clase_06

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QUÍMICA 3 – 116056M
Grupo 1
2019-2
José Guillermo López
Clase 06 – 12 de noviembre 2019
Departamento de Química
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Universidad del Valle
Información General
José G. López
❑ Oficina: 320 – 2095
❑ Correo electrónico profesor: jlopez.univalle@gmail.com
❑ Monitor: Mateo Pescador mateo.pescador@correounivalle.edu.co
❑ Sesión de taller: Martes 11:10am-12:00pm. Salón 320-2110.
❑ Atención de estudiantes: Viernes 2pm-3pm. Sala Nelly de Palacios (2092)
❑ Talleres y material de consulta:
▪ Campus Virtual: http://campusvirtual.univalle.edu.co/
❑ Evaluación:
▪ Opción 2: 3 exámenes parciales (30%, 35%, 35%) y 1 examen opcional (todo 
el contenido del curso). La nota del opcional reemplaza la nota más baja de 
los tres exámenes en caso de ser superior.
❑ Metodología:
▪ Clase magistral
▪ Sesiones de taller a cargo del monitor Mateo Pescador
❑ Salón de clases como recinto de aprendizaje
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Examen Parcial 1
José G. López
❑ Fecha:
Martes 26 de noviembre 2019
❑ Información general:
▪ Si el examen no puede realizarse el día programado, queda 
automáticamente aplazado para el siguiente martes de clase.
▪ Traer identificación con foto (carné estudiantil, cédula o tarjeta 
identidad)
▪ Traer calculadora (no se permite préstamo de calculadoras)
▪ No se permite el uso de celulares ni de tabletas
▪ No memorizar constantes fundamentales (ej: NA, h, c, etc) 
▪ Una hoja de información será suministrada en el examen.
Contenido Capítulos 0 y 1
0. Introducción: La Teoría Estructural Clásica
a. Sustancias: Compuestos y elementos
b. La tabla periódica de los elementos químicos
c. La teoría estructural clásica de las sustancias
1. Comportamiento Cuántico
a. Necesidad de la mecánica cuántica
b. Dualidad onda – partícula de la luz y la materia
c. La función de onda cuántica y su interpretación probabilista
d. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
e. Modelo de partícula en una caja unidimensional
f. Espectros de absorción y de emisión
g. El modelo de orbitales moleculares de electrones libres (OMEL)
h. Observables, operadores y valores esperados
i. Modelo de partícula en una circunferencia
José G. López
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Contenido
0. Introducción: La Teoría Estructural Clásica
1. Comportamiento Cuántico
2. El Átomo de Hidrógeno: Orbitales Atómicos
3. Átomos Polielectrónicos y Propiedades Periódicas
4. Moléculas y Enlace Químico
José G. López
10 electrones 100 electrones
3000 electrones 20000 electrones
Dualidad onda-partícula de la materiaDualidad onda-partícula de la luz
Espectro de líneas de los gases atómicosCapacidad calorífica de los elementos sólidos
Comportamiento Cuántico
José G. López
Cómo definirla Cómo usarla
Cómo obtenerla
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La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ ¿Cómo se define la función de onda cuántica?
▪ La función de onda cuántica define el estado físico instantáneo de un sistema 
cuántico.
▪ Función matemática compleja.
▪ El módulo al cuadrado de la función de onda se define como la densidad de 
probabilidad instantánea de los posibles resultados de la medición de la posición de la 
partícula cuántica.
❑ ¿Cómo se obtiene la función de onda cuántica?
▪ El comportamiento de la función de onda cuántica está gobernado por una 
ecuación diferencial llamada ecuación de Schrödinger.
▪ La solución de la ecuación de Schrödinger para un sistema cuántico 
determinado da como resultado la función de onda cuántica.
▪ La solución de la ecuación de Schrödinger permite conocer la evolución en el espacio y 
el tiempo de un sistema cuántico.
▪ Permite hacer predicciones del comportamiento del sistema cuántico.
▪ ¿Qué forma tiene la ecuación de Schrödinger?
▪ La ecuación de Schrödinger se puede ver como una versión modificada de la ecuación 
de onda clásica.
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/superposition/superposition.html
❑ La ecuación de onda clásica
▪ El principio de superposición:
▪ Aunque la ecuación de onda clásica puede presentar soluciones muy 
complicadas, el análisis de sus soluciones se facilita gracias a que cumple 
con el principio de superposición
▪ Principio de superposición: Cualquier combinación lineal de soluciones de la 
ecuación de onda es también solución de ella.
▪ Significado físico: El desplazamiento neto 
causado por dos o más ondas viajando en el 
mismo medio y al mismo tiempo es la suma de 
los desplazamientos que cada onda causaría 
individualmente.
▪ Ejemplo: si u1(x, t) y u2(x, t) son soluciones de 
la ecuación de onda unidimensional, la suma 
de la forma u = a1 u1(x, t) + a2 u2(x, t), donde 
a2 y a2 son coeficientes reales, es también 
solución de la ecuación. 
