CT GEOM_3RO

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2 3 
El CUADERNO DE TRABAJO 3, para el tercer año de educación secundaria es complemento del libro de 
GEOMETRÍA 3 y ha sido elaborado por el Departamento Académico de la Editorial Ingenio & Yho S.A.C., ubicado 
en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima. 
 Título de la obra: Cuaderno de Trabajo Geometría 3
 Título de la colección: Geniomatic Educación secundaria
 Director Académico: Hernán Hernández Bautista
 Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista
 Anibal Trucios Espinoza
 Asesor Académico: Elvis Valerio Solari
 Diseño y Diagramación: Norma Guadalupe Guerrero Noel
 Marco Antonio Lizárraga Podestá
 Eduardo Tomas Granados Marcelo
 Corrección de Estilo: Victor Emilio Ventura Bismarck
 Victor Francisco Bautista
 Fotografía: Yuri Hernández Oblea 
 Hernán Hernández Bautista
 Páginas Web
 Primera edición: Setiembre 2015
 Tiraje: 4000 ejemplares
 
Editado e impreso en los talleres gráficos de:
Editorial Ingenio & YHO S.A.C.
Av. Tacna Nº 407 Of. 301 - Lima
Telefax: (511) 426-4853
www.editorialingenio.pe
E-mail: editorial.ingenioyho@gmail.com
Impreso en Octubre 2015
Copyright © 2015
Geniomátic E.I.R.L.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio.
Número de Proyecto Editorial:31501001501087
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-14417
ISBN del libro: 978-612-4302-05-3
CUADERNO DE TRABAJO 3
El conocimiento es más fidedigno cuando nace de la práctica. En Matemática, no puede ser 
diferente. El CUADERNO DE TRABAJO GENIOMÁTIC del Tercer Año de Secundaria de 
Editorial Ingenio & YHO S.A.C., responde a la necesidad de brindar a los estudiantes condiciones 
favorables concretas para el aprendizaje de los contenidos del área mediante la resolución de 
problemas, entendiéndose por resolución de problemas el desarrollo de todo un conjunto de 
capacidades como la de análisis, síntesis, interpretación, comunicación de ideas, iniciativa, crea-
tividad, autovaloración, etc.
El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC es un complemento de los textos de Matemática 
GENIOMÁTIC, de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Es el complemento práctico. 
La teoría, en sí, los recursos teóricos, herramientas y criterios que serán utilizados para resolver 
los problemas del cuaderno, así como los ejemplos y modelos desarrollados, están en los cuatro 
textos mencionados.
Si bien los textos han sido elaborados bajo un esquema pedagógico, hemos sido cuidadosos de 
no encasillar al maestro ni al estudiante a un solo modo de proceder. El maestro puede diseñar su 
propio sistema de trabajo de aula y adecuar a su diseño los materiales de Proyecto Ingenio. Sin 
contraponer a lo anterior y a manera de exponer los criterios con los que fueron elaborados los 
materiales, vamos a describir su estructura y plantear algunas sugerencias en su uso.
El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC consta de tres partes: Ejercicios con espacios en blanco, 
Tarea y Reforzando:
EJERCICIOS CON ESPACIOS EN BLANCO
Consta de 10 ejercicios, cada uno de los cuales tiene un espacio en blanco cuadrillado para que el 
estudiante desarrolle en esta parte el ejercicio correspondiente. Con ello el escolar no tendrá ne-
cesidad de transcribir los enunciados de los ejercicios, sino, sólo presentar el proceso de la resolu-
ción con los detalles que crea necesario, de modo que cuando sea revisado posteriormente por él 
mismo sea entendible y le permita recordar el modo cómo ha procedido para llegar al resultado.
En la práctica se ha demostrado que el momento más adecuado para trabajar el Cuaderno es 
inmediatamente después del desarrollo teórico del tema, como una forma de aplicar, reforzar, 
ampliar y profundizar los contenidos del capítulo.
Los ejercicios pueden ser desarrollados en grupos de trabajo o individualmente. De todos modos, 
requieren la supervisión y orientación del maestro cuando los estudiantes encuentran alguna 
dificultad.
TAREA
Consta de 4 preguntas de repetición y aplicación. Son ejercicios para desarrollar detalladamente 
en el cuaderno, los mismos que serán revisados y verificados por el maestro de aula. El grado de 
dificultad de estas preguntas es fácil, tiene por objetivo establecer un nivel mínimo obligatorio de 
avance entre los estudiantes.
REFORZANDO
Consta de 15 ejercicios con alternativa múltiple distribuidos en tres niveles y ordenados ascen-
dentemente por su grado de dificultad. Estos ejercicios cubren los diversos niveles y aplicaciones 
