Física Tomo 3 Nivel Medio

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A
C D ENÚ e inicio
 ovimiento 
circunferencial
Unidad
¿Qué aprenderás? ¿Para qué? ¿Dónde? 
 
 
 
 
 
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 0
A
B
R
IR
 
1 2 543
 Montaña rusa.
 Lector de discos compactos.
Muchos de los fenómenos que ocurren a nuestro alrede-
dor son movimientos que poseen trayectorias circunfe-
renciales, como la rotación de la Tierra o de la Luna, el 
movimiento de un molino de viento o de las ruedas de un 
automóvil, las manecillas de un reloj, entre otros. Todos 
estos movimientos se caracterizan porque ocurren a una 
distancia fi ja del centro de giro, describiendo una trayec-
toria circunferencial en un plano de dos dimensiones.
Te invitamos a responder las siguientes preguntas, a 
modo de despertar tu curiosidad respecto del tema:
 . ¿Qué parámetros tendrán en común el movimiento 
ondulatorio respecto del movimiento circunferencial?
2. ¿Cuáles son las características cinemáticas del movi-
miento de un CD dentro del ompa t dis ?
3. ¿Por qué crees que las personas no caen de la mon-
taña rusa?
 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
nicializando 
Evaluación inicial - Pensamiento científi co
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 YUD 
 
 . Planteamiento del problema.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 
1 2 543
Planteamiento del problema
 
 
 
Variables Planteamiento 1 Planteamiento 2
 
 
 
 YUD 
 
 
 
 
 
Mi EST DO
 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
El movimiento circunferencial
Dado que estudiaremos el mo to circunferenci , ¿qué es lo primero que se te viene a la 
mente? ¿Qué ejemplos de l a diaria se podrían relacionar con este tipo de movimiento?
Tal vez dentro de los ejemplos que diste estuvo el movimiento de una rueda de la fortuna 
o el de las aspas de un ventilador. La verdad es que si miramos con detenimiento nuestro 
entorno, son muchos los ejemplos que se pueden considerar que tienen un movimiento 
circunferencial. Pero ¿cuál o cuáles son las características que debe tener este movimiento 
para considerarlo como uno circunferencial? ¿Cuál o cuáles son los aspectos comunes en 
todos ellos? 
Para responder las pregunta teriores, se podría comparar este movimiento con uno rec-
tilíneo. Se sabe que este movimiento se caracteriza porque cada punto del cuerpo describe 
una trayectoria rectilínea. En cambio, este movimiento bidimensional puede ser estudiado si 
se elige un punto de la rueda o de las aspas del ventilador en el que se observa que describe 
una trayectoria circunferencial, como muestra la fl echa del ventilador.
 Un punto de las aspas del ventilador 
gira en la dirección que indica la flecha 
recorriendo una circunferencia.
En general, se dice que un cuerpo posee un movimiento circunferencial si la mayoría de sus 
puntos describen una trayectoria en forma de circunferencia.
S alizas la trayectoria de cada uno de los puntos en los casos propuestos, notarás que to-
dos ellos tienen un movimiento circunferencial, excepto uno: aquel que se encuentra en el 
centro de giro del cuerpo. A dicho punto se le denomina eje de giro o eje de rotación. Ten 
en cuenta que todas las trayectorias descritas por los puntos del cuerpo son concéntricas a 
dicho punto.
 El movimiento descrito por una cápsula 
de la Rueda del Milenio ubicada en 
Londres, Inglaterra, es una circunferen-
cia completa. ¿Será el mismo tipo de 
movimiento circunferencial el recorrido 
por un arco en un columpio?
 . Analiza las imágenes y responde las siguientes preguntas:
a. Qué puntos del cuerpo poseen un 
movimiento circunferen
b. Existe algún punto que no posea 
un movimiento circunferencial? 
 C uáles?
c. Cuál fue el criterio que utilizaste 
para determinar si un punto posee 
movimiento circunferencial?
A
 n cuerpo realiza un 
movimiento circunferencial si 
todos sus puntos describen 
una trayectoria en forma de 
una circunferencia en dos 
dimensiones del espacio.
GR B R
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 4
1 2 543
por la energía del viento, donde los 
puntos situados sobre ellas describen 
una trayectoria circunferencial.
 . Ana está est el movimiento circunfere de las aspas de un molino de viento y 
encuentra que estas re iros en 30 s. Calcula:
a. El período de las aspas.
b. Cuántas vueltas realizará en 1,4 min?
2. Explica qué representa un período de valor grande; por ejemplo, 1 año.
3. Determina el período de giro de un niño sentado en el borde de una plataforma que gira 
a razón de 15 vueltas en un minuto.
A
Ju to observa unas sillas voladoras, y con el cronómetro de su c
tardan 1 min y 12 s en realizar 5 giros completos. ¿Cuál es el tiemp 
en da ta?
Datos: t = 1 min: 12 s; n = 5 giros
Lo primero que se debe hacer es transformar el tiempo, t = 1 min: 12 
como 1 min = 60 s, se obtiene que t = 72 s. 
Si se reemplaza en la relación: =
t
n
=
72 s
5
=14,4 s,
este resultado signifi ca que las sillas tardan 14,4 s en efectuar cada una de la tas o giros.
A modelada
Parámetros generales del movimiento 
circunferencial 
A continuación, se estudian algunos de los conceptos que permiten describir un mo
to circunferencial para analizarlo, compararlo y caracterizarlo en términos del período, la 
frecuencia, la rapidez angular y la tangencial.
Supón que te encuentras de pie frente a un juego de sillas voladoras en un parque de entre-
tenciones y solo tienes el cronómetro de tu celular. ¿Qué podrías medir con este?
 eríodo
Antes de toda medición, lo primero que se debe hacer es escoger una de las sillas voladoras 
en particular, e intentar, por ejemplo, medir el tiempo que tarda en realizar 5 o 10 giros. 
Como medición, este pequeño experimento permite, a part 
determinar el tiempo que tarda la silla en efectuar una vuelta co 
al período.
Se denomina período al tiempo en que un objeto en movimient 
exactamente una vuelta o giro completo. Dicha magnitud es una m 
por la letra T. Su unidad de medida en el Sistema Internaciona 
se tiene el tiempo, t, de unos n giros, ¿cómo se podría determina 
efectuar un solo giro y que es conocido como período?
Para determinar el período de traslación de un cuerpo o de una par 
el tiempo, t, por el número de giros representado por la letra n
 =
t
n
 Las personas giran en el juego de sillas 
voladoras a razón de 10 vueltas en 
144 s. ¿Cuál es el período de rotación?
El período, T, de un 
movimiento circunferencial 
es el tiempo que tarda en 
realizar una vuelta o giro 
completo. Se expresa según 
el SI en segundos y es una 
magnitud escalar.
GR B R
 5 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
Frecuencia
Considerando los datos del tiempo que demoraban las sillas voladoras en dar una vuelta 
completa según la actividad modelada, se pudo determinar el período. También, a partir 
de la información, es posible calcular la cantidad de giros que se re n en una unidad de 
tiempo. A dicha magnitud se le denomina frecuencia, f.
La frecuencia es una magnitud escalar y se puede expresar en rpm cuando el tiempo medido 
se encuentra en minutos. En el Sistema Internacional, la frecuencia se expresa en Hz.
Para determinar la frecuencia de un movimiento en un tiempo, t, en el que se han efectuado 
n ltas, solo se debe dividir el número de giros por el tiempo, es decir:
 =
n
t
Relación entre período y frecuencia 
Si analizas las defi niciones del período y de la frecuencia, te darás cuenta de que una de ellas 
corresponde al inverso multiplicativo de la otra. El período mide el tiempo que tarda un 
movimiento circunferencial en completar un giro y la frecuencia, la cantidad de giros que se 
realizan por unidad de tiempo. Cuando dos magnitudes cumplen con tal condición, se dice 
que son recíprocas y matemáticamente se expresan así:
 =
1
f
, o bien =
1
T
 . Ingrid observa cómo su perro juguetón intenta morderse la cola, de modo que re 8 
giros en 12 s. Determina:
a. El período del movimiento.
b. La frecuencia del movimiento.
c. La cantidad de giros que realizaría el perro si girara durante 18 s.
2.Explica: ¿qué le sucede a su período si se duplica su frecuencia?
A
El medidor de frecuencia del motor de una motocicleta indica 
2470 rpm. ¿Cuál es el período del motor?
Datos: f = 2470 rpm = 41,17 rps = 41,17 Hz
 =
1
f
=
1
41,17 Hz
= 0,024 s
A modelada
uel observa cómo gira un tren eléc o en forma circunfere y determina que realiza 
12 giros en 60 s. ¿Cuál es la frecuencia del tren eléctrico?
Datos: n = 12; t = 60 s
 =
n
t
=
12
60 s
= 0,2
1
s
= 0,2 Hz
Al interpretar el resultado se concluye que el tren efectúa 1/5 de giro en un segundo.
A modelada
rpm = revoluciones por minuto
rps = revoluciones por segundo
1 rps = 
 
s
 =1 Hz
 YUD 
La frecuencia de un 
movimiento circunferencial 
mide la cantidad de giros 
o de vueltas que realiza 
un móvil en una unidad de 
tiempo.
Es una magnitud escalar y 
su unidad de medida en el 
Sistema Internacional es el 
hertz (Hz). 
GR B R
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 6
1 2 543
 . Aplica una proporción para 
transformar la medida del 
ángulo dado con respecto a 
la unidad solicitada.
a. 30º a radianes.
b. 
 
