clase_04

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5/11/2019
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QUÍMICA 3 – 116056M
Grupo 1
2019-2
José Guillermo López
Clase 04 – 05 de noviembre 2019
Departamento de Química
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Universidad del Valle
Información General
José G. López
 Oficina: 320 – 2095
 Correo electrónico: jlopez.univalle@gmail.com
 Sesión de taller: Martes 11:10am-12:00pm. Salón 320-2110.
 Monitor: Mateo Pescador mateo.pescador@correounivalle.edu.co
 Clase de los jueves: Salón de seminarios del Posgrado de Química.
 Talleres y material de consulta:
 Campus Virtual
http://campusvirtual.univalle.edu.co/
 Evaluación:
 Opción escogida: 3 exámenes parciales (30%, 35%, 35%) y 1 examen 
opcional (todo el contenido del curso). La nota del opcional reemplaza la 
nota más baja de los tres exámenes en caso de ser superior.
 Metodología:
 Clase magistral
 Sesión de taller
 Evaluación con exámenes parciales
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Contenido
0. Introducción: La Teoría Estructural Clásica
1. Comportamiento Cuántico
2. El Átomo de Hidrógeno: Orbitales Atómicos
3. Átomos Polielectrónicos y Propiedades Periódicas
4. Moléculas y Enlace Químico
José G. López
Necesidad de la Mecánica Cuántica
José G. López
10 electrones 100 electrones
3000 electrones 20000 electrones
Dualidad onda-partícula de la luz
Espectro de líneas de los gases atómicosCapacidad calorífica de los elementos sólidos
Dualidad onda-partícula de la materia
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Propiedades Ondulatorias de la Luz
I(x): Intensidad del campo eléctrico resultante en el 
punto x (ambas rendijas abiertas)
|E(x)|: Magnitud del campo eléctrico resultante en el 
punto x (ambas rendijas abiertas)
Experimento de la doble rendija
José G. López
Intensidad del campo eléctrico 
en el punto x (rendija 1 abierta)
Intensidad del campo eléctrico 
en el punto x (rendija 2 abierta)
(Principio de superposición)
interferencia
x
I(x)
Propiedades Ondulatorias de la Materia
ρ(x, t): Densidad instantánea de los electrones 
alrededor de x (ambas rendijas están abiertas)
Ψ(x, t): Función de onda compleja
Principio de 
superposición
José G. López
ρ(x, t)
densidad instantánea de 
los electrones alrededor 
de x (rendija 1 abierta)
densidad instantánea de 
los electrones alrededor 
de x (rendija 2 abierta)
Experimento de la doble rendija
interferencia
x
ρ(x, t)
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Propiedades Ondulatorias de la Materia
ρ(x, t): Densidad instantánea de los electrones 
alrededor de x (ambas rendijas están abiertas)
Ψ(x, t): Función de onda compleja
José G. López
ρ(x, t)
Experimento de la doble rendija
http://toutestquantique.fr/en/duality/
Propiedades Ondulatorias de la Materia
ρ(x, t): Densidad instantánea de los electrones 
alrededor de x (ambas rendijas están abiertas)
Ψ(x, t): Función de onda compleja
José G. López
ρ(x, t)
Experimento de la doble rendija
Consideraciones:
 Ψ(x, t) describe un campo de probabilidad no un campo físico.
 ρ(x, t) = |Ψ(x, t)|2 → relacionada con la probabilidad instantánea de encontrar al electrón en 
una región alrededor de x cuando se realiza la medición.
 |Ψ1(x, t)|
2 y |Ψ2(x, t)|
2 → relacionadas con la probabilidad cuando una sola rendija está abierta.
 Término de interferencia 2|Ψ1(x, t)| |Ψ2(x, t)| → patrón de interferencia cuando ambas rendijas 
están abiertas. 