del tema tratado. Se caracterizan por su similitud a las preguntas de tipo exámenes de admisión 
a las universidades.
PRESENTACIÓN
33 
4 3 
Los ejercicios de este grupo son para ampliar, reforzar, complementar, profundizar y detallar los 
contenidos del capítulo. Pueden ser desarrollados en el aula mediante grupos de trabajo, en 
seminarios complementarios a las horas de clase habituales o como tareas domiciliarias con el 
desarrollo total o parcial, obligatorio o voluntario, de los ejercicios.
En todo grupo escolar hay quienes tienen mayor interés en la Matemática y necesitan medios 
para desarrollar sus habilidades y destrezas. Los ejercicios de reforzando se adecuan para fines 
semejantes.
RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS
La concepción del escolar respecto a la Matemática determina en buena parte su modo de apren-
dizaje, por repetición o por deducción. Si piensa que en Matemática hay formas de hacer ya 
establecidas se limitará a repetir dogmáticamente los modelos que observa y siempre hará la pre-
gunta “y esto cómo se hace”. En cambio, si comprende que la Matemática es una herramienta 
científica que le puede ayudar a resolver una diversidad de problemas, y como toda ciencia tiene 
sus leyes que obedecen a una razón y no a un capricho de genialidades, entonces procederá en 
forma lógica, hará uso de su sentido común más que las reglas aprendidas y su pregunta será 
“porqué esto o aquello”.
Por lo anterior, será más provechoso darle ideas de solución más que darle la solución, preguntar-
le hasta dónde ha llegado y en qué se ha “atascado” y plantearle alternativas de salida, sugerir 
posibles caminos, proponer algunas herramientas que puede usar y plantearle que repase ejerci-
cios resueltos similares.
En la resolución de problemas no hay un solo camino, generalmente hay más de uno. Todos los 
caminos racionales son válidos. En Geometría y Trigonometría, y particularmente en los primeros 
años, pueden ser usados los métodos de medición directa, como ángulos y distancias.
La representación de situaciones problemáticas mediante esquemas o figuras es un recurso muy 
útil en la resolución de problemas. Representar una situación abstracta en forma de dibujos 
ayudará a visualizar y comprender mejor la situación. Si bien hay esquemas específicos para 
determinados temas matemáticos, los esquemas no deben ser limitados sólo a estos temas ni 
reunir determinadas condiciones para ser aceptados. Un esquema es personal, es la expresión de 
la forma cómo lo está comprendiendo un tema puntual.
Finalmente, expresamos nuestro reconocimiento a los maestros de aula por la sacrificada y es-
forzada labor que realizan en las instituciones educativas del país y agradeceremos con humildad 
todas las sugerencias, críticas y apreciaciones que surjan de la implementación de esta propuesta 
pedagógica.
EDITORIAL INGENIO & YHO S.A.C.
4 3
CAPÍTULOS TEMAS N° PÁGINA
Capítulo 01 ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS 7
Capítulo 02 PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO 10
Capítulo 03 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS 13
Capítulo 04 LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO 17
Capítulo 05 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 20
Capítulo 06 APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 24
Capítulo 07 POLÍGONOS I 27
Capítulo 08 POLÍGONOS II 30
Capítulo 09 CUADRILÁTEROS34
Capítulo 10 CIRCUNFERENCIA I 37
Capítulo 11 CIRCUNFERENCIA II 40
Capítulo 12 PUNTOS NOTABLES 44
Capítulo 13 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA 47
Capítulo 14 RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULO RECTÁNGULO 50
Capítulo 15 RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 54
Capítulo 16 ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES 57
Capítulo 17 ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES 61
Capítulo 18 ÁREA DE REGIONES CIRCULARES 64
Capítulo 19 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 68
Capítulo 20 PRISMA Y PIRÁMIDE 71
Capítulo 21 CILINDRO, CONO Y ESFERA 75
Capítulo 22 PLANO CARTESIANO 78
Capítulo 23 LA RECTA 81
Capítulo 24 SIMETRÍAS 85
CLAVE DE RESPUESTAS 88
GEOMETRÍA 3 
53 
6 3 
G
EO
M
ETR
ÍA
73 
3 Si L1 // L2, calcula x.
A) 70º
B) 80º
C) 90º 130º120º x
L1
L2
D) 100º
E) 110° 
2 Si L1 // L2 // L3, calcula el valor de x.
A) 100º 
B) 110º 
x
L1
L2
L3
C) 115º 
D) 120º 
E) 125º
1 Si L1 // L2 , calcula el valor de x.
A) 10º
B) 20º
C) 30º 
L1
L2
3x – 20º
 
