Geometría 1-1

Vista previa del material en texto

DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
1
secundaria
Nombres: _________________________________________________
_________________________________________________________
Apellidos: _________________________________________________
_________________________________________________________
DNI: ____________________________________________________
Domicilio: _________________________________________________
__________________________________________________________
Institución educativa: _________________________________________
__________________________________________________________
Correo electrónico: __________________________________________
_________________________________________________________
Geometría
Matemática
Impreso en el perÚ / prInted In peru
La Editorial se hace responsable por el rigor 
académico del contenido del texto de acuerdo con 
los principios de la Ley General de Educación.
 título de la obra 
® matemátIca delta 1, secundaria
 Geometría
© derechos de autor reservados y registrados
 mauro enrIque matto muzante
© derechos de edición, arte y diagramación
 reservados y registrados conforme a ley
 delta edItores s.a.c.
 edIcIón, 2020
 coordinador de área:
 Mauro Enrique Matto Muzante
 diseño, diagramación y corrección: 
 Delta Editores s.A.C.
 Ilustración general:
 Banco de imágenes Delta Editores s.A.C.
 delta edItores s.a.c.
 Jr. Pomabamba 325, Breña
 Tels. 332 6314, 332 6667 
 Correo electrónico: informes@eactiva.pe 
 www.eactiva.pe
 Tiraje: 4500 ejemplares
 Impresión:
 FINIshING s.A.C.
 Jr. La Maquinaria 160, Chorrillos 
 Lima - Perú
 Tels. 265 3974 251 7191
 IsBn n.o 978-612-4354-30-4
 proyecto editorial n.o 31501051900810
 ley n.o 28086
 Hecho el depósito legal en la Biblioteca nacional del perú 
 n.o 2019-10444
proHIBIda
la reproduccIón total o parcIal
leY de lucHa contra la pIraterÍa leY 28289
puBlIcada el 20 de JulIo de 2004
tÍtulo vII
delItos contra los derecHos Intelectuales
capÍtulo I
delItos contra los derecHos de autor 
Y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
autorización del autor. 
 
artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no 
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, 
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos que 
propiciarán 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
se aborda el 
desarrollo del 
tema, donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
Tema
79Geometría 1 - Secundaria
5
Circunferencia
Una de las figuras geométricas más bellas y armónicas es la circunferencia. Basta con 
observar las ondas formadas en aguas tranquilas cuando un objeto ingresa en ellas. Se 
forman circunferencias concéntricas.
Geométricamente, una circunferencia es un conjunto de puntos, todos ellos equidistantes 
de un punto fijo al que se le llama centro. A la distancia entre el centro y los otros puntos 
se le denomina radio.
La manera más simple de trazar una circunferencia es usando un compás.
A partir de ello podemos mencionar otros elementos asociados, como son:
Centro: O
Radio: OA
Diámetro: BC
Arco: AB
Cuerda: PQ
Recta tangente: l1
Recta secante: l2
Recta pasante o exterior: l3
Obse rva ción
p: Número irracional 
con valor aproximado 
de 3,1415...
¿Sa bía s qu e.. .?
El término 
circunferencia 
proviene del latín 
circunferentia a 
partir de «circum»: 
alrededor. «ferens»: 
conducir o llevar.
Circunferencia
Círculo
P Q
C
Ocentro
A
B
ta
ng
en
te
se
ca
nte
diá
me
troradio
arco
cuerda
l2 l1
l3
Título del tema
Para una mejor 
organización, los temas 
están numerados.
Comentarios 
y/o lecturas 
que 
refuerzan el 
desarrollo 
del tema
85Geometría 1 - Secundaria
1 En la figura, calcula el valor de x.
Resolución: 
Se nota en la figura que AB es el diámetro de la circunferencia, y que PQ es una 
cuerda perpendicular al diámetro, por lo tanto se cumple que PS = SQ.
Entonces: x2 = 36 u2
 x = 6 u
A B
P
Q
36 u
S
x2 u 
Obse rva
Ángulo inscrito
a°
2a°
Rpta. 6 u
Rpta. 27°
Rpta. 13 u
2 ¿Cuál es el valor de x, en la figura? (O es el centro de la circunferencia y T es punto 
de tangencia)
Resolución: 
Como O es el centro de la circunferencia, entonces OT es radio; como recordaremos 
es perpendicular (forma 90º) con la tangente en el punto de tangencia T. Por lo tanto, 
OTS es un triángulo rectángulo.
Y por el teorema del ángulo exterior:
x + 90° = 117°
 x = 27°
3 Encuentra el valor de x en la siguiente figura, si T y M son puntos de tangencia.
Resolución:
Por teorema se sabe que las tangentes a una misma circunferencia son congruentes, 
por lo tanto miden igual. Entonces:
x – 2 = 11
 x = 13 u
T
M
11
x – 2
117°
O
T
S
x
117°
O
x
T
S
a = b
a
b
a = b
Ejercicios resueltos
Nombre de la 
sección
Algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
3MateMática Delta 1 - GeoMetría
Síntesis
Contenido del tema, 
que incluye teoremas, 
postulados, fórmulas, 
propiedades, leyes, etc., 
resumido en organizadores 
gráficos para tener un 
panorama general del 
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con 
numeración impar serán 
resueltos por el docente, 
mientras que los pares serán 
resueltos por el estudiante 
siguiendo la secuencia 
realizada por el educador.
50
1
21
Síntesis
Modela y resuelve 
Teoremas
Observación: Propiedad de «la envolvente»
•	 Ángulos	correspondientes: 
 (miden igual)
 (a, e);(b, f); (d, h); (c, g)
•	 Ángulos	alternos: 
 (miden igual)
 Internos : (b, h); (c, e)
 Externos: (a, g); (d; f)
•	 Conjugados 
 (son suplementarios)
 Internos : (b, e); (c, h)
 Externos: (a, f ); (d, g)
x = a° + b° a° + b° + c° = 360° x + y + z = a + b + c
Ángulos	formados	por	dos	rectas	paralelas	y	una	secante
a
e
d
h
c
g
b
f
a°
b°
x
a°
c°
b°
a
b
x
y
z
c
x = a° + b° + c°
c°
b°
a°
x
En el rectángulo ABCD, señala verdadero (V) o 
falso (F) lo que a continuación se menciona.
BC es paralelo a AD. ( )
AB es paralela a CD. ( )
AB es secante con BC. ( )
CD es paralela a BC. ( )
B C
A D
En la siguiente figura, señala verdadero (V) o falso 
(F) lo que a continuación se menciona.
L3 es paralela a L4. ( )
L2 es paralela a L1. ( )
L2 es perpendicular a L3. ( )
L1 es perpendicular a L4. ( )
L3
L2L1
L4
Nombre de la 
sección
Nombre de la 
sección
Espacio para resolver 
el problema.
Organizador 
visual
Enunciado del 
problema o de la 
situación planteada.
19Geometría 1 - Secundaria
 ¿Cuál es la distancia de los edificios al colegio, si 
AB = 2BC y del árbol al colegio hay 600 m?
1
2
3
4
5
6
Practica y demuestra
Nivel I
A 1 km B 2 km C 1,8 km
D 3 km E 2,5 km
A B C
A 10 m B 12 m C 16 m
D 18 m E 20 m
 Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D. Si 
AB = 6 m, BC = 8 m, CD = 10 m, M es punto 
medio de AB y N es punto medio de CD, 
calcula MN.
A 37 m B 40 m C 35 m
D 36 m E 39 m
 Se tienen los puntos consecutivos colineales A, B, 
C y D, tal que AC = 45 m y BD = 52 m. Determina 
BC, si AD = 60 m.
COLEGIO
 Se tienen los puntos consecutivos R, S, T y 
U. Encuentra RU, si RT = 32 m, SU = 46 m y 
ST = 12 m.
A 36 m B 64 m C 66 m
D 63 m E 86 m
 Se tienen los puntos consecutivos A, B, C 
y D. Halla AD, si AC = 29 m, BD = 45 m y 
BC = 10 m.
A 63 m B 54 m C 65 m
D 60 m E 64 m
A 9 m B 8 m C 7 m
D 10 m E 11,5 m
 P, Q, R y S son puntos consecutivos de una 
recta, tal que PR = 16 m, QS = 18 m y PS = 25 m. 
Calcula QR.
Preguntas 
planteadas, 
estas 
pueden ser 
situaciones 
reales o 
simuladas.
Espacio 
para realizar 
anotaciones de 
resolución.
Alternativas
Nombre de la sección
Test
Esta evaluación incluye 
preguntas del contenido de 
los temas desarrollados en 
la unidad y son de elección 
múltiple.
Practica y 
demuestra
En esta sección se 
plantean preguntas que 
han sido organizadas por 
niveles de complejidad 
y de elección múltiple 
en la que el estudiante 
demostrará lo aprendido 
durante la sesión.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas de 
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 2
77Geometría 1 - Secundaria
Si L1 // L2 y L3 // L2, calcula el valor de a. Encuentra el valor de 4φ – a, L1 // L2.
Determina el valor de b – 18°, si se sabe que L2 
y L3 son paralelas.
Si L1 // L2, indica el valor de la sexta parte de x.
Halla el valor de b – a, si L1 // L2. Descubre el complemento de x, si L1 // L2.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponde a la respuesta.
20°A
80°C
60°B
100°D
0°A
25°C
5°B
100°D
20°A
58°C
40°B
74°D
72°A
10°C
60°B
6°D
10°A
30°C
20°B
70°D
20°A
70°C
40°B
110°D
L1L3
L2
107° b + 15°
L1
120°
a + 20°
L3
L2
L1 140°
120°
80°
2b
4a
L2
140°
30° 50° 40°2a4a
8φ
L1
L2
5x
x
20°
x
L1
L2
4
5MateMática Delta 1 - GeoMetría
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
fo
rm
a,
 m
ov
im
ie
nt
o 
y 
lo
ca
liz
ac
ió
n
Modela objetos 
con formas 
geométricas y sus 
transformaciones.
segmentos 8
Espacio, punto, recta, plano
Línea recta
segmento
ángulos 24
Definición
Bisectriz
Clasificación de ángulos
ángulos formados por dos rectas paralelas
y una secante 43
Rectas paralelas y rectas secantes
Relaciones angulares
Construcción de rectas paralelas
triángulos 60
Definición
Elementos
Clasificación de triángulos
Construcción de triángulos
Teoremas
circunferencia 79
Definición y elementos asociados
Construcción de polígonos regulares
Teoremas básicos de circunferencia
Teoremas referidos a arcos
Teorema de Poncelet y teorema de Pitot
polígonos 103
Definición
Elementos de un polígono
Elementos asociados
Clasificación de polígonos
Postulado y teoremas
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre las formas 
y relaciones 
geométricas.
