Copia de Geometría 1 parte 1

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5« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
TEMA 01
SEGMENTO DE RECTA
SEGMENTO: Es la porción de línea recta
comprendida entre dos puntos A y B de dicha recta
(A B) .
BA
Notación : AB
Se lee : Segmento AB
A, B : Extremos del segmento
MEDIDA DE UN SEGMENTO: La medida de un
segmento AB se denota m AB o AB y es un
número positivo que compara la longitud del
segmento dado con la longitud del segmento
unitario (u).
Ejemplo:
BA
10cm
Notación : AB
Se lee : Longitud del segmento AB
Se escribe: AB = 15cm
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Es el punto
que pertenece al segmento y lo divide en dos
segmentos de igual longitud.
BA
a
M
a
M : Punto medio de AB
 AM MB
OPERACIONES CON LAS LONGITUDES DE
LOS SEGMENTOS
ADICIÓN:
CA B
m n
CA B
6cm 8cm
AC = AB + BC ó AC = AB + BC
AC = m+n AC = 6 + 8 = 14cm
SUSTRACCIÓN:
CA B
m
n
CA B
18cm
8cm
AB = AC – BC ó AB = AC – BC
AB = m – n AB = 18cm – 8cm = 10cm
NIVEL I
1. En la figura, calcular x, si: AD = 20
4
CA B D
6 x
2. En la figura, calcular x, si : AD=36.
x+3
CA B D
12 2x
6 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
3. En la figura, calcular x, si: AD=36.
2x
CA B D
16
4. En la figura, calcular x, si: AB = CD.
15
CA B D
12
x
5. Si: “M” es punto medio de AB ; calcular x.
A M B
2x-8 x+6
6. En la figura, calcular MC; si : AC+BC = 16
A B CM
7. Calcular BC. Si : AC+BD = 28.
CA B D
6 8
12. Si AD=18. Calcular x
CA B D
x-y x x+y
8. En la figura, calcular x
CA B D
x
FE
x x
48
9. Calcular en la figura x. Si: AB=50, LD=45, AD=73.
BA L D
x
10. Si : AC+BC=36. Calcular x
BA E C
x
7« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
NIVEL II
1. Calcular x, si “M” es punto medio de AB .
A M B
(6x-2) (4x+6)
2. Calcular x, si M es punto medio de AB .
A M B C
x
4 6
3. Calcular x en la figura.
A B C
37
x (2x+1)
4. Calcular x, si : AD-BC = 40
A B C D
x a x
5. Calcular x, si M es punto medio de BC ,
AC+AB=40.
A B M C
x
6. Calcular x, si: AC=18, BD=17, AD=30.
A B DC
x
7. Calcular x, si: AM=MB, CN=ND, AB=16, BC=10,
CD=14.
A M DC
x
B N
8. Si: AC+BC = 40. Calcular x
BA C
x
E
9. En una recta se ubican los puntos colineales A, B,
C, D. De manera que AB=4a; BC=4, y CD=2a.
Calcular la distancia entre los puntos medios de
AB y CD . Además AD=31.
8 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
10. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D. Tal
que B es punto medio de AC y AD+CD=12.
Calcular BD.
NIVEL III
1. Calcular x+y, si: AD+BC=40.
A CB D
x
a
y
2. Calcular x, si: M es punto medio de BC ,
(AC)(AB)=20, BC=8.
A CB M
x
3. Calcular DE, Si: AF=30, DE – CD=2,
AB BC CD EF
3 4 2 3
   .
A FB C D E
4. Calcular 
1 1
AB AD
 , Si: 
AB AD
BC CD

A DB C
4 2 a
5. Calcular x. Si: BD – 4(AB)=40
A DB C
x
a 4a
9« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
1. En la figura, calcular x, si : AD=48.
x
CA B D
2x 24
2. En la figura, calcular x, si : AB = CD.
x
CA B D
8
6
3. Calcular BC. Si : AC+BD = 21.
CA B D
7 8
4. Se tiene los puntos colineales A, B, C y D de modo
que AC+BD=28. Calcular la medida del segmento
que une los puntos medios de AB y CD .
5. Calcular x, si: M es punto medio de AB .
A M B
x -122 24
6. Si: AC+AB= 28. Calcular x
EA B C
7. En una recta se ubican los puntos A, B y C de
manera que AC= 18 y BC – AB = 10. Calcular AB
8. Calcular x, si: 
AB BC AC 18
2 3 6
  
A CB
x+6 x
9. Calcular x, si: AM = MC, BN=ND
A B M N C D
4 x 6
10. Calcular x, si: 
AB 3
BC 2
 , AC=18
A B C
x
N
OT
A
2. En la figura,
calcular AD
Si: AB = CD
CA B D
7
15
1. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D de manera que C es
punto medio de AD y BD–AB=20. Calcular BC.
3. Calcular x, si: 
AB AD
BC CD
 .
A DB C
3 2 x
10 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
TEMA 02
ÁNGULOS
Es la reunión de dos rayos que tienen un punto extremo
en común, es decir, tienen el mismo origen. Los dos
rayos son los lados del ángulo y el punto extremo, se
llama vértice.
O

B
A
 Elementos del Ángulo
1.- Lados: OA y OB 
2.- Vértice: “O”
 Notación
 A OB : ángulo AOB
 Medida
m A O B  
 Bisectriz de un Ángulo
La bisectriz de un ángulo es el rayo que partien-
do del vértice divide al ángulo en dos ángulos de igual
medida.
A
x
B


O
OX : Bisectriz de ángulo AOB
CLASIFICACIÓN
 Según Su Medida
1) ángulo agudo AOB : ángulo agudo
 

A
B
O
 0º 90º  
2) ángulo Recto AOB : ángulo recto

A
BO
90º 
3) ángulo obtuso
AOB : ángulo obtuso

A
BO
 90º 180º  
 Según la posición de sus lados.
1. Ángulos Adyacentes: son los ángulos que es-
tán uno a continuación del otro.
A
O
Vértice
C
Lado Común
B
2. Ángulos Consecutivos: Son más de dos ángu-
los adyacentes
A
O
B
C
D
E
3. Ángulos opuestos por el vértice: son aquellos
ángulos cuyos lados de uno son las prolongacio-
nes de los lados del otro en sentido contrario.

A
C
D
O
B
  
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Se define así a dos ángulos cuyas medidas suman 90°.
De estos dos ángulos se dice que uno es el complemento
del otro.


A
B
O
C
DP
11« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
En la figura el ángulo AOB y el ángulo 
CPD serán complementarios, si se 
cumple que: + = 90°.
En ese caso:
el complemento es : C
el complemento es 
C Se lee: “Complemento de”
 
  

 = 
 : C = 

  
: 
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Se definen así a dos ángulos cuyas medidas suman 180°.
De estos dos ángulos se dice que uno es el suplemento
del otro.

C
P D

A
O
B
En la figura el ángulo AOB y el 
ángulo CPD serán suplementarios, si 
se cumple que:
 + = 180°.
En ese caso:
el suplemento es : S = 
el suplemento es : S =
 
   
   
: 
Observación
1. Cuando un conjunto de ángulos se agrupan de
manera que están a un mismo lado de una recta,
las medidas de todos ellos suman 180°



= 180º
2. Cuando un conjunto de ángulos se agrupa de
manera que están entorno a un punto, la suma de
las medidas de todos ellos suman 360°.






