clase_05

Vista previa del material en texto

7/11/2019
1
QUÍMICA 3 – 116056M
Grupo 1
2019-2
José Guillermo López
Clase 05 – 07 de noviembre 2019
Departamento de Química
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Universidad del Valle
Información General
José G. López
❑ Oficina: 320 – 2095
❑ Correo electrónico profesor: jlopez.univalle@gmail.com
❑ Monitor: Mateo Pescador mateo.pescador@correounivalle.edu.co
❑ Sesión de taller: Martes 11:10am-12:00pm. Salón 320-2110.
❑ Atención de estudiantes: Viernes 2pm-3pm a partir del 15 de noviembre. 
Sala Nelly de Palacios (2092)
❑ Talleres y material de consulta:
▪ Campus Virtual: http://campusvirtual.univalle.edu.co/
❑ Evaluación:
▪ Opción 2: 3 exámenes parciales (30%, 35%, 35%) y 1 examen opcional (todo 
el contenido del curso). La nota del opcional reemplaza la nota más baja de 
los tres exámenes en caso de ser superior.
❑ Metodología:
▪ Clase magistral
▪ Sesiones de taller a cargo del monitor Luis Hernando Delgado
❑ Salón de clases como recinto de aprendizaje
1
2
7/11/2019
2
Contenido
0. Introducción: La Teoría Estructural Clásica
1. Comportamiento Cuántico
2. El Átomo de Hidrógeno: Orbitales Atómicos
3. Átomos Polielectrónicos y Propiedades Periódicas
4. Moléculas y Enlace Químico
José G. López
10 electrones 100 electrones
3000 electrones 20000 electrones
Dualidad onda-partícula de la materiaDualidad onda-partícula de la luz
Espectro de líneas de los gases atómicosCapacidad calorífica de los elementos sólidos
Comportamiento Cuántico
José G. López
Cómo definirla Cómo usarla
Cómo obtenerla
3
4
7/11/2019
3
Comportamiento Cuántico
José G. López
Dualidad onda-partícula de la luz
Dualidad onda-partícula de la materia
10 electrones 100 electrones
3000 electrones 20000 electrones
70000 electrones
❑ Interpretación probabilista de la función de onda cuántica
▪ ρ(x,t): densidad de probabilidad instantánea
▪ ρ(x,t)dx: probabilidad de que la medición de la posición de una 
partícula descrita por Ψ(x,t), a un tiempo t, se encuentre en la región 
(x, x+dx)
T. L. Dimitrova, A. Weis, Am. J. Phys. 76, 137 (2008)
A. Tonomura, J. Endo, et. al, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)
Conceptos de Probabilidad
❑ Probabilidad: 
Cuantificación de la posibilidad de que un evento ocurra en una situación dada.
José G. López
❑ Caso discreto: 
▪ Todos los posibles valores de la medición 
forman un conjunto discreto.
▪ Probabilidad a priori
▪ Probabilidad a posteriori
▪ Distribución de probabilidad
▪ Condición de normalización
No. de eventos que conducen 
al resultado i deseado
No. total de eventos posibles
No. de veces en que se 
obtiene el resultado i deseado
No. veces en que el 
experimento es realizado 
x = {x1, x2, x3, … , xN}
P(x) = {P(x1), P(x2), P(x3), … , P(xN)}
❑ Caso continuo: 
▪ Todos los posibles valores de la medición 
forman un conjunto continuo.
▪ Probabilidad a priori
▪ Probabilidad a posteriori
▪ Distribución de probabilidad
▪ Condición de normalización
𝐱 = (−∞ < 𝑥 < +∞) ≡ 𝒙 ∶ 𝒙 ∈ ℝ
Probabilidad de que la 
medición de un valor 
de x se encuentre en el 
intervalo (x, x + dx)
Densidad de probabilidad
5
6
7/11/2019
4
Conceptos de Probabilidad
❑ Probabilidad: 
Cuantificación de la posibilidad de que un evento ocurra en una situación dada.
José G. López
❑ Caso discreto: 
▪ Todos los posibles valores de la medición 
forman un conjunto discreto.
▪ Probabilidad a priori
▪ Probabilidad a posteriori
▪ Distribución de probabilidad
No. de eventos que conducen 
al resultado i deseado
No. total de eventos posibles
No. de veces en que se 
obtiene el resultado i deseado
No. veces en que el 
experimento es realizado 
x = {x1, x2, x3, … , xN}
❑ Caso continuo: 
▪ Todos los posibles valores de la medición 
forman un conjunto continuo.
▪ Probabilidad a priori
▪ Probabilidad a posteriori
▪ Distribución de probabilidad
𝐱 = (−∞ < 𝑥 < +∞) ≡ 𝒙 ∶ 𝒙 ∈ ℝ
Probabilidad de que la 
medición de un valor 
de x se encuentre en el 
intervalo (x, x + dx)
Densidad de probabilidad
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5
0.40
0.30
0.10
0.20
0.00 𝑥𝑖
𝑃(𝑥𝑖)
dx
x
𝜌(𝑥)
a b
P(x) = {P(x1), P(x2), … , P(xN)}
Utilidad de una Distribución de Probabilidad
❑ Determinación de probabilidades
❑ Determinación de cantidades estadísticas
▪ Valores promedio:
▪ Valor más probable de una medición (moda): Valor de x con valor de 
densidad de probabilidad más alto.
▪ Varianza y desviación estándar:
{P(x1), P(x2), P(x3), … , P(xN)}
7
8
7/11/2019
5
La Función de Onda Cuántica
José G. López
❑ Determinación de cantidades estadísticas
▪ Valores promedio ≡ Valores esperados
▪ Desviación estándar ≡ indeterminación
❑ Interpretación probabilista de la función de onda cuántica
▪ ρ(x,t): densidad de probabilidad instantánea
▪ ρ(x,t)dx: probabilidad de que la medición de la posición de una partícula 
descrita por Ψ(x,t), a un tiempo t, se encuentre en la región (x, x+dx)
❑ Determinación de probabilidades
La Función de Onda Cuántica
José G. López
❑ La función de onda cuántica define el estado físico instantáneo de un 
sistema cuántico.
▪ Estado físico instantáneo: Descripción exacta de un sistema físico que contiene, 
en principio, toda la información física medible del sistema.
9
10
7/11/2019
6
La Función de Onda Cuántica
José G. López
❑ Significado del estado cuántico instantáneo
▪ Mecánica clásica: 
▪ Estado clásico instantáneo de una partícula:
▪ La partícula está localizada exactamente en un punto del espacio a un tiempo t.
▪ Cualquier propiedad física Ω de la partícula a un tiempo t puede determinarse 
de manera exacta a partir de su estado clásico instantáneo:
t0
t
x
Estado clásico 
instantáneo a t0
y
z
Estado clásico 
instantáneo a t
https://blog.mrmeyer.com/2010/wcydwt-will-it-hit-the-hoop/
La Función de Onda Cuántica
José G. López
❑ Significado del estado cuántico instantáneo
▪ Mecánica cuántica: 
▪ Estado cuántico instantáneo de una partícula:
▪ La partícula puede considerarse como deslocalizada en el espacio con una 
probabilidad de ser encontrada en una región del espacio a un tiempo t.
▪ Solo se puede obtener valores promedio de las propiedades físicas de la 
partícula a partir de su estado cuántico instantáneo.
http://toutestquantique.fr/en/duality/
11
12
7/11/2019
7
La Función de Onda Cuántica
José G. López
❑ Significado del estado cuántico instantáneo
▪ Mecánica cuántica: 
▪ Estado cuántico instantáneo de una partícula:
▪ La partícula puede considerarse como deslocalizada en el espacio con una 
probabilidad de ser encontrada en una región del espacio a un tiempo t.
▪ Solo se puede obtener valores promedio de las propiedades físicas de la 
partícula a partir de su estado cuántico instantáneo.
http://www.tp.nt.uni-siegen.de/~brandt/books/movies/ch06/Free3DWP_Re.gif
http://www.tp.nt.uni-siegen.de/~brandt/books/movies/ch06/Free3DWP_Abs.gif
La Función de Onda Cuántica
José G. López
❑ La función de onda cuántica define el estado físico instantáneo de un 
sistema cuántico.
