Tema 31 - Teoría de conjuntos II

Vista previa del material en texto

93UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 31
TEORÍA DE CONJUNTOS II
ARITMÉTICA
I. OPERACIONES CON CONJUNTOS
Sean los conjuntos:
A = {2; 3; 4; 5} y B = {2; 4; 6; 8; 10; 12} y
U = {1; 2; 3; 4; ........; 15}
A. Unión
 A B x / x A x B    
O sea:  A B 2;3;4;5;6;8;10;12 
Casos:
B. Intersección
 A B x / x A x B    
O sea:  A B 2;4 
Casos:
C. Diferencia
 A B x / x A x B    
O sea: A – B = {3; 5}
Casos:
D. Diferencia simétrica
 A B x / x (A B) x (A B)     
O sea:  A B 3;5;6; 8;10;12;14
Casos:
DESARROLLO DEL TEMA
94UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
TEORÍA DE CONJUNTOS II
TEMA 31
Exigimos más!
E. Complemento
 CA A' A x / x U x A     
Osea:  CA = 1;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15
Gráficamente:
F. Conjunto producto o producto cartesiano
 A B (x; y) / x A y B)    
Sean ahora:
A = {2;4} y B = {1;2;3},
luego:
 A B (2;1);(2;2);(2;3);(4;1);(4;2);(4;3) 
Observaciones:
n(A B) n(A) n(B)  
A B B A  
II. LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
A. De potencia
A A A
A A A
 
 
B. Conmutativa
A B B A
A B B A
A B B A
  
  
 
C. Asociativa
(A B) C A (B C)    
(A B) C A (B C)    
D. Distributiva
A (B C) (A B) (A C)     
A (B C) (A B) (A C)     
E. De De-Morgan
C C C(A B) A B  
C C C(A B) A B  
F. De Absorción
A (B A) A
A (B A) A
CA (B A ) A B
CA (B A ) A B
  
  
   
   
G. De la Unidad
A U U
A U A
A A
A
 
 
 
  
H. Del complemento
CA A U
CA A
C C(A ) A
 
  

I. Adicionales
  
   
 
 

C
 
C
C
A B A B
A B (A B) (B A)
U
U
95UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 31
TEORÍA DE CONJUNTOS II
Exigimos más!
Problema 1
Se sabe que un conjunto de n
elementos tiene 2n subconjuntos, la
intersección de P y Q t iene 128
subconjuntos, la d iferencia de P
respecto de Q tiene 64 subconjuntos.
El producto cartesiano P x Q presenta
182 pares. Luego podemos afirmar que
el número de elementos de Q \ P es:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Resolución:
Ubicación de incógnita
Dados los conjuntos P y Q se pide la
cantidad de elementos Q \ P < > Q – P
Análisis de los datos o gráficos
Tenemos que:
• n(P Q)Nº subconjuntos de (P Q) = 2 
 = 128 = 27
n(P Q) = 7
• n(P – Q)Nº subconjuntos de (P – Q) = 2
 = 64 = 26
n(P – Q) = 6
Graficando:
6 7
P Q
P – Q
P Q
n(P) = 6 +7 = 13
Además

13
n(P Q) = n(P) n(Q) =182 .
n(Q) = 14
n(Q – P) = n(Q) – n(Q P) 
= 14 – 7 = 7
Conclusiones y respuesta
n(Q – P) = 7
Respuesta: C) 7
Problema 2
En un colegio el 60% aprobó
Aritmética, el 32% aprobó Álgebra y
los que aprobaron Aritmética y Álgebra
representan el 60% de los que no
aprobaron ninguno de los dos cursos.
Si 42 aprobaron Aritmética y Álgebra,
calcule el número de alumnos del
colegio.
A) 340
B) 350
C) 360
D) 370
E) 380
Resolución:
Análisis de los datos o gráficos
Operación del problema
Dato: 42 60% m m 70   
Del gráfico:
 7Total :100 3502 
Respuesta: B) 350
Problema 3
Señale la alternativa que presenta la
secuencia correcta después de
determinar s i la propos ición es
verdadera (V) o falsa (F).
I. A B C B entonces A C B    
II. Si: A B A B C A B en tonces     
III. CC A \ B C entonces C A B   
A) VVV
B) VFV
C) FVF
D) FFV
E) FFF
Resolución:
Ubicación de incógnita
Halla el valor de verdad de cada
proposición
Recordar: A \ B = A – B
Análisis de los datos o gráficos
I)
problemas resueltos
96UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
TEORÍA DE CONJUNTOS II
TEMA 31
Exigimos más!
Se observa que no necesariamente
A C B porque en la región I podría
haber elementos.
falsa
II)
En la proposición nos indican que
Solo I Solo III
C A B C B A ,      lo cual es
incorrecto porque en la región II
podrían haber elementos.
falsa
III)
  c
Solo III
B A C  , por lo cual la región
II no tiene elementos, nos indican
en la proposición que C A B 
lo cual es incorrecto, porque en la
región I podrían haber elementos.
falsa
Respuesta: E) FFF