TEORIA 3 2.Dinamica de la atmosfera

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DINÁMICA DE LA ATMÓSFERA
Lic. Viviana López Primer Cuatrimestre 2023
BLOQUE 3
3.5 Introducción a las Ondas de Gravedad: Externa e Interna
3.6 Ondas de Gravedad Externa o de Superficie: en aguas someras o poco profundas 
3.7 Frecuencia de Flotabilidad o de Brunt-Vaisala
3.8 Ondas de Gravedad Interna o de Flotabilidad: Ondas de Gravedad interna Puras – Ondas topográficas
3.5: Introducción a las Ondas de Gravedad
Se forman a lo largo de la interfase entre dos fluidos de ρ muy diferentes y que tienen su máxima amplitud 
en esta interfase. La SFC externa del fluido inferior es generalmente homogéneo e incompresible 
Nuestra experiencia en general se limita a ondas que aparecen en la superficie del agua 
Ondas superficiales o externas
Se encuentran en la interfase entre dos capas de un mismo fluido 
pero con ρ diferente y tienen su máxima amplitud dentro del fluido
Ondas internas
• Sean dos capas de fluido de ρ diferente dispuestas una sobre la otra.
• 𝒈 hace que la interfase tienda a mantenerse horizontal. 
• Si la interfase es perturbada, 𝒈 tenderá a "restaurar" la horizontalidad ("resorte“) generando ondas. 
• Es el mecanismo que produce ondas en la superficie del agua y en el interior del fluido agua o aire.
• El efecto de 𝒈 se ve atenuado por 𝑩: las ondas internas son mucho más lentas y de mayor amplitud 
que las ondas externas de la SFC. 
Fuerza restauradora
Nota: En rigor, estudiamos en profundidad las OGI, porque en la atmósfera no existen superficies libres que separen fluidos con ρ muy diferentes. 
Ondas de Gravedad
Interna (OGI)
Son posibles en condiciones estáticamente estables
Influyen en la circulación general de la atmósfera a través de su 
transporte y depósito de cantidad de movimiento
Son importantes en el ajuste de la atmósfera hacia un estado de equilibrio
Pueden tener impacto significativo en el 
clima al producir bandas de mayor PP dentro 
de regiones con PP de menor escala
Transfieren gran parte de su E hacia arriba Pierden gran parte de su amplitud 
Transferencia de E
en las OGI Permite que las ondas viajen grandes distancias 
horizontalmente (gran amplitud) antes de 
entregar la mayor parte de su E (ondas de 
gravedad interna de mesoescala = solitarias) 
Si la estabilidad estática o la cortante del viento 
cambian con la altura, la E de las ondas que se 
propagan hacia arriba puede reflejarse: 
http://tallex.at.fcen.uba.ar/index_archivos/page0023.htm
A medida que la onda pasa, si se genera un 
valle, entonces el agua de la capa superior 
debe llenar rápidamente el valle y la inferior 
debe retirarse hacia los lados para liberar el 
lugar requerido para la generación del valle. 
Lo recíproco ocurre en una cresta.
Si en lugar de observar sólo una longitud de 
onda, observáramos muchas:
Asociado al pasaje de las crestas se produce 
DIV de partículas en la capa superficial, 
mientras que asociado al pasaje de valles se 
produce CONV.
http://tallex.at.fcen.uba.ar/index_archivos/page0023.htm
3.6: Ondas de Gravedad Externa o de Superficie
Ondas de sonido FR ∥ a la DD de propagación de la onda
Ondas de gravedad superficiales FR está en la vertical (transversal a la DD de propagación de la onda)
Las ondas de gravedad en aguas poco profundas pueden existir si el fluido tiene una 
superficie libre o en la interfaz entre dos fluidos de muy diferente densidad
FR se debe a la gravedad
Movimiento de las partículas en aproximación de aguas someras. Los círculos rojos son las posiciones actuales de las partículas sin masa, 
moviéndose con la velocidad del flujo. La línea de color azul claro le da la trayectoria de estas partículas, y los círculos de color azul claro de la 
posición de la partícula después de cada periodo de la ola. Los puntos blancos son las partículas del fluido, también seguidos en el tiempo.
https://es.wikipedia.org/wiki/Onda_de_gravedad
A- Modelo de aguas someras (as) con superficie libre: Agua en un canal
𝒉
ℎ’> 0 ℎ’< 0
𝑪𝒐𝒏𝒗 𝑪𝒐𝒏𝒗𝑫𝒊𝒗 𝑫𝒊𝒗
𝑽𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒐𝒏𝒅𝒂
𝒛
Paleta 
oscilante
𝑝′ < 0
𝑫𝒊𝒗
𝑝′ > 0 𝑝′ < 0 𝑝′ > 0
𝒖′ > 0 𝒖′ > 0
• Capa única de fluido incompresible (filtra ondas de sonido) de densidad uniforme ρ. 
• El fluido por encima de la capa se considera que no tiene masa y por lo tanto la superficie es libre.
• Homogeneidad en 𝒚
Ԧ𝑣 ⋅ ∇ Ԧ𝑣 ≈ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
ⅆ𝑢
ⅆ𝑡
≈ −
1
ρ
𝜕𝑝
𝜕𝑥
Fluido incompresible
en la superficie libre
𝑑𝜌
𝑑𝑡
= 0 Aplicando a la Ecuación de Continuidad
∇. Ԧ𝑣 = 0 Es decir: 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= -
𝜕𝑤
𝜕𝑧
DIV horizontal en 𝒙
Se generan aceleraciones 
verticales 
(Patrón sinusoidal en ℎ)
(as-1)
B- Modelo de aguas someras (as) en dos fluidos de distinta ρ : Sistema de fluidos en un canal que consta de dos capas homogéneas 
incompresibles de diferente densidad (aire y agua)
• Ondas que se propagan a lo largo de la interfaz agua-aire
• Recordar 𝜌1 >> 𝜌2 y homogeneidad en 𝒚
• Movimiento en el plano 𝒙, 𝒛
δ𝑝1
Agradecimiento Figura Dr. Pablo Antico
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 0
Suposiciones:
• Fluido incompresible: se excluyen ondas de sonido
• Fluido con estratificación estable
• Fluido homogéneos no existen gradientes de densidad dentro de cada fluido
• Equilibrio hidrostático 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= -𝜌𝑔 Derivamos con respecto a 𝑥
• Simplificación: 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 0 en el fluido con 𝜌2
• Despreciamos: Rotación de la Tierra (Co), Fricción, Intercambio de calor
𝑑𝜌
1
𝑑𝑡
= 
𝑑𝜌
2
𝑑𝑡
= 0
𝑑𝜌
𝑑𝑡
= 0
𝜌1 > 𝜌2
𝜌1 y 𝜌2 constantes
𝜕
𝜕𝑥
( 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
) = - 𝑔
𝜕𝜌
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑥
( 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
) = - 𝑔
𝜕𝜌
𝜕𝑥
= 0
∇H 𝑝 en cada capa es independiente 
de la altura cuando 𝜌 es constante 
Considerando que 𝜕
𝜕𝑥
( 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
) = 
𝜕
𝜕𝑧
( 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
) = 0 
δ𝑝1
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= -
1
ρ
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝑓𝑣 + 𝐹𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= -
1
ρ
𝜕𝑝
𝜕𝑦
- 𝑓𝑢 + 𝐹𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= -
1
ρ
𝜕𝑝
𝜕𝑧
- 𝑔 + Co𝑧 + 𝐹𝑧
Sistema de ecuaciones:
Al igual que con las ondas de sonido, buscamos el sistema ecuaciones lineales de la perturbación (Ecuaciones de Movimiento y Continuidad)
Analizamos la primera ecuación porque la segunda es similar
𝜌2
𝝏𝒑
𝝏𝒙
𝜌1
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 0 ?
