Parabola - Elipse

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CURSO: MATEMÁTICA II SEMANA 14 ÁREA: INGENIERÍAS ÁREA: INGENIERÍAS CURSO: MATEMÁTICA II 
 
1. Cuando Santiago comienza a practicar tiro con 
arco, se da cuenta que el arco tiene forma 
parabólica, cuyo foco es el punto (1; 0).A Si se 
ubica en el punto (3; 3)B sobre la parábola, 
¿cuál será la distancia del punto B a la recta 
directriz de la parábola? 
 
A) 13 B) 15 C) 10 
D) 4 E) 9 
 
2. El túnel de una carretera tiene la forma de un 
arco parabólico que tiene 6m de ancho y 4m 
de altura. ¿Cuál es la altura máxima que puede 
tener un camión de 3m de ancho? 
 
 
 
A) 1m B) 1,5m C) 2 
D) 2,5m E) 3m 
 
3. De la parábola se tiene que 3OV = y 
3VF = donde V es el vértice y F el foco de la 
parábola. Calcule la ordenada del punto .C 
 
A) 3 2 5+ B) 3 3 5− C) 5 5 3− 
D) 3 2 5− E) 3 3 5+ 
 
4. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en 
el origen de coordenadas y directriz la recta 
: 5 0.x + = 
 
A) 2 5y x= B) 2 10y x= C) 2 20y x= 
D) 2 15y x= E) 2 18y x= 
 
5. Sea ABCD un rectángulo donde ( 1;7)B− y 
(7;7).C Calcule la ecuación de la parábola cuyo 
lado recto es AD y su directriz contiene al lado 
.BC Dé como respuesta una de las ecuaciones. 
 
A) 2( 3) 8( 5)x y− =− − 
B) 2( 3) 8( 5)x y− = − 
C) 2( 5) 8( 3)x y− =− − 
D) 2( 5) 8( 3x y− = − 
E) 2( 3) 4( 9)x y− =− − 
 
6. Halle la ecuación de la recta con pendiente 
3m= que pasa por el foco de la parábola 
 
 
A) 3 19 0x y− + = 
B) 3 1 0x y− + = 
C) 6 2 19 0x y− + = 
D) 9 3 19 0x y− − = 
E) 6 2 19 0x y− − = 
 
7. Un móvil recorre una curva de manera que en 
cada instante t su abscisa vale 1t + y su orde- 
nada vale 2 6 1.t t+ − Determine las coordena - 
das das del foco de dicha curva. 
 
A) 
35
2;
4
  − −   
 B) ( 2; 9)− − C) ( 2; 8)− − 
D) 
39
2;
4
  − −   
 E) ( 2; 4)− − 
 
8. Según el gráfico, V y F son vértice y foco de 
la parábola. 1OV VF= = y 5MF = , calcule 
el área de la región triangular sombreada. 
LA PARÁBOLA
A
F
B
V
C
Y
XO
53
2
°
2: 4 6 16 0x x y+ − + =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A) 25u B) 210u C) 215u 
D) 220u E) 225u 
 
9. Calcule la ecuación de la parábola de vértice 
V y foco F . 
 
 
A) 2( 1) 8( 2)x y− = − 
B) 2( 1) 4( 2)x y− = − 
C) 2( 2) 8( 1)x y− = − 
D) 2( 2) 2( 1)x y− = − 
E) 2( 2) 2( 2)x y− = − 
 
10. Dos postes de alumbrado público, ubicados en 
bordes opuestos de una avenida distantes 8m 
entre sí y con 10m de altura cada uno, sostienen 
en sus extremos superiores un cable que 
forma un arco parabólico, cuya proyección 
en el suelo es perpendicular a los bordes de 
la avenida. A 1m de la base de cada poste, el 
cable está a 7m del suelo. ¿Cuánto dista de la 
avenida el punto más bajo del cable? 
A) 
22
m
7
 B) 2m C) 3m 
D) 
23
m
4
 E) 
25
m
2
 
 
11. En el gráfico se tiene la parábola de ecuación 
2: 16 ( 4)y x= − , F y V son foco y vértice de la 
parábola. Calcule x . 
 
