Matemática Nivel Medio Parte 1

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Unidad
Números racionales
 Qué? Para qué? Dónde?
 onjunto de los números racionales 
( ), representación, clausura y 
densidad. 
Identifi car números racionales en diversos contextos. Páginas 12 a 15.
Números decimales periódicos y 
semiperiódicos. Aproximación por 
redondeo y truncamiento.
Representar números racionales con números decimales y 
viceversa.
Páginas 16 a 21.
Adición, sustracción, multiplicación y 
división en . Propiedades.
Aplicar diversos procedimientos que involucren cálculos en 
el conjunto .
Páginas 22 a 25.
 os números han surgido a lo largo de la historia por la necesidad del hombre de contar, 
medir, repartir, entre otras cosas. El conjunto de los números enteros, por ejemplo, no fue 
sufi ciente para representar todas las situaciones cotidianas relacionadas con ellos. Por 
esta razón aparecieron otros conjuntos numéricos, como el de los números racionales. 
En la vida diaria es frecuente el uso de fracciones. Por ejemplo, si se tiene que una receta 
de cocina rinde para 6 personas y se quiere preparar una cena para dos, entonces se deben 
tomar 
2
6
, es decir, 
1
3
 de cada ingrediente y así adaptar para 2 personas la receta inicial. 
 0 Unidad 1 úmeros racionales
Abrir sesión
 
Considerando la información de la página anterior, responde:
 ) Justifi ca por qué la expresión “
2
6
, es decir, 
1
3
” es cierta.
2) ¿En qué actividades de la vida diaria es posible utilizar fracciones? Ejemplifi ca con 3 situaciones.
3) ¿Qué opinas sobre la utilización de fracciones en la vida cotidiana? ¿Son realmente necesarias? 
¿Por qué?
Comprender consiste en construir signifi cado a partir de información comunicada en forma oral, 
escrita y/o gráfi ca. Para comprender es posible utilizar la representación.
 nicializando
Dado el siguiente conjunto, resuelve lo que se pide.
A = 8;
7
6
; ;
3
4
; 5;
 
2
; 7;
 
9
; 0; –5; –5,3;–
 
6
 







 ) Al ordenar el conjunto anterior en forma decreciente, ¿qué número ocupa la quinta posición?
 
 
 
2) Si se comparan las fracciones 
1
2
 y 
1
9
 , ¿qué número es mayor? ¿Por qué?
 
 
 
3) Representa los elementos del conjunto de manera ordenada. Para ello, ubícalos en la recta numérica.
0
 Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
resolución
 úmeros racionales
Tres amigos comparten una izza de manera equitativa. El primero dice que le 
corresponden 0,33… partes de la izza; el segundo dice que le corresponde 
1
3
 de la 
 izza; el tercero dice que ambos están en lo correcto. ¿Es verdad lo que afi rma el 
tercer amigo?
Si es cierto lo que afi rma el tercer amigo, habría que verifi car que 0,33...=
1
3
. Luego:
 ° Sea x = 0,33…. 
2° Si se multiplica por 10, se tiene: 10 x = 3,33….
3° Si se resta 2° – °, se tiene que: 10x – x = 3,33… – 0,33…
 9x = 3 / 
1
3
x=
1
3
Para verifi car que 
1
3
=0,33... basta con realizar la división 1 : 3. Por lo tanto, 0,33...=
1
3
. 
Entonces, el tercer amigo sí estaba en lo correcto.
 ¿Qué tipo de representación crees que es más adecuada para interpretar lo que le 
corresponde a cada amigo? ¿Por qué?
El conjunto de los números racionales ( ) surge 
por la necesidad de resolver problemas que no tienen 
solución en el conjunto de los números enteros y se 
defi ne de la siguiente manera:
 = xx / x =
a
b
, a y b ; b 0∈ ∈
 







  ≠
Es decir, el conjunto de los números racionales está 
compuesto por todos los números que pueden 
ser escritos como una fracción cuyo numerador y 
denominador (distinto de cero) son números enteros.
Ejemplo: 
3
5
 se puede interpretar como 3 partes de 
un total de 5 partes iguales.
Además, números como –
1
2
; 0,3; –– 1,24; 1; 0; etc, 
también son números racionales.
 ara grabar
1. Representa mediante regiones los siguientes números decimales.
a. 
6
7
 b. 
7
2
 c. 
1
5
 
 ¿Es posible hacer una representación gráfi ca del número – 
3
5
? Justifi ca tu 
respuesta.
2. Evalúa las fracciones y marca la que corresponde a cada intervalo.
Justifi ca por qué:
–
a
b
=
–a
b
=
a
–b
; 
con a, b , b 0.
Desafío
 2 Unidad 1 úmeros racionales
Representación en la recta numérica
En la siguiente recta numérica se 
ubicaron algunos números entre –1 y 1. 
Para hacerlo, se compararon los valores.
Para determinar el orden en los números racionales puedes aplicar el siguiente 
método:
1
2
<
3
4
, ya que: 1 4 < 2 3. De la misma forma, 1 >
3
4
, ya que 1 4 > 1 3. Esta técnica 
se suele conocer como producto cruzado.
1. Compara los números racionales dados. Luego, completa con los signos 
>, < o = según corresponda.
a. 
4
8
2
16
 c. 
14
6
 2,3 e. 
––2
6
–0,3
b. 
–12
3
12
–3
 d. –11 –10,9 f. 
10
4
4
10
2. Compara los siguientes números racionales y ubícalos en la recta numérica.
–
6
14
; –
1
3
;
5
2
; –1; 2;
1
4
; 3,5;
7
2
; –
1
111
; 0,076; –
8
7
;
17
11
0
3. Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno.
Si Paula, Marcela y Joaquín hacen, respectivamente, 
12
13
;
5
6
y
4
5
 de la tarea 
propuesta en clases, ¿quién de los tres avanzó más?
Recuerda que todo número 
entero a se puede escribir de la 
forma 
a
1
.
Ayuda
0–1 1–1
3
1
2
3
4
Para ubicar elementos del conjunto en la 
recta numérica debes compararlos con respecto 
a otros números del conjunto. Para ello, puedes 
utilizar el método de los productos cruzados.
a
b
c
d
a d < b c
a
b
>
c
d
a d >⇔ ⇔ bb c 
Donde 
a
b
, 
c
d
 .
Ejemplo:
Ubica en la recta numérica los siguientes números 
racionales:
2
5
; –
4
7
; –
1
2
;
3
4
; – 1; 1
 –1 10
 ara grabar
4
7
1
2
2
5
3
4
 3Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Densidad y clausura en 
Evalúa la siguiente afi rmación: “Para todo par de números racionales existe otro que 
se encuentra entre ellos”. Esto se puede anotar de la siguiente forma:
 a, b , a < b,  c / a < c < b
La propiedad anteriormente enunciada se conoce como densidad de los números 
racionales. Por lo tanto, se dice que el conjunto es denso.
 Encuentra un número racional entre 
1
2
 y 
1
3
. ¿Cuántos puedes hallar?
 ¿Existe un número entero entre –3 y –4? ¿El conjunto  es denso? Justifi ca.
La propiedad de clausura en un conjunto (X) 
respecto de una operación (*) quiere decir que si se 
operan dos elementos (a y b) pertenecientes a X, el 
resultado seguirá siendo un elemento de X. 
Es decir:
a, b X ⇒ a * b = k; k X
Por lo tanto, el conjunto X es cerrado para *.
Por ejemplo, el conjunto es cerrado respecto de 
la adición. Es decir, dados dos números racionales 
cualesquiera, su suma es un número racional.
a, b ⇒ a + b = k; k 
Por ejemplo, 
1
3
 y 
1
2
 son números racionales y su 
suma, es decir, 
5
6
, también es un número racional.
 ara grabar
Ten en cuenta la siguiente 
simbología:
 : para todo.
 : existe.
/ : tal que.
⇒ : implica.
Ayuda
1. Analiza la información del recuadro. Luego, determina la veracidad de las 
afi rmaciones. En caso de ser una afi rmación falsa, justifi ca mostrando un 
ejemplo.

 

    
Números naturales
Números enteros
Números racionales
a. Si a  y b , entonces, a + b = k; k .
b. (  )  = 
c. Si a , entonces, a .
d. Si a, b , entonces, a – b = k; k .
e. Si a, b , entonces, a + b = k; k .
f. ¿El conjunto de los números racionales es cerrado respecto de la sustracción? 
Fundamenta.
El conjunto de los números 
reales () corresponde a la 
unión de los números racionales 
con los irracionales.
  = ∪ .
Para saber más
 4 Unidad 1 úmeros racionales
Propiedad de clausura en respecto de la multiplicación 
El conjunto es cerrado respecto de la multiplicación. Es decir, dados 
dos números racionales cualesquiera, su producto es un número racional.
a, b ⇒ a b = k; k 
Ejemplos:
Al multiplicar 
4
5
 por 
2
3
, ambos números racionales,el producto sigue 
siendo un número racional. En este caso, 
8
15
.
 ara grabar
2. Analiza la siguiente afi rmación. Luego, responde.
a, b ⇒ a : b = k; k 
a. Traduce a lenguaje natural la afi rmación propuesta.
b. Da tres ejemplos en los que se cumpla la afi rmación.
c. ¿Es verdadera la afi rmación propuesta para cualquier par de números racionales? Fundamenta.
3. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
0 a c b
a, b  / b = a + 1 ⇒ c  
a, b  / b = a + 1 ⇒ c  
a. ¿Qué sucede con c si a, b , tal que b = a + ? 
b. Determina 3 posibles valores de a, b y c. 
c. ¿Qué opinas de la afi rmación: “Entre dos números racionales siem re existe otro número racional.”?
 5Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
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e r
r
resolución
 úmeros decimales en 
Además de la representación en la recta numérica, los números racionales pueden 
ser representados como números decimales. Esto lo puedes hacer dividiendo el 
numerador por el denominador.
En los números decimales se pueden encontrar los fi nitos e infi nitos, ya que su 
parte decimal tiene un número fi nito o infi nito de cifras. A su vez, estos números 
decimales infi nitos pueden ser periódicos o semiperiódicos. Los números decimales 
infi nitos que no sean periódicos ni semiperiódicos pertenecen a otro conjunto 
numérico, denominado conjunto de los números irracionales ().
Para transformar un número decimal fi nito a fracción, puedes escribir el número sin 
coma en el numerador, y en el denominador, la potencia de 10 que tenga tantos 
ceros como cifras decimales tenga el número inicial. Luego, si es posible, simplifi ca. 
Por ejemplo:
7,82=
782
100
=
3391
50 
0,0125=
125
10.000
=
1
80
1. Interpreta los números decimales. Para ello, completa la tabla. 
Número decim l Tipo
Represent ción 
decim l
Represent ción 
fr ccion ri 
1,7 Infi nito periódico 1,77… 1,77 =
17 - 1
9
=
16
9
2,09090909…
1,59
52
33
Número decim l Tipo
Represent ción 
decim l
Represent ción 
fr ccion ri 
1,7 Infi nito periódico 1,77… 1,7 =77 =7
17 - 1
9
=
16
9
2,09090909…
1,59
52
33
 Describe con tus palabras el procedimiento usado para transformar un núme-
ro decimal periódico a fracción y un número decimal semiperiódico a fracción.
3
4
= 3 : 4 = 0,75
67
8
= 67 : 8 = 8,375
1,81 =
181- 1
99
=
180
99
==
20
11
7,82 =
782 - 78
90
=
704
90
=
352
45
Ayuda
 úmeros decimales en .
 úmeros decimales
Infi nitos
Finitos
Semiperiódicos
Periódicos
7,82
1,81
 ara grabar
 6 Unidad 1 úmeros racionales
2. Representa los siguientes números racionales en una recta numérica.
2,303; –0,808;
7
3
; –0,8; 2,03; –0,808; 2,31; –
4
5
; –00,08
3. Evalúa la siguiente adición de números racionales. Luego, responde.
3,23 +
1
5
+ 0,5
a. ¿Qué tipo de números componen la adición presentada?
 
b. ¿Qué harías para resolver la adición: transformar los sumandos a números 
decimales; transformarlos a fracciones o dejarlos tal como están y sumar 
directamente? Justifi ca. 
 