4
rad a grados 
sexagesimales.
2. Organiza en una tabla la 
transformación de grados 
sexagesimales a radianes 
de: 15°, 45°, 75° y 225°.
A
Medición angular
Es probable que si necesitas medir un ángulo, lo hagas en grados sexagesimales. Así
lo formado por un giro completo le asignamos el valor de 360º. En física, es común trabajar 
con el ángulo medido en radianes, esto se debe a que su uso simplifi ca los cálculos, ya que 
los ángulos pueden ser expresados como múltiplos de π.
El radián
Se obtiene a partir de los lados y del arco que forman un ángulo. Así, un radián, rad, se 
defi ne como aquel ángulo que se forma cuando el radio R posee la misma medida que el 
arco comprendido ∆S. 
Supongamos que se tiene un ángulo θ cuyo radio es R y comprende un arco de circunferen-
cia ∆S medido desde un sistema de referencia.
R
R
∆S
θ R
B
AR
∆S
La medida del ángulo formado, en radianes, es la comparación entre la medida del arco y 
su radio. Es decir:
 
S
R
∆
Según esta expresión, se pueden determinar algunas equivalencias entre las medidas del 
gulo en grados sexagesimales y en radianes.
La importancia de medir 
los ángulos en radianes es 
que permite relacionar el 
arco recorrido, el radio de la 
curvatura y el ángulo descrito. 
Así:
 rad = 180°
1 rad = 57,3°
 YUD 
 El ángulo subtendido por el arco es π/3 rad.
 . ¿A cuántos radianes corresponde un ángulo completo de 360º en una circunferencia de 
radio, R, que forma un arco cuyo perímetro es 2π R, según la expresión anterior?
como ∆S = 2π R, entonces:
 60° =
2πR
R
360° = 2π rad
De lo anterior se puede deducir, entonces, que 180º equivalen a π rad, que 90º equivalen a π/2 
y así sucesivamente.
2. Transforma 60º a su equivalente en radianes. 
 rad
180°
=
x
60°
 =
60° π rad
180°
 
 =
π
3
rad
A modelada
 El ángulo subtendido por el arco es 2π rad.
Para t sformar cu uier medida en grados sexagesimales a radianes o viceversa se puede 
usar una proporción con cualquiera de las igualdades obtenidas anteriormente.
El radián es el ángulo de 
centro comprendido en un 
arco de circunferencia y cuya 
longitud es igual al radio 
de ella.
GR B R
 7 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
Desplazamiento angular
Para describir el movimiento circunferencial de un cuerpo, es fundamental conocer su 
posición en cualquier instante. Para ello, se debe fi jar un sistema de referencia desde el cual 
sea posible determin ucesivos c bios en la posición del cuerpo. Generalmente se fi ja 
a partir de un eje coincidente con el de las abscisas (eje X). 
Imagina que un cuerpo se mueve en una trayectoria circunferencial, como en la imagen, 
manteniendo una distancia fi ja (radio) a un centro de giro. En cierto instante t
1
, el cuerpo 
ha descrito un ángulo θ
1
 respecto del eje de referencia y su posición es P
1
. De igual forma, 
en otro inst te t
2
, e gulo descrito por el cuerpo será θ
2
 y su nueva posición P
2
. Entonces, 
el cambio en la posición del cuerpo puede ser representado operacionalmente como la dife-
rencia entre los ángulos descritos:
∆θ = θ
2
 – θ
1
donde ∆θ corresponde al despl miento angular realizado por el cuerpo. 
En gen , se considera que el desplazamient gular es positivo si el sentido de movimien-
to es contrario al de las manecillas del reloj, y negativo si el sentido del movimiento coincide 
con el de las manecillas del reloj.
En física se usa por convención 
asignar signo positivo cuando 
el movimiento circunferencial 
se realiza en el sentido 
opuesto al de las manecillas 
del reloj (antihorario) y signo 
negativo cuando el sentido 
del movimiento circunferencial 
coincide con el de las 
manecillas del reloj (horario).
 YUD 
 . Calcula: ¿cuál es el desplazamiento gu-
lar del minutero de un reloj cuando éste 
marca las 9:00 y luego las 9:10?
2. Explica: ¿cómo se podría determinar la 
posición de los vehículos que circulan por 
la rotonda respecto del centro de ella?
A
La imagen representa un cuerpo que se mue-
ve en una trayectoria circunferencial, en dos 
instantes distintos. ¿C es el desp n-
to angular realizado por el cuerpo, medido 
en radianes y grados sexagesimales?
Datos: θ θ
 2
=
π
6
rad; =
3π
7
rad
Para determinar el desplazamiento angular 
efectuado por el cuerpo, se debe determinar la 
diferencia entre los dos ángulos.
 θ θ θ – 
3π
7
rad –
π
6
rad 
18π rad -7π rad
42
 
11π
42
r
2 1
Para expresar este ángulo en grados sexagesimales, se debe aplicar la relación estudiada en la 
página 17, es decir: 
⋅
θ 
11π 180°
42π
≈ 47,14°
De esta forma, el desplazamiento angular realizado por el cuerpo entre los dos instantes es 
11π/42 rad o 47,14°.
A modelada
3
π/6
sentido 
de giro
Ejes de
referencia
θ
1
θ
2
P
2
P
 
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 8
1 2 543
Relación entre el desplazamiento angular 
y el arco de circunferencia
Si un cuerpo entre dos instantes describe un desplazamiento angular ∆θ, expresado en ra-
dianes, este puede ser relacionado con un arco de circunferencia ∆S a través del radio de 
curvatura, como se muestra en la imagen lateral.
De esta forma, el modelo matemático a través del que se relacionan el desplazamiento an-
gular y el arco de circunferencia es:
 
 
θ 
S
R
Despejando el arco de circunferencia, se obtiene: ∆θ · R = ∆S. Esta relación muestra que la 
distancia recorrida es directamente proporcion l desplazamiento angular.
Un ciclista recorre una pista circular cuyo radio es de 25 m. En un s te inicial, su posición 
subtiende un án lo de π/4 rad, con respecto del eje de referencia. Luego, en otro ins te, su 
nueva posición subtiende un gulo de 4π/5 rad, en relación con el eje de referencia. ¿C es 
el desp nt gular y cuál el arco de circunferencia recorrido por el ciclista?
Datos: R = 25 m; θ θ
 2
=
π
4
rad; =
4π
5
rad
Para determinar el desplazamiento angular, se debe calcular la diferencia entre los ángulos sub-
tendidos por el ciclista en cada caso.
 θ θ θ – 
4π
5
rad –
π
4
rad 
11π
20
rad
2 1
Luego, para c ular el arco de circunferencia recorrido por el ciclista, se reemplazan los datos en 
la relación ⋅ θ = S
 ⋅ =
11π
20
rad 25m =
55π
4
m 
Si se considera que ≈3,14 , entonces el arco recorrido es aproximadamente ∆ = 43,16 m .
A modelada
Debes tener presente que al 
multiplicar las unidades de 
radián por metro, se obtiene:
 ad m=m 
Esto se debe a que el radián 
es una unidad no dimensional, 
por lo que el producto de esta 
unidad con una unidad de 
longitud también resulta de 
longitud. 
 YUD 
 . Si consideramos que la Tierra describe un movimiento apro damente circunferen-
cial en torno Sol, en el que la distancia media entre ellos es alrededor de 1,5·108 , 
determina: ¿cuál es la longitud del arco recorrido por la Tierra al comple un ciclo en 
su mo nto de traslación?
2. La tabla muestra los v res medidos p a el despla-
zamiento angular y el arco recorrido por un deter-
minadocuerpo.
a. Construye un gráfi co ∆S vs. ∆θ.
b. Analiza: qué representa la pendiente 
de dicho gráfi co?
A
∆S ∆θ
∆θ
∆S
θ
 
θ
2R
 9 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
Rapidez angular
Para entender el concepto de rapidez angular, se debe prestar atención en el ángulo de giro 
del movimiento circunferencial. Imagina que tienes una rueda de bicicleta con muchos ra-
yos, como la que se muestra al margen, y que al hacer girar la rueda, cada uno de los rayos 
describe un cambio de la posición angular cuy r va a depender del tiempo de giro.
Se denomina rapidez angular a la razón del cambio de posición angular y al tiempo involu-
crado en dicha variación. La rapidez angular se simboliza mediante la letra griega omega, , 
es una magnitud esc ar, siempre positiva, y su unidad de medida en el Sistema Internacional 
es rad/s.
Operacionalmente, la rapide e puede c do el módulo de desplazamien-
t θ resado en radi es, por e ter po ( resado en segundos.
Generalmente, en este texto se utiliza la rapidez angular media para realizar los cálculos en 
problemas de este tipo, por lo que la expresión queda:
 
t
∆
∆
θ
Para determinar una expresión en términos del período, T, que indica el tiempo en que un 
cuerpo efectúa un giro completo o 2 π rad, queda escrita como:
ω 
2π
T
Ahora, si se reemplaza el período, =
1
f
 en la expresión de la rapidez angular, se tiene:
 2π f⋅
Un rayo de la rueda de la bicicleta re iros en 4 s. ¿C erá su rapidez angu
Datos: t = 4 s; n = 8
En primer lugar, se debe determinar el desp to an lar descrito por el rayo en la tas.
Si se sabe que por cada vuelta se forman 2π rad, por lo tanto, en 8 giros se forma un ángulo de 
16π rad. La rapidez angular de la rueda entonces es:
 
∆
∆
θ
 
=
16π rad
4 s
= 4π
rad
s
A modelada
 . Francisca hace girar un cuerpo mediante una cuerda de 1,2 m de largo, de modo que 
corresponde a un movimiento circunferencial, y si re iros en 8 s, determina:
a. El desplazamiento angular del extremo de la cuerda en grados sexagesimales y en radianes.
b. La rapide gular del cuerpo.
c. La rapide gular de un punto de la mitad de la cuerda.
d. El período y la frecuencia del movimiento circunferencial.
e. El cambio de posición angular que formará la cuerda en 20 s.
A
Los puntos que recorren los arcos A–B y C–D de la fi gura al margen poseen la misma 
rapidez angular, pues forman el mismo ángulo en el mismo tiempo. De esta situación se 
deduce una propiedad importante de la rapidez an lar, y es que su valor es independien-
te del radio de giro. 
En un movimiento 
circunferencial, los puntos 
mostrados A–B y C–D forman 
el mismo ángulo en el mismo 
tiempo; por lo tanto, tienen 
la misma rapidez angular que 
puede ser medida en °/s o en 
rad/s. 
 YUD 
 ara medir la variación del ángulo de 
una rueda que gira, primero se fija una 
referencia; en este caso, se comienza a 
medir desde la línea roja, que será la 
posición angular inicial.
θ
0
En un movimiento 
circunferencial uniforme, 
la rapidez angular, , se 
determina como el cociente 
entre la variación del 
cambio de posición angular 
medido en radianes y el 
tiempo empleado. Es una 
magnitud escalar, positiva y 
se expresa en rad/s. Su valor 
es independiente del radio 
de giro.
GR B R
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 20
1 2 543
Rapidez tangencial
Es posible que te preguntes si es factible aplicar el concepto de rapidez media de un movi-
miento rectilíneo a un movimiento circunferencial. Recuerda que la defi nición de rapidez 
media es la distancia recorrida dividida por el tiempo empleado.
Entonces, cu do un cuerpo se mueve con trayectoria circunferencial, también recorre una 
distancia d te cierto tiempo, que corresponde a una fracción del perímetro del arco de 
circunferencia. Por lo tanto, si un cuerpo realiza dos giros completos, la dist cia recorrida 
corresponderá a dos veces el perímetro; si da veinte giros, será veinte veces el perímetro, 
etc. De acuerdo a lo planteado, si n corresponde al número de giros y R es el radio de giro, 
la rapidez tangencial se puede calcular de la siguiente forma:
 =
S
t
=
n 2π R
t
 
