P_Sem11_Ses 21_ Optimización ppt

Vista previa del material en texto

OPTIMIZACIÓN
MATEMÁTICAS PARA 
LOS NEGOCIOS 2
OPTIMIZACIÓN
SEMANA 11
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de clase, el estudiante resuelve problemas
aplicados a los negocios utilizando las derivadas como
herramienta de optimización.
OPTIMIZACIÓN
La Optimización es un área de la Matemática Aplicada
que permite modelar y resolver problemas de la vida
real; sus principios y métodos se usan para resolver
problemas cuantitativos en el campo de los Negocios.
El objetivo principal de la Optimización es la mejor
utilización de los recursos disponibles para cumplir
una determinada tarea.
OPTIMIZACIÓN
Procedimiento de Solución
1. El principal problema es plantear la función que hay que
maximizar o minimizar.
2. Todo lo demás es la aplicación de los criterios de la derivada
a)Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los puntos
críticos.
b) Se realiza la segunda derivada para comprobar si el punto
critico es un máximo o mínimo.
APLICACIÓN 1
Una compañía de transportes aéreo ha comprobado que el
número de viajeros diarios depende del precio del pasaje, según
la función:
𝑛 𝑝 = 3000 − 6𝑝
Donde: 𝑛 𝑝 : es el número de viajeros cuando 𝑝 es el precio del
pasaje.
Calcular:
a) La función que expresa los ingresos diarios de esta empresa
en función del precio del pasaje.
b) El precio del pasaje que hace máximos dichos ingresos.
c) ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos máximos?
SOLUCIÓN
1° Los ingresos diarios de la compañía de transportes serán resultado 
de multiplicar el precio del pasaje por el número de viajeros.
𝐼 𝑝 = 𝑝 . 𝑛 𝑝 = 𝑝 . 3000 − 6𝑝 = −6𝑝2 + 3000𝑝
2° Calculamos 𝐼′ 𝑝 𝑦 𝐼′′(𝑝)
𝐼′ 𝑝 = −12𝑝 + 3000 𝐼′′ 𝑝 = −12
SOLUCIÓN
3° Hacemos : 𝐼′ 𝑝 = 0 (Puntos críticos) −12𝑝 + 3000 = 0
𝑝 =
3000
12
= 250
4° Cálculo del valor máximo:
𝐼 𝑝 = −6𝑝2 + 3000𝑝 𝐼′′ 𝑝 = −12 < 0 (Max) 
𝐼 250 = −6 250 2 + 3000 250
𝐼 250 = 375000
SOLUCIÓN
Rpta:
a) La función que expresa los ingresos diarios en función del precio 
del pasaje es: 𝐼 𝑝 = −6𝑝2 + 3000𝑝
b) El precio del pasaje que hace máximo los ingresos es: 𝑝 = 250
c) Los ingresos máximos ascenderán a: 
𝐼 = 375000 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 (𝑈.𝑀. )
APLICACIÓN 2
En una empresa los ingresos brutos y los costos producidos en la
venta de un producto vienen dados por las siguientes expresiones:
(𝑥: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠)
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑜𝑠: 𝐼 𝑥 = −3𝑥2 + 200𝑥 (𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠)
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠: 𝐶 𝑥 = 2𝑥2 − 150𝑥 + 5000 (𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠)
Calcular:
a)¿Qué número de unidades habría que vender para obtener un 
beneficio máximo?
b)¿Cuál sería el beneficio?
Nota: Utilicemos Beneficio = Ganancia
SOLUCIÓN
1º Hallando la función beneficio:
𝐵 𝑥 = 𝐼 𝑥 − 𝐶(𝑥)
𝐵 𝑥 = −3𝑥2 + 200𝑥 − 2𝑥2 − 150𝑥 + 5000
𝐵 𝑥 = −5𝑥2 + 350𝑥 − 5000
2º Hallamos: 𝐵′ 𝑥 𝑦 𝐵′′(𝑥)
𝐵 𝑥 = −5𝑥2 + 350𝑥 − 5000
𝐵′ 𝑥 = −10𝑥 + 350 𝐵′′ 𝑥 = −10
3º Igualando a cero el beneficio para hallar los puntos críticos: 
𝐵′ 𝑥 = 0
−10𝑥 + 350 = 0 𝑥 = 35
4º Determinando si es máximo o mínimo: Cómo 𝐵′′ 𝑥 < 0 entonces
en 𝑥 = 35 tenemos un máximo.
SOLUCIÓN
5º Cálculo del máximo:
𝐵 𝑥 = −5𝑥2 + 350𝑥 − 5000
𝐵 35 = −5 35 2 + 350(35) − 5000
𝐵 35 = 1125
Rpta:
a) El número de unidades que habría que vender para maximizar el
beneficio es : 𝑥 = 35
b) El beneficio máximo es de 1125 soles.
¡Ahora todos a practicar!
RETO : COMPROBANDO 
MIS APRENDIZAJES
En la hacienda Pucayacu, ubicada a 15km de la
ciudad de Tarapoto, se estima que el precio de
producción de cada cajón de papaya es de
S/. 3. Al fijar en «x» nuevos soles el precio del
cajón, el dueño de la hacienda espera vender
(50-5x) cajones de papaya.
¿A qué precio debe ser vendido el cajón de
papaya para que el agricultor obtenga la
máxima utilidad?
Rpta: Debe venderse a S/. 6.50
CONCLUSIONES
- Optimizar es minimizar o maximizar.
- Se maximizan: los beneficios, utilidades, ganancias, etc.
- Se minimizan: los perjuicios, costos, pérdidas, etc.
- La función objetivo se expresa en función de una variable.
- Se deben aplicar los criterios de la primera y segunda derivada, 
una vez planteada la función objetivo que se desea optimizar.