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10 electrones 100 electrones
3000 electrones 20000 electrones
Dualidad onda-partícula de la materiaDualidad onda-partícula de la luz
Espectro de líneas de los gases atómicosCapacidad calorífica de los elementos sólidos
Comportamiento Cuántico
José G. López
Cómo definirla Cómo usarla
Cómo obtenerla
Comportamiento Cuántico
José G. López
Dualidad onda-partícula de la luz
Dualidad onda-partícula de la materia
10 electrones 100 electrones
3000 electrones 20000 electrones
70000 electrones
 Interpretación probabilista de la función de onda cuántica
 ρ(x,t): densidad de probabilidad instantánea
 ρ(x,t)dx: probabilidad de que la medición de la posición de una 
partícula descrita por Ψ(x,t), a un tiempo t, se encuentre en la región 
(x, x+dx)
T. L. Dimitrova, A. Weis, Am. J. Phys. 76, 137 (2008)
A. Tonomura, J. Endo, et. al, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)
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Conceptos de Probabilidad
 Probabilidad: 
Cuantificación de la posibilidad de que un evento ocurra en una situación 
determinada
 Probabilidad a priori: Predicción teórica
 P(i) es un número que está en el rango [0,1]
No. de eventos que conducen al 
resultado i deseado
No. total de eventos posibles
 Probabilidad a posteriori: Medición experimental
No. de veces en que se obtiene el 
resultado i deseado
No. veces en que el experimento es 
realizado 
José G. López
 Ley de los grandes números:
Relación entre la probabilidad a priori y la probabilidad a posteriori
Conceptos de Probabilidad
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad a priori de obtener un 3 en el lanzamiento de un 
dado de seis caras? Asuma que el dado no está cargado
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad a posteriori de obtener un 3 en el lanzamiento de 
un dado de seis caras un número determinado de veces? Asuma que el dado no está 
cargado
José G. López
No. de eventos que conducen al 
resultado deseado
No. total de eventos posibles
No. de veces en que 
se obtiene el 
resultado i deseado
No. veces en que 
el experimento es 
realizado 
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Distribuciones de Probabilidad Discretas
 Distribución de probabilidad:
 Conjunto de las probabilidades de todos los posibles resultados de 
un experimento.
 Si los resultados forman un conjunto discreto, la distribución se 
llama discreta
 Conjunto de posibles resultados:
x = {x1, x2, x3, … , xN}
 Distribución de probabilidad: 
P(x) = {P(x1), P(x2), P(x3), … , P(xN)}
 Condición de normalización:
José G. López
Distribuciones de Probabilidad Discretas
José G. López
1 2 3 4 5 6
0.00
0.10
0.20
0.30
Ejemplo: Determine y grafique la distribución de probabilidad discreta para 
el lanzamiento de un dado de seis caras.
x = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 Conjunto de posibles resultados:
 Distribución de probabilidad: 
 Condición de normalización:
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Utilidad de una Distribución de Probabilidad
José G. López
 Determinación de probabilidades
{P(x1), P(x2), P(x3), … , P(xN)}
 Determinación de cantidades estadísticas
 Valores promedio
Utilidad de una Distribución de Probabilidad
José G. López
No. de eventos que conducen al resultado deseado
No. total de eventos
No. de eventos que conducen al 
resultado i deseado
No. total de eventos posibles
 Probabilidad a priori: Predicción teórica
Ejemplo: Determine el valor promedio de la edad de los siguientes 10 estudiantes:
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Edad 17 18 17 18 18 19 21 18 18 19
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Utilidad de una Distribución de Probabilidad
José G. López
Ejemplo: Determine el valor promedio de la edad de los siguientes 10 estudiantes:
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Edad 17 18 17 18 18 19 21 18 18 19
 Conjunto de posibles resultados:
 Distribución de probabilidad: 
 Determinación de cantidades estadísticas
 Valores promedio:
 Moda: Valor más probable de una medición. Resultado con probabilidad más 
alta
Utilidad de una Distribución de Probabilidad
José G. López
 Determinación de probabilidades
{P(x1), P(x2), P(x3), … , P(xN)}
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Utilidad de una Distribución de Probabilidad
José G. López
Ejemplo: Considere los resultados del problema anterior. Confirme que la 
distribución de probabilidad está normalizada. Grafique la distribución e identifique 
la moda
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Edad 17 18 17 18 18 19 20 18 18 19
17 18 19 20 21 
0.40
0.50
0.30
0.10
0.20
0.00
Moda: 18
 Determinación de cantidades estadísticas
 Valores promedio: Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque 
es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión.
 Moda: Valor más probable de una medición. Resultadocon probabilidad más 
alta
 Varianza: medida del grado de dispersión de los resultados de su valor 
promedio.
 Desviación estándar:
Utilidad de una Distribución de Probabilidad
José G. López
 Determinación de probabilidades
{P(x1), P(x2), P(x3), … , P(xN)}
M
e
d
id
a
s
 d
e
 t
e
n
d
e
n
c
ia
 c
e
n
tr
a
l
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Distribuciones de Probabilidad Discretas
José G. López
Ejemplo: Niveles de energía electrónica del átomo de hidrógeno 
(modelo de Bohr)
E (aJ) 
–2.2
–2.0
–1.8
–1.6
–1.4
–1.2
–1.0
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = ∞
–2.18
–0.545
–0.242
–0.136
n = 1, 2, 3, 4 …
 Conjunto de posibles niveles:
E0 = 2.18 aJ
P(E1) = 1, P(E2) = 0, P(E3) = 0, P(E4) = 0…. 
 Distribución de probabilidad térmica:
T = 300 K
Distribuciones de Probabilidad Continuas
 Distribución de probabilidad: Conjunto de las probabilidades de todos 
los posibles resultados de un experimento.
 Si los resultados x toman valores continuos, la distribución se llama 
continua
 Rango de posibles valores de x: –∞ < x < ∞
 Probabilidad: 
José G. López
dx
17 18 19 20 21 
0.40
0.50
0.30
0.10
0.20
0.00 x
𝜌(𝑥)
Caso discreto Caso continuo
Δ𝑥𝑖 = 1
17 18 19 20 21 
0.40
0.50
0.30
0.10
0.20
0.00 𝑥𝑖
𝑃(𝑥𝑖)
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Distribuciones de Probabilidad Continuas
 Distribución de probabilidad: Conjunto de las probabilidades de todos 
los posibles resultados de un experimento.
 Si los resultados x toman valores continuos, la distribución se llama 
continua
 Rango de posibles valores de x: –∞ < x < ∞
 Probabilidad: 
José G. López
17 18 19 20 21 
0.40
0.50
0.30
0.10
0.20
0.00
dx
x
𝜌(𝑥)𝑃(𝑥𝑖)
𝑥𝑖
Caso discreto Caso continuo
 dP(x) = ρ(x)dx : probabilidad de que la medición de un valor de x se 
encuentre en el intervalo (x, x + dx)
 ρ(x): densidad de probabilidad
 ρ(x) ≥ 0
 ρ(x) no tiene unidades triviales
Distribuciones de Probabilidad Continuas
 Distribución de probabilidad: Conjunto de las probabilidades de todos 
los posibles resultados de un experimento.
 Si los resultados x toman valores continuos, la distribución se llama 
continua
 Rango de posibles valores de x: –∞ < x < ∞
 Probabilidad: 
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Propiedades Ondulatorias de la Materia
ρ(x, t): Densidad instantánea de los electrones 
alrededor de x (ambas rendijas están abiertas)
Ψ(x, t): Función de onda compleja
José G. López
ρ(x, t)
Experimento de la doble rendija
Consideraciones:
 Ψ(x, t) describe un campo de probabilidad no un campo físico.
 ρ(x, t) = |Ψ(x, t)|2 → relacionada con la probabilidad instantánea de encontrar al electrón en 
una región alrededor de x cuando se realiza la medición.
 |Ψ1(x, t)|
2 y |Ψ2(x, t)|
2 → relacionadas con la probabilidad cuando una sola rendija está abierta.
 Término de interferencia 2|Ψ1(x, t)| |Ψ2(x, t)| → patrón de interferencia cuando ambas rendijas 
están abiertas. 
Distribuciones de Probabilidad Continuas
 Distribución de probabilidad: Conjunto de las probabilidades de todos 
los posibles resultados de un experimento.
 Si los resultados x toman valores continuos, la distribución se llama 
continua
 Rango de posibles valores de x: –∞ < x < ∞
 Probabilidad de que la medición de un valor de x esté en un intervalo finito 
(a, b)
 Condición de normalización
José G. López
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Utilidad de una Distribución de Probabilidad
 Determinación de probabilidades
 Determinación de cantidades estadísticas
 Valores promedio:
 Valor más probable de una medición (moda): Valor de x con valor de 
densidad de probabilidad más alto.
 Varianza y desviación estándar:
{P(x1), P(x2), P(x3), … , P(xN)}
Distribuciones de Probabilidad Continuas
Ejemplo: Distribución gaussiana.
José G. López
σ2 Varianza
μ Valor promedio de x
 Valor promedio:
 Varianza:
σ Desviación estándar
 Desviación estándar:
P( |x – μ| ≤ 2σ ) ≈ 95.5%
P( |x – μ| ≤ σ ) ≈ 68.3%
34.1 %
13.6 %13.6 %
2.1 %2.1 %
μ – σ μ + σ μ + 2σμ – 2σμ – 3σ μ + 3σμ
P( |x – μ| ≤ 3σ ) ≈ 99.7%
34.1 %
xμ
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La Función de Onda Cuántica
José G. López
 Determinación de cantidades estadísticas
 Valores promedio ≡ Valores esperados
 Desviación estándar ≡ indeterminación
 Interpretación probabilista de la función de onda cuántica
 ρ(x,t): densidad de probabilidad instantánea
 ρ(x,t)dx: probabilidad de que la medición de la posición de una partícula 
descrita por Ψ(x,t), a un tiempo t, se encuentre en la región (x, x+dx)
 Determinación de probabilidades