Física tomo 2 Nivel Medio

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edio edio º
Ciencias Naturales
Física
 dición
Rodhe ster Moncada Muñoz
 rofesora de Estado en Biología, Química y Ciencias Naturales
Universidad de La Frontera
Magíster en Educación mención Currículum y Evaluación
Universidad de Santiago de Chile
Autoría
Daniella Frigerio Cortés
 rofesora de Matemática y Física
 ontifi cia Universidad Católica de Chile
Carlos Federico Márquez
Licenciado en Física
 ontifi cia Universidad Católica de Chile
Rodrigo Aros Olmedo
Doctor en Ciencias mención en Física
Universidad Andrés Bello
Asesoría pedagógica
 dgardo Alegría Riquelme
 rofesor de Estado en Matemática y Física
Universidad de Santiago de Chile
Carlos Severino Colombo
 rofesor de Matemática y Física
 ontifi cia Universidad Católica de Chile
 l Texto Física 2 – Proyecto Nuevo xplor@ndo para Segundo Año de Educación Media es una creación del 
Departamento de Estudios Pedagógicos de Ediciones SM – Chile.
 ste libro corresponde a 2º Medio y ha sido elaborado conforme al Marco Curricular vigente del Ministerio de ducación de Chile.
© 2010 – diciones SM Chile S.A.
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 -mail: chile@ediciones-sm.cl 
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 irección e itorial
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coor inación e itorial
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e ición
Rodhe Ester Moncada Muñoz
ayu antía e e ición
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Pamela Pizarro Andía
autoría
Daniella Frigerio Cortés
Carlos Federico Márquez 
Rodrigo Aros Olmedo
asesoría pe agógica
Edgardo Alegría Riquelme
Carlos Severino Colombo
consultoría pe agógica
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Voltaire Fuentes Olave
Alicia Montecinos Bórquez
 esarrollo e solucionario
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Paul Leyton Garcés
corrección e estilo
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Pablo Concha Ferreccio
 irección e arte
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coor inación e iseño
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 iseño y iagramación
Pablo Aguirre Ludueña
 iseño porta a
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ilustraciones
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benefactora sin fines de 
lucro, que a través de sus 
diversos programas asume la 
responsabilidad de retornar 
a la sociedad los beneficios 
que genera el trabajo editorial, 
creando así oportunidades de 
integración y de promoción 
social. 
De esta forma, diciones SM 
contribuye a extender la cultura 
y la educación a los grupos 
más desfavorecidos, con un 
proyecto educativo basado en 
valores, cercanía y compromiso.
Al ingresar a 2º Medio, asumes 
responsabilidades distintas que 
marcarán tu futuro y que permitirán 
aportar a la sociedad desde la 
perspectiva que tú decidas.
 l propósito del Texto de Física 2º 
Medio – Proyecto Nuevo xplor@ndo es 
invitarte a conocer, cuestionar, razonar 
y experimentar mediante la exploración 
directa y descriptiva, ya que podrás 
desarrollar las habilidades de 
pensamiento científi co como la 
observación, la interpretación, la 
búsqueda y selección de información, 
el planteamiento de preguntas, la 
formulación de hipótesis, interpretación 
de resultados y elaboración de 
conclusiones, entre otras.
Te enfrentarás, además, a actividades que 
te permitirán conocer y valorar el trabajo 
en equipo, la discusión como medio 
para llegar a conclusiones, el respeto al 
medio ambiente y a ti mismo. También 
comprenderás y refl exionarás acerca 
de los avances que han contribuido al 
desarrollo de la ciencia en el mundo.
 speramos que te aventures y compartas 
con nosotros el maravilloso mundo que 
se encuentra a tu alrededor y puedas así 
comprenderlo mejor. 
 ísica
 Índice
 NDICE
 0 Inicio de unidad.
 2 Magnitudes y unidades.
 4 Prefi jos.
 5 Transformaciones de unidades.
 6 Clasifi cación de magnitudes: escalares y vectoriales.
 7 Vectores.
20 Operatoria vectorial.
24 Inicio de unidad.
26 Inicializando: evaluación inicial – pensamiento científi co.
28 El movimiento.
29 Sistema de coordenadas.
30 Parámetros que describen el movimiento.
32 Rapidez y velocidad.
34 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU).
35 Velocidad relativa.
36 Gráfi cos MRU.
38 Situaciones de encuentro.
39 Análisis de gráfi cos de encuentro.
40 Analizando disco: evaluación de proceso.
42 Aceleración.
43 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
44 Gráfi cos que describen el movimiento.
46 Análisis algebraico del MRUA y del MRUR.
49 Vector aceleración de gravedad.
50 Movimientos verticales.
52 Ciencia paso a paso: pensamiento científi co.
54 Ciencia, tecnología y sociedad.
56 Pensamiento científi co: El movimiento según Einstein.
58 Historial: síntesis.
59 Cargando disco: modelamiento de pregunta PSU.
60 Verifi cando disco: evaluación fi nal.
63 Cerrar sesión.
64 Inicio de unidad.
66 Inicializando: evaluación inicial – pensamiento científi co.
68 La fuerza y sus efectos.
70 Superposición de fuerzas y fuerza neta.
72 Fuerzas especiales.
74 Ciencia paso a paso: pensamiento científi co.
76 Pensamiento científi co: Leyes de Newton.
80 Analizando disco: evaluación de proceso.
82 Equilibrio de traslación.
83 Algunas consideraciones acerca del roce.
84 Ejercicios de aplicación fuerza de roce.
86 Aplicaciones de las leyes de Newton.
90 Torque.
92 Equilibrio rotacional.
93 Centro de gravedad.
94 Equilibrio mecánico de cuerpos.
96 Ciencia, tecnología y sociedad.
98 Historial: síntesis.
99 Cargando disco: modelamiento de pregunta PSU.
 00 Verifi cando disco: evaluación fi nal.
 03 Cerrar sesión.
Mediciones en físicaUNIDAD 0
 En movimientoUNIDAD 1
Las fuerzas y el equilibrio de 
los cuerpos
UNIDAD 2
 04 Inicio de unidad.
 06 Inicializando: evaluación inicial – pensamiento científi co.
 08 Pensamiento científi co: El concepto de energía.
 0 Trabajo mecánico.
 2 Fuerzas conservativas y no conservativas.
 3 Trabajo realizado por una fuerza variable.
 4 Energía cinética.
 6 Energía potencial.
 7 Energía potencial gravitatoria y trabajo.
 8 Potencia mecánica.
 20 Energía mecánica y su conservación.
 22 Energía mecánica y trabajo.
 24 Analizando disco: evaluación de proceso.
 26 Cantidad de movimiento o momentum lineal.
 28 Ciencia paso a paso: pensamiento científi co.
 30 Conservación del momentum lineal.
 32 Colisiones.
 35 Péndulo balístico.
 36 Ciencia, tecnología y sociedad.
 38 Historial: síntesis.
 39 Cargando disco: modelamiento de pregunta PSU.
 40 Verifi cando disco: evaluación fi nal.
 43 Cerrar sesión.
 44 Recopilando disco: evaluación integradora.
UNIDAD 3 Trabajo y energía 
 uevo Explor@ndo Física
Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 5
 46 Inicio de unidad.
 48 Inicializando: evaluación inicial – pensamiento científi co.
 50 Nacimiento del Universo.
 52 Formación de las estrellas.
 53 ¿Qué es el sistema solar?
 54 Modelos y teorías planetarias.
 56 Leyes de Kepler.
 60 Ciencia paso a paso: pensamiento científi co.
 62 Analizando disco: evaluación de proceso.
 64 Ley de gravitación universal.
 66 Forma de la fuerza gravitacional.
 68 Fuerza gravitatoria y energía potencial.
 69 Conservación de la energía mecánica.
 70 Movimiento de los cuerpos en la cercanía terrestre.
 7 Orbitas y energía mecánica.
 72 Pensamiento científi co: Descubrimiento de Neptuno.
 74 Ciencia, tecnología y sociedad.
 76 Historial: síntesis
 77 Cargando disco: modelamiento de preguntaPSU.
 78 Verifi cando disco: evaluación fi nal.
 8 Cerrar sesión.
 82 Inicio de unidad.
 84 Inicializando: evaluación inicial – pensamiento científi co.
 86 Temperatura, energía interna y calor.
 88 Medición de la temperatura.
 89 Escalas termométricas.
 9 Conversión entre las escalas termométricas.
 92 Dilatación térmica en sólidos.
 94 Dilatación térmica en líquidos.
 95 Dilatación térmica en gases ideales.
 96 Ciencia, tecnología y sociedad.
 98 Pensamiento científi co: El equivalente mecánico del calor.
200 Transferencia de calor por conducción.
202 Transferencia de calor por radiación.
203 Transferencia de calor por convección.
204 Analizando disco: evaluación de proceso.
206 Capacidad calórica y calor específi co.
207 Calor latente.
208 Equilibrio térmico.
209 Equilibrio térmico de mezclas.
2 0 Ciencia paso a paso: pensamiento científi co.
2 2 Estados de la materia.
2 6 Historial: síntesis.
2 7 Cargando disco: modelamiento de pregunta PSU.
2 8 Verifi cando disco: evaluación fi nal
22 Cerrar sesión.
222 Recopilando disco: evaluación integradora.
 El Universo y la gravitación Calor y energía térmicaUNIDAD 4 UNIDAD 5
Antes de comenzar a trabajar, te invitamos a que manipules tu texto, lo revises, 
veas el índice, sus secciones y reconozcas algunos de los temas que en él se 
tratan. ste libro será tu compañero durante todo el año. speramos que lo 
disfrutes y te sea de gran apoyo durante esta etapa de tu aprendizaje.
Explorando mi Texto
 
