Copia de Trigonometría 2 parte 1

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5« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
TEMA 01
SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo,
alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una
posición inicial hasta una posición final.
 Lado inicial
Lado final
O
Vértice
Giro antihorario es positivo +
Giro horario es negativo -
Nota:
Ángulo de una vuelta: 

Ángulo de media vuelta: 

Ángulo de un cuarto de vuelta: 
1. Sistema Sexagesimal
Es aquel que tiene como unidad a un grado
sexagesimal (1°) que es equivalente a la 360ava parte
del ángulo de una vuelta.
1 vuelta
1º 1 vuelta 360º
360º
  
 
Sub-unidades:
Minuto sexagesimal: 
1º
1' 60' 1º
60
  
Segundo sexagesimal: 
1'
1" 60" 1'
60
  
Luego: 1º = 60' = 3600" ; 
1º
1"
3600

2. Sistema Radial
Es aquel que tiene como unidad a 1 radián (1 rad).
Un radián: es el ángulo central que subtiende un arco
cuya longitud es igual a la del radio.
O
r
1rad
r
r
r: radio de la circunferencia
Consideraciones:
* 1 vuelta 2 rad
1
* vuelta rad
2
1
* vuelta rad
4 2
 
 





CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS
Es el procedimiento por el cual la medida de un ángulo
puede expresarse en otra unidad diferente.
Sea "S" y "R" las medidas de un mismo ángulo expresado
en los sistemas sexagesimal y radial respectivamente.
Si: 1 vuelta 360º 2 rad  
S
360
R
2
180


S R
180
 

Como regla práctica utilizaremos un factor de conversión (Fc).
1. Convertir "" radianes a grados sexagesimales.
S R
180
180 180
S . Fc


       
Si: 3 rad
180
S
  


. 3  540º
2. Convertir "" grados sexagesimales a radianes.
R S
180
R . Fc
180 180


      
 
Si: 50º
R
18 0
 

 . 5 0
5
rad
18


6 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
Bloque I
1. Calcular: 
5º 30'
E
10 '

2. Calcular: 
2º 20'
E
5 '

3. Calcular: 
3º15'
K
15'

4. Convertir 10º a radianes.
5. Convertir 15º a radianes.
6. Convertir 20º a radianes.
7. Convertir rad
3

 a grados sexagesimales.
8. Convertir rad
6

 a grados sexagesimales.
9. Convertir rad
18

 a grados sexagesimales.
10. Calcular: 
rad 10º
2H
20º
 

11. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo,
¿a qué es igual "E"?
CE
S

12. Siendo "S" y "C" lo convencional para un ángulo no
nulo; reducir:
7« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
C SL
C S


13. Señale la medida sexagesimal de un ángulo, que
verifica: S + C = 19, siendo "S" y "C" lo conocido
para dicho ángulo.
14. Halle la medida sexagesimal de un ángulo que
cumple: C – S = 2; donde "S" y "C" son lo conocido
para dicho ángulo.
15. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo,
reducir:
2S CK
C S


Bloque II
1. Calcular: 
rad 14º
5M
10º
 

2. Calcular: 
rad 12º
10K
30º
 

3. Calcular "x", si: (3x 5)º rad
9

 
4. Calcular "x", si: (2x 1)º rad
36

 
5. Calcular "x", si: (7x 4)º rad
4

 
6. Calcular "x", si: 40º x rad 
8 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
7. Calcular "x", si: 300º rad
x


8. Siendo "S" y "C" lo conocido para un mismo ángulo.
Calcule la medida centesimal si se cumple:
1 1
S C 2
1
SC


1. Calcular 72º en radianes.
2. Calcular 22,5º a radianes.
3. Calcular: 
7º
9K
20
 


4. Calcular "x".
5. Señale la medida radial de un ángulo que cumple:
C – S + R = 20 + 
6. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo;
calcule el ángulo en radianes si se cumple:
S = xx + 1
C = xx + 3
9. Señale la medida radial de un ángulo que cumple:
2 2 2S C 20R S C R
9 10
    

10. Siendo "S" y "C" lo conocido para un mismo ángulo,
tales que:
S 1 C 1x 2x
9 x 10 x
    
7. Calcule la medida de un ángulo en radianes que
cumple:
C 17 S 7n n
10 18
    
 
Siendo "S" y "C" lo convencional.
8. Señale la medida de un ángulo en radianes sabiendo
que la diferencia de sus números de grados
centesimales y sexagesimales es 5.
9. Sabiendo que el doble del número de grados
centesimales de un ángulo excede a su número de
grados sexagesimales en 22, calcule la medida
centesimal del ángulo.
10. Calcule la medida circular de un ángulo que cumple:
S + C + R = 380 + 
Siendo "S", "C" y "R" lo conocido.
9« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
N
OT
A
2. Calcule la medida
sexagesimal de un
ángulo que verifica:
C – S = 3; siendo "S" y "C" lo
convencional.
3. Efectuar:
20
4P
21




grad
1. Calcular la medida radial de un ángulo que cumple: 
S C R 1
180 200 5
  

10 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
TEMA 02
LONGITUD DE ARCO - SECTOR CIRCULAR
LONGITUD DE UN ARCO
Viene a ser una aplicación del radián que permite calcular la
longitud de un arco correspondiente a un ángulo central en
una circunferencia. Del gráfico:
O
A
R
R
L
B
rad
L : Longitud del arco AB.
 : # de radianes contenidos
 en el ángulo central.
R : radio de la circunferencia.
Se cumple: L R 
PROPIEDADES
1. L1 L2
R
r
 
