ResueltoTP1_2do2022

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INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
EJERCICIOS RESUELTOS
PRÁCTICO 1
Andrea Rotnitzky
arotnitzky@utdt.edu
Daniela Cuesta
dcuesta@utdt.edu
Pablo M. Escobar
escobarpm@gmail.com
16 de agosto de 2022
1. (*) Demostrar que dado un conjunto A de n elementos, la cantidad de subconjuntos de A de k elementos
es el número combinatorio (n
k
) definido como:
(n
k
) = n!
k! (n − k)!
Solution: Consideremos primero el conjunto de k−tuplas
C = {(a1..., ak) ∶ ai /= aj y ai ∈ A} (1)
Este conjunto tiene
n ⋅ (n − 1) ⋅ . . . ⋅ (n − k + 1) = n!(n − k)!
elementos, pues hay n posibilidades para a1, por cada una de ellas hay n − 1 posiblilidades para a2
y aśı sucesivamente (para convencerte dibuja un diagrama de arbol donde a1 es la primera etapa,
a2 es la segunda etapa, etc.).
Ahora, C no es el conjunto de todos los subconjuntos de k elementos porque en C importa el orden en
el que aparecen las ai. Por ejemplo, si A = {x, y, s, z} y k = 2 entonces C podŕıa ser entendido como
el conjunto de todas las palabras de 2 letras que pueden armarse con las letras de A (entendemos por
palabras a cualquier combinación de letras en algún orden particular, sin necesidad de que tengan
un significado);
C = {(x, y) , (y, x) , (x, s) , (s, x) , (x, z) , (z, x) , (y, s) , (s, y) , (y, z) , (z, y) , (s, z) , (z, s)}
Los pares (x, y) e (y, x) son distintos (palabras distintas), sin embargo, como conjuntos {x, y} e
{y, z} son iguales, porque en un conjunto los elementos no estan ordenados.
Obviamente, si lo que nos interesa es contar cuántos subconjuntos de dos letras hay, en C estamos
contando dos veces el mismo conjunto. Por lo que si llamamos x al número de subconjuntos de dos
letras y teniendo en cuenta que por cada uno de esos subconjuntos es posible armar 2 palabras de
tendrá que:
#C = 2 ⋅ x,
luego despejando se concluye que x = #C
2
= 4⋅3
2
= 6.
Repitiendo esta misma idea para el caso general, se tiene que por cada subconjunto de k elementos
de A, hay en el conjunto C de la ecuación (1), k! tuplas que corresponden a ese subconjunto. Luego,
el número de subconjuntos de k elementos de un conjunto genérico A es:
(#C)
k!
= ( n!(n − k)!) /k! =
n!
k! (n − k)!
1
2. Jorge está planeando salir a cenar afuera todos los d́ıas de lunes a viernes de la semana que viene,
cenando cada d́ıa en alguno de sus diez restaurantes favoritos, tres de ellos ubicados en su barrio.
Suponga que cada d́ıa invitará a un amigo distinto, y será el amigo el que elija el restaurante entre los
diez restaurantes favoritos. Respondé las siguientes preguntas indicando el espacio muestral, el evento
de interés y la suposición que hiciste para hacer el calculo de la probabilidad solicitada.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que Jorge cene dos o mas d́ıas en el mismo restaurante?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que Jorge cene por lo menos un d́ıa en un restaurante de su barrio?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que al cabo de la semana Jorge haya cenado exactamente una vez en
cada uno de los restaurantes de su barrio?
(d) Respondé nuevamente las preguntas (a) -(c) pero ahora suponiendo que Jorge no esta dispuesto a
repetir restaurantes, de modo que la lista de restaurantes de donde podra elegir el amigo que cene
un dia dado con Jorge no incluirá los restaurantes que Jorge ya haya visitado esa semana. Antes de
hacer el calculo para cada item (a)-(c) trata de adivinar usando tu intuición si la probabilidad será
mas grande o mas chica que la que calculaste anteriormente cuando asumiste que se pod́ıa repetir
restaurantes.
Solution: Definimos el espacio muestral a considerar para los ı́temes (a)-(c) como:
Ω1 = {(a1..., a5) ∶ ai ∈ {1,2, ...,10}} ,
con #Ω1 = 105.
El espacio muestral para (d) será diferente pues en este caso no se repiten restaurantes:
Ω2 = {(a1..., a5) ∶ ai ∈ {1,2, ...,10} , ai /= aj} ,
y en este caso ocurre que #Ω2 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6.
En ambos casos no hay ningún motivo para suponer que alguna tupla sea más probable que otra,
por lo que que la suposición de equiprobabilidad es razonable en ambos casos.
(a) Esta pregunta es la misma que en el problema del cumpleaños que vimos en una clase teórica.
Ambas resoluciones se basan en la misma idea considerando la correspondencia:
Restaurante ←→ Dia de la semana
Alumno ←→ Dia del ano.
Por lo tanto, el complemento del evento:
A = “Ceno dos o más dias en el mismo restaurante”,
es Ac = {(a1..., a5) ∶ ai ∈ {1,2, ...,10} , ai /= aj} , a partir de lo cual se concluye:
P (A) = 10
5 − 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6
105
= 1 − 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6
105
= 0,6976
# Calculo de l e j e r c i c i o hecho en R
k <= 5
n <= 10
p <= prod ( ( n : k + 1) : n ) /nˆk
p
2
(b) En este caso el evento de interés es:
B = {(a1..., a5) ∶ ai ∈ {1,2, ...,10} y tal que ∃ j con aj ∈ {1,2,3}} ,
asumiendo sin pérdida de generalidad que los restaurantes 1, 2, y 3 son los del barrio de Jorge.
Para este problema es mas fácil calcular #Bc, ya que Bc = {(a1..., a5) ∶ ai ∈ {4,5, ...,10}} cuyo
cardinal es 75.
Luego
P (B) = #Ω −#B
c
#Ω
= 10
5 − 75
105
= 1 − (0,7)5 = 0,83
# Calculo de l e j e r c i c i o hecho en R
1=(0.7) ˆ5
(c) El evento de interés es
C = {(a1..., a5) ∶ ai ∈ {1,2, ...,10} , ai /= aj y {1,2,3} ⊂ {a1..., a5}} .
Para calcular el cardinal de C dividimos al problema en varios sub-problemas.
Primero, de los cinco d́ıas de la semana, elegimos tres d́ıas en los que Jorge cenará en los
tres restaurantes de su barrio. Esto es como elegir del conjunto {1,2, ...,5} un subconjunto
de 3 elementos. Existen por lo tanto (5
3
) elecciones posible.
Segundo, para cada elección de los tres d́ıas de la semana en los que cenará en los tres
restaurantes de su barrio, existen 3! = 6 posibles secuencias en las que elegirá a estos tres
restaurantes.
Para visualizar esto pensá en que cada permutación posible de la tupla (1,2,3) corresponde
a una secuencia posible. Por ejemplo, si los d́ıas elegidos son si Lu −Mi − V i entonces la
tupla (1,2,3) corresponde a la asignación
Lu Ð→ Restaurante 1
Mi Ð→ Restaurante 2
V i Ð→ Restaurante 3,
y la tupla (2,3,1) corresponde a:
Lu Ð→ Restaurante 2
Mi Ð→ Restaurante 3
V i Ð→ Restaurante 1.
Finalmente, para cada uno de los dos d́ıas que no fueron elegidos para que Jorge cene en
su barrio, Jorge puede cenar en cualquiera de los 7 restaurantes que no están en su barrio,
y como Jorge puede repetir el restaurante, hay 72 posibles elecciones.
Luego, como por cada elección de tres d́ıas en los que Jorge cena en su barrio hay 3!
elecciones posibles de secuencias en las que elige los restaurantes, y por cada una de estas
elecciones hay 72 posibles elecciones de los restaurantes fuera del barrio en los que cenará
los restantes d́ıas, se concluye que:
#C = (5
3
) ⋅ 3! ⋅ 72.
