Int-calculo-VEL INSTANTANEA (19-c1)

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Los cambios y la velocidad instantanea
CÁLCULO I
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOS COMENCHIGONES
Licenciatura en Ciencias de la Atmósfera y Meteorología Aplicada 
Título intermedio: Técnico Universitario en Meteorología
Profesora: Lic. Nelida Pérez
nldprz797@gmail.com
nperez@unlc.edu.ar
mailto:nldprz797@gmail.com
mailto:nperez@unlc.edu.ar
Velocidad media y velocidad instantánea
• Si la velocidad de los cambios es constante, con sólo utilizar el 
concepto de velocidad media se puede predecir la velocidad en 
cualquier intervalo o en un instante cualquiera.
En este caso, la velocidad media no es afectada por el cambio del tiempo. La razón 
entre el cambio de la distancia y el cambio del tiempo será siempre una constante, 
aún en el caso que la velocidad varíe a cada instante 
 
PR
OB
LE
M
A
¿Es posible calcular la velocidad exactamente en 
un instante?
• 
¿Cuál es la velocidad de la piedra exactamente en el segundo 3?.
¿Qué pasos podemos recorrer para acercarnos a la 
respuesta de la pregunta planteada?
▪ Hacer una tabla de valores de la función.
▪ Realizar la representación gráfica de la función.
▪ Calcular la velocidad media entre un instante próximo a t=3.
▪ Estimar el valor de la velocidad en t=3 a partir de la velocidad media 
entre t=2 y t=3 segundos. Representar la gráfica de esta velocidad 
media (pendiente de la secante).
▪ Discutir los valores obtenidos.
Veamos que podemos deducir si hacemos una tabla 
¿Cuál es la velocidad de la piedra exactamente en el segundo 3?.
Tabla y gráfica
t a(t)
0 320
1 315
2 300
3 275
4 240
5 195
6 140
7 75
8 0
 
¿Cuál es la velocidad media entre t=2 y t=3?
• 
 
¿Cuál es la pendiente de la recta AB?
¿Cómo será la representación gráfica de la velocidad instantánea en t=3? 
 
Velocidad instantanea
• 
Velocidades Medias, aproximaciones por la izquierda a t=3ti a(ti)
 Δt=3−ti
2 300,0000000 3 275 -25,0000000 1 -25
2,5 288,7500000 3 275 -13,7500000 0,5 -27,5
2,9 277,9500000 3 275 -2,9500000 0,1 -29,5
2,99 275,2995000 3 275 -0,2995000 0,01 -29,95
2,999 275,0299950 3 275 -0,0299950 0,001 -29,995
2,9999 275,0030000 3 275 -0,0030000 0,0001 -29,9995
Para confeccionar esta tabla se usó el programa “Excel”. Puede también usar una 
calculadora. 
Trabajar con más de 4 ó 5 decimales
Velocidades Medias, aproximaciones por la derecha a t=3ti a(ti) Δt=ti−3
3,00001 274,99970 0,0000 274,9994 -0,0003000 0,00001 -30,00015
3,0001 274,99700 -0,0001 274,9940 -0,0030001 0,00010 -30,0015
3,001 274,97000 -0,0010 274,9400 -0,0300150 0,00100 -30,015
3,01 274,69950 -0,0100 274,3980 -0,3015000 0,01000 -30,15
3,1 271,95000 -0,1000 268,8 -3,1500000 0,10000 -31,5
3,5 258,75000 -0,5000 240 -18,7500000 0,50000 -37,5
-25 -27,5 -29,5 -29,95 -29,99 -29,999   -30   -30,0002 -30,001 -30,01 -30,15 -31,5 -37,5
Acercamiento por la izquierda Acercamiento por la derecha
En la siguiente tabla se observan las dos sucesiones de velocidades medias.
 