D) 35º 
E) 40º
4 Si L1 // L2, calcula el valor de x.
A) 20º L1
L2
4x
50º
15º
x
B) 24º
C) 25º 
D) 29º
E) 33º
5 	 En	la	gráfica	L1 // L2 y L3 // L4. Calcula el valor 
de x.
A) 20º
B) 25º
C) 30º 
L1
L2
50º
x+10
L3 L4
 
D) 35º
E) 40º
6 Si L1 // L2,
 calcula el
 valor de x.
A) 15º
B) 20º 
L1
L2 15º
x
2x
25º
3x
20º
C) 25º 
D) 30º
E) 35º
ÁNGULOS ENTRE DOS 
RECTAS PARALELAS 01
CAPÍTULO
Tarea
G
EO
M
ET
R
ÍA
EDITORIAL INGENIO
8 3
10 Calcula x.
A) 100º
B) 90º 
C) 110º 
x
80º
40°
D) 120º
E) 130°
7 Si L1 // L2, halla a + b.
A) 170º
B) 180º
C) 196º 
L1
L2
16º
D) 200º
E) 210°
8 Halla a + b + q. 
A) 190º
B) 198º
C) 200º 
50º
68º
70º
60ºD) 208º
E) 210°
9 Si L1 // L2, calcula el valor de x. 
A) 75º
B) 80º
C) 85º 
L1
L230º
70º
xD) 90º
E) 95º
1 Si a // b  c // d ,
 calcula x. x
100º
a
b
c d
30º
 
2 Si L1 // L2 // L3 , 
 calcula el L1
L2
25º
45º
x L3
 valor de x. 
3 Halla a,
 si L1 // L2. L1
L2
80º
2a
 
 
4 Halla el valor de x + y + z, si L1 // L2. 
 L1
L220º
65º
30º
58º
x
z
y
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ETR
ÍA
93 
REFORZANDO NIVEL I
1 Si L1 // L2, calcula el valor de x.
A) 10º
B) 15º
C) 20º 
L1
L25x + 20
 