2
1
L R
L r
 
2 .
L1 L2

d
d
2 1L L
d

  
3. L 2L 3L
4.
 
L1
L1
L1
O
C
D
EF
B
A
L2
1 3 2 4L L L L 
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
Viene a ser otra aplicación del radián que permite calcular el
área de la región limitada por un ángulo central y su arco
correspondiente en una circunferencia.
Del gráfico:
 
O
A
R
R
L
S
B
rad
Región AOB: Sector circular AOB.
L: Longitud del arco AB.
R: Radio de la circunferencia.
: # de radianes contenidos en
 el ángulo central.
S: Área del sector circular AOB.
Se cumple:
2RS
2
 
LRS
2
 
2LS
2


 
 
11« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
Bloque I
1. Calcular l, si:
45º
r=8c
m
l
2. Calcular  si:
 l cm
r=20
cm
3. Calcular  si:
 l  5 m
r=15
m
4. Calcular l a si:
2m
2 m
l a
3m
5. Calcular l b si:
3m
l b
2m
2m
6. Calcular "x", si:
2m (x-2)m
xm
8m
7. Calcular "x", si:
xm
xm
(5-x)
m
4m
12 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
8. Calcular "".
3 m
8m
2 m
9. Calcular "".
m
m
m
2
10. Calcular "", si:
5m
3m
2m
11. Del gráfico calcule el área del sector circular.
B
O
6m
6m
A
rad
6
 
12. Calcule el área del sector circular.
B
O 36º
20m
20m
A
13. Calcule el área de un sector circular cuyo ángulo
central mide 40g y su radio mide 10m.
14. En un sector circular el radio mide 4m y el arco
correspondiente mide 3m, ¿cuál es el área del sector?
15. En un sector circular el ángulo central mide 20º y el
arco correspondiente mide 4m. ¿Cuál es el área del
sector circular?
Bloque II
1. Calcular: 1 + 2
l 12m l 2
13« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
2. Calcular: 1 2
3 2
E



 
 
l 1 l 2 l 3
3. Calcular "", si:

8l
4l
4. Calcular "", si:

3l
2l
5. Calcular: 1 + 2
 
l 1
20º
30º
18m
l 2
6. Calcule el área de la región sombreada.
A
C
45º
2 2
D
B
7. Del gráfico, calcule el área de la región sombreada.
8 11
A
B
C
D
F
E
O 
9
14 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
8. Del gráfico, calcule: 2
1
S
E
S

O
C
D
S1
A
S2
B
9. Calcule "L", si: S = 3u2
O 30º
M
N
L
S
A
B
2
2
10. Calcular: 1 + 2
l 1
20º
10º
24m
2a
l 2
a
1. En un sector circular de radio 20m y ángulo central
20g. ¿Cuánto mide la longitud del arco?
2. En un sector circular, se cumple que el arco mide 3 y
el radio mide 9m. ¿Cuál es la medida del ángulo
central?
3. En un sector circular el arco mide 4m y el ángulo
central mide 45º. ¿Cuánto mide el radio?
4. Calcularl, si:
60º
r=10
m
l
5. Calcular la longitud de un arco cuyo ángulo central
mide 30º y su radio mide 24 cm.
6. En un sector circular, la longitud del arco es 4cm y el
ángulo central mide 50g. ¿Cuánto mide su radio?
7
7. Calcular  si:
 l cm
r=6c
m
15« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
8. En un sector circular el ángulo central mide 45º y el
radio 8m. ¿Cuál es su área?
9. En un sector circular el ángulo central mide 40g y el
radio 5cm. ¿Cuál es su área?
10. Calcular 1 2  .
l 1
30º
60º
10m
l 2
N
OT
A
2. Calcular l, si:
30º
r=12
cm
l
3. Calcular: 1 2 3
1
E
3
 

  
 
 
l 1 l 2 l 3
1. En un sector circular el ángulo central mide 100g y el radio 4cm. ¿Cuál es su
área?
16 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
TEMA 03
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS AGUDOS I
Sea el triángulo ABC.  c 90º

B
C A
ca
b
a: cateto opuesto al  .
b: cateto adyacente al  .
Seno:
Cat. Opuesto a
sen
hipotenusa c
  
Coseno:
Cat. Adyacente b
cos
hipotenusa c
  
Tangente:
Cat. Opuesto a
tg
Cat. Adyacente b
  
Bloque I
1. Calcular: 2 2E sen cos   
2
3

2. Calcular: 
sen . tg
E tg
cos
 
  

5
3


3. Sea el triángulo rectángulo cuyos catetos son a=3cm
y b=4cm. Calcular el coseno del menor ángulo agudo.
4. Sea el triángulo rectángulo cuyos catetos están en la
relación de 3 a 2; calcule el seno del mayor ángulo
agudo.
5. Calcular: E sen sen    Si: 
a b
5 3
a
b


 
6. Si: 
1
sen
3
 
Calcular: tg Donde "" es agudo.
17« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
7. Si: 
3
cos
4
 
Calcular: sen Donde "" es agudo.
8. Si:  
1
Tg
2
Calcular: E sen . cos ; " ": agudo   
9. Calcular tg:

9 1
10. Calcular tg:

9 4
Bloque II
1. Calcular: 2E 13 sen 1  
Si: 
3
cos ; : agudo
13
  
2. Calcular: E 10 cos 2 tg   
Si: 
3
sen ; : agudo
10
  
3. Calcular: 
1
E sen cos
4
   
8
x
x+2

 
4. Calcular: E 5(sen cos )   
4
x
x+2

18 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
5. Calcular: 
tg
M
tg



3 1
 
6. Si: 
8
sen es agudo.
17
   
Halle: tg + sec
7. Si:
2 5 1
sen – sen , donde es agudo.
3 24 4
   
Calcule:  sen4 3G ctg csc – 3tg     
8. Calcular: K tg . tg  
2 3


9. Calcular "x", si: M tg . tg  


10. Si: 
5
tg
7
  ; calcule tg.
Donde ABCD es un cuadrado.

A
B

D
C
P
19« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
1. En un triángulo rectángulo los lados menores miden
3 y 7 . Calcular el seno del mayor ángulo agudo de
dicho triángulo.
2. En un triángulo rectángulo los catetos miden 2 y 5 .
Calcular la secante del mayor ángulo agudo.
3. Si: 
a c
8 10
Calcular: E sen cos   
a
b
c

4. Calcular tg, si:
1
8

5. Calcular: E tg tg   
3a
2a


a
6. Si: 
1
tg
2
 
Calcular tg.


