Mínimos y Máximos ejercicios y practica

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Colección Temas Selectos 
 
Máximo común 
A oleo 
oli ld) 
Teoría y práctica twitter.com/calapenshko 
El ele lyas 01 Lumbreras
 
 
| Asociación Fondo de Investigadores y Editores O 
| 
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twitter.com/calapenshko | 
- Máximo común divisor y 
mínimo común múltiplo 
UN 
 
 
Máximo comiin divisor y mínimo común múltiplo 
Autor: Fernando Inga Mendizábal 
O Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
6 Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Av. Alfonso Ugarte N.? 1426, Breña. Lima-Perú. Telefax: 01-332 3786 
Para su sello editorial Lumbreras Editores 
Página web: www.elumbreras.com.pe 
Primera edición: marzo de 2014 
Primera reimpresión: mayo de 2016 
Segunda reimpresión: mayo de 2018 
Tercera reimpresión: junio de 2019 
Tiraje: 700 ejemplares 
ISBN: 978-612-307-392-3 
Registro del proyecto editorial N.? 31501051900007 
“Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú” N.* 2019-00117 
Prohibida su reproducción total o parcial, Derechos reservados D. LEG. N.* 
Distribución y ventas al por mayor y menor 
Teléfonos: Lima: 01-332 3786 / Provincia: 01-433 0713 
= ventas €'elumbreras.com.pe 
Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación 
Fondo de Investigadores y Editores en el mes de junio de 2019. 
Calle Las Herramientas N.* 1865 / Av. Altonso Ugarte N.* 1426, Lima-Perú. 
Teléfono: 01-336 5889
"Ml MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
1, Máximo común divisor (MOD) co 4 
2. Principios relativos al máximo común divisor ...........acommmmmmnmmíms 14 
3. Métodos para el cálculo del máximo común divisor ................ccccicioneneiieiacc 17 
3.1. Método de divisiones entre factores priMos .............oorocmreeceimess 17 
3,2. Método de los factores primos cc cid 19 
3.3, Método del algoritmo de Euclides ...............ooccnninncnoormcelenecniiacio 21 
4. Propiedades del máximo común divisor .............mumommmnicncnn ici 24 
4,1. Para dos NÚMEeTrOS ...........ocioemsmmer A e 24 
4.2. Para varios NÚMEeroS oca moria RIADA A AAA DARLA IN 27 
5. Mínimo común múltiplo (MOM) coccion IA 
6. Principios relativos al mínimo común múltiplo .............acicmmmmsisme IO 
 
7. Métodos para el cálculo del mínimo común múltiplo ...............ccanonsrmanmnere 38 
7.1. Método de divisiones entre factores priMos inicios 38 
7.2. Método de los factores primos .............cumonmmimmmneeeeecnn 41 
8. Propiedades del mínimo común múltiplo .........a.aaanmmmeccseccsemmmss 42 
8,2. Para Os MÚMETOS .........ccconacmniecinne cierran ls 42 
EL. Para varios ÚMOTOS 2 data alcóis 46
"Mi PROBLEMAS RESUELTOS 
Nivel básico .... E HA ona 51 
Nivel intermedio .........icncnnnnceemtims a 77 
NIVEL MANTA si Ea 94 
"Ml PROBLEMAS PROPUESTOS 
Nivel básico ... pm a cnc 110 
Nivel intermedio asco AA 116 
Nivel avanzado... oo cines ds 120 
 
 
"M CLAVES | A 125 
a DORADA cinc a AS OS 126 
twitter.com/calapenshko
"y
a PRESENTACIÓN 
Y 
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de 
Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Máximo 
común divisor y mínimo común múltiplo, perteneciente a una nueva serie 
de temas escogidos donde se realza el valor analítico y crítico en la ense- 
fianza de las ciencias. 
La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los 
alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus 
conocimientos en temas específicos en los cursos de matemáticas, ciencias 
naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores 
abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque 
didáctico y cuidadoso en la relación teoría-práctica. 
Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor 
profundización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, 
por eso nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar 
una nutrida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza 
de los estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios 
aplicativos y problemas resueltos y propuestos por niveles. 
Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha signi- 
ficado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesionales 
de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro anhelo de 
una educación científica y humanística integral, En este proceso, deseamos 
reconocer la labor del profesor Fernando Inga Mendizábal, de la plana de 
Aritmética de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en la elabo- 
ración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la ense ñanza 
preuniversitaria. 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
+ INTRODUCCIÓN 
E 
Recubrir suelos (y si es preciso paredes o techos) con losetas es un tema 
que remonta desde hace miles de años, cuya principal misión es revestir 
totalmente el suelo de una sala, un dormitorio o cualquier ambiente. Uno 
puede recubrir absolutamente un plano, péro el trabajo de producir y luego 
de colocar las losetas Únicas es muy complejo. Así pues, desde la creación 
de las losetas, se presta cuidado en la igualdad de su forma y tamaño ya que 
serán colocadas a lo largo y a lo ancho de un plano, haciendo uso del mí- 
nimo común múltiplo, que nos permitirá seleccionar las losetas adecuadas 
para recubrir un determinado plano, así también, del máximo común divisor, 
cuando la resolución de ecuaciones debe tener como resultado un número 
entero o para calcular las dimensiones adecuadas en las cuales se puede 
dividir un terreno para obtener la menor cantidad de lotes. 
El presente libro trata sobre el máximo común divisor y el mínimo co- 
mún múltiplo, los cuales serán desarrollados a través de un lenguaje sencillo 
para explicar sus definiciones y propiedades; también dentro de la teoría hay 
ejemplos y aplicaciones que reforzarán lo estudiado. Para complementar la 
parte teórica, se presentan problemas resueltos en forma didáctica, brindan- 
do en cada resolución un análisis adecuado; además incluye problemas pro- 
puestos, que permitirán al alumno aplicar lo aprendido. Dichos problemas 
han sido ordenados por niveles (básico, intermedio y avanzado). 
Agradezco a Afined (Asociación Fondo de Investigadores y Editores) por 
la oportunidad de compartir la experiencia en la enseñanza de la matemá- 
tica, y al profesor Óscar Mendizábal Aguedo, quien motivó y desarrolló en 
mi la pasión por la matemática, que es tan compleja pero que sirve para 
solucionar problemas de la vida cotidiana. 
Finalmente, espero que este libro aporte y facilite el aprendizaje mo- 
tivando al lector a interesarse por el tema; asimismo, sirva de apoyo en las 
siguientes publicaciones para contribuir a la educación de la sociedad.
+ MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) 
 
El máximo común divisor de varios números na- 
turales es el mayor de los divisores comunes de 
dichos números. 
Ejemplo 
Veamos para los números 18; 24 y 30. 
8:00:06: 9;18 
4: 10:0: 0): 4; (6); 8; 12; 24 
30: D0;(M; 6); 5 ;(6); 10; 15; 30 
divisores Z' 
 
Se observa que los divisores comunes de 18; 24 
y 30 son 1; 2; 3 y 6. De estos, 6 es el mayor di- 
visor común. 
MCD(18; 24; 30)=6 
 
Ahora analizaremos los divisores del MCD de 
18; 24 y 30; es decir, de 6. 
6:1:;2:3:6 
a 
divisores Z* 
Se observa que los divisores de 6 son a la vez los 
divisores comunes de 18; 24 y 30. 
Ejemplo 
Veamos ahora para los números 20 y 50. 
2: 0;0; 4:60; (0); 20 
so: (1; (E) O); (0; 25; 50 
divisores Z' 
 
Se observa que los divisores comunes de 20 y 
50 son 1; 2; 5 y 10. De estos, 10 es el mayor 
divisor común. 
MCD(20; 50)=10 
Ahora analizaremos los divisores del MCD de 20 
y 50; es decir, de 10.10: 1:;2:5; 10 
ol 
divisores 2* 
Se observa que los divisores de 10 son a la vez 
divisores comunes de 20 y 50. 
11
LUMBRERAS EDITORES 
% 
 
 
 
Nota 
 
APLICACIÓN 1 
Si el MCD(48; 72; 96; 120)=24; ¿cuántos divi- 
sores comunes tienen los números 48; 72; 96 
y 1207 
Resolución 
De acuerdo a la observación se sabe que los 
divisores comunes de un conjunto de números 
son a la vez los divisores del MCD de dichos nú- 
meros. 
Por dato se tiene que MCD(48; 72; 96; 120)=24, 
Ahora determinamos los divisores de 24. 
24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 
24 tiene 8 divisores. 
 
También podemos aplicar la regla práctica que 
se utiliza para determinar los divisores de un 
número. 
Asi se tiene 
24=2*x3 
A 
DC 
¡Pearaco =(3+1)x(1+1)=4x2=8 
12 
Por lo tanto, los números 48; 72; 96 y 120 tienen 
8 divisores comunes. 
APLICACIÓN 2 
Si el MCD(A; B; C)=90, calcule la suma de los 
divisores comunes de A; B y C. 
Resolución 
Por dato se tiene que el máximo común divisor 
de A; B y Ces 90. También se sabe que los divi- 
sores de 90 son 
90: 1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30; 45; 90 
90 tiene 12 divisores. 
 
Ahora calculamos la suma de divisores de 90 
suma de 
divisores de 5% =14+243454+6+9+104+15+ 
+184+304+45+90=234 
También podemos calcular dicha suma aplican- 
do la regla práctica que se utiliza para calcular la 
suma de divisores de cualquier número. 
Primero obtenemos la descomposición canónica 
(DC) del número 
90=2x3*x5 
— 
DC 
 
sumade Y _2%-1 3%-1 5%-1 
divisores de 90 | 2-1 3-1" 5-1 
suma de 
divisores de 30 )-3:13-6=234
Moon MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
Por lo tanto, como la suma de divisores del MCD 
de A; B y Ces 234, entonces la suma de divisores 
comunes de A; B y € también será 234. 
 
Cada uno de los números es múltiplo de su 
máximo común divisor. 
Ejemplo 
Veamos para los números 36 y 60. 
36:0:0:0:0:6) 9; (2;18;36 
60100:0/0;s;¡0O;10;(2);15; 20; 30; 60 
divisores Z* 
 
Se tiene que el MCD(36; 60)=12. 
También observamos que 
pat 
36=12x3=12 
o 
60=12x5=12 
Por lo tanto, 36 y 60 son múltiplos de su 
máximo común divisor, es decir, de 12. 
APLICACIÓN 3 
Si se sabe que el MCDÍa0; [a+2)b)=25, 
calcule axb. 
Resolución 
Se sabe que el mcoÍa0; (a+2)]b)=25. Entonces 
se cumple que 
 
 
70=25=25x2 A ardb=25 
a0=50 E725=25 
> a=5 7b=25x3 . 
7b=75 
=> b=5 
axb=5x5=25 
APLICACIÓN 4 
Si el mcola52; 7bac)=11, calcule a+b+c. 
Resolución 
Como el máximo común divisor de a52 y 7bac 
es 11, entonces se cumple que ambos numera- 
les son múltiplos de 11. 
: 2 
Por lo cual planteamos que a52=11. Aplicando 
el criterio de divisibilidad por 11 se tiene que 
o 
o052=11 
+-+ 
 
o 
a+2-5=11 => a=3 
Del mismo modo aplicamos el criterio por 11 
para el otro numeral 
 
7bac=11 
4-4 
z 
b+c-7-a=11 
Reemplazamos el valor de a 
AA 
(b+c)-10=11 => b+c=10 
e o+b+c=3+10=13 
13
LUMBRERAS EDITORES 
 A | 
PRINCIPIOS RELATIVOS AL MÁXIMO COMÚN DIVISOR 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 8 y 24. 
De los números 8 y 24, se observa que 8 es 
divisor de 24. Por lo tanto, 8 que es el menor 
número (24 > 8) es el común divisor de dichos 
números; además es el mayor de los divisores 
de 8 y 24, ya que no existe número mayor que 8 
que pueda ser divisor de 8. 
MCD(8; 24)=8 
APLICACIÓN 1 
Si el MCDÍab0; 2b)=42, calcule axb. 
Resolución 
Se sabe que ab0 es múltiplo de ab o también 
podemos decir que abO es divisible por ab, ya 
que ab0=0abx10. 
Por este principio se tiene que MCOÍab0; ab)=ab, 
dado que ab es el menor, y por dato se tiene que 
ab=42 
y 
axb=4x2=8 
APLICACIÓN 2 
Si el MCD(8N; 40N)=120, calcule la suma de di- 
visores no primos de N. 
14 
 
Resolución 
Dados los números 8N y 40N, se observa que 40N 
es múltiplo de 8N/ o que 8N es divisor de 40N. 
Por el principio mencionado se tiene que 
MCD(8N; 40N)=8N 
Pero por dato se sabe que el máximo común di- 
visor de 8N y 40N es 120, entonces se cumple 
que 8N=120, donde N=15. 
Ahora determinamos todos los divisores de N; 
es decir, de 15, 
15:18) 6); 15 
ME: 
divisores primos 
Por lo tanto, la suma de divisores no primos de 
15 será 1+15=16. 
APLICACIÓN 3 
Calcule el máximo común divisor de 6! y 4). 
Resolución 
Sabemos que 
61=6x5x4x3x2x1=720 
4l=4x3x2x1=24 
Se observa que 4! está contenido en 6!; es decir, 
4! es un divisor de 6!. 
Por lo tanto; se cumple que el máximo común 
divisor de 6! y 4! es 41; es decir, 24.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
 
Sean A y B dos números no divisibles entre sí. 
Además A > B, y res el residuo que se obtiene 
al dividir A entre B. Entonces se cumple que 
MCD(A; B)=MCDIB; r). 
Ejemplo 
Veamos para los números 20 y 8. 
Calculamos el MCD(20; 8). Sabemos que 
20: 0:0:(); 5; 10; 20 
000: 8 
Los divisores comunes 
son 1;2y4. 
 