D) 25º
E) 30°
 2 Si L1 // L2  L3 // L4, calcula x.
A) 35º
B) 40º
C) 45º 
L1
L4
L3
L2
135º
xD) 50º
E) 60°
3 Si L1 // L2, calcula el valor de x.
A) 55º
B) 60º 
20º
50º x
2y
y
L1
L2
C) 58º 
D) 62º
E) 72°
4 Si L1 // L2, calcula el valor de x.
A) 30º
B) 35º
C) 40º 
L1
L2
x
2x
x
2xD) 32º
E) 45°
5 Si L1 // L2, calcula el valor de x.
A) 18º
B) 20º
C) 22º L1
L2
2x110°3x
D) 27º
E) 30°
REFORZANDO NIVEL II
6 Si L1  L3  L4  L2 , calcula el valor de x.
A) 12°
B) 10°
C) 15° 
L1
L2
L4
L3
7x
5xD) 17°
E) 20°
 7 Si L1 // L2, calcula el valor de x.
 A) 22º
 B) 15º
 C) 18º 
L1
L2
7x
8x
6x
 D) 20º
 E) 25º
8 Si L1 // L2, calcula el valor de x.
 A) 18°
 B) 20°
 C) 25° 
L1
L2
59º
60º
27º
2x
62º+x
 D) 28°
 E) 30°
9 Si L1 // L2, calcula el valor de x.
 A) 70°
 B) 90°
 C) 80° 
150º
100º x
L1
L2
 D) 75°
 E) 85°
10 Si L1 // L2  L3 // L4, calcula el valor de x.
 A) 18°
 B) 20°
 C) 22° 
L1
L2
L3
L4
70º
30º
2x
3x 
 D) 24°
 E) 25°
REFORZANDO NIVEL III
11 Si L1 // L2  L3 // L4, calcula el valor de x.
 A) 65º
 B) 68º
 C) 70º 
L2
L3
L4
L1
42º
x
68º
 D) 72º
 E) 80º
 12 Si L1 // L2, calcula el valor de a + b.
A) 50º
B) 55º
C) 60º 
L1
L2
100º 86°
D) 62º
 E) 70º
13 Si L1 // L2, calcula el valor de x.
 A) 18°
 B) 20°
 C) 22° 
L1
L2
y 2y
86º
x
2x
45º
 D) 24°
 E) 30°
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ET
R
ÍA
10 3
1 3a, 5a y 20° son las medidas de los ángulos inter-
nos de un triángulo. Halla la medida del ángulo 
mayor. 
A) 80° B) 100° C) 110° 
D) 90° E) 120°
2 7x y 4x son las medidas de dos ángulos externos 
de un triángulo. Si 2x es la medida del ángulo 
interno	no	adyacente	a	los	anteriores,	halla x.
A) 30° B) 18° C) 20°
D) 25° E) 50°
3 110° y 130° son las medidas de dos ángulos 
externos de un triángulo. Halla la medida del 
menor ángulo interno.
A) 50° B) 60° C) 55°
D) 70° E) 80°
4 	 En		el	interior	de	un	triángulo	ABC	se	ubica	un	
punto P tal que mPAB = 50°, mPCB = 30°, 
mB = x y mAPC = 5x. Halla x.
A) 50° B) 35° C) 40°
D) 20° E) 30°
15 Calcula el valor de x.
 A) 14°
 B) 15°
 C) 16° 
80º
x
60º 2x
4x
90º + x 90º + 2x
 D) 17°
 E) 20°
14 Si AB // CD, halla la medida del ángulo formado 
por L1 y L2. 
 A) 30°
 B) 36°
 C) 40° 
L1 L2
126º
5xA B
x
C D
 
 D) 46°
 E) 50°
PROPIEDADES FUNDAMENTALES 
DEL TRIÁNGULO02
CAPÍTULO
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ETR
ÍA
113 
5 	 Sobre	la	prolongación	del	lado	AC	de	un	trián-
gulo ABC se toma el punto P, y sobre el lado AB 
se	toma	el	punto	E,	tal	que	PE	intersecta	a	BC en 
N. Si mNEA = 3mENB, mA = 70° y mNCP 
= 130°, halla la medida del ángulo P.
A) 30° B) 20° C) 15° 
D) 25° E) 35°
6 Halla x.
A) 100°
B) 66°
C) 80° 
x
46º
118ºD) 74°
E) 98°
7 Halla x.
A) 150°
B) 100°
C) 130° 
x
38º 124º 32º
 
D) 126°
E) 140°
8 Halla x.
A) 20°
B) 18°
C) 32° 
26º x
 
D) 15°
E) 40°
10 Halla a + b + g + d.
A) 460º
B) 400º
C) 450º 
B
A
110º
C
 
D) 480º
E) 500º
9 Si a + b + c+ d = 272°, halla x + y.
A) 136º
B) 130º
C) 140º 
y
x
a
b
c
d
 
D) 100º
E) 200º
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ET
R
ÍA
12 3
Tarea
1 Las medidas de los ángulos internos de un trián-
gulo	ABC	 están	 en	progresión	 aritmética	 cuya	
razón	es	5°.	Halla la medida del ángulo mayor.
2 	 	En	la	gráfica,	
 halla x – y.
 x
60º
y
3 Halla x.
 