Señales para aprender
El Menú de inicio presenta 
los temas, los aprendizajes 
esperados y las páginas 
donde se encuentran en la 
unidad.
Abrir sesión presenta un contexto asociado al 
tema y una actividad de motivación.
La evaluación se desarrolla como evaluación 
inicial en Inicializando, como evaluación 
de proceso en Analizando disco y como 
evaluación fi nal de la unidad en Verifi cando 
disco; además, como evaluación integradora, 
después de trabajar más de una unidad, en 
Recopilando disco.
El desarrollo de contenido se indica por esta 
señal. Se trabajan contenidos conceptuales, 
procedimentales y los relacionados con la 
tecnología y la sociedad.
El desarrollo de las habilidades de 
pensamiento científi co se trabaja asociado a 
los contenidos o a la evaluación.
La síntesis de contenidos se presenta como 
Historial.
Una vez terminado el desarrollo de la unidad, 
en Cerrar sesión encontrarás el resumen de la 
evaluación fi nal y de las distintas instancias de 
evaluación.
Puedes revisar los avances obtenidos en 
el trabajo de la unidad a través de los 
indicadores de logro de tus aprendizajes 
en Mi estado.
Para apoyar el desarrollo 
de contenidos se trabajan 
actividades modeladas, 
propuestas o experimentales.
eva
luación
e
con
tenidocon
tenido
c
habil
idad
h
Actividad modelada
Actividad propuesta
Actividad experimental
Mi estado
6 Explorando mi Texto
Páginas de Inicio
Abrir sesión
Para comenzar 
el estudio de los 
contenidos vinculando 
los temas con 
situaciones cotidianas 
y algunos ejemplos de 
aplicación. 
Menú de inicio
Para conocer los 
contenidos que vas a 
estudiar en la unidad y 
las metas de aprendizajes 
asociadas a ellos.
 ¿Para qué fueron pensadas las secciones de tu Texto?
Inicializando (Evaluación inicial)
Para diagnosticar, en una actividad procedimental, 
el dominio de los conocimientos previos a través 
de un trabajo exploratorio o descriptivo, utilizando 
las habilidades de pensamiento científi co y 
considerando algunos indicadores de evaluación 
presentados en Mi estado.
Contenido
Para desarrollar los contenidos en 
profundidad, se incluyen secciones como 
actividades modeladas, actividades 
propuestas y actividades experimentales. 
Además, se entregan orientaciones a 
modo de pequeños laterales como: Ayuda, 
Ampliando memoria, En línea y Para grabar.
Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 7
 uevo Explor@ndo Física
Analizando disco (Evaluación de proceso)
Para evaluar los contenidos y habilidades trabajados hasta 
ese momento en la unidad.
Ciencia, tecnología y sociedad
Para relacionar los contenidos estudiados con 
sus aplicaciones en la ciencia, en la tecnología 
y en la sociedad, y refl exionar en torno a ellas.
Pensamiento científico
Para abordar contenidos del tema en estudio de 
modo procedimental. Esto se realiza a través de 
la descripción y la ejercitación de las habilidades 
de pensamiento científi co con frases resaltadas 
para enfatizar su desarrollo teórico.
Ciencia paso a paso
Para aprender a trabajar las habilidades 
científi cas mediante una actividad experimental 
o descriptiva, relacionadas con el eje de 
habilidades a través de las etapas del método y 
enfatizando en una de ellas.
Explorando mi Texto
8 Explorando mi Texto
Historial 
Para recopilar, en cápsulas de síntesis, 
los conceptos principales de la unidad 
asociados a una imagen representativa.
Verifi cando disco
(Evaluación final)
Para evaluar los contenidos 
y habilidades trabajados en 
toda la unidad mediante 
preguntas tipo PSU y el 
análisis de una situación 
experimental.
Cargando disco
(Modelamiento de pregunta PSU)
Para modelar una pregunta tipo PSU con sus alternativas y 
sus respectivas orientaciones que establecen su corrección.
Cerrar sesión
Para conocer el nivel de logro 
alcanzado en los distintos 
contenidos estudiados.
Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 9
 uevo Explor@ndo Física
 ísica
 ediciones en
 0 0 Unidad 0 ediciones en Física
 agnitudes y unidades ............................................................................................................................................................................................................ Págs. 12 – 13
Prefi jos ............................................................................................................................................................................................................................................................................................. Pág. 14
Transformaciones de unidades .................................................................................................................................................................................................... Pág. 15
Clasifi cación de las magnitudes: escalares y vectoriales ........................................................................................................ Pág. 16
Vectores ................................................................................................................................................................................................................................................................... Págs. 17 – 19
Operatoria vectorial ....................................................................................................................................................................................................................... Págs. 20 – 23
 enú de inicio
 nidad
 Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 
Las mediciones forman parte del trabajo científi co, ya que 
gracias a ellas es posible cuantifi car algunas características 
de los fenómenos en estudio, comparar magnitudes o 
determinar sus propiedades.
Te invitamos a revisar esta unidad y a recurrir a ella cuando la 
necesites. Por ejemplo, para la transformación de unidades 
de medida en la resolución de problemas.
Abrir sesión
 2 2 Unidad 0 ediciones en Física
 agnitudes y unidades
En ciencias se intenta comprender la naturaleza desde distintos puntos de vista. La física, en 
particular, trabaja modelando diversos fenómenos para poder estudiarlos con mayor exac-
titud. Para ello, se requiere cuantifi car o medir algunas características de los objetos.
Defi nimos magnitud como cualquier característica de un cuerpo que se pueda medir. Al-
gunas magnitudes conocidas son: masa, densidad, rapidez, longitud y tiempo.
Para realizar las medicioneses necesario contar con unidades. La magnitud “tiempo”, por 
ejemplo, tiene varias unidades asociadas: años, horas, minutos o segundos.
Las unidades suelen agruparse en conjuntos que relacionan cada magnitud con una única 
unidad. En el mundo científi co, se utiliza el Sistema Internacional de unidades (SI).
Clasificación de magnitudes: fundamentales y derivadas
Uno de los diversos criterios de clasifi cación que existen para las magnitudes propone que 
existen siete magnitudes básicas de las que se pueden extraer todas las demás. Según este 
criterio, las magnitudes se dividen en fundamentales y derivadas.
 agnitudes fundamentales
Sin importar cuál sea el sistema que se esté utilizando, existen siete magnitudes funda-
mentales. Estas magnitudes son aquellas que se consideran básicas.
¿Y quién dice cuánto es kg o m o s? Las unidades del Sistema Internacional deben 
ser universales y reproducibles en forma perfecta, por lo que existe una defi nición para 
cada una de ellas; por ejemplo, la Ofi cina Internacional de Pesos y Medidas, en París, tiene 
un cilindro patrón cuya masa está defi nida como kg.
Esta ofi cina era depositaria del “metro patrón”, una barra de platino-iridio que servía como 
referente para medir longitudes en todo el mundo. Actualmente, m corresponde a la 
longitud que recorre la luz en el vacío en /299.792.458 s, y el segundo se defi ne utilizan-
do las oscilaciones de la radiación de uno de los isótopos del cesio. 
Antiguamente, existían unidades 
diferentes a las que utilizamos hoy en día.
Eratóstenes medía las longitudes en 
“estadios” cuando estimó por primera vez 
el diámetro de la Tierra, y Galileo formuló 
sus ideas acerca del movimiento utilizando 
“tempos” para medir el tiempo. 
Ampliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoria
 agnitud fundamental Nombre de la unidad SI Símbolo de la unidad SI
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Longitud metro m
Temperatura kelvin K
Intensidad de corriente ampere A
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de materia mol mol
1 tempo, 
2 tempos…
Actividad propuesta
1. Para cada magnitud propuesta, señala tres unidades que sirvan para medirla, además de la unidad 
del SI asociada:
Longitud: , , . Unidad SI: 
Masa: , , . Unidad SI: 
Temperatura: , , . Unidad SI: 
2. ¿Por qué crees que se dejó de utilizar la barra de platino-iridio como patrón para medir el metro? 
Debate con tus compañeros(as) acerca de este cambio.
 La única magnitud que continúa teniendo 
como referencia a un patrón físico y corpóreo es 
la masa. El cilindro de platino-iridio que se 
encuentra en Francia data del siglo XIX.
 c r
cont
 nido habilidad val
uación
 c hh
Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 3
333222 444 555
333222 444 555
0 111
111111
000
000
 agnitudes derivadas
Todas las magnitudes que no son fundamentales pertenecen a esta categoría. Como su 
nombre lo indica, derivan de las magnitudes fundamentales y se pueden defi nir a partir 
de ellas, sin necesidad de tener un patrón que indique su valor.
La unidad de volumen, por ejemplo, se defi ne como el volumen de un cubo de un metro 
de arista, es decir, un metro cúbico (m3).
 newton se defi ne como la fuerza nece-
saria para que un cuerpo con una masa de 
 kg adquiera una aceleración de m/s2.
Algunos ejemplos de magnitudes derivadas 
se presentan en la tabla.
Como se observa en ella, algunas magnitu-
des derivadas tienen nombre propio, pero 
no siempre ocurre; por ejemplo, la unidad 
de fuerza se puede descomponer en uni-
dades fundamentales de la forma g • m/s2. 
Sin embargo, muchas veces se prefi ere de-
signarle un nombre en honor a un científi co 
que tenga relación con ella. En el caso de la 
fuerza, se trata de Sir Isaac Newton, físico del 
siglo XVII que dedicó gran parte de su vida a 
estudiar el movimiento de los cuerpos.
 agnitud 
derivada 
Nombre de la 
unidad SI
Símbolo de la 
unidad SI
Descomposición en unidades 
fundamentales
Fuerza newton N g • m/s2
Rapidez m/s
Energía joule J g • m2/s2
Volumen m3
Densidad kg/m3
Presión pascal Pa g/ (m • s2)
Carga eléctrica coulomb C A • s
Potencia watt W g • m2/s3
Actividad propuesta
1. Clasifica las siguientes magnitudes en fundamentales y derivadas, y señala la unidad SI asociada con cada una de ellas.
 