notación
Velocidad instantanea en el momento t=3
▪ Cerca de t=3 las velocidades medias se comportan de manera que 
tanto por la derecha como por la izquierda, tienden a -30.
▪ Diremos entonces que -30 es el límite o tope del cual no pasan 
ambas aproximaciones.
reflexiones
• 
Tasa media de variacion y recta secante
• 
Algunas cuestiones que aparecieron al resolver el problema de la piedra
• El método de acercarnos por izquierda y derecha involucra procesos diferentes a 
los usados en matemática elemental. Aparece el concepto de infinito, en este 
caso como infinitamente pequeño (no cero).
• Vimos que es imposible calcular la velocidad instantánea usando la noción de 
velocidad media, porque conduce a una indeterminación. 
• Las exploraciones que realizamos, (ver las tablas) nos permitieron concluir que 
cuando los cambios de tiempo se van haciendo cada vez más pequeños, la 
velocidad de la piedra es de -30m/seg (-30 nos dice que cae, signo negativo).
¿Cómo podemos expresar la velocidad instantánea en un momento 
cualquiera t del movimiento?
¿De qué se trata esto?
• De generalizar la idea. 
Es decir, determinar el valor del límite de las velocidades medias entre 
instantes t1 próximos a t, y el instante t.
La utilidad de la fórmula general es importante, pero sabemos habrá 
dificultades operatorias, implicará habilidades de manejo algebraico, pero la 
intención es comprender el aspecto conceptual de cómo obtener la velocidad 
instantánea, lo cual fue ejemplificado con los cálculos por acercamientos al 
punto.
Cuando t1se aproxima a t, ¿podremos determinar la velocidad en el instante t=t1? 
• 
 
 
¿Qué es una recta tangente? • ¿De geometría, qué recuerdan?
NOTA:
Un obstacúlo que enfrentan los estudiantes aparece al sugerir el trazado de tangentes a 
curvas no cónicas.
Obstáculo relacionado con la transición de la concepción global del concepto de tangencia, 
al concepto local de tangencia.
Otro de los obstáculos es el trazado de tangentes en un punto de inflexión.
Lo que pone de manifiesto que el concepto griego de tangencia es inadecuado para 
extenderse a todo tipo de curvas.
En un texto de geometría podemos encontrar definiciones similares a la 
siguiente:
Si una recta toca a la circunferencia en un único punto, la llamaremos recta 
tangente y al punto, punto de tangencia.
 Si la recta corta en dos puntos a la circunferencia, la recta recibe el nombre 
de recta secante a la circunferencia. 
En la tercer gráfica no se puede extender 
la definición anterior, sin embargo la 
recta en C es tangente a la curva.
EJEMPLOS
CON GEOGEBRA
 
Gráfica hecha en una escala ampliada, a 
medida que nos acercamos, el gráfico se 
parece a una recta.
Esta es la recta tangente en ese punto.
Recta tangente
Exploraciones geométricas
Explorar con geogebra
La velocidad media y la pendiente de la 
secante son nociones equivalentes.
Si la variación horizontal es 
suficientemente pequeña podemos 
observar en la gráfica que la secante se 
hace tangente en el punto en cuestión 
(t=3).
 
 
problema
• 
Puede enunciar al menos 
tres caminos posibles para 
dar solución a estas 
preguntas
Introducción a la derivada
¿Qué conceptos hemos trabajado? 
❑Tasa media de variación. 
❑Tasa instantánea de variación.
❑Pendiente de la recta secante entre dos puntos.
❑Pendiente de la recta tangente a una curva en un 
punto que equivale a hablar de pendiente de la 
curva.
 
Velocidad Media entre los 
puntos P y Q
 
Velocidad instantánea 
en P
 
 
Pendiente de la Tangente 
a la curva y=d(t) en P
 
 
 
Cociente 
incremental 
La derivada como limite del cociente incremental
¿Qué procedimiento emplearía?
 
• 
 
 
Calculamos el valor del cociente incremental
Entonces resulta
 
En términos de la tasa instantánea de variación de la función 
observamos que es negativa.
En términos de la tangente a la la curva en x= -1 diremos que la 
pendiente de la tangente en ese punto es negativa.
LA FUNCION DECRECE EN ESE PUNTO
• 
 