7. En un triángulo rectángulo ABC  c 90º
Si: senA 2 . senC
Calcular tgA.
8. Calcule: P = tg + sec2 + 9csc2
3

10
9. En un triángulo ABC (B=90º)
Si: tgA = 2,4
Calcule: 
1 1
E
sen C ctg A
 
10. Del gráfico, calcular “sen”
A 0 B88
C
T
1
20 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
N
OT
A
2. Calcular tg:
4 1
 3. Siendo  un ángulo agudo y:
15sen – 8cos = 0
Calcule: M = 0,5sen + 2cos
1. Si “” es un ángulo agudo; tal que: cos q = 1/3; calcu-
lar “tan ”.
21« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
TEMA 04
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS AGUDOS II
c
b
a

AB
C
Para el ángulo .
b : Hipotenusa
a : Cateto Opuesto
c : Cateto Adyacente
Luego podemos definir
ctg = Cateto Adyacente
Cateto opuesto
= c
a
sec = Hipotenusa
Cateto adyacente
= b
c
csc = Hipotenusa
Cateto opuesto
= b
a
Bloque I
1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º).
Reducir: E = senA . secC
2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º).
Reducir: K=cosC . secC + 2tgA . tgC
3. Si sen=
3
5
; donde "" es un ángulo agudo de un
triángulo rectángulo, calcular: 2M 1 ctg  
4. Siendo: tg=
8
15
,  es agudo. Calcular: 2P 1 tg  
5. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), se sabe
que: b = 13 y a = 5. Calcular: E = secC + ctgA
6. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), se sabe
que: a + b = 3c. Calcular: R = secA + ctgC
22 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
7. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del
otro. Calcular la secante del mayor ángulo agudo.
8. En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el doble
de uno de los catetos. Determinar la cotangente de
su menor ángulo agudo.
9. Siendo  un ángulo agudo donde:
9 sen – 4 cos = 0
Calcule: N ctg – tg  
10. Si:  3 sec 10  Calcule: tg+ ctg
Bloque II
1. Del gráfico, calcular: E = ctg ctg  
Si: MNPQ es un cuadrado.
M
a
N
Q P
 
2a
2. Calcular: E ctg .sec  


8
6
3. Dado: sen 0,6  . Calcular: 2 2R sec tg   
Donde  es agudo.
4. Si: cos = 0,8 , calcular: M =3csc +4sec 
Donde  es agudo.
23« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
5. Calcular: ctg. Si AM

 es bisectriz.
M
A B
C

3
2
6. Calcular: tgx. Si: 
1
sen =
2


x
7. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe:
tgA=
12
5
. Calcular: E = cscC+ctgC
8. Si: tg  =
3
4
. Calcular: M 2csc ctg   
Donde  es agudo.
9. Si en un triángulo rectángulo ABC ( B̂ = 90°), se
cumple que: 3 senA = senA5 (cos C)
Calcular: E = 11 cotA + 4cscA
10. Del gráfico, calcular: 
ctg ctg
K
tg
  


  
A C
M
B
24 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
1. Del gráfico, calcular: E = tg . tg 


2. Calcular: tgA. Si PQRS es un cuadrado.
R
P S B
A
Q
1
4
3. Sea un triángulo ABC (recto en B). Si:
senA . senC=
1
2
. Calcular: E = ctgC + ctgA
4. Si: ctg = 1
3
; donde : ángulo agudo..
Calcule: sec . csc
5. Si: ctg = 4. Calcular: 
sen cos
E
csc
  


Donde  es ángulo agudo.
6. Si: 1sen
2
  ; donde  es agudo..
Calcule: csc2 - ctg2
7. Calcule: E = tg . tg
8. Determine: tg Si:
3 2
tg , AD AC
2 11
  

B
A CD

9. Del gráfico, calcule: tg · tg.

3a a

10. Calcule: tg2

3
5
25« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
N
OT
A
2. Si sen=
4
5
;
donde "" es un ángulo
agudo de un triángulo rec-
tángulo, calcular:
  2M 1 tg
1. Del gráfico, calcule: Q = (ctg + tg)2
 


2m
6m
3. Calcule: csc 2

8
4
26 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
TEMA 05
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS AGUDOS NOTABLES
60º
30º
2k
3 k
k
45º
45º
k
k 2k
53º
37º
3k 5k
4k
74º
16º
7k 25k
24k
 30º 37º 45º 53º 60º 16º 74º 
sen 
1
2
 3
5
 2
2
 