Rapidez Presión
Clasifi cación: Clasifi cación: 
Unidad: Unidad: 
Intensidad luminosa
Clasifi cación: 
Unidad: 
2. A continuación, se muestran símbolos de algunas unidades. Indica cuál es el nombre de la unidad y su magnitud asociada.
Símbolo Nombre unidad agnitud asociada
A
C
cd
m
 4 4 Unidad 0 ediciones en Física
Prefijos
Paralelamente al Sistema Internacional de 
unidades, se utiliza un conjunto de prefi jos 
decimales que modifi can el tamaño de las 
unidades.
Algunos de los prefi jos más utilizados se 
muestran en la tabla.
Las unidades originales son aquellas sin prefi -
jo, como metro, segundo, ampere, litro, watt. 
Aunque por lo general las unidades origina-
les corresponden al Sistema Internacional, no 
siempre es así.
Como se observa en la tabla, los prefi jos que 
corresponden a unidades mayores a la original 
se conocen como últiplos, mientras que las 
que corresponden a unidades menores a ella 
se denominan sub últiplos. Por ejemplo, un 
centímetro es un submúltiplo de la unidad SI 
de longitud (metro), mientras que un decá-
metro es un múltiplo de ella. Salvo el kilogra-
mo, las unidades SI no contienen prefi jos.
Los prefi jos se pueden utilizar con cualquier unidad y siempre tienen el mismo signifi cado. 
Tomemos como ejemplo el prefi jo “kilo”. La tabla indica que representa a 03, es decir, que 
un kilogramo corresponde a .000 gramos y un kilowatt a .000 watts.
Si una unidad es un múltiplo o submúltiplo de otra, la primera parte del símbolo correspon-
de a un prefi jo y la segunda a la unidad original.
Trabajando con la tabla de prefijos
Es muy usual tener una distancia en centímetros y necesitar transformarla a metros, o saber 
los milisegundos que demora un movimiento y desear la información en segundos. En 
estas ocasiones, se puede recurrir a la tabla de prefi jos para realizar la transformación.
Actividad modelada
Un insecto se ha desplazado 2,5 dam, ¿cuál es su desplazamiento en mm?
El ejercicio consiste en transformar de decámetros a milímetros, es decir, de una unidad mayor ( 0 ) a una 
menor ( 0–3). ¿Cuántas veces más pequeño es un mm que un dam? La respuesta es 0 : 0–3 = 04, es 
decir, que un mm es 0.000 veces menor que un dam.
Como los milímetros son de un tamaño menor, se necesita mayor cantidad de ellos para completar lo que 
corresponde a un decámetro, por lo que se tiene que multiplicar 2,5 por 0.000 para obtener el movimiento 
en mm, es decir, 2,5 • 10.000 = 25.000 mm.
Actividad propuesta
1. Para cada magnitud, escribe su 
unidad en palabras, como se 
muestra en los dos ejemplos:
120 mm = 20 milímetros
28,3 µC = 28,3 microcoulombs
a. 42 ms = 
b. 6,7 km =
c. 9,94 hPa = 
d. 0,4 cL = 
e. 12.500 J = 
2. Para cada unidad, escribe su 
símbolo, como se muestra en 
los dos ejemplos siguientes. 
Asegúrate de no confundir ma-
yúsculas y minúsculas:
decímetro = dm
nanocoulomb = nC
a. centisegundo = 
b. microampere = 
c. gigawatt = 
d. decalitro = 
e. milicandela = 
Para transformar unidades se usa 
la tabla de prefijos; para ello, debes 
multiplicar la magnitud dada por 
 0 elevado a la diferencia entre el 
exponente de la unidad inicial menos 
el exponente de la unidad final.
Por ejemplo, para transformar 
 8.000 nm en milímetros, ten 
presente que: nm = 0–9 m y 
 mm = 0–3m
18.000 • 10–9 • 10–3
18.000 • 10–6
0,0 8
Significa que 8.000 nm 
corresponden a 0,0 8 mm.
AyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyuda
Actividad propuesta
1. Transforma las siguientes unidades en lo que se indica en cada caso:
a. 2 cm = m
b. 50 ms = cs
c. 3,25 ms = µs
d. 0,0 7 nm = cm
e. 4MPa = HPa
f. 0,3 kHz = Hz
Prefi jo
Nombre 
de la 
unidad SI
Símbolo 
de la 
unidad SI
giga G 109
mega M 106
kilo k 103
hecto h 102
deca da 101
100
deci d 10–1
centi c 10–2
mili m 10–3
micro μ 10–6
nano n 10–9
Un
id
ad
 o
rig
in
al
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pr
ef
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Su
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úl
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Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 5
333222 444 555
333222 444 555
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111111
000
000
Actividad modelada
1. Convertir 90 km/h a m/s 
En este caso, se debe transformar simultáneamente una unidad de longitud (km a m) y una de tiempo (h a s):
Como sabes, km corresponde a .000 m, y h corresponde a 3.600 s.
Dadas estas equivalencias, podemos decir que 
 km
 .000 m
,,
 o 
 .000 m
 km
 
,,
 son fracciones iguales a y 
podemos usarlas en nuestra transformación.
De este modo, multiplicaremos 90 km/h, que es la magnitud dada, por dos fracciones iguales a , cada una 
diseñada convenientemente para favorecer simplifi caciones entre las unidades.
 90 
 km
h
 h
3.600 s
• • ••
 .000 m
 km
,,
 
Si esta expresión se simplifi ca, se obtiene •90 
 
3, 6
m
s
= 25
m
s
,,
 
Es decir, 90 km/h equivalen a 25 m/s.
2. Convertir 470 cm3 a m3
Parece que este problema de cambio de unidades de volumen se tratara de una transformación simple que 
puede hacerse directamente con la tabla de prefi jos. Sin embargo, debes notar que la unidad se encuentra 
elevada a un exponente distinto de uno. En este caso, la fracción que representa a la equivalencia unitaria 
debe elevarse completa al exponente mencionado.
•470 cm 
 m
 00 
3
ccm
= 470 cm
 m
 .000.000 cm
= 4
3
3
3
3
• ,, 7 • 0 m
–4 3
 
 
Es decir, 470 cm3 corresponden a 4,7 • 10–4 m3 (0,00047 m3).
Un error muy corriente se produce al dividir simplemente por 00 y obtener 4,7 m3, sin elevar la 
equivalencia al exponente 3. Se puede apreciar en el desarrollo que m3 no es igual a 00 cm3, como 
ocurre con las unidades lineales, sino a .000.000 cm3.
3. Convertir 2.700 kg/m3 a g/cm3
Este ejercicio combina los dos ejercicios anteriores y se trata de transformar unidades de densidad.
Se debe cambiar las unidades de masa (kg a g) simultáneamente con las de volumen.
,,
2.700 
kg
m
 .000 g
 kg
 m
 00 cm3
• •
3
3
= 2,7
g
cm
 
 
Por lo tanto, 2.700 kg/m3 es equivalente a 2,7 g/cm3.
Actividad propuesta
1. Transforma las siguientes magnitudes según se pide:
a. 250 m/s a km/h
b. 3,25 cm/min a m/s
c. 3.000 kg/m3 a g/cm3
d. 5,72 m2 en cm2
e. 25 mL/s a L/min
f. 3,4 m/s2 a km/h2
Transformaciones de unidades
En muchos casos, se necesitará transformar unidades más complejas, por lo que será insufi -
ciente conocer y manejar cambios dentro de la tabla de prefi jos de la página anterior.
En esas ocasiones es adecuado utilizar el método del factor unitario, que consiste en mul-
tiplicar la medida que se pide por una fracción equivalente a , de modo de no alterar el 
problema. Este debe estar escrito en forma conveniente para producir simplifi caciones 
entre las unidades.
Actividad propuesta
En el Sistema de Unidades del 
planeta Anisonte, se sabe que 
 pin = 4 pun y que 
28 ket = 5,2 fan. Realiza 
entonces la transformación 
siguiente:
25 pin/ket
2 a pun/fan2
Muy sencillo, nosotros 
los anisontanos lo 
calculamos todo el 
tiempo…
 6 6 Unidad 0 ediciones en Física
Clasificación de magnitudes: escalares y vectoriales
En algunas ocasiones ocurre que es 
posible describir una propiedad en 
términos de un número y de una uni-
dad. Es el caso de la masa, el tiempo 
o el volumen de un cuerpo, ya que 
si una persona se refi ere a “25 kg”, 
“ 8 s” o “40 litros”, todos entende-
mos lo mismo. Sin embargo, hay 
otras magnitudes para las cuales la 
situación no es tan sencilla.
Supongamos que Antonia parte des-
de su casa y corre a 20 km/h durante 
un minuto. ¿Es posible saber dónde 
está Antonia al fi nal de su recorrido? 
Probablemente hayas acertado, ya 
que la respuesta es que no podemos 
predecir cuál es la posición de un cuerpo si no sabemos hacia dónde se movió.
En otras palabras, Antonia corre a 20 km/h es una información incompleta, porque aunque 
sepamos que la carrera comienza en su casa, no sabemos hacia dónde viaja. Podría tener 
cualquier dirección de movimiento, por lo que, en este caso, al cabo de un minuto su posi-
ción es imposible de predecir con exactitud.
Tenemos entonces un nuevo criterio de clasifi cación. Según la cantidad de información 
que se requiera para defi nir una magnitud, se puede diferenciar entre magnitudes escala-
res y vectoriales.
 agnitudes escalares
Son aquellas que quedan defi nidas exclusiva ente por una cantidad, es decir, por un 
número acompañado de una unidad. Es el caso de masa, tiempo, temperatura, distancia. 
Por ejemplo, 5,5 kg, 2,7 s, 400 °C y 7,8 km, respectivamente.
 agnitudes vectoriales
Son aquellas que quedan totalmente defi nidas con un ódulo, una dirección y un sentido. 
Es el caso de la fuerza, la velocidad, el desplazamiento. En estas magnitudes es necesario es-
pecifi car hacia dónde se dirigen y, en algunos casos, dónde se encuentran aplicadas.
Todas las magnitudes vectoriales se representan gráfi camente mediante vectores, que se 
simbolizan a través de una fl echa.
Para grabar
Las magnitudes pueden clasifi carse según 
variados criterios. Uno de ellos establece que 
existen magnitudes escalares y vectoriales.
Las magnitudes escalares son las que se 
defi nen utilizando únicamente un módulo.
Las magnitudes vectoriales son aquellas que 
deben defi nirse a partir de un módulo, una 
dirección y un sentido.
Actividad propuesta
1. anuel aplica una fuerza sobre la puerta.
a. ¿Qué datos necesitarías conocer para saber qué efectos tuvo la fuerza aplicada por Manuel?
b. ¿Se trata de una magnitud vectorial o escalar?
2. anuel mide el tiempo que demora un atleta en recorrer 00 m. El resultado en el cronómetro es 
 6:04 s.
a. ¿Se necesita más información que la entregada por el cronómetro para saber el tiempo que demoró el atleta?
b. ¿Se trata de una magnitud vectorial o escalar?
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333222 444 555
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0 111
111111
000
000
Vectores
Como ya hemos mencionado, para trabajar con magnitudes vectoriales es necesario co-
nocer algo de vectores, que son su representación matemática.
Un vector tiene tres características esenciales: ódulo, dirección y sentido. Para 
que dos vectores sean considerados iguales, deben tener igual módulo, igual dirección 
e igual sentido.
 Módulo: está representado por el tamaño del vector, y hace referencia al largo del 
mismo.
Vectores de igual ódulo. Todos podrían repre-
sentar, por ejemplo, una velocidad de 5 km/h en 
distintas direcciones. 
Vectores de distinto ódulo. Se espera que el 
vector de menor tamaño represente una veloci-
dad menor que la de los demás.
Así, los vectores de la fi gura podrían representar 20 
km/h, 5 km/h y 5 km/h, respectivamente.
 Dirección: corresponde a la inclinación de la recta, 
y representa al ángulo entre ella y un eje horizontal 
imaginario.
Dos vectores tienen la misma dirección cuando la inclinación de la recta que los repre-
senta es la misma, es decir, cuando son paralelos.
Vectores de igual dirección. Sin importar hacia dónde apuntan o cuál es su tamaño, los 
vectores de la fi gura son paralelos, por lo que tienen la misma dirección.
Vectores de igual dirección
 Sentido: está indicado por la punta de la fl echa. No corresponde comparar el sentido 
de dos vectores que no tienen la misma dirección, de modo que se habla solamente de 
vectores con el mismo sentido o con sentido opuesto.
Actividad propuesta
1. Utiliza los vectores dados a continuación para responder la actividad. a. Con lápiz azul marca cuáles son los 
vectores que tienen la misma dirección.
b. Con lápiz negro marca los vectores de 
igual módulo.
c. Con lápiz rojo marca cuáles de los 
vectores mostrados son iguales.
Paragrabar
El módulo de un vector corresponde a su 
tamaño, su dirección representa la inclinación 
de la recta, y su sentido corresponde hacia 
dónde apunta la fl echa.
Para que dos vectores sean iguales, estas tres 
características esenciales deben ser las mismas.
¿Notaste que la ubicación espacial del 
vector no es parte de las características 
que lo definen?
Esto implica que un vector puede estar 
en cualquier lugar y sigue siendo 
igual, si sus características esenciales son 
idénticas.
AyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyuda
Vectores de sentido opuesto o antiparalelos. Vectores de igual sentido o paralelos.
Vectores de igual módulo
A B
D E
F
GC
Vectores de distinto módulo
α α
α
 8 8 Unidad 0 ediciones en Física
Vectores en el plano cartesiano
Ya has aprendido que los vectores son defi nidos a través de tres características, que son: 
módulo, dirección y sentido. Aunque su posición en el espacio no es uno de los compo-
nentes para defi nirlo, el estudio de los vectores se facilita si los ubicamos en un sistema de 
coordenadas cartesianas que nos ayude a tener mayor precisión.
Veamos un ejemplo para comprender cómo se utiliza el plano cartesiano para el trabajo 
vectorial.
Si los vectores se cruzan, no influye en 
el ejercicio.
AyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyuda
Actividad modelada
Se tienen los puntos A = (0, 2), B = (3, 5), C = (–2, 7) y D = (–2, 2). Con ellos, se definen los 
vectores B
 � 
,, B
 � 
,,
 y CD
 � � 
 ,,
CD
 � � 
 ,,. ¿Qué dibujo tienen los dos vectores en el plano cartesiano?
En primer lugar, se deben trazar los ejes del sistema, que típicamente se designan con las letras x e y, aunque 
en física no siempre se utiliza esa nomenclatura.
A continuación, se ubican los puntos dados A, B, C y D.
D
A
B
X
C
Y
D
A
B
X
C
Y
Posteriormente, se unen los puntos según los vectores defi nidos, teniendo la precaución de que B
 � 
,, B
 � 
,,
 es el 
vector que va desde A hasta B, y CD
 � � 
 ,,
CD
 � � 
 ,, es el que comienza en C y termina en D. De esta manera, la solución al 
problema se obtiene dibujando los vectores, desde un punto al otro.
Al estar todos los vectores grafi cados, es sencillo estimar visualmente cuáles de ellos tienen la misma dirección.
También se puede calcular el módulo de cada uno de ellos utilizando el teorema de Pitágoras cuando sea necesario.
El módulo del vector B
 � 
,,
 B
 � 
,,, por ejemplo, corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de 
catetos 3 unidades, por lo que el módulo de dicho vector tiene un valor de D 3 2 o 4,24 unidades (4,24 u).
Actividad propuesta
1. A partir de los puntos F = (0, 0), 
G = (4, 5), H = (3, – ), I = (–2, 5), 
J = ( , 0), K = (3, 6) y L = (0,6), ubica 
en un plano cartesiano x–y los siguientes 
vectores:
FJ LF KL HJ
 � � � � � 
 , , , ,, , GI GK
 � � 
FJ LF KL HJ
 � � � � � 
 , , , ,, , GI GK
 � � 
a. Señala cuáles de los seis vectores descritos 
tienen la misma dirección.
b. Calcula el módulo de los seis vectores.
Para grabar
Al ubicar un punto en un sistema cartesiano, 
la primera componente corresponde al eje 
horizontal y la segunda al eje vertical.
Cuando no se especifica la unidad en la 
cual se miden los vectores, no es posible 
saber si el módulo de ellos corresponde, 
por ejemplo a 4 N, 4 m, 4 MN o 
a 4 mm.
Es por esto que en tales casos los 
módulos se miden en “unidades”, que 
se simbolizan generalmente con la 
letra “u”.
Esto significa que los vectores unitarios 
son aquellos cuyo módulo es u, 
y son también llamados disectores o 
direcciones.
Por lo tanto, 
 