 + + + + + = 360°     
NIVEL I
1. Calcular m BOC, si los rayos OA y OD son
opuestos.
B C
OA D
2x4x
3x
2. Calcular x
2x
54ºx
12 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
3. En la figura, calcular x
x
x+yx-y
B C
A DO
4. En la figura. Calcular x
40°
x+20° x+12°
xx
A FO
B
C
D E
5. En la figura. Calcular x



x
A E
B C D
O
6. En la figura. Calcular x
60° 8x
7x
B C
A O D
7. Calcular x, si los rayos OA y OC son opuesto.
B
A C
D
x
O
+50º
8. Calcular x
23º
x53º
9. Calcular la medida de un ángulo. Sabiendo que
la suma de su complemento y suplemento es
110º.
13« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
10. Calcular la medida de un ángulo si se sabe que el
complemento de su medida es el quíntuple de
dicha medida.
11. Si el suplemento de la medida de un ángulo más
el complemento de la medida de dicho ángulo es
igual al cuádruple de la medida del mismo ángulo.
¿Cuánto mide dicho ángulo?
12. Si a la medida de un ángulo se le resta su
complemento resulta igual a la cuarta parte de
su suplemento. Calcular la media del ángulo.
13. Calcular la medida de un ángulo, si el suplemento
del complemento de dicho ángulo es al
complemento del suplemento del cuadruple del
mismo ángulo como 2 es a 5.
14. Calcular x, si los rayos OA y OD son opuesto.
B
OA D
C
x
150º
140º
15. Calcular x, si los rayos OA y OC son opuesto.
B
A C
D
xO
143º
NIVEL II
1. Calcular x, en:
x
150°
A C
B
D
O
2. Calcular x, en:
2x
x 60°
A B
C
DO
14 « Marcando la Diferenciaen Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
3. Calcular la medida del ángulo formado por las
bisectrices de los ángulos AOC y BOD.
A D
B C
150º
140º
40º
O
4. Calcular x
10º
x
x
5. Calcular x, si los rayos OA y OD son opuestos.
B
OA D
100º
M
C
N




x
6. Calcule la medida de un ángulo sabiendo que el
suplemento y complemento de su medida están
en la relación de 5 es a 2 respectivamente.
7. Si la suma de las medidas de dos ángulos es 150º
y la suma de sus suplementos es el triple de la
medida de uno de ellos. Calcule el complemento
de la medida del mayor.
8. Si el suplemento de la medida de un ángulo es
igual al complemento de la medida de otro.
Calcule el suplemento de la semidiferencia de los
mismos.
9. Calcular m BOC, en:
60º
80º
C
D
B
AO
15« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
10. Calcular el ángulo formado por las bisectrices de
los ángulos AOB y COD.
130º100º
B C
A DO
NIVEL III
1. Calcular x, en:
 

60°

x
A
B
C
D
EO
2. Calcular x en:


x

5x
A B C
D
E
FO
3. Calcular x, si: m BOC=40º
x



A
M
B
N
C
O
4. La suma de las medidas de dos ángulos es igual
a 105º si el complemento de la medida de uno
de ellos es igual al cuádruple del complemento
de la medida del otro. Calcule el complemento
de la diferencia de los mismos.
5. La suma de medidas de dos ángulos es 50º si el
complemento de la medida de uno de ellos es el
triple de la medida del otro. Calcule el
complemento de la medida del menor.
16 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
1. Calcular x, en:
x3x
2x
A DO
B C
2. Calcular x en la figura, si  AOC y  COF son
adyacentes suplementarios.
B
C
OA F
x
D
E
x+r x_r
x_r
3. Calcular x en la figura.
80º
x
70º
4. En la figura. Calcular x
8x
7x
B C
A DO
5. En la figura. Calcular x
x
120°A
C
B
D
O
6. En la figura. Calcular: m DOB
40°
50°
30°

B
C
D
OA F
E
7. En la figura. Calcular m DOB
30°

D
C
OE A
B

8. El complemento de la medida de un ángulo es
igual al suplemento de la medida del triple del
ángulo. Calcular la medida de dicho ángulo.
9. Si al mayor de dos ángulos suplementarios se le
resta 20º para agregárselo al menor, ambos se
igualan. Calcular la medida del mayor.
10. Las medidas de dos ángulos suplementarios están
en la relación de 2 es a 3. Calcular el complemento
de la medida del menor.
17« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
N
OT
A 1. En la figura, calcular x
30°
70°x
B C
A DO
2. Si el
complemento de
la medida de un ángulo
es igual al doble de la
medida de dicho ángulo.
Calcule el suplemento de la
medida de dicho ángulo.
3. Calcular , si: x – y = 40º, los rayos OA, y OC son
opuestos:
OA C
D
y
x
B
18 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
TEMA 03
ÁNGULOS ENTRE
RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
Si dos rectas paralelas son intersectadas por una recta
secante se forman ocho ángulos; tal como se observa
en la figura.
Si: 1 2L // L
  a b
c
e f
h
L1
L2g
d
Estos ocho ángulos se agrupan en pares, que reciben
diversos nombres. Así tenemos:
I.  Alternos Internos:
son los pares de ángulos internos no adyacentes
cuyos interiores están a uno y otro lado de la
secante. Tales ángulos, son congruentes
   c f y d c 
II.  Alternos Externos:
Son los pares de ángulos externos no adyacentes,
cuyo exteriores están a uno y otro lado de la
secante. Tales ángulos son congruentes
   a h y b g 
III.  Conjugados Internos :
Son los pares de ángulos internos cuyo interiores
a un mismo lado de la recta secante. Tales ángulos
son c e 180º y d f 180º   
IV.  Conjugados Externos :
Son los pares de ángulos exteriores cuyos
exteriores están a un mismo lado de la secante.
Talas ángulos son: a g 180º y b h 180º   
V.  Correspondientes :
Son los pares de ángulos exteriores cuyos
interiores están a un mismo lado de la secante,
tales ángulos son        a e ; b f ; c g ; d h   
Propiedades
1. Si: L // L2
 
a
x x=a+b
b
L1
L2
2. Si: L // L2
 
x
a
b
c
y
x+y=a+b+c
L1
L2
3. Si: L // L2
x a b+  c
L
x
c
b
a
1
L2
4. Si: L // L2
a b+ c+d=180º
L
d
c
b
a
1
L2
5. Si: L // L2
a
b a+b+c=360º
c
L1
L2
a. Dos ángulos que tienen sus lados paralelos, son
congruentes. Como se observa en la figura.
 =




b. Dos ángulos que tienen sus lados paralelos, son
suplementarios como se observa en la figura.
=180º

 

19« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
Ángulo de lados Perpendiculares
a. Los ángulos que tienen sus lados respectivamente
perpendiculares son congruentes, como se
observa en la figura.
 =




b. Los ángulos que tienen sus lados respectivamente
perpendiculares son suplementarios.
 
180º


 
Bloque I
1. En la figura calcular x Si: L // L2
100º
x
L1
L2
2. En la figura, calcular x. Si : L // L2
80º
8x
L1
L2
3. En la figura, calcular x. Si: L // L2
60º
x
L1
L2
4. En la figura, calcular: x Si: L // L2
8x
10x
L1
L2
5. En la figura, calcular: x. Si L // L2
120º
12x
L1
L2
16. En cada uno de los graficos, calcular: x. Si:
L // L2
7x
70º
L1
L2
20 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
7. Hallar : x
120º
6x
L1
L2
8. Hallar : x L // L2
6x
12x
L1
L2
9. Hallar : x L // L2
60º
40º
x
L1
L2
10. En la figura, calcular x. Si L // L2
40º
10º
x
L1
L2
Bloque II
1. En la figura, calcular: x. Si L // L2
12x
15x
13x
L1
L2
2. En la siguiente figura, calcular: x. Si L // L2
6x
4x
L1
L2
3. Calcular “x”, si 
 
L L// 1
150°
4x
x L
L1
4. Calcular “x”, si 
 
L L// 1
x
4 + 20°
3 15°
L
L1
5. En la figura, calcular x. Si L // L2
x
5x
L1
L2
21« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
6. En la figura, calcular x. Si L // L2
x
120º
L1
L2
7. En la figura, calcular: x. Si L // L2
40º
20º
50
º x
L1
L2
8. En la figura, calcular x. Si: L // L2
12x
12x
12x
12x
L1
L2
9. Calcular “x”, si 
 