 
⋅ ⋅
La rapidez tangencial es una magnitud esc ar y su unidad de medida en el SI es m/s.
R
R
c
P
2
P
 
∆S
Cuando un cuerpo pasa de un 
punto P
1
 a un punto P
2
 en un 
movimiento circunferencial, 
entonces su distancia recorrida 
es una fracción del perímetro o 
arco de circunferencia, ∆S, que 
si es medida en un intervalo 
de tiempo, permite obtener la 
rapidez tangencial.
 YUD 
 . Federico hace girar una bola de 150 g atada a cuerda de 60 cm, de modo que realiza 24 
giros en 16 s. Determina:
a. Cuáles son el período y la frecuencia del movimiento?
b. Cuál es la rapidez tangencial de la bola?
A
Un ventilador posee aspas de 20 cm y realiza 50 giros en 5 s. Determina la rapidez gencial 
del ventilador e interpreta el resultado.
Datos: R = 20 cm = 0,2 m; n = 50; t = 5 s
 =
n 2π R
t
=
50 2π 0,2 m
5 s
= 4π
m
s
 
Cada punto del ventilador recorre una circunferencia de 4π m de longitud por cada 1 s.
A modelada
En ocasiones, resulta útil escribir la expresión anterior en términos del período, como:
 =
2π R
T
 
Si es expresada en términos de la frecuencia, se obtiene:
 = 2π R f 
Al comparar las expresiones de la rapidez tangencial, notarás que es proporcional al radio 
de giro.
El punto exterior de un neumático gira con una rapidez 
tangencial media de 20 m/s. ¿Cuál será la frecuencia del 
neumático si posee 30 cm de radio?
Datos: v = 20 m/s; R = 30 cm = 0,3 m
 = 2π R f, entonces f =
 
2π R
=
20
m
s
2π 0,3m
=10, 
 
A modelada
obtiene a partir de la medida 
del arco de la circunferencia 
y del tiempo empleado 
en recorrerla. Además, se 
puede calcular a partir de los 
datos de la frecuencia o del 
período en un movimiento 
circunferencial. Su valor 
depende del radio de giro.
GR B R
2 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
Velocidad angular 
encionar el concepto de velocidad, necesariamente se debe pensar en una magnitud de 
o vectorial que posee módulo, dirección y sentido. La velocidad angular es el cambio 
osición angular en el tiempo y se simboliza mediante la letra griega omega,
 
 , con su 
pectivo carácter vectorial.
módulo de la velocidad angular está dado por el valor de la rapidez angular, . Para 
erminar su dirección se debe pensar en el plano sobre el cual gira el cuerpo, ya que la 
cidad angular siempre será perpendicular al plano de giro. De acuerdo a lo anterior, dos 
ás cuerpos que giren en forma paralela poseen la misma dirección en sus velocidades 
lares. Por ejemplo, como muestra la imagen cada uno de los discos de freno de la rue-
a motocicleta tiene una velocidad angular con la misma dirección, cuando esta se 
ve en línea recta. 
erminar el sentido de la velocidad angular, se debe considerar la forma en que gira 
uerpo y para ello se debe utilizar una convención: la regla de la mano derecha o regla 
irabuzón.
Regla de la mano derecha
a regla considera el sentido en el que gira el cuerpo. Así, los 
atro dedos de la mano derecha juntos se hacen rotar en el 
tido de giro del cuerpo y la punta del dedo pulgar señalará 
entido de la velocidad an lar.
En un movimiento circunferencial, solo puede tener uno de los 
dos sentidos de la circunferencia, ya sea horar tihorario. 
Se acostumbra a asignar el sentido de carácter positivo al mo-
vimiento antihorario y el de negativ ovimiento horario. 
Generalmente se estudian los movimientos circunferenciales 
en el plano de la hoja, ya sea en sentido horario o antihora-
rio. Para representar gráfi camente el vector de la velocidad 
angular, se usa una notación universal. Para ello, se dibuja 
una pequeña circunferencia con un punto si el vector sale del 
plano y una pequeña circunferencia con una equis si el vector 
entra en el plano.
Joaquín observa el movimiento circunferencial del segundero de un reloj de pared. Para la 
velocidad angular del reloj, señala su dirección, su sentido y su respectiva simbología.
El relojse encuentra en forma vertical en una pared. Luego, la dirección de la velocidad angular es 
horizontal. El sentido según la regla de la mano derecha es el del horario, es decir, negativo hacia 
dentro del plano de giro o de la pared. Su representación es .
A modelada
 
recta giran en el mismo plano, por lo 
que la dirección de su velocidad 
angular es perpendicular al plano de 
giro y el sentido es hacia afuera.
Los vectores perpendiculares al 
plano de la hoja se representan 
como: 
saliente entrante
Se presenta el sentido de giro 
antihorario y la dirección 
perpendicular al plano de giro 
de la velocidad angular como:
 
 
 YUD 
 . Un padre observa a su hijo cómo se divierte haciendo girar 
unos autitos. Determina para la velocidad gular del mo-
nto su dirección, su sentido y su representación gráfi ca 
observada desde arriba.
A
ω
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 22
1 2 543
Velocidad tangencial 
Tal como fue defi nida la velocidad angular a partir del análisis del cambio de su pos 
gular en el tiempo y de su carácter vectorial, del mismo modo la velocidad tangencia
obtiene a partir del cambio de posición tangencial y en el inter iempo; por lo tanto 
módulo corresponde al valor de la rapidez tangenci , y la dirección y el sentido est
minados por la línea tangente al punto donde se evalúe el mo to. Entonces, la velocid 
genci e defi ne como la velocidad ins tánea que posee cada punto del mo e 
circunferencial. La unidad de medida en el Sistema Internacional es expresada en m/s.
Por lo tanto, la velocidad tangencial, 
 
v, de un movimiento circunferencial podrá tener sen-
tido horario o antihorario.
ula el módulo de la velocidad tange de rotación de la Tierra ededor de su eje de un 
punto del ecuador, sabiendo que el radio terrestre es de 6370 km y su rotación es en sentido 
oeste a este.
Datos: = 86 400 s
A partir de los datos se obtiene el módulo de la velocidad tangencial, que es:
 
 =
S
t
=
2πR
T
=
2 3,14 6 370 000m
86 400 s
= 463
m
s
 
 
⋅ ⋅
Entonces, la velocidad tangencial de rotación de la Tierra de un punto del ecuador es de 463 m/s 
en sentido antihorario.
A modelada
 
tirar lo más lejos posible una bola que 
está unida a un cable. ara hacerlo, se 
lanza con mucha velocidad y la bola 
sale en dirección tangencial a la 
trayectoria curvilínea mantenida por el 
deportista en la preparación del tiro.
 . Las aspas de un vent dor giran a 60 revoluciones por minuto (60 rpm) en sentido de las 
manecillas del reloj. Determina: ¿c es la velocidad tangencial de un punto situado a 
24 cm del eje de rotación? 
2. Una bicicleta de aro 26 (radio 30 cm) se mantiene en movimiento constante y recorre 
30 km en una hora. Calcula: ¿cuál es el módulo de la velocidad tangencial de un punto de 
la rueda que se encuentra a 10 cm del centro?
3. Explica: ¿cómo c ularías la velocidad ge de las chispas del esmeril al afi lar una 
herramienta según la imagen lateral? 
A
Dirección
Sentido
Sentido
 
