Copia de Geometría 1 parte 2

Vista previa del material en texto

77« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
TEMA 12
CIRCUNFERENCIA: TEOREMAS
DEFINICIÓN:
Es un conjunto de puntos que pertenecen a un plano
y que equidistan de otro punto fijo de dicho plano
denominado centro.
C.
R
BA.
.
.O
En el gráfico se observa una circunferencia de centro
O y radio R donde:
C: Punto exterior a la circunferencia.
B: Punto interior de la circunferencia.
A: Punto perteneciente a la circunferencia.
Líneas asociadas a la circunferencia.
Q
BA
.
T
T
P
N
M
O
R
S
E
F
En la circunferencia de centro O y de radio R se observa
lo siguiente:
• MN : Cuerda.
• AB : Cuerda máxima o diámetro.
• PQ : Flecha o sagita.
• EF : Arco EF (mEF medida del marco EF).:
• S : Recta secante.
• T : Recta tangente.
• T : Punto de tangencia.
• Longitud de la circunferencia: L
2 RL  
• Medida angular de la circunferencia: 360º.
TEOREMAS
I. Toda recta tangente
L1
TO
 
L1
Recta tangente a la
circunferencia en T
:
OT Radio de la circunferencia:
OT L1
II. Dos rectas paralelas, secantes a una
circunferencia. Determinan arcos de igual media.
L1
A B
C D
L2
L1 L2Si :
m AC = m BD
III. Dos cuerdas de igual medida determinan en una
misma circunferencia, arcos de igual medida y
viceversa.
A C
B D
AB = CDSi :
m AB = m CD
IV. Todo diametro perpendicular a una cuerda biseca
a dicha acuerda y a los arcos que subtiende.
A
O
B
M N
H
 
MN ABSi :
m AN = m BN
MN: Es diametro, AB: cuerda 
AH = HB
y
V. Los segmentos tangentes trazados desde un punto
exterior a una misma circunferencia son
congruentes.
 
B
A
P
 
Sean A y B Puntos de
Tangencia
PA = PB
78 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
Bloque I
1. Si: 1L

es tangente a la circunferencia en T,,
Calcular: x. (O es centro).
O
x
L1
T
2. Si: 1L

 es tangente a la circunferencia en T,,
calcular:x. Si OT=AT (0 es centro).
O
x
L1
T
A
3. En el gráfico, calcular: x (0 es centro).
O
A B
x2
36
4. En el gráfico, calcular: x (0 es centro).
O
A B
(x-1) 2
25
5. En el gráfico, calcular x. (0 es centro)
x-8 24
O
A
B
 
6. En el gráfico, calcular x.
B D
A C
x3 27
7. En el gráfico, calcular x.
a
a
A
B
C
D
3 -18x
2 +82x
8. En el gráfico, calcular x. (0 es centro)
B D
A C
a ax 18
O
9. En el gráfico, calcular x. Si O es centro de la
circunferencia.
3 +10x
x+40
O
BA
10. En el gráfico, calcular : x.
A C
B D
x+
40
3
-20
x120º 120º
79« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
Bloque II
11. En el gráfico, calcular x. Si: A B // CD
A B
C D
40ºx-43
12. En el gráfico, calcular x. Si: P y Q son puntos de
tangencia.
5 -10x
P
Q
P
3 +40
x
13. En el gráfico, calcular x. Si: B y C son puntos de
tangencia.
2x+1
B
C
A
3x-1
0
14. En el gráfico, calcular: x. si A y B son puntos de
tangencia.
5 -16x
A
B
P
4 +32
x
15. En el gráfico, calcular: x. Si : A B // CD
A B
C D
60º( +40º)x
 
16. En el gráfico, calcular x. (0 es centro)
B D
A C
n n
x 8
O
 
17. Si: 1L

 es tangente a la circunferencia en T,,
calcular:x (o es centro).
2x
20º
O
L1
T
18. En el gráfico, calcular: x. Si A y B son puntos de
tangencia en la circunferencia de centro O.
A
B
30º
xO
P
19. Si: 1L

 es tangente a la circunferencia en T,,
calcular:x (o es centro).
4x
40º
O
L1
T
 
20. En el gráfico, calcular: x. Si : A B // CD
A B
C D
80º(3x-10)º
 
80 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
Bloque III
21. Calcular x, en la circunferencia de centro O. Si
OA=10 y MN=16.
O
A
M N
x
 
22. Calcular: OM, en la circunferencia de centro o
y MN = 6 OA=5.
O A
M
N
 
23. En el gráfico, calcular: x. o es centro de la
circunferencia.
12
O
A
B
D
C
40
x
 
24. En el gráfico: R, Q, S son puntos de tangencia.
Calcular x, en :
4
x
2
A C
B
Q
S
R
25. En el gráfico: P, Q, R son puntos de tangencia.
Calcular x, en:
x
16
14 18
B
P Q
R
A C
1. En el gráfico, calcular x, si: A B // CD
A B
C D
36º( +4)ºx
2. En el gráfico, calcular x, si: A B // CD
A B
C D
70º2x
3. En el gráfico, calcular : x, si P y Q son puntos de
tangencia. P
Q
M
3 -
 10ºx
2 +12º
x
4. En el gráfico, calcular : x, si A y B son puntos de
tangencia.
2x+1
B
C
A
4x-1
5
81« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
5. Si: 1L