MCD(20; 8)=4 
Ahora si dividimos 20 entre 8, se obtiene un re- 
siduo r=4. Luego calculamos el MCD(8; 4). 
Sabemos que 
: 000; 3 
000 
Los divisores comunes 
sonl; 2y4. 
 
MCD(8; 4) =4 
De estos dos cálculos, concluimos que 
MCDI[20; 8)= MCD(8; 4)=4 
u Recuerde 
A a A E a 
APLICACIÓN 4 
Si al dividir 120 entre ab se obtiene como resi- 
duo 45, calcule el MCDÍAS; ab). 
Resolución 
Se sabe que 
120: (1); 2; G);4; (5); 6; 8; 10; 12; 45); 20; 24; 
30; 40; 60; 120 
(106); 9; 15); 45 
Los divisores comunes son 
1:35 y 15. 
 
MCD(120; 45)=15 
Ahora por el segundo principio se sabe que se 
cumple 
mcol120; ab)=mcoÍ(ab; 45)=15 
donde 45 es el residuo de dividir 120 entre ab. 
-, mcolas; ab)=15 
15
LUMBRERAS EDITORES 
 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 20; 30 y 50. 
Sabemos que 
:0:0: 4:06): 00; 20 
30: (10;(); 3 ¡6); 6 ;(10; 15; 30 
0:90:00: 25; 50 
Los divisores comunes son 1; 2; 5 y 10. 
 
MCD(20; 30; 50)=10 
5e sabe que 20 es el menor de los tres números 
(20; 30 y 50). Entonces se cumple que el máxi- 
mo común divisor de dichos números es menor 
que el menor de dichos números (10 < 20). 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 54, 18, 90 y 36. 
Se observa que 18 es el menor de dichos nú- 
meros, además 18 es divisor de 54; 18; 90 y 
36, ya que 54=18X3; 18=18x1; 90=18Xx5 y 
36=18x2. 
Entonces se cumple que 18 es el máximo co- 
mún divisor de 54; 18; 90 y 36. 
16 
Ejemplo 
Veamos para los números 8 y 15. 
Se sabe que 8 y 15 son primos entre sí, ya que el 
único divisor común que poseen es 1, así; 
8: (1) 2; 4,8 
15: (1); 3; 5; 15 A 
El único divisor 
común es 1. 
Jresreicamas 
z. MCD(8; 15)=1 
APLICACIÓN 5 
Calcule el máximo común divisor de abc; ca y 
cla+1). 
Resolución 
Del grupo de números abc: ca y cla+1), se 
observa que ca y cla+1) son dos números 
consecutivos. Entonces podemos afirmar que ca 
y c[a+1) son primos entre sí: en consecuencia, 
los números abc; ca y cla+1) también serán 
primos entre sí. 
Mco(abc; ca; cla+1))=1 
 
e MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR 
 
3.1. MÉTODO DE DIVISIONES ENTRE FACTORES 
PRIMOS 
Para calcular el máximo común divisor de dos 
o más números se siguen los siguientes pasos: 
a. Escriba los números en una columna. 
b. Divida cada uno de los números entre un 
primo divisor en común. 
Cc. Divida los cocientes entre un primo divisor 
en común hasta que ningún primo divida a 
todos los cocientes. 
d. Elproducto de los primos de los pasos b y e 
es el máximo común divisor de dichos nú- 
meros. 
Ejemplo 
Calcule el máximo común divisor de 12; 18 y 24. 
Escriba los números en una columna y divida 
entre 2 
12 18 24] 2 
| 
(50 01 tor primo 
t 1 | común 
cocientes al 
dividir entre 2 
Los números 6; 9 y 12 no son divisibles entre 2, 
pero sí son divisibles entre 3. 
12 18 24 
O a 
¡OJOMO 
t 1 1] 
PESI 
2 
Jia primo común 
3 
Ningún primo divide a los números 2; 3 y 4. Por 
lo tanto, el máximo común divisor de los núme- 
ros 12; 18 y 24 está dado por el producto de los 
primos 2 y 3.MCD(12; 18; 24)=2x3=6 
APLICACIÓN 1 
Tres cables de alta tensión miden 180; 135 y 
270 m, y se dividen en el menor número de 
trozos de igual longitud. ¿Cuál es la longitud 
de cada trozo si este es un número entero 
de metros? 
Resolución 
Se tienen tres cables de alta tensión 
 
H/K— 180 m— 2135 m3 H—— 270 m ——— 
De cada uno de ellos se quiere obtener trozos, 
cuya medida es un número entero de metros. 
Sea ( la longitud de dicho trozo. 
0 ( 0 ( 0 0 
MAA AAA AAA AAA A AA 
Por condición 
e (esun divisor de 180, porque se debe ob- 
tener un número entero de trozos, 
e (es divisor común, porque también debe 
dividir a 135 y 270. 
e (es máximo, porque nos piden el menor 
número de trozos. 
Entonces (=MCD(180; 135; 270) 
17
LUMBRERAS EDITORES A La] 
 
Calculamos el máximo común divisor 
180 135 270|3 
60 45 590 /3 
20 15 305 
oaOS 
t1] 
PESI 
factores primos comunes 
Setiene que el MCD(180; 135;270)=3x3x5=45. 
Por lo tanto, la longitud de cada trozo es 45 m. 
APLICACIÓN 2 
Se desea cuadricular un pliego de papel cuyas 
dimensiones son 240 cm y 315 cm, de manera 
que se forme la menor cantidad de cuadrados 
posibles, cuyo lado debe medir un número en- 
tero en centimetros. Calcule la medida en centí- 
metros que debe tener cada cuadrado. 
Resolución 
Se tiene un pliego de papel 
 
240 cm 
 ea Ld 
Sea l el lado del cuadrado, entonces 
e [es divisor común de 315 y 240, ya que el 
lado del cuadrado debe ser un número en- 
tero de centimetros. 
+ (es máximo, ya que se pide el menor nú- 
mero de cuadrados. 
18 
Entonces (= MCD(315; 240) 
Calculamos el máximo común divisor 
factores primos 
comunes 
315 240]/3 
105 80 |5 
e) ús 
t3 
PESI 
Se tiene MCD(315; 240)=3x5=15 
Por lo tanto, el lado cada cuadrado es 15 cm. 
APLICACIÓN 3 
Un comerciante de vino tiene tres barriles de 
vino de 540; 360 y 378 L de capacidad; todos 
están llenos. Si desea vender este vino en reci- 
pientes todos iguales, cuya capacidad está com- 
prendida entre 6 y 15 L, además están conte- 
nidos exactamente en cada uno de los barriles, 
calcule la cantidad de recipientes que utilizará. 
Resolución 
Se tienen tres barriles con vino 
540 L 360 L 378L 
 
 
recipientes iguales para la venta
cocos MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
Sea a la capacidad de los recipientes para la 
venta. 
a: divisor común, ya que de cada barril se debe 
obtener un número entero de recipientes. 
Se sabe que para conocer los divisores comunes 
es necesario conocer el máximo común divisor de 
los números. Calculamos el MCD(540; 360; 378). 
540 360 378 |2 
factores primos 
comunes 270 180 189/3 
90 60 63|3 
69 (9 e) 
113] 
PESI 
Se tiene que el MCD(540; 360; 378)=2x3x3=18, 
divisores comunes: 1; 2; 3; 6; 9; 18 y la capacidad 
de 0=9L (6<a< 15). 
Ahora, para determinar el número de recipien- 
tes que se obtiene del primer barril, dividimos 
540 entre 9, así: 
pes de | _540 _ 
del primer barril | gy 2 
Pero si queremos calcular el total de recipien- 
tes, se tendrá que dividir el total de litros de 
vino entre la capacidad de cada recipiente, así: 
n.* total de 540+360+37/8 
E > 2 =142 
recipientes 9 
Por lo tanto, el total de recipientes necesarios 
es 142. 
3.2, MÉTODO DE LOS FACTORES PRIMOS 
Para calcular el máximo común divisor de dos o 
más números se siguen los siguiente pasos: 
a. Escriba cada numeral en función de sus fac- 
tores primos y sus respectivos exponentes 
(descomposición canónica). 
b. Seleccione todos los factores primos que 
tienen en común con cada primo elevado 
al menor exponente que aparece en la des- 
composición canónica. 
c. Forme el producto de todos los números 
del paso b, Este producto es el máximo co- 
mún divisor. 
Ejemplos 
1. Determinamos el máximo común divisor de 
360 y 540. Primero descomponemos canó- 
nicamente los numerales; se sabe que 
360=2*x3%x5 y 540=2*x3*x5 
Ahora seleccionamos los factores primos que 
tienen en común con cada primo elevado al 
menor exponente de los productos: 2? 32: 5. 
Luego forme el producto de estos números. 
. MCD(360; 540)=2*x3*x5=180 
2. Determinamos el máximo común divisor 
de 5500 y 2400. Al descomponer canónica- 
mente los números se tiene 
5500=2*x57x11 
2400=2%x3x5? 
Ahora seleccionamos los factores primos 
con cada primo elevado al menor exponente 
de cada producto, estos son 2?x5?. Luego 
formamos el producto. 
", MCD(5500; 2400)=2?x5*=100 
19
LUMBRERAS EDITORES 
 
3, Determine el máximo común divisor de los 
números 1440; 7000 y 19 800. 
Primero determinamos los factores primos 
de cada número; es decir, su descomposi- 
ción canónica 
1440=2*x32x5; 7000=2*x5%x7 y 
19800=2*x3%x5*x11 
En cada primo común utilizamos el que tie- 
ne menor exponente. Estos son 2: 5. 
Se observa que el primo 3, así como los pri- 
mos 7 y 11, no son comunes para los tres 
números. 
. MCD(1440; 7000; 19 800)=2*x5=40 
APLICACIÓN 4 
Sean A=24”x90 y B=24x90”. Calcule el valor 
de n si el MCD de A y B tiene 84 divisores. 
Resolución 
Expresamos A y B en función de sus factores 
primos 
A=24"x90=(22x3)"x(232x5)=230-3".2.32.5 
=3980+1 na ¿5 
ag=24x090"=(2x3)x(2x32x5)'=23.3.21. 320.51 
27304 , gent 5er 
Ahora determinamos el máximo común divisor 
teniendo en cuenta los factores primos comu- 
nes elevados a su menor exponente 
MCO(A; B)=2"*x3"+*x5 
Por dato, se sabe que CDiycp¡=84 
20 
Aplicamos la regla práctica para la determina- 
ción del número de divisores 
(n+4)(n+3) -2=84=7x6x2 
(n+4) (n+3)=7x6 
n=3 
APLICACIÓN 5 
Ssia=2 xt 7 PH y 
_2a5+1,.p3In+1, n+1 B=2"""x5 > y A 
además A y B tienen 120 divisores comunes, 
¿cuántos divisores tiene nan? 
Resolución 
Se sabe que el número de divisores comunes de 
A y 8 es igual a los divisores que tiene el MCD 
de A y B. 
Los números son 
A=2"1x 51 ant 
g=2"*1)yg0+1,30+1 
MCD(A; B)=2""*x5*x7"+1 
Por dato 
CDimco)=€Dicomunes) =120 
nx 8 x(n+2)= 120 
n(n+2)=4x6=24 
n=4 
Luego 
ann=444=4x111=2*x3x37 
CD =3x2x2=12 (nan) 
APLICACIÓN 6 
Si el MCD de A=18"X30 y B=18X30" tiene 56 
divisores compuestos, calcule la suma de diviso- 
res comunes de A y B.
Y" 
Resolución 
Primero expresamos Á y B como el producto de 
sus factores primos, así se tiene que 
ñ 
A=18"x 30=(2 x32) x2x3x5=2"*1. 
g2n+1. 
B=18x30"=2x32x2"x3"x5"=2"*1.30*2.51 
Ahora determinamos el MCD de A y B 
MCD(A; B)=2"*2x3"*2x5 
Se observa que el MCD de A y B tiene tres divi- 
sores primos (2; 3 y 5) y también podemos decir 
que tiene cuatro divisores simples (1; 2; 3 y 5). 
Por lo tanto, el MCD de A y B tiene 80 divisores, 
ya que 
CDimco)= CDisimples) + CDicompuestos) 
—— 
60 4 56 
 