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La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ La ecuación de onda clásica
▪ Onda estacionaria clásica:
▪ Onda que oscila en el tiempo pero cuyo perfil de amplitud de picos no se 
mueve en el espacio. Los nodos de la onda permanecen fijos (estacionarios).
▪ Nodos: posiciones en las que la amplitud de la onda es cero.
▪ Antinodos: posiciones en las que la amplitud de la onda es máxima.
▪ Onda resultante de la superposición de dos ondas de la misma frecuencia y 
amplitud máxima pero que se propagan en direcciones opuestas.
https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ La ecuación de onda clásica
▪ Onda estacionaria clásica:
▪ Onda que oscila en el tiempo pero cuyo perfil de amplitud de picos no se 
mueve en el espacio. Los nodos de la onda permanecen fijos (estacionarios).
▪ Nodos: posiciones en las que la amplitud de la onda es cero.
▪ Antinodos: posiciones en las que la amplitud de la onda es máxima.
▪ Onda resultante de la superposición de dos ondas de la misma frecuencia y 
amplitud máxima pero que se propagan en direcciones opuestas. 
▪ Si el comportamiento ondulatorio ocurre 
en espacios cerrados, especificados por 
condiciones de frontera, se originan 
ondas estacionarias debido a la 
interferencia entre las ondas y las ondas 
reflejadas a frecuencias específicas, 
llamadas frecuencias de resonancia.
https://www.youtube.com/watch?v=cnH2ltfW48U
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La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ La ecuación de onda clásica
▪ Onda estacionaria clásica:
▪ Onda que oscila en el tiempo pero cuyo perfil de amplitud de picos no se 
mueve en el espacio. Los nodos de la onda permanecen fijos (estacionarios).
▪ Nodos: posiciones en las que la amplitud de la onda es cero.
▪ Antinodos: posiciones en las que la amplitud de la onda es máxima.
▪ Onda resultante de la superposición de dos ondas de la misma frecuencia y 
amplitud máxima pero que se propagan en direcciones opuestas. 
▪ Si el comportamiento ondulatorio ocurre 
en espacios cerrados, especificados por 
condiciones de frontera, se originan 
ondas estacionarias debido a la 
interferencia entre las ondas y las ondas 
reflejadas a frecuencias específicas, 
llamadas frecuencias de resonancia.
▪ Frecuencia fundamental: frecuencia más baja.
▪ Sobretonos: demás frecuencias múltiplos de la
frecuencia fundamental.
https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ La ecuación de onda clásica
▪ Onda estacionaria clásica unidimensional:
▪ Sea u(x, t) la superposición de dos ondas unidimensionales de la misma 
frecuencia y amplitud máxima pero que se propagan en direcciones opuestas:
▪ Forma funcional de una onda estacionaria unidimensional:
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π 2π 3π0
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ Onda estacionaria clásica unidimensional
▪ Onda estacionaria confinada en el intervalo (0, L):
▪ La onda no puede tener cualquier longitud de onda ya que debe ser cero en los extremos 
0 y L (condiciones de frontera).
▪ u(x, t) satisface las condiciones de frontera solo si:
0 L
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ La ecuación de onda clásica
▪ Onda estacionariaclásica unidimensional:
▪ Sea u(x, t) la superposición de dos ondas unidimensionales de la misma 
frecuencia y amplitud máxima pero que se propagan en direcciones opuestas:
▪ u(x, t) satisface la ecuación de onda unidimensional:
(ecuación de onda estacionaria 
independiente del tiempo)
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La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ La ecuación de onda clásica
▪ Onda estacionaria clásica unidimensional:
▪ u(x, t) es una onda estacionaria clásica si:
▪ u(x, t) satisface la ecuación de onda unidimensional:
▪ X(x) satisface la ecuación de onda estacionaria independiente del tiempo:
▪ u(x, t) satisface la ecuación de onda estacionaria independiente del tiempo:
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ La ecuación de onda cuántica
▪ Función de onda estacionaria cuántica unidimensional:
▪ Ψ(x, t) es una función de onda estacionaria cuántica si:
▪ ¿Cuál ecuación independiente del tiempo describe el comportamiento de ψ(x)?
(ecuación clásica de onda estacionaria)
Hipótesis de 
De Broglie
Constante de Planck 
reducida
Energía de una 
partícula
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La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ La ecuación de onda cuántica
▪ Función de onda estacionaria cuántica unidimensional:
▪ Ψ(x, t) es una función de onda estacionaria cuántica si:
▪ ¿Cuál ecuación independiente del tiempo describe el comportamiento de ψ(x)?
(ecuación clásica de onda estacionaria)
Hipótesis de 
De Broglie
Constante de Planck 
reducida
Energía de una 
partícula
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ La ecuación de onda cuántica
▪ Función de onda estacionaria cuántica unidimensional:
▪ Ψ(x, t) es una función de onda estacionaria cuántica si:
▪ ¿Cuál ecuación independiente del tiempo describe el comportamiento de ψ(x)?
