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Taller 03 – Qúımica 3 (116056M)
José G. López
Departamento de Qúımica
Universidad del Valle
Cali, Colombia
9 de noviembre de 2019
1. Considere el lanzamiento de dos dados no cargados como su experimento y la suma de las
caras resultantes como su resultado.
a) Escriba el conjunto de todos los posibles pares (cara dado 1, cara dado 2) resultantes
de este experimento.
b) Escriba el conjunto de los posibles resultados del experimento (la suma de las dos
caras).
c) Obtenga y grafique la distribución de probabilidad a priori para los posibles resulta-
dos del experimento. ¿Cuál es el resultado más probable?
d) Compruebe que la distribución de probabilidad cumple con la condición de normali-
zación.
e) Calcule el valor promedio de los resultados.
f ) Calcule la desviación estándar de la distribución de probabilidad correspondiente.
2. Considere los siguientes resultados de la edad de dos grupos de estudiantes:
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Grupo 1 17 18 17 18 18 19 20 18 18 19
Grupo 2 18 20 19 16 17 19 18 18 22 15
a) Obtenga y grafique la distribución de probabilidad para cada grupo. Encuentre la
moda para cada distribución.
b) Calcule el promedio, la varianza y la desviación estándar para cada grupo.
1
Los problemas 3 a 5 de este taller involucra identificar si una función es par o impar y la
solución de integrales por medio de fórmulas encontradas en tablas matemáticas. Se espera que
el estudiante sea capaz de identificar la fórmula mas conveniente, de la lista de integrales impresa
en la última página del taller, para resolver dichas integrales.
3. Sea una función matemática f(x). Si al reemplazar la variable x por −x, y luego de
simplificar, se obtiene la misma función, es decir si f(−x) = f(x), la función se denomina
función par. Si luego de simplificar se obtiene la función opuesta, es decir si f(−x) = −f(x),
la función se denomina función impar. Si se obtiene cualquier otro resultado la función
no es ni par ni impar. Utilice estas definiciones para clasificar cada una de las siguientes
funciones como par, impar o ninguna de ellas.
a) f(x) = cosx
b) f(x) = sinx
c) f(x) = x3
d) f(x) = ex
e) f(x) = e−x
f ) f(x) = e−x
2
g) f(x) = e−(x−2)
2
4. Grafique cada una de las funciones del literal anterior y aprenda a identificar si una función
es par, impar, o ninguna de ellas, con base en el gráfico.
5. Una de las funciones de distribución más conocidas en la estad́ıstica es la distribución
gaussiana o normal, la cual está dada por la siguiente fórmula:
ρ(x) =
1
σ
√
2π
e
− (x−µ)
2
2σ
2
donde µ y σ son parámetros de la función de distribución.
a) Muestre que el parámetro µ es el valor promedio de la distribución, es decir que
〈x〉 = µ.
b) Muestre que el parámetro σ2 es la varianza de la distribución, es decir que〈
x2
〉
−
〈
x
〉2
= σ2.
c) Confirme que la distribución gaussiana, para el caso µ = 0, cumple con la condición
de normalización.
Nota: Para resolver las integrales de una forma más eficiente, utilice la siguiente propiedad
de una función par o impar:
∫ ∞
−∞
f(x)dx =2
∫ ∞
0
f(x)dx, Si f(x) es par∫ ∞
−∞
f(x)dx =0, Si f(x) es impar
2
6. A partir de z∗ = x− iy muestre que z∗ = re−iθ.
7. Encuentre las partes reales e imaginarias de:
a) z = (2− i)3 Resp./ 2− 11i
b) z = e−2+iπ/2 Resp./ e−2i
8. Si z = x+ 2iy, determine:
a) Im(z∗)
b) Re(z∗z) Resp./ x2 + 4y2
c) Im(z∗z)
9. Exprese los siguientes números complejos en la forma reiθ:
a) 6i
b) 4−
√
2i Resp./ 3
√
2e−0.340i
c) −1− 2i
10. Exprese los siguientes números complejos en la forma x+ iy:
a) eiπ/4
b) 6e2πi/3
c) e−2πi + e4πi Resp./ 2
11. A partir de la fórmula de Euler, e±iθ = cos(θ)± i sen(θ), muestre que
cos(θ) =
eiθ + e−iθ
2
sen(θ) =
eiθ − e−iθ
2i
12. En clase vimos que la ecuación de una onda clásica u(x, t) en una dimensión es:
∂2u(x, t)
∂x2
=
1
v2
∂2u(x, t)
∂t2
Para cada una de las siguientes funciones, indique si representa o no una onda:
a) e2πx/λ sen(ωt)
b) sen(xt)
3
Fórmulas de algunas integrales
En las integrales siguientes a > 0 y n = 0, 1, 2, . . .
1.
∫ ∞
−∞
x2ne−ax
2
dx = 2
∫ ∞
0
x2ne−ax
2
dx
2.
∫ ∞
−∞
x2n+1e−ax
2
dx = 0
3.
∫ ∞
0
e−ax
2
dx =
1
2
√
π
a
4.
∫ ∞
−∞
e−(ax
2
+bx+c)dx =
√
π
a
e(b
2−4ac)/4a
5.
∫ ∞
0
xe−ax
2
dx =
1
2a
6.
∫ ∞
0
x2ne−ax
2
dx =
(2n)!π1/2
22n+1n!an+1/2
7.
∫ ∞
0
x2n+1e−ax
2
dx =
n!
2an+1
8.
∫
sen2 axdx =
x
2
− sen 2ax
4a
9.
∫
x sen2 axdx =
x2
4
−x sen 2ax
4a
− cos 2ax
8a2
4