 es tangente a la circunferencia en T,,
calcular:x. Si OT=AT (0 es centro).
O
x
L1
T
A
6. En el gráfico, calcular: x (0 es centro).
O
A B
x2
16
7. En el gráfico, calcular x. Si O es centro de la
circunferencia.
O
A B
x2
49
8. En el gráfico, calcular : x
a a
x+
23
3
+
15
x
A C
B D
9. P, Q, R son puntos de tangencia. En la figura,
calcular : x
7
6
x
B
P Q
R
A C
10. En el gráfico, calcular: x (0 es centro).
O
AB
3x-1
14
N
OT
A
2. En el gráfico,
calcular x.
N P
M Q
x3 8
1. En el gráfico, calcular : x, si P y Q son puntos de tangencia.
5x-11
P
Q
R
2x+4
3. En el gráfico, calcular: x (0 es centro).
O
AB
5x-1
24
82 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
TEMA 13
CIRCUNFERENCIA: ÁNGULOS
1. Ángulo central
A
O

B
x°
En la figura, AOB: ángulo central
se cumple: x° = °
2. Ángulo inscrito
A

B
P x°
En la figura, APB: ángulo inscrito
se cumple: 

 x
2
3. Ángulo seminscrito
A
x°

BP
Recta tangente
En la figura, APB: ángulo seminscrito
se cumple: 

 x
2
4. Ángulo interior
A
B
N
M
P
 x°
En la figura, APB: ángulo interior
se cumple: 
  
 x
2
5. Ángulo exterior
a. Formado por dos rectas secantes
A
B
D
C
P

 x°
En la figura, APB: ángulo exterior
se cumple:    x
2
b. Formado por una recta secante y una
tangente
A
B
T
P


x°
Recta
tangente
En la figura, TPA: ángulo exterior
se cumple: 
  
 x
2
c. Formado por dos tangentes
A
B
P


x°
En la figura, APB: ángulo exterior
se cumple: 
  
 x
2
además: x° + ° = 180°
83« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
Bloque I
1. Del gráfico. Calcular: x.
B
A
C
D
130º
3 +20ºxx+30º
2x
2. Del gráfico, calcular : x, si O es centro.
O
A
2x 80º
B
3. Del gráfico, calcular: x, si O es centro.
O
A
x
2 -70ºx
B
4. En el gráfico, calcular x.
A
x
BP 40º
5. Del gráfico, calcular x.
A
132º
BP x+28º
6. Del gráfico, calcular x.
CB
D
A
x
44º
98º
7. Del gráfico, calcular: ADm . Si: BC 100ºm
C
B
D
A
105º
8. Del gráfico, calcular: x.
C
B
D
A 50º

9. Del gráfico, calcular: x. si B y C son puntos de
tangencia.
B
C
A 40º
x
10. Del gráfico, calcular: x. si A MD 76ºm  y
BC 42ºm  .
x
B C
M
A D
F
84 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
Bloque II
1. Del gráfico, calcular: x. si 0 es centro.
40ºB C
A
x
O
2. Del gráfico, calcular: x.
xB
A
C
120º
140º
3. Del gráfico, calcular: x.
CB
D
A
x
4x
4. Del gráfico, calcular: x, si A BC 280ºm 
x
A
B C
5. Del gráfico, calcular A Dm . si BC 20ºm 
60º
A
D
B
C
6. Del gráfico, calcular x, si A B 4m x , CD 2m x
20º
A
D
BCP
7. Calcular x. Si AB es diámetro..
x
BA
8. En la figura. Calcule: x.

5a
6a
8a
a
9. Calcular x. Si T es punto de tangencia.
45º
x
T L
85« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
10. Si P y Q son puntos de tangencia. Calcular : x.
60º
x
Q
M
P T
Bloque III
1. En la figura la m APB 200  ,CB=BP. Calcule x.
P
A
B
x
C
2. En la figura T es punto de tangencia. Calcule x.
B
T
x
A
E
x
3. En la circunferencia T es punto de tangencia,
mAT 50  . Calcule x.
.
x
50°
A
B
E
P
T
4. En la circunferencia la mAPB 280  . Calcule x.
A
B
2x
P
5. En la figura P, T y Q sonpuntos de tangencia.
Calcule x.
T
.
P
80°
2x Q
3x
86 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
1. Si o es centro, calcular : x.
x
A
B
240º O
2. Del gráfico, calcular : x.
2xB
A
C
100º
3. Del gráfico AB 80ºm  , CD 40ºm  . Calcular: x.
x
DB
A C
4. Del gráfico, calcule: x, si P y T son puntos de
tangencia.
70º
T
P
x QM
5. Del gráfico, calcular: x.
2x
A C
B
6. En la circunferencia O es centro. Calcule a + b.
P
A
B
50° O


7. En la circunferencia, la mAB 60  , mCD 80  .
Calcule x.
D
A
B
x+20°
C
8. En la figura O es centro. Calcule x.
O
A
B
C
80°
x
9. En la figura la mAB 110  , la mCD 60  . Calcule
x.
C
A
B
x+10°
D
P
10. En la circunferencia calcule la  mAB mCD .
D
A
B
80°
C
87« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
N
OT
A
2. En la figura O
es centro.
Calcule x.
P
A
B
30° O
2x
x
3. En la figura la mAPB 200  . Calcule x.
P
A
.x B
1. En la figura T es punto de tangencia la mAT 70  . Calcule x.
.
A
B
x
T
P35°
88 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
TEMA 14
PROPORCIONALIDAD
RAZÓN DE DOS SEGMENTOS
Se denomina razón de dos segmentos al cociente de valores numéricos expresados en la misma unidad de
medida.
Ejemplo: 
A B
14cm
C D7cm
AB = 14cm CD = 7cm
La razón geométrica de dichos segmentos es: 
AB 14cm
2
CD 7cm
  ó
CD 7cm 1
AB 14cm 2
 