4
5
 3
2
 
7
25
 24
25
 
cos 3
2
 
4
5
 2
2
 
3
5
 1
2
 24
25
 7
25
 
tan 3
3
 
3
4
 1 
4
3
 3 
7
24
 24
7
 
cot 3 
4
3
 1 
3
4
 3
3
 
24
7
 7
24
 
sec 2 3
3
 
5
4
 2 
5
3
 2 
25
24
 25
7
 
csc 2 
5
3
 2 
5
4
 2 3
3
 
25
7
 25
24
 
 
Bloque I
1. Calcular: E = 8sen45º + 4cos45º
2. Calcular: M = 3. tg 30º 4 cos60º
3. Calcular: R = cos260º . tg245º . sen230º
4. Resolver: A = sen53º . cos60º + sen37º . sen30º
27« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
5. Calcular: 2R 1 cos 60º 
6. Calcular: E = cos37º. ctg53º.sec60º
7. Calcular: 2A 3.tg 60º. 8 sen30º
8. Calcular: E = 16Cos60º + 32Sen37º
9. Calcular: A = (csc30º)tg45º –(ctg45º)sec60º
10. Calcular: E = (sec 60º + csc30º) . sen 37º
11. Calcular: M = 32sen53º + 9sen30º
12. Si: tg = Cos 30º. Calcular: sen es agudo.
13. Si: sen= sen30º . tg37º . sec60º. Calcular: cos;
es agudo.
14. Calcular: E a b  ; si: a = sen30º + tg37º
b = sec60º + cos230º
15. Calcule: E = sen16º . cos 16º
28 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
Bloque II
1. Del gráfico, calcular: tg.
45º B

A
C
D2 1
2. Calcular x del gráfico.
x
53º 45º
8
3. Calcular: tg

37ºM Q
N P
4. Calcular: x.
30º
B
A
D
C
20
x
5. En el gráfico, calcular: x.
A
A
30°
H
x
C
D
16
6. Del gráfico, calcular: tg.
45º AB

C
D
29« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
7. Calcule: ctg, en el gráfico.

37º
A B
C
M
8. Calcular: DB, si: AC 2 6
C
BA
45º
60º
D
9. Del gráfico; calcular: sen. O: Centro de la semicir-
cunferencia.
16º
O

10. Del gráfico, calcular: tgx.
C
B A
x 74º
100
D 4
30 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
N
OT
A
2. Del gráfico,
calcular: ctgx.
37º BA
C
x
1. Del gráfico, calcular: tgx.
 
x
3. Calcular: C = 24cos37º . tg16º . sec37º . sec74º
1. Calcule: S = tg74º + ctg16º
2. Calcule: R = tg53º . sec16º
3. Calcule: P = cos53º . tg74º
4. Calcular: E = tg2 30º . sen
2
 30º
5. Calcular: Q = sen2 30º + tg37º
6. Calcule: tg.
37ºA M B
C
\
7. Calcule: 2R 1 tg 16 
8. Del gráfico, calcular: tg.

37º
A M B
C
9. En el gráfico mostrado, calcular: ctgx. Si:
B
A C60º
60º
M
3
2
x
10. Calcule:
2
sen30º . tg16º . ctg53º
H
tg 45º

31« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
TEMA 06
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
Bloque I
1. Calcular x, si: senx . csc10º = 1
2. Calcular x, si: cos2x . sec20º = 1
3. Calcular x, si: tg3x . ctg(x + 40º) = 1
4. Calcular x, si: cos(x + 40º) . sec(2x + 10º) = 1
5. Calcular x, si: senx = cos40º
6. Calcular x, si: sen csc15 1x   
R.T. RECÍPROCAS
De las R.T. definidas, para un mismo ángulo se
puede notar que tres de ellas son las recíprocas de las
otras tres, esto es:
seno y secante sen . csc 1
coseno y secante cos . sec 1
tan . cot 1tangente y cotangente
  
   
   
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Para dos ángulos cuya suma es 90º; es decir, son
complementarios, se cumple:
También :Si : 90º , entonces :
sen cossen cos
tan cot 90ºtan cot
sec cscsec csc
x y
x yx y
x y x yx y
x yx y
 
 
    
 
7. Calcule x, si: cos3x.sec12°=1
8. Calcule x, si: tg4x.ctg(2x+30°)=1
9. Calcule x, si: sec(2x–50°) . csc(x+20°)=1
10. Calcule x, si: tg2x=ctg60°
11. Calcular 2x – y, si:
senx . csc2y = 1
tgy . ctg20º = 1
32 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
12. Calcular x, si: sen(x – y) = cos(2x + y)
13. Calcular x, si: tg2x . tg40º = 1
14. Calcular x – 5º, si: sen(x – 10º) . sec(x + 10º) = 1
15. Calcule x, si: sec(x+20°)=csc(x–20°)
Bloque II
1. Simplifique:
sen 20 tg35
E
cos 70 ctg55
 
 
 
2. Reduce: 
sec 20º ctg10º cos 31º
csc 70º tg80º sen59º
 
3. Calcule:  E sen10 csc10 3 sec 80    
4. Reduce M = cos22º (sec22º – 8csc68º)
5. Calcular:
4ctg( 20º) 3sec(20º )8sen10ºE
cos80º tg(70º ) csc( 70º)
     
   
6. Simplifique:
cos8 sec16 tg25
E
sen72 csc74 ctg65
    
  
7. Calcule: E 9 sen40 csc 40    
8. Reduce: E tg1 tg2 tg3 ... tg89      
33« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
9. Calcule x, del gráfico:
A
B CD x

8
Además:  tg 2 45 ctg 0     
10. Simplificar: 
2 2
2 2
a b cos50º ab(sen40º 1)K
a b sen40º ab(cos50º 1)
  
  
N
OT
A
2. Calcular x + 5º,
si: tg2x = ctg40º
3. Sabiendo que: cos(60°–x) .sec2x=1
sen3x=cos3y
Determine (2y –x) .
1. Calcule x, si:    tg 2 40 ctg 10 1x x     
34 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
1. Calcule x, si: senx . csc 10° = 1
2. Calcule y, si: cos 2y . sec 20° = 1
3. Calcule tg x, si: tg(x+10°)=ctg(x – 10º)
4. Simplifique: E = (sen 40° + 2 cos 50°) . csc 40°
5. Simplifique: E = tg 10° . tg 20°. tg 30° ... tg 80°
6. Calcular x; si: sen7x = cos2x
7. Calcular x, si: cos5x . sec40º = 1
8. Calcular: P = (tg40º + 3ctg50º) ctg40º
9. Calcular: C = tg1º . tg2º . tg3º ..... tg89º
10. Calcular: 
sen16º cos18º sec35ºP
cos74º sen72º csc55º
  
35« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
TEMA 07
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
CÁLCULO DE LADOS
 lado desconocido=R.T ángulo conocido
lado conocido
Se tienen los siguientes casos:
I. Conocido el ángulo agudo y el cateto L
adyacente a dicho ángulo.
A B
C
L
xy

 
Aplicando:
tg L tg
L
sec L sec
L
x
x
y
y
    
    
Es decir:
A B
C
L

A B
C
L

Lsec Ltg
II. Conocido el ángulo agudo y el cateto L opuesto
a dicho ángulo.
 
A B
C
L
x
y

 
Aplicando:
ctg L ctg
L
csc L csc
L
    
   
x
x
y
y
A B
C
L

A B
C

Lctg
Lcsc L
III. Conocido el ángulo agudo y la hipotenusa L
del triángulo.
 
A B
C
L x
y

 
Aplicando :
sen Lsen
L
cos L cos
L
    
    
x
x
y
y
A B
C
L

A B
C

Lcos
LsenL
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
El área de un triángulo cualquiera es igual al semiproducto
de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo
que forman dichos lados. En el gráfico; S área del triángulo
ABC.
A
B
CH
a
c h
b
 
.
S
2
b h

pero: h=a senC
. sen
.sen
2 2
b a C ab
S C  
Es decir:
S senC senB sen A
2 2 2
ab ac bc
  
Por ejemplo; en el triángulo ABC:
37°A
B
C
10
7
S
 
7.10
S sen37
2
3
pero : sen37
5
7.10 3
luego : S .
2 5
S 21
 
 

 
 
5
3
4
37º
53º
36 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
Bloque I
1. Calcule (x+y) en términos de m y 
x
m
y

2. Calcule el área del triángulo en términos de a y .
a

3. Calcule x del gráfico; en términos de a,  y 

a

x
4. Calcule x en términos de m,  y 
xm


 
5. Calcule BC en el gráfico:
10 A
B
C

6. Determine x; en el triángulo
x
8
60°
 
7. Determine el perímetro del triángulo dado:

m
8. Calcule el perímetro del triángulo dado:
a 

9. Calcule sen , si ABCD es un rectángulo..
A
B C
D
2 2
3

37« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
10. Calcule, sen , si ABCD es un rectángulo..
A 
B C 
D 
12 
9 16 

Bloque II
1. Calcule x en términos de a, y 
x
a

2. Calcule x en términos de y r
 

x
r
 
3. Calcule x en términos de H, y .
 
H
x
4. Calcule x en términos de d, y .
d
x

5. Calcule x en términos de a, y 
a


x
38 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
6. Calcule x en términos de a y Si ABCD es un rombo.
x

a
A
B C
D
7. Calcule x en términos de my 

m
x
8. Calcule x.
x
4
53º37º
9. Calcule “tg ”

1
23
10. Calcule x en términos dea y 
a


x
39« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
1. Calcule “AB” del gráfico en términos de :
5 CA
B

2. Calcule x del triángulo.
70º
x
14
3. Calcule x del gráfico en términos de n y 
x
45º
n
4. Calcule el perímetro del triángulo ABC.
4
C
B A

5. Calcule “Tg ” en el gráfico en términos de 


A D C
B
3 2
6. Calcule BC en el gráfico:
C
AB
x
m

7. Calcule el perímetro del triángulo ABC.
C
AB
4

3. Calcule AC en el gráfico.
A
B
CD
H


9. Calcule cos
5
3


10. Calcule w = tg– ctg

40 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
N
OT
A
2. Calcular x en la
figura. Si sen 1/ 2 
x

