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Cálculo diferencial 
Programa desarrollado 
 
 
 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 1 
 
 
 
 
CUATRIMESTRE: 
2 
 
Programa de la asignatura: 
 
Cálculo diferencial 
 
 
Clave: 
050910206 
 
 
ESAD 
 
 
 
Cálculo diferencial 
Programa desarrollado 
 
 
 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 2 
 
Índice 
 
 
 
I. Información general de la asignatura ................................................................................ 3 
II. Competencia(s) a desarrollar .......................................................................................... 4 
III. Temario .......................................................................................................................... 4 
IV. Metodología de trabajo ................................................................................................... 7 
V. Evaluación ....................................................................................................................... 7 
VI. Material de apoyo ........................................................................................................... 8 
VI. Desarrollo de contenidos por unidad .............................................................................. 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo diferencial 
Programa desarrollado 
 
 
 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 3 
I. Información general de la asignatura 
 
a. Ficha de identificación 
 
 
 
b. Descripción 
 
El cálculo diferencial es una rama de las matemáticas; en él se estudia la forma en la que 
cambian las funciones al cambiar las variables, siendo la derivada el objeto de estudio de esta 
asignatura. A través de ella descubriremos diversas aplicaciones en los problemas de 
optimización; por ejemplo, existen personas que deciden la manera en la que presentarán los 
envases de ciertos productos: lácteos, refrescos, jugos, etc. Pero los expertos eligen los 
materiales y la forma que tendrán con el fin de vender los productos a un costo razonable. ¿Te 
imaginas la forma en la que lo hacen? Pues, por medio de las aplicaciones de la derivada en los 
problemas de optimización en los que se determina el valor máximo o mínimo de una función 
para encontrar las dimensiones que éstos tendrán. 
 
La asignatura de cálculo diferencial se aborda en el cuatrimestre 2 de la licenciatura de 
matemáticas; al terminarla estarás preparado para aplicar las herramientas matemáticas en las 
diferentes áreas de trabajo o en las organizaciones con el fin de resolver las necesidades que 
éstas tengan. También estarás preparado para realizar investigaciones en forma individual o 
mediante la colaboración de otros investigadores, así como para construir modelos matemáticos 
que den respuesta a situaciones que surgen en la vida cotidiana. 
 
El contenido que trabajes en esta asignatura te servirá para aplicarlo en las demás, como cálculo 
integral, cálculo de múltiples variables, ecuaciones diferenciales I y II, variable compleja I y II, y 
ecuaciones diferenciales parciales. 
 
 
 
 
 
 
 
Nombre de la Licenciatura o 
Ingeniería: 
TSU y Licenciatura en Matemáticas 
Nombre del curso o 
asignatura 
Cálculo diferencial 
Clave de asignatura: 050910206 
Seriación: 
Cuatrimestre: 2 
Horas contempladas: 72 
 
 
 
Cálculo diferencial 
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c. Propósito 
 
En este curso aprenderás a representar por medio de una función una situación o situaciones 
que surjan en las empresas u organizaciones, comprenderás el concepto de límite y continuidad, 
los cuales son la base para llegar al concepto de derivada. Una vez que hayas comprendido el 
concepto de derivada, identificarás las fórmulas de derivación y las aplicarás para encontrar las 
derivadas a los ejercicios propuestos. Esta ejercitación te permitirá calcular los máximos y 
mínimos de una función para resolver problemas de optimización. Además, cuando domines las 
técnicas de derivación, podrás comprender con facilidad las asignaturas de cálculo integral y 
ecuaciones diferenciales; en esta última integrarás ambas asignaturas. 
 
II. Competencia(s) a desarrollar 
 
Competencia general 
 
Aplicar la derivada para resolver problemas de optimización a través de la ecuación que 
represente la situación o problema planteado. 
 
Competencias específicas 
 
• Distinguir la clasificación, características y operaciones de las funciones a través de 
analogías de la vida cotidiana para representarlas mediante una tabla, una gráfica o una 
ecuación. 
• Aplicar el procedimiento de límite y continuidad para determinarlos en una función por 
medio de la expresión general de la misma o de su representación gráfica. 
• Resolver problemas de física y optimización para determinar los valores máximos y 
mínimos por medio del criterio de la primera o segunda derivada. 
III. Temario 
 
1. Funciones 
1.1. Definición de función 
1.1.1. Prueba de la recta vertical 
1.1.2. Representación de una función 
1.1.3. Dominio y contradominio de una función 
1.2. Clasificación de funciones 
1.2.1. Funciones algebraicas (polinómicas, racionales y función valor absoluto) 
1.2.2. Funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente) 
1.2.3. Identidades trigonométricas 
1.2.4. Funciones trascendentes (exponencial, logarítmica e hiperbólica) 
 
 
 
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1.3. Características de las funciones 
1.3.1. Funciones crecientes y decrecientes 
1.3.2. Funciones pares e impares 
1.3.3. Funciones periódicas 
1.3.4. Función definida por secciones 
1.3.5. Funciones implícitas 
1.4. Operaciones entre funciones 
1.4.1. Operaciones básicas y composición de funciones 
1.4.2. Traslación de funciones 
 
2. Límites y continuidad 
2.1. Límites 
2.1.1. Concepto intuitivo de límite 
2.1.2. Cálculo de límites de forma gráfica y numérica 
2.1.3. Definición de límite 
2.1.4. Propiedades de los límites 
2.1.5. Límites especiales 
 
2.2. Continuidad y límites laterales 
2.2.1. Continuidad en un punto y en un intervalo abierto 
2.2.2. Definición de continuidad 
2.2.3. Límites laterales 
2.2.4. Teorema de la existencia del límite 
2.2.5. Definición de continuidad en un intervalo cerrado 
 
2.3. Límites infinitos 
2.3.1. Definición de límites infinitos 
2.3.2. Asíntotas verticales 
 
3. La derivada 
3.1. La derivada 
3.1.1. Importancia de la derivada 
3.1.2. Interpretación geométrica de la derivada 
3.1.3. Concepto de derivada 
 
3.2. Derivación de funciones algebraicas, polinomiales y racionales 
3.2.1. Derivación de funciones algebraicas 
3.2.2. Derivación de funciones polinomiales 
3.2.3. Derivación de funciones racionales 
 
3.3. Derivadas de orden superior 
3.3.1. Definición de derivadas de orden superior 
 
 
 
 
 
 
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3.4. Derivación de funciones trascendentes 
3.4.1. Derivación de funciones trigonométricas 
3.4.2. Derivación de funciones compuestas (regla de la cadena) 
3.4.3. Derivación de funciones logarítmicas 
3.4.4. Derivación de funciones exponenciales 
 
3.5. Derivación de funciones implícitas 
3.5.1. Derivación de funciones implícitas 
 
4. Aplicaciones de la derivada 
4.1. Extremos en un intervalo 
4.1.1. Extremos de una función 
4.1.2. Teorema de los valores extremos 
4.1.3. Extremos relativos y números críticos 
4.1.4. Teorema de los extremos relativos que sóloocurren en los números críticos 
 
4.2. Teorema de Rolle y teorema del valor medio 
4.2.1. Teorema de Rolle 
4.2.2. Teorema del valor medio 
 
4.3. Funciones crecientes, decrecientes y prueba de la primera derivada 
4.3.1. Criterio de crecimiento y decrecimiento 
4.3.2. Criterio de la primera derivada para extremos relativos 
4.3.3. Aplicación del criterio de la primera derivada 
 
4.4. Concavidad y el criterio de la segunda derivada 
4.4.1. Definición de concavidad 
4.4.2. Criterio de concavidad 
4.4.3. Puntos de inflexión 
4.4.4. Criterio de la segunda derivada para extremos relativos 
4.4.5. Aplicación del criterio de la segunda derivada 
 
4.5. Diferentes aplicaciones de la derivada 
4.5.1. Aplicaciones físicas 
4.5.2. Problemas de optimización 
 
 
 
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IV. Metodología de trabajo 
 
Al inicio de cada unidad encontrarás las aportaciones prácticas de los conceptos de función, 
límite y derivada, así como el uso y la importancia que tienen en la vida cotidiana. El contenido 
se trabaja formalmente; de esta manera, podrás comprender el significado de los conceptos y 
aplicar los procedimientos en la comunidad extraescolar. 
 