SEGMENTOS PROPORCIONALES:
Dos segmentos rectilíneos son proporcionales a otros dos, cuando tienen la misma razón.
A B5cm C D10cm
A B 5 1
CD 10 2
 
M N
6cm
P Q
12cm
M N 6 1
P Q 12 2
 
Luego:
AB
CD
MN
PQ
1
2
= =
Las longitudes de los segmentos AB y 
CD son proporcionales a las longitudes 
de los segmentos MN y PQ.
TEOREMA DE TALES
Si dos rectas cualesquiera son intersecadas por una serie de rectas
paralelas, entonces dichas paralelas determinan, sobre las dos rectas
dadas, segmentos proporcionales respectivamente.
Sean: L1 L2 L3 y L4 L5 rectas no paralelas
Se cumple: 
A B DE
B C E F

COROLARIO DEL TEOREMA DE TALES
Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo determina; en
los otros dos lados, segmentos proporcionales.
Si : L1 AC
Se cumple: 
BP BQ
P A QC

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
En todo triángulo, una bisectriz interior divide internamente al lado al cual es relativo en segmentos.
Proporcionales a los lados contiguos a dicha bisectriz.
B D : Bisectriz que divide
 
B
A
D
C
a
m n
cinternamente a A C
 
m c
n a
 
A
B
C
D
E
F
L1
L2
L3
L5L4
P Q
B
A C
L1
89« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
En todo triángulo, una bisectriz exterior divide externamente al lado al cual es relativo en segmentos
proporcionales a los lados contiguos.
B D : Bisectriz exterior
que divide externamente
 
m c
n a
 
OBSERVACIÓN:
Para que BD, corte a la prolongación de 
AC se tiene que cumplir:
 > c a


A nC D
m
c
B
a
Bloque I
1. Si: 1 2 3L // L // L , calcular x.
x
4
3
6
L1
L2
L3
2. Si: 1 2 3L // L // L , calcular x.
x
9 30
10
L1
L2
L3
3. Si: 1 2 3L // L // L , calcular x.
x
6
2a
a
L1
L2
L3
4. Si: 1 2 3L // L // L , calcular x.
x
12
10
15
L1
L2
L3
5. Si: 1 2 3L // L // L , calcular x.
x+1
5
7
x-1
L1
L2
L3
6. Si: 1 2 3L // L // L , calcular x.
x+2
4
9
x+2
L1
L2
L3
90 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
7. En la figura 1 2 3L // L // L
  
, AB=3x–2, BC=6, DE=2,
EF=3. Calcule x.
A
B
C
D L1
L2
L3
E
F
8. En la figura 1 2 3L // L // L
  
. Calcule x.
x+1
x+3
x+2
x+5
L1
L2
L3
9. En la figura calcule x.
4
y
y
6
L1
L2
L3
2x
2 +3x
10. En la figura calcule x.
2
z
z
8
L1
L2
L3
2x
x+9
Bloque II
1. Calcular x, si: MN// AC
A C
B
M N
6
x
8
3
2. Calcular x, si: M N // A C
A C
18
M N
5
15
x
91« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
3. Calcular x, si: M N // A C
B N C
M
A
3a
2a
x21
4. En el gráfico, calcular: x
 
A D C
B
6 12
x 10
5. En el gráfico, calcular x.
A x
D
C
B
8
 
105
6. En la figura MN AC// , AM=x, MB=2x+1, BN=14,,
NC=6. Calcule x.
A
B
C
NM
7. En la figura MN // AC , ME // AN , EN=2, NC=3.
Calcule BE.
A
B
C
NM
E
8. En la figura MN // AC , EN // MC , AM=6, ME=4..
Calcule BE.
A
B
M N
C
E
9. En la figura AB BC
3 4
 , AC=14. Calcule AD..
 
A D
B
C
92 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
10. En la figura: AB BC
4 5
 , AC=18. Calcule DC.
 
A D
B
C
Bloque III
1. Del gráfico, calcular x


A
C
D2k 3k
x
15
B
2. Calcular x

B
A
D
Cx
18

16
8
3. En la figura calcule x.
 
A
B
C


a
3a
7
I
8
x
4. En la figura el perímetro de la región triangular
ABC es 21. Calcule x.
 
A
B
C


x
4
I
7
5. En la figura los polígonos cuyos lados miden a, x
y b son regulares. Calcule x.
b x a
93« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
1. Calcular x, si: 1 2 3L // L // L
16
L1
L2
L3
12
4
x
2. Si : M N // A C , calcular x.
A C
B
M N
3a 21
x2a
3. En el gráfico, calcular x.
B
D
A C8 6
10 x
 
4. En la figura MN // AC . Calcule x.
A
B
C
NM
2 +1x
x+1
5
3
5. En la figura 
1 2 3L // L // L
  
. Calcule x.
2x
2 +6x
3k
5k
L1
L2
L3
6. En la figura: AB BC
5 6
 , AC=22. Calcule AD..
A
B
D

C
7. Calcular x
B
A D C
16
x

24
12
8. Calcular x
B
A D C
6
x

8
4
94 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
9. En la figura AB // DE , BE=2, EC=3. Calcule AB..
 
