Tema 33 - Probabilidades II

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99UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 33
PROBABILIDADES II
ARITMÉTICA
I. PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad que se ha estudiado hasta ahora está
referida a todo el espacio muestral del experimento
aleatorio E, entonces:
  P A P(A / E)
Se lee: probabilidad de que ocurra el evento A dado
que ha ocurrido E.
Con frecuencia nos interesa conocer la probabilidad
de un evento, donde dicho evento está condicionado
a la ocurrencia de un subconjunto del espacio muestral,
es decir se tiene que el evento B ha ocurrido y se
quiere saber la probabilidad de que haya ocurrido el
evento A.
Luego:
Se lee: probabilidad de que ocurra A dado que ha ocu-
rrido B.
Ejemplo:
Sea el experimento E: lanzar un dado y observar el
número de su cara superior.
Entonces: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Sean los eventos:
A: Obtener un número par.
B: Obtener un número menor que 4.
Entonces: A = {2; 4; 6} B = {1; 2; 3}
Luego:
 A B 2 
 1 3P(A B) y P B
6 6
  
   
 
1 / 6P A B 1P A / B
3 / 6 3P B
   
Un diagrama de Venn, asociado a este caso puede ilus-
trarnos más sobre la solución.
   n A B 1 y n B 3  
  1P A / B
3
 
Observaciones:
1. Si la probabilidad de ocurrencia de A no afecta la
probabilidad de ocurrencia de B entonces A y B
son eventos independientes.
Luego:
     P A B P A – P B 
DESARROLLO DEL TEMA
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PROBABILIDADES II
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2. Si la probabilidad de ocurrencia de A imposibilita la
probabilidad de ocurrencia de B entonces A y B
son mutuamente excluyentes.
Luego:
 P A B 0 
Ejemplo:
Sea el experimento E: lanzar simultáneamente un dado
y una moneda. Luego el espacio muestral es:
E = {(1; C); (2; C); (2; S); (3; C); (3; S); (4; C); (4; 5);
(5; C); (5; S); (6; C); (6; S)}
C. cara y s: sello
Sean los eventos:
A: Obtener en el dado un seis
B: Obtener cara en el dado
Entonces:
A = {(6; C); (6; S)}
B = {(1; C); (2; C); (3; C); (4; C); (5; C); (6; C)}
  A B 6;C 
  1P A B ...
12
  
También:
   2 1 6 1P A y P B
12 6 12 2
   
  1 1 1P A B . ...
6 2 12
   
Como los eventos A y B son independientes.
Ejemplo:
Sea el experimento E: lanzar un dado y los eventos
A: obtener un múltiplo de 4, B: Obtener un número
impar.
Luego:
E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
A = {4}
B = {1; 3; 5}
A B  
  0P A B 0.
6
   
Esto significa que los eventos A y B son mutuamente
excluyentes.
III. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISCRETA
Si una variable x puede tomar los valores discretos x1,
x2, x3, ... xk cuyas respectivas probabilidades son P1,
P2, P3, ...Pk, tales que:
 1 2 3 kP P P ... P 1    
Entonces se ha definido una distribución de probabilidad
discreta. La distribución de probabilidad se representa
usualmente en una tabla, tal como lo que se muestra a
continuación.
 
Donde:
P(x): Función de probabilidad
Ejemplo:
Sea el experimento aleatorio E: lanzar una moneda 3
veces y definimos la variable aleatoria x: número de ca-
ras que se obtienen. Entonces:
E = {CCC; CCS; CSC; SCC; CSS; SCS; SSC; SSS}
x toma los valores: 0, 1, 2 ó 3.
Luego la tabla de distribución de probabilidad es:
Notese que la suma de las probabilidades de la tabla es
igual a uno.
IV. ESPERANZA MATEMÁTICA: E(X)
Si x es una variable aleatoria discreta que pueda tomar
los valores x1, x2, x3, ..., xk con probabilidades P1, P2,
P3, ...Pk respectivamente, tales que:
P1 + P2 + P3 + ... + Pk = 1,
entonces la esperanza matemática de x o la media de
la variable aleatoria x es:
  1 1 2 2 3 3 x kE x P X P X P X ... P x    
Ejemplo:
De la tabla de distribución de probabilidad anterior:
1 3 3 1E(x) =0. 1. 2. 3.
8 8 8 8
  