▪ Estado físico instantáneo: Descripción exacta de un sistema físico que contiene, 
en principio, toda la información física medible del sistema.
❑ La función de onda es una función compleja que depende de la posición 
de la partícula cuántica y del tiempo.
▪ Función compleja: Función matemática cuyo codominio es el conjunto de los 
números complejos C.
▪ Ejemplos: Partícula en una dimensión Partícula en el espacio cartesiano
Dominio Codominio Dominio Codominio
13
14
7/11/2019
8
Números Complejos
José G. López
❑ Necesidad de los números complejos
▪ Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación cuadrática
Ecuación de la forma az2 + bz + c = 0 con solución
Definamos el siguiente símbolo:
La solución de la ecuación queda como:
▪ El símbolo i, denominado unidad imaginaria, permite resolver todas 
las ecuaciones polinómicas de grado mayor que 1.
x
❑ El conjunto de los números complejos
▪ El conjunto de los números complejos se representa con la letra C y 
contiene todos los números de la formadonde x y y son números reales. 
En notación de teoría de conjuntos:
▪ El conjunto de los números complejos C contiene al conjunto de los 
números reales ℝ
Números Complejos
José G. López
Parte real: x = Re[z]
Parte imaginaria: y = Im[z]
https://thinkzone.wlonk.com/Numbers/NumberSets.htm
15
16
7/11/2019
9
❑ Operaciones con números complejos
▪ Adición y sustracción: se suman o restan las partes reales e imaginarias 
por separado.
▪ Ejemplo: Sean z1 = 2 + 3i y z2 = 1 – 4i. Calcule:
▪ Multiplicación: se multiplican los dos números complejos como un 
binomio y se utiliza el resultado i2 = –1.
▪ Ejemplo: Sean z1 = 2 + 3i y z2 = 1 – 4i. Calcule z1z2
Números Complejos
José G. López
❑ Operaciones con números complejos
▪ Complejo conjugado de z: Se denota como z* y se forma al reemplazar 
la unidad imaginaria i por –i. 
▪ El producto de un número complejo por su complejo conjugado es un 
número real y se denota como |z|2
▪ La raíz cuadrada de zz* se llama el módulo de z:
▪ División: Se utiliza el complejo conjugado.
▪ Ejemplo: Calcule el siguiente cociente de números complejos
Números Complejos
José G. López
17
18
7/11/2019
10
❑ El plano complejo
▪ El plano complejo cartesiano: 
Representación geométrica de un número complejo como un punto 
(x, y) en un sistema coordenado bidimensional cartesiano
Números Complejos
José G. López
y
z = x + iy
(x, y)
x Re[z]
Im[z]
– y
z* = x – iy
(x, –y)
Números Complejos
José G. López
y
z = x + iy
(x, y)
x
Re[z]
Im[z]
θ
❑ El plano complejo
▪ El plano complejo polar: 
Representación geométrica de un número complejo en términos de las 
coordenadas polares planas (r, θ).
r
(Fórmula de Euler)
19
20
7/11/2019
11
La Función de Onda Cuántica
José G. López
❑ Interpretación probabilista de la función de onda
▪ La función de onda cuántica no tiene interpretación física directa ya que no 
puede ser medida experimentalmente.
▪ El módulo al cuadrado de la función de onda se define como la densidad de 
probabilidad instantánea de los posibles resultados de la medición de la 
posición de la partícula cuántica.
▪ Ejemplo: Partícula en una dimensión descrita por la función de onda Ψ(x,t)
▪ Toda la información física medible de la partícula está contenida en Ψ(x,t).
▪ Interpretación probabilista:
▪ |Ψ(x,t)|2: Densidad de probabilidad instantánea
▪ |Ψ(x,t)|2 dx: Probabilidad de que la medición de la posición de una partícula descrita 
por Ψ(x,t), a un tiempo t, se encuentre en el intervalo (x, x+dx)
▪ |Ψ(x,t)|2 es positiva y cumple con la condición de normalización:
▪ |Ψ(x,t)|2, y por tanto Ψ(x,t), no tiene unidades triviales.
Complejo conjugado 
de Ψ(𝑥, 𝑡)
Módulo al cuadrado 
de Ψ(𝑥, 𝑡)
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ ¿Cómo se define la función de onda cuántica?
▪ La función de onda cuántica define el estado físico instantáneo de un sistema 
cuántico.
▪ Función matemática compleja.
▪ El módulo al cuadrado de la función de onda se define como la densidad de 
probabilidad instantánea de los posibles resultados de la medición de la posición de la 
partícula cuántica.
❑ ¿Cómo se obtiene la función de onda cuántica?
▪ El comportamiento de la función de onda cuántica está gobernado por una 
ecuación diferencial llamada ecuación de Schrödinger.
▪ La solución de la ecuación de Schrödinger para un sistema cuántico 
determinado da como resultado la función de onda cuántica.
▪ La solución de la ecuación de Schrödinger permite conocer la evolución en el espacio y 
el tiempo de un sistema cuántico.
▪ Permite hacer predicciones del comportamiento del sistema cuántico.
▪ ¿Qué forma tiene la ecuación de Schrödinger?
▪ La ecuación de Schrödinger se puede ver como una versión modificada de la ecuación 
de onda clásica.
21
22
7/11/2019
12
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ La ecuación de onda clásica
▪ Ecuación que describe el comportamiento de las ondas en la física clásica
▪ Ondas mecánicas (ej: ondas de agua, ondas de sonido, ondas sísmicas)
▪ Ondas electromagnéticas (ej: luz visible, microondas)
▪ Ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden en el tiempo
▪ Ejemplo: Ecuación de onda clásica en una dimensión
donde v es un coeficiente real positivo identificado con la velocidad de propagación de la 
onda.
▪ La solución de esta ecuación, con una condición inicial específica, da como resultado 
una función u(x, t) que presenta comportamiento
ondulatorio
▪ Solución particular de la forma: 
𝑢 𝑥, 𝑡 = A sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
https://www.astro.umd.edu/~peel/graphics/time_the_wave.gif
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/superposition/superposition.html
❑ La ecuación de onda clásica
▪ El principio de superposición:
▪ Aunque la ecuación de onda clásica puede presentar soluciones muy 
complicadas, el análisis de sus soluciones se facilita gracias a que cumple 
con el principio de superposición
▪ Principio de superposición: Cualquier combinación lineal de soluciones de la 
ecuación de onda es también solución de ella.
▪ Significado físico: El desplazamiento neto causado por dos o más ondas viajando en 
el mismo medio y al mismo tiempo es la suma de los desplazamientos que cada 
onda causaría individualmente.
▪ Ejemplo: si u1(x, t) y u2(x, t) son soluciones de 
la ecuación de onda unidimensional, la suma 
de la forma u = a1 u1(x, t) + a2 u2(x, t), donde 
a2 y a2 son coeficientes reales, es también 
solución de la ecuación. 
23
24
7/11/2019
13
La Ecuación de Schrödinger
José G. López
❑ La ecuación de onda clásica
▪ El principio de superposición:
▪ Aunque la ecuación de onda clásica puede presentar soluciones muy 
complicadas, el análisis de sus soluciones se facilita gracias a que cumple 
con el principio de superposición
▪ Principio de superposición: Cualquier combinación lineal de soluciones de la 
ecuación de onda es también solución de ella.
▪ Significado físico: El desplazamiento neto causado por dos o más ondas viajando en 
el mismo medio y al mismo tiempo es la suma de los desplazamientos que cada 
onda causaría individualmente.
▪ Ejemplo: si u1(x, t) y u2(x, t) son soluciones de 
la ecuación de onda unidimensional, la suma 
de la forma u = a1 u1(x, t) + a2 u2(x, t), donde 
a2 y a2 son coeficientes reales, es también 
solución de la ecuación. 
https://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/superposition/superposition.html
25