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+
1
ρ
𝝏𝒑
𝝏𝒙
= 0
𝑑𝑤
𝑑𝑡
+
1
ρ
𝝏𝒑
𝝏𝒛
= 0
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+
1
ρ
𝝏𝒑
𝝏𝒙
= 0
Ecuación de movimiento
Integramos la ecuación hidrostática entre A y B……
𝜌1
𝜌2
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= −𝜌𝑔 𝝏𝒑
𝝏𝒙
=
−𝜌𝑔𝜕𝑧
𝜕𝑥
Sabemos que:
Aplicamos límite 
(as-2)
Suponemos que el movimiento es en el plano 𝑥, 𝑧 Ecuación de movimiento en 𝒖 para el fluido con 𝝆𝟏
Para fluido con 𝝆𝟏
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+ 
1
ρ
𝝏𝒑
𝝏𝒙
= 0
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= -
1
ρ
1
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= -
1
ρ
1
𝑔 δρ
𝜕ℎ
𝜕𝑥
𝑧 = 0
𝑝 + 𝛿𝑝1 = 𝑝 − 𝜌1𝑔𝛿𝑧 = 𝑝 + 𝜌1𝑔 𝛿𝑧
𝑝 + 𝛿𝑝2 = 𝑝 − 𝜌2𝑔𝛿𝑧 = 𝑝 + 𝜌2𝑔 𝛿𝑧
Tomando 𝑧 = 0 sobre 
la discontinuidad 
𝑩
𝑨
𝛿𝑧
𝛿𝑥
~
𝛿ℎ
𝛿𝑥
Pendiente de 
la interfaz
𝑝 + 𝛿𝑝1 = 𝑝 + 𝜌1𝑔𝛿ℎ
𝑝 + 𝛿𝑝2 = 𝑝 + 𝜌2𝑔𝛿ℎ
𝜌1
𝜌2
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 0
𝝏𝒑
𝝏𝒙
= 𝑔 δρ
𝜕ℎ
𝜕𝑥
(𝑝 + 𝜌1𝑔𝛿ℎ) − (𝑝 + 𝜌2𝑔𝛿ℎ)
𝛿𝑥
= 𝑔 δρ
𝛿ℎ
𝛿𝑥
𝛿𝑝 = −𝜌𝑔𝛿𝑧
𝛿𝒑
𝛿𝑥
=
−𝜌𝑔𝛿𝑧
𝛿𝑥
~
𝐵 − 𝐴
𝛿𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0Por (as-1) 
𝑢 (viento) tampoco tendrá una dependencia con la altura
Siempre que inicialmente 𝑢 ≠ 𝑢 (z) 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
Por no depende de z
Ecuación de continuidad
¿Cómo llegamos a esa expresión de la 
ecuación de continuidad? 
Integrando (as-1) entre (𝑧 = 0) y (𝑧 = ℎ) 𝑤 (ℎ) - 𝑤 (0) = − ℎ
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0 (as-1) 
(as-4) 
• 𝑤 (ℎ) es la velocidad a la que cambia la altura de la interfaz:
• 𝑤 (0) = 0 para un límite inferior plano
𝑤 (ℎ) =
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
𝜕ℎ
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕ℎ
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕ℎ
𝜕𝑦
+𝑤
𝜕ℎ
𝜕𝑧
(as-3) se puede escribir como:
𝜕ℎ
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕ℎ
𝜕𝑥
+ ℎ
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0
𝜕(𝑢.ℎ)𝜕𝑥
(as-3) 
Si consideramos solo movimientos zonales (𝑥):
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 𝑔 δρ
𝜕ℎ
𝜕𝑥
(as-2)
𝜕ℎ
𝜕𝑡
+ 
𝜕(𝑢.ℎ)
𝜕𝑥
= 0
Ecuación de continuidad
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= -
1
ρ
1
𝑔 δρ
𝜕ℎ
𝜕𝑥
𝜕ℎ
𝜕𝑡
+ 
𝜕(𝑢.ℎ)
𝜕𝑥
= 0
Ecuación de Cantidad de Movimiento (as-5)
Ecuación de Continuidad (as-6)
¿Cómo podemos resolver este 
sistema de ecuaciones? 