La forma de trabajo para esta asignatura es con actividades formativas que pueden ser una 
cadena de secuencias, una rueda de atributos, un formulario o debates en el foro; además, 
podrás subir tus trabajos en el portafolio de evidencias. La metodología con la que se desarrolla 
la asignatura es el aprendizaje basado en problemas, en donde los (las) estudiantes se enfrentan 
a un problema o situación que deben resolver y para ello tienen que trabajar juntos, ayudándose 
unos(as) a otros(as), a través de una variedad de instrumentos y recursos informativos. Esto, con 
el propósito de que aprendan a problematizar una situación crítica de su contexto con base en 
asignaturas de investigación previamente cursadas. 
V. Evaluación 
 
En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso 
participativo, sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el (la) estudiante 
ingresa al aula virtual, por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo. 
 
Por lo anterior, para aprobar la asignatura de Física, se espera la participación responsable y 
activa del (de la) estudiante, así como una comunicación estrecha con su Facilitador(a) para que 
pueda evaluar objetivamente su desempeño. Para lo cual es necesaria la recolección de 
evidencias que permitan apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, 
procedimentales y actitudinales. 
 
En este contexto, la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la 
retroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y 
reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, 
actividades y evidencias, así como la participación en foros, wikis, blogs y demás actividades 
programadas en cada una de las unidades, dentro del tiempo especificado y conforme a las 
indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con la escala establecida para cada 
actividad, por lo que es importante que el (la) estudiante la revise antes realizar la actividad 
correspondiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A continuación presentamos el esquema general de evaluación. 
 
RECURSOS Y HERRAMIENTAS VALOR 
Actividades formativas (Envíos a taller y tareas). 20% 
Interacción en el aula y trabajo colaborativo 
(foro, blog, wiki, base de datos). 
20% 
Autoevaluaciones de unidad. 20% 
E-Portafolio. Evidencias de aprendizaje. 40% 
 
Cabe señalar que, para aprobar la asignatura, se debe obtener la calificación mínima indicada 
por la ESAD. 
VI. Material de apoyo 
 
Bibliografía básica: 
 
Granville, W. A. (2004). Cálculo diferencial e integral. México: Limusa-Noriega editores. 
Larson, R. E., et al. (2006). Cálculo 1 (octava edición). España: McGraw-Hill. 
Leithold, L. (1992). El cálculo con geometría analítica. México: Harla. 
Spivak, M. (1994). Calculus. Cálculo infinitesimal (segunda edición). España: Editorial Reverté. 
 
Bibliografía complementaria: 
 
Introducción al cálculo diferencial (tutorial) en: 
<http://www.matematicasbachiller.com/temario/calcudif/index.html> 
 
Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales. Consultado en: 
<http://www.sectormatematica.cl/librosmat/mat_cs_sociales.pdf>. Contiene problemas de 
optimización. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.matematicasbachiller.com/temario/calcudif/index.html�
http://www.sectormatematica.cl/librosmat/mat_cs_sociales.pdf�
 
 
 
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VI. Desarrollo de contenidos por unidad 
Unidad 1. Funciones 
 
Propósitos de la unidad 
 
En esta unidad: 
 
• Diferenciarás cuando una ecuación es función o no; esto lo podrás hacer por medio de la 
tabla de valores, la gráfica, el procedimiento algebraico o la prueba de la recta vertical. 
• Identificarás las funciones algebraicas, trigonométricas y trascendentes. 
• Representarás por medio de una función una situación de la vida cotidiana. 
• Realizarás operaciones entre funciones para hacer su representación gráfica o determinar el 
resultado de la composición entre funciones. 
 
Competencia específica 
 
Distinguir la clasificación, características y operaciones de las funciones a través de analogías de 
la vida cotidiana para representarlas mediante una tabla, una gráfica o una ecuación. 
 
Presentación de la unidad 
 
En esta unidad conocerás el concepto de función, la representación algebraica, analítica y 
geométrica de la misma. Por medio de la representación gráfica identificarás si una ecuación es 
función o no. Una vez que identifiques esto, diferenciarás entre función polinómica, racional y 
función valor absoluto. Además, identificarás las características de las funciones; es decir, si una 
función es creciente, decreciente, par, impar, periódica, etc. Al final de la unidad investigarás las 
aplicaciones de las funciones en la vida cotidiana, clasificarás las funciones en algebraicas, 
trigonométricas y trascendentes, las representarás en el plano cartesiano y derminarás sus 
características. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1. Definición de función 
 
El concepto de función lo utilizamos día con día en nuestra vida cotidiana; sin embargo, no 
estamos conscientes de ello. ¿Recuerdas algún ejemplo de función? ¿Puedes creer que una 
persona que atiende un puesto de jitomates le asigne diferentes valores a una variable para 
determinar la cantidad que va a cobrar? Por ejemplo, si deseamos comprar ½ kilo de jitomates, 2 
kilos, 3 kilos, 5 kilos, etc., dicha situación se puede representar con una función. ¿Cuál sería esa 
función? Por supuesto que es una función muy sencilla, pero advierte que ahí están las 
matemáticas y que alguien las está aplicando sin conocer términos específicos, como par 
ordenado, dominio y contradominio. 
 
Tal vez te estés preguntando ¿qué papel juegan éstos en la venta de jitomates? Para contestar 
esta pregunta, primero debemos conocer la definición de función y, posteriormente, 
determinaremos los pares ordenados, el dominio y el contradominio en la venta de jitomates. 
 
Una función es un conjunto de pares ordenados (x, y) donde no hay dos pares ordenados 
distintos que tengan el mismo primer elemento; es decir, si f es una función,el par ordenado (a, 
b) pertenece a la función y si (a, c) es otro elemento de la función, entonces b = c; de lo contrario, 
f no sería una función. 
 
En pocas palabras, el primer elemento de un par ordenado no puede formar parte de otro. Si 
esto llega a ocurrir, el conjunto de pares ordenados no forma una función. 
 
1.1.1. Prueba de la recta vertical 
 
La prueba de la recta vertical nos ayuda a determinar si una 
ecuación es una función tan sólo con observar su gráfica. 
 
Si todas las rectas verticales posibles cruzan la gráfica una sola 
vez o nunca, entonces la gráfica es una función. Si una sola recta 
vertical cruza la gráfica más de una vez, la gráfica no es una 
función. Por ejemplo, la ecuación de una circunferencia con radio 2 
no es una función, ya que, para cualquier valor de x, tenemos dos 
valores de y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1.2. Representación de una función 
 
Existen funciones que pueden representarse fácilmente mediante una fórmula; sin embargo, no 
se puede hacer lo mismo para todas las funciones. Para encontrar la fórmula adecuada, 
utilizaremos datos y procedimientos que nos permitan hacerlo. También podemos representar 
una función de manera gráfica mediante la tabulación de algunos de sus datos, o bien, mediante 
una ecuación. Estas tres formas de representación están ligadas entre sí, ya que, gracias a una 
de ellas, podemos encontrar las otras dos. 
 
Ejemplos de representaciones de funciones: 
 
Vamos a representar por medio de una función cada una de las siguientes situaciones de la vida 
cotidiana. 
 
1. La venta de jitomates por kilo se puede representar por la ecuación: c = np, donde n es el 
número de kilos; c, el costo de los kilos vendidos, y p, el precio de un kilo (donde p es fijo). 
En este ejemplo, a medida que aumente la cantidad de kilos comprados, aumentará el costo de 
lo que se compra; de esta manera, la ecuación cumple con la condición de función y la podemos 
representar como , que se lee: “la función f en términos de n es igual a np”. 
 
2. El recorrido de un automóvil en una autopista a velocidad constante se puede representar por 
la ecuación: d = vt, donde d es la distancia recorrida; v, la velocidad, y t, el tiempo. 
En esta función, la distancia que recorre el automóvil se incrementará conforme pase el tiempo. 
Debido a esto, nunca sucederá que en dos tiempos distintos recorra la misma cantidad de 
kilómetros mientras continúe su recorrido, lo cual hace que cumpla la condición de los pares 
ordenados, por lo tanto, es una función y la podemos escribir como . 
 
3. La cantidad monetaria generada en un pesero en una vuelta se puede representar por la 
ecuación: , donde g representa la cantidad monetaria; x, el número de pasajeros, y d, el 
costo de un pasaje (siendo d fija). 
En este ejemplo, al comparar dos cantidades monetarias distintas, se puede observar que la 
cantidad de pasajeros que interviene en cada una de ellas es distinta, por lo cual es también una 
función que se representaría como . 
 