Usa estrategias 
y procedimientos 
para orientarse 
en el espacio.
Argumenta 
afirmaciones 
sobre relaciones 
geométricas.
Índice
6
La historia cuenta que un sacerdote egipcio le 
pregunta sonriendo a Tales, cuál puede ser la altura 
de la pirámide del rey Khufu (la pirámide de Keops). 
Este reflexiona y a continuación le contesta que no se 
conforma con calcularla a ojo, sino que la mediría sin 
ayuda de instrumentos. Se echa sobre la arena y 
determina la longitud de su propio cuerpo.
Los sacerdotes le preguntan qué es lo que está 
pensando, y Tales les explica: «Me pondré simplemente 
en un extremo de esta línea, que mide la longitud de mi 
cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En 
ese instante, la sombra de la pirámide de vuestro Khufu también ha de 
medir tantos pasos como la altura de la pirámide».
El sacerdote, desorientado por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no 
hay algún error, algún sofisma, y Tales añade: «Pero si queréis que os mida esa altura, a cualquier 
hora, clavaré en la arena mi bastón».
El método que utilizó Tales de Mileto para calcular la altura 
de la pirámide de Keops es lo que conocemos como 
Teorema de Tales (parece obvio por qué se llama así).
El siguiente esquema nos permite ver el problema 
en cuestión y cómo calculó Tales la altura 
de la pirámide clavando su bastón en la 
arena.
Thales
y la pirámide
Keopsde
Fuente:
matematicascercanas.com
Desempeños
• Establece relaciones entre las características y los atributos medibles de objetos reales o imaginarios y 
las asocia y representa con formas bidimensionales compuestas. Establece relaciones de semejanza 
entre figuras planas y las propiedades de área y perímetro.
• Expresa con dibujos, construcciones con regla y compás y con lenguaje geométrico, su comprensión 
sobre las propiedades de las rectas paralelas, perpendiculares y secantes, y de los cuadriláteros, 
triángulos y círculos.
• Lee textos o gráficos que describen características, elementos o propiedades de las formas geométricas 
bidimensionales, así como sus transformaciones, para extraer información.
• Selecciona y emplea estrategias heurísticas, recursos y procedimientos para determinar la longitud, el 
perímetro, el área de figuras planas empleando unidades convencionales.
• Plantea afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que descubre en las formas geométricas, 
las justifica con ejemplos y sus conocimientos geométricos. Reconoce errores en la justificación y las 
corrige.
7
La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que inciden en la 
pirámide y en el bastón son paralelos (consecuencia de la gran distancia que separa al Sol de 
la Tierra), y el bastón está clavado perpendicularmente al suelo.
Supongamos ahora, que a una hora determinada del día, la sombra de la pirámide medía 
280 m, la sombra del bastón medía 2,87 m y dicho bastón era de 1,5 m. Según lo que hemos 
visto antes, tendríamos que:
Que es el valor aproximado que tenía la pirámide de Keops en la antigüedad (actualmente 
tiene 136,86 m).
El método que utilizó Tales de Mileto, el Teorema de Tales, tiene una enorme utilidad puesto que, 
entre otras muchas cosas, lo podemos emplear para averiguar la altura de cualquier objeto que 
sea grande sin necesidad de medirlo directamente.
De donde obtenemos:
De esta forma, los ángulos de los 
dos triángulos que observamos 
en la figura son iguales entre sí y, 
por tanto, dichos triángulos son 
semejantes.
En dos triángulos semejantes, se cumple que sus ladoshomólogos son proporcionales.
En nuestro caso, se cumple que: Sombra de la pirámide
Sombra del bastón
Altura de la pirámide
Altura del bastón
=
280 m
2,87 m
Altura de la pirámide
1,5 m
=
280 m · 1,5 m
2,87 m
Altura de la pirámide 146,34 m==
Sombra de la pirámide Sombra del bastón
MateMática DELTA 1 - GeoMetría
8
Tema
Segmentos
1
Hay conceptos geométricos que no pueden definirse. Son ideas formadas en nuestra 
mente a través de la observación del entorno, y solo podemos hacer representaciones 
concretas de ellas.
Estos términos primitivos o conceptos primarios son: espacio, punto, recta y plano.
Espacio
Es el conjunto universo de la Geometría. En él se encuentran todos los demás elementos. 
Dentro de él determinamos todas las formas que te puedes imaginar como los puntos, las 
rectas; sólidos como los conos, los cilindros, etc.
Punto
El punto tiene posición en el espacio. Su representación más cercana es el orificio que 
deja un alfiler en una hoja de papel o un granito de arena, pero debe tener en cuenta que 
no tiene grosor.
En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayúscula para 
reconocerlos.
A
punto A
Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas 
o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si 
llevan la misma dirección; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si están formadas 
solamente por trozos de rectas.
Recta
E F G
CurvaP
Q
R
Poligonal
R
S
T
Mixta
N P
OM
Las calles y 
avenidas nos dan la 
noción de rectas y 
segmentos de recta.
Puedes asociar la 
idea de:
Punto: Un lugar en 
particular.
Recta: Las calles.
Curvas: El cauce de 
un río.
Import a nt e
9MateMática Delta 1 - GeoMetría
Línea recta
Para unir dos puntos, podemos utilizar 
diferentes tipos de líneas. De todas ellas, 
la más corta será la línea recta. Una recta 
está formada por infinitos puntos y no 
tiene principio ni fin y todos ellos tienen la 
misma dirección.
 
¿A qué denominamos rayo y semirrecta?
Cuando en una recta tomas un punto cualquiera, la recta queda dividida en tres 
subconjuntos: dos porciones independientes hacia ambos lados de dicho punto, y el 
punto mismo. Se define como rayo a cualquiera de esas partes, además del punto 
mencionado.
Veámoslo gráficamente:
A B
P 
A
P
B
P
Tanto PA
ur
 como PB
ur
son rayos. 
La idea de la semirrecta es simple: en un rayo no consideres al primer punto.
A B
Recta
La representación más cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un lápiz 
en un papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos.
La identificaremos con el dibujo:
Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas y sobre ellas se anota su símbolo.
Por ejemplo: AB
sr
, se lee: recta AB.
Plano
Lo más parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero con la diferencia 
que es ilimitado y no tiene grosor.
El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma 
dirección, es decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella.
Las paredes de nuestra casa, el pavimento de las calles, la superficie de una laguna 
tranquila, son representaciones de planos.
Es importante saber que en un plano podemos encontrar puntos y rectas, y obtener 
figuras geométricas.
AP
Una superficie plana 
nos da la idea o 
noción de un plano.
Import a nt e
Import a nt e
Notación
P Q
Semirrecta PQ
10
Segmento
Es la porción de línea recta comprendida entre dos puntos de dicha recta.
Se lee: segmento AB
A B
¿Cuándo decimos que dos segmentos son congruentes?
Cuando están formados por distintos conjuntos de puntos y tienen la misma medida. Se 
escribe AB CD, donde « » es el símbolo de congruencia.
A B
3 cm
C D
3 cm
Punto medio de un segmento
«M» es punto medio de AB, M divide en dos segmentos congruentes, es decir, AM ≅ MB.
A B
2 cm 2 cm
M
Con las medidas de los segmentos se pueden hacer operaciones aritméticas como la 
adición o sustracción.
Adición
A CB
m n
Si te das cuenta la longitud de AB es m y la longitud de BC es n.
Por lo tanto, podríamos decir: AB + BC = AC, o lo que es lo mismo: m + n = AC
Sustracción
A CB
m
n
En este caso podríamos decir que AB = AC – BC, o lo que es lo mismo: m – n = AB
AB y CD a pesar 
de tener la misma 
forma y medida no 
son iguales, ya que 
están formados 
por diferentes 
conjuntos de 
puntos. Por ello, se 
dice «congruentes», 
y es incorrecto decir 
que «son iguales».
AM = 2 cm 
Se lee: la medida de 
AM (segmento AM) 
es 2 cm.
Import a nt e
11MateMática Delta 1 - GeoMetría
1 En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de manera que 
AC = 12 u, BD = 15 u y AD = 19 u. Calcula el valor de BC.
Resolución:
Primero, grafiquemos la situación siguiendo el orden de los puntos dados:
A CB
15
D
12
19
Ahora, viendo el gráfico se nota lo siguiente: CD = AD – AC
En otras palabras CD = 19 – 12 ⇒ CD = 7 u
Además: BC = BD – CD BC = 15 – 7
 BC = 8 u
2 Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que B es punto medio de 
AD, AB = 3(CD) y AD = 24 cm. Determina la medida de CD.
 Resolución:
 Debemos empezar graficando adecuadamente:
B C D
3x x
A
 Sea CD = x ; entonces AB = 3x
 Como B es punto medio, entonces BC = 2x
 Finalmente: AB + BC + CD = 24 ⇒ 3x + 2x + x = 24 ∴ CD = x = 4 cm
3 Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E tal que D es punto medio 
de CE y AC + AE = 50 u. Halla la medida de AD.
 Resolución:
 Grafiquemos:
B C D
a
A E
a
Además: AE = AC + CE ⇒ AE = AC + 2a
Dato: AC + AE = 50
 AC + AC + 2a = 50 ⇒ AC + a = 25
Piden: AD = AC + CD ⇒ AD = AC + a
 AD = 25 u
4 Se tienen tres segmentos y sus respectivas medidas. 
 MN = 8 m, RS = 9 m y TU = 13 m.