x y es la dirección de x
x y es la dirección en el eje y
Ampliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoria
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Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 9
2 4
Para simplifi car su descripción en el plano cartesiano, los vectores se pueden trasladar de 
forma tal que su punto inicial se ubique siempre en el origen del sistema de coordenadas 
cartesianas (0, 0). De este modo, bastaría señalar el punto fi nal del vector para defi nirlo 
completamente.
Llamemos al vector AB
 
 
 
 ��
 
 
 
 y 
 
 q al vector CD 
 
 
 
 ��
 
 
 
 de la página anterior.
Si sus puntos iniciales se trasladan al origen, se verán como se muestra en la fi gura.
En este caso, el vector que estaba defi nido anteriormente según los puntos (0, 2) y (3, 5) ha 
sido trasladado de manera que su punto fi nal es (3, 3). Análogamente, el vector 
 
 q ha queda-
do defi nido según su punto fi nal (0, –5).
Esta nomenclatura es la más utilizada en física, y en páginas siguientes verás que es muy 
práctica para realizar algunas operaciones vectoriales.
(0, 2)
(–2, 7)
(3, 5)
(3, 3)
(0, 0)
(0, –5)
(–2, 2)
Vector trasladado
Vector trasladado
 
 
 
 
 
 
 
 
Otra manera de entender si el vector 
 
 
 
 
corresponde a AB
 
 
 ��
 
 
, es calculando 
la diferencia entre las coordenadas de 
los puntos B y A.
 
 
 
 = AB = B – A
q = CD = D – C
 = (3, 5) –– (0, 2) = (3, 3)
q = (–2, 2) – (–2, 7) = (0, – 5)
 
� �� � � 
 
 
 
� �� � � 
 
 
 
 
Estos corresponden a los puntos finales 
de los vectores 
 
 
 
 y 
 
 
 
, si ambos 
comienzan en el origen.
Un vector puede ser descrito como un 
módulo en una dirección. Esto es
 
 
F = F •• x 
Esto significa que es un vector de largo 
F en la dirección del eje x.Actividad modelada
Grafica los vectores 
 
 
 
e = (0, 3) f = (9, 2) g , , == (3, – 6) h = ( – 2) , ,
 
 
 
 
 e i = (4, 5),
 
 
 
 
 calcula el 
módulo de cada uno de ellos y ordénalos en forma 
creciente. 
Los vectores mencionados se encuentran grafi cados en la 
fi gura, y a continuación se calculará su módulo.
El módulo del vector 
 
e 
 
 
 
 es trivial, puesto que es igual a 
3 unidades, y para obtenerlo basta con contar los 
cuadritos en el plano cartesiano.
Un caso más interesante tenemos en cualquiera de los 
demás vectores. El módulo del vector 
 
 f 
 
, por ejemplo, se 
calcula como la hipotenusa de un triángulo rectángulo 
de catetos 2 y 9 unidades: 
2 + 9 u = 
2 2 ) 44 + 81 u = 85 u = 9, 2 u )
Observa que en todos los casos el módulo corresponde a la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos son los 
valores absolutos de las componentes cartesianas del punto fi nal del vector cuando este se inicia en el origen.
Así, por ejemplo, el vector 
 
 g 
 
 
 tiene componentes (3, –6), por lo que su módulo es la hipotenusa de un 
triángulo rectángulo de catetos 3 u y 6 u, es decir, su módulo es (9 + 366) u = (45) u = 6,7u
 
 
.
Continuando con el mismo procedimiento para los demás vectores, se tendría que el orden creciente de los 
vectores según su módulo es:
1. e = 9 u = 3u 4. i = 41 uu = 6, 4u
 
2. h = 29 u = 5, 4u
 
 
 5. f = 
 
85 u = 9, 2u
 3. g = 45 u = 6,7u
Actividad propuesta
1. Grafica los vectores 
 
 = (5,–2), 
 b 
 
 = (8, 0), 
 
 c 
 
 = (3, – ) y 
 d
 
 = (–5, –6).
2. Calcula el módulo de 
 
 , 
 
 b 
 
, 
 
 c 
 
 , 
 
 d
 
.
3. Ordena los cuatro vectores dados 
en orden decreciente según su 
módulo.
4. ¿Se puede escribir 
 
 
F = F • F 
 
?
 
 g 
 
 
 
h 
 
 
 
 
 
 f 
 
 
e 
 
 
i 
 
2020 Unidad 0 ediciones en Física
Operatoria vectorial
Al igual que los números y los coefi cientes literales que conoces, los vectores pueden parti-
cipar en operaciones como adición, sustracción o multiplicación.
Adición
La adición de vectores se puede realizar de diversas formas. En este texto, aprenderás dos 
procedimientos gráfi cos y uno algebraico.
 Procedi ientos gráfi cos: se suman los vectores a través de las reglas del polígono o del 
paralelogramo.
− Regla del polígono. Para sumar vectores con este procedimiento, se ubican los 
vectores uno a continuación del otro, y se hace coincidirel fi nal de uno con el inicio 
del siguiente. Luego se traza el vector que une el punto inicial del primer vector 
con el punto fi nal del último. Este vector se conoce como vector suma o vector 
resultante, 
 
 
 
R.
Dado que se trata de una adición, el orden en que se ubiquen los vectores no infl uye 
en el resultado que se obtiene, aunque el polígono formado sea distinto.
Un caso particular de este método lo constituye la suma de los vectores llamado 
método del triángulo.
Los vectores se ubican uno a continuación del otro, donde el fi nal de uno coincide-
con el inicio del otro. Luego de ubicar de esta forma los vectores que desean sumarse, 
el vector resultante o vector suma comienza al inicio del primer vector y termina en 
el fi nal del segundo. 
Actividad propuesta
1. Felipe empuja una caja con una fuerza de 5 N y Laura la empuja con una fuerza de 8 N. ediante 
el método del polígono, encuentra la fuerza resultante si la situación es:
a. 
5 N
Felipe Laura
8 N
 b. 
5 N
Felipe
Laura
8 N
2. Se quieren sumar los vectores 
 
 g 
 
 = (3, –2), h 
 
 
 = (0, ) e i 
 
 
 = (8, 3).
a. Encuentra el vector suma 
 
 g 
 
 + h 
 
 
 + i 
 
 
 por la regla del polígono.
b. Encuentra el vector suma h 
 
 
 + i 
 
 
 + 
 
 g 
 
 por la regla del polígono.
c. Comprueba que los vectores resultantes encontrados en b y c son iguales. (Repasa las páginas anteriores 
para verifi car cuándo dos vectores son iguales). 
3. ¿Cuál es la dirección y el módulo de los vectores 
 
 
3 • y 
 
 
• y?
 Dos formas de extrapolación para la regla del 
polígono para más de dos vectores.
Paso 1 Paso 2 Paso 3
Se quieren sumar los dos vectores de 
la fi gura.
Se ubica el inicio de uno coincidiendo 
con el fi nal del anterior.
Se obtiene el vector resultante uniendo 
el punto inicial del primer vector con el 
punto fi nal del último vector.
 