 
 
4. Analiza la siguiente información junto a tu profesor(a). Luego, resuelve.
 
Se justifi cará el procedimiento 1,794=
1.794-17
990
=
1.777
9990
, mostrando que se 
cumple 1,794=
1.777
990
.
Sea x = 1,7949494… Luego, 10 x = 17,9494… y 1.000 x = 1.794,9494…
De lo anterior, se tiene que: 1.000x – 10x = 1.794,9494… – 17,9494…
 990x = 1.777 / 
1
990
x=
1.777
990
Por otra parte, 
1.777
990
=1,7794 se puede mostrar dividiendo el numerador por 
el denominador. Por lo tanto, 1,794=
1.777
990
.
a. Describe el procedimiento utilizado para justifi car la igualdad anterior.
 
 
b. Justifi ca en tu cuaderno, considerando la información presentada, la igualdad 
1,8=
17
9
. 
 7Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Aproximación en 
Para trabajar con números decimales infi nitos o números fi nitos con muchas cifras 
decimales, la aproximación proporciona una gran ayuda. Estas aproximaciones se 
pueden llevar a cabo utilizando el redondeo o el truncamiento, entre otros criterios.
Tanto en la aproximación por redondeo o por truncamiento, el número resultante 
puede ser menor o mayor que el original; de ser menor, se dirá que la aproximación 
es por defecto; mientras que si es mayor, se dirá que la aproximación es por exceso.
Redondear un número en una determinada cifra 
consiste en considerar solo ciertos dígitos de la parte 
decimal del número. En algunos casos se harán 
modifi caciones en la cifra anterior a la determinada 
en el redondeo y en otros no.
El criterio que se defi ne es el siguiente:
Considerar la cifra decimal inmediatamente siguiente 
a la que determine la aproximación: 
- Si dicha cifra es menor que 5, no hay modifi cacio-
nes en las cifras que se conservan.
- Si dicha cifra es igual o mayor que 5, la cifra por 
aproximar se debe aumentar en una unidad.
Caso 1: redondea 5,67487654 a la centésima.
5,67487654 5,67
Luego, 5,67487654 redondeado a la centésima es 
5,67. (Por defecto).
Caso 2: redondea 2,33375689… a la milésima.
2,33375689… 2,334
Luego, 2,33375689... redondeado a la milésima es 
2,334. (Por exceso).
 ara grabar
1. Aproxima los siguientes números por redondeo según corresponda en cada 
caso. Luego, determina si la aproximación fue por defecto o por exceso.
Número Redondeo l … Aproxim ción Aproxim ción por…
0,356483258 milésim 0,356 Defecto
897, 46 diezmilésim 
34, 715 centésim 
11, 1 décim 
Número Redondeo l … Aproxim ción Aproxim ción por…
0,356483258 milésim 0,356 Defecto
897, 46 diezmilésim 
34, 715, 715, 7 centésim 
11, 1 décim 
2. Analiza la siguiente información. Luego, resuelve.
 
En la aproximación de números decimales, ya sea por defecto o por exceso, 
se produce cierto margen de error.
El error absoluto (
a
) corresponde al valor absoluto de la diferencia entre el 
valor exacto y la aproximación:

a 
= |x – x
a
|
Donde x es el valor exacto del número, y x
a
 el valor aproximado.
 Considera el número 8,781. Redondea a la milésima y luego encuentra el error 
absoluto.
Redondeo: 
a
: 
Si se aproxima por redondeo 
a la décima el número 3,78, 
se obtiene 3,8. Luego, el error 
absoluto es:

a 
= |3,78 – 3,8| = |–0,02| = 0,02
Ayuda
 8 Unidad 1 úmeros racionales
3. Utiliza tu calculadora científi ca para determinar qué sucede cuando el 
resultado de una operación entre dos o más valores es un número de 10 o más 
cifras. A modo de ejercicio, resuelve lo siguiente:
23.567.895 410 – 12.555.980
a. ¿Qué número se muestra como resultado en tu calculadora?
 
b. ¿El número es fi nito o infi nito? Justifi ca.
 
c. Si es fi nito, escribe el número completo.
 
d. Trunca el número obtenido en la calculadora a la centésima. Luego, inventa 
una situación en la que puedas escribir este valor truncado. 
 
e. Si el número resultante en la calculadora lo redondeas a la centésima, ¿se 
obtiene la misma aproximación realizada en d.? Justifi ca.
 
f. Si ahora calculas 2 : 7, ¿se obtiene un número decimal fi nito o infi nito? 
Justifi ca.
 
g. ¿Crees que la calculadora está programada para redondear o truncar 
ciertos tipos de números? Para responder, haz la prueba resolviendo varias 
operaciones entre dos o más valores.
 
4. Crea una situación en la que redondees un número y otra en la que trunques 
un valor. Luego, explica por qué en la primera es más relevante redondear y por 
qué en la segunda es más relevante truncar.
 Situación 1: Situación 2: 
Truncar un número consiste en 
considerar solo una parte de las 
cifras decimales que componen el 
número decimal completo.
Ejemplo 1: trunca 0,01199453 a la 
milésima.
0,01199453 0,011
Luego, 0,01199453 truncado a la 
milésima es 0,011.
Ejemplo 2: trunca –12,315 a la 
centésima.
–12,3151515… –12,31
Luego, –12,315 truncado a la 
centésima es –12,31.
 ara grabar
 9Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
evaluación formativa
Analizando discoe
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
Números racionales y representación en la recta numérica.
1 Analiza las fi guras divididas en partes iguales. Luego, completa.
a. El número racional que se representa en la imagen es: 
b. Si se pintaran los triángulos restantes en ambas fi guras, el número racional sería: 
c. ¿Cómo representarías el número racional 0 con las mismas fi guras que se muestran en la imagen?
 ¿Es posible? Justifi ca y dibuja en caso de que lo sea.
2 Analiza la siguiente situación. Luego, responde.
Un edifi cio tiene una altura de 15,5 metros. Pedro baja al primer subterráneo y desde ahí dice: “el edifi cio 
ha aumentado su altura, ahora mide 18 m”.
a. ¿Qué opinas de la afi rmación de Pedro? Conversa con tus compañeras y compañeros de curso y 
determina la validez de la afi rmación realizada. ¿Cuál crees que sería la explicación que Pedro daría 
para defender su postura?
3 Ubica en la recta numérica los siguientes números racionales.
7
4
; –1; 1; –0,707; –
3
4
; 1,7; –0,7; 0; –0,7; 1,75; 1
8
445
Densidad y clausura en .
4 Resuelve los siguientes problemas.
a. Encuentra un par de números racionales, x e y, cuyo producto sea un número natural.
b. Encuentra un par de números racionales, x e y, cuyo cociente sea cero.
c. Encuentra un par de números enteros distintos, x e y, cuyo cociente sea un número decimal 
semiperiódico.
20 Unidad 1 úmeros racionales
Números decimales infi nitos periódicos y semiperiódicos.
5 Representa como un número racional de forma fraccionaria. Luego, si es posible, simplifi ca.
a. 4,25 c. 0,376 e. –0,47 
b. –2,153 d. 102,07 f. 10,3602 
6 Ubica en la recta numérica el siguiente conjunto de números.
0,36; –
44
99
;; 0,36; –
9
20
; 0,36; –
2
5
; –0,45;
1
3
; –0,4; 0,364
0
7 Resuelve el siguiente problema.
Carla necesita 1,3 metros de género para confeccionar una cartera. ¿Es posible comprar 1,3 metros? ¿Es 
la mejor forma de representar una medida? ¿Cómo le recomendarías que solicitara la cantidad de género 
que necesita?
Aproximación en .
8 Realiza los procesos de aproximación vistos en la unidad. Para ello, completa la tabla.
 ¿Qué sucedió en el último caso? ¿Por qué crees que ocurre esto?
2 Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
resolución
Adición y sustracción de números racionales 
Propiedades
En cursos anteriores ya has estudiado cómo resolver adiciones y sustracciones 
de fracciones y números decimales; además, has verifi cado propiedades como 
la clausura, conmutatividad, asociatividad y elemento neutro de la adición. Para 
resolver adiciones y sustracciones en el conjunto de los números racionales se 
conservarán dichas estrategias ya vistas.
Adición y sustracción de fracciones 
con igual denominador. 
Se conserva el denominador y se 
resuelve la adición o sustracción de 
los numeradores, considerando que 
los valores de los numeradores son 
números enteros.
Ejemplos:
 5
9
–
10
9
=
5 – 10
9
= –
5
9
2
9
–
5
9
–
10
9
=
2
9
–
5 –





110
9
=
2
9
– –
5
9
=
2
9
+
5
9
=
7
9






Adición y sustracción de fracciones 
con distinto denominador.
Se igualan los denominadores de las 
fracciones. Esto se hace buscando 
el mínimo común múltiplo entre los 
denominadores y amplifi cando cada 
fracción por el número que convenga. 
Luego, se realiza la operación de la 
misma manera que en el caso de “igual 
denominador”.
Ejemplos:
 1
3
–
2
5
=
1 5
3
 
 55
–
2 3
5 3
=
5
15
–
6
15
= –
1
15
 
 
4
13
–
4
3
+
7
4






==
4
13
–
4 4
3 4
+
7 3
4 3
=
4
13
–
16
12
+
21 
 
 
 





 112
=
4
13
–
37
12






=
4 12
13 12
–
37 13
12
 
 
 
 113
=
48
156
–
481
156
= –
433
156
 ara grabar
1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones. En caso de ser posible, 
simplifi ca.
a. 
3
5
+
2
5
–
6
5
= d. 
1
7
–
3
7
+
10
7
+
6
7
=






 
b. –
2
3
–
1
3
+
14
3
== e. 
1
2
+
5
2
–
4
22
–
7
2
=






 
c. 
3
8
+
1
8
–
7
8
= f. 
1
4
+
3
4
–
6
4
= 
2. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones. En caso de ser posible, 
simplifi ca.
a. 
1
5
–
1
4
+
2
3
= c. 
1
4
–
3
8
+
1
2
=






 
b. –
1
3
+
5
7
–
111
5
=
=
 d. 
1
7
+
3
2
–
2
3
–
1
5






= 
La manera de resolver adiciones, 
sustracciones, multiplicaciones 
y divisiones de fracciones es 
aplicable a la operatoria de 
números racionales. Asimismo, 
en este conjunto numérico se 
conservan las propiedades de 
clausura, asociatividad, elemento 
neutro y conmutatividad, 
además del elemento inverso y 
la propiedad distributiva de la 
adición sobre la multiplicación.
Para saber más
22 Unidad 1 úmeros racionales
3. Analiza el ejemplo. Luego, resuelve y escribe el resultado.
0,3+2,13=
3
9
+
213–21
90
=
1
3
+
192
90
=
1
3
+
32
15
=
5
15
+
322
15
=
37
15
=2,46
a. 1,24 –0,31= c. 4,2–
5
3






+0,1=
b. 0,1–3,41+5,2= d. 






