Poisson 5

Vista previa del material en texto

1 
 
A una línea de embalaje arriban en forma independiente piezas producidas por las máquinas A 
y B. Las piezas de la máquina A lo hacen según un proceso Poisson de tasa 2 por minuto, 
mientras que las de la máquina B también lo hacen en forma Poisson pero con tasa 3 por 
minuto. Las piezas de ambas máquinas llegan a la línea de embalaje y por orden de arribo son 
embaladas de a pares. Hallar la media y la varianza del tiempo transcurrido hasta la aparición 
de un par embalado formado por una pieza proveniente de cada máquina. 
 
En la línea de embalaje se superponen dos procesos de Poisson independientes de tasas 
𝜆𝐴 = 2 piezas por minuto y 𝜆𝐵 = 3 piezas por minuto. Los tiempos entre arribos de piezas A 
son exponenciales independientes de parámetro 𝜆𝐴 e independientes de los tiempos entre 
arribos de piezas B, que son exponenciales independientes de parámetro 𝜆𝐵. Cada pieza que 
arriba a la línea tiene entonces una probabilidad constante 2/5 de ser una pieza A y 3/5 de ser 
una pieza B. Las piezas son embaladas de a pares por orden de arribo de manera que pueden 
formarse pares AA, con probabilidad (2/5)2, pares AB con probabilidad (2/5) × (3/5), pares 
BA con probabilidad (3/5) × (2/5) y pares BB con probabilidad (3/5)2. Llamemos “mixto” a 
un par formado por una pieza de cada máquina. La probabilidad de que un par embalado sea 
mixto es entonces 2 × (2/5) × (3/5) = 12/25. 
Sea 𝑁: cantidad de pares embalados hasta el primer par mixto; 𝑁~𝐺𝑒𝑜𝑚(12/25). Sea 𝑇 el 
tiempo en minutos hasta la aparición de un par mixto embalado. 𝑇|𝑁 = 𝑛 será entonces la 
suma de los tiempos de formación de 𝑛 − 1 pares no mixtos más el tiempo de formación del 
último par que es mixto (despreciamos los tiempos de embalaje de cada par). Sea 𝑇𝑖 el tiempo 
de formación del 𝑖-ésimo par. Los tiempos 𝑇𝑖 son independientes entre sí e independientes de 
𝑁 de manera que 
𝑇|𝑁 = 𝑛 = ∑𝑇𝑖|𝑁 = 𝑛
𝑛
𝑖=1
 = ∑𝑇𝑖
𝑛
𝑖=1
= ∑𝑇𝑖
𝑛−1
𝑖=1⏟ 
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 
𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 
𝑛𝑜 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜𝑠
+ 𝑇𝑛⏟
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒
𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟 
𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜
 
La idea es obtener 𝐸[𝑇|𝑁 = 𝑛] y con ello obtener 𝐸[𝑇|𝑁] y finalmente 𝐸[𝑇] que es lo que se 
pide calcular en este problema. Para esto necesitamos calcular el valor esperado de los 𝑇𝑖. 
Sea 𝑇𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 el tiempo de formación de un par no mixto, es decir de un par AA o BB. 
El tiempo para formar un par AA es la suma de dos tiempos exponenciales de parámetro 𝜆𝐴 y 
por lo tanto la media de este tiempo es 2/𝜆𝐴. Análogamente, la media del tiempo para formar 
un par BB es 2/𝜆𝐵. 𝑇𝑖 es la mezcla de dos tiempos, el tiempo para formar un par AA y el 
tiempo para formar un par BB de manera que 
𝐸[𝑇𝑖] =
(
2
5
)
2
1 −
12
25
× 
2
𝜆𝐴
+
(
3
5
)
2
1 −
12
25
 ×
2
𝜆𝐵
=
4
13
× 1 +
9
13
×
2
3
=
10
13
 
Poisson 5
2 
 
𝑇𝑛, el tiempo para formar el par mixto, es la suma de un tiempo exponencial de parámetro 𝜆𝐴 
más un tiempo exponencial de parámetro 𝜆𝐵 y por lo tanto el valor esperado de 𝑇𝑛 es 
(1/𝜆𝐴) + (1/𝜆𝐵) = 5/6. Entonces: 
𝐸[𝑇|𝑁 = 𝑛] = ∑𝐸[𝑇𝑖]
𝑛−1
𝑖=1
+ 𝐸[𝑇𝑛] = (𝑛 − 1)
10
13
+
5
6
⟹ 𝐸[𝑇|𝑁] =
10
13
(𝑁 − 1) +
5
6
 
𝐸[𝑇] = 𝐸[𝐸[𝑇|𝑁]] =
10
13
(𝐸[𝑁] − 1) +
5
6
=
10
13
(
25
12
− 1) +
5
6
=
5
3
≅ 1,67 min 
 
 
Poisson 5