Poisson 3

Vista previa del material en texto

1 
 
En la fila de un cajero automático hay personas esperando realizar una operación; cada vez 
que una persona termina su operación, la siguiente comienza la suya. Las personas son 
impacientes, e independientemente de lo que hagan las demás, cada una espera solamente un 
tiempo exponencial de tasa 1; luego del cual si no ha comenzado su operación se retira de la 
fila. Por otra parte, los tiempos consumidos en cada operación son independientes y 
exponenciales de tasa 10. Si una persona está utilizando el cajero, hallar la probabilidad de que 
la octava persona en la fila realice su operación. 
 
Inicialmente hay una persona operando el cajero y 8 o más personas en la fila de espera. Sea 𝑇𝑖 
el tiempo de espera de la persona que se halla en el lugar 𝑖 de la fila. Los tiempos 𝑇𝑖 son 
exponenciales independientes de tasa 1. Sea 𝑇𝐶 el tiempo que dura una operación cualquiera 
en el cajero; 𝑇𝐶 es exponencial de tasa 10. Cada vez que el cajero está en operación, cualquier 
persona de la fila puede impacientarse y retirarse lo cual ocurrirá si su tiempo de espera 𝑇𝑖 es 
menor que el tiempo 𝑇𝐶 de uso del cajero. Esta competencia de exponenciales ocurre cada vez 
que empieza una operación en el cajero sin importar cuanto tiempo esperando tenga una 
persona , debido a la falta de memoria de la exponencial. En resumen, en cada operación del 
cajero, la probabilidad de que una persona cualquiera de la fila se retire de la misma es 
𝑃(𝑇𝑖 < 𝑇𝐶) = 1/(1 + 10) = 1/11. 
Sea 𝑛 el lugar en la fila de una persona. Lamemos 𝐶𝑛 al suceso “la persona en el lugar 𝑛 logra 
llegar al cajero” y sea 𝑝𝑛 = 𝑃(𝐶𝑛). Tenemos que 𝑝1 = 10/11 y lo que queremos finalmente 
calcular es 𝑝8. Delante de esta persona en la fila hay 𝑛 − 1 personas esperando. Cualquiera 
de ellas puede retirarse de la fila en cualquier instante y es muy trabajoso analizar todas las 
variantes posibles. En lugar de eso, vamos a analizar la relación entre 𝑝𝑛 y 𝑝𝑛−1, lo cual nos 
llevará a plantear una ecuación en diferencias de primer orden. 
Si una persona está en el lugar 𝑛, hay solamente dos formas de que avance un lugar en la fila, 
es decir, que pase al lugar 𝑛 − 1: 
i) Si ninguna de las primeras 𝑛 personas se retira de la fila durante una operación en el cajero, 
al concluir dicha operación la persona en el lugar 𝑛 pasará al lugar 𝑛 − 1; para esto debe ser 
𝑇𝐶 menor que cada uno de los tiempos 𝑇1, 𝑇2, … , 𝑇𝑛 esto es, 𝑇𝐶 menor que el mínimo de 
{𝑇1, 𝑇2, … , 𝑇𝑛}. El mínimo de un conjunto de variables exponenciales independientes sigue 
también una distribución exponencial cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las 
variables. Si definimos 𝑇𝑀 = 𝑚𝑖𝑛{𝑇1, 𝑇2, … , 𝑇𝑛} entonces es 𝑇𝑀~exp (𝑛) y tenemos que 
𝑃(𝑇𝐶 < 𝑇𝑀) = 10/(10 + 𝑛). 
ii) SI sólo una de las primeras 𝑛 − 1 personas de la fila se retira de la misma durante una 
operación de cajero, la persona en el lugar 𝑛 pasará al lugar 𝑛 − 1. Esto es, uno de los tiempos 
𝑇𝑖, con 𝑖 ≠ 𝑛, debe ser menor que 𝑇𝐶 y el resto de los tiempos de espera mayores que 𝑇𝐶. Por 
ejemplo si es 𝑇2 < 𝑇𝐶, debe cumplirse también 𝑇1 > 𝑇𝐶, 𝑇3 > 𝑇𝐶, … , 𝑇𝑛 > 𝑇𝐶 lo cual implica 
que debe cumplirse 𝑇2 < 𝑇𝐶, 𝑇2 < 𝑇1, 𝑇2 < 𝑇3, … , 𝑇2 < 𝑇𝑛. Es decir debe ser 𝑇2 menor que el 
mínimo de { 𝑇1, 𝑇3, … , 𝑇𝑛, 𝑇𝐶} siendo este último una exponencial de parámetro 𝑛 − 1 + 10. 
La probabilidad de que ocurra lo anterior es 1/(𝑛 + 9 + 1). Lo planteado para 𝑇2 puede 
ocurrir para todos los tiempos de espera distintos de 𝑇𝑛. La suma de las probabilidades de 
todos estos eventos excluyentes es (𝑛 − 1)/(𝑛 + 10). 
Sea 𝐴𝑛: “la persona en el lugar 𝑛 avanza un lugar en la fila”. Como las alternativas i) y ii) son 
excluyentes, resulta 𝑃(𝐴𝑛) = 10/(10 + 𝑛) + (𝑛 − 1)/(10 + 𝑛) = (9 + 𝑛)/(10 + 𝑛). 
 
Poisson 3
2 
 
 
Planteamos ahora: 
𝑃(𝐶𝑛 ∩ 𝐴𝑛) = 𝑃(𝐶𝑛)⏟ 
𝐶𝑛 𝑒𝑠𝑡á 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢í𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝐴𝑛
= 𝑃(𝐶𝑛|𝐴𝑛)𝑃(𝐴𝑛) = 𝑃(𝐶𝑛−1)𝑃(𝐴𝑛) 
De lo anterior resulta: 
𝑝𝑛 =
9 + 𝑛
10 + 𝑛
𝑝𝑛−1 
para 𝑛 > 1. Como 𝑝1 = 10/11 resultan 𝑝2 = 10/12, 𝑝3 = 10/13 y así sucesivamente. 
Finalmente: 𝑝8 = 10/18. 
 
 
 
 
 
 
Poisson 3