A partir del primer ejemplo, realizaremos la tabla de valores y su respectiva gráfica. 
1. En la venta de jitomates, supongamos que el precio de cada kilo es de $15.00, de esta 
manera podemos completar la siguiente tabla. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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n (número de kilos de 
jitomates) 
1 2 3 4 5 6 7 
c ($) 15 30 45 60 75 90 105 
 
a) Primero trazamos el plano cartesiano y ubicamos los puntos de la tabla; por último, unimos 
los puntos y obtenemos la representación gráfica tal como se muestra en la siguiente figura: 
 
 
 
 
 
Ejercicio: 
 
1. Completa la tabla de valores para el recorrido del automóvil si la velocidad es de 30 km/h. 
 
t (horas) 1 2 3 4 5 6 7 8 
d (km) 
 
a) Obtén los valores correspondientes en la fila de la distancia, utiliza la fórmula d = vt; si 
sustituyes el valor de la velocidad, tenemos que d = 30t. 
b) Una vez que hayas obtenido los valores, grafica los puntos obtenidos y únelos. La gráfica que 
realices es la representación de la función que se utilizó para el cálculo de la distancia. 
 
2. Tabula la ecuación , con , asignándole a y los valores: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. 
Una vez que hayas realizado la tabulación, grafica los puntos obtenidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Actividad formativa 
 
1. Elabora una cadena de secuencias para 
trazar una gráfica en el plano cartesiano en 
donde representes cada una de las siguientes 
situaciones: 
 
a) Una tortillería permanece abierta de 9:00 
a.m. a 5:00 p.m.; cada hora se venden 30 kilos 
de tortillas. 
 
b) El 2 de agosto de 2010 el dólar a la compra estaba en $12.587; si el cajero de un banco desea 
elaborar una tabla por cada cinco dólares que compra. 
 
3. En equipos de tres personas, investiguen situaciones de la vida cotidiana que puedan ser 
representadas por medio de funciones; expresen la función que permita modelar dicha 
situación. Traten de conseguir ejemplos en los que las empresas u organizaciones se puedan 
apoyar con el modelo de una función. Por ejemplo, si la dueña de una papelería le aumenta el 
50% al precio que le costó cada producto, con una función como , puede obtener 
los precios de cualquier producto. Además, se puede dar cuenta fácilmente de la cantidad que 
gana al final del día. Si vendió $3000 los puede obtener como $3000 = p + 0.5 (p), donde p = 
$1000 y es la ganancia que obtuvo al final del día. 
 
Por último, presenten a los demás equipos los ejemplos y discútanlos en el foro. 
 
1.1.3. Dominio y contradominio de una función 
El dominio de una función está formado por el conjunto de todos los valores posibles de x y el 
contradominio o imagen de la función está formado por todos los valores posibles de y. 
 
En los siguientes ejemplos determinaremos el dominio y contradominio de una función. Primero 
debemos tomar en cuenta que una función f puede representarse de las siguientes maneras: 
 
 o o o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo: 
 
¿Te acuerdas del primer ejemplo de la venta de jitomates? Determinemos el dominio y el 
contradominio. Recuerda que el precio de cada kilo es de $15.00 y la función es c = np. Observa 
la tabla de valores. 
 
 
 
El dominio de la venta de jitomates son todos los kilos que se venden a $15; si el precio cambia, 
tendríamos otra tabla y la gráfica sería diferente. Supongamos que se venden 100 kilos a $15, el 
dominio es: 
 
Dominio: {1, 2, 3, 4, 5, 6,…, 100} 
 
El contradominio de la venta de jitomates sería la cantidad que se cobra por cada kilo. 
Suponiendo que fueron 100, sería: 
 
Contradominio: {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105,..., 1500} 
 
Ejercicio: 
 
Nota: se debe enviar a la sección de tareas 
 
1. Escribe una función que represente las siguientes situaciones: 
 
a) El número de kilos de tortilla que se obtiene de varias bolas de masa, si se sabe que de cada 
bola se obtienen 15 kilos de tortilla. 
 
b) La cantidad de horas trabajadas por un obrero en una semana, si diariamente trabaja 8 horas 
y descansa los domingos. 
 
c) El número de tabiques usados por un albañil queconstruye un muro en 9 días, si diariamente 
coloca un total de 250 tabiques. 
 
2. Establece cuáles de los siguientes enunciados representan una función y cuáles no. 
a) La cantidad de árboles en una ciudad. 
b) El número de postes de luz colocados en diferentes colonias. 
c) La cantidad de agua depositada en un tanque a través de una tubería que libera 200 litros 
en un día. 
 
 
 
n (número de kilos de 
jitomates) 
1 2 3 4 5 6 7 
c ($) 15 30 45 60 75 90 105 
 
 
 
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1.2. Clasificación de funciones 
En este tema conocerás los diferentes tipos de funciones de acuerdo con las características de 
cada una de ellas. 
 
 
1.2.1. Funciones algebraicas (polinómicas, racionales y 
función valor absoluto) 
 
Una función algebraica está formada por un número finito de operaciones algebraicas, como son 
la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Un ejemplo de función 
algebraica son las funciones polinómicas. 
 
Las funciones polinómicas se forman por la suma y resta de polinomios de la variable 
independiente (a la que se le asignan valores). Son de la forma: 
 
, donde los son constantes. Un ejemplo 
de esta función es . 
El grado de la función polinómica es 3. 
 
 
Las funciones racionales se expresan por el cociente de dos funciones polinómicas, siempre y 
cuando el dominio de la función que queda como denominador sea distinto de cero. Por ejemplo: 
 
 
 
 
La función valor absoluto se representa por ; esta función traslada los valores 
negativos de la imagen de una función a valores positivos de la misma. 
 
Ejercicio: 
 
A partir de la ecuación de la función y de su representación gráfica, identifica cuáles son 
funciones y cuáles no. Escribe qué tipo de función es cada una de las que hayas encontrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a) Sí es función 
b) No es función 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Sí es función 
b) No es función 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Sí es función 
b) No es función 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a) Sí es función 
b) No es función 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2.2. Funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) 
 
Observa el siguiente video: 
 
Guión para el video 
 
1. En la primera pantalla del video, debe mostrarse un triángulo rectángulo como el que se 
presenta a continuación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. En la segunda pantalla, se debe mostrar lo siguiente y escuchar el siguiente diálogo. 
 
 
 
Diálogo: Para definir las funciones trigonométricas, sólo necesitas recordar la primera, tercera y 
sexta función, ya que las otras son su complemento. 
 
 
 
 
 
 
 
2. En la tercera pantalla se debe mostrar lo siguiente y escuchar el siguiente diálogo. 
Diálogo: Si alguna vez te has tomado una coca y al final dices: “hip, hip”, entonces te acordarás 
de la definición de las funciones trigonométricas. Nos referiremos al cateto opuesto como co, al 
cateto adyacente como ca y a la hipotenusa como hip. 
 
Y escribimos de arriba hacia abajo en la parte superior de la división: 
 
co 
ca 
co 
ca 
hip = h 
hip = h 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Por último, los escribimos de abajo hacia arriba en la parte inferior del signo de la división: 
co 
ca 
co 
ca 
hip = h 
hip = h 
 
y llegamos a la definición de las seis funciones trigonométricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Advierte que la primera y la última son funciones inversas, así como la segunda y la quinta y la 
tercera y la cuarta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicios: 
 
1. Evalúa las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente en el ángulo θ, cuando: 
 
 
 
 
 
3. Para cada una de ellas, traza la gráfica correspondiente en el plano cartesiano. 
 
 
1.2.3. Identidades trigonométricas 
Existen muchas identidades trigonométricas que se presentan en varios textos de cálculo y 
geometría analítica; algunas provienen de manera directa de la definición de las funciones 
trigonométricas. Una identidad trigonométrica es una ecuación en la cual ambos miembros son 
iguales. 
 
A continuación, se presentan algunas de las identidades trigonométricas más comunes en la 
mayoría de las áreas de las matemáticas. 
 
Identidades trigonométricas fundamentales 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
Suma o diferencia de dos ángulos 
 
e) 
f) 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fórmulas del ángulo doble y del ángulo mitad 
 
a) 
b) 
c) 
e) 
 
Ejemplo: 
 
Demuestra que 
Sabemos que 
Tenemos 
 
 
Actividad formativa 
Esta actividad la van a hacer en el wiki 
 
Investiga lo siguiente: 
 
Elabora un formulario en el que escribas las fórmulas trigonométricas que se te piden a 
continuación y un ejemplo de cómo se aplican. 
a) Las fórmulas de las identidades trigonométricas fundamentales. 
b) Las fórmulas del ángulo mitad y doble. 
 