 
 
A) 5 B) 4 2 C) 17 
D) 4 3 E) 13 
 
12. Se tiene una circunferencia que pasa por el 
foco F y es tangente a la parábola 2 4y px= 
en los puntos M y N . Si m MFN β=∡ , 
calcule 22 cos tan 2 exsec 3 .
2
β
β β+ + 
 
A) 1 B) 3 C) 2 
D) 5 E) 4 
 
13. Del gráfico mostrado, calcule la ecuación de la 
recta si T es punto de tangencia. 
 
 
O
M
V F
Y
X
V
(2; )F n
: 1 0x y− + =
V
F
x
Y
X
(1;4)T
2 4 ( 1)x p y= −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A) 6 6 0x y+ − = 
B) 3 2 0x y+ + = 
C) 6 2 0x y− − = 
D) 6 12 0x y+ + = 
E) 2 12 3 0x y+ + = 
 
 
14. Halle la ecuación de la elipse con centro en 
el origen de coordenadas si un vértice está en 
( 4; 0)− y un foco en (3; 0) . 
 
A) 
2 2
1
16 9
x y
+ = 
B) 
2 2
1
16 7
x y
+ = 
C) 
2 2
1
25 16
x y
+ = 
D) 
2 2
1
25 9
x y
+ = 
E) 
2 2
1
7 16
x y
+ = 
 
15. Halle el área de la región triangular formada al 
unir los extremos del eje menor y uno de los 
focos de la elipse. 
2 2: 16 25 400x y+ =E 
 
A) 210u B) 212u C) 215u 
D) 218u E) 220u 4 
 
16. Una puerta tiene la forma de un arco elíptico 
(una semielipse) que tiene 1,5m de ancho en 
la base y 2,5m de altura en el centro. Se debe 
introducir una pesada caja rectangular de 1m 
de ancho por esa puerta. ¿Cuál es la máxima 
altura que puede tener la caja? 
 
A) 
3
3
4
 B) 
2
2
3
 C) 
5
5
6
 
D) 
6
6
5
 
 
E) 
7
7
8
 
 
17. Halle el área de la región triangular formada 
por la intersección de la parábola. 
2 27:
4
x y=P con la elipse 
 
2 2
: 1
9 4
x y
+ =E y el origen de coordenadas. 
 
A) 2
3
2
u B) 2
2 3
3
u C) 2
4 3
3
u 
D) 2
3 3
2
u E) 
23 u 
 
18. La figura representa el diseño en un plano 
cartesiano de una cancha de fútbol rectangular 
ABCD de 2
768
m
5
 de área, inscrita en una elipse 
la cual es el borde interior de una pista atlética, 
además AC yBD coinciden con los lados rectos 
de 
64
m
5
 de longitud cada uno. Halle la ecuación 
de la elipse que representa el borde interior. 
 
 
 
A) 
2 2
1
100 64
x y
+ = 
B) 
2 2
1
64 100
x y
+ = 
C) 
2 2
1
100 25
x y
+ = 
D) 
2 2
1
64 25
x y
+ = 
E) 
2 2
1
64 25
x y
+ = 
 
19. Un arco tiene la forma de una semielipse. Tiene 
48 m de ancho en la base y una altura de 20m .
ELIPSE
X
Y
BA
DC
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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¿Qué tan ancho es el arco a una altura de 10m
sobre la base? 
 
A) 20 2 m B) 35 3 m C) 30 3 m 
D) 24 3 m E) 12 2 m 
 
20. La parte superior de la entrada de un túnel de 
paredes verticales tiene forma semieliptica con 
10m . Si la altura en el centro de la entrada es 
de10m y la de sus paredes laterales es de6m , 
calcule la altura del túnel a 2m de una de las 
paredes laterales. 
 
A) 9,2m B) 9m C) 10m 
D) 6,3m E) 8,2m 
 
21. La figura representa un parque de forma elíptica. 
Colocamos su centro en el origen de coordena - 
das y su eje mayor contenido en el eje X . Si se 
sabe que el borde elíptico pasa por los puntos 
( )10 6; 10P − y ( )20;10 2 ,Q halle su ecuación. 
 
 
 
 
A) 
2 2
1
800 400
x y
+ = 
B) 
2
2 1
800
x
y+ = 
C) 
2 2
1
400 200
x y
+ = 
D) 
2 2
1
300 900
x y
+ = 
E) 
2 2
1
800 600
x y
+ = 
 
22. Halle las coordenadas del punto P que perte - 
nece a la elipse de la figura. 
 
 
 
A) 
4 3
;
5 5
  −   
 B) 
3 4
;
5 5
  −   
 C) 
3 4
;
4 5
  −   
 
D) 
4 3
;
5 4
  −   
 
 
E) 
3 3
;
4 5
  −   
 
BIBLIOGRAFÍA 
- Compendios Académicos, Ed. Lumbreras. 
- Anual San marcos, Ed. Lumbreras. 
- Anual y Semestral Uni, Ed. Lumbreras. 
 
 
 
P
2−
3
X
Y