v
 
 `
 
 ``
 
 Al usar un esmeril para pulir un metal, 
se observa la trayectoria de las chispas 
que se desprenden debido a la fricción. 
Esto es una demostración de que la 
velocidad es tangente al movimiento 
circunferencial.
La velocidad tangencial 
corresponde a la velocidad 
instantánea que es 
tangente en cada punto a la 
trayectoria circunferencial. 
GR B R
23 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
Movimiento circunferencial uniforme
Hasta ahora hemos estudiado y caracterizado el movimiento circunferencial en general, 
sin asignar ninguna restricción o condición. Se considera un movimiento circunferencial 
uniforme (MCU) a aquel cuya rapidez angular es constante, lo que signifi ca que el cam-
bio de posición angular es el mismo en un intervalo de tiempo. Esto se debe a que cambia 
siempre en la misma proporción; es decir, el período, la frecuencia y la rapidez angular
serán constantes. Este tipo de movimiento es muy útil debido a que posee muchas apli-
caciones en la vida diaria. Una de las más conocidas y utilizadas es el movimiento de las 
manecillas del reloj, ya que estas recorren ángulos iguales en intervalos de tiempo iguales, 
lo que permite determinar el tiempo con precisión.
Otro ejemplo de movimiento con 
rapidez angular constante es la 
traslación de la Luna en torno a la 
Tierra, ya que la trayectoria que 
describe la podemos considerar prác-
ticamente circunferenci on un pe-
ríodo constante de apro ad ente 
27 días. Así se puede inferir que la 
Luna se mueve alrededor de la Tierra 
con una rapidez an ar constante, ya 
que el cambio de posición angular es 
el mismo en cada inter iempo. 
Otros casos cotidianos que pueden 
ser considerados en ciertos momen-
tos, una aproximación a un MCU 
son: el movimiento de un carrusel de 
caballitos en un parque de entreten-
ciones, el movimiento de un torno de 
madera, el movimiento de las aspas 
de un ventilador, el movimiento de 
un punto de las ruedas de un vehí-
culo o el de engranajes.
Es import te notar que cualquier partícula que describa un MCU tendrá una rapidez t
gencial constante, no así el caso de su velocidad tangencial, que como debemos recordar, 
tanto la dirección como el sentido de esta cambian en cada punto de la trayectoria, aunque 
su módulo se mantiene constante durante todo el movimiento para un mismo radio de giro.
 el movimiento del 
carrusel puede ser considerado como 
un ejemplo típico de MCU.
 El movimiento de algunos engranajes 
de un mecanismo, puede ser 
considerado como un MCU.
 . Señala las características de un movimiento circunfere orme.
2. Analiza el grado de verdad de la siguiente frase: “En todo movimiento circunferencial 
uniforme, un punto de la periferia describe arcos iguales en tiempos iguales”.
3. Explica: ¿por qué un movimiento circunfere uniforme no posee velocidad tange 
const e?
4. Si el esmeril gira como un movimiento circunferencial uniforme, infi ere: ¿qué caracterís-
ticas cinemátic nen las chispas que se genera ulir una herramienta?
5. Un vehículo toma una c a circ ere a 60 Explica: ¿posee rapidez ge 
cons te? y ¿velocidad tange onstante?
A
 5
24
6 8
3
7
 La Luna describe una órbita prácticamente circunferencial, por 
su baja excentricidad.
 n movimiento 
circunferencial uniforme 
es aquel que tiene una 
trayectoria circunferencial 
y su período, frecuencia 
y rapidez angular son 
constantes. En cambio, la 
velocidad tangencial varía en 
cada punto de la trayectoria.
GR B R
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 24
1 2 543
Relación entre la rapidez angular y la tangencial
La rapidez angular depende exclusivamente de la frecuencia o del período de 
que giran las aspas de un helicóptero. Entonces, el valor se puede determina
 2π f⋅
donde f representa la frecuencia de las aspas, que es la misma para to 
hélice, pues no depende de la distancia a la que se encuentra del centro de giro
Por otro lado, si se desea determinar la rapidez tangencial de un punto escog 
su frecuencia, se debe conocer la dist cia a que se encuentra del centro de gir
de la rapidez se obtiene mediante la relación:
 =2π R f 
donde R representa la distancia del punto al centro de giro y f es la frecuencia. Si se com-
paran matemáticamente ambas expresiones, se puede llegar a determinar una única expre-
sión que relacione ambas magnitudes. Como se sabe que la rapidez tangencial se determina 
mediante la relación: v = 2π · R · f = (2π · f) R y 2π · f = ω, entonces se puede escribir como:
 = R ⋅
La relación obtenida es muy importante, pues permite c ular la rapidez angular a p tir de 
la rapidez tangencial, y viceversa.
Es importante destacar que dicha relación no es válida si se cambia la rapidez tangencial 
y la angular por las respectivas velocidades, porque estas magnitudes vectoriales están en 
diferentes planos.
 Las aspas de un helicóptero que giran 
con la misma rapidez angular tienen un 
movimiento circunferencial uniforme. 
¿Tendrán la misma rapidez tangencial? 
¿De qué depende su valor?
 . Un disco compacto es leídomediante un rayo láser que recorre desde el centro hasta el 
borde externo. En cada punto, la lectura de la información se debe hacer a una velocidad 
ge constante, por lo que el rotor que hace girar el disco debe disminuir la frecuen-
cia del CD mientras el láser se acerca borde externo. Si la lectura de la información se 
realiza a una rapidez tangencial constante de 1,3 m/s, determina la rapidez angular y la 
frecuencia a la que gira el disco a:
a. 5 cm del centro de giro. b. 8 cm del centro de giro.
A
 . Un carrusel, como el de la imagen, efectúa 24 giros en 3 min. Si el borde se encuentra 
2 m del centro de giro, determina:
a. La rapidez angular del carrusel. b. La rapidez tangencial del borde del carru
Datos: n = 24; t = 3 min = 180 s; R = 2 m
Primero debemos calcular la frecuencia del movimiento: =
n
t
=
24
180 s
= 0,13 Hz
a. 2π f 2π 0,13Hz 0,26π
rad
s
⋅ ⋅ b. = R = 0,26π
rad
s
2 m =0,52π
m
s
 ⋅ ⋅
2. Fernanda practica ciclismo en una pista circular con una rapidez tangencial de 12 m/s y 
con una rapidez angular de 0,24 rad/s. Determina el radio de la pista de ciclismo.
Datos: v = 12 m/s; n = 0,24 rad/s
 =
v
=
12
m
s
0,24
rad
s
=50m
ω
A modelada
La rapidez tangencial y la 
rapidez angular se relacionan 
mediante la expresión:
 = R ⋅
GR B R
25 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
Aceleración centrípeta
De acuerdo a lo estudiado en años anteriores, se sabe que un movimiento cualquiera es ace-
lerado si su velocidad cambia en el intervalo de tiempo a lo largo del movimiento. Dado que 
la velocidad es una magnitud vectorial, esta puede cambiar variando su módulo, dirección 
o sentido. En el caso particular de un movimiento circunferencial uniforme, la velocidad 
tangencial mantiene constante su módulo, pero su dirección y sentido cambian en todo 
momento. Si analizas la Fig. 1, en la que se han representado tres velocidades tangenciales, 
notarás que cada uno de los vectores posee la misma longitud (módulo), pero su direc-
ción y su sentido cambian en todo momento. De aquí que un movimiento circunferencial 
uniforme es un movimiento acelerado.
Recordarás que la aceleración de un movimiento también es una magnitud vectorial, por lo 
que estudiaremos con más detalle su dirección, sentido y módulo.
Dirección y sentido
Para determinar la dirección y el sentido de la aceleración se debe obtener la diferencia 
vectori tre las dos velocidades tangenciales del mo to circunferencial. En la Fig. 2 
se muestran dos velocidades, una inicial (
 
 
1
) y una fi nal (
 
 
2
) muy próximas y en la Fig. 3 se 
indica la diferencia vectorial de ambas velocidades (∆
 
v).
El vector resultante de la diferencia es un nuevo vector cuya dirección y sentido es hacia 
el centro de giro del movimiento, que de acuerdo a lo establecido, permite concluir que la 
aceleración en un movimiento circunferenci orme es un vector cuya dirección y 
sentido es siempre hacia el centro de giro. Por las características señaladas del sentido es 
que la aceleración de un movimiento circunferencial uniforme se denomina aceleración 
centrípeta, 
 
 
c
.
Módulo
Se puede demostrar que el módulo de la aceleración centrípeta es:
 =
v
R
c
2
donde a
c
 es la aceleración centrípeta en m/s2, v es la velocidad tangencial en m/s y R es el 
radio de la circunferencia expresado en m.
 . Una moneda gira en un plato con una rapidez tangencial constante de 50 cm/s. Si la mo-
neda gira con una aceleración centrípeta de 62,5 cm/s2, calcula: ¿c es la distancia a la 
que se encuentra la moneda del centro?
A
Un rotor de 10 cm de radio gira con una rapidez tangencial constante de 12 m/s. Determina 
su aceleración centrípeta.
Datos: R = 10 cm = 0,1 m; v = 12 m/s
Módulo: =
v
R
=
12m / s
0,1m
=1440
m
s
c
2 2
2
 )
La dirección y sentido es hacia el centro de giro.
A modelada
 Fig. 3 Si se considera la diferencia 
vectorial de las velocidades 
 
 
1
 y 
 
 
2
 en 
el tiempo transcurrido se obtiene la 
aceleración, que es un vector que 
apunta hacia el centro de giro.
 
 
1
 
 
2
 
 
2
∆V
 � 
 Fig. 2 La dirección y sentido es diferen-
te en 
 
 
1
 y 
 
 
2
.
 
 
1
 
 
2
 Fig. 1 La 
 
 
1
, 
 
 
2
 y 
 
 
3
 tienen el mismo 
módulo, pero diferente dirección 
y sentido.
 
 
1
 
 
2
 
 
3
La aceleración centrípeta 
de un movimiento 
circunferencial uniforme 
posee un módulo cuyo valor 
se determina mediante la 
expresión:
 =
v
R
c
2
Su dirección y sentido son 
siempre hacia el centro de 
giro.
GR B R
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 26
1 2 543
Fuerza centrípeta 
Como ya se ha establecido, la aceleración centrípeta posee una dirección y sentido que siem-
pre apunta hacia el centro de giro y su módulo está dado por la relación:
 =
v
R
c
2
Toda aceleración tendrá la misma dirección y sentido de la fuerza que la genera. Por ejemplo, 
un cuerpo que cae en caída libre lo hace en forma acelerada porque sobre él actúa la fuerza 
de gravedad de la Tierra; cuando una fl echa se lanza desde un arco, acelera desde el reposo 
por la fuerza que le ejerce la cuerda del arco. En el caso particular que estudiamos, la ace-
leración centrípeta t bién debe ser provocada por una fuerza, la que se denomina fuerza 
centrípeta y es la responsable del movimiento circunferencial.
De este modo, la dirección y sentido de la fuerza la obtenemos de la aceleración centrípeta, 
de acuerdo a lo estudiado. Entonces, la fuerza centrípeta tiene una dirección y sentido 
hacia el centro de giro.
La magnitud de la fuerza centrípeta o módulo se determina a partir de la expresión de la 
segunda ley de Ne on:
 =m a =m
v
R
c c c
2
 → 
Donde m representa la masa del cuerpo, v es la rapidez tangencial del cuerpo y R es el radio 
de giro del movimiento.
 . Un satélite orbita en forma circunferencial a la Tierra a 200 km de altura y con rapidez 
constante de 5000 m/s. Toma en cuenta el radio terrestre = 6370 km). Si la masa del 
satélite es 400 kg, determina:
a. La dirección y sentido y el módulo de la aceleración centrípeta.
b. La dirección y sentido y el módulo de la fuerza centrípeta.
A
Dado que la fuerza es una 
magnitud vectorial, entonces 
tiene un módulo y una dirección 
y sentido.
 YUD 
Una cuerda de 40 cm se hace girar en forma horizon con una pequeña pelota de 80 g. El 
movimiento se re de forma, que su rapidez tange -
mina el módulo, la dirección y sentido de:
a. La aceleración centrípeta.
b. La fuerza centrípeta.
c. Identifi ca la fuerza centrípeta del movimiento.
Datos: R = 40 cm = 0,4 m; v = 2 m/s; m = 80 g = 0,08 kg
a. Módulo de la aceleración centrípeta: =
v
R
=
2m / s
0,4 m
c
2 2 )
La dirección y sentido es hacia el centro de giro o ha
b. Módulo de la fuerza centrípeta: =ma = 0,08 kg 10
m
s
c c 2
 
 La dirección y sentido es hacia el centro de giro o ha
c. Identifi cación de la fuerza.
De acuerdo a las características del movimiento, la fuerza centrípeta es ejercida por la 
cuerda que per entemente tira de la pelota hacia el centro.
A modelada
 La esfera unida a una cuerda 
experimenta una fuerza centrípeta que 
modifica continuamente la dirección del 
vector 
 
v.
La fuerza centrípeta tiene 
una dirección y sentido hacia 
el centro de giro. El módulo 
se obtiene:
 =m
v
R
c
2
 
GR B R
27 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
nalizando discoA
Evaluación de proceso
Movimiento circunferencial
 . 
A. D. 
B. E. 
C. 
2. 
A. D. 
B. E. 
C. 
3. 
A. D. 
B. E. 
C. 
4. 
A. D. 
B. E. 
C. 
5. 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
6. 
 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
7. 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
Movimiento circunferencial uniforme
8. 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
9. 
I. 
II. 
III. 
A. D. 
B. E. 
C. 
 0. 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 
1 2 543
 . 
a. c. 
b. d. 
 2. 
 3. 
a. b. 
 4. 
a. c. 
b. d. 
 5. 
 6. 
 7. 
 8. 
a. 
b. 
 9. 
a. 
b. 
20. 
Movimiento circunferencial uniforme
2 . 
a. b. c. 
22. 
a. b. 
23. 
24. 
a. 
b. 
 