x
60º
4 Halla x.
 40º
3x
60º
x
REFORZANDO NIVEL I
1 Halla x.
 A) 10º
 B) 11º
 C) 9º 
120º
3x
2x
 D) 12º
 E) 18º 
2 Halla x.
A) 40º
B) 45º
C) 50º 70º
x
40º
 
D) 60º
E) 55º 
3 Halla el valor de 3x.
A) 55º
B) 60º
C) 65º 
60º x
x
x
D) 70º
E) 58 
4 Halla el valor de 2x.
A) 50º
B) 57º
C) 60º 
x
2x
2x
70º
80º
C D
A
B
 E
D) 65º
E) 70º 
5 Halla mA + mB + mD + mE.
A) 300º
B) 320º
C) 280º 
A
60º
B
C
EFG
D
D) 350º
E) 360° 
REFORZANDO NIVEL II
6 Halla el ángulo intermedio del triángulo ABC.
A) 60º
B) 66º
C) 65º 
A
5x+25º
3x+30º
x+17ºB C
D) 70º
E) 75° 
7 Halla x + y.
A) 220º
B) 200º
C) 250º 
120ºx
y
40º
D) 300º
E) 320° 
8 Halla x.
A) 40º
B) 42º
C) 45º 
x
 
D) 48º
E) 50º 
9 Halla x.
A) 30º
B) 32º
C) 35º 
xx
x
 
D) 36º 
E) 40º 
10 Halla x.
A) 80º
B) 75º
C) 70º 
80º
xD) 85º
E) 86° 
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ETR
ÍA
133 
REFORZANDO NIVEL III
11 Halla x. 
A) 75º
B) 80º
C) 85º 
x
40º
A
B
C
D) 88º
E) 90° 
12 Si a + b + c + d = 420°, halla x.
A) 25º
B) 28º
C) 30º 
x
c
d
a b
 
D) 35º
E) 40º 
13 Halla x.
A) 45º
B) 60º
C) 65º 
x
60º
D) 50º
E) 55º 
14 Halla x en	términos	de	a y b. 
 
 
a b
x
A) (a + b)/2 B) (a - b)/2 C) (2a + b)/2
D) (a - b)/2 E) 2(b - a) 
15 Si a + b + c + d = 300°, halla x + y . 
 A) 180º
 B) 200º
 C) 220º a
b
x
y
b
c
d
 D) 250º
E) 300º 
1 Halla el valor de x, si BD = BC.
A) 80°
B) 70° 
C) 78° 
x
30º
20º
B
CDA
D) 85°
 E) 90°
2 Halla x. 
A) 18°B) 20° 
C) 22° 
52º
48º
2x3x 
D) 25°
E) 30°
03
CAPÍTULO
CLASIFICACIÓN DE LOS 
TRIÁNGULOS
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ET
R
ÍA
14 3
3 Halla x. 
 A) 50° 
 B) 55° 
 C) 60° 
x
B
E
C
D
A
60º
 
 D) 65° 
 E) 70°
4 Halla x. 
A) 25° 
B) 15° 
C) 18° 
2x
2xx
x
3x
 
D) 20° 
E) 30°
5 Calcula el máximo valor entero que puede to-
mar x para que el triángulo exista.
A) 10 
B) 12 
C) 15 
5
x
3
D) 8 
E) 7
6 	 Dos	 lados	de	un	 triángulo	 isósceles	miden	5	y	
13. Halla el perímetro. 
A) 30 B) 31 C) 35 
D) 38 E) 40
7 		 En	el	interior	de	un	triángulo	se	ubica	un	punto	
tal	que	las	distancias	de	dicho	punto	a	los	vérti-
ces	son	5;	6	y	7.	Halla el mayor valor entero que 
puede tomar el perímetro.
A) 25 B) 28 C) 30 
D) 35 E) 40
8 2 y 9 son las medidas de 2 lados de un triángulo. 
Halla	la	medida	del	tercer	lado,	si	es	un	número	
impar.
A) 5 B) 7 C) 9 
D) 11 E) 13
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ETR
ÍA
153 
10 Halla el valor entero de a. (∅ >90º)
A) 10 
a
7
5
∅B) 18 
C) 15 
D) 9 
E) 13
9 	 En	el	exterior	de	un	 triángulo	 isósceles	ABC,	
de	base	AC,	se	construye	el	 triángulo	equilá-
tero ACD, de perímetro 21. Halla el mínimo 
valor entero que puede tomar el perímetro del 
triángulo	isósceles.
A) 13 B) 14 C) 15 
D) 16 E) 17
Tarea
1 	Uno	de	los	ángulos	agudos	de	un	triángulo	rec-
tángulo es el triple del otro. ¿Cuánto mide el án-
gulo? 
2 Halla el máximo valor entero de x: 
 