1,7–
2
9
–
1
6
+0,344 =






 ¿Por qué es importante transformar números decimales a fracción?
4. Utiliza una calculadora para resolver las siguientes operaciones combinadas. Luego, describe la estrategia 
aplicada.
Indicación: recuerda que ara este ti o de rocedimientos, el uso de la calculadora científi ca ermite utilizar aréntesis y 
fracciones. Debes decidir de qué manera re resentarás los números racionales que se muestran.
a. 1,7–
1
6
= b. 1,3– 2,15+
3
7






= c. 






2,5+
1
3
– 7,1–
1
5
= 
 Describe aquí tu estrategia: 
 ¿Qué hiciste para poder escribir los números periódicos y semiperiódicos en la calculadora? Describe.
5. Verifi ca en tu cuaderno si se cumplen las siguientes propiedades para la adición de números racionales. Para 
ello, considera solo números decimales infi nitos periódicos y semiperiódicos.
a. Propiedad conmutativa b. Propiedad asociativa c. Elemento neutro
 a + b = b + a; a, b . (a + b) + c = a + (b + c); a, b, c a + 0 = 0 + a = 0; a .
 
Sí
 
No
 
Sí
 
No
 
Sí
 
No
6. Resuelve el siguiente desafío en tu cuaderno.
 Dos amigos se disponen a comer unos pasteles. El primero tiene 5 pasteles y el segundo, 3. Justo cuando van a 
comenzar, llega un tercer amigo, sin pastel alguno, y les dice: “¿qué les parece si repartimos sus 8 pasteles de 
manera equitativa y a cambio yo les doy $ 800 y ustedes se reparten el dinero de una manera que encuentren 
justa?” Los dos amigos se miraron y aceptaron. 
 ¿Cómo repartieron los $ 800 los dos amigos? 
 Observación: la respuesta no es $ 500 y $ 300.
23Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
resolución
Multiplicación y división de números racionales 
Propiedades
Para multiplicar y dividir números racionales se puede utilizar su representación 
fraccionaria o decimal. Sin embargo, debes transformar los números decimales 
infi nitos a fracción para multiplicarlos o dividirlos por otro número racional. 
Además, debes aplicar la regla de los signos vista en  para número racionales.
Para multiplicar dos fracciones se 
multiplican los numeradores con los 
numeradores y los denominadores 
con los denominadores.
Ejemplos:
 6
7
–
5
4
= –
6 5
7 4
= –
30
28
= –
15
14
 
 
 






4
9
–
3
 
88
2,5 =
4
9
–
3
8
23
9
= –












 
23
9
= –
1 1 23
3 2 9
= –
23
54
 
 
 
 
Hasta ahora, las propiedades vistas para la multiplicación de fracciones son:
Si a, b, c, d, e, f ,
 Conmutativa Asociativa
 a
b
c
d
=
c
d
a
b
; bb,d 0.≠
a
b
c
d
e
f
=
a
b
c
d
e
f










 


≠; b, d, f 0.
 Elemento neutro Distributiva ( , +)
 ≠a
b
1 =
a
b
; b 0. 





ab
c
d
+
e
f
 













=
a
b
c
d
+
a
b
e
f
; b ,, d, f 0.≠
 ara grabar
1. Resuelve las siguientes multiplicaciones. Simplifi ca el resultado en caso de ser 
posible.
a. 
1
6
2
5
= c. 
3
4
3
2
(–8)= 
b. 






3
5
–
2
3
 == d.–
2
7
10
4
(–2)= 
2. Analiza la tabla. Luego, completa.
· + –
+ + –
– – +
: + –
+ + –
– – +
1
3
1
2
Otra propiedad de la 
multiplicación de números 
racionales es la del elemento 
inverso:
Elemento inverso
 
a
b
b
a
= 1
Para saber más
24 Unidad 1 úmeros racionales
3. Resuelve las siguientes divisiones. Luego, simplifi ca si es posible.
a. 





3: –
9
5
= c. 






7: –
2
7
= 
b. 
2
5
:2= d. 





8
7
: 9: –
1
3







= 
4. Verifi ca en tu cuaderno si se cumplen las propiedades de la multiplicación de fracciones recordadas en la 
sección ara grabar de la página anterior para los números racionales.
a. Conmutativa. b. Asociativa. c. Elemento neutro. d. Distributiva (· , +).
 
Sí
 
No
 
Sí
 
No
 
Sí
 
No
 
Sí
 
No
5. Verifi ca en tu cuaderno si se cumple la siguiente propiedad para los números racionales. Justifi ca.
(a + b) : c = a : c + b : c
 
(a – b) : c = a : c – b : c
Justifi ca: 
6. Resuelve los siguientes ejercicios combinados manualmente y ayudándote con la calculadora.
Recuerda lo visto con respecto a las operaciones con números decimales infi nitos.
a. 






0,3
3
5
+ 11,2
2
3
 
––
7
2
4,23
=






 
 b. 
–
4
3
+
2
7
2,






 116
1,5:
7
3
–
2
3
=






 
c. ¿Qué sucede en el ejercicio b? ¿Puedes llegar a una respuesta? Justifi ca.
Dividir dos números racionales es 
equivalente a multiplicar el primero por el 
inverso multiplicativo del segundo.
⇔
a
b
:
c
d
a
b
d
c
=
ad
b c
 , con a, b, c, d  y 
b, c, d 0.
Ejemplos:
 3
2
: 5 =
3
2
:
5
1
=
3
2
1
5
=
3
10
 
2
33
: –
14
3
: –0






,,6 =
2
33
–
3
14
: –
2
3
=( )












 ––
33
–
3
2
= –
1 1
11 7
–
3
2
 
 
 
 
 
 