Finalmente,
P (C) = #C
#Ω
=
(5
3
) ⋅ 3! ⋅ 72
105
= 0,029 4
3
Notá que la probabilidad requerida es muy pequeña. Trata de pensar intuitivamente por
que es razonable que sea tan pequeña.
# Calculo de l e j e r c i c i o hecho en R
k <= 3
n <= 5
p <= ( choose ( n ; k ) * factorial (3 ) * 7ˆ2) / (10ˆ5)
p
(d) Soluciones para el caso en el que no se puede repetir restaurantes
a. Esta probabilidad es 0 porque en el espacio muestral no hay ninguna tupla con elementos
repetidos.
b. Evento de interés
B = {(a1..., a5) ∶ ai ∈ {1,2, ...,10} , ai /= aj y tal que ∃j con aj ∈ {1,2,3}} .
Para este problema nuevamentes es mas fácil calcular #Bc, ya que
Bc = {(a1..., a5) ∶ ai ∈ {4,5, ...,10} , ai /= aj } ,
cuyo cardinal es 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3.
Luego:
P (B) = #Ω2 −#B
c
#Ω2
= 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 − 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6
= 1 − 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 0,916 67
# Calculo de l e j e r c i c i o hecho en R
1 = prod (3 : 7) /prod (6 : 10)
c. El evento de interés es
C = {(a1..., a5) ∶ ai ∈ {1,2, ...,10} , ai /= aj y {1,2,3} ⊂ {a1..., a5}} .
Para calcular el cardinal de C razonamos de manera idéntica que en el caso en el que se pueden
repetir restaurantes durante las primeras dos etapas de la resolución anterior, pero en la tercer
etapa aparece una diferencia,pues para cada uno de los dos d́ıas que no fueron elegidos para
que Jorge cene en su barrio, Jorge puede cenar en cualquiera de los 7 restaurantes que no están
en su barrio pero sin repetirlos. Hay entonces 7 ⋅ 6 posibles elecciones.
Finalmente se concluye:
P (C) = #C
#Ω2
=
(5
3
) ⋅ 3! ⋅ 7 ⋅ 6
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 0,08333
Notá que la probabilidad es un poco mayor que en el caso en el que se puede repetir
restaurantes.
# Calculo de l e j e r c i c i o hecho en R
k <= 3
n <= 5
p <= ( choose ( n ; k ) * factorial (3 ) * 7 * 6) /prod ( 6 : 1 0 )
p
4
3. Tres desconocidos suben a un ascensor vaćıo de un edificio con 10 pisos y cada uno de ellos toca el botón
del piso al que desea ir. Suponiendo que podŕıan presionar botones repetidos, calcular:
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se toque el botón del decimo piso?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que se toquen los botones de tres pisos consecutivos?
(c) Interpreta como frecuencia relativa las probabilidades que calculaste en los ı́tems (a) y (b) y describ́ı
cómo le explicaŕıas esta interpretación a una persona que no sabe nada de probabilidades.
Solution: Definimos el siguiente espacio muestral:
Ω = {(a1, a2, a3) ∶ ai ∈ {1,2, ...,10}} ,
teniendo que #Ω = 103.
Como los individuos son desconocidos es razonable suponer que todas las tuplas son igualmente
probables.
(a) Evento de interés: A = {(a1, a2, a3) ∶ ai ∈ {1,2, ...,9}} y #A = 93.
Luego:
P (A) = #A
#Ω
= 0,93 = 0,729
(b) Evento de interés: B = {(a1, a2, a3) ∶ {a1, a2, a3} = {a, a + 1, a + 2} con a ∈ {1,2, ...,8}}
y #B = 8 ⋅ 3! = 48.
Luego:
P (B) = 48
1000
= 0,048
(c) Interpretación del item (a) En el 72.9 % de las veces en las que tres desconocidos se suban al
ascensor, lo harán sin tocar el botón del piso 10.
4. Una pareja tiene 6 hijos, 3 mujeres y 3 hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres hijos grandes
sean mujeres?
Solution: Numeramos del 1 al 6 a los seis hijos. Además, sin pérdida de generalidad, asumamos
que los hijos 1, 2, y 3 son mujeres.
Ahora, consideremos una tupla (a1, ..., a6) en la que la posición a1 la ocupa el hijo mayor, la a2 el
siguiente en edad, etc. Entonces:
Ω = {(a1, ..., a6) ∶ {a1, ..., a6} = {1, ...,6}} ,
con #Ω = 6!
El evento de interés es:
A = {(a1, ..., a6) ∶ {a1, a2, a3} = {1,2,3} ,{a4, a5, a6} = {4,5,6}} .
Luego #A = 3! ⋅ 3! = 36, y por lo tanto:
P (A) = 36
6!
= 0,05
5. Se realizará un sondeo para averiguar la opinión de la población sobre la despenalización del aborto.
Para ello se entrevistará a 1000 personas adultas elegidas mediante un sorteo de un bolillero con los
documentos y direcciones de las mismas.
5
Considere dos estrategias:
Estrategia 1: Cada bolilla sorteada se repone al bolillero antes de sortear la siguiente bolilla (sorteo
con reposición)
Estrategia 2: Las bolillas sorteadas no se reponen al bolillero.
(a) Una de las dos estrategias esta relacionada con el problema del cumpleaños discutido en las teoricas.
¿Cuál de las dos es? ¿Por qué?
(b) Para la estrategia 1, indicá el cálculo que deberás realizar para calcular la probabilidad de que una
misma persona salga sorteada dos o más veces si:
La población tiene un millón de habitantes adultos
La población tiene diez millones de habitantes adultos
Sin hacer ninguna cuenta, ¿cuál de las dos probabilidades te parece que debeŕıa ser mas grande?
Ahora adivina los valores numéricos de las probabilidades en el punto b y para chequear si
estuviste cerca intenta resolver el proximo punto optativo en R.
(c) Ejercicio optativo usando R: Usá R para calcular los valores numéricos de las probabilidades para
la estrategia 1 y los diferentes tamaños de la población.
Usá R tambien para graficar la probabilidad vs el numero n de habitantes en la población para n
entre un millón y dos millones.
# A modo de ayuda , nota que l o s v a l o r e s de p1 y p2 para e l s i g u i e n t e
# codigo en R deber ian ambos c a l c u l a r n x (n=1) x (n=2) . . . ( n=k ) / nˆk
# ( por que ?) , s i n embargo R as igna e l va l o r NaN ( not a v a i l a b l e ) a p1
# mientras que a p2 l e as igna e l va l o r numerico c o r r e c t o . Esto se debe
# a que para n muy grande y k grande R ent i ende que nˆk es i n f i n i t o .
k <= 1000
n <= 1000000
p1 <= prod ( n=k+1:n ) / ( nˆk )
p2 <= prod ( ( ( n=k+1) : n ) /n )
Solution:
(a) La estrategia relacionada con el problema del cumpleaños es la estrategia 1, pues al haber
reposición se conserva el tamaño de espacio muestral de igual manera que se conserva la cantidad
de d́ıas del año en el que una persona puede nacer.
(b) Numerando a los 106 individuos se tiene que el espacio muestral es
Ω = {(a1, ..., a1000) ∶ ai ∈ {1,2, ...,106}} ,
con #Ω = (106)1000 = 106000.