A D
B
C
E
N
OT
A
2. Calcular x, si :
1 2 3L // L // L
3. Calcular x, si: MN// AC
1. En el gráfico: BD=2x, DC=x+1, AE=18, EC=12. Calcule x.
12
L1
L2
L3
x
3a
a
A C
B
E
D
A C
B
M N
8
x
24 12
10. En la figura AB // DE , BE=6, EC=4. Calcule AB..
 
B
E
A D C
95« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
TEMA 15
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres
ángulos congruentes y sus tres lados proporcionales.
Nota: Se llama lados homólogos, uno en cada
triángulo, aquellos opuestos a ángulos
congruentes.
B
A C

 

 
E
D F
Del gráfico:
ABC DEF  y se cumple :
k : Constante de proporcionalidad
( DE y AB; EF y BC; DF y AC son pares de lados
homólogos)
CRITERIOS DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos son semejantes si cumplen cualquiera
de los siguientes criterios:
1er. Criterio:
Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del
primero son congruentes a dos ángulos del segundo.
B
A C
 
M P
N

3er. Criterio:
Dos triángulos son semejantes si los tres lados del
primero son proporcionales a los tres lados del segundo.
B
A C
N
M P
eK
fKdK
fd
e
2do. Criterio:
Dos triángulos son semejantes si dos lados del primero
son proporcionales a dos lados del segundo y los
ángulos formados por dichos lados son congruentes.
B

CA
dK fK

N
M P
d f
TEOREMA
Toda recta paralela a un lado de un triángulo secante
a los otros dos, determina un triángulo semejante al
triángulo dado.
Si: 1L //AC
Se cumple:
 ABC MBN  
B
A C
M N
 
L1
Bloque I
1. Señale el criterio de semejanza que corresponde.
A
B
C
8 4
N
M P
24
30º 30º
2. Señale el criterio de semejanza que corresponde.
B
A C
M
N
P
9 12
15
6 8
10
DE EF DF
AB BC AC
k  
96 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
4. En el gráfico, calcular x.
x
B
A C
9

N
M P4

x


5. En el gráfico, calcular x.

M P
N
3x
B
A C

12 9
6. En el gráfico PQ=15,QR=9, BC=5. Calcule AB.
B
A C P R
Q
  
7. En la figura BC=6, PQ=3, QR=2. Calcule AB.


A
B C Q R
P


8. En la figura: =90°, BC=6, PQ=3, QR=4.
Calcule AB.


A
B Q R
P
C
9. En la figura: BC=24, PQ=6, QR=8. Calcule AB.
  
P R A C
B
Q
10. Señale el criterio de semejanza que corresponde
B
A C
70º 50º
N
M P
70º 50º
Bloque II
1. Si: A B // N L . Calcular x.
6
N
M B L
x
4
10
A
97« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
2. Si: P Q // E H , calcular x.
E H
M
P
8
4
Q
3
x
3. Si: M N // A C , calcular x.
C
B
M
2
N
x
A
3
6
4. Del gráfico, M N // A C . Calcular x.
C
B
4b
x
A
3
3b
M N
5. En la figura: M N // A C , AC=20, B N N C
3 2
 .
Calcule MN.
A C
B
NM
6. En la figura: AB=12, BD=6, DC=12. Calcule DF.
FA C
D
B
 
7. En la figura: AC=3, AE=9, DE=5. Calcule AB.
B
A C E
D
8. En la figura AB=4, DE=9, AC=CE. Calcule AC.
A
B
C E
D
98 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
9. En la figura: BE=6, DE=EC=4. Calcule AC.
A C
B
ED 

 
10. En la figura: AB=9, AE=4, EC=2. Calcule DE.
B
A CE
D
Bloque III
1. Del gráfico, calcular x.

D
A C
8
x+8
B
x

2. Del gráfico, calcular: x.
xA
B
2
6
CH
3. En la figura T es punto de tangencia, PB=4, R=4,5.
Calcule TB.
T
P
BRO
A
4. En la figura: AB=4, BC=6, DBEF es un cuadrado.
Calcule DB.
FA C
E
B
D
99« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
5. En la figura: AB=a, CD=b. Calcule EF.
B
A F D
C
E
1. Del gráfico, M N // A C . Calcular x.
A C
B
M
3b
4b
N
12
x
2. Del gráfico, calcular x.
6
N
12
4
x
A C
B
M
3. Del gráfico, calcular x.

A
B
10
x

C
D
8
20
4. Del gráfico, calcular x.
A C
B
M
6
2
N
4
4x
5. En la figura: AH=4, BH=6, DE=2. Calcule EC.
A H E C
B
D
6. Del gráfico, calcular x.
x

1
8

D
A C
B
7. Del gráfico, calcular x.


N
A C
2
6
B
x
8. En la figura: AB=12, AC=16, PQ=4. Calcule BQ.
A C

P
B
Q

100 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
9. En el gráfico, calcular x.
2
A C
B
x
N
63
M
10. En el gráfico, calcular x.
A C
B
P
Q


x
x
11
3
N
OT
A
2. Calcular x.
3. En la figura: AB=1, DE=4, BC=CE. Calcule BC
1. En la figura: AB=9, AC=12, BN=3. Calcule MN.
A C

M
B
N

B
A
C E
D
x
4 5
A C
B
8
101« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
TEMA 16
RELACIONES MÉTRICAS
EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
A
B
c a
n C
b
m H
h
En el triángulo rectángulo ABC:
ABy BC : Catetos
AC : Hipotenusa
BH : Altura relativa a la hipotenusa
AH y HC : Proyecciones de A B y B C sobre e AC res-
pectivamente.
1. El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al
producto de las longitudes de la hipotenusa y la
proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
c b m2= . a =2 b n.
2. El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados de las longitudes de los
catetos (Teorema de Pitágoras).
b a c2 2 2= +
3. El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es
igual al producto de las longitudes de las proyec-
ciones de los catetos sobre dicha hipotenusa.
h m n2= .
4. El producto de las longitudes de los catetos es igual
al producto de las longitudes de la hipotenusa y la
altura relativa a dicha hipotenusa.
ac b h= .
Bloque I
1. En la figura: AB=3, BC=4. Calcule BH.
A H C
B
2. En la figura: MN=2, N P 2 3 . Calcule NH.
M H
N
P
3. En la figura: B H 42 , HC=AH+1. Calcule AH.
A H C
B
4. En la figura: B H 30 , HC=AH+1. Calcule AH.
A H C
B
102 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
5. En la figura: AB=x+1, BC=8, AC=x+5. Calcule x.
A C
B
6. En la figura: AB=x, BC=12, AC=x+8. Calcule x.
A C
B
7. En la figura: AH=HC. Calcule x.
A H
B
x
C
8. En la figura: AH=3, HC=1. Calcule x.
x
B
CA H
9. Hallar "x"
2 x + 4
x
 
10.Calcular "h" en:
5 12
h
Bloque II
1. En la figura: BM=MC; AN=8,5; NC=4,5. Calcule
MN.
A
B
M
N C
2. En la figura: BN=NC, AP=12, PC=8. Calcule NP.
A
B
N
P C
103« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
3. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. AB =
12u; BC = 9u; se traza la altura BH . Calcular la
proyección de BH sobree AB .
4. Los catetos de un triángulo rectángulo son entre si
como 2 es a 3. Si la altura relativa a la hipotenusa
mide 6 13 . Hallar el cateto mayor..
5. En la figura: AM=MB, AN=8, NC=17. Calcule MN.
A
B
M
N C
6. En la figura: AB=6, AH=4, DC=4. Calcule HD.
A H C
B
D
7. En la figura: BH=6, HC=9, AD=5. Calcule DC.
A H
B
D
C
8. En la figura: AH=1, HC=9. Calcule el mayor valor
entero de HE.
A H C
B

 E
104 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
9. En la figura: AH=4, HC=9. Calcule el mayor valor
entero de BE.
A H C
B

 E
10.Si: AB = 3, BC = 4 y AC = 5.Calcular "BM"
CA
B
M
Bloque III
1. En la figura: AE=EB=6, AH=4, HC=5. Calcule x.
A H
B
C
x
E
2. En la figura: (AP) (AC)=50. Calcule AB.
A
B
C


D
P
3. En la figura: AP=6, PC=4. Calcule R.
A
O C
PR
B
4. En la figura: OR=6, RB=2. Calcule OP.
A
P
O R
Q
B
105« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
5. En la figura T es punto de tangencia: AT=4, TB=6.
Calcule R.
A
O
R
T
B
1. En la figura: B H 56 , AH=x, HC=x+1. Calcule
x.
A H
B
C
2. En la figura: AB=x, AC=x+2, BC=4. Calcule x.
A C
B
3. Si: AB = 4, BC = 6 y AC = 8. Calcular "AH"
B
CA
H
4. Hallar "BC", si: AB = 6; AC = 8 y AH = 1
B
CA
H
5. En un triángulo de lados: 13, 14 y 15. Calcular la
longitud de la altura relativa al lado intermedio.
6. Calcular "h" en:
8
h
17
7. Hallar "x"
106 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
N
OT
A
8. AB = 3, BC = 4, calcular BH
B
A C
H
9. AB = 2, HC = 3, calcular AH
B
A C
H
10. En la figura: BH=6, AH=4, DH=HC. Calcule el
mayor valor entero de DC.
A
H
B
D
C
3. En la figura: AH=3, HC=6. Calcule AB.
2. Los catetos de un
triángulo rectángulo
miden 20 y 21. Hallar la
hipotenusa.
1. En la figura: PT=TR=5, PH=4, HQ=12. Calcule x.
P H
R
x
T
Q
A H
B
C
107« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
TEMA 17
ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
Región triangular.-
Es una región plana cuyo contorno es un triángulo.
Formula general.-
El área de una región tringular es igual al semiproducto
de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho
lado.
A
B
C
h
H
b
 ABC
b.h
A
2

ABCA : Área de la región tringular ABC.
 b : Longitud de AC
 h : Longitud de altura BH
Fórmulas diversas.-
• Triángulo obtusángulo
A
B C
h
b
 ABC
bh
A
2