 
 
 
 ( reguntas 1 a 3; 11a 15)
 
 ( reguntas 4 y 5)
 
 ( reguntas 6 y 7; 14; 16 a 20)
 
 ( reguntas 8, 9 y 21)
 
 ( reguntas 10, 22 y 23)
 
 ( regunta 24)
Mi EST DO
 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
iencia paso a pasoC
Pensamiento científi co
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Planteamiento del problema.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 
1 2 543
 
Experiencias Plato Piñón
Experiencia 1
Experiencia 2
Planteamiento del problema
 
a. 
b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
Movimiento circunferencial acelerado
Hasta ahora hemos estudiado la cinemática y la diná-
mica de un movimiento circunferencial uniforme, en 
el que algunas de las magnitudes que lo caracterizan 
permanecen en forma constante a lo largo del tiempo. 
Entre esas magnitudes se destacan: su frecuencia, su 
período y su rapidez angular.
Sin embargo, en la vida diaria nos encontramos cons-
tantemente con movimientos circunferenciales, en 
los cuales la gran mayoría de sus magnitudes no son 
constantes en el tiempo; por ejemplo, al encender un 
ventilador, sus aspas se encuentran inicialmente en re-
poso y luego su rapidez angular y tangencial aument 
de valor en el tiempo hasta lograr la uniformidad; el 
movimiento circunferencial que realiza un CD desde 
que se inicia el movimiento hasta cuando gira unifor-
memente en su tornamesa, o al abrir una puerta que 
puede girar en torno a sus bisagras. 
En este tipo de movimientos, la aceleración que expe-
rimenta un cuerpo que gira describiendo una trayec-
toria circunferencial en torno a un eje se puede des-
componer en las aceleraciones vectoriales tangenciales 
y radiales a la trayectoria, así como también experi-
menta una aceleración asociada a la variación de su 
velocidad angular, como veremos más adelante.
¿Cómo podemos reconocer un movimiento circunferencial acelerado? ¿Qué magnitudes 
físicas nos permiten diferenciar un movimiento circunferencial acelerado de uno uniforme?
El movimiento circunferencial uniformemente acelerado es aquel cuya velocidad angular 
varía, pero permanece constante la aceleración angular, así como t bién el valor de la ace-
leración tangencial, como veremos en detalle en las siguientes páginas.
Por otro lado, existe el mo to circunferencial bajo aceleración variable, en el que tanto 
la velocidad como la aceleración varían en cada inter iempo, pero no será objeto de 
estudio en este texto.
 En las competencias de velocidad, como las carreras de bicicletas, el ciclista debe 
aumentar la frecuencia de su pedaleo. De esta manera, las ruedas desarrollan un 
movimiento circunferencial acelerado.
Si el movimiento circunferencial 
fuera uniforme, el punto 
seleccionado a iguales 
la siguiente forma:
 YUD 
En un MC A se mantienen 
la aceleración angular y el 
módulo de la tangencial, 
pero varía la magnitud de la 
velocidad angular.
GR B R
 . Supongamos que se tiene un disco sobre una plataforma giratoria en estado de reposo y 
que marcamos un punto en la orilla exterior del disco.
Si comienza a girar el disco desde la posición A y sacamos una 
fotografía a iguales intervalos de tiempo, notaremos que nues-
tro punto seleccionado se encuentra distribuido a lo largo de su 
trayectoria de la siguiente forma, como se muestra en la imagen.
a. Explica: qué es lo que te llama la atención en cuanto a las 
posiciones del punto seleccionado?
b. Describe: qué magnitud física de las estudiadas anterior-
mente dejan de ser uniformes en el movimiento de acuerdo 
a las distintas posiciones de los puntos?
A
A
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 32
1 2 543
Aceleración angular
Como se mencionó, el movimiento del ventilador desde que se enciende, partiendo del 
reposo, hasta que alcanza el nivel de revoluciones deseado, puede tener dos tipos de mo-
vimientos. Para explicarlo (observa la Fig. 1), notarás que cada 0,1 s el radio cambia de 
posición angular en la misma razón. De acuerdo con esta característica, corresponde a un 
movimiento circunferencial uniforme. Si se hace el mismo análisis en la Fig. 2, te darás 
cuenta que esto no ocurre, ya que el radio no cambia en la misma proporción de posición 
angular a medida que transcurre el tiempo. Entonces, se puede decir que el movimiento 
posee una velocidad angular variable. El cambio de esta velocidad en el tiempo se defi ne 
como aceleración an lar.
En particular, se estudiarán solo aquellos movimientos circunferenciales en los cuales la 
aceleración angular sea constante, es decir, aquellos en que las variaciones de la velocidad 
angular sean constantes para iguales intervalos de tiempo.
Para determin a expresión que permita calcular el valor de la aceleración angular cons-
tante, supón que en cierto momento el movimiento posee una velocidad angular inicial, 
ω
i
, y que después de cierto tiempo, t, posee otra velocidad angular fi nal, ω or lo t to, la 
aceleración angular, 
 
α , estará dada por:
 
ω ω
 
t
f i
–
∆
La aceleración angular es una magnitud vectorial cuyo módulo se expresa en el Sistema 
Internacional de unidades en rad/s2. Su dirección es perpendicular al plano de giro y el 
sentido dependerá de si el movimiento es acelerado o desacelerado; si es acelerado, tendrá 
el mismo sentido que la velocidad angular, y si es desacelerado, tendrá sentido contrario al 
de la velocidad angular.
Como habrás notado, la expresión que determina el valor de la aceleración angular es simi-
lar a la de la aceleración que estudiaste en cinemática, lo que no debe sorprendernos, pues 
ambos conceptos poseen su origen en la variación de una velocidad. Es así que al comparar 
el MRUA con el MCUA, se tiene que:
Una rueda de bicicleta en cierto momento posee una rapidez angular de 2 rad/s y experimenta 
una aceleración angular cons te de 3,5 rad/s2 durante 2 s. Determina qué c bio ha expe-
rimentado la rueda en su posición angular.
Datos: ω
i
 = 2 rad/s; α = 3,5 rad/s2; t = 2 s
 ω α t +
1
2
t
i
2
 2
rad
s
2 s +
1
2
3,5
rad
s
2 s
2
2
⋅ ⋅ ⋅( )
θ 11rad 620°
A modelada
 ovimiento rectilíneo 
uniformemente acelerado ( RUA)
 ovimiento circunferencial con aceleración 
angular constante ( CUA)
Se designa θ a la posición 
angular; ω
i
 a la rapidez angular 
inicial; ω
f
 a la rapidez angular 
final, y α, a la aceleración 
angular constante.
 YUD 
 Fig. 2 La variación angular en el tiempo 
no es constante, lo que produce una 
velocidad angular variable en el tiempo.
t = 0,3 s
t = 0,2 s
t = 0, s
t = 0,0 s
t = 0,9 s
t = 0,8 s
t = 0,7 s
t = 0,6 s
t = 0,5 s
t = 0,4 s
t = ,0 s
 Fig. 1 La misma variación angular en el 
tiempo produce una velocidad angular 
constante.
t = 0,3 s
t = 0,4 s
t = 0,5 s
t = 0,6 s
t = 0,7 s
t = 0,8 s t = 0,9 s
t = 0,0 s
t = 0, s
t = 0,2 s
t = ,0 s
Acelerándose
 
ω
 
α
Frenándose
 
ω
 
α
El sentido y dirección de la 
aceleración angular en casos 
acelerados y desacelerados 
es un vector que se 
representa como:
GR B R
33 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
Aceleración tangencial y radial
Al estudiar el MCUA, se sabe que existe una aceleración angular debido a que la velocidad 
angular varía en el tiempo, pero en este movimiento también varía la velocidad tangencial 
en cada instante, como se muestra en la Fig. 1. De igual forma como se determina la acele-
ración angular se obtiene la diferencia entre ambas velocidades tangenciales, ∆
 
 , como se 
ve en la Fig. 2, y considerando el tiempo empleado en realizar dicha variación, se consigue 
la aceleración tangenci , a
t
.
 =
v – v
t – t
t
2 1
2 1
¿Qué diferencia podemos notar en forma inmediata con respecto al MCU? La principal 
diferencia es que ∆
 
v resulta un vector cuyo sentido no apunta hacia el centro de giro, como 
en el caso de la aceleración centrípeta, sino que es un vector cuya dirección y sentido es hacia 
el interior de la curva de la trayectoria.
La componente radial, a
r
, posee una dirección y sentido hacia el centro de giro y tiene por 
funciónel cambiar la dirección y sentido de la velocidad tangencial. El valor de la compo-
nente radial se determina de la misma forma como la aceleración centrípeta, lo que no es 
extraño, dado que ambas poseen las mismas características. Entonces se tiene que:
 
r
2
2
=
v
R
= Rω
La aceleración de un MCUA tiene una dirección y sentido hacia el interior de la trayectoria 
curva, y como se trata de un vector, se obtiene a p tir de sus componentes medi te la suma 
vectorial: a = a
r 
+ a
t
, cuyo módulo es: + =
r
2
t
2 , como muestra la Fig. 3.
Otra forma de conseguir el módulo de la aceleración tangencial es a través de la relación que 
existe entre la rapidez angular y la rapidez tangencial: = ω . Si dividimos ambos lados 
de la ecuación por la variación de tiempo, se tiene: 
 
 
 
 
 
t
=R
t
ω
. Si consideramos un ∆t muy 
pequeño, la expresión / t representa la aceleración angular del movimiento, y la expre-
sión v/ t, el valor de la aceleración tangencial del movimiento. Así se tiene fi nalmente:
 =R
t
α
Un alfarero varía la velocidad de su rueda de trabajo en 0,75 s con una aceleración angular 
de 29 rad/s2. Considera que la rueda tiene un radio de 14 cm y que en ese momento posee 
una rapidez de 7π rad/s. Determina el v r de las componentes tangencial y radial 
de la aceleración.
Datos: t = 0,75 s; α = 29 rad/s2; R = 14 cm = 0,14 m; ω = 7π rad/s
 = r = 7π
r d
s
0,14 m =67,7
m
s
r
2
2
2
 ⋅ = r = 0,14 m 29
r d
s
= 4
m
s
t 2 2
 ⋅
A modelada
 . Determina el v r de la aceleración tange de una piedra ustada en un neumático, 
cuya aceleración angular es de 3 rad/s2 y su radio de giro es de 0,4 m.
2. Calcula los v res de la velocidad angular y de la tange de una partícula que gira 
con un período de 0,4 s, si su radio de giro es de 0,6 m. Determina también su aceleración 
tangencial y la ra í como la resultante de estas dos aceleraciones.
A
 Fig. 1 Velocidades tangenciales de 
distinto módulo y dirección. 
 