 
Calculamos el valor del cociente incremental y obtenemos
Entonces resulta 
 
 
DETERMINAR LA RECTA 
TANGENTE A UNA CURVA
 
 
Otra 
notación
DETERMINAR LA RECTA 
TANGENTE A UNA CURVA
 
 
Ecuación de 
la recta 
tangente
Derivada y Función derivada
EN GENERAL si se conoce una función f ,
• Se puede necesitar encontrar la pendiente de su gráfica en un 
punto designado P(a, f(a)) o en forma genérica en P(x,f(x)).
• Podemos necesitar calcular la velocidad instantánea para un 
tiempo t, cualquiera.
A estas razones de cambio instantáneas se les llama 
DERIVADA, y la función que expresa las razones de 
cambio en cualquier punto la denominamos FUNCION 
DERIVADA.
A través de todo lo mostrado apareció una 
forma “técnica” para resolver una variedad de 
situaciones, esta herramienta matemática 
subyacente es la que denominamos 
DERIVADA.
EXPLORACIONES 
CON GEOGEBRA
Tangente de una curva en punto de 
absisa x=a
para cada a obtuvimos 
 
 
las tangentes tienen pendientes negativas para 
x<0. Intuitivamentepodemos responder que la 
función es DECRECIENTE, la gráfica baja. 
Reemplazando 
por valores de 
x positivos ¿ 
Qué ocurre?
Para x>0 las tangentes tienen 
pendientes positivas. La función 
es CRECIENTE, la gráfica sube.
 
las tangentes 
tienen 
pendientes 
negativas para 
x<0.
 
 las tangentes tienen 
pendientes 
positivas para 
x>0.
 
¿Qué significado tiene la derivada?
❑ La derivada de una función en un punto nos da la medida 
de la variación instántanea de la función en dicho punto.
❑ La derivada de una función en un punto se puede pensar 
como la pendiente de la recta tangente en ese punto.
conclusiones
Si en lugar de emplear las expresiones “pendiente de la curva” 
o “velocidad instantánea”, utilizamos la nueva denominación 
DERIVADA, afirmamos que:
Si la derivada de una función es positiva en un intervalo, 
entonces la función es CRECIENTE en dicho intervalo; si la 
derivada es negativa entonces la función es DECRECIENTE
¿Qué sucede si la función no crece ni 
decrece?
En términos de velocidad, cuando el cuerpo no sube ni baja de velocidad, 
la velocidad es cero. La variación en ese punto se estabiliza.
¿Qué sucede si la función no crece ni decrece?
Si la derivada de una función es cero la variación de la 
función en ese punto se estabiliza y los valores de la 
función en esos puntos pueden ser máximos o mínimos
Ejemplo 
¿En qué intervalos f(x) crece, decrece y dónde tiene 
puntos de estabilización o valores máximos y mínimos?
Podríamos averiguarlo trazando la gráfica. 
Pero también podemos emplear la nueva herramienta 
(derivada), más poderosa, para averiguar el 
comportamiento variacional de la función.
¿Puede ocurrir que la derivada nunca sea cero?
Ejemplo 
¿En qué intervalos f(x) crece, decrece y dónde tiene 
puntos de estabilización o valores máximos y mínimos?
En este caso la derivada nunca se anula, es siempre 
mayor o igual a 1. 
f es creciente, la pendiente de la tangente en cero, es 1, y 
en cualquier otro punto mayor.
Derivada nunca nula
Resumen
• 
¿Qué aporta la derivada para 
graficar funciones polinómicas?
EJEMPLO 
¿ Encuentre intersecciones de la gráfica de f con los ejes 
coordenados.
Calcule f’(x). ¿En qué valores de x se anula f’?
Esboce la gráfica de f’(x). ¿En qué intervalos f’ es positiva y en 
qué intervalos negativa?
¿En qué intervalos f será creciente y en cuáles decreciente?
¿Tendrá f algún máximo o mínimo local? ¿En qué valores de x?. 
Calcule el valor de f en esos números.
Utilice toda la información obtenida para esbozar la gráfica de f.
Función definida en un punto pero 
no tiene derivada en ese punto
 
En general, si la gráfica de una función tiene un 
“pico” la función no tendrá derivada en ese punto.
• ¿Renunciamos al método de hacer una 
tabla de aproximaciones?
• ¿cómo procedo?
• ¿qué conviene?
• ¿Qué método puedo usar para 
asegurarme que se calcula 
correctamente la velocidad en un 
instante cualquiera?
¿Qué nos podemos preguntar de las 
actividades anteriores?
Vuelta a 5