L L// 1
110°
x
2
L
L1
10. En la figura, calcular: x. Si: L // L2
20º
30º
20º
x
L1
L2
Bloque III
1. En la figura, calcular: x. Si: L // L2
x
3x
x
L1
L2
2. En la figura, calcular x. Si: L // L2 , en función
a  y 


x


L
L1
22 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
3. Calcular “”, si  = 3x+5° y  = 6x + 10°
( L // L2 )


4. Calcular “x”, si 
  
L L L// //1 2

 140°
x
L
L2
L1
5. Encontrar “x”, si 
 
L L// 1

60°
70°
x
L
L1
1. Si L1 // L2, calcular 
 40° 
2 
L1 
L2 
2. Si: m // n, calcular «x»
 
50°– x 4x 
m n 
3. Según el gráfico calcular «x», si L1 // L2
20° 
20° 
x 
  
L1 
L2 
4. Según el gráfico, calcular el valor de «x»
Si L1 // L2
 
L1 
60° 
2x 
L2 
5. Calcular «x», siendo a // b
4x 
2x+30 
a 
b 
6. Calcular: +–5
 
20°  
 
 
23« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
7. En la figura L1 // L2. Calcular «x»
80 
5  
5  
x 
8. Según el gráfico, calcular el valor de «x», si L1 // L2
x 
x 
x 
L1 
L2 
9. En la figura L1 // L2. Calcular «x» 
50°– x 4x 
m n 
10. En la figura L1 // L2 y L3 // L4 Calcular x – y
y 
x 145° L1 
L3 
L2 
L4 
N
OT
A 1. Hallar : x
2. En la figura,
 calcular: x.
 Si: L // L2
3. Calcular “x”, si 
 
L L// 1
4x
60º
2x L1
L2
x



L1
L2
x32
L
24 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
TEMA 04
TRIÁNGULO
DEFINICIÓN: Es aquella figura geométrica que
resulta de la reunión de tres segmentos de recta unidos
por sus extremos a quienes se les denomina vértices.
c
A
B
b C
a
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO
• Vértices : A, B, C
• Lados : , ,AB BC AC
NOTACIÓN : ABC : (SE LEE: triángulo ABC)
También se le puede denotar: BCA, CAB
PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO:
Se denomina perímetro de un triángulo a la línea
cerrada que lo limita.
La longitud del perímetro de la región triangular se
calcula al sumar las longitudes de sus lados.
Perímetro : 2p a b c  
Para el vértice A su lado opuesto es BC ,
convencionalmente a la longitud de dicho lado se le
asigna el valor a, sucede lo mismo con los otros
vértices.
MEDIDA DE LOS ÁNGULOS ASOCIADOS AL
TRIÁNGULO


 
• Interiores : 
• Exteriores: 
TEOREMAS FUNDAMENTALES EN EL
TRIÁNGULO
1. Suma de medidas de ángulos internos

 
180     
2. Suma de las medidas de los ángulos exteriores

 
360w     
3. Cálculo de medida del ángulo exterior

x
x  
4. De la existencia de un triángulo
a b
c
Si : b a c 
 b c a b c   
5. De la correspondencia de un triángulo


a b
c
Sea : a < q < b
Luego: a b c 
CLASIFICACIÓN:
I. Según las medidas de sus ángulos:
A. Triángulo Rectángulo.- Cuando uno de sus
ángulos interiores mide 90°.


A
B C
Si m ABC=90°. Entonces el triángulo ABC es un
triángulo rectángulo recto en B
AB y BC : Catetos
AC : Hipotenusa
Se cumple : a + b = 90°
25« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
B. Triángulos Oblicuángulos.- Cuando ningún
ángulo interior mide 90°
ACUTÁNGULO
Si la medida de los ángulos internos
son agudos.

 
B
A C
0°<  < 90°
0°<  < 90°
0°<  < 90°
OBTUSÁNGULO
Si la medida de un ángulo interno es obtuso

BC
A

90°<<180°
0° <  < 90°
0° <  < 90°
II.Según las longitudes de sus lados
A. Triángulo Escaleno.- Es aquel triángulo cuyos
lados son de diferente longitud.
c
B
A C
a
b
a  b
 a  c
 b  c
B. Triángulo Isósceles.- Es aquel triángulo que sólo
presenta dos lados de igual longitud.
B
A C
l
m
l
 
AB BC  
 a = b
 Del gráfico :
 AB BC    
C. Triángulo Equilátero.- Es aquel triángulo cuyos
lados son de la misma longitud.
Por lo tanto sus ángulos internos son de igual
longitud.
B
A C
ll
l
60º 60º
60º
 AB BC AC   
TEOREMAS
1. De la suma de medidas de sus ángulos internos
 

B
A C
180º     
2. De la suma de medidas de sus tres ángulos
externos uno por vértice
y
zx
B
A C
360ºx y z  
3. Del cálculo de la medida de un ángulo exterior
a x
b
B
A C
x a b 
4. De la existencia de un triángulo
 
c
ba
C
B A
Sea : a b c
Luego : a b c a b
 
   
5. De la correspondencia
c
ba



C
B A
Sea :
Luego : a b c
    
 
26 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
TEOREMAS ADICIONALES
1. x



B
A
C
D x      
2.



B
C
A
D
w
w     
3. 


x y
B
A C
D
x y    
4.
a
b
x
y
B
A D
C
a bx y  
Bloque I
1. Calcular: x; en la figura.
4x
6x 8x
B
A C
 
2. Calcular: x; en la figura.
x
60º
70º
B
A C
 
3. Calcular: x; en la figura.
8x
60º
140º
B
A C
4. Calcular: x, en la figura.
12x
12x12x
B
A C
 
5. Calcular x en la figura
4x
6x
120º
B
A C
 
6. Calcular: x, en la figura
80°
x
160º
B
A C
 
27« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
7. Calcular x, en la figura
20º
80º
5
x
B
A C
8. En la figura, calcular x.
x
75º 40º
B
A C
 
9. En la figura, calcular x.
147º 63º
x
B
A C
 
10. En la figura, calcular x.
120°
140°
x B
A
C
 
11. En la figura, calcular x .
x
B
A
122º
C
 
12. En la figura; AC = BC, Calcular m ABC.
62º
C
A B
 
13. En la figura, calcular m ABC.
2x
2x 6x
A C
B
14. Calcular el mayor valor entero de x.
5 7
x
B
A C
15. En el DABC, AB=BC, calcular: x.
30º+x
x
B
A C
 
Bloque II
1. Calcular: x, en la figura
60º
x

2 2

B
A C
28 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
2. Calcular el menor valor entero de: x, si a>90°.
x
9
3
B
A C

3. Calcular x en la figura.
6x 4x
6x4x
100º
B E
A D C F
4. Calcular x en la figura.
4x
6x
80º
40º
B
A
E
C
D
5. De la figura. Calcule 

B

 
80º
D
A C F E
G
6. Calcular: x en la figura.
40º
x
60º
 

B
A
E
C
D
7. Calcular: x en la figura.
x
x
x
x
x
A
B C
D
E
29« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
8. Calcule el perímetro del triángulo, si x es un
número entero.
A C
B
4 -3x
4 3
 
9. En la figura, calcule el valor entero de x.
x 5x
24
B
A C
 
10. En el gráfico, calcular x.
42° x
A
B C E
D
BLoque III
1. En la figura. Calcular: x
x




B
A H C
D
2 En la figura. Calcular: x



x

B
A C
3. En el gráfico, calcular x.
x
x




B
A
D
C
6. En el gráfico, calcular x.
x
B
A CH
50°
30 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
5. En el gráfico, calcular x.
x
B