 
 
 
1
 
 
2
 Fig. 2 Diferencia de las velocidades 
tangenciales.
 
 
1
 
 
2
 
 = + 
2 1
∆
∆
 
v
 Fig. 3 Las componentes a
r
 y a
t
 de la 
aceleración de un movimiento 
circunferencial.
 
 
 =
v
t
∆
∆
a
t
a
r
 
a
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 34
1 2 543
Aplicaciones del movimiento circunferencial
La cinta de transmisión
A continuación estudiaremos el efecto del movimiento sobre dos o más discos que están 
unidos mediante una correa de transmisión. Es frecuente encontrar t tuación en la unión 
de un piñón y plato en una bicicleta; en la unión del alternador con el cigüeñal de un motor, 
y en la unión del motor con la rueda trasera en una motocicleta.
Se tienen cuatro discos a través de me te dos correas de tr smisió 
en la fi gura adjunta. La medida del radio del disco rojo es 5 cm, del 
disco verde 10 cm. Si el disco rojo gira con una frecuencia de 120 rpm 
determina:
a. La rapidez tangencial y la angular del disco rojo.
b. La rapidez tangencial y la angular del disco azul.
c. La rapidez tangencial y la angular del disco verde.
d. La dirección y sentido de la velocidad angular del disco verde.
e. La frecuencia con la que gira el disco azul.
f. La dirección y sentido de la velocidad angular del disco celeste.
Datos: R
r
 = 5 cm = 0,05 m; R
a
 = 20 cm = 0,2 m; R
v
 = 10 cm = 0,1 m; f
r
 = 120 rpm = 2 Hz
a. =2π =2π 0,05m 2Hz =0,2π
m
s
r
 ω =
v
R
=
0,2π
m
s
0,05m
=4π
 ad
s
b. El disco azul y el rojo se encuentran unidos mediante una correa de transmisión, lo que 
hace que ambos discos posean la misma rapidez tangencial, pero ≠ ω.
 = =0,2π
m
s
r a
 ω =
v
R
=
0,2π
m
s
0,2m
=π
r d
s
c. El disco verde se encuentra unido al disco azul; por lo tanto, ambos poseen la misma rapi-
dez angular porque su valor no depende del radio:
 ω
 
= π
rad
s
 = R = π
rad
s
0,1m=0,1π
m
s
 
 ⋅ ⋅
d. El disco verde gira en el mismo sentido que el disco azul por estar unidos, y el disco azul 
gira en el mismo sentido que el disco rojo por estar unidos por la cinta transportadora. 
Como el sentido del disco rojo es horario, el verde también es horario. De acuerdo con la 
regla de la mano derecha, el sentido de la velocidad angular es hacia abajo del plano de giro.
e. La frecuencia del disco azul la podemos calcular me te su rapidez angular:
 =
2π
=
π
rad
s
2π rad
=0,5Hz
ω
f. El disco celeste se encuentr sco verde a través de una correa de transmisión cru-
zada, lo que lo hace girar en sentido contrario. Como el disco verde gira en sentido horario, 
el celeste lo hace en sentido antihorario. Según la reg o derecha, el sentido de la 
velocidad angular es hacia arriba del plano de giro.
A modelada
Dos discos unidos por una 
correa de transmisión, tienen 
igual rapidez tangencial en 
su periferia.
Dos o más discos unidos por 
el centro tienen igual rapidez 
angular y velocidad angular.
GR B R
35 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
El giro vertical 
A continuación, estudiarás un caso con rapidez angular y tangencial constante. Para ello, 
analizaremos la situación de un avión que gira en forma vertical. Supon os que el piloto 
de un avión realiza en plen lo un giro vertic , como muestra la trayectoria de la imagen. 
El piloto t to en la parte alta como en la parte baja se encuentra sometido a dos fuerzas: a 
su peso y a la fuerza que ejerce el asiento en forma perpendicular sobre él, que corresponde 
a la fuerza de contacto normal del asiento, 
 
N . Además, se asume que el piloto posee una 
masa, m, y que el radio de giro del a n es R.
Analicemos la fuerza neta sobre el piloto cuando:
 
 
 
 
 
 
 
 
Mediante una cuerda de 80 cm, Jacinta hace girar en forma vertic una piedra de 300 g con 
una rapidez constante de 4 m/s, que se asemeja a un MCU. Determina:
a. La tensión de la cuerda en la parte alta del movimiento.
b. La tensión de la cuerda en la parte más baja del movimiento.
Datos: m = 300 g = 0,3 kg; R = 80 cm = 0,8 m; v = 4 m/s
a. En la parte alta del movimiento, la tensión de la cuerda y el peso de la cuerda poseen el mismo 
sentido; por tanto: =m
v
R
g = 0,3 kg
4m / s
0,8 m
9,8
m
s
2 2
2
– –
( )
=3,06 N
b. En la parte baja del movimiento, el peso y la tensión de la cuerda tienen sentido opuesto; por 
tanto: =m
v
R
+g = 0,3 kg
4m / s
0,8 m
+9,8
m
s
2 2
2
( )
=8,94 N
A modelada
Álv o hace girar en forma ver-
tical una pelota de 200 g me-
diante una cuerda de 140 cm
de diámetro. El movimiento 
es realizado con una rapidez 
constante y con una frecuencia 
de 0,8 Hz. Determina la 
ma y la mínima tensión de la 
cuerda del movimiento.
A
La tensión de una cuerda es una 
fuerza ejercida por la cuerda 
sobre el cuerpo hacia el centro 
de giro; sin embargo, no es la 
fuerza centrípeta, pues se debe 
considerar también el peso 
del cuerpo, que es una fuerza 
siempre vertical hacia el centro 
de la Tierra. 
 YUD 
 
sobre el piloto cambia según gira 
el avión.
mg
N
arriba
mg
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 36
1 2 543
Un móvil sobre una pista circular plana
En este caso determin emos l trípeta que hace posible que un automó ued
a curva horizont , co o roce entre los n áticos y el piso, sin s se de la pi
En la imagen que está al margen, se observa que un automóvil enfrenta una curva pl 
como muchas que existen en las autopistas. La trayectoria del automóvil cuando toma dic 
curva corresponde a la de un movimiento circunferencial. Por lo tanto, es pertinente p
guntarse: ¿cuál es el elemento físico que provoca que el automóvil realice tal curva?, ¿q
ejerce la fuerza centrípeta para que el automóvil efectúa el movimiento circunferencial?
Supón que un automó l de masa, m, toma una curva con rapidez tangencial constante. Da-
das las características señaladas, correspondería a un movimiento circunferencial uniforme 
y, por tanto, existe una fuerza centrípeta que provoca tal movimiento. Para poder determi-
nar tal fuerza, se debe reconocer las fuerzas que intervienen en el fenómeno descrito. Tal 
comose representan en la imagen al margen, existen tres fuerzas: el peso, p; el roce entre 
los neumáticos y el suelo, F
roce
, y la fuerza normal del suelo sobre el automóvil, N. A través 
del segundo principio de Ne on y gracias a que se puede descomponer el accionar de las 
fuerzas según sus componentes horizontes y verticales, se tiene que:
 
 
 
 
Esta expresión permite obtener la velocidad m a con la que se puede enfrentar una curva 
sin salirse de la pista plana.
Por otro lado, imagina lo que le sucede a un automóvil que circula en una curva en la que 
hay un derrame de aceite, lo que hace que disminuya el roce entre el piso y el neumático. 
Entonces, el automóvil ya no experimenta un movimiento circunferencial y se mueve en la 
dirección de la velocidad tangencial que tiene en ese momento. 
Camilo viaja a diario hacia la universidad pasando por la autopista. En el viaje debe tomar 
una curva circular p de 45 m de radio. Camilo desea determinar la rapidez con 
la que se debe tomar la curva para no derrapar, sabiendo que el automóvil posee una masa 
de 1400 kg y que el coefi ciente de roce estático entre los neumáticos y el pavimento de la pista 
es 0,5. 
Datos: m = 1400 kg; R = 45 m; µ
s
 = 0,5
Del a si terior y utilizando la expresión obtenida para la rapidez tangencial, se tiene que:
 =
NR
m
=
mgR
m
= gR
µ µ
µ
De esta forma es posible afi rmar que la rapidez tangencial no depende de la masa de cuerpo. Luego, 
al remplazar los datos obtenemos:
 = gR = 0,5 9,8
m
s
45m =14,8
m
s
2
 ⋅ ⋅
A modelada
 . En una curva de 40 m de 
radio, un letrero anuncia 
a los conductores “con llu-
via-rapidez 8 m/s”. 
Determina el coeficiente 
de roce estático entre el 
pavimento mojado y los 
neumáticos.
A
 Fuerzas que actúan sobre un 
automóvil que se mueve en 
una trayectoria circunferencial.
N
P = mg
F
roce
 Diagrama de las fuerzas que actúan 
sobre un automóvil que se mueve en un 
37 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
iencia, tecnología y sociedadC
 El peralte de curvas
 La rotonda
Dirección fuerza centrípeta
Y
Es una construcción de vías diseñada para facilitar los cruces 
de caminos y disminuir el peligro de accidentes. Consiste en 
un a circunferencia ededor de otras vías que se encuen-
tran interconectadas. La circulación de los vehículos, como 
nuestra forma de conducir es por la derecha, es en sentido 
 
 
 