6 3. Calcular el valor de y en términos de a y 

A H C
a
B
y
1. Calcule x en términos de a,  y 
 


a
x
41« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
TEMA 08
GEOMETRÍA ANALÍTICA
PLANO CARTESIANO
Llamado también sistema de coordenadas rectangulares,
es aquel sistema de referencia formado por el corte
perpendicular de dos rectas numéricas en un punto
denominado origen del sistema.
X
Y
(+)
(+)
( )
( )
ICIIC
IVCIIIC
En el gráfico adjunto se puede apreciar la división del plano
en cuatro regiones, cada una de las cuales se va a
denominar cuadrante y tienen la numeración que se indica.
Las rectas numéricas se llaman:
eje X: eje de abscisas.
eje Y: eje de ordenadas.
Nota: Los cuadrantes no consideran a punto sobre el eje X
e Y.
Sobre este plano cartesiano, René Descartes dio origen a
su Geometría Analítica y a representar geométricamente
ecuaciones algebraicas que relacionaban dos variables (x
e y); tal es el caso de las rectas, las cónicas (parábola, elipse,
hipérbola), la circunferencia y otras curvas maravillosas
(lemniscatas, cicloides, espirales de Arquímedes, etc.); que
son materia de análisis en un curso más completo de
Geometría Analítica que el que aquí presentamos.
PAR ORDENADO (X;Y)
Es un conjunto formado por dos elementos que tienen un
orden establecido, el primer elemento pertenece al eje de
las abscisas, el segundo elemento pertenece al eje de las
ordenadas.
x: ubicación del punto respecto del eje de abscisas
y: ubicación del punto respecto del eje de ordenadas.
UBICACIÓN DE UN PUNTO
Un punto queda localizado en el plano cartesiano; cuando
se conocen los valores que le corresponden a la proyección
del punto sobre cada uno de los ejes. En el gráfico:
X
Y
y
x
y
0
P( )x;y
x e y: componentes de P.
El punto es:
P(x; y)
x: abscisa de P.
y: ordenada de P.
OP : radio vector
Se cumple:
2 2 2r x y  ; r > 0
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados los puntos    1 1 2 2A ; y B ;x y x y ; la distancia
entre ellos es calculada así:
A( )x ; y1 1
B( )x ; y2 2
   2 22 1 2 1(A,B)    d x x y y
Ejemplo:
X
Y
B(-2;2)
A(1;5)
2
-2 1
5
42 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
A(1; 5) y B(–2; 2)
   2 2d(A;B) 1 2 5 2      
d(A;B) 9 9 18 d(A;B) 3 2    
DISTANCIA HORIZONTAL (DH)
Dado los puntos P(x1; y) y Q(x2; y), entonces la distancia
horizontal (DH), se calcula restando las abcisas de P y Q.
H 2 1 2 1
D , dondex x x x   
Ejemplos:
1. Hallar la distancia horizontal entre P(–4; 3) y Q(5; 3)
H HD 5 ( 4) D 9     
DISTANCIA VERTICAL (DV)
Dado los puntos P(x; y1) y Q(x; y2), entonces la
distanc ia ver tica l (DV) , se ca lcula restando las
ordenadas de P y Q.
V 2 1 2 1
D , donde   y y y y
1. Hallar la distancia vertical entre A(–4; 5) y B(–4; –3).
V V
D 5 ( 3) D 8     
2. Hallar la distancia vertical entre R(2; 16) y S(2; 4).
 V VD 16 4 D 12    
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO
DE UN SEGMENTO
P (x ; y )1 1 1 x
y
P (x ; y )2 2 2
M(x ; y )0 0
Las coordenadas del punto medio M(x0; y0) de un
segmento cuyos extremos son:  1 1 1P x ;y y  2 2 2P x ;y son:
1 2
0
x x
x
2

 1 20
y y
y
2


PENDIENTE DE UNA RECTA
La pendiente de una recta “L” se denota por «m» y se
define como la tangente de su ángulo de inclinación “  ”.
Es decir:
m tg 
Ejemplos:
X
Y
L
30°
o
m tg30
3
m
3
 

X
YL
m t g120
m 3
 
 
Si una recta “L” pasa por los puntos  1 1 1P x ;y y
 2 2 2P x ;y la pendiente “m” se calcula como sigue:
L
P (x ;y )1 1 1
P (x ;y )2 2 2
m
 
=
 y - y
 x - x
2 1
2 1
Ejemplo:
Calcule la pendiente de la recta “L” que pasa por los puntos
   1 2P 2; 3 y P 5;6
Resolución:
 6 3 9
m 3
5 2 3
 
  

ECUACIÓN DE UNA RECTA
Si P(x;y) es un punto cualquiera de una recta “L” y P(x1;y1)
es un punto conocido de ella, entonces la recta “L” queda
determinada mediante la ecuación:
 0 0y y m x x   forma punto-pendiente
Esta ecuación la convertimos a una expresión lineal y
resulta:
Ax By C 0   forma general
Ejemplo:
Calcule la ecuación de una recta que pasa por los puntos
A(4 ; -3) y B(7 ; 9).
43« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
Resolución
Primero; calculamos la pendiente con los puntos A(4;– 3) y
B(7 ; 9).
9 ( 3) 12
m 4
7 4 3
 
  

Segundo; reemplazamos la pendiente “m” y el punto
conocido A(4 ; -3) en la ecuación punto pendiente, así:
y =– (–3) = 4 . (x - 4)  y + 3 = 4x - 16
0 = 4x - 16 - y - 3  0 = 4x - y - 19
4x y 19 0   forma general
Si reemplazamos como el punto conocido a B(7; 9) la
ecuación resulta la misma.
4x y 19 0  
PROPIEDADES
I. Dada la ecuación de una recta: Ax + By + C=, su
pendiente “m” se calcula como sigue: 
A
m
B
 
Ejemplo:
Calcule la pendiente de la recta cuya ecuación es:
3x - 4y -12 =0
Resolución:
3
3x 4y 12 0 m
( 4)
3
m
4
     

 
II. Si un punto (a;b) pertenece a una recta “L” de
ecuación: Ax+By+C=0 , entonces debe satisfacer
su ecuación, es decir:
(a;b) L: Ax+By+C=0
 Aa + Bb + C=0
Ejemplo:
El punto (a;5) pertenece a la recta de ecuación:
2x - 3y - 12 =0. Calcule el valor de “a”.
Resolución:
(a;5)  L: 2x – 3y – 12 = 0  2a – 3(5) – 12=0
27
a=
2

Bloque I
1. Indicar las coordenadas de cada punto.
-1
-1
-9
-3
-8
4
7
3 5 6
A
B
C
D
E
G
X
Y
1
1F
2. ¿En qué cuadrante se ubica P(-3;2)?
3. ¿El punto P(4;0) se ubica en el IC?
4. ¿Cuál es la distancia del punto P(3;6) al eje X?
5. ¿Cuál es la distancia entre P(1;-2) y Q(4;2)?
44 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
6. ¿Cuál es la distancia entre A(3;5) y B(3;-4)?
7. ¿Cuál es la distancia entre M(-2;6) y N(4;-2)?
8. Dado los puntos P(-6;2), Q(4;2); R(1;5) y T(1;-5).
Calcule: 
PQ
E
RT
9. En el gráfico. Calcule PQ.
P(-4;3) Q(5;3)
X
Y
10. En el gráfico. Calcule DC.
D C
X
Y
(-5;-4) (6;-4)
11. En el gráfico. Calcule EF.
F(2;-3)
E(2;2)
X
Y
12. En el gráfico. Calcule MN.
N(-4;7)
M(-4;1)
X
Y
13. Determine el perímetro de la figura:
X
Y
(-5;-2)
(6;5)
45« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
14. Calcule tg , si:
X
Y
(-3;-2) (9;-2)
(-3; 7)