 Calcula: 2MN + 4RS2TU
 Resolución:
 Reemplazamos: 
2(8 m) + 4(9 m)
2(13 m) = 
16 m + 36 m
26 m
 = 
52 m
26 m
 = 2
Si m AB = m BC
Entonces:
B: punto medio
A CB
Import a nt e
Si AB = 3CD
Se interpreta que la 
longitud de AB es el 
triple que la de CD.
Rpta. 8 u
Rpta. 4 cm
Rpta. 25 u
Rpta. 2
Import a nt e
Los puntos 
colineales 
pertenecen a una 
misma recta.
Recu e rda
Ejercicios resueltos
12
5 En una recta se ubican los puntos consecutivos P, M, Q, R, N y S, donde M y N son 
puntos medios de PQ y RS, respectivamente. Si se sabe que QR = 7 m y MN = 15 m, 
calcula el valor de PM + NS.
Resolución:
Graficamos la recta y colocamos los datos indicados según su orden de aparición:
P QM
a a 7 m b b
R N S
15 m
Además: MN = MQ + QR + RN
 15 m = a + 7 m + b
 15 m – 7 m = a + b
 8 m = a + b
Piden: PM + NS = a + b
 PM + NS = 8 m
6 En una recta se tienen los puntos consecutivos M, N, O, P y Q.
Si 4MQ = 9NP y MO + NP + OQ = 65 m, descubre el valor de MQ – NP.
 Resolución:
 Dibujamos una recta y ubicamos los puntos y datos en ella.
M PN O
a b c d
Q
9k
4k
 Se sabe que: 4MQ = 9NP
 MQ
NP
9
4=
 MQ = a + b + c + d = 9k ; NP = b + c = 4k
Además: MO + NP + OQ = 65 m
 (a + b) + (b + c) + (c + d) = 65 m
 (a + b + c + d) + (b + c) = 65 m
 9k + 4k = 65 m
 13k = 65 m
 k = 5 m
Piden: MQ – NP = 9k – 4k
 MQ – NP = 5k
 MQ – NP = 5(5 m)
 MQ – NP = 25 m
Rpta. 8 m
Rpta. 25 m
13MateMática Delta 1 - GeoMetría
7 En una recta se tienen los puntos consecutivos T, O, U, R y S. Determina TO, si se 
sabe que TU + OR + US = 36 m, TS = 24m y RS = 2TO.
Resolución:
Graficamos la recta e indicamos los datos en el problema.
T UO
x a b 2x
R S
24 m
Se sabe que: TO = x
 TS = 24 m
 x + a + b + 2x = 24 m
 3x + a + b = 24 m
Además: TU + OR + US = 36 m
 (x + a) + (a + b) + (b + 2x) = 36 m
 (3x + a + b) + a + b = 36 m
 a + b = 12 m
Piden: TO = x
 TS = 24 m
 3x + (a + b) = 24 m
 3x + 12 m = 24 m
 3x = 12 m
 x = 4 m
8 Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos E, A, S e Y. Determina el valor de 
EA sabiendo que A es punto medio de ES, EY = 70 m y ES
4
 = AY
3
.
 Resolución:
 Escribimos en una recta los valores indicados en el ejercicio.
E SA
70 m
Y
8k
6k
4k 4k 2k
 Se sabe que:
 • EY = 70 m
 • EA = AS
 • ES
4
 = AY
3
 ⇒ ES
AY
 = 4 × 2
3 × 2
 ⇒ ES = 8k ; AY = 6k
Si: EA + AS + SY = EY
 4k + 4k + 2k = 70 m
 10k = 70 m
 k = 7 m
Piden: EA = 4k
 EA = 4 × 7 m
 EA = 28 m
Rpta. 4 m
Rpta. 28 m
14
1
32
1 De acuerdo a la figura, completa la tabla:
Del gráfico, calcula el valor de AC – CD.Del gráfico, calcula AB – CD.
Síntesis
Modela y resuelve 
Definición
Si AM = MB 
⇒ «M» es punto medio de AB
A BM
A B
L
a
Porciones 
notables de recta
Recta
Rayo
Semirrecta
Segmento
Recta AB
(Correcto)
Recta L
(Correcto)
Recta a 
(Incorrecto)
Se usan letras 
mayúsculas
Notación
Segmentos
A B C D
Resolución:
P Q R
Resolución:
A B C2 u D
Rpta. Rpta. 
PR QR PQ
6 u 3 u
8 u
5 u
11 u
2,5 u
6,5 u
3a
7x
5b
12 u
14 u
2a
5x
14 u
16 u
13,5 u
16b
15MateMática Delta 1 - GeoMetría
4
8
5
9
Se tienen los puntos A, B, C y D en una recta tal 
que AB = 7 m, CD = 9 m y AD = 21 m. Halla BC.
Resolución:
Resolución:
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos 
A, B, C y D, tales que AC = 14 m, BD = 18 m y 
CD = 3AB. Encuentra la longitud de AB.
Resolución:
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos 
A, B, C y D. Encuentra AB sabiendo que AC = 16 m, 
BD = 24 m y CD = 2AB.
Resolución:
Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, 
B, C y D. Si AC = 80 m, BD = 60 m y AD = 100 m. 
Halla CD + AB.
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
6 7Se han tomado los siguientes puntos consecutivos: 
A, B, C. Determina la medida de AB, si AC = 20 m 
y BC = 18 m.
Se tienen los puntos consecutivos y colineales P, 
Q, R y S. Si R es punto medio de QS; PR = 10 m 
y QR = 3 m, determina PS.
Resolución: Resolución:
16
10
12
14
11
13
15 En una recta se toman los puntos consecutivos 
A, B, C, D y E tal que F es punto medio de AB y 
G es punto medio de DE. Si AB = BC, CD = DE y 
AB + DE = 12 cm, determina la medida de FG.
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos y 
colineales A, M, B, C, N y D, de modo que los puntos 
medios de AB y CD son M y N, respectivamente. 
Determina MN, si AC = 24 cm y BD = 32 cm.
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, 
C y D. Si AC = 18 m, BD = 12 m y AD = 20 m, halla 
la distancia entre los puntos medios de AC y BD.
Se tiene los puntos colineales y consecutivos P, 
Q, R y S. Si PS = 12 cm, PQ = 4 cm, RS = 5 cm, 
halla 4PR + 2PQ – QS.
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Se tiene los puntos colineales y consecutivos J, K, 
L y M. Si JK = 16 m, JL = 20 m, LM = 7 m, calcula 
JM + (KL)2 – 2KM. (Solo el valor numérico)
Resolución:
Rpta. 
Se tiene los segmentos consecutivos y colineales 
A, B, C y D. Calcula AB2 – BD, si AD = 8 m, 
CD = 3 m, BC = 2 m. (Solo el valor numérico)
Resolución:
Rpta. 
17MateMática Delta 1 - GeoMetría
16
18
20
17
19
21
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Si AB = 8 cm, BC = 16 cm, M es punto medio de 
AC y N es punto medio de AB, encuentra MN.
Si AB = 72 cm; C es punto medio de AB y D es 
punto medio de BC, encuentra AD.
Si AC = 18 cm, M es punto medio de AB y N es 
punto medio de BC, calcula MN.
Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, 
B, C y D, tal que BC = 6 cm y AD = 18 cm. M es 
punto medio de AB y N es punto medio de CD. 
Calcula MN.
Se tienen los puntos colineales y consecutivos 
A, B, C y D, tal que AB = 3BC = 4CD = 24 cm, P 
es punto medio de AB y Q es punto medio de CD. 
Halla PQ.
Se tienen los puntos colineales y consecutivos 
A, B, C y D, tal que = =AB2
BC
3
CD
4
.
Si M es punto medio de AD, halla MC
MD
.
A C D B
A N MB C
A M NB C
18
22
24
26
23
25
27
Determina el valor de AT, sabiendo que T es punto 
medio de PO, PA = 34 m y AO = 42 m.
Resolución:
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Determina el valor de OM, si se sabe que MA = 18 cm, 
O es punto medio de TA y TM = 46 cm.
Se ubican en una recta los puntos consecutivos A, B, 
C y D. Encuentra el valor de BC, si BD = AC = 12 cm 
y AD = 20 cm.
Calcula el valor de EF, si en una recta se ubican 
los puntos consecutivos colineales K, L, M y N, 
teniendo a los puntos E y F como puntos medios 
de KL y MN, respectivamente. Además, KM = 27 m 
y LN = 35 m. 
Se ubican en una recta los puntos consecutivos P, 
Q, R y S. Encuentra el valor de PS, si se sabe que 
PR = QS = 30 m y QR = 12 m.
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos 
A, B, C y D, y los puntos M y N son puntos medios 
de AB y CD, respectivamente. También se sabe 
que AC = 44 m y BD = 66 m. Calcula el valor 
de MN.
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Rpta. 
T O M A OTAP
19MateMática Delta 1 - GeoMetría
 ¿Cuál es la distancia de los edificios al colegio, si 
AB = 2BC y del árbol al colegio hay 600 m?
1
2
3
4
5
6
Practica y demuestra
Nivel I
A 1 km B 2 km C 1,8 km
D 3 km E 2,5 km
A B C
A 10 m B 12 m C 16 m
D 18 m E 20 m
 Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D. Si 
AB = 6 m, BC = 8 m, CD = 10 m, M es punto 
medio de AB y N es punto medio de CD, 
calcula MN.
A 37 m B 40 m C 35 m
D 36 m E 39 m
 Se tienen los puntos consecutivos colineales A, B, 
C y D, tal que AC = 45 m y BD = 52 m. Determina 
BC, si AD = 60 m.
COLEGiO
 Se tienen los puntos consecutivos R, S, T y 
U. Encuentra RU, si RT = 32 m, SU = 46 m y 
ST = 12 m.
A 36 m B 64 m C 66 m
D 63 m E 86 m
 Se tienen los puntos consecutivos A, B, C 
y D. Halla AD, si AC = 29 m, BD = 45 m y 
BC = 10 m.
A 63 m B 54 m C 65 m
D 60 m E 64 m
A 9 m B 8 m C 7 m
D 10 m E 11,5 m
 P, Q, R y S son puntos consecutivos de una 
recta, tal que PR = 16 m, QS = 18 m y PS = 25 m. 