 
10
3x
5
3 Halla el valor de x + y, si a + b + q = 60°
 
 x
y
4 Señale	la	relación	correcta	entre	AE	y	EC.
 A) AE > EC 
B) AE < EC 
 C) AE = EC 
A E
D
C
B
61º
44º
52º
 
 
REFORZANDO NIVEL I
1 Los lados de un triángulo miden 2x, 4x y 18. 
Halla el mayor valor entero de x. 
A) 10 B) 8 C) 12 
D) 15 E) 20
2 En un triángulo ABC se sabe que mA = 30° y 
mB = 50°. Halla la medida del ángulo mayor.
A) 100° B) 110° C) 120° 
D) 115° E) 130°
3 	 En	el	exterior	de	un	triángulo	escaleno	ABC	se	
construye	el	triángulo	equilátero	ACD.	Halla el 
valor entero de BC si AB = 3BC y el perímetro de 
ACD es igual 24. 
A) 8 B) 6 C) 5 
D) 7 E) 3
4 Señale	la	relación	correcta.
A) BE = BC 
B) AB > CE 
C) CD < AB 
A E
D
C
B
63º
46º
54ºD) AE < CE 
E) BE > BC
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ET
R
ÍA
16 3
5 En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, 
se sabe que AB = 8 y BC = 15. Halla el menor 
valor entero de AC. 
A) 15 B) 18 C) 20 
D) 22 E) 25
REFORZANDO NIVEL II
6 2a y 3a y (4a - 18) son las medidas de los ángu-
los de un triángulo. Halla la medida de mayor 
ángulo. 
 A) 65° B) 70° C) 68° 
 D) 75° E) 80°
7 En la figura, indique el lado mayor. 
A) BD 
B) AD 
C) AB 
A D
CB
D) CD 
E) BC
8 Halla 3x. 
A) 68° 
B) 70° 
C) 72° 
50º
70º
2x3x
D) 75° 
E) 80° 
9 Halla y - x.
 