D


A C

80°
1. Según el gráfico, calcular x.
A C
B
8x
4x
6x
2. Según la figura, calcular x.
B
A C
40º
5x
7x
3. Según el gráfico, calcular el mayor valor entero
de x.
x
10
B
A C
14
4. Calcular x en la figura:
x
B
A CH D
16


5. En el gráfico, calcular x.
80º
x
a
aA
B
C
6. En el gráfico, calcular x.
A
B
C
x2+6 31
 
7. En la figura, calcular x.
x
x+10º
B
A C
x+20º
8. Calcular: x en la figura.



x

B
A C
60°
31« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
N
OT
A
9. Calcular: x, en la figura
6x
3 +30ºx
x+10º
B
A C
10. Calcular: x en el gráfico
40º
70º
12
x
B
A C
2. En el gráfico,
calcular x.
B
A C
130º
110º x
1. Calcular: x en la figura.
3. En el gráfico, calcular el máximo valor entero posible
de x.
6
2x
B
A C
4
50º
x




B
A C
32 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
TEMA 05
LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
CEVIANA: Segmento que parte de un vértice y se
prolonga hasta un punto cualquiera del lado opuesto
o de su prolongación.
B
A D C F
Para el DABC:
BD : Ceviana interior
BF : Ceviana exterior
BISECTRIZ. Es aquel rayo que busca a un ángulo
interno o externo en un triángulo

B

A E C CA E
B


BE : bi sec triz interior

BE : bi sec triz enterior

ALTURA. Es el segmento que parte de un vértice
y corta de manera perpendicular a un lado o a su
prolongación.
B
A H C CA H
B
BH : altura relativa al lado AC
MEDIANA. Es el segmento que parte de un vértice
y se prolonga hasta el punto medio del lado opuesto.
a M a
B
A C
BM: mediana relativa
 a AC
MEDIATRIZ. Es aquel recta coplanar a un
triángulo y que corta de manera perpendicular y
en su punto medio a un lado.
a a
B
A C
L : mediatriz de
 AC
L
TolomeoTEOREMA
1.


x


2
x


2.



x

w
90
2
w
x   
3.


x


90
2
x

  
33« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
Bloque I
1. En el gráfico, calcular x



x

80°
D
B
A C
2. En el gráfico, calcular x

x
 
80°
B
A C
E
 
3. En el gráfico, calcular x
x


80°

A C
B D
4. En el gráfico, BD es bisectriz de  ABC. Calcular
m BAC.
2x
50°
B
A CD
5. Del gráfico, BD es bisectrizdel  ABC. Calcular
m BAC.
2x-30°
x
70°
B
A CD
6. En el gráfico. Calcular: x.
x


A C
B D

7. Del gráfico, calcular: x.




x
x
B
A C
D
8. Del gráfico, calcular: x.
 
x
20º 



B
E
A C
 
34 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
9. Del gráfico, calcular: x.
40º
x




B E
A C
10. En el gráfico, calcular x
x
x


 
B D
A C
 
11. En el gráfico, calcular x
x+20°
x




B E
A C
12. Del gráfico, calcular x
x


 
10º
B
A C
E
13. Del gráfico, calcular x
x




80°B
A C
E
14. Del gráfico, si AC es bisectriz del  BAD. Calcular
m ACD..
75°
53°
A D
C
B
 
15. Del gráfico calcular x, si: AB = BC.
65°
x
A
D
C
B
 
Bloque II
1. Del gráfico, calcular x.
70°
x
B
D E
A C
 
2. Del gráfico, calcular x
2x
x
B
D E
A C
 
3. En el gráfico, calcular: 
63°
w


w
B
A C
35« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
4. En el gráfico, calcular x. Si: L

 es mediatriz
relativa a AC y AC=BC.
LB
A C
x
70°
5. Del gráfico, calcular x.
6x
4x
B
A C
5. Del gráfico, calcular x.
D
B
A C
x
42°
7. Del gráfico, calcular x.
2x
3x
B
D E
A C
 
8. En el gráfico, si: –  = 40°, calcular x.

B


A C
9 Del gráfico, calcular x.
60º
x
B
A C
10. Del gráfico. Calcular: x. Si el perímetro del
triángulo ABD es 36 y BD mediana relativa a
AC .
B
A
CD4K
2K
3K
36 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
Bloque III
1. Calcular m QPM. Si MP es bisectriz del  OMN
y //QP MN .
60°
40°
o
Q
M N
P
2. Del gráfico, calcular x.
80°
x




B
A C
3. Del gráfico, calcular x.


x
 
B
A C
4. Del gráfico, calcular x.
20°
x
B
A C
a a
5. Del gráfico, calcular x.
8k k
x
 
B
A Ca a
37« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
1. Del gráfico, BD es bisectriz de  ABC. Calcular:
m BAC.
B
A C
x
D
5 +20°x
4 +30°
x
2. Calcular m ABD. Si BD , es bisectriz del  ABC.C.
140°160°
B
A D C
3. Del gráfico, calcular x
.
x
45
B
A C
a a
4. Del gráfico, calcular x
x



100º
B
A C
5. Del gráfico, calcular x
x
45º
60º
B
A C
6. De la figura, calcular x.
x


48°
A C
B D

7. De la figura, calcular x
66
x
B
D E
A C
8. Del gráfico, calcular x



x

E
B
A C
150°
9. Del gráfico, calcular x.
80°
x
B
D E
A C




10. Del gráfico, calcular x
2x
3x
B
A C
38 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
N
OT
A 1. De la figura, calcular x.
x


60°
A C
B D

3. Calcular x
x


70°


B
A C
a
a
2. De la figura,
calcular x
70°
x
B
D E
A C
39« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
TEMA 06
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
60o
30o
2a
a
a 3
37o
53o
4a
5a3a
45o
45o
a
a a 2 75o
15o
4a
6 2+
B
A C
B
A C
B
A C
B
A C( )a
6 2_( )a a
1. En la figura, calcular x.
A
B C
30º
12
x
 
2. Calcular: x e y.
30o
12 x
yA
B
C
 
3. En la figura, calcular x.
45o
45o
x
6
A
B
C
 
4. En la figura, calcular x.
A
B
C
x 8 3
60º
 
5. En la figura, calcular x.
A C
B
30º
8
x
 
6. En la figura, calcular: 2(BC) , Si: AC=10.
A
B
C
60º
 
40 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
7. En la figura, calcular x:
A
B
C
30º
18
2x
8. Calcular el perímetro de la figura.
A
B
C
53º
12
9. En la figura, calcular x.
45º
A C
B
x
8 2
 
10. En la figura, calcular x.
45o
10 2
2x 2+
A
B
C
 
11. En la figura, calcular: AC+BC. Si: A B 5 2
45º
A
C B
 
12. En la figura, calcular: 
2A B
BC
 
 
 
B
CA
45º
5 2
 
13. Calcular . en:

A C
B
36
60
 
14. En la figura, calcular x:
A C
B
30º
40
x
15. En la figura, calcular x.
A
B
C
45º
x
23
 
Bloque II
1. En la figura, calcular x.
53º45º
A C
B
x
H
8 2
41« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
2. En la figura, calcular x.
A C
B
30º
60º
x
D
4
3. Calcular AC. Si: BC 24 2
45° 45°
A H C
B
4. Calcular x. en:
30º30º
A C
B
x
H
8
5. Del gráfico, calcular: AH. Si BC=8.
30º45º
A C
B
H
6. En la figura, calcular: ABCm . Si: CB=8 y
A B 4 3 .
A
BC
7. En la figura, Calcular x.
30º 53º
A C
B
H
12 3 x
42 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
8. Calcular x. Si: AE=EC.
37o
53o
15
x
A
B
C
D
E
9. Calcular x.
60o
x
45o
12 3
A
B
C
10. En la figura, calcular x.
x
30o53o
60
A
B
C
Bloque III
1. En la figura, calcular “x”. Si AD=DC.
8
x
6 3
37°
60°
A
B C
D
2. En la figura, calcular x. Si: BE=EC.
x
30o45o
6 2
A
B
C
37o
D
E
3. En la figura, calcular x.
45o8o
x
20 2
A
B
C
43« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
4. En la figura, calcular x.
37o8o
x
12 2
A
B
C
5. Calcular x.
6 2
15o
x
30o
A
B
C
1. Calcular x.
53o
20
x
A
B
C
2. Calcular x.
30o
20
6 x+
A
B
C
3. En la figura, calcular el perímetro de la región
triangular ABC.
A
B
C
45º
16
4. En la figura, calcular x.
B
CA 15
37º
x
5. Calcular x. Si: BE=EC.
x
53o
6 2
6 2
A
B
C
E
D
6. Calcular x.
60o
45o
x
4 3
A
B
C
7. Calcular x
53o
x
45o
12 2
A
B
C
44 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
N
OT
A
8. En la figura, calcular 
2
 
