 
IP: 2 3 5 
/ 
DP: Ze z z 
2 3 5 
DP: 6x2 15x2 10x2 
2 3 5 
AR A—_— A 
3 5 2 
Partes: 3K 5K 2K 
3 3K+5K+2K=5/.3100 
10K=5/.3100 —> K=5/.310 
=> 3K=5/.930 
Por lo tanto, la parte que no es mayor ni menor 
es 5/.930, 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.” 11 
Se descompone A en tres partes enteras que 
son proporcionales a m; n y 11. Si la suma de 
las dos mayores partes es 2700, halle la menor 
parte. 
im; maz; m-n=21 
A) 150 
D) 320 
8) 240 C) 270 
E) 450
MAGNITUDES PROPORCIONALES 
 
Resolución 
Silm:njcZ* y mxn=21 
/ 
3 7 Aa 0 
1 21 
Ml 
21 ,) , (un 
Además 
DP: m n 11 
Partes: mK nK 11K (111) 
De (1) y (111) 
18K=2700 
K=150 
5e cumple que las partes son enteras. 
De (11) y (111) 
32K=2700 
K=84,375 
No cumple que las partes sean enteras. 
=> 3K=450 
Por lo tanto, la menor parte es 450. 
CLAVE E 
PROBLEMA N.? 12 
Ana, Betty y Carmen se asociaron para formar 
una empresa de chocotejas aportando para ello 
5/.600 durante 5 meses, S/.900 durante 7 me- 
ses y 5/.750 durante un año, respectivamente. 
Halle la ganancia total sabiendo que Carmen 
ganó 5/.3000 más que Ana. 
A) S/.7320 B) S/.7500 C) S/.8400 
D) S/.9150 E) 5/.9300 
Resolución 
 
Importante 
Cuando se pueda, es conveniente trabajar 
solo con la relación en la que se encuentran 
los valores de una magnitud. 
Las cantidades de una misma magnitud tie- 
nen que estar en las mismas unidades. 
 
Capitales (S/.): ¿06 sed 750 
4 6 5 
Tiempos (meses): 5 7 12 
- 
 
Recuerde 
ganancia 
KK = (te 
[capital)(tiempo) 
 
Ga: ganancia de Ana 
Gg: ganancia de Betty 
G¿: ganancia de Carmen 
 
 
 
 
Entonces 
a = 6 = Gc 
45 65% 5x1 
10 21 30 
5/,3000 
(- | 
eos ad 
Ga 6 _ € - Crotar 60.7 Ca: 
10 1 30 61 30-10 
(+) 
Gtotal = s1( Y: 0 ) $/.9150 
63
 
Otra forma 
Cuando conozca los valores del capital y del 
tiempo, recuerde que 
(ganancia) DP (capital) (tiempo) 
Ana Betty Carmen 
/ 
DP: 45 pa 5d 
10 21 30 
=> Ganancias 
10K 21K 30K 
=> 30K-10K=5/.3000 
20K=5/.3000 
K=S/.150 
Grota¡= 10K+21K+30K 
Grora=61K=61[5/.150) 
Grorar=5/.9150 
_cuve 
PROBLEMA N.”? 13 
Daniel inicia un negocio con 5/.1500; a los dos 
meses acepta a Juan como socio, quien aporta 
5/.1000 más que él, y tres meses después de 
esto ingresa Arturo con un capital que es 5/.1000 
más que el de Juan. Si cuatro meses después 
que ingresó Arturo se tienen que repartir una 
utilidad de S/.10 800, ¿cuánto le corresponde 
a Juan? 
B) S/.4200 C)] S/.3360 
E) $/.3240 
A) S/.4000 
D) S/.5400 
64 
Cp=S/.1500 C,=S/.2500 C,=S/.3506 
mn 3 5 1 
Resolución 
 
Tenga en cuenta 
Será común simbolizar así: 
Ca: capital de Arturo 
£;: tiempo de Juan 
Gp: ganancia de Daniel 
 
Gráficamente 
 2 meses 3 meses 
ty=9 m t¡=7 m t,=4 mi 
Recuerde 
GDP Ext 
Daniel Juan Arturo 
4 | | 
DP: 3x9 5x7 1x4 Total 
6: 27K 35K 28K 390K 
=> 90K=5/.10 800 
K=5/.120 
=> G,=35K=S/.4200 
Por lo tanto, a Juan le corresponde S/.4200. 
_cuve )
sr 
PROBLEMA N.” 14 
Cuatro emprendedores reúnen 5/.,90 000 para 
un negocio. El primero aportó la mitad del total, 
el segundo los 2/5 de lo que aportó el primero, 
el tercero 5/6 de lo que aportó el segundo y el 
cuarto el resto. Si al cabo de un año se reparten 
una utilidad de 5/.22 500, halle la suma de las 
dos menores ganancias. 
 
A) 5/.7500 
B) S/.9750 
C) S/.6750 
D) S/.7200 
E) 5/.8250 
Resolución 
Determinamos los capitales de cada socio 
C,==(90000)= 45000 15 
C2=2(45000)= 18200 e 
C,=(18000)= 15000 s 
C¿=90 000-(45 000+18 000+15 000)=12.000 a 
 
Observación 
Como todos los socios permanecen el mismo 
tiempo (un año), la ganancia que obtiene 
cada socio solo dependerá del capital que 
haya aportado. 
 
> GDPC 
19 279 309 40 
LOs +4 
Cc. 15 6 5 4 Total 
G: 15K 6K 5K 4K 30K 
MAGNITUDES PROPORCIONALES 
3 30K=5/.22 500 
K=S/.750 
> G3+G,=9K=5/.6750 
Por lo tanto, la suma de las dos menores ganan- 
cias es 5/.6750. 
_Cuave (6) 
PROBLEMA N.?” 15 
Tres amigos se asociaron para iniciar un nego- 
cio aportando el primero tres veces más que el 
segundo, y este la sexta parte de lo que aportó 
el tercero. ¿En qué relación están los tiempos 
que permanecieron los tres (en el orden dado) 
si obtuvieron la misma ganancia? 
A) 6;1y4 
B) 3;6y1 
C) 2;3y12 
D) 3;12y2 
E) 1;4y6 
Resolución 
Empezamos convenientemente por el tercero 
asumiendo que el capital que aporta es como 6. 
Amigos: qe 37 30 
| Eo 4 
1 C: 1+3(1)=4 (6)=1 6 
t: ty ta t 
Ganancias: - G G G 
65
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
Como 
G 
—_=tte. 
Cxt 
G G G 
o = 
4xt, 1xt, 6xt3z 
Es el MCM (4; 1; 6). 
má 4xt,=1xt,=6 xty=12 
Hoo4 ; 
3 12 2 
Por lo tanto, los tiempos que permanecieron los 
tres están en la relación de 3; 12 y 2 (en el orden 
dado). 
_Clave 
PROBLEMA N.? 16 
Dos amigos reunieron 5/.22 000 para formar un 
negocio aportando uno de ellos 3/8 de lo que 
aportó el otro y permaneciendo el doble del 
tiempo que su amigo. Si tienen que afrontar 
una pérdida de S/.3500, ¿a cuánto asciende la 
mayor pérdida? 
 
A) s/.2800 B) s5/,2100 C) s/.2000 
Dj 5/.1850 E) 5/.1500 
Resolución 
Recuerde , 
(pérdida) DP (capital) (tiempo) 
pérdida 
— — o —— 
(capital)(tiempo) 
 
66 
A AAN, > 
 
Observación 
Trabajemos solo con la relación en la cual 
se encuentran los capitales y lo mismo 
con el tiempo. 
 
Empezamos convenientemente con el amigo 2 
asumiendo valores para su capital y tiempo. 
Amigo 1. Amigo 2 
: / ; 
C: 2 (8)=3 8 a ) 
E 2 1 
DP: 3x2 8x1 
3 4 Total 
—— 
Pérdidas: 3K AK 7K 
=> TK=5/.3500 —=> K=5/500 
—> 4K=5/.2000 
Por lo tanto, la mayor pérdida es 5/.2000. 
_cuave (Y) 
PROBLEMA N.* 17 
Para construir un puente de 600 m se ha contra- 
tado 30 obreros para trabajar 12 días en jorna- 
das de 10 horas. Pero una nueva decisión técni- 
ca exige que el puente sea de 900 m, para ello 
se contratan 6 obreros más. ¿En cuántos días se 
construirá el puente con los 36 obreros en jor- 
_ nadas de 6 horas diarias? 
A) 15 
D) 30 
B) 20 Cc) 25 
E) 35 
UNI 2004-11
ar MAGNITUDES PROPORCIONALES 
Resolución 
Sabemos 
(n.* de obreros)(tiempo) Sut 
(obra) 
> 30x12x10_ (0+6)xtx6 
600 900 
 
=> t=25 
Por lo tanto, el puente se construirá en 25 días. 
CLAVE Se 
PROBLEMA N.* 18 
Una cuadrilla de n obreros tiene planificado as- 
faltar un tramo de una carretera en 39 días. Una 
nueva exigencia les indica que deben realizar la 
obra en 27 días, para lo cual deben trabajar 4 
horas más por día y asi lo hicieron. ¿Cuántas ho- 
ras diarias trabajaron? 
A) 9h/d. 
B) 10h/d. 
C) 11h/d. 
D) 12h/d. 
E) 13h/d. 
Resolución 
 
Observación 
Como la cantidad de obreros no cambia (es cons- 
tante), entonces no es necesario considerarla. 
 
Sabemos 
(n.* de días) (h/d.)=cte. 
Suponemos que se iba a trabajar h horas dia- 
rias, pero con la nueva exigencia trabajaron 
(h+4) horas diarias. 
=> 39xh=27x(h+4) 
39xh=27xh+27x4 
12h=27x4 => h=9 
Por lo tanto, trabajaron 13 h/d. 
_Cuave E) 
PROBLEMA N.? 19 
Una parte de una obra la realizan 36 obreros en 
15 días trabajando 8 h/d. Se retiran 8 obreros 
y los que quedan la terminan en 27 días traba- 
jando 2 horas más por día. ¿En qué relación se 
encuentran la cantidad de obra que se hizo en 
los primeros 15 días con la que se hizo en los 
últimos 27 días? 
A] de7a11 
D) de4a7 
B) de3a4 C) dela3 
E) deSaé£ 
Resolución 
27 días 15 días 
 
1 | 
escomoa escomo b 
Sabemos 
(n,? de obreros)(tiempo) _ 
cte. 
(obra) 
36x15x8 28x27x10 a 
— —z= — +» — 
o b b 
Por lo tanto, se encuentran en la relación de 
da?, 
_cuave Y) 
67
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.”* 20 
Una obra puede ser realizada con 60 obreros en 
18 días trabajando 8 hd, Con 24 obreros dos ve- 
ces más eficientes que los anteriores, ¿cuántos 
días antes se terminará la misma obra? 
 
A) 1 B) 2 Cc) 3 
D) 4 EJ 5 
Resolución 
Observación 
El número de h/d. es constante; enton- 
ces no lo consideramos. 
 
Sabemos 
(n.* de obreros) (tiempo) (eficiencia)=cte. 
aos 
60x18x1=24xtx3 dos veces más 
<> al triple