Aplicando la regla para determinar el número 
de divisores tenemos 
CDimco)= (n+ 2)in+ 3)x 2=60 
(n+2)](n+3)=30=5x6 
n=3 
Reemplazamos 
MCD(A; B)=2%x3*x5 
Ahora calculamos la suma de divisores co- 
munes, que a la vez es la suma de divisores 
del MCD 
 
comunes 2-1 3-1 5-1 
suma de 
divisores |=31x 364 x6=67704 
comunes 
AA 
3.3, MÉTODO DEL ALGORITMO DE EUCLIDES 
Para determinar el máximo común divisor de 
dos números, divida el número mayor entre 
el menor. Anote el residuo y divida el divisor 
anterior entre este residuo. Continúe el proceso 
hasta que obtenga el residuo O. El máximo 
común divisor es el último residuo positivo 
obtenido en este proceso. 
Ejemplo 
Determinamos el máximo común divisor de 
150 y 66 utilizando el método del algoritmo de 
Euclides. 
Paso 1: Comience por dividir el número mayor, 
150, entre el número menor, 66. Haga caso 
omiso al cociente, pero anote el residuo, 
150 [66 
18 2 
Paso 2: Divida el menor de los números entre el 
residuo obtenido en el paso 1. De nuevo, anote 
el residuo. 
66 [18 
12 3 
Paso 3: Continúe dividiendo los sucesivos resi- 
duos, tantas veces como se requiera hasta ob- 
tener un residuo 0. 
18 (12 
6 1 
Paso 4: El último residuo positivo en este pro- 
ceso es el máximo común divisor de 150 y 66. 
En nuestroejemplo se puede observar que su 
máximo común divisor es 6, ya que 
12 |6 
0 2 
EIA KA 
división exacta 
2 MCD(150; 66)=6 
21
LUMBRERAS EDITORES 
 
% Observació 
 
APLICACIÓN 7 
Si al calcular el máximo común divisor de be 
y a31 por el algoritmo de Euclides se obtuvo 
como cocientes 3; 1 y 2, calcule a+b+c. 
Resolución 
Ordenamos el número mayor (231) y el número 
menor (bc) 
31 ]|2 
bc 
 
 
+ MCD 
 
0 
Proponemos que el MCDÍ(224; ab) sea d 
Los cocientes que son datos se colocarán de iz- 
quierda a derecha, así: 
—— ee 
Ahora reconstruimos el algoritmo 
 
 
 
 
 
 
3 1 2 
bc=3d |,2d + MCD 
29 1d 0 
 
22 
e 
Se observa que 
o 
031=11id=11 a bec=3d 
o 
>3 a31=11 > be=3x21 
++ 
o 
0+1-3=11 bc=63 
2 E 
oa-2=11 
a=2 
Reemplazamos 
231=11d 
d=21 
a+b+c=2+64+3=11 
APLICACIÓN 8 
Al calcular el máximo común divisor de dos nú- 
meros por el algoritmo de Euclides, se obtuvie- 
ron como primer y segundo residuo 132 y 39, 
además la suma de cocientes es 12. Calcule la 
menor diferencia de dichos números. 
Resolución 
Reconstruimos el algoritmo a partir del primer y 
segundo residuo. 
Proponemos el algoritmo así: 
 
 
 
 
 
 
La suma es 12 
Suman 3 Suman 9 
32 39/15/|9/6|13 
ZA RT] 
132| 39 |15|9/6|3]/0 
 
 
MÁ A e 
ye 30 
residuo residuo 
Se tienen dos opciones.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
Opción 1 
Suman 3 
303 | 132 
132 | 39 
 
 
Se observa que 
303=(2)x132+39 
435=(1)x303+132 
Notamos que los números son 435 y 303, donde 
la diferencia es 435-303=132 
Opción 2 
Suman 3 
171 | 132 
132 | 39 
 
 
Se observa que 
171=(0)x132+39 
47442) x171+132 
Notamos que los números son 474 y 171, donde 
la diferencia es 474-171=301 
Por lo tanto, la menor diferencia es 132. 
APLICACIÓN 9 
Al calcular el máximo común divisor de dos nú- 
meros mediante el algoritmo de Euclides, se 
obtuvieron los cocientes sucesivos 7; 5; 3 y 4. 
Si la diferencia de los números es 1281, calcule 
la suma de dichos números. 
Resolución 
Proponemos que los números sean A y B, y el 
MCD(A; B)=d. 
Colocamos los cocientes de izquierda a derecha 
y reconstruimos; así tenemos 
 
 
 
 
 
Y 5 3 4 
B=69d | 134 |,ad --MCD 
13d "| 44 | d [0 
 
Se observa que los números son 
A=496d y B=69d 
Además se sabe que 
A-B=496d-691/=1281 
427d=1281 
d=3 
Entonces 
A=496x3=1488 y B=69x3=207 
Por lo tanto, el número mayor es 1488. 
 E Recuerde 
Ñ 
 
23
 
LUMBRERAS EDITORES 
a PROPIEDADES DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR 
 
 
Ejemplo 
Determinamos los divisores comunes de 36 y 48. 
36 ; 48 
EA AAA RÁ 
divisor común 
divisor común 
divisor común 
divisor común 
1 
2 
3 
4 
6 divisor común 
(12) divisor común 
t 
máximo común divisor 
Se observa que 1; 2; 3; 4 y 6 son divisores de 12, 
que son a la vez divisores del máximo común 
divisor de 36 y 48, 
APLICACIÓN 1 
¿Cuántos divisores comunes impares tendrán 
los números 40x60"” y 60x40” si n es mayor - 
que 1 y el mayor de los números tiene 360 di- 
visores? 
Resolución 
Sean A y B los números, entonces 
A=40x60"=(22x5)x(22x3x5) =2x5x2Mx 
x3"x5"=320+3, 30, gn+1 
g=60x40"=(22x3x5)x (2x5) "=2x3x52Mx 
x5"=71+23550+1 
24 
Se observa que A > B. Ahora por dato se tiene 
que el mayor número tiene 360 divisores, en- 
tonces planteamos 
(2n+4)(n+1)(n+2)=360 
2(n+2)(n+1)(n+2)=360 
(n+2)?-(n+1)=180=6*x5 
n=4 
Reemplazamos el valor de n=4 y obtenemos los 
números 
a=21. 3.5% y p=21.3.5% 
donde MCD(A; 8)=2*x3x5* 
Se sabe que los divisores impares del MCD se 
obtendrán eliminando al primo par (2). Así se 
tiene 
MCD(4;8)= M x3x5* 
( n.* de divisores 
impares del de! =2x6=12 
Por lo tanto, la cantidad de divisores comunes 
impares que tienen los números A y B es 12. 
 
Ejemplo 
Sean 30 y 48 dos números cuyo máximo común 
divisor es 6. 
Se tiene que 30=6x(5) ; 48=6x(8) 
5 y 8 son primos entre si (PESI).
Micra MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
Multiplicamos estas dos igualdades por 10 
30x(10)=6x5x(10)=(6x10)x5 
48x(10)=6x8x(10)=(6x10)x8 
Se observa que 
300=60x(5)=— 
PES! 
 480=60x(8)—- 
Por lo tanto, el MCD(300; 480)=60. Se nota que 
los números han sido multiplicados por 10; del 
mismo modo, el máximo común divisor tam- 
bién quedó multiplicado por 10. 
APLICACIÓN 2 
si el McDlab; cde)=24, calcule el número de 
divisores propios del máximo común divisor de 
abO0 y cde00. 
Resolución 
Se conoce el máximo común divisor de ab y cde. 
Ahora debemos hallar el máximo común divisor 
de ab00 y cde00, donde notamos que 
ab00= 100 xab Se observa que los números 
iniciales han sido multipli- 
cdeDO= 100 xede | cados por 100, 
Por la segunda propiedad se cumple que 
mco(100-ab; 100 -2de)=100x24=2400 
Convenientemente expresamos 
2400=2x3x5* 
DC 
donde 
n.* de . 
divisores |=(5+1)x(14+1)x(2+1)=6x2x3=36 
de 2400 
Además se sabe que el número de divisores 
propios es uno menos que el total de divisores. 
Por lo tanto, el número de divisores propios del 
MCD de ab00 y cde00 es 36-1=35. 
s Nota 
A AA ama 
APLICACIÓN 3 
Si el máximo común divisor de 124 y 308 es 48, 
calcule la suma de los divisores comunes no 
primos de 24 y 58. 
Resolución 
De los números 124 y 308, se observa que 6 es 
un divisor común, así también 1; 2; 3 son diviso- 
res comunes. 
Convenientemente dividimos a los números 
entre su divisor común 6 para obtener del pri- 
mero 24, ya que 124+6=2A, y del segundo 58, 
ya que 308+6=5B. 
Del dato 
MCD(124; 304)=48 
25
LUMBRERAS EDITORES 
 
12A 308 1 48 
Luego meo 22; 22) 
6 6 6 
MCD(24; 58)=8 
Se sabe que los divisores del MCD de 24 y 58 
(de 8) son 1; (2) ; 44; 8. 
oritno 
Por lo tanto, la suma de divisores no primos es 
14+4+4+8=13, 
 
Al dividir dos números entre su máximo 
común divisor, los cocientes obtenidos son 
primos entre sí, 
Ejemplo 
Veamos para los números 260 y 80. 
Se sabe que MCD(260; 80)=20., 
Observamos que 
PESI 
 
APLICACIÓN 4 
Si se cumple que el MCD(90; (4a)( 2b)) =30, 
calcule a?+0+1. 
Resolución 
Se sabe que (4a)(2b)=2x(2a)b. Luego en el dato, 
mco(9o; [4aN2b))=McoD(2x45; 2x[2a)b)=2x15; 
Entonces 
mco(4s; (2a)b)=15 
26 
donde se cumple 
45 CT 
mco(45;(2a)b) 15 9 
 (2a)o (2a) 
mco(as; (20) 15 0 
Se observa que (2a)b=15xp, donde los valores 
de p: 1; 2; 4 y 5 son PESI con 3. 
Pero 
* Sip=1 =3 (20)b=15x1=15 
* Sip=2 => (20)b=15x2=30 
+ 5ip=5 => (20)b=15x5=75 
* Sip=4 => [2a)b=15x5=60 | Sicumple. 
TF 
¡€ —— 
o=3.4 b=0 
No cumplen, 
porque la cifra 
de las decenas 
es par. 
a+a+1=324+3+1=13 
 
Ejemplo 
Siendo 8 primo entre sí con 15, los divisores 
comunes de los pares de números (20; 8) y 
(2015; 8) son los mismos. 
20; 8 300;8 
— > 
1 1 
divisores | 2 2 divisores 
comunes O O comunes 
des el mayor 
divisor común. 
Se observa que 
MCD(20x15; 8)=MCD(300; 8) =4 
MCD(20; 8) =MCD(20x(15); 8)
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 a 
APLICACIÓN 5 
Si se cumple que MCDÍ(aÉ; 3c)=McDlabx21; 3c), 
calcule la suma de valores de c. 
Resolución 
Se observa que al multiplicar al número ab por 
21, el MCD sigue siendo igual 
mcolab; 3c)=mcolabx(21); 3c) 
Entonces de acuerdo a la tercera propiedad, 21 
es PESI con 3c, y como 21=3xX7, entonces 3c es 
a o 
un número que no es 3 tampoco 7 
> 30:31:32; 34; 37; 38 
TEA A AAA 
valores de c:1;23;4;7y8 
Por lo tanto, la suma de los valores de c es 
14+2+44+74+8=22. 
4.2. PARA VARIOS NÚMEROS 
 
 
 
1 MCDÍA; B; C; D; E)=MCD[MCO(A; B); €; D; El | 
un e 
«(=$ 
" E 7 ne q a 5 sd an 
a E > 1 Mt 
Ejemplo 
Veamos para los números 120; 180; 36; 24 y 48. 
Se sabe que MCD(120; 180; 36; 24; 48)=12 
Además MCD(120; 180)=60 
Luego MCD(60; 36; 24; 48)=12 
MCD(120; 180) 
MCD(120; 180; 6; 24; 48)= 
=MCD[MCD(120; 180); 36; 24; 48] 
APLICACIÓN 6 
Si el MCD[6A; 158; 30k)=120 y MCD(2A; 5B)=8k, 
calcule 2-k-1. 
Resolución 
Si MCD(2A; 58)=8k,entonces 
MCD(24x 3; 58x3)=8kx3 
MCD(6A; 158)=24k 
Además se tiene MCD(6A; 158; 30k)=120 
Por propiedad 
MCD[MCD(64; 158); 30k]=120 
MCD[24k; 30k]=120 
6k=120 
k=20 
k?-k-1=20?-20-1=379 
APLICACIÓN 7 
Si MCD(34; 28)=6 y MCD(6B; C)=45, 
halle MCD(9A; 68; C). 
t
w
i
t
t
e
r
.
c
o
m
/
c
a
l
a
p
e
n
s
h
k
o
 
Resolución 
Por dato se tiene que MCD(34; 28)=6. 
Entonces también se cumple que 
MCD(34x3; 28x3)=6x3 
MCD(9A; 68)=18 
Además MCD(6B; €) =45 
Por propiedad se cumple que 
MCD(9A; 68; C)=MCD[MCD(9A; 68); MCD(6B; C)] 
 