=
1 1 3
11 7 2
=
3
154
 
 
 ara grabar
1
11
1
7
25Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e r
r
resolución
Herramientas tecnológicas: 
redondeo y truncamiento con Excel
A continuación se muestra cómo redondear y truncar números decimales infi nitos 
utilizando el programa Excel. Estas aproximaciones pueden facilitar el trabajo, por 
ejemplo, en estadística, en que debas analizar un conjunto de datos.
Para aproximar por redondeo un listado de datos en una planilla Excel se verán dos 
métodos que proporciona este programa. El primero es una función estándar de 
Excel llamada REDONDEAR y el segundo consiste en la aplicación del ícono { }, 
que se encuentra en la barra de herramientas de Excel.
Antes de detallar ambos métodos, digita los siguientes números decimales (en este 
caso, en la columna C): 23,65564; 59,2548864; 99,2543 . En este ejemplo se 
aproximarán los números propuestos por redondeo a la milésima.
Método 
Paso : 
En la misma fi la que el primero de los números 
ingresados (en este caso, en la columna E), digita 
=redondear(. En seguida, selecciona el primero 
de los números ingresados (columna C). Verás 
que aparecerá el nombre de la celda donde está 
ubicado dicho número. Para fi nalizar, digita ;3), ya 
que la aproximación por redondeo a la milésima 
tendrá 3 cifras decimales.
Paso 2: 
Presiona Enter y aparecerá el número 
seleccionado redondeado a la milésima. 
Luego, para redondear el resto de los números 
ingresados (en este caso, en la columna C), 
debes situar el cursor sobre la esquina inferior 
derecha de la celda y “arrastrarla” hacia abajo. 
Así verás los otros números redondeados a la 
milésima.
Método 2
Luego de ingresados los números (en este caso, en la columna C), si seleccionas el número que se desea 
aproximar y presionas la tecla , aproximará dicho número utilizando el redondeo a la última cifra 
decimal digitada. Para realizar la operación contraria se presiona la tecla .
26 Unidad 1 úmeros racionales
Para aproximar por truncamiento (en este caso, a la centésima) se utilizará una función que proporciona Excel. 
Al igual que en la página anterior, antes de detallar el procedimiento, digita los siguientes números: 35,6565; 
24,35967; 78,554327 . 
Paso : 
En la misma fi la que el primero de los números 
ingresados (en este caso, en la columna E), digita 
=truncar(. En seguida, selecciona el primero 
de los números ingresados (columna C). Verás 
que aparecerá el nombre de la celda donde está 
ubicado dicho número. Para fi nalizar, digita ;2), 
ya que la aproximación por truncamiento a la 
centésima tendrá 2 cifras decimales.
Paso 2: 
Presiona Enter y aparecerá el número 
seleccionado redondeado a la centésima. 
Luego, para redondear el resto de los números 
ingresados (en este caso, en la columna C), 
debes situar el cursor sobre la esquina inferior 
derecha de la celda y “arrastrarla” hacia abajo. 
Así verás los otros números redondeados a la 
centésima.
1. Analiza la siguiente tabla. Complétala utilizando Excel y luego responde. Observa el ejemplo.
x
r
 : número redondeado a la décima; x
t
 : número truncado a la décima.
a. ¿Qué representa la última columna? 
b. ¿Qué debiera ocurrir para que en la última columna se obtuviera el valor 0? Justifi ca.
27Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
c
c
r
rre
so
luc
ión d
e problem
as
cont
enido
hh
e
eval
uación
Resolución de problemas
Trabajo de habilidades
1 Analiza la resolución del siguiente problema.
 Somos hermanos –dijo el más viejo– y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según 
la ex resa voluntad de nuestro adre, debo yo recibir la mitad; mi hermano Hamed 
Namir una tercera arte, y Harim, el más joven, una novena arte. No sabemos, sin 
embargo, cómo dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno ro one, 
 rotestan los otros dos, ues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera arte 
y la novena arte de 35 si tam oco son exactas las divisiones? 
Malba Tahan, El hombre que calculaba.
 (Observación: el amigo del hombre que les solucionará el roblema tiene un camello)
 aso 1 Comprende el enunciado
 Identifi ca lo que entiendes de la información.
 ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? 
 Una re artición justa de los 35 camellos heredados a los 3 hermanos.
 ¿Qué información entrega el enunciado del problema?
 La cantidad de camellos y la arte que le corres onde a cada hermano.
 Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes.
 ¿Qué tipo de número debería ser la cantidad de camellos?
 El número de camellos debería ser divisible or 2, or 3 y or 9. 
 Expresa la información en otro tipo de formato.
 35 : 2 = 17,5 35 : 3 =11,6 35 :9 = 3,8
 aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
Primero, se calculará el mínimo común múlti lo de 2, 3 y 9. Según el número 
que resulte, se agregarán o quitarán camellos a los 35 dados ara com letar el 
número buscado. Luego, se calcula la cantidad de camellos que le corres onde 
a cada hermano y se realiza el re arto justo.
 aso 3 Resuelve el problema
El m.c.m. entre 2, 3 y 9 es 18. Sin embargo, 18 < 35. Por lo tanto, hay que 
buscar un múlti lo de 18 que esté más cercano a 35. De lo anterior, se obtiene 
36. Justamente el amigo del hombre que les solucionaría el roblema tenía un 
camello, or lo que el hombre ro uso agregarlo a la herencia, con lo que se 
juntarían en 36 camellos. Luego, la re artición queda:
36 : 2 = 18 (antes eran 17,5 camellos. Luego, es más de lo que le corres onde 
al hermano mayor, or lo que no rotesta).
36 : 3 = 12 (antes eran 11,6 camellos. Luego, es más de lo que le corres onde 
al segundohermano, or lo que no rotesta).
36 : 9 = 4 (antes eran 3,8 camellos. Luego, es más de lo que le corres onde al 
hermano menor, or lo que no rotesta).
Finalmente, los tres hermanos encuentran justa la re artición. Mientras que el 
hombre le udo devolver el camello a su amigo y él obtuvo otro ara sí.
 aso 4 Revisa la solución
Al hermano mayor le corres onden 18 camellos; al segundo, 12, y al menor, 
4. Cantidades que suman 34. Por lo tanto, sobran 2 camellos, uno como ago 
 ara el hombre que les solucionó el roblema y el otro ara devolvérselo a 
su amigo.
¿Qué tengo que hacer para 
comprender un enunciado?
¿Qué es comprender?
Etapas de la resolución 
de problemas.
Comprender consiste en 
construir signifi cado a partir 
de información comunicada en 
forma oral, escrita y/o gráfi ca. 
Para comprender es posible 
utilizar la representación.
 Identifi car lo que entiendes 
de la información. 
 Relacionar lo que entiendes 
con lo que tú sabes.
 Expresar la información en 
otro tipo de formato.
Paso 1: Comprende el 
enunciado.
Paso 2: Planifi ca lo que vas a 
realizar.
Paso 3: Resuelve el problema.
Paso 4: Revisa la solución. 
28 Unidad 1 úmeros racionales
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
Fernanda ha dividido cada una de las tortillas que tiene en 8 trozos iguales. Se sabe que ella se ha comido la 
cuarta parte de los trozos de una tortilla y que Felipe se ha comido el doble que Fernanda. Por otra parte, Camilo 
dice que él se ha comido la mitad de lo que han comido juntos Fernanda y Felipe.
¿Cuántos trozos han comido Fernanda y Felipe juntos? ¿Está en lo correcto Camilo?
 aso 1 Comprende el enunciado
 Identifi ca lo que entiendes de la información.
¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema?
¿Qué información entrega el enunciado del problema?
 Relaciona lo que entiendes con lo que tú sabes.
¿Quién ha comido más trozos de tortilla?
 Expresa la información en otro tipo de formato.
 aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
 aso 3 Resuelve el problema
 aso 4 Revisa la solución
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema.
Una fi nca se divide en tres parcelas. La primera corresponde a los 
4
7
 de la superfi cie total de la fi nca, y la 
segunda corresponde a la mitad de la primera. ¿Qué fracción de la fi nca representa la tercera parcela?
29Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
 . Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta.
1 ¿Cuál de los siguientes números pertenece al 
conjunto de los números racionales?
A. 
0,2
5
B. –
7
0
C. –
2
5
D. –
3
0,3
E. 
0,1
0,01
2 ¿Cuál es el orden, de menor a mayor, de los 
siguientes números racionales?
a=–
2
3
, b=–
5
6
, c=–
3
8
A. a < b < c
B. b < c < a 
C. b < a < c
D. c < a < b
E. c < b < a
3 ¿Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones 
es(son) VERDADERA(S)?
I. Si m , entonces, m .
II. Si b  y a , entonces a + b = k; k .
III. Si x  y w , entonces x w = k; k .
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo III.
D. Solo I y II.
E. Solo II y III.
4 Si a es un número racional menor que –1, ¿cuál 
es la relación correcta entre las fracciones?
 p=
3
a
,, t=
3
a- 1
, r=
3
a+ 1
A. p < t < r
B. r < p < t
C. t < r < p
D. r < t < p
E. p < r < t
5 Sean a, b, c, d  distintos de cero. Si 
P=
a
b
+ d y T =
a
c
+ d, ¿cuál(es) de las siguientes 
igualdades es(son) siempre VERDADERA(S)?
I. P – T = k; k .
II. 
P
T
∈ 
III. P T 
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo I y II.
D. Solo II y III.
E. I, II y III.
6 Sebastián, Francisca y Florencia compran queso 
para hacer una pizza. Sebastián compró 260 g, 
Francisca 
1
4
 kg y Florencia 
3
8
 kg. ¿Cuál(es) 
de las siguientes afi rmaciones es(son) 
VERDADERA(S)?
I. Sebastián compró menos queso que 
Francisca.
II. Florencia compró más queso que Francisca.
III. Sebastián compró más queso que Florencia.
A. Solo I.
B. Solo II.
C. Solo III.
D. Solo I y II.
E. Ninguna de las anteriores.
30 Unidad 1 úmeros racionales
7 Para un trabajo que se hace en tres etapas se 
dispone de 60 hombres. En la primera etapa 
trabaja la cuarta parte del total de hombres 
disponibles y en la segunda, 2
3
 del resto. Si 
en la tercera etapa trabajan los hombres que 
quedaron, ¿cuántos trabajaron solamente en la 
tercera etapa?
A. La mitad del total.
B. Un tercio del total.
C. La mitad de los que trabajaron en la segunda 
etapa.
D. La mitad de los que trabajaron en la primera 
etapa.
E. Un tercio de los que trabajaron en la segunda 
etapa.
8 Al transformar a número decimal, ¿cuál de 
las siguientes fracciones se representa por un 
número decimal infi nito periódico?
A. 1
5
B. 2
3
C. 7
6
D. 9
2
E. 
23
12
9 El número decimal 1,313 es equivalente a:
A. 1,31
B. 13
C. 1,131
D. 1,313
E. 1,313
10 ¿Qué fracción representa al número decimal 
infi nito 153?
A. 
3223
150
B. 
212
900
C. 
646
3
D. 
1.398
9
E. 
2.153
990
11 ¿Cuál es el promedio entre los siguientes datos: 
2
3
;0,6;0,6 ?
A. 0,6
B. 1,,92
C. 6407
D. 
173
90
E. Ninguna de las anteriores.
12 El resultado de 1
3
8
–0,75
+
1
3
8
–0,25
 es:
A. 4
B. 
8
3
C. 
15
3
D. 16
3
E. –
16
33
13 Si t=
1
3
 y r=0,3, entonces, 
t –r
r
=
A. 0
B. 0,3
C. 0,03
D. 0,0333….
E. Ninguna de las anteriores.
3 Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
14 El resultado de 3,51–
2
6
:
9
6






 es:
A. 
3
45
B. 
11
15
C. 
13
45
D. 3
13
45
E. 3
11
15
15 Un niño bebe la mitad de un litro de jugo por 
la mañana, y en la tarde, 
11
3
 de lo que quedaba. 
¿Cuánto jugó bebió al fi nal del día?
A. 
5
6
L
B. 
1
6
L
C. 
1
3
L
D. 
2
3
L
E. 
4
5
L
16 Calcula el resultado de 
1
3
+
1
6
1
2
.
A. 
1
4
B. 
1
9
C. 
2
3
D. 
2
15
E. 
5
12
17 El resultado de 
2 2,6 – 3,8 
22,6 6 + 3,8 
 redondeado a la 
milésima es:
A. 0,7
B. 0,07
C. 0,074
D. 0,745
E. 0,744
18 El resultado de 
3
2
0,3 1,3
0,03
 
 






 es:
A. 11
B. 22
C. 
3
2
D. 
4
9
E. 
11
4
19 Al resolver 
00,93
31
33
 se obtiene:
A. 0,09
B. 0,99
C. 0,93
D. 9,3
E. 93
20 Si una persona debe recorrer 12,3 kilómetros 
y ya ha caminado 7.850 metros, ¿cuántos 
kilómetros le faltan por recorrer?
A. 4,45 km
B. 4,55 km
C. 5,55 km
D. 5,45 km
E. 6,62 km
21 Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad con 
2
1
3
 litros de agua. ¿Cuántos litros le faltan para 
llenarlo?
A. 2
1
3
B. 2
2
3
C. 1
2
3
D. 3
1
3
E. 3
2
3
32 Unidad 1 úmeros racionales
22 Si a = 1
3
–
1
4
2
3
 
, entonces:
A. a > 1
B. -1 > a
C. 1> a>
1
2
D. 
1
2
> a>–
1
2
E. –
1
2
> a>–1
23 Se defi ne a*b=
1
a b 
. Entonces, el resultado de 
2 * –
4
7
**
3
8






 es:
A. 
3
7
74
B. 
7
3
C. –
3
7
D. –
7
3
E. Ninguna de las anteriores.
24 
1
1+
1
1+
1
1+ 1
=
A. 1
B. 
2
5
C. 
3
5
D. 
5
2
E. 
55
3
25 Al restar 
1
3
 a los 
2
7
 de 9
4
8
 se obtiene:
A. 
6
21
B. 18
4
C. 
21
60
D. 
50
21
E. 
74
21
26 
–0,05
0,5– 5
=
A. 
1
9
B. 
1
811
C. 
–1
81
D. 
10
81
E. –
10
81
27 Los 
9
11
 de 33 son equivalentes a 
1
10
 de:
A. 0,27
B. 2,7
C. 27
D. 270
E. Ninguna de las anteriores.
28 El valor de 
3
2
+ 0,6 :
3
2
–