 
1.2.4. Funciones trascendentes (exponencial, logarítmica e 
hiperbólica) 
 
Las funciones trascendentes son aquellas que no pueden expresarse mediante un número finito 
de sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces. Algunas de las funciones trascendentes 
son las funciones logarítmicas, exponenciales e hiperbólicas. 
 
Sea y y sea , la función logarítmica de base (denotada por ) y se 
define como: 
 
Suponiendo que existe con y , entonces, en la ecuación 
 
 
 
 
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Con , podemos despejar a la x para determinarla de manera única por: 
 
y se lee como: “x es igual al logaritmo en base a de n”. Además, tenemos las siguientes 
propiedades de los logaritmos: 
• 
• 
• 
• 
• 
 
Sea y sea , entonces, se define a la función exponencial con base a como 
 
 
La función seno hiperbólico está definida por: 
 
La función coseno hiperbólico está definida por: 
 
 
1.3. Características de las funciones 
 
Para conocer las características de las funciones, es necesario definir las funciones crecientes, 
decrecientes, pares e impares, funciones periódicas, etc. 
 
 
1.3.1. Funciones crecientes y decrecientes 
Una función f es creciente en un intervalo si para cualquier par de números , del 
intervalo implica . 
Una función f es decreciente en un intervalo si para cualquier par de números , del 
intervalo implica . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo: 
 
Sea la función f(x), encuentra un intervalo en el cual la función es creciente y uno en el cual es 
decreciente. 
 
Para dar respuesta a este ejemplo, necesitamos graficar la función; la gráfica de f(x) es la 
siguiente: 
 
 
 
En la figura podemos observar que la gráfica viene bajando desde la izquierda hasta llegar a 1, y 
a partir de ahí comienza a subir. Podemos decir que la gráfica es decreciente en el intervalo 
 y creciente en el intervalo ; esto es, si tomamos un par de puntos: punto y 
en el intervalo con entonces se cumple que . Por otra parte, si 
tomamos los puntos de tal forma que en el intervalo , entonces, se verificará que 
. 
 
 
1.3.2. Funciones pares e impares 
La función es par si 
 
La función es impar si 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo: 
Determina en qué intervalos la función es creciente o decreciente y si es par o impar. 
 
 
Solución: 
 
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, lo primero que debemos hacer es 
graficar la función (ver figura 1). 
 
Si nos desplazamos de izquierda a derecha en el eje x, podemos observar que la función sube, 
es decir, va hacia arriba. Es creciente en los intervalos en ningún momento la función 
decrece. 
La función es impar, ya que . 
 
Ejercicio: 
 
Determina en qué intervalos las siguientes funciones son crecientes y decrecientes, si son pares 
o impares. 
a) 
 
b) 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
Este ejercicio lo debes enviar a la sección de tareas. 
 
 
 
 
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1.3.3. Funciones periódicas 
Una función f es periódica, si existe un número diferente de cero, el cual lo denotaremos con p 
para representar el periodo, tal que para todo x en el dominio de f. El menor de 
tales valores positivos de p (si existe) se llama el periodo de f. Las funciones trigonométricas: 
seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo 2π, y las funciones tangente y cotangente 
tienen periodo π. 
 
Ejercicio: 
 
En las siguientes gráficas arrastra el mouse para señalar de dónde a dónde va el periodo en 
cada una de ellas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = sec x 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.4. Función definida por secciones 
 
Estas funciones están formadas por una combinación de funciones diferentes; por ejemplo, una 
parábola con una línea recta y una función senoidal. 
Ejemplo: 
Sea 
 
Es una función compuesta por tres secciones diferentes, de izquierda a derecha; la primera es 
, la segunda es 5 y la tercera es 
 
En las unidades 2 y 3 utilizaremos las funciones definidas por secciones. 
 
Actividad formativa 
 
1. Investiga el significado de función definida por secciones, muestra tres ejemplos y elabora una 
cadena de secuencias para trazar la gráfica de este tipo de función. 
2. Envía tu trabajo a la sección de tareas. 
 
 
1.3.5. Funciones implícitas 
Hasta este momento, la mayor parte de las funciones que hemos trabajado ha sido expresada en 
forma explícita; por ejemplo, en la ecuación , la variable y está escrita 
explícitamente como función de x. Sin embargo, podemos encontrar funciones como , 
que está definida implícitamente por la ecuación . En pocas palabras, cuando no se 
encuentre despejada la variable y, estamos hablando de una función implícita. 
 
Ejercicio: 
 
1. De cada una de las siguientes funciones, relaciona su forma implícita con su explícita. 
 
Forma implícita Forma explícita 
 
 
 
 
 
 
 
Si 
Si 
 
 
 
 
 
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1.4. Operaciones entre funciones 
Ya sabemos que podemos realizar cuatro operaciones básicas con los números reales: sumar, 
restar, multiplicar y dividir; de la misma manera, podemos hacer esto con las funciones. 
 
 
1.4.1. Operaciones básicas y composición de funciones 
Sea la función y . A partir de estas dos funciones podemos obtener la 
suma, diferencia, producto y cociente de las siguientes funciones. 
 
 
 
 
Sean f y g dos funciones. La función dada por se llama función compuesta de 
f con g. El dominio de f ° g es el conjunto de todos los x del dominio de g tales que 
pertenece al dominio de f. 
 
Ejemplo: 
 
Sea y , encontrar: 
a) 
b) 
 
Solución: 
 
a) , escribimos el lado derecho de la función , pero en 
lugar de que esté evaluada en x está evaluada en 
 sustituimos 
 
 
b) , escribimos la función , pero no la evaluamos en x sino 
en 
 = 
 
 
 
 
 
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1.4.2. Traslación de funciones 
Imagina que tienes una función cualquiera: , , , , 
, , y . 
Supongamos que tenemos a f(x) = x, ¿cómo le harías para desplazarla una 
unidad hacia arriba, pero sin afectar el valor de la pendiente? ¿Qué 
tendrías que hacer para desplazarla dos unidades hacia la derecha? ¿Y 
cinco unidades a la izquierda? Recuerda que podemos sumar, restar, 
multiplicar y dividir funciones. En este tema de traslación trabajaremos con 
la suma de funciones, que nos va a servir para desplazar una unidad hacia 
arriba a la función . 
 
Lo primero que debemos hacer es sumar la función y la función constante , y 
obtenemos . En las siguientes tablas de valores, puedes observar los datos para la 
función f y para . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la gráfica de , la recta pasa por el origen, y, en la función , en lugar de pasar 
por el 0 corta al eje y en el 1 (ver gráfica). Ahora estás en posición de poder responder las 
preguntas hechas anteriormente: ¿Qué tendrías que hacer para desplazarla dos unidades hacia 
la derecha? ¿Y cinco unidades a la izquierda? 
 
En la gráfica de la derecha puedes observar las transformaciones que tuvo la función al 
sumarle y restarle una unidad y al multiplicar por -1. 
 
 
 
 
f(x) = x 
 
x y 
-3 -2 
-2 -1 
-1 0 
0 1 
1 2 
2 3 
3 4 
 
x y 
-3 -3 
-2 -2 
-1 -1 
0 0 
1 1 
2 2 
3 3 
Para obtener 
la tabla de la 
derecha, le 
sumamos 
una unidad a 
cada uno de 
los valores de 
y. 
 