MCD(9A; 68; C)=MCD[ — 18; 45 ] 
24 MCD(9A; 68; C)=9 
27
LUMBRERAS EDITORES 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 90; 150; 120 y 60. 
Se sabe que 
30: (); Q); E) ¡O (6) 3; (10); 45; 18; 60); 45; 90 
150: (1); Q) 6; (5) (6) 0); 45); 60); 25; 50; 75; 150 
120: (1); O) O de (5) (5); 8; (0) 12; 15); 20; 24; 30); 40; 60; 120 
ss 1000000; 121; 6) s 
Los divisores comunes de estos números son 
1; 2; 3; 5;6; 10; 15; 30 
Estos divisores comunes son también los divisores del máximo común divisor de 90; 150; 120 y 60. 
APLICACIÓN 8 
La suma de los divisores comunes de abc; defg y hijk es 2418, Calcule el número de divisores pares 
que tiene el máximo común divisor de dichos números si se sabe que la suma de sus divisores com- 
puestos es 2407. 
Resolución 
Se sabe que 
pa de rai (uma de es) y de a | , =1+ + 
de un número primos compuestos 
a 18 2407 
Se tiene que la suma de los divisores primos es 10 y uno de ellos es 2. Como debemos calcular el 
número de divisores pares, entonces 
2+(primo impar) + (primo impar) = 10 
i | 
3 5 
Como 2; 3 y 5 son divisores comunes, son también los divisores del MCD de dichos números 
MCDÍabc; defg; hijk)=2%x3Px5* 
28
m0 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
Como se conoce la suma de divisores comunes, planteamos 
7a+1 + 3p+1 -1 gy+ iS 
SDimeni = x x =2418 
a) 3-1 5-1 
P+1 _ Y 
(5) : 1) - losniax 
Se observa que 
 
 
 
A. YH _ 
29+1_1=31; 3 13 y 2 
2 4 
o.=4 B=2 y=1 
Luego MCDÍabc; defa; hik)=2*x3?x5 
CDimco)=(4+ 1)(2+ 1)(1+1)=5 x3x2=30 
Si MCD(A; B; C)=d, entonces 
MCD(nxA; nxB; nxC)=nxd 
mco(£; a, =)=£, siendo K un divisor de d. 
KR K 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 24; 16; 40 y 60. 
Se sabe que MCD(24; 16; 40; 60)=4. Ahora, si a cada número lo multiplicamos por 10, se tiene 
24x10=240=(4x10)x(6) 
16x10=160=(410)x(4) 
40x10=400=(4x10)x(10) 
60x10=600=(4x10)x(5) 
AA 
factor PESI 
común 
Por lo tanto, se tiene que si los números se NE por 10, su MCD también queda multiplicado 
por 10. Asítenemos que 
MCD([240; 160; 400; 600)=4x10=40 
1 
29
 
APLICACIÓN 9 
Si el MCDlab; 2d; afg)=mn y el Mco (0600; 
cd00; efg00!=p(3p)(p—3)(q—1), calcule mxn. 
 
Resolución 
En los datos se observa que los números ab; cd 
y efg han sido multiplicados por 100. Por la pro- 
piedad mencionada, entonces el MCD también 
queda multiplicado por 100; por lo tanto, plan- 
teamos que 
mnx100= p(3p)lp-3)q=1) 
0 0 
Se observa que p=3 y q=1, además 
mn=p(3p)=39 
mxn=3x9=27 
 O E edo RR po LP ad Ó0s cocientes de dlvicihr varic 
 
 
E A AN AA 
A A 
Si MCDIA; B; C)=d, entonces 
+ ia 
É PEA 
 
 
7 ¡AE : 
(25d mu A 
Ejemplo 
Veamos para los números 45; 60 y 90, 5e sabe 
que MCD(45; 60; 90) =15. 
Entonces se cumple que 
30 
a y 
Además 
45=15x(3), 60=15x (4) 90=15x(6) 
APLICACIÓN 10 
S mco| 2, abc. a =10, 
3 6 3 
calcule 0?+b*+e?, 
Resolución 
Se tiene que mco| 2, eos. e )50 
4 6 3 
Convenientemente multiplicamos a todos los 
números por 12, entonces su MCD también 
quedará multiplicado por 12, asi: 
meo 12%, 173 2%, 17,2%) 12,00 
mco((3)xabc; (2)xabc; (4)xabc)=120 
LE 3 
PESI 
Se observa que 3xabe; 2xabc y 4xabe tienen 
como factor común al numeral abc. Entonces 
mMCDÍ(3xabc; 2xabc; 4xabc)=0bc=120 
a+bid=1*4+224+0%14+440=5 
APLICACIÓN 11 
Si se cumple que 
MCD(364; 488)=144n y MCD(108; 35C)=25n, 
además MCD(9A; 128; 42C)=96, calcule n.
"a 
>
 
a 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
Resolución 
* Si MCD(364; 488)=144n, 
entonces MCD(34; 48) =12n. 
+ SiMCD(10B; 35C)=25n, entonces 
MCD(28B; 7C)=5n y MCD(48; 14C)=10n. 
« SiMCD(9A; 128; 42C)=96, 
entonces MCD(3A4; 48; 14C)=32. 
Además se cumple que 
MCD(3A; 48; 14C)= 
=MCD[MCD(3A; 48); MCD(48;14C)] =32 
 
 
MCD ( 12n ; 10n )=32 
2n=32 
n=16 
n=16 
APLICACIÓN 12 
si el Mco(ab; 48)=12, calcule la suma de los 
- valores de ab. 
Resolución 
Se tiene que MCOÍ(ab; 48)=12. Entonces 
12 12 
También ab=12x(p) ; 48=12x(4) 
Eo 
PESI 
Se observa que los valores de p son 
p:1;3;5;7 (p<9, porque ab tiene dos cifras) 
Reemplazando los valores de p se tienen los va- 
lores de ab. 
ab: 12x1 ; 12x3 ; 12x5 ; 12x7 
OK A — AAA AA 
12 36 60 34 
Por lo tanto, la suma de valores de ab es 
ab=12+36+60+84=192. 
APLICACIÓN 13 
Se cumple que MCD(aZa; ab; c(b +4))= 13. 
Halle a+b+c. 
Resolución 
Si mcoÍada; ab; clb+4)) =13, entonces 
aña=13x(p) ; ab=13x(9) ; e(b+4)=13x (1) 
t 1 1 
PESI 
 
o 
Como ada=13xp, entonces ada=13 
Aplicando los principios fundamentales de divi- 
sibilidad, se tiene 
a 
aña=a-107+4-10+0=1010+40=13 
o 
(3 + 10)o+ (13 + 1)-33 
boi 
0 o o 
13+100+13+1=13 
o 
100+1=13 
; 
9 
A 
o=9 
También se cumple que ab=13xq 
9b=13xq 
: y 
1 Y 
b=1 q=7 
31
LUMBRERAS EDITORES 
 
Por último c(b+4)=13xr 
Reemplazamos b=1 
c5=13xr 
; / 
6 5 
—— —— 
c=6 r=5 
 
Ejemplo 
Veamos para los números A y B sabiendo que 
se _ gl A=777...7,=8% -1 
18 cifras 
= ala B=777...7,=8%-1 
24 cifras 
Entonces 
MCD(A; 8)=8MP08:24)_4 
MCD(A; B)=8ó-1=7777774 
APLICACIÓN 14 
Dados los números 
A=222..2, y B=888...8., 
48 cifras 30 cifras 
calcule la suma de cifras del MCD(A; B) al ser 
expresado en base 81. 
32 
Resolución 
5e tiene que 
ss an A A=222...2,=3%8 -1=(31)” -1=812-1 
48 cifras 
E _ 0 4 (a 9 15 8=888...8,=9% -1=(9?)”-1=815-1 
30 cifras 
Convenientemente cambiamos 3% -4 por 812-1, 
del mismo modo 9-1 por et, dado que 
se quiere calcular el MCD en base 81. 
Entonces 
MCD(A; B)=McC0(81” -1; 8125 —1) 
=81M0D(12; 15)_ 1 
MCD(A; B)=81*-1=(80)(80480),, 
AAA KÉÁ 
suma de cifras=240 
Por lo tanto, la suma de cifras del MCD de di- 
chos números es 240. 
APLICACIÓN 15 
Calcule el complemento aritmético en base 7 del 
MCD de tres números sabiendo que están expre- 
sados en base 7 y son los menores posibles; ade- 
más la suma de sus cifras son 72; 96 y 120. 
Resolución 
Sean A, B y Clos números que están expresados 
en base 7. 
La suma de 
cifras es 72 
=7*-1 .. 7 
12 cifras 
Para que el numeral sea el menor y la suma de 
cifras sea 72, es conveniente que las cifras sean 
máximas en dicho sistema de numeración (en 
base 7, la cifra máxima es 6). Ahora para deter- 
minar el número de cifras necesarias, dividimos 
72 entre 6 esto es 12.
—
 
A
K
—
Á
 
A
 
A
A
 
A 
o
 
Del mismo modo se hacen los cálculos para los 
otros números, asi se tiene 
La suma de Lasuma de 
cifras es 96, cifras es 120. 
16 ¿20 
B= 666...6 .=7"-1 C= 666.6 .=3-1 
| «ebccicniedatal e | y] 
16 cifras 20 cifras 
Aplicando la propiedad se tiene 
MCD(A; B; C)=6666, 
Ahora calculamos el complemento aritmético 
CA(6666,)=10000,-—6666,=1 
CA(6666,)=1 
 
Si MCD(A; B; C)=d, entonces 
mcoÍ(4”; 8"; C")=df" 
Ejemplo 
Veamos para los números 108 y 180. 
Se sabe que 
108=2*x3*x3=36x 97 
PESI 
180=2*x3*x5=36x (5) 
donde MCD(108; 180)=36 
Ahora calculamos el MCD de 108? y 180?. 
5e sabe que 
2 
1082=(2?x2* x3) 
Ex 3?=36%x9=216x (9) 
180%=(2? x 32 x5) PES! 
Qu 51=36x25=216x(3) donde Mco(108?; 180?)=36? 
 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
APLICACIÓN 16 
Si mola; Va -1)=a-1, 
calcule la suma de cifras de la suma de todos los 
valores de ab. 
Resolución 
Se sabe que mcolab; vab' -1)=0-1 | 
Por propiedad, meol +, (y ab - 1 J ). la— 1? 
mcolab”; ab -1)=1a-1) 
mcolab”; (25+1)(26-1))=(0-1) 
Es JO 
5e observan dos factores consecutivos que son 
PESI. Por lo tanto, el MCD de dos númerosque 
son PES! es 1. 
En el problema se cumple (a-1)=1 
a=2 
 
Observación 
b puede tomar cualquier valor corno cifra. 
 
Entonces los valores de ab serán 
ab: 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29 
 
sumade | (20+29 
valores de ab | 
Jx10 =245 
Por lo tanto, la suma de cifras de la suma de 
valores de ab es 2+4+5=11. 
 
LUMBRERAS EDITORES de A 
 
 
En el caso de factoriales, el MCD de un con- 
junto de factoriales siempre es el menor de 
ellos. 
Ejemplo 
Veamos para los factoriales 61; 8! y 5). 
Se sabe que 
6l=6x[5x4x3x2x1 
8l=8x7x6x(5x4x3x2x1 
5l=(5x4x3x2x1 
Se observa que 5! está contenido en los 
otros factoriales. Entonces 
MCD(6!; 81; 51)=51 
 
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) 
APLICACIÓN 17 
¿En cuántos ceros termina el máximo común 
divisor de abl; 101; bal? 
Resolución 
Se sabe que el MCD(ab!; 101; ha!)=101 
_—_ 
101 es el menor factorial, 
Ahora determinamos en cuántos ceros termina 
101. Esto será dependiendo de los exponentes 
de los factores 2 y 5. 
Pero 10/=10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 
=2x3452x7=28x34x7x(22x5?) 
10/=25x30x7x(10%) 
di 
100 
Por lo tanto, el MCD de dichos números termina 
en dos ceros. 
 
El mínimo común múltiplo de varios números 
naturales es el menor múltiplo común de dichos 
números. 
Ejemplo 
Veamos para los números 4 y 6. 
4: 4; 8;42; 16; 20;24) 28; 32,66) 40; ... 
B: 6:42; 18,(3; 30,69; 47; 48; 54; 60: ... 
 
múltiplos positivos 
Se observa que los múltiplos comunes de 4 y 6. 
son 
12; 24; 36; 48; ... 
34 
De estos, 12 es el menor múltiplo común po- 
sitivo. 
MCM(4; 6)=12 
 
Ahora analizaremos los múltiplos del MCM de 4 
y 6, es decir, de 12. 
12; 12; 24, 36; 43; ... 
e. 
múltiplos positivos
e
 
o
 
A
 
e
 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
5e observa que los múltiplos de 12 son a la vez 
los múltiplos comunes de 4 y 6. 
Ñ Observación 
o et 
 
sin 
a as q 
e RO 
 
APLICACIÓN 1 
¿Cuántos múltiplos comunes de 4; 5 y 10 son 
menores que 2407 
Resolución 
Determinamos los múltiplos de 4; 5 y 10 
4: 4;8;12;16;(0; 24; 28; 32; 66) 40; ... 
5: 6;10;15;(40; 25; 30; 35,(40) 45; 50; ... 
10: 10;40; 30;40); 50; 60; 70; 80; 90; 100; ... 
A 
múltiplos positivos 
Se tiene que el MCM[4; 5; 10)=20 
 
Por lo tanto, hay 11 números que son múltiplos 
comunes de 4; 5 y 10, además son menores 
que 240. 
 