Calcula QR.
20
A 6 m B 7 m C 8 m
D 9 m E 10 m
 Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, 
B y C, donde M es punto medio de BC y AM = 9 m, 
MC = 2 m. Determina AB.
A 2 cm B 3 cm C 1 cm
D 4 cm E 5 cm
 Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de 
tal manera que B es punto medio de AD, AB = 3CD 
y AD = 24 cm. Encuentra la medida de CD.
A 25 u B 50 u C 30 u
D 12,5 u E 20 u
 Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, 
B, C, D y E tal que D es punto medio de CE y 
AC + AE = 50 u. Halla AD.
7
8
9
 Se tienen los puntos consecutivos A, M, B y C. 
 M es punto medio de AC. Calcula MC si 
 AB + BC = 32 u.
A 8 u B 32 u C 18 u
D 16 u E 2 u
A 30 m B 50 m C 20 m
D 60 m E 40 m
 Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, 
B, C y D. Si AC = 80 m, BD = 60 m, AD = 100 m. 
Determina CD + AB.
 Se tienen los puntos consecutivosy colineales P, 
Q, R y S. R es punto medio de QS. Si PR = 10 m 
y QR = 3 m. Encuentra PS.
A 12 m B 13 m C 15 m
D 11 m E 14 m
10
11
12
21MateMática Delta 1 - GeoMetría
Nivel II
A 0,5 B 1 C 2
D 1,5 E 3
 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos 
A, B, C y D. Si AC = 2, C es punto medio de AD y 
BD = 3, halla CD – AB.
 Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, 
B y C, donde M es punto medio de BC y AM = 9 m, 
MC = 2 m. Calcula (AB)2.
A 25 m2 B 16 m2 C 49 m2
D 64 m2 E 121 m2
 Sean M, A, O y B puntos colineales y consecutivos 
sobre una recta, siendo O el punto medio de 
AB; MA = 2 u y AB = 6 u. Determina (MO)2.
A 25 u2 B 16 u2 C 9 u2
D 36 u2 E 4 u2
13
14
15
 Se tienen los puntos A, B, C y D sobre una recta. 
Tal que AC = 18 u; BD = 20 u; AD = 30 u. Encuentra 
la longitud de BC.
 Se tienen los puntos colineales A, B, C, D; además, 
AB + AD = 16. Halla AC, si se sabe que C es punto 
medio de BD.
A 10 u B 12 u C 8 u
D 11 u E 13 u
A 8 B 9 C 10
D 7 E 6
 Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C; 
además, AB – BC = 8 cm. Calcula MB, si M es 
punto medio de AC.
A 3 cm B 4 cm C 5 cm
D 6 cm E 2 cm
17
16
18
22
A 17 u B 18 u C 19 u
D 20 u E 21 u
A 14 u B 13 u C 12 u
D 15 u E 16 u
A 8 m B 9 m C 10 m
D 11 m E 12 m
 Sean A, B, C y D puntos consecutivos de una 
recta. Si AC + BD = 16 m y BC = 4 m. El valor de 
AD es:
 Sean A, B, C y D los puntos de una recta. AD = 30 u;
 BC = 10 u. Determina MN; además, M y N son 
puntos medios de AB y CD, respectivamente. 
 Se tienen los puntos colineales A, B, C y D, 
siendo M punto medio de AB y N punto medio de 
 CD; AC = 10 u y MN = 12 u. Encuentra BD. 
19
20
21
A 4 cm B 8 cm C 5 cm
D 6 cm E 10,5 cm
A 6 u B 7 u C 8 u
D 9 u E 5 u
 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos 
A, B, C y D. Halla BC sabiendo que AD = 18 cm y 
MN = 13 cm, siendo M y N puntos medios de AB y 
CD, respectivamente.
 Sean los puntos A, B, C, D colineales y 
consecutivos, tal que C es punto medio de AD; 
BD – AB = 12 u. Calcula BC.
A 1 cm B 2 cm C 3 cm
D 4 cm E 5 cm
 Se tienen los puntos colineales A, N, i, S. 
Determina Ni, si AN = 4 cm, NS = 10 cm. Además, 
I es punto medio de AS. 
22
23
24
23MateMática Delta 1 - GeoMetría
A 26 m B 16 m C 28 m
D 20 m E 24 m
 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos y 
colineales A, M, B, C, N, D; de modo que los puntos 
medios de AB y CD son M y N, respectivamente. 
Encuentra MN, si AC = 24 m y BD = 32 m. 
A 10 u B 15 u C 20 u
D 25 u E 30 u
A 6 u B 9 u C 10 u
D 8 u E 12 u
 En una recta se ubican los puntos consecutivos 
A, B, C y D. Halla AC, si AB
2
 = BC
3
 = CD
5
 y 
AD = 40 u.
 Sobre una recta se toma los puntos O, A, C 
y B, consecutivamente; si OA = 6 u, OB = 15 u y 
2AC = CB, calcula OC.
Nivel III
25
26
27
A 4 cm B 8 cm C 12 cm
D 16 cm E Imposible
A AC + BD3 B 
AC ‒ BD
3
 C AC + BD 
D AC + BD
2
 E AC ‒ BD
2
 Sobre una recta se toma los puntos consecutivos 
A, B y C de tal forma que BC – AB = 16 cm. 
Determina la distancia de B al punto medio de AC.
 Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C y D. 
Si E y F son puntos medios de AB y CD, encuentra 
la medida de EF.
A Solo i 
B Solo ii 
C Solo iii
D I y II 
E Solo i y ii
 En una línea recta se ubican los puntos A, B, C y D, 
no necesariamente en ese orden. Cumpliéndose 
lo siguiente:
A B
3 = 
A C
2 = 
A D
4
Luego, se puede afirmar que:
i. B es punto medio de AC.
ii. C es punto medio de BD. 
iii. C es punto medio de AD. 
28
29
30
24
Tema 2
¿Cómo se utiliza el transportador?
El uso del transportador es sumamente 
sencillo, y lo que debes hacer es ubicar en 
la marca central que tiene tu transportador 
un punto el cual será el vértice del ángulo; 
en la figura es el punto A. El lado inicial 
debe empezar en el rayo que apunta 
al 0°, en nuestra figura es el punto C. Y 
finalmente, un punto en el lado final, que 
en nuestro gráfico apunta a 40° y al que le 
pusimos el punto B.
Definición
Figura formada por dos rayos que parten del mismo punto inicial. A los dos rayos se les 
denomina lados del ángulo y al punto inicial se le llama vértice del ángulo. El símbolo del 
ángulo es .
Normalmente usamos el sistema sexagesimal para expresar la medida del ángulo; 
sin embargo, en Trigonometría, aprenderás que existen otros sistemas de medidas 
angulares.
Para medir un ángulo se usa un instrumento de medición que ya conoces y es el 
transportador.
90
90
80
10070
11060
120
50
13
0
40
14
0
30
15
0
20
16
0
10 17
0
0 18
0 1800
17010
16020
15030
14040
13050
120
60
110
70
100
80
a°: medida del ángulo
Equivalencias
1° <> 60ʹ
1ʹ <> 60ʹʹ
1° <> 3600ʹʹ
a°
vértice
Ángulos
Import a nt e
a = 40°
B
A C
medida del 
ángulo
a
20°
240 kg
25MateMática Delta 1 - GeoMetría
Si ponemos la escuadra o el cartabón en el vértice de manera que los lados que forman 
el ángulo de la escuadra coincidan exactamente con los lados de la figura.
Observa los siguientes ángulos, ambos son mayores a un ángulo recto:
El siguiente es un ángulo igual a un ángulo recto:
Y estos últimos son ángulos menores a un ángulo recto:
30°
90°
90°
60°
45°
45°
Escuadra Cartabón
Si:
• a < 90°
⇒ el ángulo es agudo
• a = 90°
⇒ el ángulo es recto
• a > 90°
⇒ el ángulo es obtuso
Recu e rda
La medida de los 
ángulos es siempre 
expresada por un 
número real positivo.
Import a nt e
De acuerdo a sus medidas, podemos decir que los ángulos pueden ser:
  Agudos: Si sus medidas son mayores a 0° pero menores a 90°.
  Rectos: Si su medida es 90°.
  Obtusos: Si sus medidas son mayores a 90° pero menores a 180°.
Vamos a aprender a reconocer las medidas angulares en algunas situaciones cotidianas. 
Para ello, podemos utilizar otro instrumento de medición como es el juego de escuadras 
en el que suelen venir tres reglas: una escuadra propiamente dicha, un cartabón y una 
regla milimetrada. Para que entiendas cuál es la diferencia de la escuadra y el cartabón 
mira esta imagen:
26
Bisectriz de un ángulo
Una bisectriz es un rayo que al ser trazado en la región interior de un ángulo, determina 
dos ángulos que son congruentes. Veámoslo gráficamente.
Para el ángulo ABC, BD es su bisectriz.
Clasificación de ángulos
ángulos complementarios
Son aquel par de ángulos, cuya suma de sus medidas es 90°.
ángulos suplementarios 
Son aquel par de ángulos, cuya suma de sus medidas es 180°.
¿Se pueden hacer operaciones con las medidas de los ángulos?
Claro que sí. Al igual que hicimos con los segmentos podemos hacer operaciones 
aritméticas con las medidas angulares. Veamos cómo en los ejercicios resueltos.
A
C
D
B
a
a
1
2
1
2
1 + 2 = 90°
3
44
3
4 + 3 = 180°
La congruencia 
implica entre otras 
cosas medidas 
iguales.
Import a nt e
¿Sa bía s qu e.. .?
Si
C: complemento
⇒ Ca = 90° – a
No existe el 
complemento de un 
ángulo cuya medida 
sea mayor a 90°.
Si
S: suplemento
⇒ Sb = 180° – b
No existe el 
suplemento del 
ángulo cuya medida 
sea mayor a 180°.
27MateMática Delta 1 - GeoMetría
1 En la figura, calcula el valor de x.
2 Si se sabe que OM es la bisectriz del ángulo BOC, halla m AOM.
Resolución:
Como nos damos cuenta la medida del ángulo AÔD es 90°. Eso lo sabemos por el 
pequeño cuadrado que se puede observar en el vértice.
También vemos que los rayos OB y OC están determinando la aparición de tres 
ángulos. 
Por lo tanto, plantearemos el problema así:
m AOD = m AOB + m BOC + m COD
 90° = x + 40° + x
 50° = 2x
 25° = x
Resolución:
Por definición de bisectriz, los ángulos BOM y MOC son congruentes y sus medidas 
son iguales.
Por lo tanto, m BOM = m MOC = 35°
Están pidiendo la medida del ángulo AOM = m AOB + m BOM
 m AOM = 28° + 35°
 m AOM = 63°
A
C
D
x
x
40°
O
B
CA
B M
O
28
°
35°
Si:
a + b + θ = 90°
¿Se puede decir 
que ellos son 
complementarios?
Respuesta: No. Por 
definición, solo son 
2 ángulos.
Import a nt e
La bisectriz 
determinados 
ángulos cuyas 
medidas son iguales.
Recu e rda
Rpta. 25°
Rpta. 63°
Ejercicios resueltos
28
3 La suma del complemento de un ángulo x con el suplemento de su ángulo doble es 
igual a 3/2 del complemento de un ángulo y. Si x – y = 24°, determina el valor de x.
4 Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC donde m AOC = 102°. Se 
traza la bisectriz OM del ángulo AOB. Encuentra la medida del ángulo BOC, si 
m BOC – m MOB = 36°. 
Resolución:
Empecemos por graficar apropiadamente.
Resolución:
Por partes planteamos apropiadamente las ecuaciones correspondientes:
«... el complemento de un ángulo x». Se representa como Cx = 90° – x
«... el suplemento de su ángulo doble». Se representa como S2x = 180° – 2x
«... 32 del complemento de un ángulo y». Se representa como 
3
2 Cy = 
3
2 (90° – y)
Ahora, planteamos toda la ecuación:
(90° – x) + (180° – 2x) = 32 (90° – y)
Operando llegamos a la siguiente expresión: 90° = 2x – y ........ (I)
Pero tenemos un dato más: 24° = x – y ........ (II)
Resolviendo las ecuaciones tenemos que: x = 66°
A
C
B
M
O b
a
a
102°
Se observa: 2a + b = 102° ........................... (I)
 Dato: b – a = 36° .............................. (II)
La ecuación (ii) se multiplica × 2 y luego se suma a (I)
 2b – 2a = 72°
 2a + b = 102°
 3b = 174° ⇒ b = 58°
 ∴ m BOC = 58°
+
A
D
C
B
O
Complemento de a
C(a) = 90° – a
Suplemento de b
S(b) = 180° – b
Los ángulos AOB, 
BOC y COD son 
consecutivos.
Recu e rda
Rpta. 66°
Rpta. 58°
29MateMática Delta 1 - GeoMetría
5 Calcula el complemento de y.
6 El doble de la medida de un ángulo, es igual al triple de la medida de su complemento. 
Halla la medida de dicho ángulo.
Resolución:
• Al observar el gráfico, notaremos que los ángulos que presentan datos están 
opuestos por el vértice, lo que significa que ambos ángulos tienen medidas 
iguales.
 3y = y + 72°
3y – y = 72°
 2y = 72°
 y = 36°
• Ahora, determinamos el complemento del ángulo y restándole a 90° el valor del 
ángulo ya conocido.
90° – 36° = 54°
Resolución:
• Escribimos las ecuaciones en partes para no equivocarnos en el planteamiento de 
la ecuación final.
	 El doble de la medida de un ángulo → 2a
	 El complemento del ángulo → Ca = 90° – a
	 El triple de la medida del complemento de un ángulo → 3 × (90° – a)
• Ahora, planteamos la ecuación completa de acuerdo al enunciado.
 2a = 3 × (90° – a)
 2a = 270° – 3a
 5a = 270°
 a = 54°
• Como el ángulo solicitado es a, podemos dar la respuesta.
3y y + 72°
Rpta. 54°
Rpta. 54°
30
7 El complemento de b más el suplemento de b es igual a 170°. Determina el valor del 
triple de b aumentado en 10°.
8 Encuentra el suplemento del complemento de la mitad del ángulo x sumado con el 
complemento del suplemento del triple de dicho ángulo.
Resolución:
• Lo primero que podemos observar en el gráfico, es que los datos que se encuentran 
en él están opuestos por el vértice. Por lo tanto, tienen medidas iguales.
 x + 10° = 2x – 40°
50° = x
• Nos piden hallar: suplemento del complemento de la mitad de x, aumentado en el 
complemento del suplemento del triple del mismo ángulo.
 180° – (90° – x
2
) + 90° – (180° – 3x)
 180° – (90° – 25°) + 90° – (180° – 150°)
 115° + 60°
 175°
Resolución:
• Planteamos las ecuaciones de manera independiente para no equivocarnos.
	 El complemento de b → Cb = 90° – b
	 El suplemento de b → Sb = 180° – b
	 El complemento de b más el suplemento de b → Cb + Sb = 90° – b + 180° – b
• Escribimos la ecuación final y hallamos el valor de b.
 90° – 2b + 180° = 170°
 270° – 170° = 2b
 100° = 2b
 50° = b
• Nos piden hallar el triple de b aumentado en 10°.
 3b + 10° = 3(50°) + 10° = 150° + 10° = 160°
x + 10° 2x + 40°
Rpta. 160°
Rpta. 175°
31MateMática Delta 1 - GeoMetría
Los ángulos complementarios son: Los ángulos suplementarios son:
99°
60°
59°
45° 12°
30°
45°
53°
121°
78°
81°
37°
Notación
Clasificación
(a) Por su medida:
 - Ángulo agudo : La medida es menor a 90°.
 - Ángulo recto : Mide 90°.
 - Ángulo obtuso : Mide más de 90°.
(c) Por su suma:
 Si a° + b° = 90° ⇒ a° y b° son complementarios.
 Si θ° + ω° = 180° ⇒ θ° y ω° son suplementarios.
(b) Por su posición:
ConsecutivosAdyacentes Opuestos
Se llama: 
ángulo AOB
a: medida del 
ángulo AOB
OT: bisectriz del 
ángulo AOB
A
B
O a
A
B
T
O aa
ba
ángulos
Síntesis
1 indica qué parejas de ángulos son complementarios y suplementarios entre sí.
Modela y resuelve 
θ
b
a
b
a
32
Completa el cuadro que se muestra a continuación. Completa el cuadro que se muestra a continuación.
Medida del 
ángulo
Complemento
del ángulo
17°
40°
47°
88° 13ʹ 42ʹʹ
66° 50ʹ 45ʹʹ
55° 18ʹ
25° 30ʹ
16° 15ʹ
15°
82°
123°
52° 43ʹ 38ʹʹ
116° 40ʹ 41ʹʹ
125° 26ʹ
140° 50ʹ
160° 25ʹ
Resolución:
Resolución:
5b
4b
5x
x
Medida del 
ángulo
Suplemento
del ángulo
¿Cuál es el valor de x?En la figura, calcula el valor de b.
Rpta. Rpta. 
2
54
3
33MateMática Delta 1 - GeoMetría
Halla el valor de x. Halla el valor de x.
Resolución: Resolución:
A O D
B C7x
8x
A O D
B C7x
8x60°
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Resolución:
2x
3x
A O D
B C
x
¿Cuál es el valor de x?En la figura, encuentra el valor de x.
Resolución:
x
x – y
A O D
B C
x + y
6
8
10
7
9
11
Resolución:
Resolución:
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC 
y COD; si m AOD = 164°, m AOC = 80° y 
m BOD = 100°, determina la medida del BOC.
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y 
COD; siendo m AOC = 47°, m BOD = 51° y 
m AOD = 80°, determina la medida del ángulo 
BOC.
Rpta. Rpta. 
34
Calcula el valor de x, si m AOC = 110° y 
m BOD = 130°.
Si m AOC = 130°; m BOD = 100° y 
m BOC = 70°, calcula la m AOD.
Resolución: Resolución:
O
B
C
D
A
Rpta. Rpta. 
A O D
B C
x
Si al suplemento del complemento de un ángulo 
se le agrega el complemento del suplemento del 
mismo ángulo, resulta 90° más que el suplemento 
de dicho ángulo. Encuentra la medida de tal ángulo.
Si a la medida de uno de dos ángulos suplementarios 
se le disminuye 30°, para agregarle al otro, la 
medida de este último resulta ser 7/2 de lo que 
queda del primer ángulo. Encuentra la diferencia 
de las medidas de los dos ángulos.
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta. 
13
15
17
12
14
16 El suplemento de la medida de un ángulo es 5x 
y el complemento del mismo ángulo es x. ¿Cuánto 
mide dicho ángulo?
En la figura, m AOD = 100º. Halla el valor de x.
O
B
C
D
A
2x 
+ 2
0º
2x + 30º
40º ‒ 3x
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta. 
35MateMática Delta 1 - GeoMetría
Rpta. Rpta. 
Si m AOB = 78°; m BOC = 38° y OM es 
bisectriz del AOC, determina la m MOB.
Resolución:
B C
M
A
O
Si m POR = 86°; m QOR = 34° y ON es bisectriz 
del POQ, determina la m NOR.
Resolución:
R
Q
N
P
O
19
21
18
20 En la figura, m AOD = 90º. Calcula el valor de x.En la figura mostrada:
OX es bisectriz del ángulo AOB.
OY es bisectriz del ángulo BOC.
m AOC = 72º. Calcula la m XOY.
O
Y
X
B
C
A
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta. 