15. Si dos vértices de un triángulo equilátero son A(3;1)
y B(7;4). Calcular su perímetro.
Bloque II
1. Calcule la suma de coordenadas del punto “M”
P(2;5)
Q(10;7)
M
2. Del gráfico, calcule “y0 - x0”:
A(–5;2)
B(1;8)
(x ;y )0 0
X
Y
3. Calcule: bE
a

(6;3)
X
Y
(a;b)(–4;7)
4. Calcule las coordenadas del punto “P”
P(x ; y)
Q(8;12)
M(6;9)
46 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
5. Calcule las coordenadas del punto “N”
N(x ; y)
(6;2)
Q(4;3)
6. Calcule la distancia vertical:
(–6;5) (2;5)
M
(x;–3)
DV
7. Del gráfico, calcule: “y0 - x0”
A(-2;2)
B(8;4)
(x ;y )0 0
X
Y
8. Halle:
b
R
a

(–2;10)
(8;2)
(a;b)
X
Y
9. Si el ángulo de inclinación de la recta con la horizontal
es 60º. Halle la pendiente de dicha recta.
10. Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 5 y
pasa por el punto (2;5)
47« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A(-1; 3) y B(2;
5)?
2. Calcule la distancia horizontal:
X
Y
(-4; 4) (6; 4)
DH
3. Calcule la distancia vertical:
X
Y
(3; -2)
(3; 4)
DV
4. Calcule: (x0
 + y0).
X
Y
B(4; )y(-3; 3) 0
C ( ;-4)x0
A
5. Calcule las coordenadas del punto “M”
A(4;7)
B(10, 3)
M
6. Calcule las coordenadas del punto “A”
A
B(8;6)
M(12;10)
7. Calcule :
a
E
b

(–4;–2)
(a;b)
X
Y
M(4;2)
8. Calcule la pendientede la recta que pasa por los
puntos (2;5) y (4;11).
9. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los
puntos (-5;1) y (7;3).
10. Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es
3
4
 y pasa por el punto (3;3).
48 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
N
OT
A 1. Calcule la suma de distancias de los segmentos AB y CD.
 
(-4;6) (10;6)
X
Y
(7;4)
(7;-4)
A BC
D
3. Calcule las coordenadas del punto “R”
 
Q(–4,–2)
R (x ; y)
M(4;2)
2. Calcule la
ecuación de la recta
cuya pendiente es 3 y
pasa por el punto (3;4).
49« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
TEMA 09
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
DE CUALQUIER MAGNITUD I
Llamada también en posición canónica o standar; es aquel
ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen
del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje
positivo de abscisas y su lado final se ubica en cualquier
región del plano, siendo el que indica a que cuadrante
pertenece el ángulo.
Y
X
 
 
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
En el gráfico, por ejemplo  no es un ángulo canónico
(note donde se inicia). Como ,  y  son ángulos
canónicos; decimos:  IIC,  IIIC;  IVC.
PROPIEDAD
Si  es un ángulo en posición normal positivo y menor
que una vuelta, entonces se cumple que:
Si IC 0 90
Si IIC 90 180
Si IIIC 180 270
Si IVC 270 360
      
      
      
      
DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE
CUALQUIER MAGNITUD
Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo canónico, tomamos un punto que pertenezca a su lado final.
Luego:
Donde:
X: abscisa Y: ordenada r: radio vector
Además: r2 = x2 + y2
Y
X
P(x; y)
r

sen csc
cos sec
tg ct
y r
r y
x r
r x
y xg
x y
   
   
   
Bloque I
1. Calcular la longitud de OP , si: P(3; 4) y ‘‘O’’ es el
origen del sistema.
2. Calcular el radio vector del punto P(8; 6)
3. Hallar “y0”
(12; )y13
Y
X
0
50 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
4. Hallar sec
(–2; 4)
X
Y

5. Calcular: E = sen + cos
( 3; 2)
Y
X

6. Calcular: E = tg+ ctg
Y
X
(–6; –8)

 
7. Calcular: E = ctg – csc
Y
X
(15; –8)

8. Hallar:  M 5 cos sen   
Y
X
–6
3 
 
9. Del gráfico, calcular: E = 8(sec – tg)
Y
X
(8; –15)

 
10. Calcular: senE 1 cos

 
Y
X
(–3; 4)
 
1. Del gráfico, calcule “sen ”

Y
X
(–3;–4)
O
2. Del gráfico, calcule “sen ”
Y
X

(4;–3)
O 
51« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
3. Del gráfico, calcule “cos ”
Y
X

(–12;–5)
o
4. Del gráfico, hallar “cos ”.
;1– 3

X
Y
O
5. Hallar tg :

Y
X
P(–24;–7)
O
Bloque II
1. Calcular m, si ctg = –2
Y
X

( –5; –2)m m
2. Calcular tg
Y
X

(– , 2 )a a
3. Hallar: C = 5cos+ 6tg
Y
X
6
–8
4. Calcular: E = sen + 2cos
–3
Y
X
4

 
5. Del gráfico, calcular tg
Y
X
37º
 
6. Hallar tg :

X
Y
(2n;–n)
52 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
1. Calcular la longitud de OP , si: P(12; 5) y “O” es el
origen del sistema.
2. Hallar “x0”
Y
X
( ; –5)x

0
13
3. Hallar sen
(–1; 2)
Y
X

4. Calcular tg
(4; 3)
Y
X

(–2; 7)
7. Si el punto P(2;–3) pertenece al lado final del ángulo
en posición normal “”.
Calcule: E = 2tg+ 13 cos .
8. Calcular ctg
Y
X

–8
(–2; 6)
9. Del gráfico, calcule: tg.