El evento A que una misma persona salga sorteada dos o más veces es el complemento de
que no se produzca ninguna repetición en el sorteo
Ac = {(a1, ..., a1000) ∶ ai ∈ {1,2, ...,106} , ai ≠ aj} ,
luego #Ac = (106) ⋅ (106 − 1) ⋅ . . . ⋅ (106 − 999) y queda que
P (A) = 1 − P (Ac) = 1 − 10
6 ⋅ (106 − 1) ⋅ . . . ⋅ (106 − 999)
106000
= 1 − 10
6
106
⋅ 10
6 − 1
106
⋅ . . . ⋅ 10
6 − 999
106
Repitiendo la misma idea, en el caso de que la población tenga 107 individuos la probabilidad
queda
P (A) = 1 − P (Ac) = 1 − 10
7 ⋅ (107 − 1) ⋅ . . . ⋅ (107 − 999)
107000
= 1 − 10
7
107
⋅ 10
7 − 1
107
⋅ . . . ⋅ 10
7 − 999
107
6
Se puede ver que la probabilidad mayor será la primera, pues en ese caso se le está restando
a 1 un número menor, dado que los 1000 valores que se están multiplicando son todos
menores que en el segundo caso si uno los compara respetando el orden.
(c) Resolución del ejercicio optativo usando R
# Caso 1 mi l lon de ind iv iduo s
k <= 1000
n <= 1000000
p <= prod ( ( ( n=k+1) : n ) /n )
1=p
# Caso 10 mi l l one s de ind iv iduo s
k <= 1000
n <= 10000000
p <= prod ( ( ( n=k+1) : n ) /n )
1=p
# Codigo para r e a l i z a r e l g r a f i c o de p robab i l i dade s
# para pob lac i one s de tamano ent re 1 y 2 mi l l one s
p <= matrix (0 ,1 ,2000000 = 1000000 + 1)
f o r ( n in 1000000:2000000) {
p [ 1 , n=1000000+1] <= 1=prod ( ( ( n=k+1) : n ) /n )
}
p lo t (1000000 :2000000 , p , type=” l ” , c o l=” red ” ,
xlab = ”Tamano de l a prob lac i on ” , ylab = ” Probabi l idad ” )
6. Un bolillero tiene k bolillas rojas y n − k bolillas blancas, todas las bolillas son idénticas excepto por su
color. Se sortea primero una bolilla y luego una segunda bolilla sin haber repuesto al bolillero la primer
bolilla.
(a) Explica intuitivamente por qué la probabilidad de que la segunda bolilla sea roja es la misma que
la probabilidad de que la primera bolilla sea roja.
(b) Ahora demuostrá que las probabilidades enunciadas en el punto (a) son iguales. Para ello; defińı
el espacio muestral, los eventos de interés y explicá la suposición que haces para para calcular las
probabilidades.
Solution:
(a) Intuitivamente, no deberia importar para el cálculo probabiĺıstico si sorteamos una bolilla por
vez o si metemos las dos manos en el bolillero y elegimos una bolilla con la mano derecha
y otra con la mano izquierda. Por simetŕıa, la probabilidad de una bolilla roja en la mano
izquierda debeŕıa ser igual a la probabilidad de sacar una bolilla roja con la mano derecha.
Entonces asociando mano derecha con primer sorteo y mano izquierda con segundo sorteo la
probabilidad de roja en el primer intento deberia ser igual a la probabilidad de roja en el
segundo intento.
(b) El espacio muestral es
Ω = {(a, b) ∶ a y b ∈ {1,2, ..., n}, a /= b}
y es razonable suponer que todas las secuencias de resultados sean igualmente probables porque
todas las bolillas son iguales.
7
Definimos los eventos:
A = “La bolilla sorteada en el primer intento es roja.”
B = “La bolilla sorteada en el segundo intento es roja.”
Suponiendo sin pérdida de generalidad que las bolillas numeradas 1,2, . . . , k son rojas y las
restantes blancas, tenemos que
A = {(a, b) ∈ Ω ∶ a ∈ {1,2, ..., k}}
B = {(a, b) ∈ Ω ∶ b ∈ {1,2, ..., k}}.Para calcular el cardinal de A obsevamos que en el conjunto A, a puede tomar cualquiera de k
valores, y por cada valor que toma a, b puede tomar n − 1 valores (esto encaja con la situacion
descripta en la regla 1 de las filminas). Luego:
#A = k ⋅ (n − 1).
Del mismo modo, para calcular el cardinal de B obsevamos que en el conjunto B, b puede tomar
cualquiera de k valores, y por cada valor que toma b, a puede tomar n − 1 valores. Luego:
#B = (n − 1) ⋅ k.
Como el espacio es equiprobable y #A = #B, entonces:
P (A) = P (B) = k ⋅ (n − 1)
n ⋅ (n − 1) =
k
n
.
7. (*) Un grupo de 12 personas se sientan al azar alrededor de una mesa redonda. En el grupo estan Maŕıa
y Juan. Calcule la probabilidad de que Maŕıa y Juan se sienten uno al lado del otro.
Solution: Hay dos estrategias distintas para abordar el problema, conceptualizando dos experimentos
diferentes.
Estrategia de resolucion a.
En esta estrategia denotamos con 1,2,3, . . . ,12 a los 12 lugares alrededor de la mesa. El
experimento consiste en asignar cada persona a una silla distinta al azar.
Sea N el conjunto de nombres - o cualquier otro conjunto que etiquete a las 12 personas de
modo que nos permita distinguir a una persona de la otra-. Un resultado de situar a las 12
personas al azar se puede escribir como una 12 tupla (a1, ..., a12) donde a1 es el nombre de
la persona ubicada en el lugar 1, a2 es el nombre de la persona ubicada en el lugar 2, etc. El
espacio muestral es entonces:
Ω = {(a1, ..., a12) ∶ aj ∈ N,ai /= aj}
Como las personas son elegidas al azar es razonable suponer que Ω es equiprobable, cuyo
cardinal será #Ω = 12!.
Para razonar por qué #Ω = 12! imaginate que cada persona es una bolilla en un bolillero
con doce personas, la primera silla se le asigna a la primera persona sorteada del bolillero,
la segunda silla a la segunda persona sorteada y asi sucesivamente. Entonces la situación es
8
análoga a la de un muestreo SIN REPOSICIÓN (porque una misma persona no puede ocupar
mas de un lugar), siendo n = 12 y k = 12.
El evento Juan y Maria se sientan uno al lado del otro corresponde al subconjunto:
A = ( ∪12i=1 Ai) ∪ ( ∪12i=1 Bi),
siendo para i ∈ {1, ...,11} ∶
Ai = {(a1, ..., a12) ∈ Ω ∶ (ai, ai+1) = (Maria, Juan)}
Bi = {(a1, ..., a12) ∈ Ω ∶ (ai, ai+1) = (Juan, Maria)}
y
A12 = {(a1, ..., a12) ∈ Ω ∶ (a1, a12) = (Maria, Juan)}
B12 = {(a1, ..., a12) ∈ Ω ∶ (a1, a12) = (Juan, Maria)}
Para cualquier i ∈ {1, ...,12}, cada uno de los conjuntos Ai y Bi tiene cardinal igual a 10! pues
los lugares que no son ocupados por Maria y Juan pueden ser ocupados por cualquiera de las
otras 10 personas en cualquier orden posible (ahora pensamos en que hay 10 bolillas en un
bolillero y queremos contar de cuántas formas pueden ser sorteadas de a una por vez todas las
personas del bolillero. Luego, para todo i ∈ {1, ...,12}
P (Ai) = P (Bi) =
10!
12!
= 1
12 ⋅ 11
Además todos los conjuntos A1,A2, ...,A12,B1,B2, ...,B12 son mutuamente excluyentes, por lo
que aplicando el tercer axioma de probabilidad:
P (A) = P ((∪12i=1Ai) ∪ (∪12i=1Bi))
=
12
∑
i=1
P (Ai) +
12
∑
i=1
P (Bi)
= 12 ⋅ 1
12 ⋅ 11 + 12 ⋅
1
12 ⋅ 11
= 2
11
Estrategia de resolucion b.