A
B
C


8 3
8
9. Calcular x, en:
150°
xA
B
C
6
10. Calcular x. Si: AE=EB
60o37o
45o
x 8 3
45o
A
D
E
B
C
2. En la figura,
calcular x:
3. En la figura, calcular x+y.
1. Calcular x.
30o
12 x
45o
A
B
C
A
B
C
53º
20
x+15
A
B
C
x
y
37º
25
45« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
TEMA 07
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN:
Son dos triángulos que tienen sus ángulos respectivos de
igual medida y sus lados homólogos de igual longitud.
A
B
C



k 
m P
Q
R



k 
m
ABC PQR  
Para poder determinar que dos triángulos son
congruentes es necesario que cumplan con uno de los
siguientes postulados:
1. Lado – Ángulo – Lado (L.A.L)
A
B
C

k
m
ABC PQR  
P
Q
R

k
m
2. Ángulo – Lado – Ángulo (A.L.A)
A
B
C

m
ABC PQR  
P
Q
R

m
 
3. Lado – Lado – Lado (L.L.L)
A
B
C
k
m
ABC PQR  
P
Q
R
k
m
 
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
 * TEOREMA DE LA BISECTRIZ:
Todo punto contenido en la bisectriz de un ángulo
equidista de los lados de dicho ángulo.
O
M
P
B
Q
A


a
a b
b
N
 OP: bisectriz del AOB


* TEOREMA DE LA MEDIATRIZ:
Todo punto contenido en la mediatriz de un segmento
equidista de los extremos de dicho segmento.
: mediatriz de ABL

P
A B

a a

L
* TEOREMA DE LA BASE MEDIA:
En todo triángulo la base media es paralela a la
base y además su longitud es la mitad de la longitud
de dicha base.
B
A
P Q
C
b
2b
n
n

PQ: base media
 PQ//AC
* TEOREMA DE LA MEDIANA RELATIVA A LA
HIPOTENUSA:
En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana
que parte del ángulo recto es la mitad de la longitud
de la hipotenusa de dicho triangulo.
A C
B
 

M
BM: mediana relativa
 a la hipotenusa AC
46 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
Bloque I
1. Los triángulos I y II son congruentes, indicar de
que caso se trata.
I
II
I II
 
2. Los triángulos I y II son congruentes. Indicar de
que caso se trata.
 
 
I II
I
II




 
3. Los triángulos I y II son congruentes. Indicar de
que caso se trata.
 




I
II
 
I
a
a
II
 
4. Los triángulosI y II son congruentes. Indicar el
caso respectivo.

I
II

 
I
II
5. Los triángulos I y II son congruentes. Indicar de
que caso se trata.
I II
6. Calcular x. Si: AB=BC y BD=BE.
x
30o
B
A
D
E
C
7. Calcular x. Si: AC=CD.
5
A
B
C
E
D
47« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
8. En la figura, calcular x.


B
A C
2 -3x
D
x 
9. En la figura, calcular x.
3 -8xA B
x
C
 
10. En la figura, calcular x.

A D
B
x 2 -4x
C
 
Bloque II
1. Calcular x. Si: BE=EC.
x
6
4
A
B
C
E D
2. En la figura: PQ=AC, calcular: BP.
 


6
A C
B
10
Q
P
3. En la figura, calcular x.
B
A C



x
2 -8x
4. En el gráfico, calcular MP; Si: AQ=QR
Q
A P
M
R12
8
48 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
5. En la figura, calcular x.
 


6
xB D
CA
E
6. Calcule x. Si: OM=MP.
O
A
B
P

5
x-3
M
7. Calcule x. Si: OM=MP.
O
A
B
P
2 +8xM
3x
8. En la figura, calcular x.
12
16
B
A x D
C
9. En la figura, calcular x.
50º
x
130º
B
A
D
E C
10. Calcular x.
A
B
D
2 
C 10
5x
49« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
Bloque II
1. Del gráfico, calcular x, si : AB = CD.
x
40º
40º
B
A D C
E
70º
2. Calcule x. Si L

es mediatriz de AC .
A
B
C
L
3
2x
10
3. Calcule x. Si: AB=10.
A
B
D
2 
C x
4. Calcular x. Si: AB=ED y AE=CD.
x
70°
A
B
70°
C
E D
5. Calcular x. Si: AD=BC=AC.
CA
B
x
D
10
50 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
1. Los triángulos I y II son congruentes, indicar de
que caso se trata.
I
I
2. En la figura, calcular x.
x
B
A D
C


2
-8x
3. En la figura, calcular “x”
B
A CH
3
+
10
x
2
+20
x
4. En la figura, calcular: x.
x
5
7
B
A
C
D
5. Calcular x, en el gráfico.
B
A
D
C
15
2x
6. Calcular x. Si: AC=CD
3x
12
A
E
D
B
C
7. Calcular x.
B
A
C D
2 +1x

18
2
8. Calcular x en el gráfico. Si L

 es mediatriz de BC
CA
B
L
3
2 3x-
15

9. Calcular x. Si: AQ=QP
Q
A
B
P
3x
18
C
10. Calcular x. Si: AB=CD y L

 es mediatriz de BC .
CA
B
L
2x80°
D
51« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
N
OT
A
2. Los triángulos
I y II son
congruentes. Indicar de
que caso se trata.



I II
3. Calcular AE. Si: BC=CD.
3. Calcular x. Si: AM=MP.
8
5
A
B
C E
D
A
B
C
P

2x
8
M
52 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
TEMA 08
POLÍGONO
DEFINICIÓN:
Es la figura geométrica cerrada que se forma al
unir consecutivamente tres o más puntos no colineales
y coplanares, mediante segmentos; de tal modo que
dicha figura limite una región del plano.
C D
A F
B E
ELEMENTOS:
Vértices : A, B, C, D, E, F
Lados : A B, BC, CD, DE, E F, F A
NOTACIÓN: Polígono ABCDEF
ÁNGULOS DETERMINADOS:
B C
DA
F E
2
3
4

5
2
1
3
4
566
• En la figura se tiene el polígono ABCDEF
• Medida de los ángulos interiores
a1, a2, a3, a4, a5, a6
• Medida de los ángulos exteriores
q1, q2, q3, q4, q5, q6
B C
F E
A D
• Diagonal: Es el segmento cuyos extremos son dos
vértices no consecutivos.
A C es una diagonal.
CLASES DE POLÍGONOS
Polígono Convexo.- Es aquel polígono en el cual
en uno de sus lados al estar contenido una recta que
separa se encuentran en un mismo semiplano.
Todos los lados del polígono están en un sólo
semiplano.
SEMIPLANO
SEMIPLANO
Polígono no Convexo.- Es aquel polígono en el cual
uno de sus lados al estar contenido en una recta, se
notará que en cada semiplano determinado por la recta
hay puntos del polígono.
SEMIPLANO
SEMIPLANO
Polígono Equilátero.- Es aquel polígono cuyos lados
tienen la misma longitud.
a a
a a
a
Polígono equilátero convexo.
b b
b b
b b
Polígono equilátero no convexo
53« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
Polígono Equiángulo.- Es aquel polígono convexo
cuyos ángulos internos son congruentes.