𝑤 (ℎ) - 𝑤 (0) = 
𝜕ℎ
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕ℎ
𝜕𝑥
= − ℎ
𝜕𝑢
𝜕𝑥
Sistema de ecuaciones
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= -
1
ρ
1
𝑔 δρ
𝜕ℎ
𝜕𝑥
El sistema de ecuaciones en 𝑢 y ℎ para dos fluidos resulta:
Método de las perturbaciones:
𝑢 = ത𝑢 + 𝑢′
ℎ = 𝐻 + ℎ′
ത𝑢 velocidad zonal
𝐻 profundidad media de la capa inferior (fluido con ρ1)
Demostrar
𝜕𝑢′
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕𝑢′
𝜕𝑥
= -
𝑔 δ ρ
ρ
1
𝜕ℎ′
𝜕𝑥
𝜕ℎ′
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕ℎ′
𝜕𝑥
+ 𝐻
𝜕𝑢′
𝜕𝑥
= 0
(as-7) 
(as-8) 
• Se supone 𝐻 >> ℎ′
• Se desprecian productos de variables de perturbación
• Estado básico constante
Eliminando 𝑢′ y operando en el sistema (recordar cómo resolvimos el sistema para ondas de sonido):
Sistema de ecuaciones 
lineales de la perturbación 
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
2
ℎ′ −
𝐻𝑔 δρ
ρ1
𝜕2ℎ′
𝜕𝑥2
= 0 Ecuación de una Onda
(as-9) 
ℎ′ = A ⅇⅈ 𝑘 𝑥 – ct
Una solución simple que representa una onda sinusoidal plana que se propaga en 𝑥 es:
(as-10) 
Solución propuesta a la 
Ecuación de una Onda
( 
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
) 𝑢′ + 
1
ഥ𝜌
𝜕𝑝′
𝜕𝑥
= 0 
( 
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
) 𝑝′ + 𝛾 ҧ𝑝
𝜕𝑢′
𝜕𝑥
= 0 
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
2
𝑝′ −
𝛾 ҧ𝑝
തρ
𝜕2𝑝′
𝜕𝑥2
= 0
𝑝′ = A ⅇⅈ 𝑘 𝑥 – ct
𝑐 = ത𝑢 ±
𝛾 ҧ𝑝
ҧ𝜌
= ത𝑢 ± 𝛾𝑅ത𝑇
Observación: A (ondas sonido) ≠ A (ondas de gravedad superficiales)
Velocidad de Fase:
Sustituyendo la Solución (ℎ′) en la Ecuación de Onda, la velocidad de fase debe satisfacer la ecuación: −ⅈ𝑘𝑐 + ⅈ𝑘ത𝑢 2 −
𝐻𝑔 δρ
ρ1
ⅈ𝑘 2 = 0
𝑐 = ത𝑢 ±
𝐻𝑔 δρ
ρ1
Resolviendo para c, obtenemos: Velocidad de Fase (as-11) 
La solución propuesta a la ecuación de onda vale si se cumpla la relación (as-11).
Esta aproximación solo es válida para λ >> 𝐻 de manera tal que se garantice que 𝑤′ sea lo suficientemente pequeña para conservar el equilibrio 
hidrostático. 
Caso particular: ρ1 = ρagua y ρ2 = ρaire 𝛿𝜌 ≈ 𝜌1 𝑐 = ത𝑢 ± 𝐻𝑔
Velocidad de ondas en aguas 
someras o poco profundas
¿Onda dispersiva o no dispersiva?
Relación de Dispersión: 𝜈= 𝜈(k)
𝜈= k c =k (ത𝑢 ± 𝐻𝑔)
Las ondas que obedecen esta relación de dispersión se denominan ondas de gravedad superficiales porque la fuerza restauradora para el
movimiento es la gravedad. Los dos signos de 𝜈 corresponden a ondas que se propagan en direcciones opuestas.
−ⅈ𝑘𝑐 + ⅈ𝑘ത𝑢 2 −
𝛾 ҧ𝑝
ҧ𝜌
ⅈ𝑘 2 = 0
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
2
𝑝′ −
𝛾 ҧ𝑝
തρ
𝜕2𝑝′
𝜕𝑥2
= 0
Analogía con ondas de sonido 𝑐 = ത𝑢 ±
𝛾 ҧ𝑝
ҧ𝜌
= ത𝑢 ± 𝛾𝑅ത𝑇
𝐻
λ
Tiempos de propagación del tsunami 
que afectó Japón en marzo 2011
Agradecimiento Prof. Marcelo Barreiro
Observaciones:
• Para una profundidad de H = 2 km (océano) c ≈ 140 m/s (rápidas).
• Otro ejemplo de estas ondas donde la escala horizontal >> escala vertical y donde la rotación no afecta significativamente la dinámica son los 
tsunamis.
Distancia eje menor = Amplitud: decrece linealmente con la profundidad. Superficie
Amplitud nula: movimiento puramente horizontalFondo 
λ
𝐻
λ
En el movimiento ondulatorio, las partículas describen 
elipses porque las ondas “sienten el fondo” 
Movimiento de las parcelas 
de agua al pasar la onda
3.7: Frecuencia de Flotabilidad (Empuje) o de Brunt-Vaisala
𝜃 = 𝑇
𝑝s
𝑝
𝑅
𝑐𝑝
Por Primera ley de la termodinámica
Luego integrando entre dos estados (𝑝 y 𝑇 y 𝑝s=1000 hPa y 𝜃):
Introducción:
𝑑(ln 𝑇) −
𝑅
𝑐𝑝
𝑑(ln 𝑝) = 0
𝑇
𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑧
= 𝛾𝑑 − 𝛾
𝛾𝑑 Gradiente de la parcela
𝛾 Gradiente de la atmósfera
Estabilidad estática neutra: 𝛾𝑑 = 𝛾
𝜕𝜃
𝜕𝑧
= 0
𝑇
𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑧
= 𝛾𝑑 - 𝛾
Estabilidad estática no neutra: 𝛾𝑑 > 𝛾
𝜕𝜃
𝜕𝑧
> 0 Atmósfera estáticamente estable o estratificada de manera estable
𝛾𝑑 < 𝛾
𝜕𝜃
𝜕𝑧
< 0 Atmósfera estáticamente inestable o estratificada de manera inestable
𝜕𝜃
𝜕𝑧
≠ 0
Frecuencia de Brunt-Vaisala:
Las oscilaciones adiabáticas de parcelas de fluido respecto del nivel de equilibrio en una atmósfera estáticamente estable (
𝜕𝜃
𝜕𝑧
> 0) se denominan 
Oscilaciones por empuje = BUOYANCY OSCILLATIONS) o de Flotabilidad.
La frecuencia característica de estas oscilaciones se calcula considerando una parcela (ρ, 𝑝) que se desplaza en la vertical una distancia δz, sin 
perturbar el entorno (ρ0, 𝑝0). 