  12 3E x 1,5
8 2
   
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Problema 1
Una caja contiene 8 bombillas de las
cuales 3 están defectuosas. Se extrae
una bombi lla de la caja, s i sale
defectuosa, se prueba otra bombilla,
hasta seleccionar una no defectuosa.
Calcule el número esperado E de
bombillas seleccionadas.
A) 0,5 B) 1 C) 1,5
D) 2 E) 2,5
Resolución:
Ubicación de incógnita
Esperanza matemático o valo r
esperado. E(x)
Análisis de los datos o gráficos
* Una caja con 8 bombillas de las
cuales 3 son defectuosas y 5 no
defectuosas.
* Probar bombillas hasta encontrar
una no defectuosa.
Operación del problema
Se determina la función de
probabi lidad. Como se t ienen 3
bombillas defectuosas, al máximo de
extracciones para obtener una
bombilla no defectuosa es 4.
Sea x: número de bombilla extraídas.
P[x]: probabilidad de obtener la 1era
bombilla no defectuosa en la extracción
x.
* P[x = 1] = 
5
8 (1° no defectuosa)
* P[x = 2] = 
3 5
8 7
 = 
15
56
(1° defectuosa y 2° no
defectuosa)
* P[x = 3] = 
3 2 5
8 7 6
  = 
5
56
(1° y 2° defectuosas y 3° no
defectuosa)
* P[x = 4] = 
3 2 1 5
8 7 6 5
   = 
1
56
(1°, 2° y 3° defectuosas y 4° no
defectuosa)
Tabla
 
x
P[x]
1 2 3
5
8
4
15
56
5
56
1
56
Conclusión
E(x) =  xiP(xi)
E(x) = 1 
5
8 + 2 
15
56 + 3 
5
56
+ 4 
1
56 = 
84
56
 E(x) = 1,5
Respuesta: C) 1,5
Problema 2
Para representar a un colegio en las
olimpiadas matemáticas del 2007 se
han preseleccionado 10 alumnos
varones y 5 mujeres. El comité
organizador del evento decide que
cada colegio participante envíe solo
tres alumnos. Calcule la probabilidad
que el citado colegio envíe a todos sus
representantes del mismo sexo.
A) 1/7 B) 2/7 C) 3/7
D) 4/7 E) 5/7
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden la probabilidad que las 3 personas
escogidas sean del mismo sexo.
Análisis de los datos o gráficos
Dato: 10 varones y 5 mujeres
Operación del problema
P(vvv) 10
15
x 9 8 24x
14 13 91
P(mm 5m)


15
4x x
14
3 2
13 91

24 2Piden :
91
26
91
  
91
2
7
 
Respuesta: B) 
2
7
Problema 3
Sean E un espacio muestral, A y B
subconjuntos de E, y P:  (E) 0,1
una función de probabilidad tal que
P(A) = 0,5, P(B) = 0,4. Si A y B son
independientes, halle   CP A B .
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3
D) 0,8 E) 0,9
Resolución:
Ubicación de incógnita
Se pide hallar cP(A B )
Análisis de los datos o gráficos
• P(A) = 0,5
• P(B) = 0,4
• A y B son independiente 
P(A B) = P(A) . P(B)
Además: cP(A B ) = P(A) . P c(B )
Operación del problema
Propiedad:
cP(A B ) = P(A) + P c(B ) – cP(A B )
 0,30
c
1,1 0,5 . 0,6
0,80
0,5 0, 6 P(A).P(B )  

 

Conclusión y respuesta
cP(A B ) 0,80  
Respuesta: D) 0,80
problemas resueltos