Y
X
B(–2;0)A(–8;0)
C
10. Del gráfico; calcule “tg”
37º
Y
X

53« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
5. Hallar: M = 5(cos – sen)
Y
X
(–3; –4)

6. Del gráfico, calcule sen.

Y
X
(–2;1)
7. Del gráfico, calcule tg:

Y
X
(–12;4)
8. Calcule: E 34 sen 5tg   

Y
X
(5;–3)
9. Si M punto medio de AB, calcule: A = ctg .
A
(–10;6) M
B
(4;2)
Y

X
10. Según el gráfico mostrado, calcule: sec  + tg .
X

Q(–5;–12)
Y
N
OT
A
2. Calcular:
E = sen + cos
( 7; 2)
Y
X

3. Hallar: P = csc + ctg
 
Y
X
(–3; –4)

1. Del gráfico, calcule: M = sen. cos:
 
X

(2;7)
(8;1)
Y
54 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
TEMA 10
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
DE CUALQUIER MAGNITUD II
SIGNOS DE LAS R.T.
sen
csc (+)
Positivas
todas
tg
ctg
(+) cos
sec
(+)
Y
X
Ejemplo:
¿Qué signo tiene la expresión? 
sen100º cos 200º
E
tg 300º


Resolución:
Y
X
100°
IIC 200°
IIIC IVC
X
Y Y
300°
X
Aplicamos la regla práctica:
100º IIC  sen100º es (+)
200º IIIC  cos200º es (–)
300º IVC  tg300º es (–)
Reemplazamos en E
  
 
E
 


 
 
E


 E  
Bloque I
1. Determinar el signo de: E = sen100ºcos220º
2. Calcular el signo de 
tg230º sen205º
E
tg320º


3. Si: sen>0  cos<0, determinar a que cuadrante
pertenece 
4. Determinar a que cuadrante pertenece , si sen>0
 tg<0.
55« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
5. Si  es un ángulo en posición normal cuyo lado final
pasa por el punto P(1; 3). Calcular:
E 10sen tg   
6. Si el punto M(–3; 4) es un punto que pertenece al
lado final del ángulo  en posición normal.
Calcular: E sen cos tg     
7. Si: 1sen
3

  y IIIC , calcular el valor de:
 R 8 sec tg   
8. Si: tg = 2,4 y IIIC . Calcular cos
9. Si: 1cos
2

  ; IIC . Calcular tg
10. Si: sen cos 0    ;
¿En qué cuadrante podría estar ubicado ?
Bloque II
1. Si “” es un ángulo positivo menor que una vuelta
del IIC, determine el signo de:
3
N sen2 cos
2

 
2. Determine a qué cuadrante pertenece “”, si:
sen > 0  tg < 0
56 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
3. Determine a qué cuadrante pertenece “”, si:
 ctg · cos120º > 0 y cos · ctg240º > 0
4. Si: 
1
sen II
2
     Determine cos:
5. Si: 5sen – 3 = 0 IIC 
Calcular: E sec tg   
6. Si el lado final de un ángulo canónico  pasa por P(1;
–3); calcular: K sec csc   
7. Si: 
3
sen
5

  y  pertenecen al tercer cuadrante.
Calcular: E sec tg   
8. Si:  2tg 3tg8 sec45º   y IV ,
Calcular: E Sec Tg   
9. Si: tg 15 125  y IIIC .
Calcular: M sec csc   
10. Si: tg2 8  ; IIIC . Calcular: P 10sen cos   
57« Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Segundo Año de Secundaria Trigonometría
Bloque III
1. Si: 3sec – 13 ; tg 0
tg – 2 0 ; II
   
   
Calcule: K 13sen 5 csc   
2. Si:  2tg –3tg8 sec 45º y IV  
Calcule: E = sec – tg
3. Si: 
4
tg
3
  , calcular n
Y
X
(2 –2; 3 –2)n n

4. Calcular: tg
Y
X
(4, –3)

5. Del gráfico mostrado, halla:
P 5ctg 34 cos   
Y
X
M(3; –5)

58 « Marcando la Diferencia en Valores... Hoy y Siempre »
Trigonometría Segundo Año de Secundaria
1. Señale el signo de: P = sen124ºcos110º
2. Determine a qué cuadrante pertenece , si:
tg <0  cos >0
3. Si: 
1
cos ; IVC
3
   . Calcular tg
4. Si: tg 13 27  y IIIC , calcular: E csc sec   
5. Del gráfico determine: M 12tg 5sen   
Y
X
(4; 3)

6. Si: 
1
cos IV
3
    Calcule: sen.
7. Si: 
3
cos – y sen 0
5
    Calcule: 12tg
8. Si: 
5
tg y cos 0
12
   
Calcule: N = csc + ctg
9. Determine a qué cuadrante pertenece “”, si:
cos < 0  tg < 0
10. Si se cumple: 3tgx + 4 = 0; x  IVC.
Calcule: A = cscx – ctgx
N
OT
A
2. Si: tg = 3,
calcular a
Y
X
( –1; 4 –1)a a

3. Determine el signo de:
tg240º sen295º
E
csc 342º


1. Si: 3tg+1 = 27 y  IIIC.
Calcule: E = csc – sec