Si el entorno está en balance hidrostático:
𝜕𝑝0
𝜕𝑧
= −ρ0𝑔
La ecuación de movimiento vertical de la parcela es:
𝑑𝑤
𝑑𝑡
=
𝑑2 𝛿𝑧
𝑑𝑡2
= −𝑔 −
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝑝 = 𝑝0Suponiendo que la 𝑝 de la parcela se adapta instantáneamente a la presión del entorno 𝑝0
Reemplazando ésta condición en la aceleración y usando la relación hidrostática:
ⅆ𝑤
ⅆ𝑡
= −𝑔 −
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= −𝑔 +
1
𝜌
ρ0𝑔 = 𝑔(
ρ0 − 𝜌
𝜌
)
Como 𝑝 = 𝑝0
𝜕𝑝
𝜕𝑧
=
𝜕𝑝0
𝜕𝑧
= −ρ0𝑔
ⅆ𝑤
ⅆ𝑡
= 𝑔(
ρ0 − 𝜌
𝜌
) 𝜌 = 𝜌aire
𝜃 = 𝑇
𝑝s
𝑝
𝑅
𝑐𝑝
Demostrar!!
Considerando:
• 𝜃= 𝜃0 + 𝜃′
• 𝑇 = 𝑇0 + 𝑇′
𝑇 de la parcela
𝑇0 = 𝑇0 (𝑧) del entorno 
𝑇′ desviación de 𝑇 (parcela) respecto a 𝑇0 (entorno)
𝜃 de la parcela
𝜃0 = 𝜃0 (𝑧) del entorno 
𝜃′ desviación de 𝜃 (parcela) respecto a 𝜃0 (entorno)
Buscamos otra expresión para 𝜽′
ⅆ𝑤
ⅆ𝑡
= 𝑔
𝜌0 − 𝜌
𝜌
= 𝑔
𝑇 − 𝑇0
𝑇0
= 𝑔
𝜃 − 𝜃0
𝜃0
= 𝑔
𝜽′
𝜃0
𝑝 = ρ𝑅𝑇
𝜃 = 𝑇
𝑝s
𝑝
𝑅
𝑐𝑝
𝑝 = 𝑝0
𝑝 = 𝑝0
Recordando: 
ⅆ𝑤
ⅆ𝑡
= 𝑔(
ρ0 − 𝜌
𝜌
)
Asumiendo que el ascenso de la parcela es adiabático 𝜃 se conserva 
Consideramos parcela que se desplaza 
δ𝑧 desde 𝑧 = 0 donde 𝜃 = 𝜃0 (0)
Podemos aproximar 𝜃0 como 𝜃0(𝛿𝑧) mediante un desarrollo en serie de Taylor de primer orden:
𝜃= 𝜃0 + 𝜃′
ⅆ𝜃
ⅆ𝑡
= 0
𝜃0 (0) = 𝜃0 (𝛿𝑧) + 𝜃
′
Reemplazando 𝜽′ en
ⅆ𝑤
ⅆ𝑡
= 𝑔
𝜽0 (𝟎) − 𝜽0 (𝛿𝑧)
𝜃0
= 𝑔
−
ⅆ𝜽0
ⅆ𝒛
𝛿𝑧
𝜃0
= − 𝑔
𝑑 ln 𝜃0
𝑑𝑧
𝛿𝑧 = − 𝑵2𝛿𝑧
𝑵 = Frecuencia de Brunt-Vaisala
Medida de la estabilidad estática 
del entorno
De la ecuación de movimiento en 𝑧, se deduce que para una parcela que oscila en la vertical, 
su aceleración es la Fuerza Restauradora = Empuje hidrostático: -𝑁2𝛿𝑧. 
𝛿𝑧
𝜃
𝑧
𝑧 = 0
𝜕𝜃0
𝜕𝑧
> 0
𝜃 = 𝜃0 (0)
𝜃 = 𝜃0 (𝛿𝑧) + 𝜃
′
(
𝜕𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑤
𝜕𝜃
𝜕𝑧
=0)
𝐴
𝐵
𝐴 = B
𝜽′ = 𝜽0 (𝟎) - 𝜽0 (𝛿𝑧) 
ⅆ𝑤
ⅆ𝑡
= 𝑔
𝜽′
𝜃0
𝐵 = −
𝜌′
𝜌
𝑔
ⅆ𝑤
ⅆ𝑡
= − 𝑵2𝛿𝑧 Tiene una solución general 𝛿𝑧 = A ⅇ(ⅈ 𝑵𝑡)
Observaciones:
• 𝑵2 > 0 - La parcela oscila entorno a su nivel inicial con un período T = 
2𝜋
𝑵
- Para ondas en la tropósfera media 
- Las parcelas que ascienden/descienden experimentan una aceleración negativa/positiva que las hace bajar/subir
• 𝑵2 = 0 - 𝛿𝑧 = A con lo cual no existe una fuerza restauradora: Si la parcela se desplaza, permanece en el nuevo nivel
• 𝑵2 < 0 - 𝛿𝑧 = A ⅇ(−𝑵𝑡) con 𝑵 < 0 entonces 𝛿𝑧 aumenta exponencialmente: las parcelas que suben, lo seguirán haciendo bajo una 
ⅆ𝑤
ⅆ𝑡
> 0
Así obtenemos el criterio de estabilidad para una atmósfera adiabática seca (subsaturada) 
𝜕𝜃0
𝜕𝑧
> 0 Equilibrio Estable
𝜕𝜃0
𝜕𝑧
= 0 Equilibrio Neutral
𝜕𝜃0
𝜕𝑧
< 0 Equilibrio Inestable
T
3.8: Ondas de Gravedad Interna
Introducción:
• Son ondas de gravedad transversales que se propagan en la atmósfera cuando un fluido es perturbado y por lo tanto alejado de su equilibrio. 
• Solo pueden existir cuando la atmósfera está estratificada de manera estable, frente al desarrollo de movimientos verticales.
• 𝒈 actúa como FR a través del 𝑩 y de la estabilidad vertical del fluido.
• Ocurren en el interior del fluido o en la interfase entre dos capas de fluido de ≠ ρ que no se mezclan o tardan mucho en hacerlo.
Se clasifican en ondas de gravedad internapuras y topográficas
Océano
Borde superior (SFC) 
Borde inferior (fondo)
Mayor propagación 
en plano horizontal
Las ondas que viajan verticalmente 
se reflejan en los bordes para 
formar ondas estacionarias
Atmósfera
Borde inferior (SFC)
Propagación en plano 
horizontal y en la vertical
Las ondas se propagan en el interior
del fluido (aire) de ahí su nombre
𝑐 tendrá componentes 
en las direcciones x, y, z
Suposiciones y sistema de ecuaciones:
1. Despreciamos: Rotación de la Tierra (Co), fricción
2. Dirección de propagación en el plano 𝑥, 𝑧.
Son ondas transversales en las cuales las oscilaciones δS de la parcela de aire son paralelas a las líneas de fase constante ϕ:
Trayectoria de oscilación del paquete de ondas 
(flecha gruesa), con líneas de fase inclinadas en 
un ángulo α con respecto a la vertical.