▪ Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (ESIT).
▪ Ecuación solo válida si el potencial V no depende del tiempo.
▪ ¿Cuál ecuación general describe el comportamiento de Ψ(x, t)?
▪ Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (ESDT).
▪ Ecuación válida aún si el potencial V depende del tiempo.
▪ La ESDT cumple con el principio de superposición.
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La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ La ecuación de onda cuántica
▪ Función de onda estacionaria cuántica unidimensional:
▪ Función de onda estacionaria cuántica
▪ Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (ESIT)
▪ Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (ESDT)
▪ Si Ψ(x, t) = ψ(x) φ(t) es insertada en la ESDT se puede obtener la función φ(t)
Por tanto:
▪ Ψ(x, t) también se denomina estado estacionario (solución válida solo si el potencial 
es independiente del tiempo)
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (ESIT):
▪ La solución de la ESIT, para una partícula de masa m en un potencial V(x) y 
condiciones de frontera específicas, da como resultado las energías posibles de 
la partícula y las funciones de onda ψ(x) asociadas con dichas energías.
▪ La solución de la ESDT, para potenciales que no dependen del tiempo, se 
reduce a resolver la ESIT correspondiente pues cada estado estacionario Ψ(x, t) 
puede construirse a partir de una función ψ(x) y su energía E:
▪ Las características de un estado estacionario es que su densidad de 
probabilidad (módulo al cuadrado) es independiente del tiempo y que tiene 
energía definida E.
▪ Los estados estacionarios también son solución de la ESIT
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La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ Restricciones matemáticas de la función de onda
▪ La interpretación probabilista y la ESIT imponen restricciones sobre la 
forma funcional de la función de onda.
▪ Una función de onda que cumpla con estas restricciones se denomina 
bien comportada y es aceptable para describir un sistema físico.
▪ Caso unidimensional:
▪ La función de onda debe ser univaluada y cuadráticamente integrable. 
▪ Interpretación probabilista de la función de onda.
▪ El módulo de la función de onda debe tender a cero lo suficientemente rápido 
cuando x tiende a ± ∞.
▪ La función de onda debe ser continua y continuamente diferenciable (su 
derivada existe y es también continua).
▪ ESIT y ESDT como ecuaciones diferenciales de segundo orden en la posición. 
▪ La función de onda debe satisfacer las condiciones de frontera impuestas 
por el potencial V(x) (restricciones que confinan la partícula en el espacio)
▪ Si el potencial es infinito en las fronteras, la función de onda debe ser cero en 
dichos puntos.
▪ Si el potencial tiene un valor finito en las fronteras, la función de onda debe ser 
diferente de cero en dichos puntos.
x
|ψ(x)|
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ Restricciones matemáticas de la función de onda
▪ La interpretación probabilista y la ESIT imponen restricciones sobre la 
forma funcional de la función de onda.
▪ Una función de onda que cumpla con estas restricciones se denomina 
bien comportada y es aceptable para describir un sistema físico.
▪ Caso unidimensional:
▪ La función de onda debe ser univaluada y cuadráticamente integrable. 
▪ La función de onda debe ser continua y continuamente diferenciable.
Derivada no continua
Función 
discontinua
No tiende a cero 
cuando x → +∞
No es univaluada
Función de onda no aceptable
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La Ecuación de Schrödinger
José G. López
x
|ψ(x)|
❑ Restricciones matemáticas de la función de onda
▪ La interpretación probabilista y la ESIT imponen restricciones sobre la 
forma funcional de la función de onda.
▪ Una función de onda que cumpla con estas restricciones se denomina 
bien comportada y es aceptable para describir un sistema físico.
▪ Caso unidimensional:
▪ La función de onda debe ser univaluada y cuadráticamente integrable. 
▪ La función de onda debe ser continua y continuamente diferenciable.
Función de onda bien comportada
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ ¿Cómo se formula y se resuelve la ESIT?
▪ Se debe definir la función de energía potencial V independiente del tiempo.
▪ Se deben definir las condiciones de frontera, con base en el potencial V, que 
las funciones de onda solución de la ESIT deben satisfacer.
▪ La ESIT se resuelve utilizando los métodos típicos de solución de ecuaciones 
diferenciales (analíticos si tiene solución exacta o numéricos para obtener 
soluciones aproximadas)
❑ ¿Cómo se obtiene la función de onda cuántica?
▪ El comportamiento de la función de onda cuántica está gobernado por la ESDT.
▪ La solución de la ESDT se reduce a resolver una ecuación más simple llamada 
ESIT, si el potencial no depende del tiempo, cuya solución arroja un conjunto de 
funciones de onda independientes del tiempo y sus correspondientes energías, 
con las cuales se construyen los estados estacionarios solución de la ESDT.
❑ ¿Cómo se define la función de onda cuántica?
▪ La función de onda cuántica define el estado físico instantáneo de un sistema 
cuántico.
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