 
 
M
 
 
 
M
 
 
 
L
 
 
 
L
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L + M + N
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L + M + N
 
 
 
N
 
 
R
Si 
 
 
a
 
 y 
 
 
 
 
 son vectores 
perpendicualres, entonces el módulo 
de 
 
 
a
 
 + 
 
 
 
 
, se obtiene por Pitágoras 
como:
c
2 = a2 + b2
Gráficamente, se representa como 
 
 
 
 
 
a
 
 
 
 
 
 
c = a + b
 
 
 
 
 b 
 
 
 b 
 
 
 b 
 
 
 
 
 
 
 
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000
000
− Regla del paralelogra o. Esta forma se utiliza para sumar solo dos vectores en forma 
simultánea, ya que su uso es engorroso para una situación en que sean más numero-
sos. Para utilizarlo, se ubica el inicio de ambos vectores en un mismo punto. A conti-
nuación, debe trazarse una línea paralela a ambos vectores, de forma de obtener un 
paralelogramo cuyos lados correspondan al módulo de los vectores.
La solución de la adición obtenida gráfi camente es la diagonal de dicho paralelogra-
mo, que comienza en el punto inicial de ambos vectores.
 Procedi iento algebraico. Los procedimientos gráfi cos son bastante útiles, pero carecen 
de la precisión que en algunos casos se necesita. Por ello, conviene utilizar el método alge-
braico, conocido también como método de suma por componentes. Este procedimiento 
consiste en sumar independientemente las coordenadas cartesianas de los vectores.
Por ejemplo, si se deseara sumar los vectores 
 
 = (3, 2), 
 
+ u + = (–2, 4) y 
 
v = = (3, – ), la ope-
ración podría realizarse con un procedimiento gráfi co o de forma algebraica.
Según el procedimiento gráfi co, el vector resultante corresponde a AB
� ��
 CR = (4, 5). Si se su-
man las componentes x e y en forma independiente, se obtiene:
 
 + u + v = (3, 2) + (–2, 4) + (3, – ) = (3 – 2 + 3 , 2 + 4 – ) = (4, 5)
Para sumar más de dos vectores 
formando un paralelogramo, deberás 
sumar dos vectores y a este vector 
resultante agregarle el tercer vector 
y calcular la suma. Este proceso 
continúa hasta que se han sumado 
todos los vectores.
Ampliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoriaAmpliando memoria
Para grabar
Los vectores deben descomponerse en dos 
direcciones perpendiculares entre sí. Lo más 
habitual es hacerlo según la dirección de los 
ejes x e y, pero esto es opcional y la decisión 
dependerá del problema que se quiera 
resolver.
Por ejemplo, el vector (3, 4) sería 
3 x + 4 y .
Actividad propuesta
1. Construye una tabla comparativa entre los tres procedimientos en la que se incluyan algunas de las 
características, fortalezas y debilidades de cada uno.
2. Escoge el método más apropiado para sumar los vectores: 
 
m = ( 25, 2), 
 
m n = (–248, 7) 
y 
 
n o p = (0, – 2) y encuentra el vector resultante de dicha operación.
3. Usa la técnica gráfica de formar un paralelogramo para sumar los vectores 
 
 = (3, 2),
 
+ u + = (–2, 4) y 
 
v = = (3, – ).
Adición de coordenadas “x” 
de los tres vectores
Adición de coordenadas “y” 
de los tres vectores
Vectores en el plano Vectores sumados geométricamente
yy
(–2,4)
(3,–1)
(3,2)
(4,5)
xx
 AB
� ��
 CR
Paso 1 Paso 2 Paso 3
Se desea sumar los dos 
vectores de la fi gura.
Se hacen coincidir los puntos 
iniciales de ambos vectores. 
Se construye un paralelogramo trazando las paralelas 
a ambos vectores, y luego se traza la diagonal que se 
inicia en el origen de ambos vectores.
 AB
� ��
 CR
Existen varios procedimientos para 
realizar una adición de vectores. 
El vector suma es el mismo 
independientemente de la técnica que 
se utilice, por lo que la elección de esta 
depende del problema. 
AyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyuda
 
g a 
 
g a 
 
g a 
 
g a b 
 
g a b 
g a b 
 
 
 
 
 
+ u + 
 
+ u + 
 
v =
 
v =
3
4
2
(3, 4)
2 3
 y
 y x
 y 
2222 Unidad 0 ediciones en Física
Ponderación por escalar
En algunas ocasiones, nos encontramos con expresiones como “el do-
ble de una fuerza” o “un tercio de su velocidad”. Si se trata de vectores, 
¿qué signifi can esas frases?
Las situaciones anteriores son ejemplos de casos en que es necesario 
utilizar una operación llamada ponderación por escalar, en la que un 
vector se multiplica por un número cualquiera, como 
 
–3 , 
 
1
2
 o 70.
Esta operación puede tener variados resultados, ya que el módulo del 
vector puede aumentar o disminuir, o bien el sentido del vector pue-
de invertirse, pero su dirección se mantiene.
Cuando se utilizan las componentes 
de un vector, la ponderación es muy 
sencilla, pues consiste en multiplicar 
cada una de las componentes por el 
número escalar que pondera.
Por ejemplo:
(9, –1) • 5
(9 • 5, –1 • 5) = (45, –5)
AyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyuda
Para grabar
La ponderación es la multiplicación de un 
vector por un número escalar. Como resultado, 
el vector puede aumentar o disminuir su 
módulo o puede cambiar su sentido, pero su 
dirección se mantiene invariante.
Actividad propuesta
1. Si el vector (– , 4) se pondera por –3, ¿cuál es el vector resultante? Realiza el procedimiento 
algebraico por componentes y el método gráfico que se usó en los ejemplos.
2. ¿Qué modificaciones puede tener un vector si se lo pondera por un vector mayor que 0?
3. Si un vector se pondera por un escalar, ¿entre qué números debe encontrarse el escalar para que el 
vector disminuya de tamaño?
4. ¿Cuál es el largo del vector 
x + y
2
 
?
Ponderación por un número positivo 
mayor que 1
Ponderación por un número positivo
 menor que 1
Por ejemplo, el vector (2, ) se pondera por 3:
El vector dado se está triplicando, lo que significa 
que el mismo vector se suma tres veces.
(2, 1) • 3 = (6, 3)
Por ejemplo, el vector (8, –4) se pondera por 
 
4
:
El vector dado se está dividiendo por cuatro, lo que 
significa que su módulo se divide en cuatro partes iguales.
(8,–4) • 
 
4
 = (2, – )
Ponderación por –1
Por ejemplo, el vector (3, 2) se pondera por – :
Para resolver esto, debes multiplicar cada una de las componentes por – 
(3, 2) • –1 = (–3, –2)
Si el vector se ponderara por un número como –5 o – /3, se trataría 
de una doble operación que alteraría simultáneamente el módulo y el 
sentido del vector.
Al ponderar por un número positivo mayor que 
1, el vector aumenta su módulo, pero mantiene 
constante su dirección y su sentido.
Al ponderar por un número positivo menor que 1, el vector 
disminuye su módulo, pero mantiene su dirección y sentido.
Como se ve en la fi gura, al ponderar por un número negativo, el vector 
invierte su sentido.
 Si ambos tiran la cuerda con la misma fuerza, 
ninguno ganará el juego. ¿Qué ocurrirá si uno de 
ellos tira la cuerda con el doble de la fuerza que el 
otro competidor?
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Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 23
3 4 5
Sustracción
La sustracción de vectores también se puede realizar en forma algebraica o gráfi ca siguien-
do la misma lógica que para la adición, ya que una sustracción no es más que la adición de 
un opuesto.
En el caso particular de los vectores, la sustracción combina los efectos de una ponderación 
por escalar y una adición.
 Procedimientos gráfi cos: se obtienen a través de los métodos del polígono y del 
paralelógramo.
Por ejemplo, si se necesita realizar la operación – 
 
 q de los siguientes vectores:
Como era de esperar, ambos métodos gráfi cos entregan el mismo vector resultante 
 
 
 
R.
 Procedimiento algebraico: para restar dos vectores en forma algebraica, se procede 
de la misma manera que en el caso anterior, es decir, se adiciona el vector opuesto.
Por ejemplo, se necesita realizar la operación – 
 
 q, con = (3, 2) y 
 
 q= (0, –2).
En este caso, 
 – 
 
 q = (3, 2) + (– (0, –2)) = (3, 2) + (0, 2) = (3, 4)
Gráfi camente, se puede obtener como se muestra a continuación:
Actividad modelada
Dados los vectores 
 
 
 
A = (4, 2), 
 
 
 
B = (3, – ), 
 
 
 
C = (2, 4), resuelve la operación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A – B – 
 
2
 C y usa la 
forma gráfi ca y la forma algebraica.
 
 
A
 
 
C
 
 
R
 
 
– B
 
2
 
 
C 
 
 
A 
 
B 
Algebraicamente: 
 