Bajo esta otra estrategia, el experimento consiste en que Juan y Maria sortean sin reposición
de un bolillero con doce bolillas numeradas del 1 al 12, las bolillas que indican los lugares en
donde se sentarán. Bajo este experimento:
Ω = {(a1, a2) ∶ a1 y a2 ∈ {1, ...,12} y a1 /= a2}
donde a1 representa el lugar de Juan y a2 el lugar de Maria. Como las sillas son elegidas
completamente al azar no hay ninguna razón para suponer que algun par (a1, a2) sea más
probable que otro. De modo que es razonable suponer que Ω es equiprobable. El cardinal de
Ω es #Ω = 12 ⋅ 11.
Maria y Juan se sientan en lugares adyacentes cuando las bolillas elegidas son numeros
consecutivos ascendentes o descendentes, o los numeros 1 y 12, o los numeros 12 y 1. De
modo que el evento de interés es:
A = {(1,2) , (2,3) , (3,4) , ..., (11,12)} ∪ {(2,1) , (3,2) , (4,3) , ..., (12,11)} ∪ {(1,12) , (12,1)}
Luego,
#A = 11 + 11 + 2 = 24
Por lo que conclúımos que:
P (A) = #A
#Ω
= 24
12 ⋅ 11 =
2
11
9
8. Un comercio de venta de articulos electrónicos tiene en stock 5 computadoras idénticas, de una cierta
marca y modelo, de las cuales 2 son defectuosas aunque esto es desconocido para los empleados del
comercio. Suponga que en una semana se venden 3 de las 5 computadoras.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que se venda al menos una computadora defectuosa?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de se venda exactamente una computadora defectuosa?
Solution: Podemos responder estas preguntas conceptualizando dos experimentos distintos. En el
primer experimento asociamos a las computadoras con cinco bolillas idénticas numeradas del 1 al
5 en un bolillero y consideramos el experimento de sacar tres bolillas del bolillero, una por vez,
correspondiendo la bolilla sorteada primero a la primer computadora vendida, la segunda bolilla
a la segunda computadora vendida y la tercer bolilla a la tercer computadora vendida. El espacio
muestral es entonces:
Ω = {(a1, a2, a3) ∶ a1, a2 y a3 ∈ {1, ...,5} y a1, a2 y a3 distintos}
El espacio es equiprobable, porque no hay ninguna razón por la que alguna terna sea mas favorable
que otra ya que las computadoras son idénticas y los empleados no saben cuáles son defectuosas. El
cardinal de Ω es #Ω = 5 ⋅ 4 ⋅ 3.
(a) Sin pérdida de generalidad supongamos que las computadoras 1 y 2 son defectuosas. El evento
de interés en esta pregunta es
A = {(a1, a2, a3) ∈ Ω ∶ ∃i tal que ai = 1 o ai = 2}
Calcular el cardinal de A es engorroso, porque hay que considerar muchos casos distintos.
En cambio, el cardinal de Ac es fácil de calcular. Ac es el evento de que ninguna de las
tres computadoras vendidas sea defectuosa y como solo hay tres computadoras que no son
defectuosas -las computadoras numeradas con 3,4, y 5- entonces el evento corresponde a la
venta de las computadoras 3,4 y 5 en algún orden, que corresponde al subconjunto de Ω ∶
Ac = {(a1, a2, a3) ∈ Ω ∶ {a1, a2, a3} = {3,4,5}}
El cardinal de Ac es #Ac = 3!. Luego:
P (A) = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 − 3 ⋅ 2
5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 1 −
1
10
= 9
10
(b) El evento de interés es:
B = {(1, a2, a3) ∈ Ω ∶ {a2, a3} ⊂ {3,4,5}}
∪{(a1,1, a3) ∈ Ω ∶ {a1, a3} ⊂ {3,4,5}}
∪{(a1, a2,1) ∈ Ω ∶ {a1, a2} ⊂ {3,4,5}}
∪{(2, a2, a3) ∈ Ω ∶ {a2, a3} ⊂ {3,4,5}}
∪{(a1,2, a3) ∈ Ω ∶ {a1, a3} ⊂ {3,4,5}}
∪{(a1, a2,2) ∈ Ω ∶ {a1, a2} ⊂ {3,4,5}}
El conjunto {(1, a2, a3) ∈ Ω ∶ {a2, a3} ⊂ {3,4,5}} tiene 3⋅2 = 6 elementos, y los restantes conjuntos,
por idéntico razonamiento, también tienen cada uno 6 elementos. Por lo tanto #B = 6 ⋅ 6 = 36.
Luego
P (B) = #B
#Ω
= 36
5 ⋅ 4 ⋅ 3 =
3
5
10
Otra forma de resolver las preguntas (a) y (b) es considerar el experimento en el que elegimos
las bolillas metiendo la mano en el bolillero y sacando tres a la vez, es decir ignorando el orden
cronológico en el que las bolillas son sorteadas (equivalentemente, el orden en el que se venden
las computadoras) ya que el evento de interés se refiere a las caracteŕısticas de las computadoras
vendidas pero no al orden en que fueron vendidas.
En este experimento, el espacio muestral es
Ω = {{a1, a2, a3} ∶ {a1, a2, a3} ⊂ {1,2,3,4,5}} ,
es decir Ω es el conjunto de todos los subconjuntos de tres elementos que se pueden formar del
conjunto {1,2,3,4,5} . Prestá atención a que en este caso los elementos de Ω son conjuntos!.
Este espacio es nuevamente equiprobable porque no hay ninguna razón para suponer que un subconjunto
sea más probable que otro. El cardinal de Ω es el número de subconjuntos de tres elementos que se
pueden formar a partir del conjunto {1,2,3,4,5} . En virtud del ejercicio 1, el mismo será #Ω = (5
3
).
(a) En la pregunta (a) el evento de interés es
A = {{a1, a2, a3} ∈ Ω ∶ {a1, a2, a3} /= {3,4,5}}
= Ω − {{3,4,5}}
O sea que A es el subconjunto de Ω formado por todos los elementos de Ω excepto por el
“element” {3,4,5} (recordá que {3,4,5} es un elemento del conjunto Ω porque Ω esta formadopor todos los conjuntos de tres elementos que se pueden formar con los numeros 1,2,3,4 y 5).
Luego:
#A = #Ω − 1
Por lo tanto,
P (A) = #Ω − 1
#Ω
= 1 − 1
#Ω
= 1 − 1
(5
3
)
= 1 − 1
10
= 9
10
Fijate que esta solución es la misma a la que arribamos antes cuando tuvimos en cuenta el
orden cronológico de las ventas.
(b) El evento A es:
B = B1 ∪B2
donde,
B1 = {{1, a2, a3} ∶ {a2, a3} ⊂ {3,4,5}}
y
B2 = {{2, a2, a3} ∶ {a2, a3} ⊂ {3,4,5}}
El cardinal de B1 es igual al número de subconjuntos {a2, a3} que se pueden formar a partir
del conjunto {3,4,5} . Luego #B1 = (32) = 3 y del mismo modo, #B2 = (
3
2
) = 3.
Como B1 y B2 son mutuamente excluyentes, el cardinal de la unión de ambos conjuntos es la
suma de los cardinales de cada uno de ellos (si no te das cuenta, dibuja los diagramas de Venn
para visualizarlo).
Entonces tenemos que:
#B = #B1 +#B2 = 3 + 3 = 6
Luego,
P (B) = #B
#Ω
= 6
(5
3
)
= 6
10
= 3
5
Nuevamente, obtenemos el mismo resultado que obtuvimos antes cuando consideramos el orden
cronológico.
11
Lección importante: Este ejercicio demuestra que no hay una “receta” única de cómo
resolver un problema de cálculo de probabilidad. Pueden existir distintas v́ıas de
resolución, siempre y cuando sean coherentes.
En este problema plantear que los espacios muestrales de la primera estrategia de resolución y
de la segunda eran ambos equiprobables es coherente y razonable. En cambio, suponé que tirás
una moneda dos veces, y plantea los siguientes dos espacios muestrales para los resultados del
experimento
Ω1 = {(ceca, ceca) , (cara, cara) , (ceca, cara) ,{cara, ceca}}
y
Ω2 = {{ceca, ceca} ,{cara, cara} ,{cara, ceca}}
El primer espacio muestral corresponde al experimento donde registramos el orden de los
resultados de los dos tiros, el segundo corresponde al experimento en el que solo registramos
los resultados de los tiros, pero no el orden el que salieron. En este caso sin embargo, si la
moneda está equilibrada Ω1 es equiprobable pero Ω2 no lo es.
9. Suponé que la siguiente tabla indica las proporciones de Argentinos con distintas opiniones sobre el
presidente del páıs.
Opinión Proporción
Muy favorable .25
Indiferente .40
Desfavorable .35
Si se elige un argentino al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su opinión sobre el presidente sea
desfavorable?. Explicá tu razonamiento, detallando el espacio muestral y el evento de interés.
Solution: Haciendo uso de la información de la tabla y suponiendo que la cantidad de Argentinos
es n, es posible identificar la cantidad de individuos involucrados en cada una de las opiniones:
Opinión Cantidad
Muy favorable 0,25 ⋅ n
Indiferente 0,4 ⋅ n
Desfavorable 0,35 ⋅ n
Luego si se identifica a cada individuo con un número entre 1 y n de manera que los primeros 0,35 ⋅n
sean los que tengan opinión desfavorable, los siguientes 0,4 ⋅ n sean los indiferentes y los últimos
0,25 ⋅ n los que opinen muy favorablemente (observar que 0,35 ⋅ n + 0,4 ⋅ n + 0,25 ⋅ n = n), es posible
definir el espacio muestral Ω = {1,2, . . . , n} y el evento de interés D = {1,2, . . . ,0,35 ⋅ n} .
Asumiendo equiprobabilidad en la elección del individuo, se concluye que:
P (D) = #D
#Ω
= 0,35 ⋅ n
n
= 0,35
Como conclusión de este ejercicio se podŕıa decir que bajo la hipótesis de equiprobabilidad, la
probabilidad es una forma de medición análoga a las utilizadas para medir tamaños de conjuntos,
como lo prodŕıan ser contar elementos, porcentajes o proporciones.
10. Suponé que un comercio tiene dos sucursales, cada una con su propio encargado de limpieza. Suponé que
los encargados están autorizados a encargar art́ıculos de limpieza cada viernes de uno de tres proveedores
distintos V 1, V 2 y V 3. Suponé que los encargados de las dos sucursales no se comunican entre śı. En un
d́ıa viernes determinado:
12
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos empleados hagan sus encargos del mismo proveedor?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el proveedor V1 reciba al menos un encargo?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que el proveedor V1 reciba exactamente un encargo?
Solution: Numerando a los proveedores 1, 2 y 3, y teniendo en cuenta que los encargados de las
sucursales pueden elegir a un mismo proveedor, definimos el espacio muestral:
Ω = {(a1, a2) ∶ ai ∈ {1,2,3}} ,
cuyo cardinal es #Ω = 32. Dado que los encargados no se comunican entre śı y asumiendo que
no tienen ninguna preferencia en particular por algún proveedor, concluiremos que el espacio es
equiprobable.
(a) El evento de interés es:
A = {(a1, a2) ∶ ai ∈ {1,2,3} , a1 = a2} ,
luego como #A = 3, se tiene que P (A) = #A
#Ω
= 1
3
(b) Sea el evento B = “V1 recibe al menos un encargo.”, entonces su complemento será:
Bc = {(a1, a2) ∶ ai ∈ {2,3}} ,
por lo tanto
P (B) = 1 − P (Bc) = 1 − #B
c
#Ω
= 1 − 4
9
= 5
9
(c) En este caso el evento de interés puede ser visto como la siguiente unión disjunta:
C = C1 ∪C2,
con C1 = {(a1, a2) ∶ a1 = 1, a2 ∈ {2,3}} y C2 = {(a1, a2) ∶ a1 ∈ {2,3} , a2 = 1} . A partir del segundo
axioma de probabilidad se tiene que
P (C) = P (C1) + P (C2) =
#C1
#Ω
+ #C2
#Ω
= 2
9
+ 2
9
= 4
9
.
11. Para el Problema Del Cumpleaños visto en la clase teórica y utilizando R:
(a) Calcular la probabilidad de que entre los primeros 50 invitados en llegar a la fiesta hayan al menos
dos que cumplan años en la misma fecha.
(b) Utilizando la función sample() simular las fechas de cumpleaños (con enteros de 1 a 365) de los
primeros 50 invitados que ingresan a la fiesta. Usar la función duplicated() para chequear si se
produce alguna repetición en las fechas de cumpleaños. Observación: usando sum(duplicated())
podés contar cuántas repeticiones se producen.
(c) Utilizar la función sample() para realizar 10 simulaciones de 50 invitados ingresando a la fiesta
y calcular la frecuencia relativa con la que en ese grupo de 50 personas hayan al menos dos que
cumplan años en la misma fecha. Repetir para 1000 y 100000 simulaciones. Comparar cada una de
las 3 frecuencias relativas con la probabilidad calculada en el inciso anterior.
(d) Identificar cuántos invitados deben ingresar para que la probabilidad de que se produzca al menos
una repetición en las fechas de cumpleaños sea superior a 0,6
12. Utilizando la función sample() de R, resolver los siguientes incisos:
(a) Crear un vector que almacene los valores simulados que se obtienen al lanzar 100 veces un dado
13
(b) Se van a lanzar dos dados 100 veces, armar un vector que almacene los valores simulados de la suma
de los dados
(c) Si ahora se lanzarán tres dados 100 veces, calcular la frecuencia relativa de que la suma de los los
3 dados lanzados sumen 18
(d) Resolver nuevamente el inciso anterior para 100000 y 1000000 repeticiones de los lanzamientos. Qué
observás respecto de los valores calculados y la probabilidad real de que la suma de los 3 dados sea
18?
13. El siguiente es el gráfico de frecuencia relativa de bolillas rojas vs cantidad de sorteos con valores
generados, a partir de simular en R, 20 sorteos de un bolillero con 30 bolillas rojas y 70 bolillas negras.
Observando el gráfico respondé los siguientes incisos:
(a) Describ́ı la lista cronológica de los colores de las bolillas sorteadas en los primeros cinco sorteos.
(b) Indicá para las siguientes afirmaciones, cuáles son verdaderas y cuáles falsas:
b1. En el 20 % de los primeros 10 sorteos la bolilla sorteada fue roja
b2. La proporción de bolillas rojas sorteadas al cabo de n sorteos se mantuvo siempre por debajo
de 0.3 para todo n entre 1 y 20
Solution:
(a) Para armar la lista es necesario notar en el gráfico que la frecuencia relativa aumenta
cuando en los sorteos se extrae una bolilla roja y disminuye (o es constante) en el caso de
ser negra:
Sorteo 1 Ð→ Negra
Sorteo 2 Ð→ Negra
Sorteo 3 Ð→ Roja
Sorteo 4 Ð→ Negra
Sorteo 5 Ð→ Negra
(b) b1. Verdadero. De las 10 primeras extracciones, 2 veces salió roja y 8 veces negra.
b2. Falso. Para n = 3 la proporción de bolillas rojas fue de 1
3
.
14
14. Un fondode inversión ofrece a sus clientes distintos tipos de fondos: mercado de dinero, bonos a corto
plazo, bonos a mediano plazo, bonos a largo plazo, acciones de riesgo medio, acciones de alto riesgo y
un portafolio balanceado.
Entre los clientes que tienen invertido su dinero solo en uno de los fondos ofrecidos, los porcentajes de
clientes en los distintos fondos es el siguiente: dinero 20 %,bonos corto 15 %,bonos mediano 10 %, bonos
largo 5 %, acciones riesgo moderado 25 %, acciones riesgo alto 18 %, portafolio balanceado 7 %.
Un cliente del fondo visita una sucursal para reunirse con un asesor.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente esté invirtiendo en un portafolio balanceado?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente esté invirtiendo en bonos?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente no esté invirtiendo en acciones?
Solution: Por selección al azar entendemos que todos los clientes tienen la misma probabilidad de
ser elegidos, entonces si A es un subconjunto de clientes tenemos que:
P (cliente esté en A) = P (A) = cantidad de clientes en A
cantidad de clientes
= porcentaje de clientes en A
100
.
(a) Consideremos el conjunto A = {Clientes que invirtieron en un portafolio balanceado}, luego:
P (A) = 7
100
= 0,07
(b) En este caso el evento en cuestión será A = {Bono corto} ∪ {Bono mediano} ∪ {Bono largo}
y el porcentaje de clientes en A podrá ser calculado sumando los porcentajes de los inversores
en bonos de algún tipo, dado que no hay inversiones en varios tipos de fondo por parte de un
mismo cliente (en particular no lo habrá en varios tipos de bonos):
P (A) = 15 + 10 + 5
100
= 0,3.
(c) Recordemos que si tenemos una unión de eventos disjuntos que cubra todas las posibles ocurrencias
(partición del espacio muestral), entonces la suma de las probabilidades de dichos eventos dará
como resultado 1:
P (cliente invierta en acciones) + P (cliente no invierta en acciones) = 1,
entonces:
P (cliente no invierta en acciones) = P ({Acciones}c)
= 1 − P ({Acciones})
= 1 − [P({Riesgo moderado}) + P ({Riesgo alto})]
= 1 − (0,25 + 0,18) = 1 − 0,43 = 0,57.
15. El Banco Mundial está evaluando otorgar préstamos a dos paises, Mali y Zimbawe, para que emprendan
proyectos de saneamiento de sus redes cloacales. De acuerdo a los cálculos del departamento de gestión
de Banco, la probabilidad de que el proyecto se lleve a cabo exitosamente en ambos páıses es 0.9, y la
probabilidad de que se lleve a cabo exitosamente en alguno de los dos paises tambien es 0.9. ¿Cuál es la
probabilidad de que el proyecto se lleve a cabo exitosamente solo en Mali?
15
Solution: Consideramos el espacio muestral
Ω = {(m,z), (m, z̄), (m̄, z), (m̄, z̄)} ,
donde m y z indican que los proyectos se llevan a cabo con éxito en Mali y Zimbawe respectivamente
(la barra encima de las letras indican que los proyectos fracasan). Definiendo los eventos:
M = “El proyecto es exitoso en Mali” = {(m,z), (m, z̄)}
Z = “El proyecto es exitoso en Zimbawe” = {(m,z), (m̄, z)} ,
y atentiendo a los datos del enunciado se tiene que
P (exitoso en ambos paises) = P (M ∩Z) = P ({(m,z)}) = 0,9
P (exitoso en algun pais) = P (M ∪Z) = P ({(m,z), (m, z̄), (m̄, z)}) = 0,9,
con lo cual se puede ver que el espacio definido no es equiprobable. Luego como P ({(m,z)}) +
P ({(m, z̄)}) + P ({(m̄, z)}) = 0,9 y P ({(m,z)}) = 0,9 se deduce que
P ({(m, z̄)}) + P ({(m̄, z)}) = 0,
y finalmente se obtiene
P ({(m, z̄)}) = 0
16. Un establecimiento de venta de ropa acepta pagos con tarjetas solamente de American Express y VISA.
Considerando que en la población de potenciales clientes del comercio un 24 % tiene American Express,
un 61 % tiene VISA y un 11 % tiene ambas tarjetas. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo cliente
que haga una compra en el comercio deba pagar en efectivo?
Solution: Repitiendo las ideas del ejercicio anterior consideramos el espacio muestral
Ω = {(a, v), (a, v̄), (ā, v), (ā, v̄)} ,
además el enunciado nos dice que
P (A) = P ({(a, v), (a, v̄)}) = 0,24
P (V ) = P ({(a, v), (ā, v)}) = 0,61
P (A ∩ V ) = P ({(a, v)}) = 0,11,
donde A y V son los eventos que indican si el cliente usa American Express o Visa respectivamente.
El objetivo es calcular P (Ac ∩ V c) = P ({(ā, v̄)}):
P (Ac ∩ V c) = 1 − P (A ∪ V ) = 1 − (P (A) + P (V ) − P (A ∩ V ))
= 1 − (0,24 + 0,61 − 0,11) = 1 − 0,74 = 0,26
17. Una escuela ofrece cursos de tres idiomas distintos: español, francés y alemán, además de cursos en otras
disciplinas. Las clases son abiertas para los 100 estudiantes de la escuela. Hay 28 estudiantes en la clase
de español, 26 en la de francés y 16 en la de alemán. Hay 12 estudiantes que están tanto en la de español
como en la de francés, 4 en la de español y la de alemán y 6 en la de francés y la de alemán. Además,
hay 3 alumnos que están en las 3 clases. Los estudiantes abonan la cuota mensual por medio de pago
electrónico.
16
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes dado, el primer estudiante que abone la cuota mensual:
a1. no esté inscripto en cursos de idiomas?
a2. esté tomando exactamente un curso de idioma?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes dado, entre los dos primeros estudiantes que abonan la
cuota mensual, haya por lo menos uno que esté cursando alguna clase de idioma?
Solution: Empezamos por calcular la distribución de estudiantes del colegio según los idiomas que
estudian utilizando el diagrama de Venn que representa a este problema.
Inicialmente solo estamos en condiciones de asegurar que #(F ∩E ∩A) = 3. Sin embargo, haciendo
uso de la información del enunciado y recorriendo el diagrama “desde el centro hacia afuera”, seremos
capaces de completarlo en su totalidad:
E ∩ F = [(E ∩ F ) −A] ⊍ (F ∩E ∩A)
#(E ∩ F ) = #[(E ∩ F ) −A] +#(F ∩E ∩A)
12 = #[(E ∩ F ) −A] + 3
#[(E ∩ F ) −A] = 9,
análogamente se tendrá que #[(E ∩A) − F ] = 1.
Escribamos uno más:
E = [E − (F ∩A)] ⊍ [(E ∩ F ) −A] ⊍ [(E ∩A) − F ] ⊍ (F ∩E ∩A)
#E = #[E − (F ∩A)] +#[(E ∩ F ) −A] +#[(E ∩A) − F ] +#(F ∩E ∩A)
28 = #[E − (F ∩A)] + 9 + 1 + 3
#[E − (F ∩A)] = 15.
A continuación se presenta el diagrama con todas las cantidades (las subrayadas fueron analizadas
anteriormente):
9
3
1
3
E
F A
11
15
9
49
Alumnos
17
(a) En este inciso asumiremos que todos los estudiantes tienen la misma chance de ser el pimero
en abonar la cuota.
a1. P (No tome clases de idiomas) = #(A∪E∪F )
c
#Ω
= 49
100
= 0,49
a2. Usando el segundo axioma de probabilidad:
P (Tome exactamente una clase) = P ([E − (F ∪A)] ⊍ [F − (E ∪A)] ⊍ [A − (E ∪ F )])
= 15
100
+ 11
100
+ 9
100
= 35
100
= 0,35.
(b) Numeramos los estudiantes de manera que los primeros 51 sean los que toman clases y los
últimos 49 los que no toman clases y definimos el espacio muestral
Ω = {(a1, a2) ∶ {a1, a2} ⊂ {1, . . . ,100}, a1 ≠ a2} ,
el cual consideraremos equiprobable pues entendemos que no hay motivos para creer que algunos
alumnos abonarán la cuota con anticipación respecto de otros. El evento de interés será
A = {(a1, a2) ∶ a1 ∈ {1, . . .51} ó a2 ∈ {1, . . .51}} ,
y en vistas de facilitar el cálculo, para obtener su probabilidad utilizaremos a su complemento
P (A) = 1 − P (Ac) = 1 − #A
c
#Ω
= 1 − 49 ⋅ 48
100 ⋅ 99 = 0,7624242.
18. Los siguientes datos son de un estudio sobre 1000 suscriptores de una revista: En referencia a su estado
civil, educación y trabajo, se encontró que 312 trabajan, 470 están casados, 525 terminaron la universidad,
42 trabajan y terminaron la universidad, 147 están casados y terminaron la universidad, 86 están casados
y trabajan y 25 están casados, terminaron la universidad y trabajan. Demostrá que los datos reportados
deben estar mal.
Solution: Al igual que el anterior, este ejercicio podŕıa ser resuelto utilizando un diagrama de Venn
para organizar las cantidades involucradas, pero haremos una resolución alternativa con el objetivo
de mostrar el siguiente resultado:
Sean los conjuntos A,B y C, entonces vale que
#(A ∪B ∪C) = #A +#B +#C −#(A ∩B) −#(A ∩C) −#(B∩C) +#(A ∩B ∩C),
y vale también el mismo resultado si en vez de cardinales se calculan probabilidades.
Aplicando entonces el resultado a los conjuntos
T = {Suscriptores que trabajan.}
C = {Suscriptores casados.}
U = {Suscriptores que terminaron sus estudios universitarios.},
se obtiene
#(T ∪C ∪U) = #T +#C +#U −#(T ∩C) −#(T ∩U) −#(C ∩U) +#(T ∩C ∩U)
= 312 + 470 + 525 − 42 − 147 − 86 + 25 = 1057,
lo cual contradice el hecho de que en total fueron 1000 los suscriptores que formaron parte del
estudio. Se concluye entonces que hay un error en los datos reportados.
18
19. Supongamos que cuando una computadora se “cuelga” (no responde), el 75 % de las veces se debe a
problemas de memoria y el 15 % de las veces a problemas de software y que el 15 % de las veces se
debe a problemas que no son ni de memoria ni de software. Si una computadora se cuelga, ¿Cuál es la
probabilidad de que ocurra un problema de:
(a) Software y memoria?
(b) Software pero no de memoria?
Solution: De manera análoga a los ejercicios (14) y (15), definimos el espacio muestral
Ω = {(s,m), (s, m̄), (s̄,m), (s̄, m̄)} ,
y si consideramos los eventos
S = “Se cuelga por problema de software.”
M = “Se cuelga por problema de memoria.”
se tendrá que los datos del enunciado son
P (M) = P ({(s,m), (s̄,m)}) = 0,75
P (S) = P ({(s,m), (s, m̄)}) = 0,15
P (M c ∩ Sc) = P ({(s̄, m̄)}) = 0,15,
(a) Nos interesa calcular P (M ∩ S), luego como P (M ∪ S) = P (M) + P (S) − P (M ∩ S) se puede
deducir que
P (M ∩ S) = P (M) + P (S) − P (M ∪ S)
= P (M) + P (S) − [1 − P ((M ∪ S)c)]
= P (M) + P (S) − [1 − P (M c ∩ Sc))]
= 0,75 + 0,15 − [1 − 0,15] = 0,05
(b)
P (S ∩M c) = P (S −M) = P (S) − P (S ∩M) = 0,15 − 0,05 = 0,1
20. Hay 30 economistas y 24 contadores presentes en cierta conferencia. De estas 54 personas se eligen 3
al azar, para participar en un panel de discusión. ¿Cuál es la probabilidad de que se elija al menos un
contador?
Solution: Empezamos por numerar a los 54 individuos de manera que los primeros 30 sean los
economistas y los últimos 24 sean los contadores. De esa manera el espacio muestral se define como
Ω = {(a1, a2, a3) ∶ {a1, a2, a3} ⊂ {1,2, ...,54} , a1 ≠ a2 ≠ a3} ,
y queda que Ω = 54 ⋅ 53 ⋅ 52.
Consideremos al complemento del evento de interés A = “Se elige al menos un contador.”:
Ac = “No se eligen contadores.”
= “Se eligen todos economistas.”
= {(a1, a2, a3) ∶ {a1, a2, a3} ⊂ {1,2, ...,30} , a1 ≠ a2 ≠ a3} ,
19
con lo cual la probabilidad deseada será:
P (A) = 1 − P (Ac) = 1 − 30 ⋅ 29 ⋅ 28
54 ⋅ 53 ⋅ 52 = 0,8363
21. (*) De un grupo de muchos postulantes para tres puestos ejecutivos vacantes en una cierta empresa,
quedaron preseleccionados 10 mujeres y 10 hombres, todos ellos con identicas habilidades y con curriculums
esencialmente indistinguibles. Los tres puestos fueron finalmente otorgados a dos hombres y a una
mujer. La empresa recibe una querella de una de las mujeres preseleccionadas no elegidas para el puesto
reclamando que ha habido sesgo en contra de las mujeres. Si Ud fuera el abogado de la empresa, ¿que
argumento ofreceŕıa en defensa de la empresa?
Solution: El abogado argumentará que la empresa eligió al azar a los tres seleccionados entre los
20 preseleccionados. Para sustentar su argumento calculará la probabilidad de que en una elección
al azar salgan seleccionados dos hombres y una mujer. Este cálculo (que ahora haremos), arroja
una probabilidad de 0.394. Luego, el abogado podrá alegar usando la interpretación frecuentista de
la probabilidad, que no es un resultado fuera de lo común seleccionar a dos hombres y una mujer,
ya que a la larga, en muchas repeticiones de sorteos al azar de tres personas del pool de las 20
seleccionadas, en alrededor de cuatro de cada diez sorteos saldŕıan sorteados dos hombres y una
mujer.
Para calcular la probabilidad de seleccionar a dos hombres y a una mujer, numeramos a las mujeres
del 1 al 10 y a los hombres del 11 al 20. Podemos considerar el experimento en el que asociamos a
cada persona preseleccionada con una bolilla de un bolillero con bolillas numeradas del 1 al 20 y en
el que sacamos metiendo una mano dentro del bolillero tres bolillas al azar. Como no hay orden de
selección de las bolillas, el espacio muestral es
Ω = {{a1, a2, a3} ∶ {a1, a2, a3} ⊂ {1,2, ...,20}}
Notemos que en este caso los elementos de Ω son subconjuntos de tres elementos del conjunto
{1,2, ...,20}. Luego, en virtud del ejercicio 1,
#Ω = (20
3
) = 20!
3!17!
= 20 ⋅ 19 ⋅ 18
2 ⋅ 3 = 20 ⋅ 19 ⋅ 3 = 1140.
Por otro lado el evento “Salen sorteados dos hombres y una mujer” es el evento
A = {{a1, a2, a3} ∶ {a1} ⊂ {1, ...,10} y {a2, a3} ⊂ {11, ...,20}}
Formamos un elemeno de A seleccionando un subconjunto {a2, a3} del conjunto {11, ...,20} y luego
seleccionando un elemento a1 del conjunto {1, ...,10}. Hay (102 ) = 45 formas de realizar la primer
selección y (10
1
) = 10 formas de realizar la segunda selección. Como podemos combinar cualquier
primer selección con cualquier segunda selección, arribamos a la conclusión de que
#A = 45 ⋅ 10 = 450
Luego
P (A) = #A
#Ω
= 450
1140
= 0,394 74
22. (Ejercicio optativo) (**) Este problema o variaciones del mismo aparece frecuentemente en entrevistas a
20
postulantes de puestos técnicos y gerenciales en empresas tecnológicas como Google, Amazon, etc porque
evalúa el sentido común en la capacidad de razonamiento anaĺıtico del postulante!.