O
x 
+ 
5º
x +
 15
º
x + 10º D
B
C
A
36
Nivel I
Practica y demuestra
 Escribe verdadero o falso según corresponda.
 i. El ángulo tiene dos lados. ( )
 ii. El ángulo tiene dos bisectrices. ( )
 iii. El ángulo está formado por dos semirrectas. ( )
 iV. Todos los ángulos siempre estaránmedidos 
 en grados sexagesimales. ( )
 V. El ángulo agudo es mayor que 90°. ( )
 indica verdadero o falso según corresponda.
 i. Un grado sexagesimal (1°) representa la 
 360ava parte de una vuelta. ( )
 ii. El minuto sexagesimal tiene 100ʹʹ. ( )
 iii. Las medidas angulares no pueden ser 
 números decimales. ( )
 iV. Un grado (1°) equivale a 60 minutos 
 sexagesimales (60ʹ). ( )
 V. Un minuto (1ʹ) equivale a 60 segundos 
 sexagesimales (60ʹʹ). ( )
 Escribe verdadero o falso según corresponda.
 i. El ángulo agudo es menor que 90°; pero 
 mayor que 0°. ( )
 ii. El ángulo obtuso es mayor que 90°; pero 
 menor que 180°. ( )
 iii. El ángulo recto mide 180°. ( )
 iV. 30°, 40° y 20° son ángulos complementarios 
 entre sí. ( )
 V. Cualquier medida angular tiene 
 complemento. ( )
A VFVFV B VFFVV C VVFFF
D FVFVV E VVFVV
A VFFVV B FVFVF C VVFFV
D FVFVF E FVFFV
A VFFVV B FFVVV C VFFVF
D VFFFF E FFFVV
1
2
3
θ°
θ° =
a° =
a°
A 20° B 10° C 45°
D 80° E 15°
 Mide los siguientes ángulos (usa transportador).
 En tu cuaderno, desde un punto O se trazan los 
rayos OA, OB, OC, OD, OE.
 Si: m AOB = 30°
 m BOC = 70°
 m COD = 15°
 m DOE = 30°
 Calcula los siguientes valores angulares:
 (a) m AOC 
 (b) m BOD 
 (c) m AOD 
 (d) m AOB + m BOD 
 (e) m AOD – m BOC 
 (f) 3 m AOC – 2 m BOC 
 (g) 5 m BOC + m AOB – 2 m COD 
 (h) 3 m COE + 2 m AOE 
 (i) 7 m BOC – m AOE 
 (j) 2 m AOE – 3 m DOE 
 ¿Cuánto es el complemento de la mitad del 
suplemento de 20°?
4
5
6
37MateMática Delta 1 - GeoMetría
A 110° B 60° C 70°
D 50° E 80°
 Las medidas de dos ángulos suman 110°. ¿Cuánto 
suman sus complementos?
 La mitad del complemento de un ángulo es igual 
al doble de dicho ángulo. Halla la medida del 
ángulo.
A 20° B 12° C 30°
D 18° E 9°
A 132° B 102° C 112°
D 122° E 142°
 ¿Cuánto mide el suplemento del complemento 
de 32°?
7
8
9
A 60° B 30° C 40°
D 80° E 70°
 El doble del complemento de un ángulo equivale 
al complemento de la mitad del ángulo. Determina 
dicho ángulo.
A 30° B 15° C 75°
D 60° E 45°
 Se tienen dos ángulos complementarios, si a 
la medida de uno de ellos se le quita 30° para 
agregarlos al otro, resultan medidas iguales. 
Encuentra la medida del menor.
A 129° B 139° C 149°
D 148° E 168°
 Calcula el suplemento de 30°60ʹ.
11
12
10
38
A 20° B 21° C 25°
D 30° E 40°
O
Q
120°
3a
P R
 Halla el valor de a.
 Si OC es bisectriz del BOD; m AOB = 20°; 
m AOD = 80°; determina m AOC.
 En la figura, se muestra a la recta AC. Encuentra 
m BOC, si m AOD = 160°, m BOD = 170°.
O
D
CB
A
A 140° B 150° C 100°
D 130° E 145°
A 30° B 45° C 50° 
D 60° E 65° 
A
D
C
B
O
20° 80°
13
14
16
15
A 60° B 70° C 80°
D 90° E Faltan datos 
A O C
B
P
Q
b
b a
a
En la figura, calcula m POQ.
Nivel II
A
O
x
D
B
C
 En la figura, se sabe que m AOC + m BOD = 140°. 
Determina el valor de x.
A 20° B 40° C 100°
D 160° E 170°
A 40° B 65° C 45°
D 50° E 60°
A O D
B
C
4θ 3θ 2θ
 Halla el valor de Sθ (S representa al suplemento 
de un ángulo).
17
18
39MateMática Delta 1 - GeoMetría
 Si sabemos que OM es bisectriz del ángulo AOC. 
Encuentra m BOM.
A
O
100°
20
°
C
B
M
A 20° B 30° C 40° 
D 50° E 60° 
O2f
f
C
B
N
A
A 18° B 36° C 54°
D 72° E 144°
 En la figura, calcula el suplemento del complemento 
de f (ON es bisectriz del ángulo AOB).
 La suma del complemento y suplemento de un 
ángulo es igual al triple de la medida de dicho 
ángulo. Halla el suplemento del ángulo cuya 
medida es el doble de la medida del primer ángulo.
A 18° B 72° C 48°
D 162° E 108° 
19
20
21
A 30° B 50° C 110°
D 140° E 150°
A 10° B 30° C 60°
D 70° E 45°
A 100° B 120° C 150°
D 160° E 172°
 El suplemento del complemento de un ángulo es 
igual al quíntuplo del complemento del mismo 
ángulo. Determina el suplemento del ángulo que 
tiene por medida a la mitad de la medida del 
primer ángulo.
 Las medidas de dos ángulos suplementarios son 
proporcionales a 1 y 5. Encuentra el suplemento 
del complemento del complemento del menor de 
los ángulos mencionados.
 Si al suplemento de un ángulo se le aumenta el 
complemento del complemento del ángulo, resulta 
el cuádruple del complemento del mismo. Calcula 
la medida del ángulo.
22
23
24
40
A 100° B 170° C 110°
D 140° E N.A.
 Si al suplemento de un ángulo se le disminuye 
el séxtuplo de su complemento, resulta la mitad 
del valor del ángulo. Halla el suplemento del 
complemento del ángulo.
x
60°
A 150° B 120° C 130°
D 140° E 100°
x°
46°
A 46° B 44° C 54°
D 64° E 36°
 En la figura, determina el valor de x.
 Encuentra el valor de x.
Nivel III
25
26
27
 Sean los ángulos AOB, BOC, COD y DOE. Si OB
biseca el ángulo AOC; OC biseca el ángulo AOD 
y OD biseca el ángulo AOE. 
 Si 2(m AOB) + 3(m BOC) + 4(m COD) + 
 m AOE = 210°, calcula m AOB.
A 10° B 20° C 30° 
D 5° E 15°
 Sean:
 Sb → Suplemento de b
 SSb → Suplemento del suplemento de b
SSSb → Suplemento del suplemento del 
suplemento de b
 Determina el valor de b sabiendo que:
Sb + SSb + SSSb + ... = 19 b
15 sumandos
A 18° B 30° C 60°
D 72° E 42° 
A 16° B 32° C 44° 
D 42° E 52° 
 Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC 
y COD, siendo: 2(m AOB) = 3(m COD) y 
m AOC = 92° y m BOD = 76°.
 Halla m BOC.
28
29
30
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
41MateMática Delta 1 - GeoMetría
De acuerdo al siguiente gráfico, calcula el valor 
de BD, si se sabe que AD = 48 cm.
Encuentra el valor de AB si se sabe que KM = 40 m 
y LN = 50 m; además, A y B son puntos medios 
de KL y MN, respectivamente.
Determina el valor de QR sabiendo que PR = 20 m, 
QS = 24 m y PS = 30 m.
Del gráfico, calcula el valor de la mitad de PQ, si 
se sabe que PR = 110 mm y PQQR = 
4
7 .
En una recta se ubican los puntos sucesivos 
A, B, C y D; tal que B es punto medio de AC y 
5AB = 4CD. Halla el valor de CD, si AD = 65 cm.
Se tiene 3 puntos A, B y C consecutivos sobre 
una recta. Si se sabe que BCAB = 
1
2 , AC = 36 m, 
y M y N son puntos medios de AB y BC, 
respectivamente; descubre MN2 .
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
3 cmA
27 cmC
21 cmB
30 cmD
45 mA
75 mC
50 mB
90 mD
10 mA
18 mC
14 mB
26 mD
40 cmA
70 mC
4 mB
40 mmD
15 cmA
25 cmC
20 cmB
45 cmD
6 mA
18 mC
9 mB
24 mD
A CB
2x + 12 cm 3x + 5 cm 4x + 4 cm
D
K
P
ML
Q
N
R
A B
42
Las medidas de AOC y BOC suman 115°. Si el 
rayo OM es bisectriz de AOB y m AOM = 30º, 
¿cuánto mide BOC?
Halla el complemento de a.
Determina el complemento de POM, si m QOR = 40° 
y M es bisectriz de POQ.
Encuentra el complemento del complemento del 
suplemento del suplemento de 35°.
La suma del complemento de un ángulo con el 
suplemento del doble del mismo ángulo, es igual 
a 20° aumentado con el complemento del mismo 
ángulo. indica el valor del ángulo.
Del gráfico, calcula el valor del suplemento de la 
medida de AOD.
7 10
8 11
9 12
15°A
55°C
45°B
85°D
60°A
30°C
40°B
20°D
145°A
55°C
65°B
35°D
18°A
68°C
24°B
72°D
40°A
80°C
60°B
100°D
20°A
70°C
50°B
110°D
O
B
C
60°
20°70°
D
A
O RP
Q
4a3a
a 2a
O EA
B
C
D
Tema
43MateMática Delta 1 - GeoMetría
3
Ángulos formados por dos rectas 
paralelas y una secante
Antes estudiamos el concepto de recta. Las rectas entre sí también pueden relacionarse 
mutuamente. En la imagen de arriba se muestra un ejemplo de dos rectas (rieles) que 
van sin acercarse o alejarse mutuamente (¿Te imaginarías qué pasaría con el tren si sus 
rieles se aproximaran entre sí abruptamente?... ¡Desastre!).
Entonces, ¿qué tipo de relaciones encontramos entre las rectas?
Rectas paralelas
Decimos que dos rectas son paralelas si están ubicadas en un mismo plano y no tienen 
ningún punto en común.
Rectas secantes
Dos rectas son secantessi tienen un único punto en común.
Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante 
Cuando tomas un par de rectas paralelas y las cortas con otra recta (secante), la figura 
que tendrás será la siguiente:
m
n
P
m n∩ = {P}
Las rectas paralelas 
son equidistantes, es 
decir su separación 
no varía.
h h h
Recu e rda
Tanto las rectas 
paralelas como las 
secantes pertenecen 
al mismo plano.
¿Sa bía s qu e.. .?
44
TEOREMA: a = q TEOREMA: b = q
Por un concepto que ya vimos antes sabemos, por ejemplo, que:
Si: L1 // L2
Ahora, vamos a encontrar nuevas relaciones angulares:
Ángulos alternos
Existen dos tipos: los alternos internos y los alternos externos. Su principal característica 
es que son congruentes, y en consecuencia sus medidas son iguales.
Siendo las rectas L1 // L2, se definen gráficamente a los ángulos alternos como:
L1
a°
e° f°
g°h°
b°
c°d°
L2
Alternos internos Alternos externos
L1a°
q°
L2
L1
q°
b°
L2
a° = c°
b° = d°
e° = g°
h° = f °
ángulos opuestos 
por el vértice
POSTULADO: a = q
Ángulos correspondientes
Pertenecen a diferente paralela, pero se encuentran en la misma posición. Su principal 
característica es que son congruentes y sus medidas son iguales.
Siendo las rectas L1 // L2, se definen gráficamente a los ángulos correspondientes como:
L1
a°
q°
L2
Postulado: a° = q°
Teorema: a° = q° Teorema: b° = q°
Son ángulos 
opuestos por el 
vértice.
a° b°
a° = b°a° = b°
Obse rva
Postulado: Es 
una proposición 
que no requiere 
demostración ya 
que es obvia o no 
requiere mucho 
análisis.
Teorema: Es 
una proposición 
que requiere 
demostración.
Import a nt e
Ángulos 
suplementarios: 
Son dos ángulos 
cuya suma de 
medidas es 180°.
Recu e rda
45MateMática Delta 1 - GeoMetría
Ángulos conjugados
Hay dos tipos: los conjugados internos y los conjugados externos. Su principal 
característica es que son suplementarios.
Siendo las rectas L1 // L2 , se definen gráficamente a los ángulos conjugados como:
En resumen:
Observación:
Si dos rectas ubicadas en un mismo plano tienen la misma inclinación con respecto a 
otra, entonces afirmaremos que dichas rectas son paralelas.
a. Ángulos correspondientes: Miden igual.
 (a°; e°) ; (b°; f°) ; (d°; h°) ; (c°; g°)
Si: L1 // L2
L1
a°
e° f°
g°h°
b°
c°d°
L2
b. Ángulos alternos: Miden igual.
 (d°; f°) ; (c°; e°) ; (a°; g°) ; (b°; h°)
internos externos
c. Ángulos conjugados: Son suplementarios.
 (d°; e°) ; (c°; f°) ; (a°; h°) ; (b°; g°)
internos externos
L1 L2
L3
a° b° 
Conjugados internos
L1
a°
q°
L2
TEOREMA: a = q TEOREMA: a = qTeorema: a° + q° = 180° Teorema: b° + q° = 180°
Conjugados externos
L1
b°
q°
L2
Teorema: Si: a° = b° ⇒ L1 // L2
Si:
L1 L2 son rectas 
paralelas, entonces 
no se cortan.
Ángulos 
suplementarios: 
son dos ángulos 
cuya suma de 
medidas es 180°.
Recu e rda
// Significa: rectas 
paralelas.
 Significa: rectas 
perpendiculares, es 
decir, que al cortarse 
forman ángulos de 
90°.
Obse rva
¡No olv ide s qu e...!
46
 TEOREMA: b + x + γ = 360°
Construcción de rectas paralelas
Como hemos visto antes, «Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su 
longitud». 
¿Cómo trazar varias rectas paralelas?
Paso 1: Ubica tu cartabón en tu cuaderno. Este no se deberá mover en ningún momento 
del ejercicio, y sobre él a tu escuadra (figura 1.)
Paso 2: Como se indica en la figura 2, realiza un trazo. Estarás dibujando un segmento 
que representará a una de las paralelas que vas a construir.
Paso 3: Desliza hacia abajo o hacia arriba tu escuadra (figura 3). No te olvides que el 
cartabón no se debe mover, fíjalo bien. Y realiza en cada posición diferentes trazos. Cada 
uno de ellos es paralelo al segmento inicial que trazaste (figura 4).
Teoremas relacionados: Sean L1 // L2
Figura 3
Figura 1
Figura 4
Figura 2
L1
x
a°
q° L2
L1
x
b°
γ°
L2
L1x°
y°
z°
a°
b°
q° L2
Teorema: x = a° + q° Teorema: b° + x + γ° = 360°
TEOREMA: b + x + γ = 360°Teorema: x° + y° + z° = a° + b° + q°
Escuadra
Cartabón
45°
45°
60°
30°
Obse rva
Las rectas paralelas 
no se cortan entre sí.
Recu e rda
O también 
«Propiedad del 
serrucho»
son 
segmentos 
paralelos
47MateMática Delta 1 - GeoMetría
Resolución:
Por ángulos opuestos por el vértice tenemos:
Resolución:
Por definición vista en la parte de teoría, los ángulos mostrados se definen como 
ángulos conjugados internos, por lo tanto, ellos son suplementarios.
Resolución:
Los ángulos mostrados se definen como ángulos alternos internos, por lo tanto, 
ellos son congruentes.
x + 110° = 180°
 x = 70°
4x + 10° = 50°
 x = 10°
Por teorema aprendido:
x + 50° = 90°
 x = 40°
Rpta. 40°
Rpta. 70°
Rpta. 10°
1 En la figura mostrada, calcula el valor de x si L1 // L2.
2 En la figura mostrada, halla el valor de x si L1 // L2.
3 Si las rectas mostradas son paralelas, indica el valor de x.
L1
x
50° L2
L1
x
x
50°
50° L2
L1x
110°
L2
L14x + 10°
50° L2
x
a°
b°
// Significa: rectas 
paralelas.
90°
Obse rva
x = a + bx = a° + b°
a°
b°
Recu e rda
ángulos conjugados
a + b = 180°a° + b° = 180°
a°
b°
Alternos internos
a = ba° = b°
Ejercicios resueltos
48
Resolución:
Los ángulos en la figura se definen como ángulos correspondientes, por lo tanto, 
ellos son congruentes.
Resolución:
Este ejercicio cumple con las características del «serrucho», donde la suma de las 
medidas de los ángulos hacia la derecha, es igual a la suma de las medidas de los 
ángulos a la izquierda. Así:
Resolución:
Notamos que aparecen ángulos conjugados internos:
Por lo tanto:
6x + 10° = 4x + 100°
 x = 45°
40° + x + 50° = 80° + 60°
x = 50°
2a + 2q = 180°
 a + q = 90°
Y en el punto P se cumple que:
x + a + q = 180°
 x = 90°
4 Dadas las rectas L1 // L2 , determina el valor de x.
5 En la figura, encuentra el valor de x si L1 // L2.
6 En la figura, calcula el valor de x si L1 // L2.
L1
6x + 10°
4x + 100°
L2
L140°
60°
80°
x
50° L2
L1
a°
b°
L2
L1c°
x°
y°
b°
a° L2
ángulos 
correspondientes
a = ba° = b°
a + b + c = x + ya° + b° + c° = x° + y°
Obse rva
OA : Bisectriz
a°
a°
A
O
Recu e rda
x
a°
a°
q°
q°
P
L1
L2
x
a°
a°
q°
q°
Pa°+ q°
Rpta. 45°
Rpta. 50°
Rpta. 90°
49MateMática Delta 1 - GeoMetría
Resolución:
Analicemos en partes:
Analicemos en partes:
Analicemos en partes: También:
Se nota que L3 // L4:
Por ángulos conjugados
x + 82° = 180° ⇒ x = 98°
ángulos alternos internos
Resolución:
Resolución:
7 Si L1 // L2 // L3 , halla el valor de x.
8 Si L1 // L2 , determina el valor de a.
9 Encuentra el valor de x, si L1 // L2.
L1
L2
100°
52° 2b
b
a
L1
L2
2b = 2(48°)
a
L1
L2
100°
52°
b = 48°
L132°
50°
82°
L2
L1
70°
x10°
L3
L2
A
C D
EB
L170°
60°
10°
L3
L2
ángulos conjugados internos
60° L3
L2x
a + 96° = 180°
 a = 84°
L132°
x q
q
50° L2
L3
L4
x q
q
L3
L4
82°
b°
a°
Alternos
b°
a°
Conjugados
a = ba° = b°
a + b = 180°a° + b° = 180°
Recu e rda
L1 // L2
x
a°
b°
x = a + bx = a° + b°
No o lv id e s
∴ x = 120°
Observa la 
correspondencia de q.
a°
a°
L1 
L2 
Rpta. 120°
Rpta. 84°
Rpta. 98°
50
1
21
Síntesis
Modela y resuelve 
Teoremas
Observación: Propiedad de «la envolvente»
•	 Ángulos correspondientes: 
 (miden igual)
 (a, e); (b, f); (d, h); (c, g)
•	 Ángulos alternos: 
 (miden igual)
 Internos : (b, h); (c, e)
 Externos: (a, g); (d; f)
•	 Conjugados 
 (son suplementarios)
 Internos : (b, e); (c, h)
 Externos: (a, f ); (d, g)
x = a° + b° a° + b° + c° = 360° x + y + z = a + b + c
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante
a
e
d
h
c
g
b
f
a°
b°
x
a°
c°
b°
a
b
x
y
z
c
x = a° + b° + c°
c°
b°
a°
x
En el rectángulo ABCD, señala verdadero (V) o 
falso (F) lo que a continuación se menciona.
BC es paralelo a AD. ( )
AB es paralela a CD. ( )
AB es secante con BC. ( )
CD es paralela a BC. ( )
B C
A D
En la siguiente figura, señala verdadero (V) o falso 
(F) lo que a continuación se menciona.L3 es paralela a L4. ( )
L2 es paralela a L1. ( )
L2 es perpendicular a L3. ( )
L1 es perpendicular a L4. ( )
L3
L2L1
L4
51MateMática Delta 1 - GeoMetría
3
7
4
8
Sean las paralelas L1 // L2, determina el valor de 
todas las variables mostradas.
Se tiene que L1 // L2, halla el valor de x. Halla el valor de x, si L1 // L2.
En la figura L1 // L2, determina el valor de todas 
las variables.
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
5 6En la figura M // N , calcula el valor de x. Si A // B , calcula el valor de x.
a = b = q = 
∈ = ω = x = 
a = b = q = 
φ = γ = ω = 
Resolución: Resolución:
M N
50° – x 4x
Resolución:
L1
bb
a
a
L2
x
Resolución:
L1a
a
q
q L2
x
40°
x
ω
q
∈
b a L1
L2
φ
q
100°
ω
γ
b
a
4x
x + 60°BA
52
9
11
13
10
12
14
Si se tiene que L1 // L2, encuentra el valor de x.
Resolución:
L1
5x L2
x
3x
Encuentra el valor de x, si L1 // L2.
Resolución:
L120°
10°
10°
L2
x
50°
Dos rectas paralelas, al ser cortadas por una 
secante, forman dos ángulos conjugados externos 
cuyas medidas son: k + 30° y 4k – 90°. Calcula el 
menor de dichos ángulos.
Resolución:
(3a – 12°) y (2a + 32°) son las medidas de dos 
ángulos conjugados internos entre rectas paralelas 
y una secante a ellas. Calcula el complemento del 
menor de ellos.
Resolución:
Sean las rectas L1 // L2, determina el valor de x.
Resolución:
330°
x
L1
L2
Si se tiene que L1 // L2, determina el valor de x.
Resolución:
x + 18°
3x
L1 L2
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
53MateMática Delta 1 - GeoMetría
15
17
16
18
En la figura, ABCD es un cuadrado y además 
L1 // L2 // L3. Halla el valor de x.
Resolución:
L2
L1
L3
x
20°
B
C
D
A
En la figura, L1 // L2 y ABCD es un rectángulo. 
Halla el valor de x.
Resolución:
L2
L1
x
30°
B
C
D
A
Sean las rectas L1 // L2, encuentra el valor de x.
Resolución:
L1
L2
36°
[(x + 1)2]°
Se tiene que L1 // L2, encuentra el valor de x/y.
Resolución:
L1
L2
(180 – 2xy)°
(x2 + y2)°
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
54
19
21
20
22Sean las rectas L1 // L2, halla el valor de x.
Resolución:
Resolución:
L1
L2
xy
y + 1
x
Sea L1 // L2, calcula el valor de x si BR = RC.
L1
L2
110º
x
B
R C
A
L1
L2
10º x
B
M
A O
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Halla el valor de a, si L1 // L2.
Resolución:
Resolución:
L1
L2
a
a
a
a
Rpta. 
Si L1 // L2, calcula el valor de x si OM es bisectriz 
de AOB.
55MateMática Delta 1 - GeoMetría
Practica y demuestra
Nivel I
 En la figura, ¿cuántos pares de rectas paralelas 
y cuántos pares de rectas secantes hay, 
respectivamente?
 Indica la relación correcta.
 Representa con símbolos lo que se menciona a 
continuación.
 Escribe el significado de las siguientes notaciones.
A 2 y 1 B 1 y 2 C 2 y 2
D 3 y 3 E 2 y 3
A Si a° = b° ⇒ L1 L2 
B Si a° ≠ b° ⇒ L1 // L2 
C Si L1 // L2 ⇒ a° ≠ b°
D Si a° = b° ⇒ L1 // L2 
E L1, L2 y L3 son paralelas.
 Las huellas dejadas por las llantas de un 
automóvil que va por una autopista recta, nos 
dan idea de:
A Rectas oblicuas 
B Rectas perpendiculares 
C Rectas paralelas
D Rectas cruzadas 
E Rectas secantes
 (a) Recta L1 perpendicular a la recta L2 
 (b) Recta L3 es paralela a la recta L4
 (c) Punto B es la intersección de las rectas L5 y L6.
 (a) L3 L4 : _______________________________________
 (b) L1 ∩ L2 = ∅ : __________________________________
 (c) L2 // L3 : ________________________________________
a a a
a° b°
L1 L2
L3
 De acuerdo a la figura, relaciona correctamente 
las informaciones de ambas columnas.
 I. AB y CD ( ) Rectas secantes
 II. BC y CD ( ) Rectas paralelas
 III. AB ∩ CD ( ) M
 IV. BC ∩ AM ( ) ∅
B M C
A D
1
4
5
6
2
3
56
A 120° B 80° C 140°
D 100° E 40°
 Halla el valor de x, si L1 // L2 . 
L1
L2x
100°
 Calcula el valor de x, si L1 // L2 .
A 45° B 75° C 30°
D 65° E 90°
A 115° B 90° C 120°
D 135° E 125°
315°
x
L1
L2
 Determina el valor de x, si L1 // L2 .
x
45°
L1
L2
7
8
9
 Si las rectas mostradas son paralelas, halla el 
valor de x.
A 57° B 45° C 55°
D 80° E 60°
A 108° B 72° C 36°
D 54° E 144°
 Encuentra el valor de x, si L1 // L2 .
x
100°
L1
L2
2a
3a
x°
L1
L2
L3
 Según el gráfico, descubre el valor de x, 
si L1 // L2 .
A 10° B 20° C 25°
D 30° E 35°
L1
L2
x
b
b
40°
40°
10
11
12
57MateMática Delta 1 - GeoMetría
 Según el gráfico, calcula el valor de x si 
L1 // L2 .
L1
L2
2x
60°
80°
A 10° B 20° C 25°
D 30° E 65°
 Según el gráfico, halla el valor de x, si L1 // L2 .
L1
L2
x
40°
A 110° B 120° C 130°
D 140° E 150°
 Encuentra el valor de x, si L1 // L2 .
A 8° B 10° C 15°
D 9° E 12°
L1
L2
14x
10x
12x
13
14
15
 Halla el valor de x, si L1 // L2 .
 Calcula el valor de x, si L1 // L2 .
A 4° B 8° C 6°
D 10° E 2°
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
L1
L2
(x + 4a)a
(4° + 2a)2a
L1
L2
x2 + 4x
2x + 8
 Determina el valor del ángulo x, si L1 // L2 .
A 60° B 53° C 45°
D 37° E 30°
L1
L2
6k + 15°
x
2k + 5°
Nivel II
16
17
18
58
 Encuentra el valor de x, si a – q = 20°.
A 15° B 20° C 25°
D 30° E 35°
A 34° B 48° C 98°
D 110° E 125°
xa
q
 En la figura L1 // L2 , halla el valor de x.
L1
L2
40°
30°
x
q
q
 Calcula el valor de x, si L1 // L2 .
A 80° B 100° C 120°
D 70° E 150°
L1
300°
310°
20°
20°
x
L2
19
20
21
 Encuentra el valor de x, si L1 // L2 .
A 36° B 30° C 40°
D 32° E 35°
L1
L2
5x
x
 Determina el valor de x, si L1 // L2 .
A 20° B 30° C 40°
D 60° E 50°
L1
L2
2x
120°
x
 Halla el valor de x, si a + b = 235° y L1 // L2 .
A 11° B 15° C 22°
D 30° E 33°
L1
L2
a
b
3x
2x
22
23
24
59MateMática Delta 1 - GeoMetría
 Calcula el valor de x, si L1 // L2 y a + b = 42°.
L1L2 x
a
b
A 96° B 240° C 132°
D 128° E 111°
 En el gráfico, las líneas punteadas son bisectrices, 
L1 y L2 son paralelas. Determina el valor de x.
A 18° B 26° C 30°
D 60° E 50°
L1
L2
x
100°
240°
40°
Nivel III
 Encuentra el valor de q, si L1 // L2 .
A 40° B 50° C 70°
D 90° E 110°
L1
L2
50°+ x
70°+ x
q
25
26
27
 Halla el valor de x, si L1 // L2 .
 Según la figura, calcula el valor de x.
A 98° B 104° C 110°
D 115° E 116°
A 40° B 50° C 60°
D 70° E 80°
L1
134°
x
L22a
4a
100°
a – 70°
2x
50°
xa
 En la figura, determina el valor de x, si L1 // L2 .
A 36° B 40° C 50°
D 20° E 72°
L1
L2
x
3x
a
b
b
a
28
29
30
60
Tema 4
Definición
El polígono más simple de construir es el triángulo. Es el mejor estudiado y de quien se 
han obtenido un sinnúmero de teoremas y propiedades. En base a lo que se conoce de él, 
se estructuran una serie de observaciones utilizadas en otras figuras más complejas. Por 
eso es muy importante el aprendizaje sobre esta fenomenal figura. Primero pregúntate. 
¿Cómo aparece un triángulo?
B
C
A
En la figura se muestra un plano cualquiera de los infinitos que hay. En dicho plano 
tomamos tres rectas con la condición de que no sean paralelas. Como observarás, estas 
se han intersecado en los puntos A, B y C. Es el nacimiento de un triángulo rectilíneo.
Observemos el triángulo en detalle para estudiar sus elementos.
E
FD A
B
Cb
ac
Elementos
 Vértices: A, B y C
 Lados: AB , BC y AC
 Si los lados miden a unidades, b unidades y c unidades, se afirma que el perímetro 
será:
 2p = (a + b + c) u (u: unidades)
Triángulos
Triángulo, del latín 
triangulus: 
- «tri» = tres 
- «angulus» = ángulo, 
esquina
Perímetro = 2p
Import a nt e
En otros idiomas se 
traduce triángulo 
como:
Alemán: Dreieck
Búlgaro: Tриъгълник
Inglés: Triangle
Italiano: Triangolo
Francés: Triangle
Latín: Triangulum
Portugués: Triângulo
Rumano: Triunghi
Sueco: Triangle
Ruso: Tреугольник
¿Sa bía s qu e.. .?
Re cu e rda
61MateMática Delta 1 - GeoMetría
Elementos asociados
 ángulos interiores: ABC, BCA y CAB 
 ángulos exteriores: BAD, CBE y BCF
Observación: