clase_07

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QUÍMICA 3 – 116056M
Grupo 1
2019-2
José Guillermo López
Clase 07 – 14 de noviembre 2019
Departamento de Química
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Universidad del Valle
Información General
José G. López
 Oficina: 320 – 2095
 Correo electrónico profesor: jlopez.univalle@gmail.com
 Monitor: Mateo Pescador mateo.pescador@correounivalle.edu.co
 Sesión de taller: Martes 11:10am-12:00pm. Salón 320-2110.
 Atención de estudiantes: Viernes 2pm-3pm. Sala Nelly de Palacios (2092)
 Talleres y material de consulta:
 Campus Virtual: http://campusvirtual.univalle.edu.co/
 Evaluación:
 Opción 2: 3 exámenes parciales (30%, 35%, 35%) y 1 examen opcional (todo 
el contenido del curso). La nota del opcional reemplaza la nota más baja de 
los tres exámenes en caso de ser superior.
 Metodología:
 Clase magistral
 Sesiones de taller a cargo del monitor Mateo Pescador
 Salón de clases como recinto de aprendizaje
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Examen Parcial 1
José G. López
 Fecha:
Martes 26 de noviembre 2019
 Información general:
 Si el examen no puede realizarse el día programado, queda 
automáticamente aplazado para el siguiente martes de clase.
 Traer identificación con foto (carné estudiantil, cédula o tarjeta 
identidad)
 Traer calculadora (no se permite préstamo de calculadoras)
 No se permite el uso de celulares ni de tabletas
 No memorizar constantes fundamentales (ej: NA, h, c, etc) 
 Una hoja de información será suministrada en el examen.
Contenido Capítulos 0 y 1
0. Introducción: La Teoría Estructural Clásica
a. Sustancias: Compuestos y elementos
b. La tabla periódica de los elementos químicos
c. La teoría estructural clásica de las sustancias
1. Comportamiento Cuántico
a. Necesidad de la mecánica cuántica
b. Dualidad onda – partícula de la luz y la materia
c. La función de onda cuántica y su interpretación probabilista
d. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
e. Modelo de partícula en una caja unidimensional
f. Espectros de absorción y de emisión
g. El modelo de orbitales moleculares de electrones libres (OMEL)
h. Observables, operadores y valores esperados
i. Modelo de partícula en una circunferencia
José G. López
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Material Bibliográfico Temas Enseñados
José G. López
 Cruz-Garritz D., J. A. Chamizo y A. Garritz; Estructura 
Atómica – Un Enfoque Químico, 1986.
 Capítulo 1
 Capítulo 2: 2.2,2.3, 2.5, 2.9
 Capitulo 6: 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6 (6.6.2)
http:/www.joseantoniochamizo.com/pdf/quimica/libros/001_Estructura_atomica.pdf
 Arce J.C.; Notas de Química Cuántica. Fragmentos.
 Capítulos: 1, 2.
 Presentaciones de las clases.
 Campus virtual
Contenido
0. Introducción: La Teoría Estructural Clásica
2. Comportamiento Cuántico
a. Necesidad de la mecánica cuántica
b. Dualidad onda – partícula de la luz y la materia
c. La función de onda cuántica y su interpretación probabilista
d. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
e. Modelo de partícula en una caja unidimensional
f. Espectros de absorción y de emisión
g. El modelo de orbitales moleculares de electrones libres (OMEL)
h. Observables, operadores y valores esperados
i. Modelo de partícula en una circunferencia
3. El átomo de Hidrógeno: Orbitales Atómicos
4. Átomos Polielectrónicos y Propiedades Periódicas
5. Moléculas y Enlace Químico
José G. López
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10 electrones 100 electrones
3000 electrones 20000 electrones
Dualidad onda-partícula de la materiaDualidad onda-partícula de la luz
Espectro de líneas de los gases atómicosCapacidad calorífica de los elementos sólidos
Comportamiento Cuántico
José G. López
Cómo definirla Cómo usarla
Cómo obtenerla
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
 ¿Cómo se define la función de onda cuántica?
 La función de onda cuántica define el estado físico instantáneo de un sistema 
cuántico.
 Función matemática compleja.
 El módulo al cuadrado de la función de onda se define como la densidad de 
probabilidad instantánea de los posibles resultados de la medición de la posición de la 
partícula cuántica.
 ¿Cómo se obtiene la función de onda cuántica?
 El comportamiento de la función de onda cuántica está gobernado por una 
ecuación diferencial llamada ecuación de Schrödinger.
 La solución de la ecuación de Schrödinger para un sistema cuántico 
determinado da como resultado la función de onda cuántica.
 La solución de la ecuación de Schrödinger permite conocer la evolución en el espacio y 
el tiempo de un sistema cuántico.
 Permite hacer predicciones del comportamiento del sistema cuántico.
 ¿Qué forma tiene la ecuación de Schrödinger?
 La ecuación de Schrödinger se puede ver como una versión modificada de la ecuación 
de onda clásica.
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La Ecuación de Schrödinger
José G. López
 La ecuación de onda clásica
 Onda estacionaria clásica 1D:
 u(x, t) es una onda estacionaria clásica 
si:
 u(x, t) satisface la ecuación de onda 
unidimensional:
 X(x) satisface la ecuación de onda 
estacionaria independiente del tiempo:
 u(x, t) tiene la siguiente forma:
 La ecuación de onda cuántica
 Func. de onda estacionaria cuántica 1D:
 Ψ(x, t) es una función de onda estacionaria 
cuántica si:
 Ψ(x, t) está gobernada por la ecuación de 
Schrödinger dependiente del tiempo (ESDT)
 ψ(x) se obtiene a partir de la ecuación de 
Schrödinger independiente del tiempo (ESIT)
 Ψ(x, t) también se denomina estado 
estacionario y tiene la siguiente forma:
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
 La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (ESIT):
 La solución de la ESIT, para una partícula de masa m en un potencial V(x) y 
condiciones de frontera específicas, da como resultado las energías posibles de 
la partícula y las funciones de onda ψ(x) asociadas con dichas energías.
 La solución de la ESDT, para potenciales que no dependen del tiempo, se 
reduce a resolver la ESIT correspondiente pues cada estado estacionario Ψ(x, t) 
puede construirse a partir de una función ψ(x) y su energía E:
 Las características de un estado estacionario es que su densidad de 
probabilidad (módulo al cuadrado) es independiente del tiempo y que tiene 
energía definida E.
 Los estados estacionarios también son solución de la ESIT
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La Ecuación de Schrödinger
José G. López
 ¿Cómo se formula y se resuelve la ESIT?
 Definir la función de energía potencial V(x) independiente del tiempo a partir 
de un modelo que describa el fenómeno químico de interés.
 Definir las condiciones de frontera, con base en la energía potencial V(x), que 
las funciones de onda solución de la ESIT deben satisfacer.
 Resolver la ESIT mediante los métodos típicos de solución de ecuaciones 
diferenciales (analíticos si tiene solución exacta o numéricos para obtener 
soluciones aproximadas)
 ¿Cómo se obtiene la función de onda cuántica?
 El comportamiento de la función de onda cuántica está gobernado por la ESDT.
 La solución de la ESDT se reduce a resolver una ecuación más simple llamada 
ESIT, si el potencial no depende del tiempo, cuya solución arroja un conjunto de 
funciones de onda independientes del tiempo y sus correspondientes energías, 
con las cuales se construyen los estados estacionarios solución de la ESDT.
 ¿Cómo se define la función de onda cuántica?
 La función de onda cuántica define el estado físico instantáneo de un sistema 
cuántico.
Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Motivación:
 Utilizar algunos de los elementos básicos de la mecánica cuántica en el contexto 
de un modelo explícito cuanto–mecánico simple y aplicable para describir ciertos 
fenómenos químicos.
 Fenómeno químico de interés: Espectro ultravioleta-visible de una molécula tipo 
polieno conjugado cuasi-lineal.