Suponé que hay 100 pasajeros esperando en fila para abordar un avión con 100 asientos. Cada pasajero
tiene su asiento asignado. Suponé que el primer pasajero, en vez de sentarse en su asiento asignado, se
sienta en un lugar elegido al azar entre los 100 asientos asignados (por ejemplo, eligiendo el asiento con
numeración igual a las dos últimas cifras del documento de identidad del segundo pasajero -eligiendo
100 en caso de que el documento termine en 00-. Suponé que cada siguiente pasajero se sienta en su sitio
asignado si este sitio no fue ocupado aún y de lo contrario elige un sitio completamente al azar entre los
que están libres. ¿Cuál es la probabilidad de que el último pasajero de la fila se siente en el asiento que
teńıa asignado?
Ayuda: numerá al asiento asignado al pasajero j − esimo de la fila, como asiento j (sin importar
si la aeroĺınea lo numera diferente, por ejemplo 30C o lo que fuera). Pensá que el último de la fila no
puede elegir asiento porque para cuando le toca elegir solo queda uno disponible. Ahora pensa cuales de
todos asientos pueden llegar a ser ese único asiento disponible.
Solution: Como se menciona en la ayuda, en el momento que el último pasajero ingresa al avión
solo tendrá disponible un asiento disponible donde sentarse, pues el resto de los pasajeros ya estarán
ubicados. Este asiento puede ser el asiento 1 o el asiento 100, pero no puede ser ningún otro, pues
cualquier asiento j que no sea uno de estos dos, no estará disponible ya que o bien fue tomado antes
de que le toque el turno de elegir al pasajero j, o de lo contrario lo tomará el pasajero j cuando
ingrese al avión (estamos usando que el 1er pasajero no se ubica necesariamente en su asiento, sino
que sortea donde sentarse). De modo que el espacio muestral es {1,100} .
Por otro lado, la probabilidad que tiene el último pasajero de sentarse en el asiento 1
coincide con la probabilidad de que ninguno de los otros 99 pasajeros haya ocupado el
asiento 1 previamente, la cual a su vez, por razones de simetŕıa, coincide con la probabilidad de
que ninguno de los otros 99 pasajeros haya ocupado el asiento 100 y esta última es igual
a la probabilidad de que el último pasajero ocupe el asiento 100 (su asiento).
Luego como Ω = {1,100}, y acabamos de argumentar que cada una de estas posibilidades concentra
igual probabilidad, se concluye que dichas probabilidades serán 0.5. En particular la probabilidad
que tiene el último pasajero de sentarse en el asiento que teńıa asignado (el número 100) es de 0.5.
Ejercicios adicionales para resolver con R.
23. Abajo encontrarásel codigo de R que genera la simulación y el gráfico para el ejercicio 13. Corré la
simulación en tu compu y observá qué le ocurre a tu gráfico. Repet́ı la simulación varias veces (se
recomienda experimentar con varios parámetros al correr la función), y observá cómo van cambiando las
series de frecuencias relativas.
# D e f i n i c i o n de l a func ion so r t eo . b o l i l l e r o . Los comandos que
# de f inen l a func ion estan ent re l l a v e s { } .
# La func ion t i e n e dos argumentos : numero . de . r o j a s . en . e l . b o l i l l e r o
# y cant idad . de . s o r t e o s . La func ion simula un nomero de s o r t e o s
# con r e p o s i c i o n de un b o l i l l e r o con b o l i l l a s de dos t i p o s y un
# t o t a l de 100 b o l i l l a s . El argumento cant idad . de . s o r t e o s i nd i c a
# cuantos s o r t e o s se s imularon y e l argumento
# numero . de . r o j a s . en . e l . b o l i l l e r o i nd i c a e l numero de b o l i l l a s de
# c o l o r r o j o que se asumen .
sorteo . bolillero <= f unc t i on ( numero . de . rojas . en . el . bolillero ,
cantidad . de . sorteos )
{
N <= cantidad . de . sorteos
k <= numero . de . rojas . en . el . bolillero
# Simulamos N s o r t e o s con r epo s i c i on , cada uno de una b o l i l l a
21
# numerada ent re 1 y 100 , y asignamos l o s r e s u l t a d o s a un vector
# r de N componentes .
r <= sample ( 1 : 100 , N , r ep l a c e = T )
# El proximo comando l e as igna 1 a todas l a s componentes de l vec tor
# r con v a l o r e s menores que k+1 a 1
r [ r < k+1] <= 1
# El proximo comando l e as igna 0 a todas l a s componentes de l
# vector r con v a l o r e s mayores que k a 0
r [ r > k ] <= 0
# El proximo comando d e f i n e un nuevo vector p de l a misma dimension
# que r , t a l que l a componente i=esima de p es l a suma de l a s pr imeras
# i componentes de r d i v i d i da por i . La componente i=esima de p
# entonces es l a proporc ion de s o r t e o s ent re l o s i pr imeros s o r t e o s
# en l o s que l a b o l i l l a sor teada estaba numerada con un va lo r menor
# que k+1.
p <= cumsum( r ) / ( 1 : N )
# Los proximos comandos generan e l g r a f i c o
n <= 1 : N
p lo t ( n , p , lab = c (10 ,10 ,7 ) ,
ylab = ' Frecuenc ia r e l a t i v a de b o l i l l a s r o j a s ' ,
xlab = 'Cantidad de s o r t e o s r e a l i z a d o s ' )
ab l i n e ( a = k/ 100 , b = 0)
l i n e s ( n , p , lty = 1 , c o l = ' red ' )
# La l l a v e i nd i c a e l f i n a l de l a d e f i n i c i o n de l a func ion
}
# Llamamos a l a func ion para e l caso de 100 s o r t e o s de un b o l i l l e r o
# con 30 b o l i l l a s r o j a s
sorteo . bolillero (30 , 20)
24. En este ejercicio se proponen algunos desaf́ıos adicionales para el ejercicio 12:
(a) Resolver nuevamente el inciso c) para 10000 repeticiones de los lanzamientos y que la suma de los
tres dados sea 13
(b) Hacer un grafico de las frecuencias relativas que se van obteniendo durante los 10000 lanzamientos
sucesivos (al estilo del ejercicio 13) para la suma igual a 13
(c) Armar una función frecuencia.relativa(n,k) siendo n la cantidad de lanzamientos y k (entre
3 y 18) la suma de los 3 dados, que devuelva el gráfico de frecuencias relativas (como en el inciso
anterior). Una vez armada la función, evaluarla a modo de experimentación en diferentes valores de
n y k. Elaborar conclusiones sobre lo observado.
(d) Armar una función probabilidad.aproximada(n) siendo n la cantidad de lanzamientos, que devuelva
un gráfico de frecuencias relativas vs k (enteros entre 3 y 18). Comparar los gráficos para n igual a
100, 1000 y 100000
(e) Si tuvieras que apostar dinero a cuánto sumarán los 3 dados antes de lanzarlos, a qué numero le
apostaŕıas?
25. Para el ejercicio 22, resolver los siguientes incisos:
(a) Utilizando la función sample() tantas veces como sea necesario, armar un algoritmo que simule
el mecanismo aleatorio por el cual los pasajeros van ubicándose dentro del avión (previamente,
generá aleatoriamente los asientos que la aeroĺınea reservó para cada pasajero). Corré el algoritmo
un mı́nimo de 10 veces e identificá en cada caso a quién le correspond́ıa originalmente el asiento que
le terminó quedanto disponible al último pasajero. Te animás a conjeturar alguna hipótesis sobre
lo observado?
22
(b) En vistas de aproximar la probabilidad solicitada en el ejercicio 22, calculá la frecuencia relativa
con la que el último pasajero logra sentarse en su asiento asignado realizando 100 simulaciones.
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