• Triángulo rectángulo
A
B C
c
a
ABC
ac
A
2

• Triángulo equilátero
L
CA
B
L L
 
2
ABC
L 3
A
4

Relaciones entre Áreas de Regiones
Triangulares
A1 A2
m nA
B
C
D
BD : Ceviana
 n
m
A
A
2
1 
1. Calcular "a", si el área del triángulo PQT es 24 u2.
a
Q
P T3a
2. Los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí
como 3 es a 4. Si el área de su región es 54 u2,
¿cuánto mide su hipotenusa?
3. El perímetro de un triángulo equilátero es 36 u.
Calcular el área de su región.
108 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
4. Calcular el área de la región triangular sombreada
C
A
B
10
4
H
5. Del gráfico, calcular el área de la región triangular
ABC.
CA
B
12
4
H
6. Del gráfico, calcular el área de la región triangular
ABC.
CA
B
5
13
7. Calcular el área de la región triangular ABC.
CA
B
16
16
16
8. Calcular el área de la región triangular ABC.
CA
B
4 4
60°
9. Calcularel área de la región sombreada.
12m2
10. Calcular el área de la región sombreada.
24 3m
Bloque II
1. Calcular el área de la región sombreada
20m2
109« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
2. Hallar el área de la región sombreada, si el área
del triángulo ABC es 40 u2.
CA
B
3k 2k
3. Calcular el área de la región triangular ABC.
DA
B
30°
2
30°
C
4. Calcular el área de la región triangular ABC.
4 2
CD
A
B
45° 53°
5. Calcular el área de la región triangular ABC.
4 2
CA
B
H
45° 53°
6. Del gráfico, calcular el área de la región triangular
ABC.
CA
B
15
12
7. Calcular el área de la región sombreada.
216 2 u
8. Calcular el área de la región sombreada.
6
30°
30°
110 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
9. Los catetos de un triángulo rectángulo están en
relación de 1 es a 2, calcular la longitud del cateto
mayor si el área del triángulo es 16 u2.
10.Hallar el área de la región del trapecio APQC.
A
B
C
P Q
y
 
Bloque III
1. Calcular el área de la región sombreada.
36 cm2
2. Si BC=6 m, CD= 10 m. Calcular el área de la
región sombreada.
DA
37°
B C
E
3. De la figura, BM = MC y AQ = QM, el área del
triángulo "ABQ" es 8 u2. Calcular el área del triángulo
"ABC".
A
B
C
Q
M
4. Hallar el área de la región triangular ABC.
A
B
C
N
M
S
5. Un triángulo ABC tiene un área de 120 u2. Sobre el
lado AC se toma un punto "Q" tal que: 3AQ =
7QC. Calcular el área del triángulo "ABQ".
111« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
1. Del gráfico, calcular el área de la región triangular
ABC.
CA
B
8
3
2. Calcular el área de la región triangular ABC.
C
B
6
4
A
3. Si el perímetro del triángulo ABC es 9 cm. Calcular
el área de la región triangular ABC.
CA
60°
60° 60°
B
4. Del gráfico, calcular el área de la región triangular
ABC.
CA
B
6



5. El área de la superficie de un triángulo equilátero
es 316 u2. Calcular la longitud de un lado..
6. La base y la altura de un triángulo son iguales y su
superficie mide 8 u2. Calcular la longitud de la base.
7. Del gráfico, calcular el área de la región triangular
ABC.
CA
B
H
6 2
16 2
8. Del gráfico, calcular el área de la región triangular
ABC.
CA
B
6 8
9. Hallar el área de la región triangular ABC
A F
B
Cb 3b
2a
a
E
15u2
10. Del gráfico, calcular el área de la región triangular
ABC.
CA
B
8
60°
60°
112 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
N
OT
A 1. Del gráfico la región sombreada mide 15 cm2; calcular el área de la región
triangular ABC.
1. Hallar el área de
la región triangular
"ABC".
3. Del gráfico, AB=4, DC=6. Calcular el área de la región
triangular BDC.
B
A C
4
6
60º
CA
B
D
A
B
C
113« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
TEMA 18
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
Región cuadrangular.- Es una región plana cuyo
contorno es un cuadrilátero. Para nuestro estudio sólo
trabajaremos con cuadriláteros convexos.
• Área de una región cuadrada.- Es igual a la
longitud de uno de sus lados elevada al cuadrado.
 
A B
D C
L
L L
L
d
• Área de una región rectangular.- Es igual al
producto de las longitudes de sus dimensiones
(producto de sus lados).
A
B
D
C
a
b
ABCDA  ab
• Área de la región romboidal.- Es igual al
producto de las longitudes de un lado y la altura
relativa a dicho lado.
A
B
h
C
a
b
D
ABCD .A  b h
• Área de la región rombal.- Es igual al
semiproducto de las longitudes de sus diagonales.
A
B
D
C d1
d2
1 2
ABCD
d dA
2


• Área de la región trapecial.- Es igual al
producto de la semisuma de las longitudes de las
bases con la longitud de la altura de dicho trapecio.
A
aB C
D
b
M N
m
A ABCD =
a b+
2
h
También:
A ABCD = m h
MN : Es la base media del trapecio ABCD..
2
ABCDA L
2
ABCD
dA
2

Bloque I
1. Calcular el área de la región rectangular ABCD.
 
2. Calcular el área de la región cuadrada ABCD.
 
114 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
3. Calcular el área de la región romboidal ABCD.
4. Calcular el área de la región rombal ABCD.
 
5. Calcular el área de la región trapecial ABCD.
6. Si AC 7 2 , calcular el área de la región
cuadrada ABCD.
 
7. Calcular el área de la región rectangular ABCD.
8. Hallar "x"
x 48 cm2
16 cm
 
9. Hallar "y"
81 cm2y
y
10.Hallar "a"
a
17 cm
663 cm2
 
Bloque II
1. Calcular el área de la región rectangular ABCD.
2. Calcular el área de la región romboidal ABCD.
4 2
6 2
115« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
3. Calcular el área de la región romboidal ABCD, si
CD=12.
 