Dirección de 
propagación
δs distancia que se desplaza la parcela
• Para una parcela que oscila en la vertical la 𝑭𝑹 es el Empuje hidrostático
Ondas de gravedad interna puras
𝑥
𝑧
𝑩 𝑩ϕ
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= -𝑁2𝛿𝑧= 𝐵
𝑩ϕ= 𝑩cos α=(-𝑁2𝛿𝑧) cos α• La componente de 𝐵 paralela a ϕ es:
𝑩ϕ= (-𝑁2 δs cos α) cos α = - (𝑁 cos α)2 δs
δz
cos α =
δz
δs
Analizar del gráfico
ϕ
𝑩ϕ es una fuerza y de acuerdo con la segunda Ley 
de Newton, proporcional a una aceleración
Las parcelas oscilan de manera armónica simple con una frecuencia = 𝑵𝒄𝒐𝒔𝜶
Suposiciones y sistema de ecuaciones (continuación):
3. Despreciamos: Rotación de la Tierra (Co=0), fricción.
4. Dirección de propagación en el plano 𝑥, 𝑧.
5. Aproximación Boussinesq
• Estado básico de ρ ρaire constante (atmósfera incompresible 
𝑑𝜌
𝑑𝑡
= 0 = ∄ ondas de sonido) ρ ≠ ρ(z)
𝜕ρ
𝜕𝑡
son pequeñas perturbaciones del campo തρ constante
• ρaire ≠ constante cuando se combina con Ԧ𝑔 en el término del Empuje hidrostático de la Ec. de cantidad de Mov. en 𝑧.
Vale para movimientos en los que la 
escala vertical es menor que la altura de 
la escala atmosférica H (≈ 8 km).
𝑑2 𝛿s
𝑑𝑡2
= − (𝑁 cos α)2 δs
Ecuación de Cantidad de Movimiento 
para la oscilación de la parcela o 
Ecuación del Oscilador armónico
𝛿s = ⅇ ±ⅈ(𝑵𝒄𝒐𝒔α)𝑡)
¿Cuál es la frecuencia de oscilación?
Solución de la Ecuación 
del Oscilador armónico
ⅆ𝑤
ⅆ𝑡
= − 𝑵2𝛿𝑧 𝛿𝑧 = A ⅇ(ⅈ 𝑵𝑡)
Sistema básico de ecuaciones 
para movimiento bidimensional 
en atmósfera incompresible
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+ 
1
ρ
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 
1
ρ
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝑔 = 0
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
𝜕θ
𝜕𝑡
+𝑢
𝜕θ
𝜕𝑥
+ 𝑤
𝜕θ
𝜕𝑧
= 0
Ecuación de Cantidad de Movimiento
(plano x-z) 
Ecuación de Continuidad/Divergencia
Ascenso adiabático de la parcela
𝜃 =
𝑝
𝜌𝑅
𝑝s
𝑝
𝑅
𝑐𝑝
Recordar que 
Método de las perturbaciones: ρ = ρ0+ ρ
′
𝑝 = ҧ𝑝(𝑧) + 𝑝′
θ = തθ(𝑧) + θ′
𝑢 = ത𝑢 + 𝑢′
𝑤 = 𝑤′
• ത𝑢 y ρ0 se asumen constantes
• ҧ𝑝 satisface la ecuación hidrostática 
𝜕 ҧ𝑝
𝜕𝑧
= - ρ0 𝑔
• ln തθ = ϒ-1 ln ҧ𝑝 - ln ρ0 + constante
(GI-1) 
(GI-2) 
(GI-3) 
(GI-4) 
(GI-5) 
(GI-6) 
(GI-7) 
➢ Sustituimos (GI-6) (GI-7) (GI-8) en (GI-1) (GI-2) (GI-3) (GI-4) (GI-5); despreciamos producto de perturbaciones.
➢
1
𝜌0+𝜌
′ ≈
1
𝜌0
1 −
𝜌′
𝜌0
en (GI-1) (GI-2) 
(GI-8) 
➢ Reescribimos (GI-8) como:
➢ Recordamos que ln(ab) = ln(a) + ln(b) y que ln(1 + ε) ≈ ε para cualquier ε << 1 y con la ayuda de (GI-8) encontramos que (GI-9) se puede 
reescribir como: 
(GI-9) 
𝜃′
ҧ𝜃
≈
1
𝛾
𝑝′
ҧ𝑝
−
ρ′
𝜌0 Resolviendo 
para ρ′
ρ′ ≈ −𝜌0
𝜃′
ҧ𝜃
+
𝑝′
𝑐𝑠
2
Donde 𝑐𝑠
2 = 
ҧ𝑝𝛾
𝜌0
es el cuadrado de la velocidad del sonido
➢ En el caso de movimientos asociados a ondas por Empuje se cumple: 𝜌0
𝜃′
ഥ𝜃
>>
𝑝′
𝑐𝑠
2 es decir que las fluctuaciones en la ρ (ρ
′) debidas a 
cambios de 𝑝 (𝑝′) son << que los debidos a los cambios en la temperatura (𝜃′)
ρ′ ≈ −𝜌0
𝜃′
ҧ𝜃
𝜃′
ҧ𝜃
≡ −
ρ′
𝜌0
Sistema de ecuaciones lineales
Linealizado (para las 
perturbaciones)
(
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
) 𝑢′ + 
1
𝜌0
𝜕𝑝′
𝜕𝑥
= 0
(
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
) 𝑤′ + 
1
𝜌0
𝜕𝑝′
𝜕𝑧
-
𝜃′
ഥ𝜃
𝑔 = 0
𝜕𝑢′
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑤′
𝜕𝑧
= 0
(
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
) θ’ + 𝑤′
𝜕ഥ𝜃
𝜕𝑧
= 0
(GI-10) 
(GI-11) 
(GI-12) 
(GI-13) 
Haciendo 
𝜕
𝜕𝑥
((GI-11)) -
𝜕
𝜕𝑧
((GI-10)) logramos eliminar 𝑝′ (
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
) (
𝜕𝑤′
𝜕𝑥
-
𝜕𝑢′
𝜕𝑧
) -
𝑔
ഥ𝜃
𝜕θ’
𝜕𝑥
= 0
Componente 𝑦 de la 
Ecuación de vorticidad
Utilizando (GI-12) y (GI-13), eliminamos 𝑢′ y θ’ de (GI-14) y obtenemos una única ecuación para 𝑤′
(GI-14) 
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
2
𝜕2𝑤′
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤′
𝜕𝑧2
+ 𝑁2
𝜕2𝑤′
𝜕𝑥2
= 0
Ecuación de Ondas de 
Gravedad Interna
Las soluciones de la ecuación de ondas de gravedad interna son oscilaciones armónicas del tipo:
(GI-15) 
𝑁2 = 𝑔
𝑑(lnഥθ)
𝑑𝑧
constante
𝑤′ = Re ( መ𝐴 ⅇⅈϕ) = 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠 ϕ − 𝐴ⅈ 𝑠ⅇ𝑛 ϕ
Soluciones de la 
Ecuación
(GI-16) 
መ𝐴 = 𝐴𝑟 + ⅈ𝐴ⅈ Amplitud
ϕ= kx + mz − νt Fase
• k es real porque la solución siempre es sinusoidal en x
• En cambio 𝒎 = 𝑚𝑟 + ⅈ 𝑚ⅈ es complejo o real
𝑚𝑟 describe una variación sinusoidal en z
𝑚ⅈ describe un decrecimiento (𝑚ⅈ > 0) o crecimiento (𝑚ⅈ < 0) 
exponencial en z
El número total de onda se representa con el vector 
𝐾 ≡ (k, m) perpendicular a las líneas de ϕ constante
𝑘 = 
2𝜋
𝜆
𝑥
m= 
2𝜋
𝜆
𝑧
Plano x−z
Demostrar!!