 
130º
110º
y
x 
 
 A) 22° B) 25° C) 15° 
 D) 18° E) 20°
10 Halla x.
 A) 20°
 B) 18°
 C) 25° 
2x x
4x
 D) 17°
 E) 23°
REFORZANDO NIVEL III
11 Halla x + y.
 A) 110°
 B) 120°
 C) 100° 
5x y7x65º
35º 56º
 D) 104°
 E) 105°
12 Halla x - y. 
 A) 20°
 B) 22°
 C) 28° 120º
100º
x
y D) 30°
 E) 40°
13 Dos ángulos internos de un triángulo están en la 
relación	de	1	a	2.	Halla el mínimo valor entero 
que puede tomar el menor de los ángulos para 
que	el	triángulo	sea	acutángulo.
A) 28º B) 30º C) 31º 
D) 32º E) 35º
14 Halla x, si el triángulo ABC es equilátero.
 A) 12°
 B) 10°
 C) 15° 80º
A
B
C
2x
 D) 18°
 E) 20°
15 Halla 5x.
 A) 25°
 B) 58°
 C) 50° 
2x
5x
3x
4x
x
 D) 60°
 E) 70°
G
EO
M
ETR
ÍA
173 
1 En un triángulo ABC, mC = 30°, se traza la 
bisectriz	 BD	 de	 modo	 que	 BD	 =	AD.	Calcula 
mABC.
 A) 110º B) 100º C) 108º 
D) 120º E) 130º 
2 Calcula x. 
A) 60º 
B) 65º 
C) 70º x x
B
A
C
D
D) 68º 
E) 75º
3 	 En	el	gráfico, calcula x - y.
A) 30º 
B) 35º 
C) 40º 
B
HA C
30º60º
x
y
D) 41º 
E) 42º
4 Halla x + y	(I:	Incentro	de	ABC)
A) 100º 
B) 30º 
C) 40º 
B
C
E
I
D
x y
A
100º
D) 50º 
E) 60º
5 Halla x. 
A) 40º 
B) 45º 
C) 48º B
C
A
80º x
D) 60º 
E) 50º
6 Halla x.
A) 70º 
B) 75º 
C) 76º 
x
B
A
38º
P
C
D) 78º 
E) 80º
04
CAPÍTULO
LÍNEAS NOTABLES EN EL 
TRIÁNGULO
Tarea
G
EO
M
ET
R
ÍA
EDITORIAL INGENIO
18 3
10 Calcula x	en	términos	
 de a, si BD 
B
A C
x
H D
	 es	bisectriz	del	
 ángulo ABC.
 A) a/3 B) a/2 C) a
D) 3a/2 E) 2a
8 Halla a - b, si BD	es	bisectriz	del	ángulo	ABC.
A) 36º 
B) 39º 
C) 38º 
B
A CDH
20º
D) 40º 
E) 45º
1 Halla x. 
 x76º
2 Halla x.
 
x
 
 
3 Halla x. 
 
x
2x
4 Halla x. 
 
x
63º 47º
7 Halla a,	si	el	triángulo	ABC	es	isósceles:	
 A) 18° 
 B) 19°
 C) 22° 
B
E
A
40º
D
C
 
 D) 25°
 E) 30°
9 Halla x,	si	la	recta	L es mediatriz de AC. 
 A) 10º 
B) 11º 
C) 12º 
x
B
A C
L
P
34º
 
D) 13º 
E) 15º
EDITORIAL INGENIO
G
EO
M
ETR
ÍA
193 
REFORZANDO NIVEL I
1 	 En	un	 triángulo	 rectángulo	 (recto	en	B)	 se	 tra-
za la altura BH. Halla x si mBCH = 70° - x y 
mABH = 10 + 3x. 
A) 13º B) 14º C) 15º 
D) 16º E) 17º
2 Calcula x. 
 A) 110º 
B) 112º 
C) 115º 
x
70º
75ºD) 118º 
E) 120º
3 Si a - b = 50º, calcula x.
A) 62º 
B) 58º 
C) 60º 
x
 
D) 65º 
 E) 70º 
4 Calcula x, si BP = AP = AC y AP	es	bisectriz.		
A) 35º 
B) 36º 
C) 37º 
x
B
P
A C
D) 38º 
E) 40º
5 Halla x, si AC = BC y mA = 6a + 10°.
 A) 7° 
B) 8° 
C) 9° 
B
A H C
x
D) 12° 
E) 10°
REFORZANDO NIVEL II
6 En un triángulo ABC, BC = 9 y mBAC = 
2mBCA.	Se	traza	la	bisectriz	interior	BD	y	re-
sulta AD = 4. Calcula AB.
A) 4 B) 5 C) 6 
D) 7 E) 8
7 Si q + f = 140º, halla x + y.
A) 250º 
B) 200º 
C) 220º 
x yD) 280º 
E) 300º
8 Calcula x.
A) 100º 
B) 105º 
C) 108º 
x
q
D) 110º 
E) 112º
9 Calcula x.
A) 30º 
B) 40º 
C) 50º 
xxx
x
D) 55º 
E) 60º
10 Calcula x,	si	H	es	ortocentro	del	9ABC.
A) 48º 
B) 58º 
C) 55º 
20º
B
H
A Cx
D) 50º 
E) 60º
REFORZANDO NIVEL III
11 Calcula x.
A) 47º 
B) 48º 
C) 49º 
x
84°
D) 50º 
E) 52º