4. Calcular el área de la región rombal ABCD, de
diagonales 15 cm y 10 cm.
5. Calcular el área de la región rombal ABCD, de
diagonales 30 3 cm y 20 3 cm.
6. Calcular el área de la región rombal ABCD.
7. Calcular el área de la región trapecial ABCD, si
MN=9 y CH 3 3 .  BC // AD
 
8. Calcular el área de la región trapecial ABCD, si
BC=4; AD=14; HC=6.  B C // A D
9. Calcular el área de la región rectangular ABCD, si
BC AB 10  .
10.Los catetos de un triángulo rectángulo están en
relación de 1 es a 2, calcular la longitud del cateto
mayor si el área del triángulo es 16 u2.
Bloque III
1. Calcular el área de la región sombreada.
6 cm
10 cm
18 cm 8 cm
116 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
2. Calcular el área de la región sombreada.
3. Calcular el área de la región romboidal ABCD.
A
B C
D
6
53º
16
4. Calcular el área de la región romboidal ABCD.
5. Si ABCD es un rectángulo de centro O, calcular el
área de la región sombreada.
1. Calcular el área de la región cuadrada ABCD.
B C
A D
6
2. Calcular el área de la región cuadrada ABCD.
117« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
N
OT
A
3. Calcular el área de la región rectangular ABCD.
4. Calcular el área de una región rombal, si las
diagonales miden 14 y 12.
5. Si: CH=4; BC=6 y AD=12. Calcular el área de la
región trapecial ABCD.  B C // A D
A
B C
DH
6. Las diagonales de un rombo son entre sí como 2 es
a 3 y el área de su región es 108 u2. Calcular la
suma de sus diagonales.
7. Las bases de un trapecio miden 4 u y 10 u y el área
de dicho trapecio mide 63 u2. Calcular su altura.
8. Si dos lados de un romboide miden 6 cm y 8 cm y
además una altura mide 7 cm, calcular su área.
9. Si el área de la región sombreada es 80 cm2, calcular
“h”.
h
10.Si ABCD es un romboide y b+h=16m, calcular su
área.
A
B C
D
h=3k
2. Calcular el área
de la región rombal
ABCD.
1. Si: AD//BC , calcular la longitud de la altura, si: S = 30 cm2.
3. Calcular el área de la región de un rectángulo, si un
lado es triple del otro y su perímetro es 88 cm.
B C
A D9 cm
3 cm
118 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
TEMA 19
ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES
Área del círculo.-
O : Centro del círculo 
R : Radio
Se cumple:
2A R 
Área del semi-círculo.-
O : Centro del círculo
R : Radio
Se cumple:
 
Área del sector circular.-
O : Centro del círculo 
R : Radio
Se cumple:
Área de una corona circular.-
O : Centro del círculo 
R : Radio
Se cumple:
Bloque I
1. Calcular el área del círculo, si R=8. O es centro
R
O
2. Calcular el área del círculo, si R= 5 2 . O es centroo
R
O
3. Calcular el área del círculo, si 
3R
2
 . O es centroo
R
O
4. Calcular el área del semicírculo, si R=6. O es centro
R
5. Calcular el área del círculo, cuyo diámetro AB ,
tiene una longitud de 20 cm.
OA B
6. Calcular el área del círculo, cuyo diámetro AB
tiene una longitud de 16 2 .
OA B
119« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Añode Secundaria Geometría
7. Calcular el área del círculo, si R=12 cm. O es
centro.
8. Calcular el área del semicírculo de centro “O”, si
R 2 2 .
9. Calcular el área de la región sombreada, si O es
centro.
O
6
6
10. Calcular el área de la región sombreada, si O es
centro.
O 2 2
2 2
Bloque II
1. Calcular el área de la región sombreada, si O es
centro.
O
8
8
2. Calcular el área de la región sombreada, si O es
centro.
O
60°6 6
3. Calcular el área de la región sombreada, si O es
centro.
12
12
75°O
4. Calcular el área del sector circular, si R=2.
80°
5. Calcular el área de la región sombreada; si O es centro.
O
3
5
6. Calcular el área de la corona circular, si O es centro.
O 4
120 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
7. Calcular el área de la región sombreada en el
semicírculo mostrado.
8 6
10
8. Calcular el área de la región sombreada, si “O” es
centro.
9. Del gráfico, calcular el área del sector circular AOB,
si R=16.
10. Si O es centro, calcular el área del círculo.
A
B C
D
6
Bloque III
16. Calcular el área de la región sombreada en el
semicírculo mostrado.
20
53°
5. En el gráfico, calcular el área de la región
sombreada, si “O” es centro del semicírculo.
5 2
121« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
18. Si O es centro, calcular el área de la región
sombreada.
A
B C
D
4 2
4 2
19. En el gráfico, calcular el área de la región
sombreada, O es centro del semicírculo.
A
B C
DO
4
20. En el gráfico, O es centro del círculo, ABCD, es un
cuadrado; calcular el área de la región sombreada.
A
B C
D
O
4
1. Calcular el área del círculo. Si R 6 3 cm.
2. Calcular el área del círculo..
Si R 4 5 cm .
3. Calcular el área del círculo, si R=6. O es centro
R
O
4. Calcular el área del círculo, si R = 3/2. O es centro
R
O
5. Calcular el área del semicírculo, si R=10. O es
centro
R
122 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
6. Calcular el área de la región sombreada, si O es
centro.
O
3
3
7. Calcular el área de la región sombreada, si O es
centro.
O 3 3
3 3
8. Calcular el área del sector circular, si R=12.
50°
9. Calcular el área de la región sombreada; si O es centro.
O
2
6
10. Calcular el área de la corona circular, si O es centro.
O 5
7
N
OT
A
2. Calcular el área
del círculo, cuyo
diámetro AB , tiene
una longitud de 12 cm.
 OA B
3. Calcular el área de la región sombreada, si O es
centro.
1. Calcular el área de la región sombreada en el semicírculo mostrado.
16 12
20
O 4 2
4 2
123« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
TEMA 20
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Sólido Geométrico
Definición.- Es una porción de espacio limitado por
un conjunto de puntos que determinan la superficie del
sólido.
Atendiendo a su superficie se clasifican en:
Poliedros.- Son aquellos sólidos cuya superficie esta
determinada por planos secantes.
Prisma Paralelepipedo Cubo
Pirámide Tetraedro Octaedro
Dodecaedro Regular Icosaedro Regular
Cuerpo Redondos.- Son aquellos sólidos que tienen
superficie curva.
 