00,6






 es:
A. 0
B. 1
C. –1
D. 
5
13
E. 
13
5
33Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
evaluación sumativa
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
 . Lee atentamente el problema. Luego, resuelve.
1. Analiza el siguiente diagrama y luego responde.
¿Es 
mayor 
que 1?
Entrada
Salida
NO
SÍ
SalidaRestar 
1
2
Suman 
3
4
Restar 
1
4
Dividir por 
2
3
a. ¿Cuál es el valor que se obtiene al ingresar –
1
3
 en el esquema?
b. ¿Cuáles el valor que se obtiene al ingresar 1,27 en el esquema?
c. Si ingresas un número entero el esquema, ¿siempre se obtiene un número entero? ¿Y en el caso de los 
racionales? Explica y ejemplifi ca.
Escribe aquí tus ejemplos.
34 Unidad 1 úmeros racionales
Una técnica que facilita la retención de lo estudiado para después realizar un repaso efi ciente es el cuadro 
sinóptico. Se trata de un resumen esquematizado, cuya ventaja es permitir que el contenido se visualice de 
manera estructurada y organizada.
Completa la tabla que muestra algunos de los temas trabajados a lo largo de la unidad.
Números racionales.
Clausura en .
Números decimales infi nitos 
periódicos.
Números decimales infi nitos 
semiperiódicos.
Aproximación en por 
redondeo.
Aproximación en por 
truncamiento.
Adición y sustracción de números 
racionales.
Multiplicación y división de 
números racionales.
Contenido Defi nición o procedimiento Ejemplo
35Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
Organizar favoritosOrganizar favoritos
Ahora que tienes claras las ideas principales, elabora un mapa conceptual que te permita relacionar algunos 
conceptos clave trabajados en la unidad. 
Conceptos clave Número racional Clausura en 
 Números decimales infi nitos periódicos Números decimales infi nitos semiperiódicos
 Aproximación en por redondeo Aproximación en por truncamiento
 Adición y sustracción de números racionales Multiplicación y división de números racionales
A continuación, te presentamos algunos datos fundamentales de esta unidad. No los olvides, pues te 
seguirán siendo útiles.
Herramientas
Números racionales
2
3
1
5
–
distinto de 0
∈ 
∈ 
Representación en la recta 
numérica
1
5
–
2
3
–1 10
Números infi nitos periódicos
Parte entera Periodo
2,37
Transformación de un número 
decimal infi nito periódico a 
fracción.
2,37=
237– 2
99
=
235
99
Números infi nitos semiperiódicos
Parte entera Periodo
Anteperiodo
–1,375
Transformación de un número 
infi nito semiperiódico a fracción
–1,375=–
1.375- 13
990
=–
1.3622
990
=–
227
165
Aproximación en 
Ejemplo: 0,768932783…
• Por redondeo (a la milésima) 
0,769
• Por truncamiento (a la 
milésima) 0,768
Adición y sustracción en 
• Igual denominador
7
9
+
10
9
–
2
9
=
15
9
=
5
3
• Distinto denominador
1
3
–
3
8
+
1
2
=
1 8– 3 3+ 1 12
24
=
8 – 9+ 12
24
=
11
24
Multiplicación en 
 
 
 
2
9
6
5
=
2 6
9 5
=
12
45
=
4
115
División en 
4
5
: –
7
2
=
4
5
–
2
7
=–
8











 
335
36 Unidad 1 úmeros racionales
Cerrar sesión
 
Nivel de logro
7
4
17
Evalúa tu desempeño a partir del logro alcanzado para cada contenido. 
 ¿Qué contenidos podrías enseñarle a una compañera o compañero que no los haya entendido?
 ¿Qué temas debes repasar? ¿Qué harás para reforzarlos?
 ¿Qué califi cación te pondrías de acuerdo a lo que has aprendido a lo largo de la unidad? ¿Por qué?
Mi estado
37Matemática 1° medio uevo Explor@ndo
 
Unidad
Potencias
 l origen del ajedrez está rodeado de discrepancias y desacuerdos entre historiadores 
y estudiosos del tema. A todo ello hay que añadir las numerosas leyendas y anécdotas 
que acompañan al juego. Una de ellas tiene relación con la popular leyenda india del rey 
Ladava, quien quiso recompensar a un joven sacerdote brahmán, Lahur Sessa, por haberle 
sacado del estado de angustia en el que se encontraba mediante el uso del ajedrez. l rey 
le ofreció joyas, palacios y territorios. Sin embargo, el joven solo quiso un grano de trigo 
por la primera casilla del tablero del juego, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho 
por la cuarta y así sucesivamente, hasta llegar a la última casilla. La leyenda cuenta que 
todo el trigo del reino no alcanzó para satisfacer su petición. 
 Qué? Para qué? Dónde?
 otencias. Extender las potencias de base racional y exponente natural a 
base racional y exponente entero.
 áginas 40 a 47.
 ropiedades de las potencias. Aplicar las propiedades de las potencias de base racional y 
exponente entero.
 áginas 48 a 53.
Operaciones combinadas y 
aplicaciones.
Resolver problemas que involucren potencias y contextualizar 
las soluciones.
 áginas 54 a 57.
 8 Unidad 2 Potencias
 
Abrir sesión
Considerando la información de la página anterior, responde:
 ) ¿De qué se trata la lectura?
2) ¿Qué expresión permite calcular la cantidad de granos de trigo que Lahur Sessa le pidió al rey Ladava? 
Utiliza potencias de base 2.
3) ¿Cómo se lee el número 18.446.744.073.709.551.615?
Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una situación para resolver otra no enfrentada 
previamente.
 nicializando
Si en el puente de la fi gura se tiene que a cada cable lo sigue otro cuya 
longitud es 
5
6
 del anterior, ¿cuál es la longitud de cada uno de los cuatro 
cables considerando que el pilar que se observa en la fi gura tiene una 
longitud de 50 m y el largo del cable 1 también es 
5
6
 del largo del pilar?
 ) ¿Qué se desea conocer al resolver el problema?
 
 
2) ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema?
 
 
3) ¿Se logrará precisar una respuesta exacta? ¿En qué te basas para interpretar eso?
 
 
4) Representa la información del problema planteando expresiones que contengan potencias.
5) Si a continuación del cable 4 el puente tuviera tres cables más, ¿qué longitud tendría cada uno de ellos?
 ilar
Cable 1
Cable 2
Cable 3
Cable 4
 9Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Al ultiplicar en for a iterada un mismo factor se tiene: 
 a a .... a = an; a ; n 
 n veces a como factor
an se llama potencia.
a es la base.
n es el exponente.
Eje plos:
 (–2)3 = (–2) (–2) (–2) = –8 
 23 = 2 2 2 = 8
 –34 = –(3 3 3 3) = –81
Potencias de base entera y exponente natural
Si a , n , es posible expresar una multiplicación de n factores a de la 
siguiente manera:
a a ..... a = an
n veces a como factor
La expresión an representa una multiplicación iterada que se defi ne como potencia, 
donde a es la base de la potencia y n es el exponente de la potencia. Si se resuelve 
la multiplicación iterada, su producto se conoce como valor de la potencia.
 . Representa como potencia las siguientes multiplicaciones iteradas.
a. 5 5 5 5 5 5 = d. 111 111 111 111 = 
b. (–6) (–6) (–6) = e. (–8) (–8) (–8) = 
c. (–3) (–3) (–3) (–3) = f. 12 12 12 12 12 = 
2. Representa como una multiplicación iterada las siguientes potencias.
a. –116 = d. 443 = 
b. –25 = e. (–22)3 = 
c. (–7)4 = f. 1234 = 
3. Relaciona la potencia de la columna A con su valor en la columna B. Para ello, 
escribe en la columna B la letra que corresponda.
 Columna A Columna B
a. –74 –625
b. (–7)5 –64
c. –54 –16.807
d. (–6)3 256
e. (–4)3 –216
f. (–2)8 –2.401
Para grabar
(–2)6 –26
64 –64
 = {1, 2, 3,…}
0n = 0, n .
Ayuda
40 Unidad 2 Potencias
4. Analiza la siguiente tabla. Luego, complétala según corresponda.
5. Representa cada número como una potencia de base positiva y también como 
una potencia de base negativa. Luego, responde.
a. 49 c. 121
b. 64 d. 169
 ¿Por qué las potencias anteriores de cada caso tienen el mismo valor, 
independiente si la base es positiva o negativa? Explica en forma detallada. 
6. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si la base de una potencia es mayor que cero y su exponente es par, ¿su 
valor es mayor o menor que cero? ¿Y si su exponente es impar? Justifi ca tu 
respuesta.
b. Si la base de una potencia es menor que cero y su exponente es par, ¿su 
valor es mayor o menor que cero? ¿Y si su exponente es impar? Justifi ca tu 
respuesta.
41Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Potencias de base entera y exponente entero
En la sección anterior se recordaron las potencias de base entera y exponente 
natural. Ahora seestudiará el caso en que su exponente es un número entero. Esto 
pone de manifi esto la importancia de defi nir en qué conjunto numérico se está 
trabajando. Luego:
Si n > 0, an = an.
Si n = 0, an = 1; con a 0.
Si n < 0, an = 
1
a–n
; con a 0.
Para el caso a0 se tiene que su valor es , siempre que a 0. Esta interesante 
propiedad se demostrará más adelante. El valor de 00 no está determinado.
Recuerda que el conjunto de 
los números enteros ( ) 
corresponde a la unión entre los 
números enteros positivos, los 
números enteros negativos y el 
cero. Es decir:
 = – ∪ {0} ∪ +
Donde:
 – = {-1, -2, -3, …}
 + = {1, 2, 3, …}
Ayuda
 . Expresa como potencias de exponente entero positivo. Luego, calcula su valor.
a. 7–5 = c. 8–4 = e. 3–2 = g. (–3)–4 =
 
b. 5–4 = d. 10–6 = f. 12–6 = h. –7–2 =
 
2. Expresa cada expresión como una potencia de exponente entero negativo. Luego, calcula su valor.
a. 
1
6
=
3
 c. 
1
10
=
6
 e. 
1
(–1)
=
4
 g. 
1
(–3)3
==
 
b. –
1
3
=
5
 d. 
1
9
=
6
 f. 
1
(–2)
=
5
 h. 
1
(–5)
=
4
 
Se denomina potencia de base entera y exponente 
entero a toda expresión de la forma an, donde:
 an si n > 0
 1 si n = 0; a 0
 
1
a–n

 si n < 0; a 0
Eje plos:
 7 =
1
7
=
1
343
–3
3
 (–5) =
1–5
((–5)
= –
1
3.1255
 –2 = –
1
2
= –
1
8
-3
3
an =
Para grabar
42 Unidad 2 Potencias
3. Calcula el valor de las potencias. Luego, resuelve la adición.
a. 3–4 + 3–2 = d. –5–2 + 5–3 = 
b. 6–2 + 6–3 = e. –4–4 + 4–2 = 
c. 2–2 + 2–4 = f. –104 + 102 = 
4. Calcula el valor de las potencias. Luego, resuelve la multiplicación.
a. 3–4 3–2 = d. (–6)–2 (–6)–2 = 
b. 5–2 5–3 = e. –12–3 (–12–5) = 
c. 8–1 8–5 = f. 10–5 10–5 = 
5. Analiza la resolución del siguiente problema. Luego, resuelve en tu cuaderno y 
escribe tu resultado en la casilla.
1
8
–5 =
1
1
8
–
1
5
=8
-3
–2
3
2
3
 ( )