A – B – 
 
2
 C = (4, 2) – (3, – ) – 
2
 (2, 4) 
A – B – 
 
2
 C = (4, 2) + (–3, ) + (– , –2) = (4 – 3 – , 2 + – 2)
A – B – 
 
2
 C = (0, )
Por supuesto, el resultado obtenido algebraicamente es el mismo R obtenido en forma gráfi ca.
Ten presente que cuando trabajas con 
números o coeficientes literales, la 
sustracción corresponde a la adición 
del opuesto aditivo. Por ejemplo, 
5 – 3 = 5 + (–3)
2a – b = 2a + (–b) 
Para grabar
La sustracción de vectores puede entenderse 
como una combinación de las operaciones 
adición y ponderación por escalar.
Al realizar una operación en forma gráfi ca 
o en forma algebraica, el resultado es el 
mismo.
Actividad propuesta
1. Dados los vectores
 
 
 
 
A = (– , 4), 
 
 
B = (2, 5),
 
 
 
 
C = (3, –6), resuelve la 
operación 
 
2A – B – 
 
3
 C 
usando la forma gráfica y la 
forma algebraica.
2. Grafica en una cuadrícula los 
siguientes vectores:
 
 
A = (2, 6); 
 
B = (0, –3);
 
C = (5, 2); 
 
D = (–3, 2) y
 
E = ( , 0).
a. Realiza las operaciones:
A + B 
E + C 
A + C + 2D 
 
= +– (–
 
 q)
 étodo del polígono étodo del paralelógramo
–
–
 
 
 
R
 
 
 
R
 
 q
 
 q
 
 q
 Qué aprenderás? Para qué? Dónde? 
 lanteamiento de problemas 
y formulación de hipótesis en 
investigaciones científi cas.
Aplicar las habilidades de pensamiento científi co en el 
planteamiento de problemas y en la formulación de hipótesis en 
investigaciones experimentales o teóricas.
 áginas 26 y 27, 52 
y 53, 62
El movimiento y los parámetros que lo 
describen.
Explicar los parámetros que permiten describir el movimiento en 
función de distintos marcos de referencia.
 áginas 28 a 33
Características del movimiento 
rectilíneo uniforme.
Describir el movimiento rectilíneo uniforme en función de sus 
características, y aplicarlo a situaciones cotidianas a través del lenguaje 
gráfi co y algebraico.
 áginas 34 a 39
Aceleración y movimientos 
uniformemente acelerados.
Aplicar el concepto de aceleración a situaciones cotidianas del 
movimiento uniformemente acelerado para describirlo a través del 
lenguaje gráfi co y algebraico.
 áginas 42 a 51, 54 
a 57
Al lanzar una bola de bowling, ¿qué 
forma tiene la trayectoria esperada, que 
corresponde al camino que sigue la bola?
2424 Unidad En movimiento
 n 
VIMIENTO1
Unidad
Abrir s sión
El movimiento es un término tan cotidianamente utilizado, que rara vez 
nos detenemos a pensar acerca de lo que significa moverse.
Supón que un niño se encuentra en el asiento de atrás de un automóvil 
que viaja por una carretera y su panel de control indica que se mueve a 
 00 km/h. El niño mira por la ventana y observa la Luna. Como el niño 
percibe que se está moviendo, seguramente le parece evidente que la 
Luna también se mueve a la misma velocidad, ya que nota que el satélite 
no se queda atrás, como ocurre con los semáforos y los árboles.
Sin embargo, a un astronauta que camina sobre la Luna, le parece que se 
trata de un cuerpo en reposo.
¿Existe una respuesta correcta para esta situación?
El mismo problema ocurre cuando observamos en reposo a una persona 
durmiendo en la cama, mientras que para un astronauta está girando con 
la Tierra alrededor del Sol.
¿Quién se encuentra en movimiento? ¿Qué es el movimiento?
Son algunas de las interrogantes que intentaremos explicar en esta unidad.
Para comenzar, observa la imagen central y responde las preguntas que te 
entregamos a continuación:
1. ¿Por qué la imagen no muestra bordes nítidos para las zapatillas de los 
atletas?
2. Pensando en lo que respondiste anteriormente, ¿por qué la imagen tam-
poco muestra nítidamente la pista y el resto del entorno de los atletas?
3. ¿Qué es lo que crees que se mueve en esta imagen?
En esta unidad estudiaremos el movimiento de los cuerpos y los concep-
tos asociados que permiten describirlo.
Cuando una persona salta, su movimiento 
se puede descomponer en dos tramos: un 
movimiento ascendente y luego uno descendente. 
¿Cómo cambia la rapidez del cuerpo cuando va 
subiendo y cuando va bajando?
25Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 25
1 3 4 5
26 Unidad En movimiento
Inicializando
26
 
 val
uación
 
cont
 nido
c
cccc
habilidad
h
hhhhhh
 valuación inicial - Pensamiento científi co
¿Qué es una hipótesis?
Pasos para plantear un problema
¿Qué es un problema?
Etapas del método científico
Un problema de investigación es la 
pregunta que quiere resolverse mediante la 
investigación. uchas veces contempla la 
relación entre dos variables cuantitativas, pero 
no es una regla obligatoria.
Una hipótesis es una respuesta anticipada al 
problema por resolver, que se basa en una 
suposición y permite realizar una predicción. 
Si el problema así lo requiere, la hipótesis 
puede consistir en una relación entre las 
variables que se van a estudiar.
Paso 1: observar un fenómeno en repetidas 
ocasiones.
Paso 2: identifi car las variables que se van a 
estudiar.
Paso 3: redactar el problema.
Paso 1: hacer una suposición acerca de la 
relación existente entre las variables que se 
desea analizar.
Paso 2: anotar una predicción en la que 
se plantee lo que se espera que ocurra con 
la variable analizada bajo determinadas 
condiciones.
1. Planteamiento del problema.
2. Formulación de hipótesis.
3. Procedimiento experimental.
4. Obtención de resultados.
5. Interpretación de resultados.
6. Elaboración de conclusiones.
Pasos para formular una hipótesis
A Fernanda le llama mucho la atención el funcionamiento de algunos dispositivos tec-
nológicos, como las cintas transportadoras o las escaleras mecánicas. Al respecto, se 
pregunta cómo se puedepredecir lo que ocurre cuando una persona camina sobre una 
escalera mecánica en movimiento o cómo se comportaría un autito de juguete que se 
echara a andar sobre una cinta transportadora que se encuentre funcionando.
Como a Fernanda no le gusta quedarse con las dudas que le surgen, decide hacer un 
experimento para comprobar lo que piensa.
Planteamiento del problema
 ¿Qué variables infl uyen en la pregunta que se hace Fernanda?
 
 ¿Cuál es el problema que ella quiere investigar?
 
Formulación de hipótesis
 ¿Cómo podrían relacionarse las variables del problema de Fernanda?
 
 ¿Qué hipótesis podrías ofrecer para el problema recién planteado?
 