En vías de dos o más calzadas, presenta complicaciones por 
el cruce de automóviles que se incorporan o abandonan 
la rotonda.
En vías con tráfi co denso o muchas rotondas concatenadas 
generan cansancio en la conducción, pues la incorporación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 
1 2 543
 
explica
 
 
determina
 
 
 Deter-
mina 
A
 Rodamientos y engranajes
Son mecanismos que facilitan la rotación, 
disminuyendo la fuerza de roce a través de 
la lubricación de sus superfi cies. Esto ga-
rantiza un mayor uso de los mecanismos, 
ya que se reduce el daño por rodadura. 
Los rodamientos están constituidos por dos 
o más aros concéntricos y entre ellos se en-
cuentran elementos rodantes, tales como: 
bolas, rodillos cilíndricos, rodillos cónicos 
o rodillos esféricos, los cuales giran sobre 
las pistas de rodadura, permitiendo la mo-
vilidad de la parte giratoria respecto a la fi ja. 
Para conseguir que guarden la debida dis-
tancia, los elementos rod tes van alojados 
Se construyen en acero de adecuadas ca-
racterísticas de dureza y tenacidad, per-
mitiendo soportar, con muy poco desgas-
te, millones de revoluciones, sometidos a 
cargas y esfuerzos, a veces, concentrados y 
localizados. 
La lubricación varía con la velocidad y el 
tamaño de los rodamientos, efectuándose 
con aceite o grasa consistente.
Los engranajes son ruedas provistas de 
dientes que posibilitan que dos de ellas se 
conecten entre sí y faciliten la puesta en 
marcha y la detención de un mecanismo.
 Centrífuga
Es una máquina que utiliza la 
rotación para separar los com-
ponentes de una mezcla en só-
lidos y líquidos. Entre sus usos 
está la separación de los com-
ponentes de la sangre en célu-
las sanguíneas y plasma, la miel 
de la cera de abeja, el agua de 
la ropa, el aceite de oliva de las 
aceitunas molidas, la crema de 
la leche, entre otras aplicaciones.
 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
P en
s
a
m
ie
n
to
 
c
ie
n
tí
fi
c
o
Sistema planetario
 ertinencia de las hipótesis y los procedimientos utilizados
Los estudios de Kepler permiten conocer el movimiento de los planetas alrededor del Sol. 
Ellos indican que los planetas efectúan trayectorias elípticas con el Sol en uno de sus focos. 
Kepler describe cómo se mueven los planetas, pero no explica por qué realizan tal tipo de 
trayectorias. Fue Isaac Ne on quien pudo dar una explicación a tal incógnita a través de su 
ley de gravitación universal.
Observemos los razonamientos de Newton para dar con la explicación a dicho fenómeno. 
Pero primero recordemos los antecedentes entregados por Kepler a través de sus leyes de 
movimiento planetario.
Primera ley de Kepler. Todo planeta gira alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica 
en la que el Sol ocupa uno de los focos.
Segunda ley de Kepler. El radio focal que une a un planeta con el Sol describe áreas iguales 
en tiempos iguales.
Tercera ley de Kepler. Para todos los planetas, la relación entre el cubo del radio de la órbita 
y el cuadrado de su período es const te, pudiéndose escribir que: 
 
T
= k
3
2
.
Por otro lado, es un hecho que las trayectorias de los planetas que se encuentran más cerca-
nos al Sol son prácticamente circunferenciales, y a medida que se alejan del Sol describen 
trayectorias cada vez más elípticas. 
Es así que a partir de tal hecho, Newton consideró que si las trayectorias eran prácticamente 
circunferenciales, los planetas debían experimentar una aceleración centrípeta en torno al 
Sol, del tipo = v
Rc
2
; como = Rω , se puede escribir como: = R
c
2ω .
Recordando que ω 2π
T
, se puede escribir la aceleración en función del período, a partir 
de lo cual se tiene que: =
4π
T
R
c
2
2
.
Del segundo postulado de Ne on, la aceleración centrípeta experimentada por el planeta de 
masa, m, orbitando alrededor del Sol es producida por la fuerza neta, de forma que: =ma
c
.
Si se reemplaza la expresión para la aceleración centrípet ción del período de rotación 
en torno al Sol, se obtiene que: =m
4π
T
R
2
2
.
Ahora, según la tercera ley de Kepler, si se despeja el período, =R
k
2
3
 y se reemplaza en la 
expresión obtenida para la fuerza que experimenta el planeta, entonces: =m
4π
R
2
3
, que al 
simplifi car los radios. Finalmente, se obtiene: =m
4π k
R
2
2
De acuerdo al tercer postulado de Newton, la fuerza que siente el Sol debido a la acción de 
los planetas tiene igual magnitud y dirección, pero actúa en sentido opuesto. Si se considera 
la masa del Sol como M y a k' como la constante, se puede escribir la magnitud de dicha 
fuerza como:
 ' =M
4π k'
R
2
2
Con do que F = F’, se tiene q al bas expresiones obtenidas p as fuerzas, 
resulta: 
4π k
R
=M
4π k'
R
2
2
2
2
, que al simplifi car los radios y observar sus variables se consigue 
 . Diferencia con al color: 
¿qué párrafos resaltarías 
para mostrar la pertinen-
cia entre las hipótesis y los 
procedimientos utilizados?
A
Para estudiar el movimiento 
que describen los planetas 
en torno al Sol, es preciso 
hacerlo a través de modelos 
matemáticos que explican el 
cuales se puede determinar la 
pertinencia de las hipótesis.
 YUD 
 Órbitas planetarias en torno al Sol.
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 40
1 2 3 4 5
que: 
 π k
M
=
 π k'
m
=G
2 2
. Entonces, así se puede escribir que 
 π k
M
=G
2
, de donde resulta que: 
4π2k = MG.
Reescribiendo la expresión de la fuerza que siente cualquier planeta debido a la acción del 
Sol o que experimenta el Sol por la acción del planeta, se tiene que:
 =
mMG
R
2
Esta expresión corresponde a la leyde gravitación universal, que fue enunciada por Ne on 
en su famoso libro hilosophiae Naturalis rincipia Mathematica en 1687, que dice: 
 
Es decir, las fuerzas con que se atraen las dos masas no son más que un par de acción y 
reacción. La primera masa ejerce un tracción sobre la s da, que está dirigida 
hacia la primera; en cambio, la segunda masa ejerce otra fuerza de atracción sobre la prime-
ra, que está dirigida hacia la segunda.
G es un valor, que Ne on ll ó constante de gravitación univers , q erminado ex-
perimentalmente por Henry Cavendish, quien usó una balanza de torsión, encontrando que:
 =6,67 10
Nm
Kg
-11
2
2
 
Una aplicación interesante
Determinemos la rapidez tangencial de un planeta de masa, m, que orbita en torn ol de 
masa, M, cuya trayectoria la con os práctic ente circunferencial. Si el planeta gira 
en forma circunferencial es porque sobre él actúa una fuerza centrípeta, que en este caso es 
la fuerza de gravedad, F
G
, determinada por la ley de gravitación universal. Por tanto, = 
c G
.
Es decir,
 
v
R
=
G M
R
v =
GM
R
2
2
→
La expresión obtenida permite determinar la rapidez tangencial de un satélite artifi cial o de 
la Luna al girar en torno a la Tierra o, en general, de cualquier cuerpo celeste que gire en 
forma circunferencial en torno a un planeta de masa M. Lo primero que ll a la atención 
es que la rapidez tangencial no depende de la masa del cuerpo que gira, sino solo de la masa 
del cuerpo central y de la distancia R entre los centros de ambos cuerpos.
 hilosophiae Naturalis 
 rincipia Mathematica.
 . Determina la rapidez tan-
gencial y la aceleración 
centrípeta de la Luna al 
orbitar la Tierra, sabiendo 
que la masa de la Tierra es 
 10 kg apro damen-
te y la distancia media a la 
Tierra es de 384 400 km.
A
ula la rapidez gencial y la aceleración centrípeta de la Tierra orbitar el Sol, sabiendo 
que la masa de este es aproximadamente 1,9 · 1030 kg y que la distancia que separa los centros 
de ambos es apro dament
Datos: M = 1,9 · 1030
 =
GM
R
=
6,67 10
Nm
kg
1,9 10 kg
149 500 000 000m
=
–11
2
2
30 
115,1
m
s
 =
v
R
=
29115,1
m
s
149 500 000 000m
=5,6 10
c
2
2
⋅
2
m
s
A modelada
 Órbita circunferencial de un planeta en 
torno al Sol.
M
R
m
4 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
H
Síntesis
Utiliza este resumen de los contenidos para elaborar tu propio or or conceptu .
Aplicaciones del movimiento circunferencial
 Una de las aplicaciones más utilizadas en el ámbito tecnológico son las cintas de 
transmisión porque tienen en su periferia igual rapidez tangencial.
 Otras aplicaciones cotidianas son los engranajes empleados en automóviles y relojes 
para transmitir el movimiento circunferencial a través de las ruedas dentadas, donde 
la más grande se llama corona y la más pequeña piñón.
Págs. 35 a 41
Tipos de movimiento circunferencial
 Movimiento circunferencial uniforme: es un movimiento con rapidez angular y 
tangenci nst te, como también lo s l período y la frecuencia, pero el sentido 
y dirección de la velocidad tangencial varía en tiempo, por lo que el módulo de la 
aceleración centrípeta permanece constante: =
v
c
2
R
 y su aceleración angular es cero.
 Movimiento circunferencial uniformemente acelerado: es un movimiento cuya 
rapidez angular varía constantemente en el tiempo, se mantiene la aceleración 
angular y el módulo de la tangenci , por lo que la aceleración tot esulta ser la suma 
vectorial de la aceleración radial y la aceleración tangencial.
Págs. 24 a 34
Movimiento circunferencial
 El período (T) es el tiempo empleado en dar un lta completa. 
 La frecuencia (f) es el númer ltas en un intervalo de tiempo. Se relacionan 
el período y la frecuencia así: =
1
f
o f =
1
f
.
 El desplazamiento angular (∆θ) es la diferencia angular descrita por un punto en 
movimiento circunferencial. En el SI se expresa en radianes.
 La posición tangencial (S) es la ubicación del cuerpo sobre la trayectoria de la 
circunferencia y se expresa en metros en el SI. 
 La rapidez angular ( 
t
 
 
θ
) corresponde al ángulo descrito por un cuerpo en 
movimiento circunferenci or unidad de tiempo, se expresa en rad/s.
 La rapidez tangencial ( =
S
t
∆
∆
) es la variación del arco de circunferencia recorrido 
en un intervalo de tiempo y se expresa en m/s.
 La velocidad angular (
 
 ) es la variación de la posición angular en el intervalo de 
tiempo, la dirección de la velocidad angular es perpendicula lano que contiene la 
trayectoria circunferencial.
 La velocidad tangencial (
 
 
 =
S
t
∆
∆
) es la variación de la posición tangencial en el 
intervalo de tiempo, cuyo módulo corresponde a la rapidez tangencial.
 ágs. 14 a 23
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 42
argando discoC
Modelamiento de pregunta PSU 1 2 543
 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
A. 
 
B. 
C. 
 
D. 
E. 
 
 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
erifi cando discoV
Evaluación fi nal
 . 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
2. 
 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
3. 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
4. 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
5. 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
6. 
A. D. 
B. E. 
C. 
7. 
 
I. 
II. 
III. 
A. D. 
B. E. 
C. 
8. 
I. 
II. 
III. 
A. D. 
B. E. 
C. 
9. 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 
1 2 543
 0. 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
 . 
A. D. 
B. E. 
C. 
 2. 
Experiencias asa Radio Rapidez tangencial
Cuerpo 1
Cuerpo 2
A. D. 
B. E. 
C. 
 3. 
A. D. 
B. E. 
C. 
 4. 
I. 
II. 
III. 
IV. 
A. D. 
B. E. 
C. 
 5. 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
 6. 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
 7. 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
Evaluación fi nal - Pensamiento científi co
 . 
 
 
2. 
 
 
3. 
 
 
4. 
 
