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MISCELÁNEA DE ÁLGEBRA 01. Determine “a” de tal manera que la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación: x2 – (a – 1)x + a – 2 = 3 sea mínima. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7 02. Se define la ecuación de segundo grado en x: 2x2 – 5x + 4 = 0, siendo sus raíces r y s, determine el valor de E = r6 + s6 A) 3 3 9 4 B) 3 3 12 4 C) 3 3 3 9 12 4 − D) 96 E) 126 03. Si a y b son las raíces de la ecuación x2 – 10x + 1 = 0, determine el valor de E = 4 4a b+ A) 3 3 2+ B) 2 3 3+ C) 2 3 1+ D) 3 2+ E) 2 3 2+ 04. Determine la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación: (2k + 2)x2 + (4 – 4k)x + k – 2 = 0; sabiendo que las raíces son recíprocas. A) 5 B) 82 9 C) 10 D) 13 E) 15 05. Determine todos los valores de m de manera que las raíces de la ecuación: x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 tenga una raíz menor que 2 y otra mayor que 2. A) –1; 2 B) 0; 3 C) 1; 3 D) 3; 10 E) [3; 06. Determine la recta tangente a la parábola y = 2x2, si la recta es y = mx – 8. A) y = 8x + 8 B) y = 8x – 8 C) y = 6x – 8 D) y = 6x + 8 E) y = 6x 07. En relación al conjunto: A = {x R / 4x4 – 9x3 – 26x2 – 9x + 4 = 0}, indicar cuál(es) de los siguientes enunciados son (es) correctos: I. (A) = 3 II. A – {– 1; – 2; – 3} = {4; 1/4} III. A Z = {1/2} A) I y II B) I y III C) I, II y III D) solo I E) solo III 08. Si A = {x1, x2, x3} es el conjunto formado por las raíces reales de la ecuación. 2x5 – 7x4 + 6x3 – 6x2 + 7x – 2 = 0, halle x1x2x3. A) – 1 B) – 1 2 C) 1 2 D) 1 E) 0 09. Determine la menor raíz de: 6x6 – 13x5 – 6x4 + 26x3 – 6x2 – 13x + 6 = 0 A) – 3 2 B) –1 C) – 2 3 D) 2 3 E) 1 10. Dada la ecuación recíproca x4 + x3 – x2 + x + 1 = 0, determine la parte imaginaria de una de sus raíces. A) 2 2 13+ B) 2 2 3 4 + C) 2 2 13 2 + D) 1 13 2 + E) 1 13 4 + 11. En qué intervalo debe variar m para que la ecuación 2x2 + (2m + 3)x + 8 = 0 tenga exactamente una raíz en el intervalo 3; 8. A) − − 35 10; 6 B) − 35 10; 6 C) 2; 7 D) 1; 9 E) 12. Determinar el valor de k de tal manera que la ecuación en x 2kx2 – 4kx + 5k = 3x2 + x – 8. El producto de sus raíces igual a dos veces su suma. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 13. Sea la ecuación cuadrática x2 + ax + b = 0 con conjunto solución {x1 ; x2}. Si 3 3 1 2 x x 35+ = y 2 2 1 2 x x 13+ = . Calcule: 4 3 2 S aS S + , siendo S2, S3 y S4 la suma de los cuadrados, cubos y cuartas potencias de las raíces de la ecuación respectivamente. A) a b B) b a C) ab D) – b E) – a b 14. Si x > – 1 calcule la suma de las soluciones reales de la ecuación: 2x 8x 7 x 7 x 1 x 1 + + + = + + A) 1 B) 3 C) 8 D) 9 E) 10 15. Al resolver la ecuación 3x3 + 2x2 – 27x – 18 = 0, sabiendo que una de sus raíces es el negativo de la otra; determine la raíz entera negativa. A) – 8 B) – 7 C) – 6 D) – 4 E) – 3 16. Calcule el valor de a en la ecuación: 6 5ax (a 1)x 2bx b 0;a 0; b 0,− − + − = si se sabe que la suma de las raíces es también la suma de sus recíprocas. A) – 2 B) – 1 C) 1 3 D) 4 3 E) 2 17. Si x1, x2 y x3 son las raíces de la ecuación P(x) = x3 + 2x – 1 = 0, halle el resto de la división: 1 2 3 2 1 1 1 P(x) P x x x x 1 − + + + A) 2x + 6 B) x + 12 C) 2x + 12 D) x – 12 E) x – 6 18. Si el conjunto solución de