Cilindro Cono Esfera
Prisma.- Es aquel poliedro en el cual dos de sus
caras denominadas bases son congruentes y paralelas
a la vez y sus caras laterales son regiones
paralelográmicas. El nombre del prisma dependera del
número de lados que tenga la base asi por ejemplo si
la base tiene cinco lados se llamará prisma pentagonal.
Prisma Recto Prisma Oblícuo
Prisma recto.- Es aquel prisma en el cual las aristas
laterales son perpendiculares a la base
h
Cara lateral
Arista lateral
Base
Arista Básica
SL : Área lateral
ST : Área total
SB : Área de la base
2PB : Perímetro de la base
V : Volumen del prisma
h : Áltura del prisma
Cubo o hexaedro Regular: Es aquel poliedro que
se determina con seis regiones cuadradas.
a
Volumen =a S =6aT
T
a
a: Longitud de
 la arista
S : Área total
3 2
a
S =(2P )(h)L B
S =S +2ST L B
V =(S )(h)B 
124 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
CILINDRO
Definición.- Es aquel sólido geométrico determinado
por una superficie cilíndrica cerrada y por dos planos
paralelos entre si y secantes a todas las generatrices
base (círculo)
Cilindro Circular recto
g: generatriz
g h
base (círculo) base (elípse)
Cilindro Oblicuo
g h hg
CILINDRO CIRCULAR RECTO.
Es aquel cilindro cuya generatriz es perpendicular al
plano de la base y se genera al hacer girar una región
rectangular, 360º en torno a uno de sus lados; por lo
cual se le denomina también cilindro de revolución.
h
o
2
2
r
g
área lateral = 2 rg
área de la base= r
Volumen= r g
h
eje de giro
360º
g
base
base
área lateral = 2 rg
o
o
r
r
2 r
área lateral
Bloque I
1. Calcular el volumen del cubo mostrado.
2
2. Calcular el volumen del paralelepípedo mostrado.
2
4
3
3 Calcular el volumen del paralelepípedo mostrado.
3
4
7
4. Calcule el volumen del cubo mostrado
3
125« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
5. Calcular el volumen del paralelepípedo mostrado:
6. Calcular el volumen del cilindro mostrado.
3O
6
7. Calcular el volumen del cilindro mostrado.
8
8. Calcular el volumen del cilindro mostrado.
6
9. Calcular el volumen del cilindro mostrado.
5
10. Calcular el volumen del cilindro mostrado.
4
Bloque II
1. Si el volumen del cubo mostrado es 125u3.
Calcular la longitud de una arista.
2. Calcular x, si el volumen del paralelepípedo
mostrado es 6u3.
3x
x
2x
3. Calcular x, si el volumen del cubo mostrado es
64u3.
x
126 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
4. Calcular el volumen y área total de un cubo en el
cual la suma de las longitudes de todas las aristas
es 36 m.
5. Calcular el volumen de un cubo de área total
96m2.
6. El área total de un cubo es 24 m2. Calcular la
suma de longitudes de todas sus aristas.
7. La suma de longitudes de cinco aristas de un cubo
es 20 m. Calcular su volumen y su área total.
8. Calcular el volumen el cilindro mostrado.
9. Calcular el volumen del cilindro mostrado.
10. Calcular el volumen del cilindro mostrado.
Bloque III
1. Calcular el volumen del siguiente rectoedro:
37º
5
4
3
127« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
2. Si el área de la región sombreada es 9u2. Calcular
el volumen del cubo mostrado.
3. Calcular el volumen del paralelepípedo mostrado.
37°
35
4. En un cilindro recto, el área de una de sus bases
es 4pm2 y su volumen es 48pm2, calcular su área
lateral.
5. En un cilindro recto el área de una de sus bases
es 9pm2 y su volumen es 45pm3, calcular el área
total.
1. Calcular el volumen del cubo mostrado.
3
2. Calcular el volumen del paralelepípedo mostrado.
2
2
6
128 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Geometría Primer Año de Secundaria
3. Calcular el volumen el cubo mostrado.
10
4. Calcular el volumen del cilindro recto mostrado.
4
5. Calcular el volumen del cilindro mostrado.
4
6. Calcular x, si el volumen del paralelepípedo
mostrado es 16u3.
x
2x
x
7. La suma de longitudes de ocho aristas de un cubo
es 48 m. Calcular su volumen y area total.
8. Calcular el volumen del cilindro mostrado.
10
9. Si el volumen del paralelepípedo mostrado es 18u2.
Calcular x.
x
3x
6x
10.Calcular el volumen del cubo mostrado.
5 2
129« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Primer Año de Secundaria Geometría
N
OT
A
3. Calcular el área total del siguiente rectoedro:
3
5
2
2. La suma de
longitudes de diez
aristas de un cubo es
50 m. Calcular su área
total.
1. Calcular el volumen del cilindro mostrado.
 
8