El MCM es un número que contiene a cada 
uno de los números, además es el múltiplo 
de cada uno de dichos números. 
Ejemplo 
Veamos para los números 5 y 6. 
5: 5; 10; 15; 20; 25;(30) 35; ... 
6: 6;12; 18; 24;60); 36; 42; ... 
 
múltiplos positivos 
Se tiene que el MCM(5; 6)=30. 
Además se observa que 
30=(5)x6 El número 5 está contenido en 30. 
30=(6)x5) El número 6 está contenido en 30. 
 
 
Ahora determinamos los múltiplos positivos de También podemos decir que 
20 menores que 240. 30 es múltiplo de 5. 
30 es múltiplo de 6. 
20: 20; 40; 60; 80; 100; 120;140; 160; 180; 200; 220 
Hay 11 múltiplos de 20 menores que 240. 
APLICACIÓN 2 
También podemos plantear 
n.? de múltiplos comunes. Ñ 
las 4; 5 y 10 menores que 2 =20k<240 
Se tiene que 
k:12:3...;10;11 
IóAA _————— 
11 valores 
Halle el menor número que contiene a seis nú- 
meros enteros positivos diferentes. 
Resolución 
Nos piden el menor número que contiene a seis 
números enteros diferentes, esto es el MCM de 
seis números; dicho MCM debe tener 6 divisores. 
 
LUMBRERAS EDITORES ceros] ”% 
Caso 1 
CDimem) =b= ¡O + 1) 
LALA AAA 
4 
á 
” 
Se tiene que MCM(de 6 números)= O =32 
+ 
porque buscamos 
al menor 
 
32 tiene 6 divisores (1; 2; 4; 8; 16; 32), 
además es un número que contiene á 
6 números diferentes. 
Caso 2 
CD; MCM) 63 7= (2)+1 1D+ 1) 
Se tiene MCM(de 6 números)=(2*x(3)'=12 
23, porque 
buscamos al menor 
12 tiene 6 divisores (1; 2; 3; 4; 6; 12), 
12 contiene a 6 números diferentes 
Por lo tanto, el menor número que contiene a 
seis alumnos diferentes es 12, además notamos 
que tiene 6 divisores. 
a PRINCIPIOS RELATIVOS AL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 7 y 21, 
De los números 7 y 21, se observa que 21 es 
divisible por 7, y 21 es un número que contiene 
a 7. Por lo tanto, 21 es el mayor, además es el 
mínimo común múltiplo de 7 y 21. 
MCM(7; 21)=21 
APLICACIÓN 1 
si el MCMÍ(48xab; 16 0b)=1680, 
calcule la suma de los divisores de ab. 
Resolución 
Dados los números 48xab y 16xab, se observa 
que 48xab es múltiplo de 16xab o que 16xab 
es un divisor de 48xab. Por el principio mencio- 
nado se tiene que 
McmÍ48xab; 16x0b)=48x ab 
36 
Pero por dato se sabe que el minimo común 
múltiplo de dichos números es 1680; entonces 
se cumple que 
48x0b=1680 
ab=35 
Determinamos todos los divisores de 35 
A: LAS 
Por lo tanto, la suma de divisores de 35 es 
1+5+7+35=48,. 
APLICACIÓN 2 
Calcule el minimo común múltiplo de 5! y 7!, 
Resolución 
Sabemos que 
7l=7x6x5x4x3x2k1=5040 
51=5x4x3x2x1=120
E
 
A MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
5e observa que 7! contiene a 5!, es decir, 7! es 
un múltiplo de S!, 
Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 71 y 
5les7!, 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 4; 6 y B. 
Sabemos que 
4: 4;8;12; 16; 20;(24) ... 
6: 6;12;18; 24;(60) 36; ... 
8: 8;16;(24) 32; 40; 48; ... 
 
El menor múltiplo común es 24. 
MCM(4; 6; 8)=24 
Se sabe que 8 es el mayor de los números (4; 6 
y 8). Entonces se cumple que el mínimo común 
múltiplo de dichos números es mayor que el ma- 
yor de dichos números (8 < 24). 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 15; 20; 30 y 60. 
Se observa que 60 es el mayor de dichos núme: 
ros, además 60 es múltiplo de 15; 20 y 30, ya que 
60=15x4; 60=20x3; 60=30xZ2, ] 
 
 
Por lo tanto, se cumple que 60 es el mínimo co- 
mún múltiplo de 15; 20; 30 y 60. 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 4 y 15. 
Se sabe que 4 y 15 son primos entre sí, ya que el 
único divisor común que poseen es 1, asi: 
>) D;2;4 |aesresconas 
15: (D;3;5;15 
HA A 0 A A AÁAÁ 
El único divisor 
común es 1. 
. MEM(4; 15)=4x15=60 
 
Si tres o más números son PESI dos a dos, 
entonces el mínimo común múltiplo es el 
producto de dichos números. 
Ejemplo 
Veamos para los números 8; 15 y 49. 
De los números se observa que 
 
ñ con 15. 15: (D;3;5; 15 ás En 
con 49, 
49: (1); 7; 49 
8; 15 y 49 son 
PESI dos a dos, /. MCM(8; 15; 49)=8x15x49=5880 
37 
 
LUMBRERAS EDITORES 
APLICACIÓN 3 
 
SiMCM([a+3)2; 4b; 3a)=4bx3a x(a+3)2, 
calcule el máximo valor de ox b. 
Resolución 
Se observa que el MCM de [a+3)2; 4b y 3a es el 
producto de dichos números, esto quiere decir 
que los números son PES| dos a dos. 
 
(a+3)2; 4b; 3a | se observa que a también puede 
| i ser 1;3 y 5, pero piden el mayor 
7 5 | valor. Por lo tanto a=5 y b=7. 
Reemplazamos 
PESI 
82 ; 47 ; 35 
A _A =_ 7 Por lo tanto, el máximo 
PESI PESI 
valor de 0xb es 35. 
Son PESI dos a dos. 
MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
7.1. MÉTODO DE DIVISIONES ENTRE FACTORES 
PRIMOS 
Para calcular el mínimo común múltiplo de dos 
o más números se siguen los siguientes pasos: 
a. Escriba los números en una columna, 
b. Divida cada uno de los números entre un 
primo divisor en común. 
€. Divida los cocientes entre un primo divisor 
en común hasta que ningún primo divida a 
todos los cocientes; pero si un primo divide 
a algunos de ellos, entonces divida los que 
sean posible hacerlo y bajamos los cocien- 
tes que no sean divisibles y continúe hasta 
que ningún primo divida a los cocientes. 
d. El producto de todos los divisores primos de 
los pasos b y c, así como todos los cocientes 
restantes, es el mínimo común múltiplo, 
Ejemplo 
Calculamos el mínimo común múltiplo de 12; 
18 y 24. 
Escriba los números en una columna y divida 
entre 2 
38 
 
12 - 18 - 24 2 
Lio primo OROND 
t t común 
cocientes al dividir entre 2 
Se observa que los cocientes son divisibles 
entre 3, 
12 - 18 - 24 | 2 
6 9 $443 
2 3 4| factores primos comunes 
Ahora los cocientes ya no tienen un factor co- 
mún, pero 2 y 4 tienen al factor 2 en común, 
entonces dividimos entre 2 y el 3 se baja; así 
continuamos hasta que ningún primo divida a 
todos los cocientes. Esto significa obtener uno 
en cada caso. 
12-18-24 |2 | . 
factores primos comunes 
6 9 12/3 
2 3 4]2 
1 3; 212 factores primos no comunes 
IP) 113 
1 1 1
_ Máximo COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 =y
 +
 
e 
Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 12; — Asíse tiene que 
18 y 24 está dado por el producto de los facto- 30 1812 
, res primos comunes y no comunes. Asi: 15 9 5 factor primo común 
- 18: 3.3? MCM(12; 18; der pee 3*=72 2 , 4 a 
no comunes 
: 1 1 
E 
APLICACIÓN 1 MCM(30; 18)=2x3x3x5=2x3?x5=90 
Dos barcos de una misma compañía salen el Por lo tanto, el menor número de días que de- 
¿ mismo día con rumbos diferentes sabiendo que ben transcurrir para que los dos barcos puedan 
: uno sale del puerto cada 30 días y el otro cada salir juntos es 90 días. 
; 18 días. ¿Cuál es la cantidad de días que deben 
transcurrir, como mínimo, para que estos dos APLICACIÓN 2 
; arcos vuelvan a salir juntos? 
' Ñ n ] ¿Cuál es el menor volumen que debe tener 
' una caja cúbica en la que se colocarán barras 
, Resolución de jabón, cuyas dimensiones son 9 cm, 12 cm y 
a
 
O
 
Sea t el número de días que deben transcurrir 
para que vuelvan a salir juntos. 
 
4 18 dias 18 días 18 días 
 
Se observa que 
* tesmúltiplo de 30 
| t: múltiplo común 
* tesmúltiplo de 18 
. fesel menor 
Entonces t es el MCM de 30 y 18. 
Calculamos el MCM de 30 y 18 por el método de 
divisiones entre factores primos. 
15 cm? No debe sobrar espacio. 
Resolución 
Se quiere obtener una caja cúbica con a de arista. 
 
 
Sobre el valor de la arista 
+ 0: debe ser múltiplo de 9 | e: múltiplo común de 
a » 9,15 y 12, porque no 
* a: debe ser múltiplo de 15 e sabrir ds 
+ a: debe ser múltiplo de 12 en ningún caso. 
a toma el menor valor, porque querernos formar 
el menor volumen. 
Para poder cumplir estas condiciones 
o=MCM(9; 12; 15) 
 
LUMBRERAS EDITORES es A * 
Determinamos el MCM por el método de divi- 
siones entre factores primos; así se tiene que 
9 - 12 - 15 | 3 jfactor primo común 
34 512 
e me factores primos no comunes 32 sa 
lt 3 5ls 
1% 1 
MCM(9; 12; 18)=3x2x2x3x5=2*x3*x5=180 
=3 a=180 cm 
Ahora calculamos el volumen de la caja 
volumen |_ 3.0.3 q 3 ( la caja J=a =180”=5832000 cm”=5832 m 
Por lo tanto, el menor volumen que tiene la caja 
es 5832 mí, 
 
Dbservación 
5i se quiere conocer el número de jabones ne- 
cesarios para llenar la caja, se desarrollaria de la 
siguiente manera: 
E .> de jabones ns necesarios para 
completar la caja (volumen del jabón) 
_ 180x 180x180 
— 9x12x15 
=3600 
 
APLICACIÓN 3 
La distancia entre dos lineas de una vereda es 
1,50 cm. Si se empieza a caminar pisando la raya 
con velocidad de 5 m/s y 60 cm de longitud de 
paso, ¿cuánto tiempo se debe caminar hasta pi- 
sar la raya por 27.* vez si empezó a caminar con 
el pie izquierdo? 
40 
Resolución 
Según los datos se tiene 
556 
2,8,8 (longitud del paso que da la peroo 
PETITE 
4150 cma+-150 cm 150 cm [distancia entre 
dos lineas) 
 