la ecuación: 5x x 1 0+ + = es {a; b; c; d; e}, calcule a5 + b5 + c5 + d5 + e5. A) – 5 B) – 4 C) – 3 D) – 2 E) – 1 19. Si ; , son las raíces de la ecuación 2x3 + 3x2 – x – 1 = 0, determine la ecuación cuyas raíces sean 2 + 3; 2 + 3; 2 + 3 A) 16x3 + 84x2 + 142x + 77 = 0 B) 16x3 + 84x2 + 142x – 77 = 0 C) 16x3 + 48x2 + 124x + 77 = 0 D) 16x3 – 48x2 + 214x + 77 = 0 E) x3 – 6x2 + 7x + 2 = 0 20. En la ecuación x3 – 9x2 + px – 24 = 0, sus raíces son mayores que 3 2 , y una de ellas es el doble de la otra raíz. Como respuesta dé el valor de p. A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30 21. Si las raíces de la ecuación x3 – x – 1 = 0 son , y , determine el valor de 1 1 1 1 1 1 + + + + + − − − A) – 7 B) – 6 C) – 5 D) – 4 E) – 3 22. Si la ecuación x4 + 39x – 22 = 0 tiene dos raíces que suman 3, determine la suma de las inversas de las otras dos raíces. A) 3 2 B) 3 4 C) 3 5 D) 3 7 E) 3 8 23. El valor 3 33 3 3 3+ + − es una de las raíces del polinomio de grado mínimo y de coeficientes enteros 3p 2p pP(x) x nx mx q= − + + , entonces: m + n + p + q es igual a: A) – 249 B) – 339 C) – 345 D) – 354 E) – 360 24. Si 5 6 1− es una raíz de la ecuación 3 2x (2a 1)x (b 3)x 4 0+ − + − + = con a y b Q, calcule el valor (a + 2)b. A) – 11 50 B) – 9 50 C) – 11 25 D) 11 25 E) 11 50 25. Determine un polinomio de la forma n n 12 n 1 2 n 1P(x) x a x ... a , a ,...a − + + = + + + con n el menor entero positivo, tal que 3( 2 3)+ sea una de sus raíces. Dar como respuesta la suma de los coeficientes de P(x). A) – 54 B) – 44 C) – 34 D) – 24 E) – 14 26. Determine el rango de la función f(x) x 1 7 x, x 1,7= − + − . A) 3,3 6 B) 2 3,2 6 C) 3,2 6 D) 3, 6 E) 6, 2 3 27. Si f(g(x)) = 2x2 – 3 , f(x – 2) = 2x – 5, halle g(3). A) – 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 28. Determine el producto de los elementos del conjunto: {x / f(x) = 72} donde 2 x 1 6x f x 1 (x 1) + = − − . A) – 49 B) – 40 C) 0 D) 40 E) 49 29. Sea la función f: A → [1; 3], x 1 f(x) x 2 − = + halle el dominio A, si su rango es 1; 3]. A) 3 , 2 − − B) 7 , 2 − − C) – , – 1] D) – , 0 E) – , 1] 30. Determine el rango de la función f, 2f(x) x 2( x 1) 7= − + + . A) R B) [6; C) [– 4;4] D) [4; E) [– 8; 3 31. Determine el rango de 2 2 2x f(x) 3x 1 = + A) 0; 1 B) – , 0 C) 1 ; 1 2 D) 1 0; 3 E) 2 0; 3 32. Halle el dominio de la función: x 1 2 F(x) x 2 3 − − = − − A) [2; 5] B) 11; + C) R – {11} D) [2;5] 11; + E) {2; 5} 11; + 33. Determinar el rango de b f(x) x , b 0, x 0 x = + A) b, B) [b, C) 2 b , D) 2 b, E) b +1, 34. Determine el dominio de la función x 2 3 x f(x) x 2 1 x − − = + + + A) [2; 3] B) 1; 4 C) –2;3] D) 0; E) – 1; 4 35. Si f es una función definida por 2 x f(x) x R x 2 = + , hallar el rango de f. A) – 1;1 B) [0; 2 ] C) 2 2 ; 4 4 − D) 2; 0 − E) 1 1 ; 2 2 − 36. Determine la suma de los elementos del rango de la función f2 –2g si f (1,4),(4,5),(2,3),(3,2)= g (0,2),(1,2),(2, 1),(3,0),(5,2)= − A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29 37. Sean las funciones f: R → R, f(x) = x2 y g: R → R, g(x) = 2x. Halle el rango de la función g – f. A) R B)[1, C) [–1, D) – , 4] E) – , 1] 38. Sea f y g dos funciones, definidas por 2x 1, x 1 f(x) x 1, x 1 − = + g = {(0;3), (1; 4), (2; 3)} Determine la suma de elementos del rango de 2f f.g f − . A) – 6 B) – 2 