Procedimiento experimental
Fernanda creyó que lo mejor era experimentar con una cinta transportadora. Para ello, debe 
medir el tiempo que demora un autito eléctrico en recorrer una distancia fi ja en la cinta, con 
lo que podría calcular su rapidez según el procedimiento que se muestra en las imagenes.
Caso 1 Caso 2
Caso 3 Caso 4
Auto avanzando en 
contra de la cinta 
transportadora 
encendida.
Auto apagado, cinta 
transportadora 
encendida.
Auto avanzando 
a favor de la cinta 
transportadora 
encendida.
Auto avanzando 
sobre la cinta 
transportadora 
apagada.
Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 27
1 33 44 55500
11111
111 222
11111111111 33333322222222 444444 55555555
Archivos ocultos
Considera el desarrollo de la actividad:
a. ¿Sería lo mismo si en vez de medir la rapidez del autito sobre la cinta detenida se midiera sobre el suelo, sobre una 
alfombra o sobre arena? Explica. (Etapa 3 del método)
b. Respecto del punto anterior, ¿qué hipótesis formularías? (Etapa 2 del método)
Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 27
 i estado
En esta actividad:
 ¿Qué me resultó más fácil? ¿Por qué?
Respecto de plantear un problema y 
formular una hipótesis:
 ¿Cuál es su importancia?
 ¿Cómo sabes que el problema 
y la hipótesis están formulados 
correctamente?
 ¿Cómo evalúas tu desempeño?
Obtención de resultados
Los resultados obtenidos por Fernanda en cada uno de los casos son los que se muestran 
en la tabla siguiente. A partir de ellos, obtén los datos que faltan.
Variables Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4
Distancia recorrida 00 cm 00 cm 00 cm 00 cm
Tiempo 2 s 0,7 s 2,5 s , s
Rapidez
 00 cm
2 s
= 50
cm
s
Usando el caso 1 como ejemplo, calcula la rapidez del autito en los demás y completa la 
tabla con los valores que obtengas.
Interpretación de resultados
a. ¿Qué tienen en común el caso 1 y el caso 4?
b. ¿Qué tienen en común el caso 2 y el caso 3?
c. Observa los valores obtenidos para la rapidez en cada caso. ¿Qué operación matemática 
se puede establecer entre la rapidez de los casos 1 y 4 y la de los restantes?
Elaboración de conclusiones
a. A la luz de los datos obtenidos, ¿es válida la hipótesis que planteaste en un principio? 
Explica.
b. ¿Qué conclusión elaborarías de acuerdo a los datos obtenidos en los casos estudiados?
La rapidez de un objeto corresponde a la 
razón entre la distancia que recorre y el 
tiempo que emplea para hacerlo, al igual 
que lo observado en el comportamiento 
de las ondas y el movimiento que 
estudiaste el año pasado.
AyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyuda
El movimiento
¿Te estás moviendo en este momento? Es muy posible que te encuentres en una silla leyen-
do y pienses que te encuentras quieto o quieta, mientras tu corazón late en forma automá-
tica y por lo tanto algunas partes de tu cuerpo se encuentran en movimiento y otras no.
Si no consideras los movimientos involuntarios, como 
el latido de tu corazón o la vibración del diafragma 
cuando respiras, ¿podrías decir que te encuentras en 
reposo? Realmente se trata de una pregunta que pa-
rece sencilla, pero no lo es.
Imagina que te encuentras en la calle al lado de un 
árbol y ves que los automóviles pasan por la calle. Es 
una situación muy clara: los automóviles se mueven 
y el árbol no lo hace. ¿Cómo lo sabemos? Evidente-
mente, porque los automóviles cambian de posición 
mientras los observas y el árbol no lo hace.
Sin embargo, si vas dentro de un automóvil en la ca-
rretera, verás que los árboles son los que se despla-
zan, ya que el asiento del automóvil permanece de-
bajo de ti y los árboles cambian de posición. ¿Quién 
se mueve entonces, si antes parecía muy claro que 
los árboles eran incapaces de moverse?
Incluso un astronauta que se encuentre en el espa-
cio podría argumentar que árboles, personas, auto-
móviles, sillas y agua se mueven junto con la Tierra 
mientras esta rota alrededor del Sol.
La verdad es que todos tienen razón, ya que el mo-
vimiento de un objeto depende del punto de vista o 
marco de referencia que se tenga para observarlo.
Diremos entonces que el movimiento es el cam-
bio de posición de un objeto en el tiempo res-
pecto de un marco de referencia dado.
Piensa ahora en el caso de un equipo de participan-
tes de nado sincronizado. Si sus movimientos son 
perfectamente idénticos, el brazo de cada una de ellas está en reposo respecto del brazo 
de la otra, puesto que no hay cambio de posición entre ellos, aunque desde el marco de 
referencia de los jueces, todos los brazos se encuentran en movimiento.
Analiza las siguientes situaciones, representadas 
por las imágenes y los marcos de referencia que se 
indican. A continuación, define si se trata de una si-
tuación de movimiento o de reposo.
1. Dos atletas corren en forma perfectamente sin-
crónica. Si se utiliza a uno de ellos como referen-
cia, ¿el otro se encuentra en movimiento?
2. Si se toma como referencia el pasajero de un 
avión en vuelo, ¿se encuentra en movimiento 
una casa que está en Tierra?
 Desde el punto de vista de un astronauta en el 
espacio, todos giramos con la Tierra alrededor 
del Sol.
28 Unidad En movimiento
 c r
cont
 nido habilidad val
uación
 c hh
Actividad propuesta
Para grabar
Un cuerpo se mueve cuando cambia su 
posición respecto de un marco de referencia 
mientras el tiempo avanza.
Para saber si un objeto se encuentra en 
reposo o en movimiento respecto de 
un sistema de referencia, a veces es útil 
considerar que la referencia está quieta 
y desde esta perspectiva analizar el 
cambio de posición del objeto.
AyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyuda
Sistemas de coordenadas
Con ayuda de ejemplos, has visto que un marco de referencia puede ser cualquier punto, per-
sona u objeto. Sin embargo, para realizar medidas o indicar posiciones es útil asignar a un mar-
co de referencia un sistema de coordenadas, el cual nos permita describir un movimiento.
Sistema de coordenadas unidimensional
Sirve para describir situaciones en que el movimiento se produce en una única dimensión, 
es decir, en un solo eje. Un ejemplo de este tipo de sistema es la recta numérica.
Para describir un movimiento mediante estos sistemas, es necesario que la trayectoria esté 
en una línea recta.
Sistema de coordenadas bidimensional
Se utiliza para describir situaciones en que el movimiento se 
produce en dos dimensiones simultáneamente. Es el caso de 
un atleta que corre en una pista circular o el de una persona 
que dobla en una curva, entre otros. Un ejemplo de este tipo 
de sistema es el plano cartesiano.
Un autito que se mueve en una curva no se puede describir 
con un único dato, ya que se desplaza al mismo tiempo hacia 
la derecha y hacia arriba o hacia abajo. En el plano cartesiano, 
esto se modela usando los ejes x e y u otros perpendiculares 
entre sí, dependiendo del problema a estudiar.
¿Notaste que es imposible describir este movimiento usando 
solo una recta numérica?
Sistema de coordenadas tridimensional
Un ejemplo corresponde al espacio cartesiano x, y, z. Es el que se utiliza para modelar movi-
mientos espaciales que no pueden ser reducidos solo a los planos, ya que contienen las di-
mensiones arriba-abajo, derecha-izquierda y adelante-atrás. Por ejemplo, el vuelo de un ave.
 ientras camina esta persona en línea recta, se mueve en una 
única dimensión, la que se mide horizontalmente.La pelota se mueve en una única dimensión, 
que se puede medir verticalmente.
 Un águila se mueve en tres dimensiones.
1. Discute con tus compañeros acerca de qué tipo de sistema de coordenadas sería conveniente usar para 
describir las siguientes situaciones:
a. El vuelo errático de una mosca.
b. El movimiento de un caracol sobre la hoja de una planta.
c. El movimiento de un envase de jugo sobre la cinta transportadora de la caja de un supermercado.
Actividad propuesta
Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 29
1 333 444 55500
111
111 22
1111 333222 444 555
Un mismo movimiento puede ser 
descrito a partir de distintos sistemas de 
coordenadas. 
El descenso de un esquiador puede 
ser descrito como un movimiento 
bidimensional.
Pero si se escoge apropiadamente el eje, 
puede ser descrito también como un 
movimiento unidimensional.
AyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyuda
0 21
y
x
xx
y
y
x
z
3
–2
–1
0
1
2
3
4
2
1
1 2
–1
Parámetros que describen el movimiento
Trayectoria
Corresponde a la curva que une las posiciones sucesivas de un móvil observado desde 
un marco de referencia, y se denomina móvil a cualquier objeto cuyo movimiento se esté 
estudiando.
Si una persona dejara migas a medida que camina, la fi gura formada por ellas corresponde-
ría a la trayectoria.
Cuando la trayectoria es una línea recta, recibe el nombre de trayectoria rectilínea.
Posición
Es el lugar donde se encuentra un 
móvil respecto de una referencia. 
Por lo general, se designa como x
 
, 
ya que se trata de un vector. Mien-
tras mayor es el valor del módulo de 
x
 
, más lejos de la referencia se en-
cuentra el móvil.
Distancia recorrida
Corresponde a la longitud de la tra-
yectoria del móvil o una parte de ella. 
Usualmente se designa con una S.
Si una hormiga se mueve según la tra-
yectoria curva de la fi gura, la distancia 
recorrida es de 6 cm, ya que esa es la 
longitud de su trayectoria.
 Cuando la rueda gira en torno a su eje, el reflectante 
amarillo describe una trayectoria circular.
 Un transbordador espacial sigue 
una trayectoria rectilínea en el 
instante de su despegue.
 
 
e ,,x es el vector posición del 
perro respecto de la casa.
1. Francisca camina 20 metros hacia el norte, luego 5 metros hacia el este y finalmente 0 me-
tros de nuevo hacia el norte. Dibuja la trayectoria de Francisca y determina la distancia que recorrió 
en todo el movimiento.
2. Pedro camina 20 metros hacia el norte, 5 metros hacia el este y luego 0 metros hacia el sur. 
Dibuja su trayectoria y determina la distancia que recorrió en total.
3. ¿Qué diferencia hay entre las distancias recorridas por Pedro y Francisca?
Actividad propuesta
No debes confundir la distancia 
recorrida por un cuerpo con la posición 
a la que se encuentran dos cuerpos.
La distancia es una magnitud escalar que 
se usa para indicar la separación entre 
dos cuerpos, y es medida siempre en 
línea recta.
Recuerda que un vector 
 
 
 tiene módulo 
a y dirección , además puede ser 
escrito como 
 
 = • 
AyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyuda
 ¿Qué forma tiene la trayectoria de la pelota desde 
que la niña la lanza hasta que llega al suelo? 
¿Cómo se vería si la observaras desde otro ángulo?
30 Unidad En movimiento
 c r
cont
 nido habilidad val
uación
 c hh
x
 
1. Calcula el módulo del desplazamiento de Pedro según el problema de la página anterior.
2. ¿En qué casos la distancia recorrida por un cuerpo será menor al módulo de su desplazamiento?
3. Si un perro se mueve en círculos de 40 cm de diámetro mientras persigue su cola, ¿cuál es la distancia 
que recorre al dar una vuelta completa?, ¿cuál es su desplazamiento después de una vuelta completa? 
(perímetro circunferencia = 2 • π • r).
Actividad propuesta
Si realizaste la actividad de la página anterior, habrás notado que la distancia que recorren 
ambos es la misma; sin embargo, no quedan en la misma posición fi nal.
Se hace necesario entonces defi nir un nuevo parámetro: el desplazamiento.
Desplazamiento
Es la variación de posición que experimenta un cuerpo. Se representa como el vector 
que une los puntos inicial y final de una trayectoria. Usualmente, se designa como 
 
e ,,d o 
como 
 
e ,, x.
El desplazamiento, entonces, no siempre tiene relación con la distancia que se ha recorrido. 
En el ejemplo dado, la distancia que ambos recorren es de 45 m, mientras que el desplaza-
miento de Francisca es mayor que el de Pedro.
Esto ocurre porque el valor del desplazamiento es independiente de la forma de la trayec-
toria que siga un cuerpo, mientras que la distancia recorrida no lo es.
En la fi gura se ve a una persona que desea ir a su casa. La trayectoria más larga es la a; por 
lo tanto, ese camino implicará recorrer una distancia mayor, mientras que la trayectoria más 
corta es la b, lo cual implicará una distancia recorrida menor. 
Como cualquiera de los caminos termina en la casa, el desplazamiento a través de cual-
quiera de ellos será el mismo.
Si pones atención, podrás notar fá-
cilmente que si la trayectoria es 
rectilínea, el módulo del despla-
zamiento es igual a la distancia 
recorrida.
En cualquier otro caso, la distan-
cia recorrida será mayor.
Como se ha mencionado previa-
mente, el desplazamiento corres-
ponde a 
 
e ,, x, es decir, es la dife-
rencia entre los vectores posición 
inicial y fi nal: 
 
e ,, x = 
 
e ,,x
fi nal
 – 
 
e ,,x
inicial 
Trayectoria de Francisca. Trayectoria de Pedro.
Trayectoria a.
 A través de cualquiera de las trayectorias el 
desplazamiento será el mismo, puesto que los puntos 
de inicio y fin de todos los caminos son idénticos. 
Trayectoria a
Trayectoria b
Trayectoria c
Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 3 
1 333 444 55500
111
111 22
1111 333222 444 555
Recuerda que el desplazamiento es un 
vector. Su módulo se puede obtener a 
partir del teorema de Pitágoras.
20 m 20 m
15 m
15 m
10 m
 
e ,,d
A partir del triángulo rectángulo 
construido, se tiene que:
 = (15 m) + (30 m)
 = 225 m + 900 m
 = 1125 m
 =
2 2
2 2
2
333, 5 m
AyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyuda
Para grabar
La longitud de la trayectoria corresponde a la 
distancia recorrida por el móvil.
El desplazamiento es el cambio de posición 
de un cuerpo y no depende de la forma de la 
trayectoria seguida.
 
