Tema 30 - Teoría de conjuntos I

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89UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 30
TEORÍA DE CONJUNTOS I
ARITMÉTICA
I. IDEA DE CONJUNTO
Es la agrupación de objetos reales o abstractos a los
cuales llamaremos elementos.
Ejemplos:
• Los días de la semana.
• Las letras del alfabeto griego.
• Los números pares comprendidos entre 20 y 37.
II. NOTACIÓN DE UN CONJUNTO
Ejemplo:
Los días de la semana
Otros conjuntos:
M = {2; 3; {4;5}; 9} ; P = {a; b; c; d; .....; z}
III. RELACIÓN DE PERTENENCIA
Se da de elemento a conjunto, se dice que un ele-
mento pertenece a un conjunto cuando forma parte
de él. En general se da de la siguiente forma:
 
(Elemento)  (Conjunto)
Ejemplo:
Siendo A = {3; 7; 16; 11; {2; 3}}, se puede afirmar que:
  
 
 
 
3 A 7 A
8 A 11 A
5 A 2 A
{3;2} A {3; 7} A
 
 
 
 
IV. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
A. Por extensión
Se indican los elementos uno a uno. Si no se puede indicar
a todos, entonces solo algunos, los cuales harán
notar la secuencia en la cual se encuentran los
demás.
Ejemplos:
A = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
B = {4; 9; 16; 25; 36; .......; 169}
C = {3; 6; 9; 12; 15; 18; ...........}
D = {11; 15; 19; 23; 27; .....; 47}
E = {3; 6;11;18; 27; 38; ....; 146}
B. Por comprensión
En vez de indicar los elementos, se dá a conocer la
forma que tienen estos, al igual que sus propiedades
o las condiciones para su formación.
Ejemplos:
   A {x / x , 3 x 11}
   2B {n / n , 2 n 14}
C = {3;6;9;10;15;18;........}
    D {4a 7 / a , 0 a 11}
  2E {x + 2 / x , x 12}
En general:
DESARROLLO DEL TEMA
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V. NÚMERO CARDINAL DE UN CONJUNTO
(N(A))
Si: A = {2;3;12;12;2;4;8}  n(A) 5
Si: B = {5;4;{3;4;7};3;18;3;30;5}  n(B) 6
Si: C = {2;3;{7;2};{2;7};2;4;9;5;60} n(C) 7 
VI. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
A. Inclusión
 A B x A x B     
Se lee:
"A está incluído en B"
"A está contenido en B"
"A es subconjunto de B"
"B contiene a A"
Esto se dará solo si todos los elementos de A le
pertenecen también a B.
Ejemplos:
• Si M = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} y
 N = {2; 4; 6; 8}
Notamos que todos y cada uno de los elementos
de N le pertenecen también a M.
Por lo tanto: __________________________
• Si    B {x / x , 3 x 30} y
   2D {n / n , 2 n 6}
Notamos que todos y cada uno de los ele-
mentos de D le pertenecen también a B.
Por lo tanto: __________________________
• Siendo:
A {5;7;2; 4; 3; 9}
B {2; 3; 4;5}
C {2;3;{7;2}; 4; 9}
podemos afirmar lo siguiente:
 
 B A
 A
 B C
7;4 A





 
 
 
 8 A
 7;2 C 
2;3;9 A
 B B




En general la inclusión se plantea de la siguiente
forma:
(conjunto) (conjunto)
B. Igualdad
A B A B B A    
Esto se dará solo si A y B poseen los mismos ele-
mentos.
C. Comparables
Dos conjuntos A y B son comparables si bien A B
o bien B A . (El caso de igualdad queda excluido)
D. Disjuntos
Dos conjuntos A y B son disjuntos si no poseen
ningún elemento en común.
E. Coordinables o equipotentes
Si se dice que dos conjuntos A y B son coor-
dinables o equipotentes entonces poseen el
mismo número de elementos, esto es para con-
juntos finitos.
VII.CLASES DE CONJUNTOS
A. Conjunto finito
Es aquel conjunto que tiene una cantidad limitada
de elementos.
Ejemplos:
 A x / x , 21 x 30   
 B x / x , 2 x 12   
B. Conjunto infinito
Es aquel conjunto que tiene una cantidad ilimitada
de elementos.
Ejemplos:
  C x / 21 x 30  
D = {x/x es una estrella en la galaxia}
VIII.CONJUNTOS ESPECIALES
A. Conjunto nulo o vacío
(   , ) Es aquel conjunto que no posee elementos.
En ese caso n( ) = 0.
Ejemplos:
 A x / x , 12 x x 5    
 2 3B n 3 / n , 7 n n 27     
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B. Conjunto unitario
Es aquel conjunto que posee sólo un elemento.
Ejemplos:
 A x / x es par 3 x 5   
 0B (n 5) / n , 7 n    
 2n 5C / 3 n 11 7   
C. Conjunto universal (U)
Es aquel conjunto referencial que contiene a todos
los conjuntos presentes en cierto estudio. Los ele-
mentos del Conjunto Universal son de la misma natu-
raleza de los elementos de los conjuntos estudiados
en aquel caso.
Ejemplo: Siendo los conjuntos estudiados.
 