C) – 1 D) 0 E) 2 39. f y g son dos funciones definidas por: f = {(0,1), (1, – 1), (2, 2), (3, 7)} g = {(– 2, 1), (1, 0), (2, 5), (4, 7)} Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. La función 5f tiene como dominio al conjunto {0, 5, 10, 15}. II. La suma de los elementos del rango de f2 + g es 10. III. f .g (2,2) g = A) FFV B) FFF C) FVV D) VFF E) VVV 40. Sean ( )f x; x1= − x 1; g (2; 5);(0;1);( 4;6),(8; 3),( 7,10)= − − − − hallar f g; presente la suma de los cuadrados de los elementos del rango de fog. A) 9 B) 12 C) 14 D) 18 E) 20 41. Sean las funciones f (0;0),(1;1),(2;3),(3;5),(4;2)= g (6;5),(2;0),(3;6),(5;1),(4;8)= Determine la suma de los elementos del rango de fog A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 42. Sea f(x) = x2 + 2 y g(x) = x + a; determine el valor de “a” de modo que: (fog)(3) = (g f) (a – 1) A) – 9 7 B) – 8 7 C) 1 3 D) 5 7 E) 8 7 43. Determine una función afín, tal que ( ) 1 4 x F o F x x − = A) 1 F(x) 2x 2 = + B) F(x) 1 2x= − C) F(x) 1 4x= + D) 1 F(x) 4x 2 = − E) F(x) = 1 – x 44. Sean las funciones: 2f(x) x 2x 3 x 3; 2= − + − g(x) 5 3x x 1; 4= − Hallar el rango de fog A) [0; 16 B) [1; 8 C) [0; 18 D) [2; 18 E) [3; 18 45. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si a < 0, entonces a f(x) x 1 = − es inyectiva. II. Sea g: A → – b; b, b > 0 con 23x 1 g(x) 2x 1 + = + , entonces g es suryectiva. III. f(x) x 1= − es inyectiva. A) VVF B) VFF C) VFV D) FFV E) FFF 46. Si f: [–1;2] → B, f(x) = x2 + 1, f es suryectiva, determine B = [a, b] dar como respuesta (a + b). A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 47. Si la función f f : 1; 2 m; m n− → + definida por f(x) = – x2 + 4x – 9, es biyectiva, halle n – m. A) 7 B) 8 C) 16 D) 17 E) 23 48. Si la función 2f : 1,3 13,3 , f(x) ax b→ − = + con a < 0 es biyectiva. Determine el valor de a + b. A) 1 B) 2 C) 3 D) 11 E) 13 49. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si f(x) = x3 + 1; x R, entonces f es inyectiva. II. Si f(x) = x6 ; x R, entonces f es biyectiva. Si f : R → R. III. Si f(x) = x + x ; x R, entonces f es inyectiva. IV. Si f(x) = 3x; x R, entonces f es biyectiva. Si f: R → R A) VFFV B) VVFV C) VVVV D) FFFV E) FFFF 50. Si la función f / f: [2; 5] → [1; 4] es afin biyectiva y decreciente, determine f(3). A) – 6 B) – 3 C) 3 D) 6 E) 9 51. Si f es una función definida por f(x) = x + 4 x ; x [0; 1], entonces la función inversa de f es: A) ( ) f x x 8 4 x 4; x 0; 5 = − + + B) ( ) f x x 4 x 4; x 0; 5 = − + C) ( ) f x x 8 4 x 4; x 0; 5 = + − + D) ( ) f x x 8 4 x 4; x 0; 5 = + + + E) ( ) f x x 8 4 x 4; x 0; 5 = − − + 52. Acerca de la función f(x) 1 1 x= − − se tiene las proposiciones: I. f es una función par. II. El dominio de la función es [–1; 1]. III. Es una función acotada. Entonces, son correctas A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) I, II y III 53. Sean f y g funciones biyectivas tales que: 2x x 3 f (x) , g(x) x 3 x 3 += = − − ; si (go f) (u) = 3, halle (fo g) (u + 2). A) 3 2 B) 5 2 C) 7 2 D) 9 2 E) 11 2 54. Sea P(x) = 486 x5 + 3x – 32, indique el valor de verdad de: I. P(x) es creciente en R. II. P(x) = 0 tiene una raíz en 1 2 ; 3 3 . III. P(x) = 0 tiene 2 raíces reales. A) VVV B) VVF C) FVV D) FVF E) FFF 55. Resuelva en x el sistema : 2x 3y 12 x y 2 2x y 6 x 0 y 0 + − + Indicando el número de soluciones A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 56. Si a, b, c satisfacen: a 2b 8 b 2c 11 c 2a 8 a b c 10 + + + + + Calcule : a2 + b2 + c2 A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 57. Determine el valor de E = x2 + y2 + z2 si el siguiente sistema tiene soluciones enteras: 2x y z 6 x y z 0 3 y z 5 x 0 + − − + − + A) 8 B) 10 C) 11 D) 14 E) 16 58. Halle el valor máximo y el valor mínimo de la función objetivo C = 3x + 2y + 5 en la región de la figura. Dar como respuesta la suma de tales valores A) 24 B) 28 C) 32 D) 36 E) 39 59. Si la función objetivo z = ax + 3y, a > 0, toma un valor máximo de 39 en la región admisible mostrada, el valor de a es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 60. Trace la región S definida por las restricciones dadas y marque sus vértices. Halle el valor máximo de C = 3x + y en S. ( ) 3x 4y 12 3x 2y 24 S 3x y 15 x 0 y 0 − − + − A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21 61. Trace la región S definida por las restricciones dadas y marque sus vértices. Halle el valor mínimo de C en S. C = 3x + 6y ( ) 2x 3y 12 2x 5y 16 S x 0 y 0 + + A) 12 B) 16 C) 19 D) 21 E) 23 62. Un fabricante de raquetas de tenis obtiene una utilidad de $15 por cada raqueta de tamaño extra y $8 por una estándar. Para satisfacer la demanda de los distribuidores, la producción diaria del modelo extra debe ser entre 10 y 30 , y entre 30 y 80 del modelo estándar. A fin de conservar la máxima calidad, el total de raquetas producidas no debe ser mayor de 80 diarias ¿Cuántas de cada tipo deben fabricarse cada día para llevar al máximo la utilidad? Dar como respuesta el número óptimo de raquetas estándar. A) 28 B) 30 C) 38 D) 46 E) 50 63. La compañía FARMACOM fabrica dos productos para el colesterol; tricol y licol. Cada caja de tricol da una ganancia de $40; mientras que cada caja de licol da una ganancia de $50. La compañía debe fabricar al menos una caja de tricol por hora para satisfacer la demanda, pero no mas de 4, a causa de problemas de producción. Asimismo, el número de cajas de licol producidos no puede exceder los 5 por hora. Además el número de cajas de tricol producidos no puede exceder del número de cajas de licol. Si la compañía trabaja 18 horas al día. ¿Cuántos de cada uno debe fabricar la compañía para obtener la máxima ganancia diaria? Indique dicha ganancia. A) $3410 B) $4100 C) $7380 D) $9230 E) $8320 64. Se va a organizar una planta de taller de automóviles donde van a trabajar y x (6; 2) (3; 5) (2; 0) (5; 0) (0; 4) (0; 2) y x (5; 2) (7; 0) (0; 4) (10; 3) electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cuál es este? A) 10; 20 y 5000 euros B) 20; 20 y 9000 euros C) 20; 30 y 3500 euros D) 20; 30 y 9000 euros 65. (Problema de la dieta) En granjas modelo se usa diariamente un mínimo de 800 libras (lb) de un alimento especial, que es una mezcla de maíz y soya, con las composiciones siguientes: lb por lb de alimento Alimento Proteinas Fibras Costo($/lb) Maíz 0.09 0.02 0.30 Soya 0.60 0.06 0.90 Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas y un máximo de 5% de fibras. Halle el costo mínimo diario A) $437.64 B) $400.14 C) $500.52 D) $600 E) $700
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