 
A 
1,5m=150 cm 
La distancia que recorrerá la persona para que 
pise raya será una longitud que contiene a la 
longitud del paso y la longitud de separación de 
las líneas, esto es 
MCM(60; 150)=300 
ya que 
60 - 150 | 2 
30 75 5 ¿factores primos comunes 
6 15 3 - 
E : : ) factores primos no comunes 
1 1 
Se observa que MCM(60; 150)=2x5x3x2x5 
=22x3x5?=300 
Ahora calculamos el tiempo necesario para que 
pueda pisar raya 
pues al q distancia recorrida 
300 cm velocidad 
=2=60 s=1 min 
Nos piden el tiempo que debe transcurrir para 
pisar por 27.* vez; pero como al inicio ya pisó 
raya, entonces faltaría calcular el tiempo para 
pisar solo 26 veces. Esto es 26x1=26 min. 
Por lo tanto, debe transcurrir 26 min para que 
pise raya por 27.* vez.
 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
7.2. MÉTODO DE LOS FACTORES PRIMOS 
Para calcular el mínimo común múltiplo de dos 
o más números se siguen los siguientes pasos: 
a. Escriba cada numeral en función de sus fac- 
tores primos y sus respectivos exponentes 
(descomposición canónica). 
b. Seleccione todos los factores primos comu- 
nes y no comunes, con cada primo elevado 
al mayor exponente que aparece en la des- 
composición canónica. 
c. Forme el producto de todos los números 
del paso b. Este producto es el mínimo co- 
mún múltiplo. 
Ejemplo 
Determinamos el minimo común múltiplo de 
480 y 3300. 
Primero descomponemos canónicamente los 
números 
480=2*x3x5 y 3300=2*x3x5*x11 
Ahora seleccionamos los factores primos comu- 
nes y no comunes, con cada primo que tenga 
el mayor exponente: 29; 3; 5? y el 11 como el 
primo no común. 
Luego formamos el producto de estos números 
MCM(480; 3300)=2*x3x5*x11=26 400 
APLICACIÓN 4 
Si el MCM de 247” y 900" tiene 490 divisores, 
calcule el número de divisores del MCM de n?!; 
6n? y nn”. 
Resolución 
Primero determinamos la descomposición ca- 
nónica de los números; así se tiene 
Selecci los 
20 23 LP factores primos co- 
munes y no comu- 
PR NS ld mayor exponente. 
de donde se tiene que 
mMcmÍ(24”: 9007) =23"x 320x520 
Además se sabe que el MCM de dichos números 
tiene 490 divisores 
CD¡mem)=(3n+1)(2n+1)(2n+1)=490 
(3n+1)(2n+1)*=10x7? 
=(3x3+1/2x3+1)* 
Se observa que n=3 
Reemplazamos el valor de n y determinamos la 
descomposición canónica de 
Mi=3%1=91=9xBx7x6x5x4x3x2x1 
LL ZA, 
32? 2x3 2? 
DABA 
6 =632=[32x7) 347 
an"=33=(3x11)=3 41) 
Luego mem n?l; 6n*; nn )=2*x34x72x118x5 
Por lo tanto, la cantidad de divisores del MCM 
de n?1; 6n* y nn" será 8x5x3X4X2=960. 
APLICACIÓN 5 
Sean A=4"x5" y B=4"x5"x3?, Además A y B 
tienen 15 divisores comunes. Halle el MCM de 
CvobDsi 
C=12x12*x12x...x12% 
p=18?x18x18x...x187 
41 
 
LUMBRERAS EDITORES 
AAA A 
Resolución 
Determinamos la descomposición canónica de 
AyB 
A=4"x5"= (22) x O) 
B=4"x5"x3292(22)" 5032075321 
Se sabe que el MCD(A; B)=2?"x5". Determina- 
mos el número de divisores del MCD. 
Por dato se sabe que A y B tienen 15 divisores 
comunes; entonces la cantidad de divisores del 
MCD también es 15, asi: 
(2n+1)](n+1)=15 
(2n+1)(n+1)=5x3=(2x2+1)(2+1) 
Se observa que n=2 
Reemplazamos n=2 para determinar la des- 
composición canónica de C y D 
C=12x122x12%x12%x12*x12%=12%=(22%3]9 
D=18x18%x18*18%x1818%18%=(2x332 
92 x69) 
Se observa que 2 y 3 son los factores primos y 
2* y 3% son los primos con su mayor exponente. 
MCM(C; D)=2%x38=6*% 
a PROPIEDADES DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
8.1. PARA DOS NÚMEROS 
tér mito de su ménio común it 
-tiplo, y recíp ite, todo múltiplo: 
del mínimo común nn 
delos dos números. 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 12 y 18. 
Se sabe que el MCM(12; 18)=36 y 108 es un 
múltiplo del MCM de dichos números, entonces 
108 también es múltiplo de 12 y de 18, ya que 
108=12x9 y 108=18x6, 
42 
APLICACIÓN 1 
Si 1080 es un múltiplo de 2a y ba, además el 
MCMÍ2a; ba)= (2x0: 2), calcule axb. 
Resolución 
Por propiedad se sabe que si 1080 es múltiplo 
de 2a y bo; entonces 1080 es múltiplo del MCM 
de dichos números. Asi se tiene que 
(9)10+2 x K=1080; Ke Z* 
Se observa que hay dos cifras: (2) y (a+2); en- 
tonces o puede ser 2;406,
 
 
PP. 
e Ae MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
; Sia=2 => 114xK=1080 (no cumple) APLICACIÓN 2 
Sio=4 => 216xK=1080 — (sí cumple) Si se cumple que 
) MCD(2A; B)=15 y MCM(24; B)=90, 
| 5 calcule el número de divisores de 4xB. 
; Sia=6 => 318xK=1080 (no cumple) Resolución 
Reemplazando el valor de a=4 se tiene Por propiedad se cumple que 
tua MCD(24; B) x MCM(24; B)=(24)x<B 
mcm(24; 54)=216 CREAR RN IA 
15 x sÓ = ZAxB 
p donde se cumple que 15 x 45 =4xB 
' 216=24x9 | | 
: Ei 3x5x3x3x5=AXxB 
, 216=b4x4=54x4 —> b=5 3.2 
' 5 CDiaxa=(3+1)(2+1)=4x3=12' “ axb=4x5=20 
APLICACIÓN 3 
| 
 
 
BNDES 
Ejemplo 
Veamos para los números 24 y 30. 
Se tiene que 
MCD(24; 30)=6 y MCM(24; 30)=120 
Entonces 
MCD(24; 30) x MCM(24; 30)=2430 
A RÁ 
B 120 730 
 
Si MCM(A; B)=4? y MCD(A; B)=21, calcule la 
suma de cifras de B. 
Resolución 
Aplicando la propiedad se tiene 
MCD(A; B) x MCD(A; B)=4xB 
MA ox 21 =AXB 
Ax21=B Como MCD(4; B)=21 
¿ 4 — Á=0:p 
PESI 
21-px21 =21xq| %21:0 
21xp=q 
Como p y q son PESI, entonces p=1 y q=21. 
Se tiene que 
A=21x1 y B=21x21=441 
Por lo tanto, la suma de cifras de B es 44+4+1=9 
 
LUMBRERAS EDITORES 
A 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 6 y 9. 
Se sabe que MCM(6; 9)=18. 
Ahora, si multiplicamos a los números por 10, 
se tienen los nuevos números 60 y 90, respec- 
tivamente. 
Luego el MCM(60; 90)=180=18x10. 
Se observa que al multiplicar a los números por 
10, el MCM de dichos números también queda 
multiplicado por 10. 
APLICACIÓN 4 
Si el MCMÍab; ¿de)=675, además 
A=2xab+4xab+6xab+...+20xab y 
B=cde0+cde0+...+cde0, 
fOfÍ, Veces 
calcule el MCM(A; B). 
Resolución 
Calculamos el valor de A y B. 
A=2xab+4xab+6xab+...+20xab= 
=10x11xab=110xab 
B=cde0+ede0+...+cde0= cdeD <11= 
A ¿q A 
fOff, =1011,=11 
f=1 
cdex10 
=cdex10x11=110xcde 
Se observa que tanto ab y cde, por propiedad, 
se han multiplicado por 110, 
44 
ÓN a 4 
Si MCM(ab; cde)=675, entonces 
MCM(110xab; 110xcde)=110x675=74 250 
MCM(A; B)=74 250 
 
Observación 
5i dos números se dividen por un factor co- 
mún, su MCM queda dividido por dicho factor, 
 
APLICACIÓN 5 
Calcule 4xB si el MCM(304; 188)=1080 y el 
MCD(54; 38)=15. 
Resolución 
Se sabe que MCM(304; 188) =1080 
MCM(6x5A; 6x38)=6x180 
Por propiedad, MCM(5A4; 38)=180 
Además, MCD(5A; 38)=15 
Reemplazamos estos valores en 
MCM(SA; 38)xMCD(5A; 38)=(54)x(38) 
MB BAxXÍA 
1380 = 4AxB 
 
180 x 
AxB=180 
 
 
 
- INCUDE ATREA entonces Ap 
m m El pets] * 
PESI A 
Además Ha 
 
F
A
A
 
A
A
A
 
A
 
A
A
 
A
 
A
 
A 
"
y
 
ba
t 
 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 30 y 24. 
Se sabe que el MCM(30; 24)=120; entonces 
Se observa que 4 y 5 son PESI. 
APLICACIÓN 6 
La suma de dos números es 231, y el mínimo 
común múltiplo de los mismos es 588. Calcule 
la diferencia de dichos números. 
Resolución eds 
Sean A y B los números; además el 2 
MCMÍ(A; B)=588 > 
Por propiedad se cumple que > 
588 588 S 
ETT Y -—=8 
A t B a 
PESI o 
o 
de donde $ 
88 588 pe 
= 388 y B=—— um 
q J 
x= 
Por dato o 
A+B=231 
Reemplazamos 
588 ,588_731 >, 588 + =)- 231 
p q p q 
50 Er » 231 
pxq 
p+g _ 231_11_7+4 
pxq 588 28 7x4 
Se observa que p=7 y q=4 
588 588 Luego A==2=84 y B==—=147 uego > y a 
B-A=147-84=63 
APLICACIÓN 7 
si mcm(ab; ba)=168, calcule MCMÍaaa; hbb). 
 
 
Resolución 
Por propiedad se cumple que 
168 _ 168 
a OY Y 
PES! 
2X2x2X3)x7 _ 2x2x(2x3x7) _ 
ab ba 
Siab=24 y ba=42, se tiene 
39 
PESI 
Se observa que a=2 y b=4 
McCMÍ(aaa; bbb)=MCM(222; 444)=444 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 99 y 45. 
Se sabe que el MCM(99; 45) =495. 
Ahora calculamos el MCM de 99 y 135. Se tiene 
que MCM(99; 195)=MCM(99; 3<45)=495 
MCM(99; 45)=MCM(99; 3<45)=495 
o 
porque 99=3 
 
LUMBRERAS EDITORES 
 
APLICACIÓN 8 
Si se cumple que el 
MCMÍ(a6; c5)=Mcm(3xa6; 25), 
calcule la suma de todos los valores de c5. 
Resolución 
Por propiedad se sabe que si se cumple que 
MCM(a6; c5) = MCMÍ(3xa6; c5), 
—. O 
entonces c5=3=3k 
5e observa que los valores de k: 5; 15; 25 
pa o 
Como c5 termina en 5, entonces k=5 
Luego c5: 3x5; 3X15; 3x25 
15 45 75 
Por lo tanto, la suma de los valores de c5 es 
15+45+75=135, 
APLICACIÓN 9 
siMCM(abb; 4ba)=MCMÍ(3xA4ba; 5xabb), 
calcule el máximo valor de ab. 
Resolución 
Se cumple que 
MCMÍabb; 4ba)=MCM(5xabb; 3x4ba) 
Se observa que a pesar de que se ha multipli- 
cado por 5 al numeral abb y por 3 al numeral 
4ba, el mínimo común múltiplo no varía, sigue 
siendo el mismo. 
46 
e cel a 
Entonces debe cumplirse que 
_— —_ Y 
abb=3 y 4bo=5 
Aplicando el criterio por 5 
4ba= Ln
 
0 
A a=0 y 
No cumple, porque 
o es primera cifra 
en el otro numeral. 
Reemplazando el valor de a=5 y aplicando el 
criterio de divisibilidad por 3, se tiene 
A o 
obb=3 
mo ¿0 o 
S5bb=3 => 5+b+b=3 
o 
5+2b=3 
Se observa que b puede ser 2; 5 0 8, donde 8 es 
el máximo valor de b. 
Por lo tanto, el máximo valor de ob será 58. 
8.2. PARA VARIOS NÚMEROS 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 6; 8 y 12. 
Se sabe que el MCM(6; 8; 12)=24. Los múltiplos 
del MCM son 24; 48; 72; 96; 120; ... 
Se observa, por ejemplo, que 72 es múltiplo de 
6; 8 y 12, del mismo modo 120 es múltiplo de 6; 
8 y 12, y así sucesivamente. 
Por lo tanto, todo múltiplo de 24 es múltiplo de 
los números 6; 12 y 24.
m
m
 
y
 
—
 
e
 
a
 
o
 
A AR PF 
APLICACIÓN 10 
Si el MCMÍA; B; C)=240, calcule la suma de los 
múltiplos comunes de A; B y C de cuatro cifras. 
Resolución 
Si el MCM(A; 8; C)=240, entonces los múltiplos 
de 240 son los múltiplos comunes de A, B y C. 
Ahora calculamos la suma de todos los múltiplos 
comunes de A, B y € que tienen cuatro cifras. 
( múltiplos comunes 
de cuatro cifras de A, B y c)- 240k =abcd 
5e observa que 
k:5:6:7:8;...; 41 (hay 37 valores) 
E ma de los múltiplos 
comunes de A, B y € )> 240(5+6+
7+...+41) 
 200% (3142) >37 |=200x851=204 240 
Por lo tanto, la suma de los múltiplos comunes 
de cuatro cifras de A, B y Ces 204 240. 
 