 
 
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Gráfica original: 
Traslación horizontal de c unidades a la derecha: 
 
Traslación horizontal de c unidades a la izquierda: 
Traslación vertical de c unidades hacia abajo: 
 
Traslación vertical de c unidades hacia arriba: 
Reflexión (respecto al eje x): 
 
Reflexión (respecto al eje y): 
 
Reflexión (respecto al origen): 
 
Evidencia de aprendizaje: Funciones 
Investiga las aplicaciones de las funciones en la vida cotidiana; por ejemplo, para asignar el 
precio a un producto a partir de la materia prima que se utilizó para fabricarlo. El trabajo debe 
cubrir los siguientes puntos: 
 
a) Clasificar las funciones que se presentan en la vida cotidiana en: algebraicas,trigonométricas y trascendentes mediante una expresión funcional. 
 
b) Las gráficas de los diferentes tipos de funciones. 
 
c) Las características de las funciones, donde se incluya el dominio y el contradominio de 
cada tipo de función. 
 
d) Las operaciones entre funciones; la función que represente una situación de la vida 
cotidiana y los diferentes tipos de funciones por las que está formada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Consideraciones específicas de la unidad 
 
Esta unidad te servirá como base para que amplíes tus conocimientos en situaciones que sean 
de tu interés. Te apoyarás en el material en versión electrónica: Aplicaciones de las funciones 
matemáticas en la vida real y otras áreas, el cual puedes descargar en la página: 
 
<http://www.csicsif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_23/SERGIO_BALLEST
ER_SAMPEDRO01.pdf> 
 
Este material lo pueden utilizar para realizar sus trabajos de investigación, en los que deben 
compartir y dar a conocer sus resultados a los demás integrantes del grupo. 
 
 
Fuentes de consulta 
 
Bibliográficas: 
 
Larson, R. E., et al. (1999). Cálculo (sexta edición). España: McGraw-Hill. 
Leithold, L. (1987). El cálculo con geometría analítica. México: Harla. 
Spivak, M. (1992). Calculus. Cálculo infinitesimal (segunda edición). España: Editorial Reverté. 
 
Electrónicas: 
 
http://www.keypress.com/documents/da2/CondensedLessonPlansSpanish/DA_CLPS_07.pdf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidad 2. Límites y continuidad 
 
Propósitos de la unidad 
 
En esta unidad: 
• Identificarás el concepto de límite, de forma gráfica y numérica. 
• Aplicarás las propiedades de los límites para calcular los límites de las funciones dadas. 
• Aplicarás el concepto de continuidad en situaciones de la vida cotidiana. 
 
Competencia específica 
 
Aplicar el procedimiento de límite y continuidad para determinarlos en una función por medio de 
la expresión general de la misma o de su representación gráfica. 
 
Presentación de la unidad 
 
Los conceptos de límite y continuidad son la base para iniciar el estudio de la derivada; de 
hecho, la derivada es un límite. En esta unidad, iniciaremos con la definición e interpretación 
intuitiva de límite y nos apoyaremos en la gráfica para mostrar lo que sucede con el límite de una 
función. La definición de límite nos ayudará a comprender el concepto de continuidad y este nos 
permitirá identificar qué situaciones de la vida cotidiana se pueden representar por medio de una 
función continua. Una vez que hayas comprendido estos conceptos, estarás preparado para 
iniciar la unidad 3. 
 
2.1. Límites 
 
En todo curso de cálculo diferencial se aborda el concepto de límite, esto se debe a que el objeto 
de estudio del cálculo es la derivada y su definición está basada en dicho concepto. El límite, se 
aborda en otras áreas de las ciencias como son cálculo integral, vectorial, en variedades, 
ecuaciones diferenciales, análisis matemático, topología, etc., esto con respecto a las áreas de 
matemáticas. También se utiliza para deducir las fórmulas de la física y de la química, siempre lo 
encontrarás en los libros que utilices como referencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.1.1. Concepto intuitivo de límite 
 
Cuando hablamos de límites, nos referimos al entorno de una 
función en un punto determinado. Por ejemplo, si deseamos calcular 
el límite de la función en el punto x1, tenemos que analizar 
los puntos que hay a su alrededor, tanto del lado izquierdo como del 
derecho del eje de las equis. Pero, por cada punto que tomemos en 
el eje de las equis, tenemos que analizar lo que sucede con la 
imagen del mismo. Conforme nos acercamos al punto x1 por el lado 
izquierdo, debemos analizar hacia dónde se acercan las imágenes; 
lo mismo debemos hacer por el lado derecho (ver figura). Esta situación la vamos a representar y 
comprender con el siguiente ejemplo. 
 
Ejemplo: 
 
Determina el límite de la función cuando x 
tiende a 1. 
Solución: 
La gráfica de la función se muestra en la figura. Si evaluamos la 
función en 
 , tenemos: 
 
 
Esto nos indica que la función en no está definida. Cuando deseamos determinar un límite, 
no nos interesa encontrar cuánto vale la función en ese punto, sino lo que sucede en su entorno. 
En este caso, lo que sucede cuando nos vamos acercando al 1 del lado izquierdo del eje de las 
equis y del lado derecho, tal como se ilustra en la gráfica. Para acercarnos tanto del lado 
izquierdo como del derecho, le asignaremos diferentes valores a x de tal manera que se acerque 
al punto 1 y observaremos el comportamiento que tienen las y a medida que nos vamos 
acercando al punto en el que no está definido , en este caso es . 
 
En este ejemplo, conforme x se aproxima al 1 tanto por la izquierda como por la derecha, el 
límite de cuando x tiende a 1 es 0. En el siguiente ejemplo se mostrará una situación 
similar al calcular los límites de forma gráfica y numérica. 
 
 
 
 
 
 
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2.1.2. Cálculo de límites de forma gráfica y numérica 
 
Consideremos la función f definida por la ecuación: 
 
 
En la figura se ilustra la gráfica de la función. 
Observemos que existe para cualquier x, excepto 
en , por lo que evaluaremos la función cuando x se 
aproxime a 2 por la izquierda y por la derecha. Observa la 
posición que tiene el 2 en el eje de las equis. 
 
Del lado izquierdo nos podemos acercar del 1 al 2, aumentando los valores. Del lado derecho 
nos podemos acercar del 3 al 2, disminuyendo los valores. Esto se muestra en las siguientes 
tablas. 
 
x 1 1.25 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 
 0 0.25 0.5 0.75 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 
 
x 3 2.75 2.5 2.25 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 
 2 0.75 1.5 1.25 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 
 
Notemos que en ambas tablas, conforme x se aproxima cada vez más a 2, se acerca cada 
vez más a 1; y cuanto más cerca esté x de 2, más cerca estará de 1. 
 
Como te podrás dar cuenta, la función no está definida en , pero el límite de la función 
cuando x tiende a 2 es 1. En el punto , la función no está definida (tiene un huequito); al 
calcular el límite, encontramos el valor que hay que rellenar para que la función sea continua. 
Este tema lo veremos más adelante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) 
f(x) 
 
 
 
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2.1.3. Definición de límite 
 
 
 
Decimos que la función tiende hacia el límite en , si para todo existe algún 
tal que, para todo , con , si , entonces . 
 
Para conocer la manera en que se utiliza este concepto, mostramos el siguiente ejemplo. 
 
 
Ejemplo: 
 
Si deseamos usar la definición anterior para mostrar que el , lo primero que 
debemos observar es qué sucede con la función en el punto . La función no está definida, 
ya que: 
 
 
De acuerdo con la definición de límite, la función tiende hacia el límite en , si para todo 
 existe algún tal que, para todo , con , si , entonces 
. 
 
Antes de probar que el límite de la función existe debemos sustituir todos los términos en esta 
definición: 
 
La función tiende hacia en 2, si para todo existe algún tal que, para todo , 
con , si , entonces:Trabajamos con esta última expresión: 
 
Factorizamos el numerador 
 
Reducimos términos 
 
 
 
 
 
 
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Por último, tenemos que esto nos indica que porque en la definición tenemos 
que y para que esto suceda delta debe ser igual a épsilon, es decir, . 
 
Entonces, para cada , podemos tomar , por lo tanto, la función tiende hacia en 
2; de esta manera se cumplen todas las condiciones que nos piden en la definición. 
 
Recuerda que no nos interesa lo que sucede exactamente en el punto , sino en su entorno, 
es decir, cuando nos acercamos al 2, por la izquierda y por la derecha. Por esta razón, en la 
definición de límite, tenemos si y esto se traduce en lo siguiente: 
 
Sabemos que 
Entonces tiene dos opciones: que sea mayor 
o menor que cero. Si es mayor que cero, tenemos que 
 pero si es menor que cero, sería ; 
al multiplicar por -1 la desigualdad se invierte: ; 
por lo tanto, . 
Esto lo puedes ver en la gráfica. En ella se observa el 
papel que juega y . Si te das cuenta, es lo mismo que 
hemos trabajado anteriormente. En este caso, nos 
acercamos al punto , tanto por la izquierda como por 
la derecha. 
 