 
 
Polígono Regular.- Es aquel polígono que es
equilátero y equiángulo a la vez.
 
 
 
a a
a
a
a a
PROPIEDADES:
• En todo polígono de n lados.
Nº de vértices = Nº de lados = Nº de ángulos
internos = n.
• Suma de medidas de los ángulos internos.
S i= 180 (n – 2)
• Suma de las medidas de los ángulos externos de
un polígono convexo tomado uno por vértice.
S e= 360º
• Número de diagonales de un polígono.
Nº desde un vértice = n – 3
Nº total de diagonales=
n(n 3)
2

Fórmulas para un polígono regular de n lados:
• Medida de un ángulo interior (a)
180º(n 2)
n

 
• Medida de un ángulo exterior (q)
 
360º
n
NOMBRE DE ALGUNOS POLÍGONOS:
Ciertos polígonos, según el número de lados,
reciben un nombre en particular.
Número de lados Nombre
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Nonágono o eneágono
Decágono
Undecágono
Dodecágono
Pentadecágono
Icoságono
A los demás polígonos se les menciona por el
número de lados. Así diremos: polígono de 14 lados,
polígono de 30 lados, etc.
1. Calcular la suma de las medidas de los ángulos
internos de un pentágono convexo.
2. Calcular la suma de las medidas de los ángulos
internos de un octágono convexo.
3. Calcular el número total de diagonales de un
decágono regular.
4. Cuántas diagonales se podrán trazar de un sólo
vértice de un octógono
5. Cuántas diagonales se podrán trazar de un
dodecágono.
54 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
6. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un
hexágono regular?
7. Calcular el ángulo interior de un icoságono regular
8. Calcular el número de diagonales de un nonágono.
9. Calcular la suma de los ángulos internos de un
icoságono.
10. La suma de los ángulos interiores de un heptágono
es:
11. Calcular el ángulo interior de hexágono equiángulo
12. Calcular cuantas diagonales se podrán trazar de
un icoságono.
13 ¿En qué polígono regular se cumple que su ángulo
exterior mide 24º?
14. ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior
mide 150º?
3. Calcular el ángulo exterior de un octógono regular.
Bloque II
1. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono donde se
pueden trazar 20 diagonales?
2. ¿En qué polígono regular se cumple que el
número de lados es la mitad del número de
diagonales?
3. Calcular el número de lados de un polígono regular
en el cual su número total de diagonales es igual
a 7 veces su número de lados.
4. Cuántas diagonales se podrán trazar de un vértice
de un cuadrilátero.
5. En un pentágono convexo tres de sus ángulos
miden 120º cada uno y los otros dos son
congruentes. Calcular uno de ellos.
55« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
6. Calcular la suma de las medidas de los ángulos
internos de un polígono convexo de 18 lados.
7. ¿Qué polígono tiene tantas diagonales como
lados?
8. En un polígono regular, el doble del número de
diagonales es igual al quíntuplo del número de
lados. Calcular la medida de un ángulo interior.
9. Calcular el número de lados de un polígono regular
convexo, cuyo número total de diagonales es 54.
10. Calcular el número de lados de aquel polígono,
en donde el número de diagonales es el doble de
la suma del número de lados mas dos.
Bloque III
1. Calcular el número de diagonales de un polígono
regular, sabiendo que el cuadrado de la medida
de su ángulo exterior equivale a 9 veces la medida
de su ángulo interior.
2. En la figura ABCDE Y EFCMN son pentágonos
regulares. Calcular m FE D .
B M
A N
F D
C
E
3. Calcular x, si ABCD es pentágono regular.
A E
D
x
B
C
56 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
4. Calcular x, si: ABCDEF, es un hexágono regular
A F
E
x
B
C D
5. Calcular el perímetro de un polígono regular cuyo
ladomide 7 cm, si la medida de su ángulo interior
es el triple de la medida de su ángulo exterior.
1. Calcular el número de diagonales medias de un dodecágono.
2. Calcular el ángulo central de un triángulo equilátero
3. Calcular el ángulo exterior, de aquel polígono, regular cuyo ángulo interior, es igual al ángulo exterior.
4. ¿En que polígono se cumple que el ángulo exterior es la mitad del ángulo interior?
5. Calcular x si el polígono ABCDEF es regular.
A
B
C D
E
F
x
6. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo de 25 lados.
7. Calcular el número total de diagonales de un endecágono regular.
8. Calcular la medida de un ángulo exterior de un pentadecágono regular.
9. Calcular el número de diagonales de un polígono convexo, si la suma de sus ángulos interiores, es igual a
4,5 veces la suma de sus ángulos exteriores.
10. ¿En qué polígono se cumple que el número de sus diagonales excede al número de sus vértices en 7?
57« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
N
OT
A 1. Calcular la medida de un ángulo exterior de un polígono regular de 24
lados.
2. Calcular el ángulo
interior de un
decágono regular
3. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales es
igual al doble del número de lados?
58 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
TEMA 09
CUADRILÁTERO
DEFINICIÓN:
Es la figura que resulta de la reunión de cuatro
segmentos de recta unidos en sus extremos de tal
forma que cualquier par de segmentos no es colineal,
los segmentos sólo tienen en común sus extremos.
ELEMENTOS:
Vértices : A, B, C, D
Lados : A B, BC, CD, D A
B
C
DA




        360º
En todo cuadrilátero la suma de las medidas de los
ángulos interiores es igual a 360º.
Un cuadrilátero puede ser:
Cuadrilátero Convexo:
Polígono convexo de 4 lados.
Cuadrilátero no Convexo:
Polígono no convexo de 4 lados.
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CON-
VEXOS.
Los cuadriláteros se clasifican de acuerdo al paralelis-
mo de sus lados opuestos.
• Trapezoide.
• Trapecio.
• Paralelogramo.
TRAPEZOIDE
Definición: Es aquel cuadrilátero que no presenta
lados opuestos paralelos. Si: AB // CD y BC // A D
ABCD: es un trapezoide
A D
C
B
Clases:
• Trapezoide Simétrico.- Es aquel trapezoide en
el cual una de sus diagonales es parte de la
mediatriz de la otra diagonal.
AB=AD
BC=CD
 
A
D
B
C
L
• Trapezoide Asimétrico.- Es el trapezoide pro-
piamente dicho, esto quiere decir que no presenta
características especiales.
AB // CD BC // AD
A D
C
B
Propiedades:
En todo cuadrilátero convexo se cumple:
I)
II)


2
a b
x
B
C
DA
E
 


x
b
a
B
C
DA



 b
a
xE


2
a b
x
59« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
1. En el gráfico, calcular x.
B
C
DA
x
60º 50º
2. En el gráfico, calcular x.
3x
60ºx
120º
B
C
DA
 
3. En el gráfico, calcular (x+y).
B C
A D
y
x 125º
75º
 
4. En el gráfico, calcular x.
x+30º
x+40º
x+10ºx
B
A D
C
5. Según el gráfico, calcule x.
A
B
C
D70°
3x
100°
2 +20°x
6. En el gráfico, calcular x.
2 –20ºx
3x+20º
30º
A D
C
B
7. Si el perímetro del trapezoide asimétrico ABCD
es 48, calcular x.
2x
x
x
2x
A
B
D
C
8. En el gráfico, calcular (m C m D) 
x
x+42º 2 +28ºx
x–10º
A
CB
D
9. Calcular el perímetro del trapecio simétrico ABCD.
A
D
B
8
4
C
 