Relación de Dispersión: 𝜈= 𝜈(k)
Sustituyendo la solución (GI-16) en la Ecuación de Onda (GI-15), se obtiene la relación de dispersión:
𝜈 − ത𝑢𝑘 2 𝑘2 +𝑚2 − 𝑁2𝑘2 = 0 Ƹ𝜈 ≡ 𝜈 − ത𝑢 𝑘 = ±
𝑁𝑘
𝑘2 +𝑚2
= ±
𝑁𝑘
𝐾
Frecuencia intrínseca
Frecuencia relativa a ത𝑢
Observaciones:
• Signo + propagación de la fase hacia el E respecto al flujo medio
• Signo - propagación de la fase hacia el W respecto al flujo medio
• Si 𝑘 > 0 y 𝑚 < 0 las líneas de ϕ constante (frentes de onda) se inclinan hacia el E con la altura. 
Propagación hacia el E y hacia 
abajo respecto al flujo medio
ϕ= kx + mz − νt constante 
Movimiento oscilatorio 
de la partícula
𝑲
α
𝑥
𝑧
𝑧 > 0
𝑥 > 0
Demostrar!!
Es la frecuencia medida por un 
observador que se mueve con ത𝑢
y es forzada por el flujo sobre el terreno
Si Ƹ𝜈 = 0 y el patrón del flujo se 
traslada en la DD x con ത𝑢, 𝜈 observada 
en un punto fijo es 𝜈 = ത𝑢 𝑘
𝑐𝑥 =
𝜈 − ത𝑢 𝑘
𝑘
𝑐𝑧 =
𝜈 − ത𝑢 𝑘
𝑚
Componentes de la velocidad de Fase y de Grupo:
𝑐𝑥 y 𝑐𝑧 son las velocidades de fase en la horizontal y en la vertical relativas al flujo medio 
𝑐𝑔𝑥 =
𝜕𝜈
𝜕𝑘
= ത𝑢 ±
𝑁𝑚2
(𝑘2+𝑚2)3/2
𝑐𝑔𝑧 =
𝜕𝜈
𝜕𝑚
= ±
(−𝑁𝑘𝑚)
(𝑘2+𝑚2)3/2
Ƹ𝜈 ≡ 𝜈 − ത𝑢 𝑘 = ±
𝑁𝑘
𝑘2 +𝑚2
= ±
𝑁𝑘
𝐾
𝒄no es un vector 
𝒄 en la dirección ⊥ a las líneas de ϕ constante estaba dado por: 𝑐
⊥ ϕ
=
𝜈
𝑘2 +𝑚2
| Ԧ𝑐| = 𝑐𝑥
2 + 𝑐𝑧
2 =
Ƹ𝜈
𝑘
2
+
Ƹ𝜈
𝑚
2
Mientras que 
Las componentes de la velocidad de grupo son:
• (𝒄𝒈𝒙, 𝒄𝒈𝒛) ⊥ 𝒄 Ԧ𝑐g ∕∕ líneas de ϕ constante 
Ԧ𝑐g . 𝐾 = 0 (𝑐gx , 𝑐g𝑧) . (k, m) = 0 Por simplicidad ത𝑢 = 0 y propagación hacia el E 
𝑁𝑚2
(𝑘2+𝑚2)3
/2
, −𝑁𝑘𝑚
(𝑘2+𝑚2)3
/2 . (k, m) = 0
(𝒄𝒈𝒙 , 𝒄𝒈𝒛)
𝒄𝒙
𝒄𝒛 𝒄
⊥ ϕ
𝑥
𝑧
𝑐𝑔𝑥
𝑐𝑔𝑧
𝑲
Demostrar!!
es la magnitud de la velocidad de propagación de la Fase de la onda 
(“crestas y valles”) en la DD de 𝑲
𝒄𝒈 ⊥ a la DD de propagación de la fase
✓ La energía se propaga ∕∕ a crestas y valles de la onda (a diferencia de ondas de sonido y de gravedad en aguas poco profundas). 
✓ Las ondas de GI generadas en la troposfera por convección, por flujo sobre la topografía, etc pueden propagarse hacia arriba alcanzando 
la mesosfera, aunque las oscilaciones de parcelas individuales estén confinadas a distancias verticales de menos de 1 km.
• Signo (𝑐g𝑧) opuesto Signo (𝑐𝑧 ) Propagación de 𝑐𝑧 hacia abajo (𝑚 < 0)
Propagación de 𝑐g𝑧 (ENERGÍA) hacia arriba
(en la DD de las oscilaciones de las partículas)
Sección transversal idealizada que muestra las fasesde 𝑝′,𝜃′y 𝑤′ para una onda 
de GI. Las flechas finas indican el campo de 𝑤′, las flechas gruesas la velocidad de 
fase. El sombreado muestra regiones de movimiento ascendente.