––
1
5
=512 –
1
25
=–
5
2












 
112
25
a. –
1
7
(–3) =
–3
–2
 e. 
–1
–(–55)
4 =
–3
–3
 
b. 
1
(–4)
(–2 )=
–5
8
 f. 12 –
–1
4
=–2
–3
 






 
c. –3 –
5
 
11
(–9)
=
–2





 g. –(–3)
––3
–2
–
1
(–11)
= 






 
d. –
1
(–6)
(–2 )=
2
–8
 h. 
–3
–
–1
(–10)
–( ––2) =–7( )
4 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Potencias de base racional y exponente entero
Ahora que ya has trabajado con potencias de base y exponente entero, a 
medida que avances en tus estudios ocuparás distintos conjuntos numéricos. 
A continuación, se defi nirá qué ocurre cuando se tiene como base un número 
racional, es decir, si pertenece al conjunto , y su exponente es un número entero.
Si se tiene una potencia cuya base es un elemento 
c
d
 del conjunto  y su exponente 
es un número entero n, se tiene que:
Sin>0,
c
d
=
c
d
.
n n












 
Sin==0,
c
d
=1;con
c
d
0.
n






≠ 
Sin<0,
c
d












≠
n –n
=
d
c
;con
c
d
0. 
 ¿Se observan diferencias entre los valores de las potencias de base entera y 
exponente entero y las potencias de base racional y exponente entero? Justifi ca.
Se denomina potencia de base racional y 
exponente entero a toda expresión de la 
forma 
c
d
n






, donde:
cc
d
=
c
d
Si n> 0
n
n












..
1 Si n = 0,
c
d
0.
d
c
≠






≠
 




–n
Si n<0,
c
d
0.
Eje plos:
 






3
7
=
3
7
3
7
3
7
3
7
=
8
4
 
11
2.401
 –
2
3
= –
3
2
= –
–2 2












33
2
–
3
2
=
9
4












 
 –
5
4


















–3 3
= –
4
5
= –
4
5 












 –
4
5
–
4
5
= –
64
1225
En general:
c
d
=
c
d
n
n
n






; con d, n , d 0 y n > 0.
Para grabar
Recuerda que el conjunto de los 
números racionales () es de la 
siguiente forma:
 =
c
d
; c, d , d 0∈ ≠
 







Ayuda
 . Calcula el valor de cada una de las siguientes potencias.
a. 



2
5



3
= d. –
2
3






6
= 
b. 






–2
3
7
= e. 






–3
–
12
3
= 
c. 






7
9
5
= f. 





–
9
4

3
= 
44 Unidad 2 Potencias
2. Calcula el valor de las siguientes expresiones.
a. 
–2
3
5
5
–
–(– )
 = e. 
2
2
5
13
–
(– )
–
–
 = 
b. 
1
1
1 001
1 110
– .
– .
–
(– )
(– )
 = f. 0 3( , )––3 = 
c. 
4
3
–





3
 = g. ––( , ) 22 86 = 
d. 






2
12
15
–
–
–
 = h. 
–
–
(– )
(– )
5
4
13
13
 = 
3. Calcula las potencias de la columna A y relaciónalas con su valor en la columna 
B. Para ello, escribe la letra que corresponda en la columna B.
 Columna A Columna B
a. 
–
–
–
–
–(– )
5
5
4
16
9
256
–
b. –
33
233
 4
c. 
4
4
5
10
–
(– )
 9
d. 
2
2
15
5
(– )
(– )
1
16
–
e. 
2
2
7
14
(– )
(– )
-
-
289
9
f. 
17
3






2
 1.024
g. 
2
2
16
3
–
(– )
(– )
–
–
27
8
–
Considera que:
c
d
=
c
d
n
n
n






 porque:
c
d
=
c
d
c
d
.
n






 ...
c
d
= (c c ... c)
1
d
1
d
...
1
d
 
 






== c
1
d
= c
1
d
=
c
d
n
n
n
n
n
n
 
 






 
¿Qué restricciones deben tener 
c, d y n?
Desafío
n factores 
c
d
n factores c
n factores 
1
d
45Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
evaluación formativa
Analizando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
 otencias de base entera y exponente natural.
1 Representa como potencia las siguientes multiplicaciones iteradas.
a. 2 2 2 = c. 8 8 8 8 = e. 15 15 15 15 15 15 =
 
 
b. 12 12 12 = d. 4 4 4 4 4 = f. 250 250 250 250 250 =
 
2 Representa como potencia. Luego, calcula su valor. 
a. Base 3, exponente 5. e. Base 2, exponente 7. 
b. Base 8, exponente 2. f. Base 12, exponente 3. 
c. Base 5, exponente 4. g. Base 15, exponente 3. 
d. Base 10, exponente 6. h. Base 25, exponente 2. 
3 Resuelve el siguiente problema.
Unos chocolates son empaquetados por docena en bolsas. Si se ponen 12 de estas bolsas en una caja 
pequeña, y para su distribución, 12 cajas pequeñas van en una grande, responde:
a. ¿Cuántos chocolates contiene cada caja pequeña y cuántos, cada caja grande?
b. Si se transportan 12 cajas grandes, ¿cuántos chocolates contiene el transporte?
 otencias de base entera y exponente entero.
4 Calcula el valor de cada expresión.
a. (–3)–4 = e. –(–2)–10 = i. –(–3)–4 = 
b. –8–3 = f. –(–3)–5 = j. (–2)–11 = 
c. 6–4 = g. –(–1)–100 = k. –(–8)–3 = 
d. 5–5 = h. –11.025 = l. (–7)–4 = 
46 Unidad 2 Potencias
 otencias de base racional y exponente entero.
5 Calcula el valor de las siguientes expresiones.
a. 
1
2
–4






 = d. 






5
–
2
3
 = g. –
–27
–9
–5






 = 
b. –
11
66
–2






 = e. 






4
– –
1
3
 = h. 
(–25)
(–5)
–5
–5
 = 
c. –
3
4






–4
 = f. –– –
5
4
–1






 = i. –
(–1)
(–2)
–2.002
–11
 = 
6 Resuelve las siguientes ecuaciones.
a. (–3)x = 81 x = g. 
–7
–211
=9
t






 t = 
b. y3 = 1.331 y = h. 2 =
1
4
u u = 
c. z =–
8
27
3
 z = i. 
–5
–15
= j
3






 j = 
d. 
1
22
=
1
4
p






 p = j. (–3)k = 729 k = 
e. (–15)q = 1 q = k. a–3 = –8 a = 
f. 
–5
–15
=r
-3






 r= l. 
–55.200
–1.300
=64
w






 w = 
7 Evalúa cada afi rmación. Luego, completa con V si es verdadera o F si es falsa.
a. El valor de toda potencia cuya base es distinta de cero y su exponente es cero será cero.
b. Si la base de una potencia es 
1
4
 y su exponente es –4, su valor es un número entero negativo.
c. Si la base de una potencia es menor que cero y su exponente es un número par, su valor es mayor 
que cero.
d. El valor de una potencia de base y exponente menor que cero es siempre mayor que cero.
e. Si la base de una potencia es –
4
9
 y su exponente es –1.000, su valor es un número racional mayor 
que cero.
f. El exponente de una potencia representa si el valor de la potencia es un número racional o no.
g. Si la base de una potencia es un número racional y su exponente es un número entero positivo, 
su valor siempre es un número entero.
47Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
 . Analiza las siguientes justifi caciones de las propiedades presentadas.
Multiplicación de potencias de igual base y exponentes distintos
Se considerarán las potencias an y am, donde a , n, m y se excluyen los 
casos 00 y 0n, con n < 0.
Como: an = a a ... a y am = a a ... a
 n factores a m factores a
Se tiene que: an am = a a ... a a a ... a = a a ... a a a ... a = an+m
 n factores a m factores a n + m factores a
Por lo tanto: an am = an+m
Multiplicación de potencia de distinta base y exponentes iguales
Se considerarán las potencias an y bn, donde a, b , n y se excluyen los 
casos 00 y 0n, con n < 0.
Como: an = a a ... a y bn = b b ... b
 n factores a n factores b
Se tiene que: an bn = a a ... a b b ... b / agrupando
 n factores a n factores b
 = (a b) (a b) ... (a b)
 n factores (a b)
 = (a b)n
Por lo tanto: an bn = (a b)n
Propiedades de la ultiplicación y 
de la división de potencias
En páginas anteriores se ha explicado y practicado el cálculo del valor de una 
potencia. Además, en cursos previos has aplicado algunas propiedades de las 
potencias, relacionadas con las operaciones básicas. A continuación se presentará 
una justifi cación de estas propiedades.
La propiedad recíproca es:
am + n = am an, con a  y m, 
n .
La propiedad recíproca es:
Para saber más
La propiedad recíproca es:
(a b)n = an bn, con a, b  
y n .
La propiedad recíproca es:
Para saber más
Multiplicación de potencias
Igual base y distintos exponentes Distinta base y exponentes iguales
Propiedad: para multiplicar potencias de igual 
base y distintos exponentes se conserva la base 
y se suman los exponentes.
an am = an + m = am + n
Donde a , n, y se excluyen los 
casos 00 y 0n, con n < 0.
Eje plo: 65 68 = 65 + 8 = 613
Propiedad: para multiplicar potencias de distinta base 
e iguales exponentes se multiplican las bases y se 
conservan los exponentes.
an bn = (a b)n = (b a) n
Donde a, b , n y se excluyen los casos 00 y 
0n, con n < 0.
Eje plo: 34 54 = (3 5)4 = 154
Para grabar
48 Unidad 2 Potencias
2. Aplica las propiedades anteriores para resolver las siguientes operaciones. Escribe el resultado.
a. –63 (–62) = d. 
1
2
0,5
4
5






 = g. 












5 5
1
2
8
9
 = 
b. –59 (–53) = e. –2–5 (–24) = h. 
3
44
3
4
–7 2












 = 
c. 27 34 = f. 
2
3
3
2
–3








 



–3
 = i. 
2
5












–7 –7
25
4
 = 
3. Calcula las expresiones de la columna A y relaciónalas con las de la columna B. Para ello, escribe en la columna 
B la letra correspondiente.
 Columna A Columna B
a. 






–1
1
2
8
 
5
4
–2






4
3
b. 
2
3
6
9
–3












–2






–1
7
8
c. 






–3
–2
0,75
4
3
 –27
d. 