Ej: 1,3-butadieno H2C=CH–CH=CH2
 Partícula en una caja unidimensional: Modelo para describir los electrones π
deslocalizados de una molécula tipo polieno conjugado cuasi-lineal.
H2C=CH–CH=CH21,3-butadieno 
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Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Descripción del modelo:
 Partícula de masa m confinada a moverse libremente en un intervalo de longitud 
L con barreras de potencial impenetrables a lado y lado.
 Modelo ficticio aunque razonable para describir 
de manera simple algunos fenómenos físicos y 
químicos.
 Ejemplos de fenómenos físicos y químicos: 
 Modelo para un electrón moviéndose a lo largo 
de un alambre metálico muy fino (diámetro ~1 nm) 
y muy corto (~10 nm).
 Modelo para describir electrones deslocalizados 
en cadenas lineales de átomos.
 Modelo para describir los electrones π
deslocalizados de una molécula tipo polieno conjugado cuasi-lineal. 
Ej: s-trans-butadieno H2C=CH–CH=CH2.
V(x) = ∞
x
V(x)
V(x) = ∞
V(x) = 0
0 L
Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Solución de la ESIT:
 Debido a que el potencial está definido a 
trozos en tres intervalos de x, se hace 
necesario resolver la ESIT en cada uno de 
estos intervalos.
 Intervalos (1) y (3): (–∞ ≤ x ≤ 0) y (L ≤ x ≤ +∞)
 Puesto que V(x) es infinito en estos intervalos, la 
función de onda es cero.
V(x) = ∞
x
V(x)
V(x) = ∞
V(x) = 0
0 L
(1) (2) (3)
(1)
(2)
(3)
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Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Solución de la ESIT:
 Intervalos (1) y (3): (–∞ ≤ x ≤ 0) y (L ≤ x ≤ +∞)
 Intervalo (2): (0 < x < L)
V(x) = ∞
x
V(x)
V(x) = ∞
V(x) = 0
0 L
(1) (2) (3)
V(x) = 0
Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Solución de la ESIT:
 Intervalos (1) y (3): (–∞ ≤ x ≤ 0) y (L ≤ x ≤ +∞)
 Intervalo (2): (0 < x < L)
 Condiciones de frontera:
 Puesto que la función de onda debe ser continua 
en todo el espacio, se requiere que:
 La primera derivada de la función también debe ser continua, excepto en los puntos 
donde el potencial V(x) cambia a infinito súbitamente.
V(x) = ∞
x
V(x)
V(x) = ∞
V(x) = 0
0 L
(1) (2) (3)
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Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Solución de la ESIT:
 Intervalos (1) y (3): (–∞ ≤ x ≤ 0) y (L ≤ x ≤ +∞)
 Intervalo (2): (0 < x < L)
 Condiciones de frontera:
¿Qué función, al ser derivada dos veces, da como resultado la misma función 
pero con signo opuesto? 
R/ Las funciones trigonométricas seno y coseno.
donde A, B y k son constantes a ser determinadas por las condiciones de frontera y 
la condición de normalización.
V(x) = ∞
x
V(x)
V(x) = ∞
V(x) = 0
0 L
(1) (2) (3)
Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Solución de la ESIT:
 Intervalos (1) y (3): (–∞ ≤ x ≤ 0) y (L ≤ x ≤ +∞)
 Intervalo (2): (0 < x < L)
 Condiciones de frontera:
 Solución general:
 Condición de frontera ψ(0) = 0:
V(x) = ∞
x
V(x)
V(x) = ∞
V(x) = 0
0 L
(1) (2) (3)
0
1
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π 2π 3π0
Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Solución de la ESIT:
 Intervalos (1) y (3): (–∞ ≤ x ≤ 0) y (L ≤ x ≤ +∞)
 Intervalo (2): (0 < x < L)
 Condiciones de frontera:
 Solución general:
 Condición de frontera ψ(0) = 0:
 Condición de frontera ψ(L) = 0:
V(x) = ∞
x
V(x)
V(x) = ∞
V(x) = 0
0 L
(1) (2) (3)
Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Solución de la ESIT:
 Intervalos (1) y (3): (–∞ ≤ x ≤ 0) y (L ≤ x ≤ +∞)
 Intervalo (2): (0 < x < L)
 Solución:
V(x) = ∞
x
V(x)
V(x) = ∞
V(x) = 0
0 L
(1) (2) (3)
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Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Solución de la ESIT:
 Intervalos (1) y (3): (–∞ ≤ x ≤ 0) y (L ≤ x ≤ +∞)
 Intervalo (2): (0 < x < L)
 Solución:
 La constante A se determina a partir de la condición de normalización
V(x) = ∞
x
V(x)
V(x) = ∞
V(x) = 0
0 L
(1) (2) (3)
Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Determinación de la constante A a partir de la condición de normalización
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Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Solución de la ESIT:
 Intervalos (1) y (3): (–∞ ≤ x ≤ 0) y (L ≤ x ≤ +∞)
 Intervalo (2): (0 < x < L)
 Solución:
V(x) = ∞
x
V(x)
V(x) = ∞
V(x) = 0
0 L
(1) (2) (3)
Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
1 1
n λ
2 4
3 9
4 16
 Solución de la ESIT:
x0 L
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4E4 = 16
E3 = 9
E1 = 1
E2 = 4
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 Características de las soluciones:
 La partícula no puede tener cualquier valor de la 
energía (energías cuantizadas).
 La energía depende de un número entero positivo n, llamado número cuántico.
 El estado de menor energía se llama estado fundamental, el resto estados excitados.
 Energía mínima diferente de cero para el estado fundamental (energía de punto cero).
 A medida que n aumenta, la diferencia de energía entre dos estados adyacentes aumenta. 
Si a longitud de la caja y/o la masa de la partícula aumentan, esta diferencia de energía 
disminuye para un mismo valor de n.
x0 L
n = 1E1 = 1
n = 2E2 = 4
n = 3E3 = 9
n = 4E4 = 16
Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Solución de la ESIT:
E2 – E1 = 3
E3 – E2 = 5
E4 – E3 = 7
 Características de las soluciones:
 La partícula no puede tener cualquier valor de la 
energía (energías cuantizadas).
 La energía depende de un número entero positivo n, llamado número cuántico.
 El estado de menor energía se llama estado fundamental, el resto estados excitados.
 Energía mínima diferente de cero para el estado fundamental (energía de punto cero).
 A medida que n aumenta, la diferencia de energía entre dos estados adyacentes aumenta. 
Si a longitud de la caja y/o la masa de la partícula aumentan, esta diferencia de energía 
disminuye para un mismo valor de n.
 La forma de la función ψ(x) es la misma que la parte espacial de una onda estacionaria 
clásica X(x) confinada en un intervalo (0, L).
x0 L
n = 1E1 = 1
n = 2E2 = 4
n = 3E3 = 9
n = 4E4 = 16
Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Solución de la ESIT:
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Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
Funciones de onda cuánticas 
solución de la ESIT para la partícula 
en una caja unidimensional
0 Lx0 L
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4E4 = 16
E3 = 9
E1 = 1
E2 = 4
Ondas estacionarias clásicas 
unidimensionales
 Características de las soluciones:
 La partícula no puede tener cualquier valor de la 
energía (energías cuantizadas).
 La energía depende de un número entero positivo n, llamado número cuántico.
 El estado de menor energía se llama estado fundamental, el resto estados excitados.
 Energía mínima diferente de cero para el estado fundamental (energía de punto cero).
 Número de nodos = n – 1. No se tiene en cuenta los puntos x = 0 y x = L.
 Funciones ψn(x) alternantemente pares e impares con respecto al centro de la caja (L/2).
Función par: f (x) = f (– x) Función impar: – f (x) = f (–x)
x
n = 1E1 = 1
n = 2E2 = 4
n = 3E3 = 9
n = 4E4 = 16
Partícula en una Caja Unidimensional
José G. López
 Solución de la ESIT:
–L/2 L/2
par
par
impar
impar