LA Ea 
¿E sí MCMÍA; B; C; D)=m, entonces pa 
| MOM(kxA; kxB;kxC; kxD;)=kxm [32 
NS ee 
qu ABC0Dj] om des e men 2; Ec 2). a 
p- tor6r or F a 
 
MET AAA AN 
Ejemplo 
Veamos para los números 18; 24; 30 y 48. 
Se sabe que el MCM(18; 24; 30; 48)=720 
Si multiplicamos a cada uno de los números por 
10, se tiene 180; 240; 300 y 480, 
MCM(180; 240; 300; 480)=7200 
Y si dividimos a cada número original entre 6, se 
tiene 3; 4; 5 y 8. 
MCM(3; 4; 5; 8)=120 
APLICACIÓN 11 
Calcule ab si se cumple que 
men 22, 140b. 2), 1080 
 
 
5 10" 15 
Resolución 
Se sabe que 140b _7ab 54ab
 _180b 
10. 5%15 5 
Reemplazando se tiene que 
42xab 7xab_ 1492) 
mon 252, =630 
5 5 5 
 
Multiplicamos a cada uno de los números por 5. 
Por propiedad se tiene 
mcm(42xab; 7xab; 18x0b) =630x5=3150 
126 xab =3150 
tad 
MCM(42; 7; 18) 
 
ab=25 
14] 
Se observa que a=2 y b=5 
2 ab=25 
 
Lum BRERAS EDITORES | 
APLICACIÓN 12 
Siel ic" Y. 2) 1440, 
2135 
ÑN 
calcule el Mem, — .L ») 
6" 8' 15 
Resolución 
Multiplicamos por 30 a cada uno de los números 
mem» z, %)=1400 
23'5 
Se tiene 
mem 30x"; 30x-; ¡30x > 30x1440 
MCM(15N; 10N; 6) =30x1440 
_— 
JÓxN = 30 x 1440 
cs ii 
MCM(15; 10; 6) 
N =1440 
Reemplazando el valor de N, se tiene 
mem»; N. 2). mem 2, 1440, =E 
6" 8'15 6 B 15 
A A 
240 180 36 
MCM(240; 180; 96)=1440 
moa( 1, 2100 
6 8 15 
 
Sean A, B y Clos números y 
MCM(A; B; C)=m. Entonces 
 
 
Ejemplo 
Veamos para los números 40; 60 y 90. 
Se sabe que el MCM(40; 60; 90)=360, Se ob- 
serva que 
 
E 4 4 
PESI 
APLICACIÓN 13 
Si el MCMÍmn; 45; 60)=360, calcule la suma de 
valores de mn. 
Resolución 
Se tiene que el MCMÍmn; 45; 60)=360, entonces 
360= 60x6= 60x(3x2) 
360= 45x8= sx (4x2) y, 
360 = mnxp= mnXx Pp 
o 
Se observa que p es impar, no debe ser 2; además 
mn es un divisor de 360 (mn tiene dos cifras). 
Los divisores de 360 son 
 
 
1 4 8 
3 12 | (24) 
divisores de 360 
3 18 36 (d+ que tenen dos cifras 
s|10 20 (49) 
 
15 30 60| 120 
45 90 | 180 360 
Se sabe que 360=mnxp 
-— ) 
24 15 
TY 5 
40 3 
Por lo tanto, la suma de los valores de mn será 
24+72+40=136.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 
 
 
 MCM[MCMÍ(A; 8); MCM(C; D)]=m 
Esso B; C); D]=m 
o E a y 
ta E 
 
Ejemplo 
' Veamos para los números 40; 60; 45 y 120. 
5e sabe que el MCM(40; 60; 45; 120)=360 
También se cumple que 
MCM[MCM(40; 60); MCM(45; 120)] =360 
: 120 360 
É MCM(120; 360)=360' 
: Además 
J MCM[MCM(40; 60; 120); 45] =360 
h ——— 
1 120 
; MCM(120; 45)=360 
APLICACIÓN 14 
Si MCM(8A4; 128)=720 y MCM(98; 15€: 30)=2700, 
be calcule el MCM(24; 38; 5C; D). 
Resolución 
Por dato se tiene que MCM(84; 128)=720 
Por propiedad, MCM(24; 38)=180 
Además, se tiene que MCM(98; 15€; 3D) =2700 
A 
-
+
 
ma
 
q
 
q
 
n
m
 
Por propiedad, MCM(3B; 5C; D)=900 
Nos piden calcular MCM(24; 38; 5€: D) 
Por propiedad se cumple que 
MCM(24; 38; 5C; D)= 
=MCM[MCM(24; 38); MCM(38; 5C; D)] 
—e eS == , 
 
MCM(24; 38; 5C; D) =MCM(180; 900) =900 
MCMI(24; 38; 5C; D)=900 
APLICACIÓN 15 
Si MCM(A; B)=3k, 
MCM(C; B)=4k y 
MCM(A; B; C)=180, 
calcule MCM(9k; 16k). 
Resolución 
Se sabe que el MCM(A; B; C)=180. 
Por propiedad se cumple que 
MCMÍ(A; B; C)=MCM[MCM(A; B); MCM(C; B)] 
180 3k ak 
180= 12 k 
MCM(3; 4) 
Se observa que k=15 
Reemplazando k, se tiene 
MCM(9k; 16k)=9x16xk=144x15=2160 
a 
MCM(S; 16) 
ut 
PES! 
7. MCM(9k; 16k)=2160 
49
LUMBRERAS EDITORES 
 
Si MCM(A; 8; C)=m, entonces 
MCMÍA”; B” CU) =mf. 
Ejemplo 
Veamos para los números 4; 8 y 12, 
Se sabe que MCM(4; 8; 12) =24, de donde 
24=4x6 > 24*=(4x6)?=4*x 60) 
24=8x3 > 24?=(8x3)*=8*x(9) -—pesi 
24=12x2 > 24%=(12x2)=12%x() 
Entonces se cumple que 
mcmÍ4?; 8?; 122) =24? 
 
APLICACIÓN 16 
simMcMÍabes; 144) =420*, calcule axbxc. 
Resolución 
Se cumple que el MCMÍabc5; 144) =420*, 
=2 
de donde se tiene meml Vabes : 122)-420? 
Aplicando la propiedad se tiene 
mcmÍVabes; 12)=420 
Entonces se cumple que 
 
Se observa que abeS =35 
abe5=35*=1225 
de donde 0=1; b=2 y c=2 
axbxc=1x2x2=4 
50 
En el caso de factoriales, el mínimo común 
múltiplo de un conjunto de factoriales 
siempre es el mayor de ellos. 
Ejemplo 
Veamos para los números 7!; 51 y 101, 
Se sabe que 
71=7x6x5x4x3x2x1 
51=5x4x3x2x1 
101=10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 
Se observa que 10! contiene a 7! y 51. Enton- 
ces se cumple que 
MCM(7!; 51; 101)=10! 
 
APLICACIÓN 17 
¿En cuántos ceros termina el 
MCMÍ(a(a +8)! b(5b)!; 201)? 
Resolución 
Se sabe que, en el numeral o(a+8), el valor de 
a=1; del mismo modo, en el numeral b(5b), el 
valor de b=1. Reemplazando se tiene 
MCMÍa(a+8)!; b(Sb)!; 2a!)=MCM(191; 151; 211)=211 
Ahora determinamos el exponente del primo 5 
en la descomposición canónica de 21!; solo de- 
penderá del 5 ya que hay más factores 2, por- 
que se sabe que para formar el número 10 es 
necesario un 5 y un 2, 
Entonces 
211=1x2x3x4x0)x...x10)x...x(1Dx...x(20x21 
5x1 3x2 5x3 5x4 
211=5*x(otros factores)=...0000 
Por lo tanto, el MCM de dichos números termina 
en cuatro ceros.
—
 
a 
a
e
 
— 
-
-
 o
»
 
—
—
 
e
 
a
 
RARA RARA 
NIVEL BÁSICO 
PROBLEMA N.” | 
Si el mcoDlab; 180)=15, calcule la suma de va- 
lores de ab. 
A) 60 B) 75 C) 80 
D) 90 Ej 120 
Resolución 
Si el Mco(ab; 180)=15, entonces se cumple que 
180=15x (42 — 
P es PESI con 12, 
 ab=15x(P) —) 
valores que 
— (:15-1:15-5 
puede tomar ab) == 
Por lo tanto, la suma de los valores de ab es 
15+75=390. 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.” 2 
¿Cuántos pares de números naturales cumplen 
que la suma de ellos sea 600 y su máximo co- 
mún divisor sea 307 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 5 E) 6 
++ PROBLEMAS RESUELTOS 
daras E 
* 
Resolución 
Sean A y 8 los números, además MCD(A; B)=30, 
Entonces 
A=30p y B=30q 
=== 
PES! 
Además 
A+B=600 
30p + 30q=600 
p+ q=20 
/ ' 
1 19 
3 17 Hay 4 pares de valores 
7 13 para p y q. 
9 11 7 
Por lo tanto, existen 4 pares de números que 
cumplen dicha condición. 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.” 3 
Determine el menor de dos enteros sabiendo 
que su suma es 330 y que su MCM es 18 veces 
su MCD. 
A) 27 B) 30 Cc) 40 
D) 60 E) 90 
51
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Sean A y 8 los números (4>8), MCD(A; B)=d y 
MCM(A; B)=m. 
Entonces 
A=d-p 
B=d-q 
A 
pyqson PESI. 
| m=d:p-q 
Por dato se sabe que 
MCM(A; 8)=18 MCD(A; B) 
d-p:q=18:d 
p:q=18 
HA 
18 1 (no cumple) 
9 2 [sicumple) 
Además A+B=dp+dq=dx(p+q)=330 
Hi, 
30 3 2 
Se observa que 
4A=30-9=270 y B=30-2=60 
Por lo tanto, el menor número será 60, 
_cuave (B) 
PROBLEMA N.? 4 
¿Cuántos números menores que 300 tienen con 
216 un MCD ¡igual a 36? 
A) 1 
D) 4 
B) 2 03 
E) 5 
52 
Resolución 
Sean A y 216 los números; además se tiene que 
MCO(A; 216)=36. Entonces 
216=36x 
PESI; A<300 
A=36 x(9) 
Se observa que los valores que toma q serán 
q:1;5;7 
Entonces 
A: 36; 180 y 252 
Por lo tanto, existen 3 números que cumplen 
con las condiciones. 
_Cuve (E) 
PROBLEMA N.? 5 
En una fábrica trabajan 200 empleados. De 
ellos se selecciona un grupo, notándose que si 
se agrupa de 6 en 6, de 10 en 10 y de 15 en 15, 
siempre sobran 5. Halle el número de trabaja- 
dores no seleccionados si es el menor posible. 
A) 12 
B) 15 
C) 18 
D) 20 
E) 24
q
 
— 
A
 
e
 
A
 
a
 
 
Á
 
KA
 
A
 
e
 
a
 
a
 
A
 
K
A
 
A
 
A
A
A
 
o
a
 
occ MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
Resolución 
Sea ÑN el número de trabajadores que han sido 
seleccionados. Entonces se cumple que 
o 
N=6+5 
2 
N=10+5[ NS200 
N=15+5 
En consecuencia 
e 
N = MCM (6; 10; 15) +5 
o 
N=30+5 = 30K+5 
| 
6 
Cuando K=b6 —= N=185 
Por condición, los seleccionados tienen que ser 
máximos ya que piden la menor cantidad de tra- 
bajadores no seleccionados. 
Por lo tanto, los trabajadores no seleccionados 
serán 200-185=15. 
_cuave Y) 
PROBLEMA N.? 6 
¿Cuántos pares de números cumplen que su 
suma es 77 y la diferencia de los cocientes obte- 
nidos de dividir los números entre el MCD es 5? 
A) 2 B) 3 Cc) 4 
D) 5 E) 6 
Resolución 
Sean A y B los números, donde MCD(A; B)=d. 
Entonces 
A=d'(p) y B=d:(g) 
to | 
PES! 
Se sabe que 
A8_5 
d d 
dp d:q_ 
y y ie 
p-q=5 
Además 
A + B =77 
dp + dq =77 
d - (p+q)=7-11 
E 
1 41 36 
7 8 3 (p-9=5 
11 6 1 
Por lo tanto, hay 3 pares de números que cum.- 
plen la condición. 
_Cuave 8) 
PROBLEMA N.? 7 
Calcule la menor suma de dos números si su 
MCD es 18 y su producto es 71 604. 
A) 270 B) 350 C) 540 
D) 600 E) 720 
53
LUMBRERAS EDITORES 
Resolución 
Sean A y B los números, Se sabe que 
MCD(A; B)=18; entonces 
A=18-p 
PESI. B=18 5 pyason 
Por dato se tiene que 
AxB=71 604 
18p -1873=71 604 
p + q=221=17x13 
Lo] 
221 1 
17 13 (genera la menor suma) 
Se observa que 17 y 13 serán los valores ade- 
cuados para obtener la menor suma de los nú- 
meros, así se tiene que 
A=18x17=306 
B=18x13=234 
A+B=306+234=540 
PROBLEMA N.” 8 
Calcule la diferencia de dos números enteros 
positivos sabiendo que dichos números tienen 
como MCM 60 si la suma es 50. 
A) 8 B) 9 c) 10 
D) 12 E) 15 
Resolución 
Sean Á y B los números, y su MCM(A; B)=60, 
Entonces 
 
A 
60 60 PESI 
B 
Además 44+B=50 
Reemplazamos 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.* 9 
Un número N tiene 10 divisores y el 
MCDB(N; 450)=18. ¿Cuál es el valor de N? 
A) 162 B) 150 Cc) 140 
D) 120 E) 90 
Resolución 
Se sabe que MCD(N; 450)=18. Entonces 
450=18 x(25) *— 
PESI 
N=18 x(0) — 
Además CD(N)=10 
Entonces 
N=2x3*x3)=2x3*=162 
Por lo tanto, el valor de N es 162 
_Cuave (8)
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
 A mm 
PROBLEMA N.? 10 
si mco(5a7a; 8bc; 13c)=39, calcule MCM(a; b; c). 
A) 12 B) 15 Cc) 18 
D) 20 E) 30 
Resolución 
si mco(5a7a; 8bc; 13c)=9, entonces 
 
O o 
5070=9 = 12+20=9 
a=3 
MCM(3; 5; 5)=15 
_Cuave (8) 
PROBLEMA N.? 1 | 
El máximo común divisor de dos enteros posi- 
tivos es 17. Halle la diferencia positiva de estos 
números sabiendo que la suma de sus cuadra- 
dos es 2890. 
A) 34 B) 32 C) 28 
D) 24 E) 18 
Resolución 
Sean A y B los números (4>B). Además se sabe 
que MCD(A; B)=17. 
be 
Entonces 
A=17p Y B=17g 
A 
pyaqson PESI. 
Además 
A?+8*=[17p)+(17q)?=2890 
289-p*+289-q*=2890 
pi+g?= 10 
Se observa que p=3 y q=1 
Luego 4=17x3=51 y B=17x1=17 
_Cuave Y) 
A-B=51-17=34 
PROBLEMA N.? 12 
ZL E 
Si A=11+3 y B=11+10, 
o 
además MCD(A; B) =11+6, 
- ¿cuál será el residuo al dividir el MCM(A; B) 
entre 117A) 3 B) 4 CO 5 
D) 8 Ej) 10 
Resolución 
Se sabe que 
MCD(A; B)xMCM(A; B)=A xB 
Reemplazando los valores se tiene 
pa E MEA 
(i1+6)xmcmía; B)= 65 añ +10) 
2 Z2 
11+6-: MCM/(A; B) =11+30 
o 
£ MCMIA; B)=11+ 30 
Ó 
MCM(A;B)=11+5 
Por lo tanto, el residuo que se obtiene al dividir 
el MCM de dichos números entre 11 es 5. 
_cuave (8) 
55
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.? 13 
Calcule A—B si al calcular el máximo común 
divisor mediante las divisiones sucesivas se 
obtuvo como cocientes q4; q, y 93; además 
q1<9,<q3<d, donde d es el MCD de A y B, 
también se sabe que d; q,; q, y q3 son primos 
absolutos de una cifra. 
A) 147 B) 150 C) 160 
D) 135 E) 120 
Resolución 
Se sabe que los números primos absolutos de 
una cifra son 2; 3;5 y 7. 
De la condición 
q1<q,<q3<d 
E , 
2.3 5 7 
Reemplazando los valores en el algoritmo se 
tiene 
B=112 1,35 |, 7 
353" 23*10 
A-B=259-112=147 
_Ciave (Y) 
 
 
 
 
 
PROBLEMA N.” 14 
Calcule la diferencia positiva entre la suma de 
los cocientes y la suma de los residuos que se 
obtienen al calcular el máximo común divisor 
de 78 y 30 mediante el algoritmo de Euclides. 
A) 20 
D) 45 
B) 30 C) 40 
E) 70 
56 
Resolución 
Aplicando el método de las divisiones sucesivas 
(algoritmo de Euclides), se tiene 
 
2 1 1 2 
30 |,18 |,12 L.6 
"METIA N 
 
 
 
Se observa que 
* suma de cocientes: 24+14+1+4+2=6 
* suma de residuos: 18+12+6=36 
Porlo tanto, la diferencia positiva será 36-6=30, 
_Cuave (B) 
PROBLEMA N.”* 15 
Al calcular el máximo común divisor de dos nú- 
meros primos relativos, mediante el algoritmo de 
Euclides, se obtuvieron los cocientes sucesivos 
2; 3; 4; 1; 2. Calcule la suma de dichos números. 
A) 140 B) 149 C) 165 
D) 180 E) 182 
Resolución 
Sean A y 8 los números, donde A>B, 
 
2 3 á 1 2 
AE 
11312110 
 
 
 
Se sabe que el MCD 
de dos números PESI 
(primos relativos ) es 1. 
_Crave (B) 
= A+B=104+45=149
—
-
—
 
e
 
—
 
—
—
—
 
QÉ—
Á 
a
 
y
 
_— 
 
 
—
A
 
A
 
A
 
PROBLEMA N.? 16 
Si al calcular el MCD de dos números primos 
entre sí se obtienen los cocientes sucesivos 3; 3; 
2; 2 y4, calcule la diferencia de dichos números. 
A) 160 B) 172 C) 180 
D) 185 E) 200 
Resolución 
Como los números son PESI, entonces su MCD 
es 1. 
Reconstruimos el algoritmo de Euclides 
 
 
 
 
MCD(A; B)=1 
tl 
PESI 
 
Se observa que A=247 y B=75 
A-B=247-75=172 
_Cuave B) 
PROBLEMA N.? 17 
Se tiene que 
ES 
e B=2*x32x8? 
-. Cc=2x39x7 
Si ab es la cantidad de divisores de MCD(A; B; €) y 
ode es la cantidad de divisores del MCMIA; B; C), 
calcule el MCDÍab; zde). 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPL 
A) 12 B) 15 C) 18 
D) 20 ; E) 24 
Resolución 
Determinamos el MCD y el MCM de A; B y €. 
Asi se tiene que 
MCDÍA; B; ()=25x3? 
MCMIA; B; C()=2*x39x5*x7 
Por dato se sabe que 
ab=CDimco)= 6:-3=18 
cde=CDimomy=9 4 '3-2=216 
Ahora calculamos 
mcolab; cde)=MCD(18; 216)=18 
_cuave (E) 
mcolab; cde)=18 
PROBLEMA N.? 18 
Sean los números 
A = 3 5n+2 7 y 
a=3M+ et? 
Si las cantidades de divisores del MCD(4; B) 
y MCM(A; B) son 35 y abc, respectivamente, 
calcule MCMÍab; ac)+MCDÍab; ac). 
A) 471 
B) 460 
C) 445 
-D) 360 
E) 365 
57
Resolución 
Determinamos el MCD y el MCM de A y B. 
Se tiene 
MCD(A; 8)=3?".5+1 
MCM(A; B)=391*1.51+2.7.112 
Ahora determinamos la cantidad de divisores 
del MCD y MCM. 
CDimco)=(2n+1)(n+2)=35=7x5 
n=3 
CDimcm)=(3n+2)x(n+3)-2-3=abc 
Pero n=3, entonces 11-6-2-3=abe 
396=abc 
Luego 
mcolab; ac)=MCD(39; 36)=3 
MCMÍab; ac)=MCM(39; 36)=468 
mcmlab+ac)+McCOÍab; ac)=468+3=471 
_Cuave (A) 
PROBLEMA N.” 19 
La diferencia de dos números positivos es 80. 
El mínimo común múltiplo de dichos números 
es 600. Calcule la suma de los divisores comu- 
nes de dichos números. 
A) 60 B) 70 C) 380 
D) 90 E) 120 
Resolución 
Sean A y Blos números (A4>B); 
además MCMÍ(A; B)=600. Entonces 
600 600 
A=— B== 
(p) 0 
== 
PES! 
58 
A AA e 5 
Además A-B=80 
5000060 — sm) 
p q pq 
9-P_80_2 
pxgq 600 15 
Se observa que p=3 y q=5 
Entonces A==>=200 y 8=2=120 
También MCD(200; 120)=40=2*x5 
suma de dla e 
las divisores e =90 
comunes 2-1 5-1 
_Cuave (DB) 
PROBLEMA N.” 20 
Si MCD(104; 6B)=12 y MCM(304; 188)=3240, 
calcule 4xB, 
A) 200 B) 216 C) 236 
D) 240 E) 245 
Resolución 
De los datos que se tiene 
MCD(104; 68)=12 
=3 MCD(5A; 38)=6 
MCM(304; 188)=3240 
=> MCM(5A; 38)=540 
También se sabe que 
(54)(38)=MCD(5A; 38)xMCM(SA; 38) 
54 -38=6540 
. AxB=216 
CLAVE
—
—
 
n
n
 
A
 
A
 
a
r
 
PROBLEMA N.? 21 
Calcule el mínimo común múltiplo de A y B si el 
MCD(A; 8)=12 y el producto de dichos números 
es 5760. 
A) 320 B) 400 C) 450 
D) 480 E) 600 
Resolución 
Se sabe por propiedad (para dos números) 
 
l AxB=MCD(A; B)xMCMÍA; B) | 
 
Reemplazando se tiene 
5760=12+MCM(A; 8) 
480=MCMÍ(A; B) 
MCMÍA; B)=480 
_ciave 
PROBLEMA N.* 22 
¿Cuántos múltiplos comunes de tres cifras tie- 
nen los números 8; 9 y 12? 
A) 15 B) 14 co 12 
D) 10 E) 8 
Resolución 
Se sabe que si se quiere conocer a los múltiplos 
comunes de un grupo de números es conve- 
niente conocer el MCM de dichos números. 
Así tenemos que 
MCM(8; 9; 12)=72 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 
ios ai ii a A aa li 
Luego 
ear comunes de 
tres cifras de 8; 9y12 ) =JeK 
donde 
K:2:3,4:...512/13 
_— Q o LF — 
Hay 12 valores. 
múltiplos comunes 
de tres cifras de |=144;216 288;...;936 
8,9y12 12 valores 
Por lo tanto, 8; 9 y 12 tienen 12 múltiplos comu- 
nes de tres cifras. 
_Ciave (6) 
PROBLEMA N.” 23 
Si MCD(A; 8)=30 y MCD(B; C)=72, 
calcule el MCDÍA; B; C). 
A) 2 
B) 4 
Cc) 6 
D) 8 
E) 12 
Resolución 
Por propiedad se cumple que 
MCD(A; B; C)=MCD[MCD(A; B); MCD(B; C)] 
Reemplazando se tiene 
MCD(A; B; C)=MCD[30; 72] 
2 MCDÍA; 8; C)=6 
_Cuave (8) 
59
LUMBRERAS EDITORES 
PROBLEMA N.”? 24 
La señora Mercedes tiene en su tienda recipien- 
tes que contienen 108; 90 y 102 L de aceite. 
Desea vender el aceite en recipientes pequeños 
de igual capacidad que estén contenidos exacta- 
mente en cada uno de los tres recipientes. ¿Cuál 
es el menor número de recipientes pequeños 
que debe usar para no desperdiciar el aceite? 
A) 20 
B) 30 
Cc) 40 
D) 45 
E) 50 
Resolución 
Se tienen 
 
 
as divisor 10 exactamente 
capacna . 4 a 108; 90 y 102. 
reciplente ) e. 
il Debe haber el menor 
mibimo número de recipientes. 
Entonces 
MCD(108; 90: 102)=6 
Por lo tanto, el menor número total de recipien- 
tes es 
108 +90+4+102 _ 
6 
50. 
_Cuave (E) 
PROBLEMA N.” 25 
Se forma un cubo compacto con ladrillos cuyas 
dimensiones son 20 cm, 15 cm y B cm. ¿Cuántos 
ladrillos son necesarios para formar el cubo más 
pequeño? 
A) 700 B) 720 C) 600 
D) 540 E) 480 
Resolución 
Sea l la longitud de la arista del cubo compacto. 
 
 
Condición 
— múltiplo 
P | Debe ser un número que 
(: => común contiene a 8; 15 y 20. 
. ) Para obtener el cubo 
— mínimo Jj más paueRo 
Entonces 
(=MCM(8; 15; 20)=120 
En consecuencia 
cio ) 
pa de o). del cubo 
necesarios ) / volumen 
del ladrillo 
. (n.2 de ladrillos _120-120:120_..,, 
“* [necesarios g.15.20
a
 
O 
o
 
a 
E
 
A
 
A
 
A
A
 
A
X
Á
A
 
A
Ñ
 
- 
A
A
A
 
KA
 
A
 
A
A
A
 
A 
A
 
a
 
o
 
e
 
a
 
a.
 
 o a 
PROBLEMA N.”* 26 
Se tienen tres listones de madera del mismo 
espesor de longitudes 72; 90 y 84 cm. 5e quie- 
re obtener listones más pequeños del mismo 
espesor, pero de ¡igual longitud en centímetros 
enteros. ¿Cuál es el menor número de listones 
que se pueden obtener? 
A) 21 
B) 31 
Cc) 41 
D) 48 
E) 51 
Resolución 
Se tienen tres listones del mismo espesor 
 
Ú 84 cm 
De cada uno de ellos se quiere obtener listones 
pequeños, cuyas medidas son un número ente- 
ro de centimetros; entonces dicha medida debe 
ser un divisor común y máximo. 
( longitud del 
listón tan =MCD(72; 90; 84) =6 c
m 
( n.* total de )- 72490484 _ 
listones