Actividad formativa: 
 
De acuerdo con lo que viste anteriormente, define el concepto de límite y discútelo en el foro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = 2 
 
 
 
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2.1.4. Propiedades de los límites 
 
Para calcular el límite de una función en forma directa sin necesidad de recurrir a la tabla de 
valores o de aplicar la definición, necesitamos conocer algunas propiedades. Para calcular 
algunos límites básicos, en la tabla se muestran las siguientes propiedades. 
 
El límite de una constante cuando la variable 
tiende a c es la misma constante. 
El límite de una variable cuando la variable 
tiende a c es c. 
El límite de una variable elevada a la n potencia 
cuando la variable tiende a c es c elevada a la n 
potencia. 
 
Sean f, g y h funciones de una variable x y 
, y 
entonces, las siguientes relaciones son ciertas: 
El límite de una suma es la suma de los límites. 
 
El límite de una multiplicación es la 
multiplicación de los límites. 
 
El límite de una división es la división de los 
límites, siempre y cuando el denominador no 
sea cero. 
 
 
 
 
 
 
, si B no es cero. 
 
Ejercicio: 
 
1. Aplica las propiedades anteriores y calcula los límites de las siguientes funciones. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2. En equipos, investiguen las propiedades de los límites para el cálculo de las funciones 
trigonométricas. Elaboren un formulario y den un ejemplo para mostrar el procedimiento del 
cálculo de límites de funciones. 
 
 
 
 
 
 
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3. Den a conocer sus trabajos en el foro y comparen sus semejanzas y diferencias. 
 
 
2.1.5. Límites especiales 
 
Hasta este momento hemos trabajado límites de funciones en las que, si se indetermina el límite, 
buscamos una estrategia para calcularlo. Tal es el caso de la función cuando x tiende a 2; al 
evaluar la función en , ésta se indetermina. Sin embargo, determinamos de dos maneras el 
límite de la función: de forma gráfica y por medio de la definición formal. En el siguiente ejemplo, 
vamos a calcular unos límites que serán de mucha importancia en la unidad 3, pero no 
utilizaremos ninguna de las dos estrategias anteriores. 
 
Para calcular el límite de la siguiente función, nos apoyaremos en la figura: 
 
 
 
En la imagen tenemos una circunferencia de radio 1; 
cuando el radio es igual a 1, la longitud del arco 
coincide con la medida del ángulo en radianes. El seno 
y el coseno del ángulo son iguales a la ordenada y a la 
abscisa del extremo del arco. De esta manera se ha 
representado en la figura, así como el segmento de 
longitud igual a 
 
 
En la figura podemos observar que: 
 
 
 
Y dividiendo por : 
 
 
 
Sabemos que , por lo que: 
 
Cuando x tiende a 0, tenemos 
 
 
 
x = 2 
 
 
 
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Al aplicar las propiedades de los límites a la última desigualdad: 
 
 
 
De la expresión anterior tenemos que 
 
 
Esta última igualdad la vamos a utilizar para calcular el siguiente límite: 
 
 
Por lo tanto, 
 
Ahora vamos a calcular el siguiente límite: 
 
 
Si aplicamos las propiedades de los límites, tenemos 
 
 
Pero ; es necesario que evitemos esa indeterminación para poder calcular dicho 
límite. 
 
Multipliquemos la función por su recíproco: 
 recuerda que 
 recuerda que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Actividad formativa: 
 
1. Elabora una cadena de secuencias para el cálculo de los siguientes límites: 
a) 
b) 
 
c) Envía tu trabajo. 
 
 
2.2. Continuidad y límites laterales 
 
Antes de definir formalmente qué es una función continua y qué una discontinua, coloquialmente 
podemos imaginar una función discontinua como una calle con alcantarillas sin tapas, la 
discontinuidad en éstas se presenta precisamente en los huecos; una función continua la 
podemos imaginar como la misma calle con alcantarillas y con todas sus tapas puestas; la 
diferencia entre ambas es la falta de tapas en la primera, o bien, los huecos que hay en ella. 
 
Básicamente, la diferencia entre una función continua (ver figura 1) y una discontinua (ver figura 
2) es que la discontinua tiene huecos, ya sea por la falta de un solo punto o de todo un conjunto 
de ellos (segmento). 
 
 
 
 
 
 
En este tema vamos a utilizar el concepto de límite para determinar si una función es continua o 
discontinua. 
 
 
 
Figura 1 
Figura 2 
 
 
 
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2.2.1. Continuidad en un punto y en un intervalo abierto 
 
De manera intuitiva, podemos decir que una función es continua si la podemos trazar con un 
lápiz sin despegarlo del papel. 
 
Dicho de otra manera, una función es continua cuando no tiene huecos o saltos en ningún punto 
de su representación gráfica. 
 
Observa la gráfica 
y = raíz(x), la cual es continua, ya que no 
se observa ninguna ruptura. 
 
 
 
 
 
 
2.2.2. Definición de continuidad 
 
Una función es continua en un punto si se cumplen las siguientes condiciones: 
 
1. Está definida. 
2. existe. 
 
3. 
 
 
Ahora que sabemos cuándo una función es continua en un punto, podemos establecer que una 
función es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo. 
Cuando una función no es continua, entonces se dice que es discontinua. Para determinar si una 
función es continua o discontinua una de las condiciones que debe cumplir es que cuando el 
límite x tiende a a, es la función evaluada en ese punto, a diferencia de cuando determinábamos 
el límite de una función, en donde no era necesario que la función estuviera definida en el punto 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vamos a analizar algunas funciones y a determinar si son continuas o no. 
 
Ejemplos:1. Sea , encuentra si es continua o discontinua. 
 
 
 
Analizando la función, podemos darnos cuenta de que siempre que demos un valor a 
encontraremos un valor de excepto en un punto, en (observa la gráfica). Para 
encontrar la continuidad de en , vamos a analizar las tres condiciones de continuidad. 
 
1. debe estar definida en . 
 
 
Esto significa que en no está definida. Por lo tanto, es discontinua en . 
 
2. Sea la función definida de la siguiente manera: 
 
 
Esta función es la misma que la del ejemplo anterior, con la diferencia de que está definida en ; 
ahora verifiquemos si cumple con las tres condiciones de continuidad. 
 
1. debe estar definida en 
 
Dado que , de acuerdo con la condición que nos dieron al definir la gráfica, entonces 
sí está definida en . 
 
 
si 
si 
 
 
 
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2. El límite debe existir. 
 
 
 
Por lo tanto, el límite no existe y la función es discontinua en . 
 
3. Sea la función definida de la siguiente manera: 
 
 
Determinemos si es continua o discontinua. 
 
En todos sus puntos está definida, excepto quizás en el punto en el cual el denominador es . 
Verifiquemos en qué momento el denominador es . 
, esto ocurre únicamente cuando 
Analicemos si cumple las tres condiciones de continuidad en el punto 
 
1. debe estar definida en 1. 
2. 
, esto se debe a que así está definida la función. 
 
3. El límite debe existir. 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
si 
si 
 
 
 
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Por lo tanto: 
 
 
 
 
Lo cual implica que el límite sí existe y así cumple con la segunda condición de continuidad. 
 
5. La tercera condición que se debe cumplir es 
 
 
 
Ya vimos que: 
 
 
 
Además, 
 
 
 
Por lo que también cumple con la tercera condición de continuidad. Por lo tanto, se tiene que la 
función es continua en todo su dominio. 
 
Ejercicio: 
 
Para las siguientes funciones, establece si son continuas o discontinuas y menciona qué 
condición no satisfacen al ser discontinuas. 
1. 2. 3. 
 
4. 5. 6. 
Envía tu ejercicio a la sección de tareas. 
 
 
Actividad formativa: Esta actividad se trabajará en el wiki 
 
1. Define el concepto de continuidad. 
 
2. Investiga ejemplos de funciones continuas en situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, el 
crecimiento de una persona o de una planta, o bien, temas que sean de tu interés profesional. 
Elabora la tabla de valores, escribe la ecuación que representa dicha situación y verifica que se 
cumplan las tres condiciones de continuidad. 
Si 
Si 
 
 
 
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2.2.3. Límites laterales 
 
Los límites laterales son los que nos permiten conocer el valor al que tiende la función cuando 
nos acercamos a ella tanto por la izquierda como por la derecha del eje de las x (ver figura). 
 
 
En este caso, para determinar el límite de la función en el punto , nos acercaremos al 
punto por valores mayores que a, los cuales se encuentran a la derecha de a. También 
nos podemos acercar al punto por la izquierda, por medio de valores menores que a. Al 
primer límite se le conoce como límite lateral derecho y al segundo como límite lateral izquierdo; 
cuando estos límites son iguales, el límite de la función existe; de lo contrario, el límite no existe, 
tal como se muestra en la imagen. 
 