𝒌 > 0 y 𝒎 < 0
(
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
) 𝑢′ + 
1
𝜌0
𝜕𝑝′
𝜕𝑥
= 0
(
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
) 𝑤′ + 
1
𝜌0
𝜕𝑝′
𝜕𝑧
-
𝜃′
ഥ𝜃
𝑔 = 0
𝜕𝑢′
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑤′
𝜕𝑧
= 0
(
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
) θ’ + 𝑤′
𝜕ഥ𝜃
𝜕𝑧
= 0
Del sistema de ecuaciones linealizado, se puede obtener 𝑝′,𝜃′y 𝑤′ considerando los signos de 𝒌 y 𝒎. 
¿Hacia dónde se mueven los frentes de onda?
Relación entre las posibles perturbaciones de temperatura, 
velocidad y presión para una onda de gravedad interna con ത𝑢 = 0
¿Cuál es el signo de 𝒌 y 𝒎 ?
Ángulo entre ϕ constante y la vertical: (α)
Considerando α y la definición de número de onda 𝐾 cos α =
𝐿𝑥
𝐿𝑥
2 + 𝐿𝑧
2
=
±𝑘
𝑘2 +𝑚2
= ±
𝑘
𝐾
Ƹ𝜈 ≡ 𝜈 − ത𝑢 𝑘 = ±
𝑁𝑘
𝑘2 +𝑚2
= ±
𝑁𝑘
𝐾
Ƹ𝜈 ≡ 𝜈 − ത𝑢 𝑘 = ± 𝑁 cos α
Observaciones:
• Ƹ𝜈 ≤ 𝑁 en concordancia con la Ecuación de Cantidad de Movimiento para una parcela afectada por ondas GI en la atmósfera.
• cos α = ±
ෝ𝜈
𝑁
o sea que la inclinación de las líneas ϕ constante depende de la relación entre Ƹ𝜈 y 𝑁. No depende de la longitud de onda. 
• α = 0 𝑘 = ± 𝐾 Si las partículas se mueven de su posición de equilibrio, oscilarán como un resorte con frecuencia 𝑁
• 0 < α < 
𝜋
2
Línea de partículas moviéndose juntas
• α
𝜋
2
Movimiento puramente zonal: no es una onda GI porque no es sinusoidal
𝜶
ϕ
𝑲
𝑘
𝑚
𝜈 − ത𝑢 𝑘
𝑁
= ±
𝑘
𝐾
cos α
𝐹𝑟ⅇ𝑐𝑢ⅇ𝑛𝑐ⅈ𝑎 𝑑ⅇ 𝑜𝑠𝑐ⅈ𝑙𝑎𝑐ⅈó𝑛
ⅈ𝑛𝑡𝑟í𝑛𝑠ⅇ𝑐𝑎 relativa a ത𝑢
𝐹𝑟ⅇ𝑐𝑢ⅇ𝑛𝑐ⅈ𝑎 𝑏𝑜𝑦𝑎𝑛𝑡ⅇ 𝑜 𝑑ⅇ ⅇ𝑚𝑝𝑢𝑗ⅇ
𝐹𝑟ⅇ𝑐𝑢ⅇ𝑛𝑐ⅈ𝑎 𝑑ⅇ 𝑜𝑠𝑐ⅈ𝑙𝑎𝑐ⅈó𝑛
𝑟ⅇ𝑙𝑎𝑡ⅈ𝑣𝑎 𝑎𝑙 𝑡ⅇ𝑟𝑟ⅇ𝑛𝑜
Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑ⅇ 𝑜𝑠𝑐ⅈ𝑙𝑎𝑐ⅈó𝑛
𝑟ⅇ𝑠𝑝ⅇ𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑣ⅇ𝑟𝑡ⅈ𝑐𝑎𝑙
Ondas topográficas
Introducción:
• Aire forzado a fluir sobre una montaña bajo condiciones de estratificación estable oscilaciones por 𝑩 (Bouyancy)
• A sotavento se genera sistema de OGI orografía fuente de OGI.
• Suponemos que el aire se mueve con velocidad horizontal uniforme ത𝑢 sobre una sucesión de colinas y valles de elevación ℎ
• Suponemos que el terreno varía en la DD - x las ondas se producen en el plano (x z) 𝑤′ solo depende de (x z)
ϕ = kx + mz − νt
𝜕
𝜕𝑡
= 0
ν = 0
𝒄𝒊𝒏 𝒙< 0 se cancela con ഥ𝒖 > 0 ¿?𝒄𝒊𝒏 𝒙
Por efecto de ഥ𝒖, las ondas a sotavento son ESTACIONARIAS con respecto al suelo
Si se introducen los efectos de ഥ𝒖 𝜈 = Ƹ𝜈 + ത𝑢 𝑘
Como consideramos caso estacionario
Ƹ𝜈 = −ത𝑢 𝑘
𝑘 < 0
ത𝑢 > 0
Ƹ𝜈 > 0
𝒄𝒊𝒏
𝒄
Ƹ𝜈 medida por un observador que se mueve con ത𝑢
𝜈 medida por un observador fijo en la superficie
Relativa a ത𝑢
Relativa a la SFC
ത𝑢
• A > ത𝑢 , más rápida será la oscilación a medida que el 
flujo sigue los picos y valles.
• A > 𝑘, los picos y valles se encontrarán a un ritmo 
más rápido, forzando una Ƹ𝜈 más rápida.
𝑤′ = Re ( መ𝐴 ⅇⅈϕ) = 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠 ϕ − 𝐴ⅈ 𝑠ⅇ𝑛 ϕ
𝜕
𝜕𝑡
+ ത𝑢
𝜕
𝜕𝑥
2
𝜕2𝑤′
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤′
𝜕𝑧2
+ 𝑁2
𝜕2𝑤′
𝜕𝑥2
= 0
(ത𝑢2
𝜕2
𝜕𝑥2
)
𝜕2𝑤′
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤′
𝜕𝑧2
+ 𝑁2
𝜕2𝑤′
𝜕𝑥2
= 0
𝜕2𝑤′
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤′
𝜕𝑧2
+
𝑁2
ത𝑢2
𝑤′ = 0
Ecuación de Ondas 
Topográficas
Recordemos Ecuación de Ondas GI
Integro dos veces con respecto a 𝑥
Solución para OGI
𝑤′ = 𝐴 ⅇⅈ (kx+mz) + 𝐵ⅇⅈ (kx − mz)
𝐴 y 𝐵 amplitudes complejas constantes
Relación de dispersión:
Sustituyendo la solución estacionaria en la ecuación de ondas topográficas: 
𝑤′ = Re ( መ𝐴 ⅇⅈϕ) = 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠 ϕ − 𝐴ⅈ 𝑠ⅇ𝑛 ϕ
𝜕2𝑤′
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤′
𝜕𝑧2
+
𝑁2
ത𝑢2
𝑤′ = 0 𝑚
2 =
𝑁2
ത𝑢2
− 𝑘2 Relación de dispersión
Demostrar!!