60 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
10. En el gráfico, ABCD es un trapezoide simétrico,
si: BP=81, calcular x.
A
D
B
C
P
x2
Bloque II
1. En el gráfico, calcular x.
B
C
A D
x
 
 
80º
2. En el gráfico, calcular x.
A D
C
B




x
130º
70º
3. Los ángulos A y B de un trapezoide ABCD miden
80º y 120º, calcular la medida del ángulo agudo
que forman las bisectrices exteriores de los
ángulos C y D.
4. En el trapezoide simétrico ABCD, calcular x.
A
D
B
x+10º
Cx
5. En el gráfico, calcular x.
C
B
D
A
94º
46º
E
x

 
6. En el gráfico, calcular x.
A D
C
B
 
150º
60º
x
61« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
7. En el trapezoide, calcular x.
B
C
A
 

x
2x
x
D
8. Del gráfico, calcular x.
3x
2x
4x




A D
C
B
9. Según el gráfico, calcule x.
A
B
C
D


 
E
x
75° 85°
 
10.En el gráfico, calcular x.
B
C
A D
130º
50º
x
 


Bloque III
1. En la figura BM=MC, AB= 8 2 , CD=15. Calcule
MN.
B
C
D
M
NA
45° 53°
2. Del gráfico mostrado, calcular (x+y).
 

 



A D
C
B
x
y
3. En el gráfico, calcular x.
x
60º
40º
D
C
B
A
62 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
4. Según el gráfico, calcule x.
B
C
DA
140°
70°
2

2

x
E
5. Según la figura, calcule x.
A
B
C
D
E
x
150°
30°

2

2
1. Según la figura, calcule x.
B
C
DA
4x
2 +10°x 3 10°x-
2. En el gráfico, calcular x.
x 130º
70º60º
A D
C
B
3. Del gráfico, calcular x.
6x
80º
5x60º
A D
C
B
4. En el gráfico, calcular x, si: a+b=200°.
 
b
a
x
A
C
B
D
5. Calcular el perímetro del trapezoide simétrico
ABCD.
A
D
B
C
3 22
6. Según el gráfico, calcule x.
A
B
C
D
E
x
100°
 


63« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
N
OT
A
7. Del gráfico, calcular x.
A D
C
B



x
70º
100º
8. En un trapezoide ABCD m A 90º , AB=AD y
BC=CD. Si: m ABC 115º , calcular m B C D .
9. Según el gráfico, calcule x.
A
B
C
D
E
x
100°
 


10. Según el gráfico, calcule x.
A
B
C
D
E x
100°
50° 
2

2
.
1. Según el gráfico, calcule x.
2. Calcular el
perímetro del
trapezoide simétrico
ABCD.
3. Según el gráfico, calcule x.
A
D
B
C
5
15
A
B
C
D
E
x
150°

22

A
B
C
D

E
x
50°
120°
 
64 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
TEMA 10
TRAPECIO
DEFINICIÓN:
Es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados
paralelos, a los cuales se les denomina bases.
• En la figura, si: B C // A D
ABCD: Es un trapecio..
Bases: BC y AD
Lados laterales: AB y CD
Altura: B H
Base media: M N
A H D
NM
B C
CLASIFICACIÓN:
Los trapecios se clasifican de acuerdo a la longitud de
sus lados laterales en:
1. Trapecio Escaleno.- Es aquel trapecio cuyos lados
laterales tienen diferente longitud.
Si: B C // A D y A B C D
ABCD: Trapecio Escaleno
A D
CB
1.1 Trapecio Rectángulo.- Es aquel trapecio
escaleno, en donde uno de los lados laterales
es perpendicular a las bases.
Si: B C // A D y  m A BC m B AD 90º 
ABCD: Trapecio Rectángulo
A
B C
D
2. Trapecio Isósceles.- Es aquel trapecio cuyos
lados laterales son de igual longitud.
Si: B C A D y AB CD
ABCD: Trapecio Isósceles.
A D
CB
Propiedades:
m B A D m CD A  y AC BD
En todo trapecio, se cumple:
A D
B C


    180º
Propiedades en Trapecio
Teorema 1.- En todo trapecio la base media es pralela
a sus bases y su longitud es igual a la semisuma de las
longitudes de dichas bases.
M N // B C // A D
M N : Base media del trapecio ABCD
A D
NM
B C
x
b
a


2
a b
x
65« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
Teorema 2.- En todo trapecio el segmento que une
bases y su longitud es igual a la semidiferencia de las
longitudes de dichas bases:
A D
CB
P Qx
b
a
P y Q son puntos medios de A C y B D
respectivamente.
Se cumple: P Q // B C // A D y 


2
a b
x
Bloque I
1. En el trapecio ABCD, calcular x, si B C // A D .
A D
B C
7x
2x
2. En el trapecio isósceles ABCD, calcular x, si:
B C // A D .
A D
B C
40º
x
3. En el trapecio isósceles ABCD, calcular x, si:
B C // A D .
A D
B C
x
60º
4. Según el gráfico, calcular x, si: B C // A D
A D
NM
B C
32
x
24
a
a
b
b
5. En el trapecio isóscelesABCD, calcular x, si:
B C // A D . B C
80º 2x
DA
5. En el gráfico B C // A D y  AB 12a ,
C D 18 a  , calcular la longitud de la base media
del trapecio.
D C
BA
66 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
6. En el trapecio ABCD, calcular x si: B C // A D .
A D
B C
4 +10°x
x
7. En el trapecio isósceles ABCD, calcular x, si:
B C // A D
A D
B C
x
3 –60ºx
8. En el trapecio ABCD,  AD BC C D , calcular a
si: B C // A D
A D
B C

80º
9. Las longitudes de las bases y de la base media
suman 30. Calcular la longitud de la base media.
10. En un trapecio ABCD (BC AD)// la base menor BCC
mide x, la base mayor AD mide 7, la base media
del trapecio mide 5. Calcule x.
Bloque II
1. Si M y N son puntos medios de A C y BD , calcular
MN, si: BC 2m y  AD 12 2m .
A D
CB
M N


2. Calcular la longitud de la base media del trapecio
ABCD, si: BC 8 , AB 8 y C D 12 . Además
BC // A D .
A D
CB
   
3. En el trapecio ABCD (BC AD)// , BC=2, AD=4,,
AM=MB, calcule CD.
B C
DA
M


67« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
4. En el trapecio ABCD (BC AD)// , AB=6, BC=4,,
CD=8, AD=16, BM=ME, CN=NF. Calcule MN.
B C
D
M N
E FA
 

5. En el trapecio ABCD (BC AD)// , AB=6, BC=4,,
CD=8. Calcule la longitud de la base media del
trapecio.
B C
DEA
 

6. En el trapecio ABCD (BC AD)// , BC=3, PQ=5,
AP=2(PB), QD=2(CQ). Calcule AD.
B C
DA
P Q
7. En el trapecio ABCD (BC AD)// , PQ=6, AD=8,
BP=2(AP), CQ=2(QD). Calcule BC.
B C
DA
P Q
8. En la figura CD=16. Calcule la longitud del
segmento que tiene por extremos los puntos
medios de las diagonales.
A
B C
D
60°
9. En el trapecio ABCD (BC AD)// , AP=PC, BQ=QD,,
BC=5 + a, AD=13 + a. Calcule PQ.
B C
DA
P Q
68 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
10. Si el segmento que une los puntos medios de las
diagonales de un trapecio mide 5, la longitud de
la base mayor mide 20. Calcular la longitud de la
base menor.
Bloque III
1. En el gráfico ABCD es un trapecio, calcular la
longitud de la base media si: B C // A D .
D
B C10
6
8
 
2. En el trapecio isósceles ABCD (BC AD)// , AB=10.
Calcule la longitud del segmento que tiene por
extremos los puntos medios de las diagonales.
B C
DA
60°
3. En la figura AM=MC, AB=4, BC=8. Calcule DM.
CA
B
M
D
45°
4. En el gráfico ABCD es un trapecio, calcular x
si: B C // A D .
A D
CB
P Q
6 +x m
1 x m2 +
12a
a
b
b
5. En el gráfico ABCD es un trapecio, calcular la
longitud de la base media si: B C // A D .
A D
B C4
10


P
6

69« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
1. En el trapecio isósceles ABCD, calcular x, si:
B C // A D .
A
B C
4x 60º
D
2. En el trapecio ABCD  B C // A D , calcular x.
A D
NM
B C
8
4
x
3. Calcular la longitud de la base media del trapecio
ABCD, si: B C // A D .
A D
CB
   
6 8
10
4. Calcular x, si: A B // CD .
D C
A B
3x
18
36
5. Las longitudes de las bases y de la base media
de un trapecio suman 60. Calcular la longitud de
la base media.
6. En el trapecio ABCD (BC AD)// , AB=12, BC=10,
CD=8. Calcule la longitud de la base media.
B C
DEA
 

7. En el trapecio ABCD (BC AD)// , AP=2(BP),
QD=2(CQ), PQ=6, AD=10. Calcule BC.
B C
DA
P Q
8. En el trapecio ABCD (BC AD)// , AP=PC, BQ=QD,,
BC=6+b, AD=12+b. Calcule PQ.
B C
DA
P Q
9. En el gráfico ABCD es un trapecio, calcular x
si: B C // A D .
A D
CB
P Q
5
x
3n
n
m
m
10. En el gráfico, calcule x si: B C // A D .
A D
NM
B C
2x
6
10
70 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
N
OT
A
2. En la figura,
calcular x
Si: B C // A D
A D
NM
B C
16
x
24
1. En el trapecio ABCD, calcular x, si: B C // A D .
A D
B C
150º
3x
5. En el trapecio ABCD (BC AD)// , AB=8, BC=6, CD=10
Calcule la longitud de la base media del trapecio.
B C
DEA
 

71« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
TEMA 11
PARALELOGRAMOS
DEFINICIÓN:
Es aquel cuadrilatero que tiene dos pares de lados
paralelos.
B
A D
C
AB CD
BC AD
TEOREMAS:
• En todo paralelogramo, los lados paralelos tienen
igual longitud, mientras que los ángulos opuestos
tienen igual medida.
• En todo paralelogramo las diagonales se
intersecan en su punto medio.
b
b
aa




  + = 180º
a
B
A D
C
o
AO = OC y BO = OD
CLASIFICACIÓN:
• ROMBOIDE.- Es aquel paralelogramo cuyo lados
consecutivos son de diferente longitud y cuyos
ángulos internos no son ángulos rectos.
A C B D
a b

B
A D
C
o
b
b
a a
• RECTÁNGULO.- Es aquel paralelogramo cuyos
lados consecutivos son de diferente longitud y
cuyos ángulos internos miden 90º.
A C B D
a b

b
b
a
B C
A D
o
• ROMBO.- Es aquel paralelogramo cuyos lados
son de igual longitud y las medidas de sus ángulos
interiores son diferentes a 90º.
 
 
 
 
A C
D
B
a
aa
a
o
• AC BD
• Las diagonales A B B Dy son bisectrices de los
respectivos ángulos interiores.
• CUADRADO.- Es aquel paralelogramo cuyos
lados son de igual longitud y sus ángulos interiores
son rectos.
A D
B C
45º
45º 45º
45º
45º
45º 45º
45º
o
a
a
a a
AC BD
AC y BD
son bisectrices de los 
respectivos ángulos 
interiores.
72 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
Bloque I
1. Si: ABCD es un romboide. Calcule: x.
DA
B C
81 x2
2. En el romboide ABCD, Calcular: x
B C
A D
x
120º
3. En el romboide. Calcular: x
5x
110º
B C
A D
4. En la figura, ABCD es un romboide. Calcular : x.
2 +10x
70º
DA
B C
5. En el rectángulo ABCD. Calcular : x.
A D
B C
x +202 25
6. En el rectángulo ABCD. Calcular : x.
A D
B C
30º
x
7. En el gráfico, calcule el perímetro del rombo ABCD.
A C
D
B
8
6
O
 
8. En la figura ABCD es un rombo, BD=12. Calcule
su perímetro.
A
B
D
C74°
73« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
9. En el rombo ABCD. Calcular : x.
2x
x
B
A C
D
 
10. Calcule el perímetro del rombo ABCD. Si AC=24.
37º
A C
D
B
 
Bloque II
1. En el romboide ABCD. Calcular: x.


A D
B C20
6
x
2. En el romboide ABCD. Calcular : x.




x
B C
A D
8
3. En el cuadrado ABCD. Calcular : x. si DAED:
Equilátero.
x
E
B
A
C
D
4. En la figura ABCD es un rombo de perímetro
igual a 60. Calcule AC.
106°
A
B
D
C
5. Calcule el perímetro del romboide ABCD.
B
A
C
D




15
74 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
6. En el romboide ABCD. Calcular el valor de x.
A D
B C
3x
x
E
7. Si ABCD es un cuadrado de perímetro 8 2 .
Calcular : x+y.
x
B C
A D
y
P R
Q
8. En la figura ABCD es un romboide, BC=30, CD=12.
Calcule la longitud de la base media del trapecio
BEDC.


B C
DA E
9. En la figura ABCD es un romboide, CD=8. Calcule
la longitud del segmento que tiene por extremos
los puntos medios de las diagonales del trapecio
AECD.
A
B C
D


E
10.En la figura ABCD es un rombo. Calcule x.
A
B
D
C
x
3

60°E
Bloque III
1. En la figura ABCD es un cuadrado, CDE es un
triángulo equilátero. Calcule x.
x
A
B C
E
D
2. En la figura ABCD es un cuadrado y AED es un
triángulo equilátero. Calcule x.
A
B C
E
D
x
 
75« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
3. En el gráfico: ABCD: Rombo. Calcular : x
x
40º
B
A C
D
 
4. En la figura ABCD es un cuadrado y CDE es un
triángulo equilátero, BE=12. Calcule BF.
A
B C
E
D
F
5. En la figura ABCD es un cuadrado y AED es un
triángulo equilátero, FH=2. Calcule el perímetro
del cuadrado.
A
B H C
E
D
F
 
1. En el romboide ABCD. Calcular x.
5 +36x7 +18x
B C
A D
2. Si ABCD es un rectángulo de perímetro:36 2 ,
Calcular x.
2x
x
A D
B C
3. Calcular el perímetro del romboide ABCD.
A D
B C


4
12
E
4. En la figura ABCD es un romboide, BM=ME,
CN=ND, BC=12, CD=4. Calcule MN.


B C
DA E
M N
5. En la figura ABCD es un rombo. Calcule x.
77°
A
B
D
C
x


E
6. Si ABCD es un cuadrado, DCDE: Equilátero,
Calcular : x.
A D
B C
x
E
76 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
N
OT
A
7. En la figura ABCD es un rectángulo. Calcule x.
A
B C
D
E
30°
x
8. En el gráfico. Calcule x, si ABCD: cuadrado, DAED:
Equilátero.
x
E
B
A
C
D
9. Calcule el perímetro del rombo ABCD. Si: AC=12.
53º
A C
D
B
10. En la figura ABCD es un cuadrado, AB=ED. Calcule
x.
A
B C
E
D
x
20°
1. En el rectángulo ABCD. Calcular : x. si el perimetro del rectángulo es
igual a 80.
2. En la figura,
ABCD es un romboide.
Calcular: x.
3. En la figura ABCD es un rombo. Calcule x.
4x
80º
DA
B C
4x
x
A D
B C
50°
A
B
D
C
x
5

E