5-2
2
4
 





–2
 26 33
e. 












–3
7
8
8
7
 
–2


4
5




3
f. 12 32 24 






5
3
2
4. Analiza el siguiente ejemplo. Luego, resuelve.
103 204 = (5 2)3 (10 2)4 = 53 23 (5 2 2)4 = 53 23 54 24 24 = 53 + 4 23 + 4 + 4 = 57 211
a. 153 254 = d. 4251 8410 = 
b. 543 485 = e. 1502 153 = 
c. 406 502 = f. 993 1215 = 
5. Verifi ca las siguientes igualdades sin calcular el valor de las potencias. Luego, responde.
a. 22 + 22 = 23 b. 33 + 33 + 33 = 34 c. 44 + 44 + 44 + 44 = 45 
 
 ¿Cómo se expresa 2324 mediante la adición iterada de una potencia de base 23? 
49Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
6. Analiza la siguiente justifi cación de la propiedad presentada.
División de potencias de igual base y exponentes distintos
Se considerarán las potencias an y am, donde a  – {0}, n, m .
Como: an = a a ... a y am = a a ... a
 n factores a m factores a n factores a
Se tiene que: a :a =(a a … a):(a a … a)=
an m
 
 aa a a a a ... a
a a a a
 
 aa a ... a 
 n factores a m factores a m factores a
Luego, si n > m y se simplifi can m factores a, se tiene: n – m factores a
 an : am = a a a a a a ... a = an – m
Mientras que, si n < m y se simplifi can n factores a, se tiene:
 a :a =
1
a a a a a
n m
 aa ... a
=
1
a
=
1
a
=a
m–n –(n–m)
n–m
 
 m - n factores a
Del mismo modo, si n = m, se tiene que:
a :a =an m nn n n–n 0
n m n n
n
n
: a =a =a
a :a =a :a =
a
a
=1





Como a :a =a y a :a =1,se tieneque a =1n m 0 n m 0 .
7. Aplica la propiedad descrita para determinar el valor de cada potencia.
a. 105 : 104 = d. -3–4 : (-34) = g. 






6
-52
4
:0,5 = 
b. –27 : (–22) = e. 
1
3












6 2
:
1
3
 = h. 
2
3












–7 –2
:
6
9
= 
c. 49 : 4–2 = f. 






5
2






–9 5
:
5
2
 = i. 16 : 23 = 
División de potencias de igual base y exponentes distintos
Propiedad: para dividir potencias de igual base y distintos exponentes se conserva la base y se restan los 
exponentes.
an : am = an – m; donde a  – {0}, n, .
Caso 1: 
Si n > m:
an : am = an – m; 
donde n – m > 0.
 98 : 96 = 98 – 6 = 92 = 81
Caso 2: 
Si n < m:
an : am = an – m; donde n – m < 0, 
se tiene que a : a = a =
1
a
n m – (m–n)
m – n
 7 : 7 = 7 =
1
7
=
1
49
4 6 –2
2
 
Caso 3: 
Si n = m:
an : am = an – m; donde n – m = 0, 
se tiene que an : am = a0 = 1. 
 (–3)4 : (–3)4 = (–3)4 – 4 = (–3)0 = 1
Para grabar
50 Unidad 2 Potencias
8. Analiza la siguiente justifi cación de la propiedad presentada.
División de potencias de distinta base y exponentes iguales
Se considerarán las potencias an y bn, donde a , b  – {0}, n .
Como: a =a a … ayb =b b … b
n n
 
 n factores a n factores b
 n factores a
Se tiene que: a :b =(a
n n
 a … a):(b b … b)=
a a a a
 
 a a … a
b b b b b
 
 b … b 
 n factores a n factores b n factores b
 
Recuerda que 
a b
c d
=
a
c
b
d
 
 
 , luego, aplicando esta propiedad se tiene:
 n factores a
a :b =
an n a a a a a … a
b b
 
 b b b b … b
=
a
b
a
b
…
 
 
a
b
=(a:b) (a:b) … (a:b)=(a:b)n 
 n factores b
Por lo tanto, an : bn = (a : b)n.
9. Analiza la propiedad descrita para determinar el valor de cada potencia. 
Escríbelo en la casilla.
a. 104 : 54 = c. 
2
3












3 3
:
5
3
 = 
b. 9–2 : 3–2 = d. 






6
3
4
:0,,56 = 
 0. Analiza las siguientes igualdades y verifi ca si se cumplen. Justifi ca.
a. 
2a
b
:
3b
a
=
2
3
n n











; a, b ; n , a, b  0. b. 
c
d
a
b
:
b d
a c
q
 
 
 


















p q+p
=
c a
d b
 
 
; a, b, c, d ; q, p , a, b, c, d  0.
 
División de potencias de distinta base y exponentes iguales
Propiedad: para dividir potencias de distinta base e iguales exponentes se dividen las bases y se conservan 
los exponentes.
an : bn = (a : b)n, donde a , b  – {0} y n .
Caso 1: 
Si a = 0 y n > 0:
an : bn = (0 : b)n = 0n = 0.
 08 : 68 = (0 : 6)8 = 08 = 0
Caso 2: 
Si a = 0 y n = 0:
an : am no está deter inado, ya 
que se llega a la forma 00.
Caso 3: 
Si a = 0 y n < 0:
an : am no está deter inado, ya 
que se llega a la forma 
1
00
. 
Para grabar
51Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Potencia de una potencia
Así como se analizaron las propiedades de la multiplicación y división de potencias 
ahora se estudiará la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia. Al 
igual que en las anteriores, se presentará la propiedad y luego se propondrá una 
justifi cación de ella.
 . Analiza la siguiente justifi cación de la propiedad presentada.
Se considerará la potencia an, donde a  – {0} y n .
Como: an = a a ... a
 n factores a
 m veces n factores a
Sea m , entonces: (an)m = a a ... a a ... a a ... a ... a a = an m
 n factores a n factores a n factores a
 
Por lo tanto: (an)m = an m
2. Aplica la propiedad anterior para calcular el valor de las siguientes potencias. 
Escribe tu resultado.
a. 
2
0,2
3
5
–2
–2






 = d. (–65)–3 = 
b. 5
1
5
–9












0
 = e. 



2
3







4
3
 = 
c. 






–6
–6
0,75
3
4
 = f. 









–5
7
2




0
 = 
Potencia de una potencia
Se denomina potencia de una potencia a aquella cuyo exponente es otra potencia. Por ejemplo, (22)3, 
((-4,5)3)-1, etc. En este tipo de potencias se puede aplicar la propiedad de conservar la base y multiplicar los 
exponentes.
(an)m = an m; a  – {0}, n, m . 
 –
3
4
= –
3
4
2
3
























2 3 6
= –
3
4
=
729
4.096
 
 


–
1
2















-2
3
= –
1
2
--2 3 -6
6= –
1
2
= (–2) = 64
 






Caso 1: 
Si a = 0, n, m 0:
(an)m = 0
Caso 2: 
Si a  0, n = 0 y/o m = 0:
(an)m = 1 
Para grabar
52 Unidad 2 Potencias
3. Calcula mentalmente el valor de las siguientes potencias.
a. 
–2
1
1
2
–2
–2






 d. 






-3
6
3
113
39
-3












2
 
b. 
5
10
1
2
–5


















–5
–22
 e. 












–2
–3
45
9
1
5






2
 
c. 
–8
–5
13
26
1
2


















0
 f. 
–2


–80,5
1
2




–5
 
4. Calcula las expresiones de la columna A y relaciónalas con las de la columna B. 
Para ello, escribe en la columna B la letra correspondiente.
 Columna A Columna B
a. ( )2
–2
(–3)
1
729
b. 






0,125
0,375






2
–3
1
64
c. 









2
22
11



–3
 4
d. 
23
3 1
81
e. 












–1
5
15 
–6
 6.561
f. –(–2–1)–2 729
5. Resuelve el siguiente problema.
 Un hexaedro regular tiene una capacidad de 64 cm3. Si una de sus aristas 
disminuye 1 cm, ¿cuál es la potencia que representa al nuevo volumen?
2 = 2
2 = 2
2 2
2 8
2 3 6
2 2 3
3
3
( )
( )





≠
En general:
≠( )a am m
nn
Ayuda
5 Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Potencias: operaciones co binadas
Ya fueron presentadas algunas propiedades de potencias con sus respectivas 
justifi caciones. Ahora se plantean un par de páginas en las que trabajarás estas 
propiedades de manera simultánea.
 . Aplica las propiedades descritas en las páginas anteriores para calcular el valor de las siguientes expresiones. 
Puedes ayudarte con una calculadora si lo necesitas.
a. 
4 3 9 8
27 2
=
2 3
5
 
 
 
e. 






–3
5
2
2 ,,5 =–3
b. 
8 2 7
2 98
=
3
5
 
 






 
f. (–0,7)–4 (–0,7)–6 =
c. 
3
4












6 –5
:
3
4
=
 
g. 
2 2,5 8
3,5 32
=
3 –3
–4
 
 
d. 






5
–
2
3
–
9
 
44
–
1
3
=
5 –5












 
 
h. 
2 52 3
3
 (22 5
2 5 2 5
=
3 2 5
3 3 8 4
) 
 
En ejercicios que contengan potencias y operatoria combinada intenta aplicar propiedades que permitan 
simplifi car los cálculos.
Eje plos:
 
 
 
3 3 3
9 9
=
2 2
3
5
( ) 33 9
9
=
3
9
=
3
81
=
1
27
3
5 2
 
 
3
2
1,5
0,2
4
–4
 





 55
=
3
2
3
2
1
4
2
4
–4















 
















2
4 –4
=
3
2
3
2
1
 
44
=
3
2
1
4
2
0





























2 2
–2
2=
1
1
4
=
1
4
= 4 = 166
1
1 92 27
11
Para grabar
54 Unidad 2 Potencias
2. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a. 53 5x = 57 d. 11z : 115 = 110 g. 
9
a
210
10
=10 j. 
88
64
=8
6
m
4
b. (152)y = 152 e. (2r)3 = 212 h. 