Existen dos tipos de límites laterales, los cuales se definen a continuación: 
 
1. Sea una función definida en , el límite de , cuando se aproxima a por la 
derecha es y se escribe: 
 
 
 
Esto ocurre si para todo existe un tal que 
 
Si entonces 
 
Otra forma de decir que se aproxima a por la derecha es que se acerca a por valores 
superiores a . 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Sea una función definida en , el límite de cuando se aproxima a por la 
izquierda es y se escribe: 
 
 
 
 
Esto ocurre si para todo existe un tal que: 
 
Si entonces 
 
Otra forma de decir que se aproxima a por la izquierda es que se acerca a por valores 
inferiores a . 
 
 
2.2.4. Teorema de la existencia del límite 
 
Los límites laterales se utilizan frecuentemente para demostrar si efectivamente el límite de una 
función existe o no; la importancia de su aplicación la brinda el siguiente teorema. 
 
Sea una función y sean a y números reales. 
El existe y es igual a si y sólo si el y existen y son 
iguales a . 
 
Ejemplos: 
 
1. Encuentra el de la función: 
 
 
 
 
Puesto que la función está formada por dos partes, vamos a calcular los límites laterales en 1. 
 
 
 
 
 
 
Si 
Si 
 
 
 
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Dado que esto hace que se cumplan las condiciones del teorema 
de la existencia del límite; por lo tanto: 
 
 
 
 
2. Encuentra el de la función. 
 
 
 
Vamos a resolver este ejemplo de manera similar al anterior. Primero, encontremos los límites 
laterales de la función en . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como los límites laterales son diferentes, es decir, , entonces: 
 
 
 
Ejercicios: 
 
Encuentra el en cada una de las siguientes funciones. 
 
 
1. 2. 
 
 
3. 4. 
 
si 
si 
si 
si 
si 
si 
si 
si 
si 
si 
 
 
 
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2.2.5. Definición de continuidad en un intervalo cerrado 
 
Diremos que una función es continua en un intervalo cerrado si es continua en el 
intervalo abierto y, además: 
 
 y 
 
 
De esta manera, podemos encontrar si una función es continua en un intervalo cerrado, 
simplemente descubriendo si es continua en el intervalo abierto y en los extremos. 
 
Ejercicios: 
 
Encuentra cuáles funciones son continuas y cuáles discontinuas en los intervalos dados. 
 
a) en el intervalo cerrado 
 
b) en el intervalo cerrado 
 
c) en el intervalo cerrado . 
 
d) en el intervalo abierto , en el punto y en el intervalo 
 cerrado . 
 
Comparte tus resultados en el foro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3. Límites infinitos 
Los límites infinitos se utilizan para hacer referencia al cálculo de límites de funciones en las 
cuales los valores pueden ser o bien demasiado grandes o demasiado pequeños, dependiendo 
de la forma en que se presente la función, ya sea creciente o decreciente; una vez que 
conocemos los límites, con ayuda de la gráfica de la función podemos inferir en qué momento 
tiene un límite infinito; así, por ejemplo, tenemos la gráfica de la función 
 
 
 
 
La función tiende hacia el infinito cuando x se acerca al 0, tanto por la derecha como por la 
izquierda. 
 
En la siguiente definición conoceremos las dos clases de límites infinitos.2.3.1. Definición de límites infinitos 
 
1. Sea una función definida en un intervalo abierto que contenga a , excepto posiblemente 
en , entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Si para todo número existe una tal que: 
 
Si entonces 
 
Es decir, crece sin límites cuando tiende a un número si se puede hacer tan 
grande como se quiera para todos los valores de suficientemente cercanos a , pero distintos 
de . 
 
Hay que tener claro que el límite anterior, al ser igual a ,, indica que el límite no existe. 
 
2. Sea una función definida en un intervalo abierto que contenga a , excepto posiblemente 
en , entonces: 
 
 
 
Si para cualquier número existe un tal que 
 
Si entonces 
 
Es decir, decrece sin límites cuando tiende a un número si se puede hacer tan 
pequeña como se quiera para todos los valores de suficientemente cercanos a , pero distintos 
de . 
 
A menudo los límites anteriores se encuentran en diversas funciones; algunos ejemplos son: 
 
 
Ejemplos: 
 
1. 
 
Para encontrar el valor de este límite vamos a utilizar los límites laterales en 0; esto es: 
 
 
 
 
y 
 
 
 
 
 
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si 
si 
 
En este caso, los límites tienden hacia direcciones diferentes. Al obtener en el primer límite, ya 
no sería necesario calcular el segundo, debido a que, directamente, podríamos decir que el límite 
no existe. 
 
 
2. Calcula el en la siguiente función. 
 
 
Queremos calcular el límite de en . Vamos a desarrollar el límite por partes; tenemos que 
el límite por la derecha es 
 
 
 
 
 
 
 
el límite por la izquierda es 
 
 
 
Pero el segundo miembro de la igualdad anterior decrece infinitamente a medida que se acerca 
a 2. Por lo tanto, podemos decir que: 
 
 
Dado que los límites laterales son distintos y que uno de ellos es igual a , podemos concluir 
que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3.2. Asíntotas verticales 
 
Si tiende a infinito positivo o negativo cuando tiende a por la derecha o por la izquierda, 
se dice que la recta es una asíntota vertical de la gráfica de . 
 
Para entender claramente lo que son las asíntotas verticales, vamos a analizar la gráfica de la 
siguiente función. 
 
Sea la función , encontrar su asíntota 
vertical. 
 
Podemos observar la gráfica de en la 
siguiente imagen. 
 
Como podemos apreciar, a medida que nos 
acercamos al 0 por la derecha, tiende al 
infinito positivo; esto quiere decir que 
seguirá creciendo mientras se siga acercando al 0, pero siempre sucede que ; es decir, 
que nunca tocará la línea . Por lo tanto, la recta es una asíntota vertical de la 
función . 
 
Generalmente las asíntotas se presentan en funciones cuya variable independiente se encuentra 
en el denominador, y será el valor que haga cero a dicho denominador, como en el ejemplo 
anterior, era el denominador, así que se hace cero cuando . Veamos otro ejemplo. 
 
 
Ejemplo: 
 
Sea la función , encuentra sus asíntotas. 
 
Lo primero que hacemos es trazar la gráfica de : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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En la gráfica podemos observar que si se acerca a 3 por la derecha, se dispara al infinito, 
y si se acerca a 3 por la izquierda , se dispara al infinito negativo; entonces, la recta 
 es una asíntota vertical de . 
 
Como podemos apreciar, esta función posee un denominador, el cual es ; este 
denominador se hace 0 cuando: 
 
 
 
 
 
Entonces, la recta es asíntota de , tal y como se dijo en la explicación de la función. 
 
 
Ejercicios: 
 
 
Establece si las siguientes funciones tienen o no asíntotas verticales y escribe cuáles son. 
1. 2. 3. 
4. 5. 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Evidencia de aprendizaje: Límites y continuidad 
Para concluir esta unidad y obtener un porcentaje de tu evaluación final, elabora una presentación 
en Power Point que incluya lo siguiente: 
 
• Presentación de la unidad en la que describas la importancia de los conceptos de límite y 
continuidad. 
• Definición de límite. 
• Un ejemplo para el cálculo de límites de forma numérica, gráfica y por medio de la definición 
formal. 
• Un ejemplo del cálculo de límites por medio de las propiedades de los límites (Tema 2.1.4.). 
• Definición de continuidad. 
• Ejemplos en los que apliques el procedimiento para determinar si una función es continua o 
discontinua de forma gráfica y por medio de la definición de continuidad. 
• Ejemplos en los que identifiques si la función es continua o discontinua a partir de la 
representación gráfica. 
• Un ejemplo en el que apliques el procedimiento para determinar si una función es continua o 
discontinua por medio de la definición de continuidad. 
• Un ejemplo en el que identifiques si la función es continua o discontinua a partir de la 
representación gráfica. 
 