e ,,d
20 m
15 m
10 m
 
e ,,d
15 m
10 m
20 m
N
S
O E
Rapidez y velocidad
En el lenguaje cotidiano, las palabras rapidez y velocidad se usan indistintamente, pero en 
física son términos muy diferentes.
La rapidez es una magnitud escalar que queda defi nida solamente con una cifra y una 
unidad. Es decir, si decimos 20 km/h, 50 cm/s o .250 km/s, estamos haciendo referencia 
a una rapidez, porque no se sabe con certeza hacia dónde se dirige el móvil al cual nos 
referimos.
Por ejemplo, si una curva puede tomarse con una rapidez máxima de 60 km/h no es im-
portante saber qué pista es la que está usando el vehículo. En este caso, se está hablando 
de rapidez.
La velocidad, por otro lado, es una magnitud vectorial. Es por esto que requiere de un mó-
dulo, una dirección y un sentido para quedar completamente defi nida.
Si un tren del metro viaja a 70 km/h hacia el oriente por la línea 1 no es lo mismo que si lo 
hace hacia el norte por la línea 5. En este caso, estamos haciendo referencia a una velocidad, 
ya que se necesita especifi car desde y hasta dónde se mueve el móvil.
Rapidez y velocidad media
En general, la rapidez media se calcula como la razón entre la distancia recorrida por un 
móvil y el tiempo que emplea en recorrerla.
v
S
t
m m
= =
Donde v
m
 es la rapidez media en m/s, S es la distancia recorrida en m y t es el tiempo en s.
La velocidad media se calcula como la razón entre el desplazamiento de un cuerpo y el 
tiempo que emplea en ello.
 
v
 
t
m m
= = 
 
 
Donde =
 
m
 es la velocidad media en m/s, 
t
 =
d
 
 es el desplazamiento en m y t es el tiempo en s.
Si decimos que una serpiente repta 
16 metros en8 segundos, se pue-
de calcular que su rapidez es de 
2 m/s; pero ¿se puede asegurar 
que la serpiente en todo instante 
está moviéndose con esa rapidez? 
La verdad es que no tenemos da-
tos sufi cientes como para asumirlo. 
Podría ser que la serpiente viajara 
a veces más rápido, a veces más 
lento e incluso que se detuviera un 
instante. Es por esto que decimos 
que ese cálculo corresponde en 
realidad a la rapidez media de la 
serpiente.
Las magnitudes de la rapidez y la 
velocidad también pueden ser medidas 
en unidades distintas a las del Sistema 
Internacional, como m/min, km/h, 
km/min, etc.
AyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyudaAyuda
1. ¿Cuál es la rapidez media (en m/s) de un automóvil que recorre 3 km en 2 minutos?
2. ¿Qué distancia recorre un cuerpo que se desplaza durante 2 segundos a 50 m/s?
Actividad propuesta
 Si se quiere conocer la velocidad de un móvil que 
viaja por una carretera, es necesario especificar la 
dirección, el sentido y el módulo. En cambio, para 
conocer su rapidez solo basta el valor.
32 Unidad En movimiento
 c r
cont
 nido habilidad val
uación
 c hh
Para grabar
La rapidez corresponde a una magnitud escalar, 
y la velocidad a una magnitud vectorial.
Asimismo, se puede decir que un automóvil se desplaza 40 km en 0,5 h por la carretera 
norte sur en dirección a La Serena. En este caso, se entregan datos que permiten calcular su 
velocidad media, pero no se puede deducir, a partir de ellos, cuál es su velocidad en cada 
momento.
Considera el movimiento giratorio de una rueda, como la que se muestra más abajo. Cuan-
do la rueda ha dado un giro completo, un punto cualquiera sobre ella, como el punto rojo 
señalado en las imágenes, se encontrará en el mismo lugar que al inicio del movimiento, es 
decir, no se habrá desplazando y, por lo tanto, su velocidad media será cero.
Sin embargo, ese mismo punto habrá recorrido una distancia igual al perímetro de la rueda, 
por lo que su rapidez media será distinta de cero.
Rapidez y velocidad instantánea
Se llama rapidez instantánea a la rapidez que tiene un cuerpo en un instante preciso de 
tiempo. Se designa por la letra v. El velocímetro del automóvil mide rapidez instantánea, 
porque nos indica en cada instante cuál es la rapidez del automóvil en que viajamos.
La velocidad instantánea es la velocidad que lleva un móvil en un instante determinado. 
Se designa por la letra =
 
 y es una magnitud vectorial que es tangente a la trayectoria. Si 
tomamos la rueda del ejemplo anterior, sus velocidades instantáneas en cada momento 
mostrado serían:
Como puedes observar, si el giro se realizara con rapidez constante, la rapidez instantánea 
sería la misma. Sin embargo, la velocidad instantánea sería siempre diferente porque la di-
rección de los vectores cambia en cada momento.
Si observas nuevamente las imágenes del movimiento del punto rojo sobre la rueda gira-
toria, verás que al sumar todos los vectores que representan a las velocidades instantáneas 
siempre habrá dos vectores de igual dirección y sentido opuesto que se anularán, de mane-
ra que la velocidad media del punto luego de una vuelta completa será cero.
A continuación se muestra la trayectoria 
de Francisca: viaja 20 m al norte, dobla 
a la derecha y recorre 5 m y luego gira 
hacia el norte nuevamente para recorrer 
 0 m en esa dirección. Considerando 
que el trayecto completo se realiza en 
54 s, calcula la rapidez media y el mó-
dulo de la velocidad media de Francisca 
en su viaje.
20 m
15 m
10 m
t
 =
d
 
La distancia total recorrida por Francisca 
es de:
20 m + 5 m + 0 m = 45 m
Por lo que su rapidez media es:
 5 m
5 s
= 0,83 
m
s
Anteriormente se calculó que el módulo de 
su desplazamiento es de 33,5 m, por lo 
que el módulo de su velocidad media es:
33,5 m
5 s
= 0,62
m
s
en dirección a su destino, aproximada-
mente al noreste de su punto de partida.
Actividad modelada
 =
 
 =
 
 =
 
 =
 
Física 2º medio Nuevo Explor@ndo 33
1 333 444 55500
111
111 22
1111 333222 444 555
Para grabar
La rapidez media corresponde a la razón 
entre la distancia recorrida y el intervalo de 
tiempo, y la velocidad media a la razón entre 
el desplazamiento de un móvil y el intervalo 
de tiempo. 
 ovimiento rectilíneo uniforme ( RU)
Cuando la rapidez de un movimiento es constante, se dice que el movimiento es uniforme.
Los movimientos uniformes pueden tener cualquier trayectoria. Existen movimientos circu-
lares uniformes, rectilíneos uniformes, elípticos uniformes y otros.
En este momento estudiaremos los movimientos rectilíneos uniformes (MRU), esto es, movi-
mientos a través de una trayectoria rectilínea, que siguen a rapidez constante.
Como se trata de una trayectoria rectilínea, la distancia recorrida será igual al módulo del 
desplazamiento, por lo que la rapidez del móvil será igual al módulo de su velocidad.
Al ser un movimiento uniforme, la rapidez es la misma en cualquier instante, de manera que 
la rapidez media y la rapidez instantánea en cualquier punto tienen el mismo valor.
Por lo tanto, en este movimiento en particular, las fórmulas 
 
 
 =
d
t
,,
 y =
S
t
,,
 son equivalen-
tes, ya que el módulo de la velocidad es igual al de la rapidez. Un automóvil que se desplaza con rapidez 
constante por una carretera recta tiene un 
movimiento rectilíneo uniforme. 
 Un DVD puede girar a una rapidez constante dentro 
del lector. Es un ejemplo de movimiento circular 
uniforme.
1. Un móvil se desplaza con RU y recorre 60 m en 5 s. ¿Cuál es su rapidez media?, ¿qué distancia 
habrá recorrido después de un minuto? y ¿cuántos minutos demora en recorrer 2 km?
2. Bárbara corre con rapidez constante de 5 km/h a lo largo de los 500 m que separan el colegio de su 
casa. Demora tres minutos en recoger la tarea que se le había quedado dentro del colegio y se devuel-
ve un poco más lento a m/s. ¿Cuánto tiempo transcurre desde que sale del colegio hasta que vuelve 
a su casa?
Actividad propuesta
1. Una bolita rueda 2 m a través de un camino rectilíneo hecho de distintos materiales: m es de 
baldosa, 5 m son de tierra y lo que queda es de cemento. Demora s en recorrer la baldosa, 0 s en 
recorrer la tierra y se sabe que en el cemento tiene una rapidez de 0,7 m/s.
 Encontrar: a) la rapidez de la bolita cuando viaja por la baldosa y la tierra, b) el tiempo que demora en 
su viaje por el cemento, y c) la rapidez media de su movimiento.
Baldosa Tierra Cemento
a. =
s
t
 
baldosa
baldosa
baldosa
baldos
→
aa tierra
tierra
tierra
tier
=
1 m
1 s
= 1
m
s
; =
s
t
 →
rra
=
5 m
10 s
= 0,5
m
s
,,
b. cemento
cemento
cemento
t =
s
 
→ tt =
6 m
0,7
m
s
= 8,57 s
cemento
,,c. =
s
tmedia
total
totall
media
 =
12 m
1 s + 10 s + 8,57 s
=
12 m
19,57 s
= 0→ ,, 61
m
s
Error típico: observa que si promedias directamente la rapidez de los tres medios:
,,
 =
1
m
s
+ 0,5
m
s
+ 0,7
m
s
3
= 0,73
m
sprom
no obtendrás el mismo resultado. Esto ocurre porque el movimiento a través de los distintos materiales 
tiene una duración diferente. Este procedimiento para calcular la rapidez media es incorrecto.
Actividad modelada
34 Unidad En movimiento
 c r
cont
 nido habilidad val
uación
 c hh
Para grabar
Cuando la trayectoria de un cuerpo es una 
línea recta, el movimiento es rectilíneo. Cuando 
la rapidez de un cuerpo es constante, su 
movimiento es uniforme.
Velocidad relativa
Imagina la siguiente situación entre dos automóviles: uno verde y otro morado. Para un 
observador de pie en la carretera, el automóvil verde viaja hacia el norte con una rapidez de 
80 km/h y el automóvil morado viaja con una velocidad de 90 km/h hacia el sur.
Considera ahora otra situación pero desde el punto de vista de una persona que viaja dentro 
del automóvil verde. Como el pasajero se considera a sí mismo en reposo, el automóvil mora-
do parece moverse mucho más rápido que si se observara desde la carretera. 
Una situación equivalente ocurre si el observador se sitúa dentro del automóvil