 
 
A 1;4; 9;16;25
B 1;4;7;8;10;12;13;16;19
C 2;4;6;7; 9;10



Los conjuntos universales que se pueden considerar
son:
 U x / x , x 301
U2
  



D. Familia de conjuntos
Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.
Ejemplos:
        M 7 ; ; 4;3;7 ; 3;2 ; 1;2;10;20 
      N 3;5 ; 4;9;16 ; 27 ;M 
E. Conjunto potencia de otro conjunto ( P(A) )
Es aquel conjunto formado por todos los subcon-
juntos de A.
 P(A) x / x A 
Ejemplos:
Siendo A = {3; 5; 9}, sus subconjuntos (o todos
aquellos conjuntos incluidos en A) serán:
 
           3 , 5 , 9 , 3;5 , 3; 9 , 5;9 , y A
Subconjuntos Propios de A

En consecuencia, el conjunto potencia de A será:
            P(A) 3 ; 5 ; 9 ; 3;5 ; 3; 9 ; 5;9 ; ;A 
Observaciones:
• 
 
    
  
n(A)
 Número de
subconjuntos n(P(A)) 2
 de A
• 
 
    
 
 
n(A)
 Número de
subconjuntos 2 1
propios de A
• 
 
    
   
n(A)
Número de subcon-
juntos propios de A 2 2
que sean 
•   B P(A) B A
Ejemplo:
Siendo   A 3;7; 2; 3 ; 4 , podemos afirmar que:
   3;4 P(A) porque 3;4 A 
5 P(A) porque 5 A 
   7 P(A) porque 7 A 
   2;3 P(A) porque 2; 3 A 
     3;2 P(A) porque 3;2 A  
F. Par ordenado
Como su nombre lo indica, es un conjunto de dos ele-
mentos donde se respeta el orden de los mismos para
distinguir al par. El par ordenado se usa de muchas
formas: para indicar algunas operaciones en forma
abreviada, la posición de un punto según un siste-
ma de referencia, etc. En general es de la forma:
(a;b) (c;d) a c b d   
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Problema 1
Se define:
Hipercubo unidimensional al intervalo
[0;1] sus vértices son {0;1}.
Hipercubo bidimensional al producto
cartesiano [0,1]  [0,1]; sus vértices
son aquellos del cuadrado así formado.
Hipercubo tridimensional al producto
cartesianos [0,1]  [0,1]  [0,1]; sus
vértices son aquellos del cubo así for-
mado.
Y al Hipercubo tetradimensional al producto
cartesiano [0,1]  [0,1]  [0,1]  [0,1].
¿Cuántos vértices tiene el hipercubo
tetradimensional?
UNI 1993-II
Nivel fácil
A) 9 B) 12
C) No tiene D) 16
E) 32
Resolución:
Según los datos:
Unidimensional:
[0,1] 21 = 2
Bidimensional:

2 veces
[0,1] [0,1]
22 = 4
Tridimensional:
 
3veces
[0,1] [0,1] [0,1]
23 = 8
Tetradimensional:
  
4 veces
[0,1] [0,1] [0,1] [0,1]
24 = 16
Respuesta: D) 16
Problema 2
En un departamento de control de
calidad de un producto se consideran
tres defectos A, B y C como los más
importantes. Se analizaron 200 pro-
ductos con el siguiente resultado:
65 productos poseen el defecto A.
63 productos poseen el defecto B.
82 productos poseen el defecto C.
40 productos poseen exactamente
dos defectos.
10 productos poseen exactamente
tres defectos.
¿Cuántos productos no poseen defecto?
UNI 1993-II
Nivel intermedio
A) 100 B) 50 C) 190
D) 150 E) 60
Resolución:
Haciendo un diagrama de Venn:
     
40
(x y z) (a b c) 180
   x y z 100
Luego:
       
40100
x y z a b c 10 m 200
 m 50
Respuesta: B) 50
Problema 3
Dados los conjuntos:
    2 yA (x, y) R / x 2y2
    2 2B (x, y) R / y 1 x
La región sombreada es:
UNI 1993–I
Nivel difícil
A) A – B B) B – A C) AB
D) AB E) (AB)C
Resolución:
Tenemos:
    2 yA (x, y) R / 2x 2y2
    2 2B (x, y) R / y 1 x
   2 2B {(x, y) R / y 1 x }
La intersección es:
AB'= A – B (propiedad)
Respuesta: A) A – B
problemas resueltos