Velocidad de fase y de grupo:
𝒄𝒈
ϕ1 ϕ2
ഥ𝒖
𝒄𝒊𝒏
La fuente de E de las ondas a sotavento está en la superficie
La velocidad de fase intrínseca es 
hacia el oeste y hacia abajo
La E debe propagarse hacia arriba 
Las fases se propagan hacia abajo 
𝑐𝑔𝑧 =
𝜕𝜈
𝜕𝑚
= ±
(−𝑁𝑘𝑚)
(𝑘2+𝑚2)3/2
> 0 𝑐𝑔𝑧 =
𝑁𝑘𝑚
(𝑘2+𝑚2)3/2
Análisis de una serie de crestas y valles con ഥ𝒖 constante y estabilidad estática:
Recordemos la relación de dispersión y la solución de la ecuación para ondas topográficas que se propagan verticalmente.
𝑚2 =
𝑁2
ത𝑢2
− 𝑘2 𝑤′ = 𝑨 ⅇⅈ (kx+mz) + 𝑩ⅇⅈ (kx − mz)
Se puede demostrar que para 𝑩 = 𝟎 la solución tiene una pendiente negativa, es decir las líneas de ϕ constante se inclinan hacia el oeste con la 
altura y para 𝐴 = 0 la solución tiene una pendiente positiva (no es válida según lo analizado previamente). 
¿ Cuál es el valor de 𝑨? Se puede determinar a partir de la condición de límite inferior: 𝑤′ (𝑧 = 0)
𝑤′ = Re ( መ𝐴 ⅇⅈϕ) = 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠 ϕ − 𝐴ⅈ 𝑠ⅇ𝑛 ϕ
𝑤′ = 𝑨 ⅇⅈ (kx+mz)
𝑤′ = 𝑨 ⅇⅈ (kx+mz) 𝑤′ 𝑥, 0 = ഥ𝑢 k ℎ𝑚 cos kx 𝑨 = ഥ𝑢 k ℎ𝑚 Demostrar!
Consideramos un flujo medio del oeste ഥ𝒖 > 0 sobre la topografía. La topografía tiene un perfil dado por: ℎ𝑡(𝑥) = ℎ𝑚 𝑠ⅇ𝑛 kx
ℎ𝑀 amplitud del perfil del terreno
Condición de borde en SFC 𝑤′ 𝑥, 0 =
𝑑ℎ𝑡
𝑑𝑡
𝑧=0
= ത𝑢
𝜕ℎ𝑡
𝜕𝑥
= ഥ𝑢 k ℎ𝑚 cos kx
Nuestra solución final cuando 𝒎 es real está dada por
𝑤′ = 𝑨 ⅇⅈ (kx+mz) = 𝑨 𝑐𝑜𝑠(kx+mz) 𝑤′ = ഥ𝑢 k ℎ𝑚𝑐𝑜𝑠(kx+mz)
Cuña ancha
La propagación vertical solo es posible si ഥ𝒖 <
𝑁
𝒌
“Cuña ancha”: las líneas de desplazamiento máximo hacia arriba se 
inclinan hacia el oeste y la amplitud es independiente de la altura
𝑚2 > 0 𝒎 real La solución es una onda plana estacionaria en el plano (x z)
Recordemos…
Ƹ𝜈 ≡ 𝜈 − ത𝑢 𝑘 𝜈 = 0 Ƹ𝜈 = −ത𝑢 𝑘
Caso
𝑁2
ഥ𝒖𝟐
> 𝒌𝟐
Caso
𝑁2
ഥ𝒖𝟐
< 𝒌𝟐 𝑚
2 < 0 𝒎 es complejo 𝒎 = ⅈμ μ real 𝑨 = ഥ𝑢 k ℎ𝑚 Sigue siendo la condición de borde en SFC
Nuestra solución final cuando 𝒎 es complejo está dada por
𝑤′ = 𝑨 ⅇⅈ (kx+mz) = 𝑨 ⅇⅈ (kx+ⅈμ z) = 𝑨 ⅇⅈ kx. ⅇ−μ z = ഥ𝑢 k ℎ𝑚 cos kx . ⅇ
−μ z
𝑤′ =ഥ𝑢 k ℎ𝑚 cos kx . ⅇ
−μ zCuña angosta
Si 𝒎 es imaginario, la solución de la ecuación de ondas topográficas 
decae exponencialmente con la altura a una tasa de μ -1 siendo μ = 𝒎
“Cuña angosta”: desplazamiento máximo hacia arriba (amplitud) se 
da sobre el tope y la amplitud de la perturbación decae con la altura
Razonamiento físico de la serie de crestas y valles con ഥ𝒖 constante y estabilidad estática:
Recordemos la relación de dispersión y la solución de la ecuación para ondas topográficas que se propagan verticalmente.
𝑁2 > ഥ𝒖𝟐𝒌𝟐 𝑚2 > 0 𝒎 real Hay propagación vertical
𝑚2 < 0 𝒎 complejo La amplitud decae con la altura
Con 𝑩 como 𝑭𝑹, la atmósfera puede soportar oscilaciones con ෝ𝝂 ≤ 𝑁
para 𝛼 con respecto a la vertical entre 90◦ (puramente horizontal) y 0◦ (puramente vertical)
No se admiten oscilaciones con una ෝ𝝂 > 𝑁
Para relacionar esto con el problema de las ondas de montaña, debemos darnos cuenta de que el flujo sobre el terreno genera una oscilación 
a una ෝ𝝂 = ത𝑢 𝑘. Mientras ෝ𝝂 ≤ 𝑁 , podemos encontrar una trayectoria inclinada a lo largo de la cual la oscilación puede ser compatible. 
Una vez que ෝ𝝂 > 𝑁 , ese camino no es posible y las ondas simplemente decaen con la altura.
Ƹ𝜈 = −ത𝑢 𝑘
𝑁2 < ഥ𝒖𝟐𝒌𝟐
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