Poisson 6

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Presos escapan de una cárcel según un proceso de Poisson de intensidad 2 por día. 
Independientemente de eso un cierto día el guardiacárcel duerme un tiempo exponencial de 
media 3 horas. Calcular la media del tiempo que durmió sabiendo que mientras dormía no se 
escapó ningún preso. 
 
Las escapadas de presos siguen un proceso de Poisson de intensidad 𝜆𝐸 =
1
12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
 . A partir 
de un instante cualquiera el guardia duerme un tiempo aleatorio que llamamos 𝑌 y sabemos 
que esta variable es exponencial de parámetro 𝜆𝐷 =
1
3 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
 . 
Llamemos 𝑋 al tiempo transcurrido hasta que se escapa el primer preso, medido desde el 
instante en que se duerme el guardia. Sabemos que 𝑋 es exponencial de parámetro 𝜆𝐸 . Se 
sabe que mientras el guardia durmió no se escaparon presos y por lo tanto debe ser 𝑌 < 𝑋. Lo 
que se pide calcular es entonces 𝐸[𝑌|𝑌 < 𝑋]. 
La variable condicional 𝑌|𝑌 < 𝑋 es el mínimo entre 𝑋 e 𝑌. Como estas dos variables son 
exponenciales independientes, el mínimo entre ellas sigue también una distribución 
exponencial cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las dos exponenciales. Por lo 
tanto si es 𝑈 = min (𝑋, 𝑌) se tiene que 𝑈~exp (𝜆𝐸 + 𝜆𝐷) y entonces 𝐸[𝑈] =
1
𝜆𝐸+𝜆𝐷
= 2,4 
horas. 
 
Poisson 6