Consideraciones específicas de la unidad 
Para comprender el concepto de límite te sugerimos ver el siguiente video: 
http://mediateca.educa.madrid.org/reproducir.php?id_video=eqedyod14z7ka5v9 
Para comprender el tema de límite por la derecha y por la izquierda, puedes observar las 
siguientes animaciones: <http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Limites/1_limites_basicos/1_2limite_derecha/index.htm> 
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Limites/1_limites_basicos/1_3limite_izquierda/index.htm 
 
Fuentes de consulta 
Bibliográficas: 
Granville, W. A. (2004). Cálculo diferencial e integral. México: Limusa-Noriega editores. 
Larson, R. E., et al. (2006). Cálculo 1 (octava edición). España: McGraw-Hill. 
Leithold, L. (1992). El cálculo con geometría analítica. México: Harla. 
Spivak, M. (1994). Calculus. Cálculo infinitesimal (segunda edición). España: Editorial Reverté. 
 
Electrónicas: 
http://www.educa.madrid.org/web/ies.avenidadelostor.madrid/matematicas/apuntes/ccnn/LimitesC
ontinuidad.pdf recuperado el 8 de agosto de 2010. 
 
 
 
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Unidad 3. La derivada 
 
Propósitos de la unidad 
 
En la presente unidad: 
• Comprenderás el concepto de derivada. 
• Aplicarás las fórmulas de derivación. 
• Reconocerás en qué situaciones de la vida cotidiana se utiliza la derivada. 
 
Competencia específica 
 
Resolver problemas de física y optimización para determinar los valores máximos y mínimos por 
medio del criterio de la primera o segunda derivada. 
 
Presentación de la unidad 
 
La derivada es uno de los conceptos más importantes del cálculo diferencial. Todos los días 
hacemos uso de ella, pero no lo percibimos. Por ejemplo, cuando aumentamos la velocidad del 
automóvil; al subirnos a una montaña rusa; al lanzarnos de un trampolín; al manejar una 
bicicleta, y al realizar una caminata, en estos eventos hay un cambio de velocidad. La derivada 
es la razón de ese cambio; es decir, cómo estaba antes y cómo está ahora. Para determinar 
estos cambios, tienes que conocer y dominar las técnicas de derivación para aplicarlosposteriormente. 
 
 
 
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3.1. La derivada 
3.1.1. Importancia de la derivada 
Antes de iniciar de manera formal el concepto de la derivada, 
veremos de forma intuitiva lo que significa. Imagina una 
montaña en cuya cima deseamos apoyar una tabla. ¿Qué 
pasaría con la tabla? La tabla se balancearía sobre el único 
punto que toca (observa la figura). Esto sólo sucede si 
consideramos que es una curva perfecta. Dependiendo del lugar en el que apoyemos la tabla en 
la montaña, se inclinará de diferentes maneras; esto es la derivada. La derivada nos permite 
determinar la inclinación de la tabla en cada uno de los puntos de la montaña sobre los que la 
apoyemos. 
 
 
 
 
Ahora, imagina que tienes una meseta y deseas apoyar la tabla en 
ella. En este caso, se apoyará sobre muchos puntos, es decir, 
sobre la superficie completa, tal como se muestra en la figura. 
 
 
La derivada en un punto está asociada a la pendiente de la recta tangente al gráfico de una 
función, en el punto que le corresponde a la imagen de determinado valor de x. 
 
 
 
 
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Recuerda las funciones que vimos en la unidad 1. En las siguientes imágenes se muestra la 
recta tangente a la función y = x² en los puntos (-1,1) y (1, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad formativa: 
 
Antes de continuar con el tema de la interpretación geométrica de la derivada, ve el video 
Pendiente e inclinación, que se encuentra en la página 
<http://www.acienciasgalilei.com/videos/derivadas.htm> e investiga más ejemplos de la vida 
cotidiana en los que se utiliza la derivada. Discútelos en el foro. 
 
 
3.1.2. Interpretación geométrica de la derivada 
En esta unidad aprenderás a encontrar la recta tangente a una curva 
dada; para ello, trabajaremos el problema de la recta tangente. En este 
problema se tiene una función f y un punto P de su gráfica y se pide hallar 
la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto P, como se ilustra 
en la siguiente figura. 
 
Sea P el punto de coordenadas , tomemos el punto de 
coordenadas y tracemos la recta que pasa por 
ambos puntos; la pendiente de dicha recta está dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Donde: 
 
 
 
Este resultado expresa un cociente de incrementos, donde representa un incremento en , y 
 representa un incremento en y (lo cual podemos representar como ). 
 
Podemos concluir que, si está definida en un intervalo abierto que contiene a y, además, el 
límite existe: 
 
entonces, la recta que pasa por con pendiente se llama recta tangente a la gráfica de 
 en el punto . 
 
 
Actividad formativa: 
 
Entra a la página <http://www.acienciasgalilei.com/videos/derivadas.htm> y ve el video Pendiente 
de una curva, a través del cual podrás comprender en qué consiste la interpretación geométrica 
de la derivada. Anota los aspectos que más te llamen la atención y discute tus puntos de vista en 
el foro. 
 
Ejercicios: 
 
1. Encuentra la pendiente de la gráfica en el punto . 
2. Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto . 
3. Encuentra la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto 
4. Encuentra la pendiente de la gráfica en el punto . 
5. Calcula las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica . 
 
3.1.3. Concepto de derivada 
 
La derivada de f en el punto está dada por: 
 
, siempre y cuando el límite exista. 
 
Decimos que una función es derivable o diferenciable en un punto si se puede obtener su 
derivada. 
 
 
 
http://www.acienciasgalilei.com/videos/derivadas.htm�
 
 
 
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Las diferentes notaciones para representar la derivada son , que se lee como prima de ; 
, que se lee como prima; , que se lee como la derivada de con respecto a la derivada de 
, y , que se lee como la derivada de con respecto a . 
 
Actividad formativa: 
 
Investiga qué es la derivada y elabora una rueda de atributos para el concepto de derivada. 
 
 
3.2. Derivación de funciones algebraicas, polinomiales y 
racionales 
3.2.1. Derivación de funciones algebraicas 
 
En la derivación de funciones algebraicas desarrollaremos las derivadas más sencillas; para ello, 
debemos utilizar la definición de la derivada. En este primer ejemplo, iniciaremos con una función 
lineal; posteriormente trabajaremos con las cuadráticas y las cúbicas. 
 
Ejemplos: 
 
1. Encontrar la derivada de la función 
Solución: 
Por la definición tenemos que 
 
Evaluamos la función en los puntos que nos indica la definición 
 
Finalmente, aplicamos las operaciones que ya conocemos para reducir la expresión resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Y, como vimos en la unidad anterior, el límite de una constante es la misma constante; por lo 
tanto, tenemos que: 
 
 
Esto quiere decir que la derivada de la función es . 
 
De acuerdo con lo que vimos en este ejemplo, ¿cuáles son las fórmulas de derivación de una 
función constante y de una lineal? 
 
Derivada de una constante 
Derivada de una función lineal 
 
Actividad formativa: 
 
Conserva estas primeras fórmulas de derivación para que elabores un formulario y lo subas al 
wiki, al final de la unidad. 
 
2. Halla la derivada de la función 
 
Solución: 
 
Para encontrar la derivada de esta función, se sigue el mismo procedimiento que para el ejemplo 
anterior. En este caso, como tenemos una función cuadrática, se utilizarán más operaciones 
básicas que en la función lineal anterior, lo cual hará más interesante su desarrollo. 
 
Por la definición de derivada tenemos que 
 
 
 
 
 evaluamos las funciones en los puntos que nos indica la 
definición. 
 
 
 al desarrollar el binomio al cuadrado y reducir términos 
semejantes. 
 
 
 
 
 
 
 
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Que el límite de una suma es la suma de los límites: 
 
 
 
 
 
 
Si aplicamos nuevamente las propiedades de los límites, tendremos que: 
 
 
 
Por lo tanto, la derivada de la función es 
 
¿Cuál es la fórmula para derivar una función cuadrática? 
 
 
Actividad formativa (imprimible) 
 
Utiliza la definición de derivada y calcula la derivada en cada una de las siguientes funciones. 
 
 
1. 2. 3. 
4. 5. 6. 
7. 8. 9. 
10. 11. 12. 
13. 14. 15. 
16. 17. 
 
a) ¿Qué puedes concluir de la derivada de ? 
 
Respuesta libre 
 
b) ¿Cuál es la fórmula general para obtener la derivada de ? 
 
Envía tus ejercicios al (a la) Facilitador(a). 
 
 
 
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3.2.2. Derivación de funciones polinomiales 
 
La derivación de este tipo de