2
3
55 v 0
:
2
3
=
2
3












 k. 
3
5
=
25
2
n











 99
c. 
1
4
:2 =b ;b 0.
5
t 0






≠ f. 
17
59
p












2
=1 i. 
25
9


















14 –x 4
:
81
5
=
5
3
 l. 
9
81
=729
k
3
3. Aplica las propiedades de potencias para completar con >, < o = según corresponda.
a. 28 83 c. 94 35 e. 38 272 g. 96 272
b. 44 167 d. 75 492 f. 57 1253 h. 144–2 24–2
4. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si el área de un cuadrado es 1012 cm2, ¿cuál es la medida de sus lados?
b. Una fi gura rectangular tiene una superfi cie de 203 cm2. Si uno de sus anchos mide 64 cm, ¿cuánto mide uno 
de sus largos? Expresa tu respuesta como una potencia de exponente 3.
c. Se tienen 2 cuadrados cuyas áreas son 9 cm2 y 16 cm2. Si se dibuja un tercer cuadrado cuyo lado mida la 
suma de las longitudes de dos lados de los cuadrados anteriormente descritos, ¿cuál es el área que tendría el 
nuevo cuadrado dibujado?
d. Si una pared tiene forma cuadrada y una fi la de baldosas que la compone tiene 52 baldosas de 202 mm de 
lado cada una, ¿cuáles son las dimensiones de la pared? 
55Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
contenidoevaluación
c
c
e
e hh
r
resolución
Aplicaciones
En algunas de las actividades planteadas en páginas anteriores se han aplicado las 
potencias a la Geometría, pero no tan solo a esa área, sino también a otras, como 
a la Física. La energía cinética (E
c
) corresponde a aquella que se manifi esta en los 
objetos que se mueven. La expresión asociada a la energía cinética de una masa 
(m) está dada por:
E =
1
2
mv
c
2
Donde m se expresa en kg y la rapidez (v) en 
m
s
. Por lo que, la medida en la que se 
expresa la energía cinética es: kg
m
s
2
2
 . Por ejemplo, para calcular la energía cinética 
(E
c
) de un automóvil de 700 kg que se mueve a una rapidez de 30 
m
s
 se realiza lo 
siguiente: s
E =
1
2
mv =1
2
700kg 30
c
2
 
mm
s
=350 k
2






gg 900
m
s
=315.000k
2
2
 
gg
m
s
2
2
 
En diversas ramas de la ciencia se suelen ocupar potencias para, a juicio de algunos, facilitar los cálculos y 
permitir realizar una escritura de las fórmulas de manera más específi ca y simple.
 Teore a de Pitágoras Rapidez Energía cinética Volu en de una esfera
 c2 = a2 + b2 v =v =
d
t
 E =
1
2
mv
c
2
 V =
4 r
3
3π
Para grabar
 . Resuelve los siguientes problemas de energía cinética.
a. La energía cinética de un móvil es de 2,25 105 kg
m
s
2
2
 . Si la masa del móvil 
es de 500 kg, ¿cuál es su rapidez?
b. ¿Cuánto disminuye la energía cinética de un automóvil de 400 kg si su 
rapidez varía de 25 
m
s
 a 15 
m
s
?
56 Unidad 2 Potencias
2. Analiza la siguiente información. Luego, responde.
Ley de gravitación universal: dos cuerpos de masa m
1
 y m
2
, separados por una 
distancia r, se atraen con una fuerza (F) directamente proporcional a las masas 
e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Es decir:
F=G
m m
r
1 2
2
 
 
Las masas m
1
 y m
2
 se expresan en kg y r se expresa en metros. G se denomina 
constante de gravitación universal y su valor corresponde a:
G=6,67 10
Nm
kg
–11
2
2
 
a. Calcula con qué fuerza (F) se atraen la Tierra (5,98 1024 kg) y la Luna 
(7,14 1022 kg), sabiendo que la distancia entre ellas es de 384.000 km, 
aproximadamente. Transforma los km a m.
b. Calcula con qué fuerza (F) se atraen dos cuerpos en el espacio masas son de 
1 kg y 2 kg y están situadas a 0,5 m de distancia una de la otra.
c. Si la distancia entre los cuerpos en el espacio del problema anterior aumentara 
al doble, ¿cómo varía la fuerza de atracción (F) entre ellas? Justifi ca.
 
Justifi ca aquí:
d. ¿Crees que la conclusión obtenida en la pregunta anterior se mantendrá para 
cualquier par de cuerpos en el espacio? Justifi ca.
Realiza tus cálculos aquí.
La fuerza de atracción (F) 
entre dos cuerpos depende de 
la masa que estos tengan y de la 
distancia que los separa.
N (Newton) es la unidad 
de medida de la fuerza y 
corresponde a:
N = kg
m
s2
 
Para saber más
57Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
c
c
r
rre
so
luc
ión d
e problem
as
cont
enido
hh
e
eval
uación
Resolución de problemas
Trabajo de habilidades
Potencias y resolución de problemas
1 Analiza la resolución del siguiente problema.
 Un tipo de bacteria se triplica cada hora en el organismo de un animal. Si en el 
momento que le diagnostican la enfermedad el animal tenía 20 bacterias, ¿cuán-
tas bacterias tendrá el animal transcurridas 8 horas?
 aso 1 Comprende el enunciado
 ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema? 
 a cantidad de bacterias que se triplican día a día, teniendo presente que en 
el principio hay 20 bacterias.
 ¿Qué información entrega el problema?
El número de bacterias en un comienzo.
 aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
 Se debe determinar la cantidad de bacterias al cabo de 8 días. Para ello, puedes 
ocupar potencias de base 3 y exponente 8, ya que se entrega la información de 
que estas se triplican cada día.
 aso 3 Resuelve el problema
Aplicar consiste en usar un procedimiento aprendido en una 
situación para resolver otra con la que no se está familiarizado. 
Para ello, debes:
 aso 4 Revisa la solución
Al calcular 38 20 se tiene que: 
38 20 = 3 3 3 3 3 3 3 3 20 = 131.220.
¿Qué tengo que hacer para 
aplicar un procedimiento?
¿Qué es aplicar?
Etapas de la resolución 
de problemas.
Aplicar consiste en llevar a 
cabo o utilizar un procedimiento 
en una situación dada.
 Interpretar la información 
entregada en el problema 
utilizando la representación. 
 E plear el procedimiento 
propuesto en la resolución 
del problema.
 aso 1: Comprende el 
enunciado.
 aso 2: lanifi ca lo que vas a 
realizar.
 aso 3: Resuelve el proble a.
 aso 4: Revisa la solución. 
 Interpreta la información. Emplea el procedimiento.
Por lo tanto, al cabo de 8 horas, el animal tendrá 131.220 bacterias.
 eriodo Cantidad de bacterias
0 20
1 3 20
2 3 3 20
3 3 3 3 20
4 3 3 3 3 20
5 3 3 3 3 3 20
6 3 3 3 3 3 3 20
7 3 3 3 3 3 3 3 20
8 3 3 3 3 3 3 3 3 20
 eriodo Cantidad de bacterias
0 20
1 3 20
2 3 3 20
3 3 3 3 20
4 3 3 3 3 20
5 3 3 3 3 3 20
6 3 3 3 3 3 3 20
7 3 3 3 3 3 3 3 20
8 3 3 3 3 3 3 3 3 20
 eriodo
Representación
en potencias
Cantidad de 
bacterias
0 30 20 20
1 31 20 60
2 32 20 180
3 33 20 540
4 34 20 1.620
5 35 20 4.860
6 36 20 14.580
7 37 20 43.740
8 38 20 131.220
 eriodo
Representación
en potencias
Cantidad de 
bacterias
0 30 20 20
1 31 20 60
2 32 20 180
3 33 20 540
4 34 20 1.620
5 35 20 4.860
6 36 20 14.580
7 37 20 43.740
8 38 20 131.220
58 Unidad 2 Potencias
2 Resuelve el siguiente problema. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente.
Se sabe que la población de cierto tipo de insectos se cuadruplica cada año. Si la población en este año es de 
64 insectos:
 Calcula la población para el quinto año.
 Utiliza potencias para escribir una expresión que permita calcular el número de insectos que habrá al cabo 
de 10 años (se supone que todos los insectos permanecen vivos).
 aso 1 Comprende el enunciado
 ¿Qué datos son necesarios para resolver el problema? 
 
 
 ¿Qué información entrega el enunciado del problema?
 
 
 aso 2 Planifi ca lo que vas a realizar
 
 aso 3 Resuelve el problema
 
 Interpreta la información. Emplea el procedimiento.
 aso 4 Revisa la solución
 
3 Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema.
 ¿Qué expresión representa de mejor manera la curva grafi cada? Justifi ca.
a. y = 60 0,4t
b. y = 60 0,8t
c. y = 60 1,2t 
t
10
30
50
1 3 5
59Matemática 1° medio Nuevo Explor@ndo
Verificando disco
e
eval
uación cont
enido
re
so
luc
ión de problem
as
evaluación sumativa
 . Lee atentamente cada una de las preguntas y marca la alternativa correcta.
6 ¿Cuál de las siguientes alternativas es 
equivalente a 2
a
2b
,cona,
–n
2












bb 0≠ ?
 A. 
b
a
2n
2n
 B. 2
a
b
2
2n
2n
 C. 2
b
a
2
2
2
 D. 2
b
a
2n
2n
2n
 E. 2
2n+2 bb
a
2n
2n
7 ¿Qué expresión es equivalente al producto de 
25 3–2 36 2–1 20?
 A. 0
 B. 24
 C. 34
 D. 54
 E. 64
8 ¿Cuál de las siguientes expresiones representa 
al área de un cuadrado cuyo lado mide 8 cm?
 A. 16 cm2
 B (23)2 cm2
 C. 2
32
cm2
 D. 2 23 cm2
 E. (23 + 23) cm2
9 ¿Cuál es el valor de 
3 106 (–2) 10–2 (–5) 10–2?
 A. 25 102
 B. 30 102
 C. 30 10–2
 D. –30 102
 E. –30 10–2
1 ¿Cuál de los siguientes números NO puede ser 
escrito como potencia de exponente 3?
 A. 1
 B. 8
 C. 27
 D. 169
 E. 216
2 ¿Cuál de las siguientes expresiones es 
equivalente a (–4) (–4) (–4) (–4) (–4)?
 A. –54
 B. (–4)5
 C. (–5)4
 D. –(–4)5 
 E. 5 (–4)5
3 ¿Qué alternativa representa mejor al valor de la 
potencia ((–3)6)-1?
 A. Es igual a cero.
 B. Es mayor que cero.
 C. Es menor que cero.
 D. No se puede determinar.
 E. Ninguna de las anteriores.
4 ¿Qué valor de satisface la igualdad 
2x = 256?
 A. 7
 B. 8
 C. 16 
 D. 128
 E. 512
5 ¿Cuál de las siguientes igualdades se cumple?
 A. 45 = 210
 B. 27 : 25 = 212
 C. 
1
25
=(–5)2
 D. 23 (–2)5 = (–2)8
 E. ((–2)3)5 = (–2)8
60 Unidad 2 Potencias
10 Si a = 2–2, b = 4–2 y c = 2–2, ¿cuál es el valor de 
a : b c?
 A. 1
 B. 21
 C. 22
 D. 2–1
 E. 2–2
11 ¿Cuál es el valor de –
4
8
–4






?
 A. 16 
 B. 32 
 C. –32
 D. –16
 E. –
1
2
 
12 ¿Cuál es el valor de 
2 +3
2 3
–2 –3
–2 –3
 
?
 A. 1
 B. 31
 C. 
31
108
 D. 
6
5
–5






 E. Ninguna de las anteriores.
13