 
5. 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
 NIDAD 1 MOVIMIENTO CIRC NFERENCIAL 
errar sesiónC
1 2 543
I. Revisa tus respuestas de alternativas.
Pregunta Contenido evaluado Habilidad Clave
 i revisión Logro 
alcanzadoCorrectas Incorrectas Omitidas
Movimiento circunferencial. 
 áginas 14 a 23
Aplicar
5
Recordar
Aplicar
Comprender
Comprender
Tipos de movimiento 
circunferencial.
 áginas 24 a 34
Aplicar
10
Analizar
Analizar
Analizar
Recordar
Analizar
Analizar
Aplicar
Analizar
Analizar
Aplicaciones del 
movimiento circunferencial.
 áginas 35 a 41
Comprender
2Analizar
II. Revisa los criterios que se consideran para la respuesta correcta de la situación procedimental.
Etapa del método Criterio
El problema es expresado en forma de pregunta, como una relación entre dos o más variables que pueden 
conducir hacia una posible formulación de hipótesis y al procedimiento experimental.
 
 
 
 
 
EST DO
47 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
 
 A
C D ENÚ e inicio
 orque y
rotación
Unidad
¿Qué aprenderás? ¿Para qué? ¿Dónde? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 NIDAD 2 TORQ E Y ROTACIÓN 8
A
B
R
IR
 
1 2 5 3
 Un equilibrista sobre cuerda.
 Motocicletas en movimiento en una curva.
En la unidad anterior estudiaste las características que 
permiten describir el movimiento circunferencial, y las 
fuerzas como responsables del movimiento de traslación. 
En años anteriores, seguramente aprendiste que las 
fuerzas modifi can el estado de los objetos. Pero para 
el movimiento de rotación: ¿bastará solo la fuerza para 
explicarlo?
En esta unidad aprenderás cuáles son las magnitudes fí-
sicas que permiten explicar el movimiento de rotación, y 
con ello mejorar la comprensión de estos fenómenos. Por 
ejemplo, cómo se relaciona la distribución de la masa de 
un cuerpo con la forma en que gira o deja de hacerlo.
A continuación, te invitamos a observar las imágenes 
para responder las siguientes preguntas:
1. ¿Existe alguna magnitud física que sea común y que 
permita describir el movimiento de los cuerpos?
2. ¿Por qué se inclina el piloto de la motocicleta en la 
curva? 
3. ¿Qué condiciones permiten a los cuerpos estar en 
equilibrio y sin caer?
 . Para el equilibrista en la cuerda, ¿será o no importan-te que extienda sus brazos?
nuevoexplorando.edicionessm.cl
 9 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
nicializando 
Evaluación inicial - Pensamiento científi co
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formulación de hipótesis
 . 
b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Formulación de hipótesis.
 
 
 
 
 
 
 
 
 NIDAD 2 TORQ E Y ROTACIÓN 
1 2 5 3
 
Sistemas Sin plastilina
Con plastilina 
distribuida al azar
Con plastilina 
distribuida 
uniformemente
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 YUD 
 
 
 
 
 
Mi EST DO
 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
Rotación de los cuerpos
En la unidad anterior estudiaste que en el movimiento de un cuerpo, como la rueda de 
una bicicleta que gira alrededor de su eje, que es un objeto extenso que está formado por 
un gran número de partículas, en cada instante las diferentes partes tienen velocidades y 
aceleraciones tangenciales distintas; es decir, cada punto de la rueda posee un movimiento 
circunferenci l en relación con el eje de giro. Mientras que todos los puntos, cualquiera sea 
su distancia al eje de giro, poseen la misma rapidez angular y solo aquellos que se encuentran 
a igual distancia del eje de giro tienen igual rapidez tangencial y aceleración centrípeta. Por 
esta razón, cuando se considera el giro de un cuerpo de masa no puntual respecto de un eje, 
se llama movimiento de rot ción.
Para estudiar la rotación de un cuerpo extenso de masa no puntual, el análisis se simplifi ca 
considerablemente al suponer que el objeto es un sólido rígido. 
Un sólido rígido es un cuerpo ideal, cuyas distancias entre sus partículas se mantienen 
constantes, independiente de las fuerzas que actúen sobre ellas. Por esto, se asume que un 
sólido rígido tiene m s , form y volumen in tes.
Una de las principales propiedades de un sólido tiene que ver con la distribución de su masa, 
y para poder caracterizar esta propiedad recurrimos al concepto de densid d, que corres-
ponde a la medida de la c tidad de masa distribuida en un volumen determinado.
La densidad de un cuerpo puede ser constante (homogénea) o variable (no homogénea). 
Cuando hablamos de densidad constante u homogénea, nos referimos a que en cada parte 
del cuerpo existe la misma cantidad de materia, y si es variable, a que la materia se distribuye 
en una forma irregular dentro del sólido.
¿Existirá alguna relación entre la densidad de un cuerpo y la forma en que este rota? Efecti-
vamente, un cuerpo es afectado en su movimiento de rotación cuando tiene una densidad no 
homogénea, ya que una distribución irr ar de su densidad inclin ía el eje de rotación. Es 
por ello que en esta unidad estudiarás las cualidades rotacionales de un cuerpo suponiendo 
que posee una densidad homogénea.
 
una bicicleta tiene un movimiento 
circunferencial y la rueda desarrolla un 
movimiento de rotación al girar en su 
propio eje.
Las moléculas de un sólido 
tienen gran cohesión 
y adoptan formas bien 
definidas. La densidad de 
un cuerpo corresponde a la 
cantidad de masa por unidad 
de volumen.
GR B R
Un tornillo de acero, 
tiene su masa distribuida a lo largo de todo 
el volumen con densidad aproximadamente 
constante.
Densidad homogénea
El planeta Tierra posee una densidad variable 
que va en aumento a medida que nos 
acercamos al núcleo.
Densidad no homogénea
 NIDAD 2 TORQ E Y ROTACIÓN 52
1 2 5 3
 . Identifi ca en cada caso si se trata de una traslación o de una rotación.
2. Analiza las situaciones haciendo la distinción entre una traslación y una rotación:
a. Un calcetín dentro de una secadora de ropa en funcionamiento.
b. La esfera en la casilla 18 de una ruleta.
c. Un búmeran es lanzado y vuelve al punto de partida.
A
Ejes de rotación
Sin importar la forma o la densidad del cuerpo rígido, este puede 
rotar en relación con un eje que se encuentre fuera de él, e erno, o 
con un eje que pase a través de él, interno. Veam os ejemplos.
Considera el movimiento de giro de la ruleta y el de una bolita que 
está girando dentro de ella, como se muestra en la imagen. En ambos 
casos hay un movimiento circunferencial, ya que se mueven respecto 
de un eje.
Como el eje de rotación del movimiento de la ruleta pasa a través de 
ella, corresponde a un eje interno, y para el caso del mo to de la 
bolita señalada por la fl echa azul, el eje es externo, ya que está a una 
cierta distancia de ella; es decir, la bolita se mueve alrededor del eje.
Entonces, el movimiento es de rot ción o giro cuando el eje está dentro del cuerpo, como 
el movimiento de giro de la ruleta, y cuando el objeto gira alrededor de un eje externo, el 
movimiento es de tr sl ción; como la bolita está en el borde exterior de la plataforma, gira 
en torno al eje del juego. 
El movimiento de los distintos puntos del cuerpo cuando rota alrededor de un eje tiene la 
misma rapidez si estos están a igual distancia del eje de giro, porque la rapidez tangencial 
es proporcional a la distancia al eje. Por lo tanto, los puntos del cuerpo situados sobre el eje 
permanecerán en reposo; es decir, la rapidez t gencial de ellos es cero. 
Otro ejemplo de rotación y de traslación son los movimientos de la Tierra en el Sistema 
Solar. La Tierra efectúa un ciclo alrededor de un eje que pasa a través del Sol cada 365,25 
días y un movimiento de rotación cada 24 horas alrededor del eje que pasa a través de los 
polos geográfi cos. 
 l eje de rotación de un 
cuerpo o de un sistema 
puede ser interno o externo.
Se tiene un movimiento de 
rotación de una partícula 
o de un cuerpo extenso 
cuando el eje es interno, y 
un movimiento de traslación 
cuando el eje es externo 
y el cuerpo realiza una 
GR B R
53 FÍSICA 3 MEDIO N EVO EXPLOR@NDO
Centro de masa
Al observar un objeto o cuerpo compuesto de varias partes que 
gira, puedes notar que existe un punto que se mueve en la misma 
trayectoria en que se movería una partícula si estuviese sometida 
a la misma fuerza neta. A este punto se le llama centro de m s , 
y se considera como si en él estuviera concentrada toda la masa 
de un sistema u objeto. Al mismo tiempo, es el punto en donde 
si se aplica una fuerza al objeto, experimenta solo mo to de 
traslación; es decir, no rotaría.
Una ventaja del concepto de centro de masa (CM) es que se 
puede ignorar la estructura y forma del cuerpo y considerarlo 
reducido al lugar geométrico, y no a un punto material donde 
todas las fuerzas externas son aplicadas. Esto permite facilitar el 
análisis dinámico del cuerpo.
Si se aplican algunas fuerzas 
 
 
1
, 
 
 
2
 y 
 
 
3
 a 
un cuerpo, notarás que 
 
 
1
 le producirá una 
rotación y que 
 
 
2
 y 
 
 
3
 generarán solo una 
traslación, como se representa en la ima-
gen. Si se prolonga la línea de acción de es-
tas fuerzas y de otras que también produz-
can solo traslación, verás que todas pasan 
por un mismo punto: el centro de masa. 
La líne de cción de un fuerz es una 
línea imaginaria, que se extiende desde el 
punto de aplicación de la fuerza a través del 
cuerpo, que indica la dirección.
La posición del centro de m s de un objeto constituido por un conjunto de partículas, se 
puede ilustrar matemáticamente cu do se considera un sistema formado por dos partícu-
las de masas m
1
 y m
2
. Para hallar la posición del centro de masa, se escoge un sistema de 
coordenadas; en este caso, ambas masas se encuentran sobre el eje x. Entonces, si se mide su 
posición x
1
 y x
2
 en el sistema de referencia con respecto a un origen común, la posición del 
centro x
CM
 de masa se obtiene según:
 =
 m + m
m +m
=
 m + m
M
CM
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
 )
 )
 )
donde M es la masa total del sistema. El centro de masa estará ubicado en la línea que une a 
m
1
 y m
2
. Si las masas son iguales, el CM estará en el punto medio de la línea que los une. Si 
son diferentes, el CM estará más cerca de la masa mayor.
Si el sistema está formado por más partículas a lo largo de una línea, se puede genera la 
expresión anterior de la siguiente manera: