TOMO RAZONAMIENTO MATEMATICO

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AUTORIDADES
Dr. ROHEL SÁNCHEZ SÁNCHEZ
Rector de la Universidad Nacional de San Agustín
Dra. ANA MARÍA GUTIÉRREZ VALDIVIA
Vicerrectora Académica
Dr. HORACIO BARREDA TAMAYO
Vicerrector de Investigación
Mag. JOSÉ PAZ MACHUCA
Director CEPRUNSA
Dra. ROXANA ALEMÁN DELGADO
Coordinadora Administrativa
Lic. EMILIO GUERRA CÁCERES
Coordinadora Académico
Dra. MERCEDES NÚÑEZ ZEVALLOS
COMITE DE APOYO CEPRUNSA
Mag. FRESIA MANRIQUE TOVAR
Lic. RONALD CUBA CARPIO 
 
 
1 
CAPÍTULO VII 
 
 
SITUACIONES LÓGICAS 
ORDEN DE INFORMACIÓN - CERTEZAS - MÁXIMOS Y 
MÍNIMOS. RELACIONES DE PARENTESCO - RELACIONES 
TEMPORALES RAZONAMIENTO LOGICO RECREATIVO 
 
 
CAPACIDAD 
 
Resuelve problemas que implican situaciones lógicas utilizando la imaginación y 
lógica de modo autónomo y creativo. 
 
SITUACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ORDEN DE INFORMACIÓN 
 
A) ORDENAMIENTO LINEAL 
 
En este caso se procede a ordenar la información, ubicando los datos en forma 
vertical u horizontal, según corresponda. 
 
PROBLEMA 1 
 
Se tienen 5 ciudades ubicadas a diferentes altitudes (alturas sobre el nivel del 
mar), se sabe que: 
T está 1500 metros por encima de C 
C está 900 metros por debajo de P 
A está 1400 metros por encima de M 
P está 2000 metros por encima de A 
Si la ciudad con menor altitud se encuentra a 800 metros sobre el nivel del mar; 
¿A cuántos metros sobre el nivel del mar se encuentra la ciudad con la mayor 
altitud? 
A) 4800 B) 5000 C) 2100 D) 3522 E) 1700 
 
SOLUCIÓN: 
 
 
1500 + 1100 + 1400 + 800 = 4800 m. 
 
 RPTA. A 
 
Un aficionado al futbol va al estadio y 
cuando llega a la boletería ve un cartel 
que muestra que cada entrada cuesta 30 
soles. Da al boletero 100 soles y este 
inmediatamente le da 3 entradas. ¿Cómo 
pudo inferir el boletero que quería 
c
o
 
 
2 
B) ORDENAMIENTO CIRCULAR 
 
Considerar: 
 
 
 
 
 
 
 
1) “A” está al frente de “C” 
2) “A” está a la izquierda de “D” 
3) “A” está a la derecha de “B” 
 
PROBLEMA 2 
 
Alrededor de una mesa circular se sientan seis personas ubicadas 
simétricamente. Ignacio no está al lado de Javier ni de Gustavo, Elías no está al 
lado de Fernando ni de Gustavo, Javier no está al lado de Fernando ni de Elías, 
Andrés está junto a la derecha de Javier. ¿Quién está sentado junto a la derecha 
de Elías? 
A) Javier B) Gustavo C) Fernando 
D) Andrés E) Ignacio 
 
SOLUCIÓN; 
 Ordenando a partir del dato más preciso 
 
 
Junto y a la derecha de Elías está Ignacio. 
 RPTA. A 
 
C) CUADROS DE DECISIONES 
 
En situaciones donde se tiene una diversidad de datos, donde se nos pide 
relacionar diversos datos entre sí, se recomienda emplear los "Cuadros de doble 
entrada", donde generalmente en la columna de entrada se escriben los nombres 
de los sujetos y en la fila de entrada las cualidades. 
 
Cada casilla se marca con “SI” o con “”, para indicar que la combinación es cierta 
(verdadera), o con un “NO” o “x” indicando que se rechaza, todo esto sacando 
conclusiones de las premisas planteadas debemos observar en una fila o en una 
columna debe haber una y solo una marcada con “SI” o “” 
 
PROBLEMA 3 
 
Germán asignó a las vocales a, e, i, o, u los números 1, 2, 3, 4, 5 uno a cada uno, 
no necesariamente en ese orden. Si se sabe que: 
 
– A la vocal “a” le asignó un número mayor que el asignado a la vocal “i”. 
– A la vocal “o” un número, que es el cuádruple del valor asignado a “e”, pero 
menor que el de “u”. 
 
¿Cuánto suman los valores asignados a las vocales “i” y “a”? 
 
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 
 
SOLUCIÓN: 
 
 1 2 3 4 5 
a No No Sí No No 
e Sí No No No No 
i No Sí No No No 
o No No No Sí No 
u No No No No Sí 
RPTA. A 
 
 
 
3 
CERTEZAS 
 
En estos problemas se determina la seguridad plena o certeza de que se suscite 
un evento o suceso, por lo que se debe ponerse siempre en el peor de los casos o 
el caso menos favorable que se puede dar por cuestiones del azar. 
 
PROBLEMA 4 
Una empresa con 66 trabajadores, decide despedir a cierto número de ellos. 
Habiendo perdido los documentos personales de cada trabajador, ¿a cuántos se 
debe despedir como máximo, para tener la certeza que entre ellos estén seis que 
hayan nacido en el mismo mes? 
 
A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 1 
 
SOLUCIÓN: 
 
En el peor de los casos, se considera 5 en cada uno de los 12 meses, luego con 
uno más se obtiene lo solicitado. 
Mínimo número de despedidos = 5 (12) + 1 = 61 
Entonces, se despide como máximo: 66 – 61 = 5 
RPTA. C 
 
MÁXIMOS Y MÍNIMOS 
 
Estas situaciones se aplican generalmente para obtener el máximo o mínimo valor 
que puede tomar el número de elementos de un grupo o conjunto. En el caso 
particular que involucre inecuaciones cuadráticas se puede tener en cuenta lo 
siguiente: 
Completar cuadrados en un trinomio cuadrado perfecto. 
Si a y b son números reales positivos, tales que 𝑎 + 𝑏 = 𝑁 → el máximo valor de 
𝑎𝒙𝑏 se obtiene cuando 𝑎 = 𝑏 =
𝑁
2
 
 
PROBLEMA 5 
Renzo lanza un dado x veces. Si el juego termina cuando la diferencia entre el 
máximo y el mínimo puntaje que obtiene no es menor que x2 – x, ¿cuál es la 
máxima cantidad de veces que lanzó el dado? 
 
A) 5 B) 2 C) 3 D) 6 E) 4 
 
SOLUCION: 
 
Por dato: 
𝑃𝑚á𝑥 − 𝑃𝑚í𝑛 ≥ 𝑥
2 − 𝑥 
6x – 1x ≥ x2 – x 
0 ≥ x2 – 6x 
0 ≥ x(x – 6) 
xmáx = 6 
 
 RPTA. D 
 
RELACIONES DE PARENTESCO 
 
Se aplica en problemas donde se considera los vínculos familiares, sean estos 
consanguíneos o legales. Es necesario recordar las relaciones de parentesco entre 
los miembros de la familia. 
 
A) VÍNCULO CONSANGUINEO 
 
Padres, hijos, hermanos, abuelos, bisabuelos, nietos, bisnietos, tíos, sobrinos, 
primos, etc. 
 
B) VÍNCULO LEGAL (AFINIDAD) 
 
Esposos, suegros, yernos, nueras, cuñados, concuñados, consuegros, etc. 
 
PROBLEMA 6 
 
El hijo de Bárbara está casado con Diadora, que es la hija de Elena y ésta a su 
vez abuela de Fabio y suegra de Claudio. Si Diadora es hija única y a la vez nuera 
de Anselmo. ¿Cuál de las alternativas es falsa? 
 
A) Fabio es nieto del padre de Claudio. 
B) Claudio es hijo del suegro de Diadora. 
C) La nuera de Bárbara es madre de Fabio. 
D) El padre de Claudio es esposo de Elena. 
E) Anselmo es suegro de la madre de Fabio. 
 
 
 
4 
SOLUCIÓN: 
 
 
 RPTA. D 
 
RELACIONES TEMPORALES 
 
Habitualmente se utiliza para representar variación de días (mañana, pasado 
mañana, ayer, anteayer, etc.) 
 
 
 
Llamada también la línea del tiempo. 
 
PROBLEMA 7 
 
Si anteayer del mañana del pasado mañana es viernes. ¿Qué día fue ayer? 
A) lunes B) jueves C) miércoles 
D) martes E) sábado 
 
SOLUCIÓN: 
 
Si anteayer del mañana del pasado mañana es viernes 
Si -2 +1 +2 es viernes 
Si +1 es viernes 
Si mañana es viernes 
Hoy: es jueves 
¿Qué día fue ayer? 
Miércoles 
 
RPTA. C 
 
RAZONAMIENTO LÓGICO RECREATIVO 
 
Son ejercicios donde se utiliza la lógica creativa, habilidad en diversos tipos de 
ejercicios como: 
 
Dados, pesadas, monedas, trasvases, traslados, etc. 
 
PROBLEMA 8 
 
Pablito la vio una vez en enero, dos veces en agosto y tres veces en onomástico 
¿Cuántas veces la vio en siglo? 
 
A) 1 B) 3 C) 7 D) 5 E) 9 
 
SOLUCIÓN: 
Analizando las palabras en un cuadro 
 
PALABRA VOCAL “O” 
Enero Una “o” 
Agosto Dos “o” 
Onomástico Tres “o” 
siglo Una “o” 
 
RPTA. A 
 
 
5 
 
 
PROBLEMA 1 
 
Mis padres siempre anhelaron tener una docena de hijos, aunque no llegaron a 
dicho número. La tercera parte de mis hermanos son futbolistas y la quinta parte 
de mis hermanas son enfermeras. ¿Cuántos hijos somos, si mi nombre es 
Panchito? 
A) 10 B) 11 C) 9 D) 8 E) 6 
 
SOLUCIÓN: 
 Mis Hermanos: divisible entre 3 = 3m 
 Mis Hermanas: divisible entre 5 = 5n 
 Total, de hermanos quetengo: 3m+5n 
 Total, de hermanos que somos: 3m+5n+1 
 (sin llegar a 12) 
Total, de hijos que somos: 3+5+1 = 9 
 RPTA. C 
PROBLEMA 2 
 
El pasado mañana del pasado mañana de anteayer de hace “n” días es sábado. El 
ayer del anteayer del pasado mañana dentro de n días fue viernes. ¿Qué día será 
dentro de la sexta parte de un año bisiesto? 
A) lunes B) martes C) miércoles 
D) jueves E) viernes 
 
SOLUCIÓN: 
Sea X: día actual 
De acuerdo al primer enunciado: X + 2 + 2 – 2 – n = S 
 X – n = J ……………… (1) 
Del segundo enunciado: X – 1 – 2 + 2 + n = V 
X + n = S 
X + n = J + 2 
Reemplazando la ecuación (1) X + n = X – n + 2 
n = 1 
Entonces: X – 1 = J  X = V 
Hoy es viernes, Pide que día será dentro de la sexta parte de un año bisiesto. 
(1/6)(366) = 61 días. 
Día = V + 61 = V + 7(8) + 5 = V + 5 
Día = miércoles. 
RPTA. C 
 
PROBLEMA 3 
En una reunión están presentes Segundo Calderón Robles; Juana Aznaran Flores; 
Roberto Calderón Rodríguez; Nilton Calderón Aznaran, que no es el menor de 
todos y Fátima Robles Godoy. Si don Segundo es hijo único y en la reunión están 
presentes un nieto y su abuelo, ¿qué relación de parentesco guarda el primo de 
Fátima y Roberto? 
 
A) Abuelo – Nieto B) Tío – Sobrino C) Padre – Hijo 
D) Primos E) Bisabuelo – Bisnieto 
 
SOLUCIÓN: 
 
Roberto es nieto de Segundo y Juana, Fátima es prima de Segundo 
 
 
 RPTA. A 
PROBLEMA 4 
Los esposos Estefany y Bryan tienen sólo dos hijos: Luis y Beatriz. Los esposos 
Andrea y Luís sólo tienen una hija y no tienen hijos varones. Flor y Alberto son 
hijos de Rosario y nietos de Luís. 
Si Carlos es nieto de Bryan, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? 
A) Carlos es primo de Flor B) Rosario es hermano de Carlos 
C) Luis y Rosario son hermanos D) Beatriz es tía de Carlos 
E) Carlos es tío de Alberto 
PROBLEMAS ADICIONALES 
FÁTIMA SEGUNDO JUANA 
ROBERTO 
NILTON 
 
 
6 
SOLUCIÓN: 
 
RPTA. E 
 
PROBLEMA 5 
 
La fecha del último lunes del mes pasado sumada a la del primer jueves del mes 
que viene da 38. Suponiendo que todas las fechas indicadas ocurren en un mismo 
año ¿En qué mes estamos? 
A) junio B) julio C) agosto D) setiembre E) diciembre 
 
SOLUCIÓN: 
Mes pasado ⏟ 
𝑙𝑢𝑛𝑒𝑠⏟ 
𝑎 𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑠 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒
𝑠𝑒𝑟 31
mes actual⏟ 
𝑠𝑢𝑚𝑎=38
𝑚𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒⏟ 
𝐽𝑢𝑒𝑣𝑒𝑠⏟ 
𝑎 𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑠 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 
𝑠𝑒𝑟 7
 
𝐿⏟
31⏟
𝑀𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜
(31 𝑑𝑖𝑎𝑠)⏟ 
𝑗𝑢𝑙𝑖𝑜
𝑀⏟
1
𝑀⏟
8
𝑀⏟
15
𝑀⏟
22
𝑀⏟
29
⏞ 𝑀⏟
30
𝐽⏟
31⏟ 
𝑀𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
(31 𝑑𝑖𝑎𝑠)⏟ 
𝒂𝒈𝒐𝒔𝒕𝒐
𝑉⏟
1
𝐽⏟
7⏟
𝑀𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 
𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒⏟ 
𝑠𝑒𝑡𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑒
𝑀𝐴𝑅𝑇𝐸𝑆
 
 
RPTA. C 
PROBLEMA 6 
 
Ubique un número en cada círculo, de tal manera 
que sea igual al único número inmediatamente 
encima de él o igual a la suma de los números que 
están encima y, a la vez, en contacto con él. Dé 
como respuesta el número ubicado en el círculo 
inferior sombreado. 
 
A) 35 
B) 29 
C) 20 
D) 32 
E) 28 
 
SOLUCIÓN: 
 
De las condiciones se deduce que encima del 2 deben estar los números de 1 y 
1 (1+1=2), a partir del cual se completan todos los demás casilleros. 
 
 
 
 
RPTA. C 
 
 
7 
PROBLEMA 7 
 
El padre de Gin tiene hijas; Sasy, Sesy, Sisy y Sosy; si son 7 en la familia, ¿cómo 
se llama el retoño que falta? 
 
A) Susy B) María C) Juana D) Lucia E) Gin 
 
SOLUCIÓN: 
 
Se llama Gin puesto que el más las 4 hijas y sus padres dan 7 RPTA. E 
 
PROBLEMA 8 
 
Un profesor de RLM del CEPRUNSA, escribe en la pizarra el número 2946835107 
y solicita a sus estudiantes que deben borrar 5 cifras de tal forma que el número 
de 5 cifras que quede sea el mayor posible. El profesor les pregunta, ¿Cuál es la 
suma de las cifras del número que queda? 
 
A) 23 B) 31 C) 30 D) 29 E) 27 
 
SOLUCIÓN: 
 
 
 
se eliminan los números: 2, 4, 6, 3 y 0 RPTA. C 
 
PROBLEMA 9 
 
Un coleccionista tiene 9 monedas antiguas, de las cuales una es falsa y la única 
manera de ubicarla es por el peso ya que las falsas son más ligeras, si el 
comerciante cuenta con una balanza de 2 platillos. ¿Cuántas pesadas como 
mínimo tendrá que realizar para encontrar las 2 falsas? 
 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
 
SOLUCIÓN: 
 
Primera pesada: se colocan 3 monedas en cada platillo, puede suceder que la 
moneda buscada esté en la balanza /se mostrará con desequilibrio en la balanza/, 
o también haya quedado en el grupo de 3 que no está en la balanza/ la balanza 
queda equilibrada/. 
 
Segunda pesada: de las 3 monedas que quedan, se ubican 2 en la balanza, 
quedando una afuera. Si hay equilibrio, la moneda buscada es la quedó afuera, 
de lo contrario si hay desequilibrio tendremos en la balanza la moneda falsa. 
 
RPTA. B 
 
PROBLEMA 10 
 
Una profesora solo puede ver una al primer niño de una formación, le pregunta a 
una docente que tiene un punto de observación le dice veo dos pares de niños 
entre 2 niños; y otra profesora le grita yo veo un niño delante de 5 niños y un niño 
detrás de 5 niños. ¿Cuántos niños hay como mínimo? 
 
A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4 
 
SOLUCIÓN: 
 
 
 
 
RPTA. D 
 
 
 
8 
PROBLEMA 11 
 
En una urna se tiene 18 bolos numerados del 1 al 18. Si ya se extrajeron los dos 
bolos de la figura. ¿Cuántos bolos más como mínimo se deben extraer al azar para 
tener la certeza de obtener dos bolos, que reemplazados en los casilleros no 
sombreados cumplan con la operación matemática? 
 
A) 9 B) 13 C) 10 D) 11 E) 12 
 
SOLUCIÓN: 
 
De la condición: 
5 13 8x y x y      
Es decir que debemos tener 2 bolas que se diferencien en 8. 
En el peor de los casos sacamos los bolos que no tengan la diferencia 8, o sea del 
1 al 8 (menos el 5 porque ya salió)  extraemos 7 bolos 
Luego sacamos el 17 y 18  extraemos 2 bolos 
Finalmente 1 más, y si o si tendremos lo que queremos 
Total, de extracciones: 7 + 2 + 1 = 10 RPTA. C 
 
PROBLEMA 12 
Ricardito tiene dos relojes de arena, uno de ellos mide solo 8 minutos y el otro 
solo 5 minutos. ¿Cuántas vueltas como mínimo debe dar a estos relojes para 
medir, solo con ellos, un intervalo de 11 minutos? 
A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 1 
 
SOLUCIÓN: 
1) Colocamos simultáneamente los dos relojes de arena. 
2) Cuando se termine de vaciar el de 5, quedará tres minutos en el de 8, 
inmediatamente volteamos el reloj de 5. 
3) Cuando termine el de 8, es decir, cuando hayan pasado 8 minutos, habrán 
transcurrido tres en el de 5. 
4) Inmediatamente volteamos el reloj de 5 para que termine dentro de tres 
minutos. 
5) Por tanto, solo dos vueltas son necesarias, para medir 11 minutos. 
 
 RPTA. A 
PROBLEMA 13 
 
Rolo lanzó un dado varias veces, obteniendo un total de 49 puntos. Si obtuvo 
todos los puntajes posibles y solo 5 veces obtuvo el puntaje mínimo, ¿cuántas 
veces como máximo lanzó el dado? 
A) 23 B) 31 C) 52 D) 42 E) 22 
 
SOLUCIÓN: 
(1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (2 + 3 + 4 + 5 + 6) + 2𝑛 = 49 
𝑛 = 12 ⟶ 12 + 5 + 5 = 22 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚𝑎𝑥. 
RPTA. E 
PROBLEMA 14 
 
Karen, Edith y Rosa, son tres compañeras del colegio y actualmente participan en 
el CEPRUNSA, ellas viven en tres distritos distintos: Cayma, Cerro Colorado y 
Paucarpata, postulando a carreras diferentes: Medicina, Derecho y Contabilidad. 
Se sabe que: 
- Karen no vive en Cerro Colorado. 
- Edith no vive en Paucarpata. 
- La que vive en Cerro Colorado no estudia Derecho. 
- Edith no estudia Medicina. 
- Quien vive en Paucarpata estudia Contabilidad 
¿Dónde vive y qué estudia Edith? 
 
A) Vive en Cayma y estudia Derecho 
B) Vive en Cerro Colorado y estudia Medicina 
C) Vive en Paucarpata y estudia Contabilidad 
D) Viveen Cayma y estudia Medicina 
E) Vive en Cerro Colorado y estudia Derecho 
 
SOLUCIÓN: 
 
Cayma 
Cerro 
Colorado 
Paucarpata Medicina Derecho 
Contabi
lidad 
Karen X X SI X X SI 
Edith SI X X X SI X 
Rosa X SI X SI X X 
 
RPTA. A 
 
 
9 
CAPÍTULO VIII 
 
 
CONJUNTOS Y CONTEO 
CONJUNTOS, FACTORIALES, PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 
DE CONTEO Y CONTEO DE RUTAS 
 
CAPACIDAD 
 
Resuelve situaciones reales de conteo aplicando la teoría de conjuntos y los 
principios de la Combinatoria de manera progresiva y responsable. 
 
SITUACIÓN 
 
 
 
 
¿De cuantas maneras 
diferentes se puede leer la 
palabra RAZONANDO? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LOS CONJUNTOS 
 
A) DIAGRAMAS DE VENN - EULER 
 
Es la representación geométrica de un conjunto mediante una región de plano 
limitado por una figura cerrada en cuyo interior se indican los elementos que 
forman el conjunto. 
 
Una forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las 
relaciones entre conjuntos, es el uso de los diagramas de Venn-Euler. 
 
Así, por ejemplo, para los conjuntos: 
 
𝑨 = {𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒} 
𝑩 = {𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔; 𝟕 } 
𝑪 = {𝟐; 𝟑; 𝟖; 𝟗} 
𝑼 = {𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔; 𝟕; 𝟖; 𝟗; 𝟏𝟎} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde.: 
{1} está incluido en el conjunto “A” y el elemento “1” pertenece a “A” 
{3; 4} es subconjunto (está incluido) “en A” y también en “B” 
 
Observación: La relación de pertenencia se da de elemento a conjunto y la de 
inclusión de conjunto a conjunto, o de un subconjunto a un conjunto. 
 
EULER 
fue un famoso 
matemático suizo 
(1707-1783) 
 
 
10 
B) DIAGRAMAS DE LEWIS CARROL 
 
Se usan generalmente para representar conjuntos disjuntos. 
 
EJEMPLO: 
Para dos conjuntos cualesquiera: 
 
A: puede representar a los hombres 
B: puede representar a las mujeres 
A: puede representar a los arequipeños 
B: puede representar a los limeños 
 
A B 
 
 
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 
 
Dados dos conjuntos “A” y “B” contenidos en el conjunto universal “U” 
 
A) UNIÓN O REUNIÓN (U): 
 
La unión de dos o más conjuntos es aquel conjunto conformado por la agrupación 
de todos los elementos de los conjuntos que intervienen. 
 
Notación: 
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) INTERSECCIÓN ( ): 
 
La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos 
que pertenecen a “A” y “B” a la vez 
 
Notación: 
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
C) DIFERENCIA (-): 
 
El conjunto diferencia (A - B) en ese orden es aquel que está formado únicamente 
por los elementos exclusivos de A, es decir no pertenecen a B. 
 
Notación: 
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵} 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LEWIS CARROLL: es 
el seudónimo de 
Charles Lutwidge 
(1832-1898) 
 
 
11 
D) DIFERENCIA SIMÉTRICA (∆): 
 
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los 
elementos que pertenecen a A o´ B pero no a ambos. 
 
Notación: 
𝐴 ∆ 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝑥 ∉ (𝐴 ∩ 𝐵)} 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E) COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO (C(A), A, AC; A): 
 
El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no pertenecen al 
conjunto A y que están en el conjunto universal. 
 
Notación: 
𝐴𝐶 = {𝑥 𝑥⁄ ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴} 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS: 
 
 
 
 
PROPIEDAD DEL NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO: 
 
Si “A” y “B” son conjuntos finitos se cumple que: 
 
1 𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) 
2 𝒏(𝑨 − 𝑩) = 𝒏(𝑨) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) 
3 𝑺𝒊: 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) = ∅, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) 
4 
Para 3 conjuntos “A”, “B” y “C” cualesquiera: 
𝒏(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) + 𝒏(𝑪) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑪 ) − 𝒏(𝑩 ∩ 𝑪) + 𝒏(𝑨
∩ 𝑩 ∩ 𝑪) 
 
 
 
12 
PROBLEMA 1 
 
En una encuesta a 60 personas se recogió la siguiente información: 7 personas 
consumen el producto A y B pero no C; 6 personas consumen el producto B y C 
pero no A; 3 personas consumen el producto A y C pero no B; 50 personas 
consumen al menos uno de estos productos y 11 personas consumen el producto 
A y B. ¿Cuántas personas consumen solamente un producto? 
 
A) 30 B) 32 C) 29 D) 31 E) 24 
 
SOLUCIÓN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 50 personas consumen al menos un producto, entonces: 
 
𝐚 + 𝟕 + 𝟒 + 𝟑 + 𝐛 + 𝟔 + 𝐜 = 𝟓𝟎 
𝐚 + 𝐛 + 𝐜 = 𝟑𝟎 
 
RPTA. A 
PROBLEMA 2 
 
En un grupo de 55 profesores del CEPRUNSA, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 
alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántos profesores del grupo hablan dos de estos 
idiomas? 
 
A) 56 B) 60 C) 24 D) 25 E) 68 
SOLUCIÓN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se pide: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
 
Luego de la figura, se deduce que: 
𝑥 + 𝑎 + 𝑐 = 20 
𝑦 + 𝑎 + 𝑏 = 27 ↓ + 
𝑧 + 𝑏 + 𝑐 = 28 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 75 … (𝐼) 
 
Pero del total se obtendrá: 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 5 = 55 
 
⟹ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 … (𝐼𝐼) 
 
Reemplazando (II) en (I): 
50 − 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 75 
 
⟹ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 25 
RPTA. D 
PROBLEMA 3 
 
De un grupo de 100 personas, 40 son mujeres, 73 estudian Historia, 12 mujeres 
no estudian Historia. ¿Cuántos hombres no estudian Historia? 
 
A) 14 B) 18 C) 12 D) 16 E) 15 
 
 
 
13 
SOLUCIÓN: 
 
Sea “X” el número de hombres que no estudian Historia, luego utilizamos el 
diagrama de Carroll, así: 
 
 
Estudian 
Historia 
No estudian 
Historia 
TOTAL 
Hombres 
73 
X 60 
Mujeres 12 40 
TOTAL 73 27 100 
 
De acuerdo a los datos: 
𝑥 + 12 + 73 = 100 
𝑥 = 15 
 
 RPTA. E 
 
PROBLEMA 4 
 
Un estudiante salió de vacaciones por n días, tiempo durante el cual: 
 Llovió 7 veces en la mañana o en la tarde. 
 Cuando llovía en la tarde, estaba despejado en la mañana. 
 Hubo 5 tardes despejadas. 
 Hubo 6 mañanas despejadas, según esto, tales vacaciones fueron de: 
 
A) 15 B) 9 C) 18 D) 11 E) 22 
 
SOLUCIÓN: 
 
Graficando, tenemos: 
 
 Mañana Tarde Total 
Llovió x 7-x 7 
No Llovió 6 5 11 
 
Además, como la cantidad de mañanas es igual a la cantidad de tardes, tenemos: 
𝑥 + 6 = (7 − 𝑥) + 5 
𝑥 = 3 
 
La cantidad de días es igual a la cantidad de tardes o mañanas, entonces: 
𝑁° 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 𝑁° 𝑚𝑎ñ𝑎𝑛𝑎𝑠 = 𝑁° 𝑡𝑎𝑟𝑑𝑒𝑠 
𝑁° 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 3 + 6 = 9 
 RPTA. B 
PROBLEMA 5 
 
De 50 personas que hay en cuidados intensivos, se sabe qué: 
 5 mujeres tienen ojos negros. 
 16 mujeres no tienen ojos negros 
 14 mujeres no tienen ojos azules. 
 10 hombres no tienen ojos negros o azules. 
 
¿Cuántos hombres tienen ojos negros o azules? 
 
 
A) 22 B) 10 C) 19 D) 28 E) 20 
 
SOLUCIÓN: 
 
 Hombres Mujeres TOTAL 
Azules 
x 
𝑎 
Negros 5 
Otros 10 𝑏 
TOTAL X + 10 𝑎 + 𝑏 + 5 50 
 
Dato III: 𝑏 + 5 = 14 ⟹ 𝑏 = 9 
Dato II: 𝑏 + 𝑎 = 16 ⟹ 𝑎 = 7 
Total de mujeres: 9 + 5 + 7 = 21 
Total de hombres: 50 − 21 = 29 
Nos piden: 
𝑥 + 10 = 29 
𝑥 = 19 
RPTA. C 
 
 
14 
PROBLEMA 6 
 
En la ciudad de Arequipa el 60% de los habitantes comen pescado; el 50% come 
carne; el 40% de los que comen carne también comen pescado. ¿Qué porcentaje 
de los habitantes no comen pescado ni comen carne? 
 
A) 15% B) 23% C) 20% D) 10% E) 3% 
 
SOLUCIÓN: 
 
De los datos se tiene el siguiente 
gráfico: 
 
 
 
40
50% 20%
100
 
60% + 30% + x = 100% 
x = 10% 
 
 
 
RPTA. D 
PROBLEMA 7 
 
En un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de Sociología y 53 no siguen 
el curso deFilosofía. Si 27 alumnos no siguen ni Filosofía ni Sociología, ¿cuántos 
estudiantes llevan exactamente uno de tales cursos? 
 
A) 47 B) 50 C) 48 D) 38 E) 70 
 
SOLUCIÓN: 
 
Considerando que son 100 estudiantes, se puede concluir lo siguiente: 
 51 estudiantes llevan el curso de Sociología 
 47 estudiantes el curso de Filosofía 
 27 estudiantes no llevan ninguno de los cursos mencionados. 
De acuerdo a ello, se representará 
gráficamente, como se muestra. 
 
 
A partir de esto, se tiene que: 26 
alumnos llevan sólo Sociología y 
22 estudiantes llevan sólo 
Filosofía. 
El número de estudiantes que 
llevan exactamente un curso son 
48. 
 
RPTA. C 
 
PROBLEMA 8 
 
Se realizó una encuesta en el CEPRUNSA para ver las preferencias de diversión 
de los estudiantes, se determinó que el 60% de los estudiantes les gusta el cine y 
al 30% les gusta el teatro. Se sabe que los que gustan del teatro o cine, pero no 
de ambos constituyen el 70% de estudiantes y hay 400 estudiantes que no les 
gusta ninguno, ¿cuántos estudiantes prefieren ambas preferencias de diversión? 
 
A) 150 B) 200 C) 300 D) 400 E) 120 
 
SOLUCIÓN: 
 
De los datos del problema y de la 
figura se deduce: 
𝑎 + 𝑏 = 60%𝑋 
𝑏 + 𝑐 = 30%𝑋 
𝑎 + 𝑐 = 70%𝑋 
 
Por lo tanto, sumando las tres 
ecuaciones y simplificando 
obtenemos: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 80%𝑋 
 
 
 
15 
Así mismo observamos que: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 100%𝑋 
Entonces: 𝑑 = 20%𝑋 
Y como dato tenemos que 
: 𝑑 = 20%𝑋 = 400 
𝑋 = 2000 
Por lo tanto, nos piden: 
𝑏 = 10%𝑋 = 10%(2000) = 200 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
RPTA. B 
PROBLEMA 9 
 
En un aula de la facultad de Ingeniería Mecánica hay 35 cachimbos; 7 hombres 
aprobaron Cálculo en una Variable y 6 hombres aprobaron Dibujo Técnico; 5 
hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso. Hay 16 hombres en total, 5 
cachimbos aprobaron los 2 cursos y 11 aprobaron solo Cálculo en una Variable. 
¿Cuántas mujeres aprobaron solo Dibujo Técnico? 
 
A) 4 B) 2 C) 8 D) 3 E) 7 
 
SOLUCIÓN: 
 
Del enunciado: 
 
 
En el grafico se cumple: 
 
a+b=7 
b+c=6 
a+b+c+5=16 
c=4; b=2; a=5 
 
También: 
b+n=5 n=3 
a+m=11 m=6 
 
Además: 
8+m+n+p=19 p=2 
 
RPTA. B 
PROBLEMA 10 
 
De 150 personas que estudian alemán (A), inglés (I), francés (F) y ruso (R), ninguno 
que estudia F estudia R; 22 solo estudian A, 20 solo estudian I; 20 solo estudian 
F, 20 estudian A y R, pero no estudian I; 6 solo estudian F e I; 4 solo estudian A 
y F; 24 estudian R e l; 28 solo estudian R, y 1 solo A e I ¿Cuántas personas 
estudian A, I y F? 
 
A) 15 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
Del enunciado se tiene que 
 
F  R =  
 
Luego, graficamos 
 
 
Totalizando, tenemos: 
145+a = l50  a = 5 
 
Por lo tanto, 5 personas estudian A, I y 
F. 
 
 
RPTA.E 
 
 
 
16 
FACTORIAL DE UN NÚMERO 
 
Se define factorial de un número n (n es un número entero y positivo), al producto 
indicado de los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n. Se 
denota así: 
n!
⌊n
n⌋
} se lee factorial del numero "n" o "n" factorial 
Por definición: 
 
𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)… 3𝑥2𝑥1 
Ejemplos 
 0!=1 
 1!=1 
 2!=1x2 = 2 
 3!=1x2x3 =6 
 4!=1x2x3x4 = 24 
 5!=1x2x3x4x5 = 120 
 6!= lx2x3x4x5x6 = 720 
 7!=1x2x3x4x5x6x7 = 5040 
 81=1x2x3x4x5x6x7x8 =40320 
 9!=lx2x3x4x5x6x7x8x9 =362880 
 10!=lx2x3x4x5x6x7x8x9x =3628800 
 
 Nota: los factoriales mayores o iguales que 5, siempre terminaran en cero 
 
Se observa: 
10! = 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 
10! = 10x(9x8x7x6x5x4x3x2x1) 
10! = 10 x 9! 
 
En general: 
𝑛! = 𝑛 𝑥 (𝑛 − 1)! 
 
De aquí, obtenemos para n=1 entonces: 1! = 1 x (1-1)! = 1 x 0! = 0! 
Luego obtenemos convencionalmente: 
 
1! = 0! = 1 
 
PROPIEDADES DE LOS FACTORIALES 
 
I. Solamente existe factoriales para números enteros y positivos. Es decir: 
si n! = 1x2x3x4x… x n; donde “n”= entero y positivo, es decir: 
 
 8! → si existe ; 
 (−6)! → Factorial de − 6 no existe 
 −3! → Menos factorial de 3 si existe 
Pero: −3! = −(3𝑥2𝑥1) = −6 
 
4!
2
→ medio factorial de 6 si existe, 
Pero 
4!
2
=
24
2
= 12 
 (
1
4
) ! → factorial de
1
4
no existe 
 
II. Por axioma de las matemáticas, se define que: 
 
1! = 0! = 1 
 
III. Factorial de un número puede ser siempre descompuesto como el producto 
del factorial de otro menor que él por todos los números consecutivos a este 
último; hasta completar dicho número. 
 
Así: 
7! = 7x6x5! 
9! = 9x8! 
(n + 5)! = (𝑛 + 5)(𝑛 + 4)(𝑛 + 3)! 
(n − 2)! = (𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4)(𝑛 − 5)! 
 
IV. En factoriales, las siguientes operaciones no se cumplen: 
 
 (n +m)! ≠ n! + m! 
 (n × m)! ≠ n! × m! 
 (
n
m
) ! ≠
n!
m!
 
 
 
17 
PROBLEMA 1 
 
Si 
𝑛!(𝑛!−3) 
𝑛!+4
= 18 
Determine el valor de: 𝑘 = √𝑛2 + 3𝑛 + 7, que es la edad (aproximada) de Camila 
 
A) √47 B) √17 C) 3√3 D) √35 E) √67 
 
SOLUCIÓN: 
Se cumple: 
(𝑛!)2 − 3(𝑛!) = 18(𝑛!) + 72 
(𝑛!)2 − 21(𝑛!) − 72 = 0 
(𝑛! − 24)(𝑛! + 3) = 0 
𝑛! = 24 𝑉 𝑛! = −3 
⟹ 𝑛! = 24, 𝑛 = 4 
𝐾 = √𝑛2 + 3𝑛 + 7 = √35 
 
RPTA. D 
PROBLEMA 2 
 
Resuelve: 
𝑥 [
𝑥! + 2(𝑥 − 1)!
𝑥! + (𝑥 + 1)!
] = 𝑥! − 23 
 
A) 2 B) 7 C) 6 D) 8 E) 4 
 
SOLUCIÓN: 
Expresamos todos los factoriales en función del menor de ellos, es decir en 
función de (x-1)!, para factorizar y reducir: 
 
𝒙 [
𝒙(𝒙 − 𝟏)! + 𝟐(𝒙 − 𝟏)!
𝒙(𝒙 − 𝟏)! + (𝒙 + 𝟏)𝒙(𝒙 − 𝟏)!
] = 𝒙! − 𝟐𝟑 
𝒙(𝒙 + 𝟐)
𝒙 + 𝒙(𝒙 + 𝟏)
= 𝒙! − 𝟐𝟑 
𝒙! − 𝟐𝟑 = 𝟏 
𝒙! = 𝟐𝟒 
𝒙 = 𝟒 
RPTA. E 
PROBLEMA 3 
 
Marina es una chica con suerte que se ganó el premio mayor del Bingo que se jugó 
por su casa. Para esto su amiga Carmen le pregunta ¿cuánto ganaste?, ella no 
quería decirlo, pero a tanta insistencia. Ella le dice gane el equivalente a G: 
𝐺 = [
1
7! + 8!
+
1
9!
]
−1
 
 
Si Carmen logra hallar el resultado. ¿Cuánto ganó? 
 
A) S/ 720 B) S/ 15 000 C) S/ 20 569 D) S/ 40 320 E) S/ 362 880 
 
SOLUCIÓN: 
Descomponiendo la base de la potencia 
1
7! + 8!
+
1
9!
=
1
7! + 8 × 7!
+
1
9!
=
1
9 × 7!
+
1
9!
 
 
Ahora multiplicamos y dividimos por 8, convenientemente: 
8
9 × 8 × 7!
+
1
9!
=
8
9!
+
1
9!
=
9
9!
=
1
8!
 
Finalmente, en la expresión G: 
𝐺 = [
1
8!
]
−1
= 8! = 40320 
RPTA. D 
PROBLEMA 4 
 
Simplifique la expresión: 
𝐴 =
50! + 49! + 48!
49! + 48!
 
 
A) 18 B) 50 C) 20 D) 22 E) 24 
 
SOLUCIÓN: 
Expresando 50! y 49! en función de 48! (el menor de los factoriales) tenemos: 
 
𝐴 =
50! + 49! + 48!
49! + 48!
=
50𝑥49𝑥48! + 49𝑥48! + 48!
49𝑥48! + 48!
=
48! (50𝑥49 + 49 + 1)
48! (49 + 1)
 
𝐴 =
50 𝑥 49 + 50
50
=
50(49 + 1)
50
= 50 
RPTA. B 
 
 
18 
PROBLEMA 5 
 
En cuantos ceros termina el desarrollo de: 
 
𝑅 = 200! + 201! + 202!…+ 300! 
 
A) 18 B) 50 C) 20 D) 42 E) 49 
 
SOLUCIÓN: 
Para determinar en cuantos ceros termina un factorial se puede utilizar el método 
práctico de las divisiones sucesivas entre 5, en este caso tomaremos el número 
menor ya que solo la cantidad de CEROS de este quedara intacto hasta el final 
sin ser afectado por otros sumandos: 
 
Entonces para calcular la cantidad de ceros en los cuales termina 200!, sumamos 
los cocientes obtenidos: 
40+8+1=49 
 
RPTA. E 
PROBLEMA 6 
 
Si n  N, calcular el valor de n en la ecuación: 
 
𝑛! (𝑛! − 15)
6 + 𝑛!
= 100 
 
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 2 
 
SOLUCIÓN: 
Haremos cambio de variable, es decir: n! = X 
𝑋2 − 15𝑋 = 600 + 100𝑋 
𝑋2 − 115𝑋 − 600 = 0 
(𝑋 − 120)(𝑋 + 5) = 0 
Dónde: x = 120 = n! 
 n = 5 
RPTA. D 
PROBLEMA 7 
 
Lupita desea determinar el valor de: 
 
11! − 10!
9!
+10! − 9!
8!
+
9! − 8!
7!
+ ⋯+
2! − 1!
0!
 
 
A) 55 B) 717 C) 285 D) 85 E) 385 
 
SOLUCIÓN: 
 
Los sumandos son de la forma: 
(𝑛 + 2)! − (𝑛 + 1)!
𝑛!
 
 
Simplificando 
(𝑛 + 2)𝑥(𝑛 + 1)𝑥𝑛! − (𝑛 + 1)𝑥𝑛!
𝑛!
 
(𝑛 + 2)(𝑛 + 1) − (𝑛 + 1) 
Simplificando: 
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2 − 1) = (𝑛 + 1)2 
En nuestro caso tomando el valor de n se tendrá: 
102+92+82+…+12 
Obteniéndose una suma notable, donde se cumple: 
𝑆 =
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
 
Reemplazando: 
10𝑥11𝑥21
6
= 385 
RPTA. E 
 
 
19 
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO 
 
En lo que respecta a técnicas de conteo, existen dos principios fundamentales: 
 
 Principio de adición 
 Principio de multiplicación 
 
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN 
 
Si el objeto A puede escogerse de m maneras y después de cada una de estas 
elecciones el objeto B se puede escoger de n modos, la elección de A y B se puede 
efectuar de n x m formas. 
 
Objeto A m formas 
⇒ 
Objetos A y B 
Objeto B n formas mxn formas 
 
 
EJEMPLO: 
Si Angélica tiene para vestirse 2 pares de pantalones, 3 polos y 4 pares de 
zapatillas, todas las prendas distintas, ¿de cuantas maneras podría vestirse? 
 
SOLUCIÓN: 
 
Aplicamos el principio de multiplicación: 
 
Pantalones Y Polos Y Zapatillas N° de formas 
2 x 3 x 4 = 24 
 
Podrá vestirse de 24 maneras 
 
PRINCIPIO DE ADICIÓN 
 
Si cierto objeto A puede ser elegido de m maneras y otro objeto B de n maneras, 
entonces la elección de A o B, pero no ambos, se puede efectuar de (m+n) modos. 
 
Objeto A m formas 
⇒ 
Objetos A o B 
Objeto B n formas m+n formas 
 
EJEMPLO: 
 
Un comité docente formado por 5 aritméticos, 3 algebraicos y 4 geómetras, 
estudian nuevas metodologías educativas. Si el comité ha recibido una invitación 
de impartir una conferencia al respecto, ¿de cuantas maneras puede el comité 
elegir un representante? 
 
SOLUCIÓN: 
 
Aritméticos o Algebraicos o Geómetras N° de formas 
5 + 3 + 4 = 12 
 
El comité puede elegir un representante de 12 maneras distintas 
 
PROBLEMA 1 
 
En un estanque hay 15 patos y 8 gansos. 
a) ¿de cuantas maneras se puede escoger un pato y un ganso? 
b) Si la elección anterior ya fue efectuada, ¿de cuantas maneras se puede efectuar 
nuevamente? Dar como respuesta la suma de ambas 
 
A) 189 B) 308 C) 167 D) 218 E) 188 
 
SOLUCIÓN: 
 
a) Primero: 
Patos y Gansos 
15 x 8 = 120 
 
b) Como la elección anterior ya fue efectuada quedan: 
 
Patos y Gansos 
14 x 7 = 98 
 
Nos piden: 120+98=218 
 
 RPTA. D 
 
 
20 
PROBLEMA 2 
 
Una persona debido a los cortes de agua, desea comprar un recipiente para 
almacenar agua, en una tienda observa 8 tipos de baldes, 12 tipos de galones y 
13 tipos de cilindros. Si compra un solo producto. ¿De cuantas maneras diferentes 
podrá elegir dicho recipiente? 
 
A) 45 B) 34 C) 23 D) 1248 E) 33 
 
SOLUCIÓN: 
 Baldes o Galones o Cilindros 
N° de formas 8 + 12 + 13 =33 
RPTA. E 
PROBLEMA 3 
 
¿Cuántos números capicúas de 5 cifras existen en el sistema nonario, tal que la 
suma de sus cifras sea impar? 
 
A) 260 B) 288 C) 300 D) 240 E) 180 
 
SOLUCIÓN: 
Un número capicúa de 5 cifras en el sistema nonario es de la forma: 𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 9 y para 
que la suma de sus cifras sea impar c debe ser impar: 
 
 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑎̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅9 
 ↓ ↓ ↓ 
 1 0 1 
 2 1 3 
 3 2 5 
 4 3 7 
 5 4 
 6 5 
 7 6 
 8 7 
 8 
Total de números: 8x 9x 4 = 288 
RPTA. B 
PROBLEMA 4 
 
Rocío tiene para vestirse 8 pantalones (4 iguales), 3 minifaldas, 7 blusas (2 
iguales), 5 polos (4 iguales) y 8 pares de zapatos. ¿De cuantas maneras diferentes 
podrá vestirse? 
 
A) 720 B) 220 C) 25 D) 465 E) 512 
 
SOLUCIÓN: 
Analizando las prendas de vestir, tenemos: 
 
 5 pantalones diferentes debido a que 4 son iguales 
 3 minifaldas diferentes 
 6 blusas distintas debido a que 2 son iguales 
 2 polos diferentes debido a que 4 son iguales 
 8 pares de zapatos diferentes 
 
Además, ocurre que el pantalón y la minifalda no se pueden usar a la vez, lo 
mismo ocurre con la blusa y el polo 
 
Luego puede vestirse del modo siguiente: 
 
 
Pantalón 
Blusa y 
zapato 
o 
Pantalón 
polo y 
zapato 
o 
Minifalda 
Blusa y 
zapato 
o 
Minifalda 
polo y 
zapato 
 
 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
N° de 
formas 
5x6x8 + 5x2x8 + 3x6x8 + 3x2x8 =512 
 
OTRA FORMA 
 
Polos o 
Blusas 
y 
Pantalones o 
minifaldas 
y Zapatos 
 ⇓ ⇓ ⇓ 
N° de 
formas 
2 + 6 x 5 + 3 x 8 =512 
Podrá vestirse de 512 maneras 
 RPTA. E 
 
 
21 
PROBLEMA 5 
Se tiene 4 libros de Aritmética y 3 libros de Algebra. ¿De cuantas formas se podrán 
ubicar en un estante donde solo entran 5 libros y deben estar alternados? 
 
A) 345 B) 134 C) 243 D) 216 E) 233 
 
SOLUCIÓN: 
Sea A: Aritmética y X: Algebra 
 
 A X A X A o X A X A X 
N° de 
formas 
 
 
 
 
 
4x 3x 3x 2x 2 3x 4x 2x 3x 1 = 216 
 
Se podrán ubicar de 216 formas. 
RPTA. D 
 
PROBLEMA 6 
¿Cuántos números de 3 cifras no contienen al 2 ni al 5 en su escritura? 
 
A) 440 B) 442 C) 444 D) 446 E) 448 
 
SOLUCIÓN: 
De los datos: 
 𝑎 𝑏 𝑐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 ↓ ↓ ↓ 
 1 0 0 
 3 1 1 
 4 3 3 
 6 4 4 
 7 6 6 
 8 7 7 
 9 8 8 
 9 9 
Total de números: 7x 8x 8 = 448 
 
RPTA. E 
PROBLEMA 7 
La Junta Directiva de un club consta de un presidente, un Vicepresidente, un 
Tesorero y un Secretario. Hay 8 candidatos que puedan ocupar, la Presidencia o 
Vice presidencia y 6 candidatos diferentes a los anteriores que pueden ocupar la 
Tesorería o Secretaria. ¿De cuántas maneras diferentes se podría formar la Junta 
Directiva? 
A) 2250 B) 1680 C) 1580 D) 480 E) 256 
 
SOLUCIÓN: 
Para el Presidente o vicepresidente = 8x7=56 
 
Para Tesorería o secretario = 6x5 =30 
 
En total 56x30=1680 
 RPTA. B 
 
PROBLEMA 8 
 
Hay dos obras de 3 volúmenes cada una y otras dos de dos volúmenes cada una. 
¿De cuantas maneras pueden colocarse los 10 libros en un estante, si deben 
quedar de tal manera que no se separen los volúmenes de la misma obra? 
 
A) 5134 B) 2345 C) 4345 D) 3456 E) 2112 
 
SOLUCIÓN: 
Del enunciado: 
 
 Son 4 
Grupos 
Obra 1 Obra 2 Obra 3 Obra 4 
 
 
 
 
𝑨𝟏𝑨𝟐𝑨𝟑 
 
 
𝑩𝟏𝑩𝟐𝑩𝟑 
 
 
𝑪𝟏𝑪𝟐 
 
 
𝑫𝟏𝑫𝟐 
 
 
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
 
N° de formas 4! x 3! x 3! x 2! x 2! x = 3456 
 
RPTA. D 
 
 
 
22 
CONTEO DE RUTAS 
 
PROBLEMA 9 
 
La siguiente figura es una estructura hecha de alambre. Si se quiere ir del punto 
A al punto B, sin repetir el mismo tramo, ¿cuántos caminos distintos se podrán 
encontrar? 
 
 
A) 34 B) 45 C) 48 D) 42 E) 47 
 
SOLUCIÓN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte 
superior 
o Parte inferior 
 ⇓ ⇓ ⇓ 
N° de formas 2 x 3 x 2 + 2 x 3 x 3 x 2 
= 48 
maneras 
 
RPTA. C 
 
PROBLEMA 10 
 
Fátima desea viajar desde la ciudad A hasta la ciudad D. ¿De cuántas maneras 
diferentes puede realizar el viaje sin pasar ni regresar por el mismo camino? En 
la figura, las líneas representan caminos. 
 
 
 
 
 
A) 55 B) 84 C) 73 D) 68 E) 53 
 
SOLUCIÓN: 
 
El total de formas de realizar dicho viaje es: 
 
 AD o ADC o ABCD 
 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 
N° de 
formas 
2 x 2 + 2 x 2 x 4 + 4 x 3 x 4 
= 68 
maneras 
 
 
RPTA. D 
 
 
23 
PROBLEMA 11 
 
¿De cuántas maneras diferentes se puede viajar de A 
hacia B recorriendo por las líneas de la figura, sin pasar 
dos veces por el mismo punto, y siempre bajando (sin 
retroceder)? 
 
A) 9 B) 8 C) 10 
D) 11 E) 12 
 
SOLUCIÓN:RPTA. D 
 
 
 
PROBLEMA 12 
 
En el siguiente gráfico se quiere 
recorrer siguiendo la dirección de las 
flechas solamente por los segmentos, 
¿cuántas rutas diferentes existen para 
ir de A hacia C pasando siembre por el 
punto B? 
A) 435 B) 314 
C) 213 D) 248 E) 253 
 
SOLUCIÓN: 
 
Vamos a aplicar el principio de adición, teniendo 
cuidado de contar las maneras de llegar a cada punto. 
En el esquema mostrado a continuación, se aprecian 
caminos para recorrer, así como los que no nos 
interesan 
El número de formas: 
 A - B y B - C 
N° de formas 11 x 23 = 253 
RPTA. E 
PROBLEMA 13 
 
¿Cuántas rutas son posibles de tomar para ir de J a R sin 
pasar 2 veces por un mismo punto? 
 
A) 5 
B) 8 
C) 6 
D) 11 
E) 3 
 
SOLUCIÓN: 
JBEDR 
JEDR 
JEBR 
JBER 
JER 
JBR 
 ⇒ 1 + 3 + 2 = 6 formas 
RPTA. C 
PROBLEMA 14 
 
¿De cuantas formas se puede leer la palabra CORONAR? 
 
C O R O 
O R O N 
R O N A 
O N A R 
 
A) 15 B) 18 C) 20 D) 21 E) 23 
 
SOLUCIÓN: 
1 1 1 1 
1 2 3 4 
1 3 6 10 
1 4 10 20 
RPTA. C 
 
 
24 
CAPÍTULO IX 
 
 
COMBINATORIA Y PROBABILIDADES 
PERMUTACIONES, VARIACIONES Y COMBINACIONES - 
PROBABILIDAD SIMPLE Y CONDICIONAL 
 
 
CAPACIDAD 
 
Resuelve problemas cotidianos aplicando las propiedades fundamentales de la 
combinatoria y probabilidades de manera autónoma. participativa y responsable 
SITUACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
 
Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que 
podemos formar con los elementos de un conjunto dado. Por ejemplo, podemos 
averiguar cuántos números diferentes de teléfonos, placas o números de loterías 
se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos. 
 
Además, el estudio y comprensión del análisis combinatorio sirve de andamiaje 
para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades 
 
MÉTODOS DE CONTEO 
 
En diferentes casos o actividades de la vida diaria se toma de algún conjunto, por 
ejemplo 20 profesores de Razonamiento Matemático, parte de sus elementos o 
todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el 
orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos 
que forman una agrupación son diferentes entre sí, se denominan agrupaciones 
sin repetición y si algunos de ellos son iguales se denomina agrupaciones con 
repetición. 
 
Los métodos de conteo más conocidos son: Permutación, Variación y Combinación 
 
PERMUTACIONES 
 
Se denomina permutación, a cada una de las diferentes ordenaciones que se 
pueden realizar con todos los elementos de un conjunto. 
 
Permutación Simple o Lineal: Son las permutaciones que pueden hacerse con 
los elementos de un conjunto, sin repetirlos. Por ejemplo, personas haciendo 
cola para entrar a un cine. 
P
!1)........2)(1()( nnnnV
r
nn 
 
 
Permutaciones con repetición: El número de permutaciones de n elementos, 
de los cuales, r son iguales, son iguales…. t son iguales, está dada por: 
P !....!*!*
!
....),,;(
tsr
n
tsrn 
 
Sí en el estado de cuarentena debido al Covid-19, una familia dispone de 
las siguientes frutas: papaya, piña, plátano, naranja y manzana, ¿cuántas 
ensaladas de frutas diferentes podrán hacerse? 
 
 
 
 
25 
Permutaciones circulares: Son agrupaciones donde no hay primero ni último 
elemento, por hallarse todos en una línea cerrada El número de maneras 
diferentes en que se pueden ordenar n elementos diferentes a lo largo de una 
circunferencia, por ejemplo, una familia sentada alrededor de una mesa 
departiendo un rico plato criollo y donde uno de ellos no se cuenta porque es el 
elemento que sirve de referencia (está fijo), está dado por: 
 
Pcircular = (n – 1)! 
 
PROBLEMA 1 
 
¿Cuántas permutaciones con las letras ABCD contienen la cadena CD? y 
cuántas contienen juntas C y D en cualquier orden? 
 
A) 3 y 6 B) 6 y 12 C) 3 y 12 D) 10 y 24 E) 24 y 12 
 
SOLUCIÓN: 
 
Se consideran A, B y la cadena CD: 
 ABCD, BACD, ACDB, BCDA, CDAB, CDBA 
Que también se pueden hallar: 
 3! = 6 
Para el segundo caso: 3!” 2! = 12, a saber. 
(ABCD, BACD, ACDB, BCDA, CDAB, CDBA, ABDC, BADC, ADCB, BDCA, DCAB, 
DCBA) 
 RPTA. B 
 
 
 PROBLEMA 2 
 
Cinco ancianos, 2 hombres y 3 mujeres se contagian con un virus de cuántas 
maneras podrán atenderse, ¿si las personas del mismo sexo se atienden juntas? 
 
A) 24 B) 72 C) 32 D) 12 E) 120 
 
SOLUCIÓN: 
 
Agrupando hombres y mujeres: 2! 2! 3! = 12 RPTA. D 
PROBLEMA 3 
 
Juan, Carlos, Francisca, Rocío y Rolo, van el domingo a la iglesia y se ubican 
una banca de 5 asientos. 
I. ¿De cuántas maneras podrán sentarse, si Francisca y Rocío siempre están 
juntas? 
II. ¿De cuántas maneras podrán sentarse sí los varones nunca se sientan 
juntos? 
 
A) 48, 84 B) 24, 48 C) 24, 72 D) 120, 84 E) 96, 36 
 
SOLUCIÓN: 
 
I. Permutación de 4 elementos y uno de ellos con 2 posibilidades: 
 4! . 2! = 48 
II. Hacemos un cálculo indirecto; 
 #maneras nunca juntos = #total  #maneras juntos 
Total =
5
5 120!P   
#Maneras varones juntos = P3 × P3 = 3! × 3! = 36 
#Maneras varones nunca juntos = 120 – 36 = 84 
RPTA. D 
 
PROBLEMA 4 
 
¿De cuántas formas diferentes se puede ordenar en una fila 7 canicas del mismo 
tamaño si 3 son rojas, 2 azules, 1 blanca y una amarilla? 
 
A) 240 B) 120 C)480 D)720 E) 420 
SOLUCIÓN: 
 
Como intervienen todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de 
una permutación con repetición, donde n1 = 3, n2 =2, n3 = 1 y n4 = 1, luego: 
 
 
P
7
1,1,2,3
= 
420
2
7654
112!3
7654!3
!1!1!2!3
!7

xxx
xxx
xxxx
xxx 
RPTA. E 
 
 
 
26 
PROBLEMA 5 
 
¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 2 al 8 en la 
siguiente figura? 
 
 
 
A) 840 B) 1440 C) 120 D) 720 E) 420 
 
SOLUCIÓN: 
 
Para el número central hay 7 posibilidades las otras 6 cifras 
Se ordenan en forma circular de: 
 (6 –1)! formas, por lo tanto: 
# de maneras = 7 x 5! = 7 x 120 = 840 
 RPTA. A 
 
PROBLEMA 6 
 
En el mes de marzo del 2020, mientras duraba la cuarentena 7 miembros de la 
familia Juárez se ubicaron alrededor de una mesa para cenar ¿De cuántas 
maneras diferentes se ubicaron, si padre y madre siempre se sientan juntos? 
 
A) 240 B) 120 C) 360 D) 480 E) 720 
 
SOLUCIÓN: 
 
Es importante el orden y además uno siempre, que no es parte de los padres, se 
ubica como referencia (no se lo cuenta) 
A
B
CF
G
DE
 
Considerando A como persona referencia y además B y C, la pareja de padres que 
funcionan como un solo elemento: 
 
PC, para 5 elementos de los cuales dos, (los padres) se permutan entre sí: 
 
 RPTA. A 
 
 
 
 
 
 
 
27 
VARIACIÓN 
 
Una variación de un cierto número de elementos es un arreglo donde importa el 
orden y donde además se toma una parte del total de elementos. 
Variación de n elementos tomados de r en r: 
V
n
r =n(n-1)(n-2)…….(n-r+1)=
)!(
!
rn
n

 
PROBLEMA 1 
 
Se desea formar una junta directiva de la asociación de padres de familia del 
Colegio Carlos Baca Flor a partir de 10 candidatos. ¿De cuántas maneras se puede 
seleccionar un presidente, vicepresidente, un tesorero y secretario de un total de 
10 personas que forman una asociación? 
 
A) 2020 B) 5040 C) 5120 D) 4810 E) 2400 
 
SOLUCIÓN: 
5040
)!410(
!1010
4 

P
 
 
Aplicando el método de los factores decrecientes (cuatro factores a partir de 10): 
10x9x8x7 = 5040RPTA. B 
 
PROBLEMA 2 
 
Rodrigo un adolescente muy perspicaz se pregunta: ¿De cuántas formas diferentes 
pueden entrar a un ascensor 6 personas, si solo hay capacidad para 4 de ellos? 
 
A) 240 B) 720 C) 24 D) 360 E) 48 
 
SOLUCIÓN: 
 
Es un arreglo, donde importa el orden: 
𝑉4
6 =
6!
(6−4)!
 También: 6x5x4x3=360 
RPTA.D
 
PROBLEMA 3 
 
¿De cuántas maneras distintas podrán ubicarse en una banca de 6 asientos 4 
pacientes en un hospital del Seguro Social, que asistieron para que le hagan el 
test molecular para el descarte del Covid-19? 
 
 A) 120 B) 720 C) 180 D) 240 E) 360 
 
SOLUCIÓN: 
 
Se toma una parte del total e interesa el orden en que están sentados: 
3603x4x5x6V64  
RPTA. E 
 
PROBLEMA 4 
 
De cuántas maneras pueden acomodarse 6 docentes del CEPRUNSA: 
a) En una fila de 5 sillas, 
b) En una fila de 3 sillas, 
c) Alrededor de una mesa redonda de 6 sillas 
Dar como respuesta la suma de los 3 resultados 
 
A) 1200 B) 1440 C) 14 64 D) 1560 E) 2160 
 
SOLUCIÓN: 
 
a) 6 personas en 5 sillas: 
6 X 5 X 4 X 3 X 2 = 720 
 b) 6 personas en 4 sillas: 
 𝑉4
6 =
6!
(6−4)!
 
Equivale a: 360 
 c) permutación circular de 6 elementos: 
5! = 120 
Suma total: 720 + 360 + 120 = 1200 
 
RPTA. A 
 
 
28 
PROBLEMA 5 
 
En una carrera de 400 metros planos, de las olimpiadas de Tokio, participan 12 
atletas. ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros 
lugares con medalla de oro, plata y bronce? 
 
A) 360 B) 720 C) 480 D) 600 E) 360 
 
SOLUCIÓN: 
 
Método 1: Empleando el principio de multiplicación: 
 
 Oro Plata Bronce 
 
 
 
 
 
 
 10 x 9 x 8 
 
 # Maneras diferentes de ganar medallas: 720 
 
Método 2 
 Se busca las diferentes ternas (k = 3) que se pueden formar con los 10 
atletas (n = 10) 
 
 
720
!7
1098!7
!7
!1010
3

xxx
P
 
 
¡RECUERDA!! 
 
VARIACIONES CON REPETICIÓN 
 
de r elementos tomados de n en n posibles muestras ordenadas de n elementos 
no necesariamente distintos que se pueden extraer de un conjunto de r 
elementos. 
 
Su número: VR de r elementos tomados de n en n: rn 
 
Notemos que aquí puede ser r > n 
 
Modelo: ¿Cuántos números distintos de 6 cifras se escriben usando solamente 
las cifras 1, 5 y 8? 
 
Solución: VR de 3 elementos tomados de 6 en 6; 36 = 729 números diferentes 
 
COMBINACIÓN 
 
Una combinación de un número de elementos es una agrupación, que tiene las 
mismas características de un conjunto –prescinde del orden-, a diferencia de 
una variación. Para n elementos tomados de “m” en “m”: 
 
C
)!(!
!
! nmn
m
n
V nmn
m

 
 
Si pintamos una pared con los colores del arco iris, es decir tomamos cada uno 
de los 7 colores de uno en uno, luego matizamos de 2en 2, y así sucesivamente, 
hasta que combinamos los 7 colores El número total de combinaciones de n 
elementos distintos tomados de 1, 2,3……….n formas, viene dado por: 
 
C 12  nn 
 
Para el caso anterior:27-1=127 combinaciones diferentes. 
 
 
 
29 
PROBLEMA 1 
 
Si disponemos de 5 puntos no colineales, ¿cuál es el máximo número de triángulos 
que se podrán formar? 
 
A) 10 B) 15 C) 12 D) 24 E) 30 
 
SOLUCIÓN: 
Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se 
escogerán 3 puntos (m= 3) de un total de 5 puntos (n = 5). Además, no importa el 
orden, ya que el triángulo ABC es igual al CBA; por lo tanto, se trata de una 
combinación. 
 
 
 
 
RPTA. A 
 
PROBLEMA 2 
 
Una señora del Mercado San Camilo, tiene 3 frutas: manzana, papaya y piña. 
¿Cuántos jugos diferentes podrá preparar con estas frutas? 
 
A) 10 B) 5 C)7 D) 4 E) 8 
 
SOLUCIÓN: 
 
Método 1: (conteo directo) 
Cuando se selecciona una fruta de las tres, los sabores son 3: F, P, M 
Cuando se selecciona 2 de las tres frutas, los sabores son 3: FP, FM, PM 
Cuando se escoge las 3 frutas los sabores son 1: FPM 
 Total, de jugos diferentes: 3 + 3 + 1 = 7 
 
 Método 2: (Empleando números combinatorios) 
No importa el orden; por lo tantousamos el principio de adición aplicado a la 
combinación de una, dos o tres frutas: 
 Maneras diferentes = CCC
3
3
3
2
3
1

 
 
7133
123
123
12
23
1
3

xx
xx
x
x
 
 Total, de jugos diferentes: 3 + 3 + 1 = 7 
 
Método 3:(método de los subconjuntos propios) 
C 12  nn 
Para 3 frutas: 23-1 =7 
 RPTA. C 
 
PROBLEMA 3 
 
Debido a una pandemia, ¿de cuántas maneras se puede seleccionar un grupo de 
cinco médicos y cuatro enfermeras de un grupo de diez médicos y siete enfermeras 
para viajar a Italia? 
 
A) 8 280 B) 8 820 C) 8 580 D) 8 476 E) 8260 
 
SOLUCIÓN: 
 
En esta elección no importa el orden si no quién es la persona elegida: 
 
𝐶5
10. 𝐶4
7 =
10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6
5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
.
7𝑥6𝑥5
3𝑥2𝑥1
= 8820 
 
 RPTA. B 
 
RECUERDA!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10
123
345
!3!2
!55
3

xx
xx
C
 
 
30 
PROBLEMA 4 
 
De un total de 120 estrechones de manos que se efectuaron al final de una reunión 
de la séptima promoción de Ingeniera Metalúrgica de la UNSA. ¿Si cada uno de 
los asistentes es cortés con cada uno de los demás, dándose un estrechón? ¿Cuál 
es el número de personas presentes? 
 
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 16 
 
SOLUCIÓN: 
 
Método 1 
Del total de personas (n) se saludan de 2 en 2; sin interesar el orden, entonces: 
120
!2x)!2n(
!n
Cn2 

 
 
120
!2x)!2n(
)!2n)(1n(n



 
 
16
120
2
)1(



n
nn
 
 
Método 2 
Sí en la reunión hay “n” personas, cada una de ellas da a (n-1) personas: 
Número de estrechones de mano, aparentemente: 
n (n-1) 
Sin embargo, como cada estrechón se da entre 2 personas, hay doble conteo: 
Número real de estrechones: n(n-1) /2 
 
De donde:
16
120
2
)1(



n
nn
 
RPTA. E 
PROBLEMA 5 
 
Señale cuántos productos diferentes, cada uno de tres factores primos, podrá 
obtenerse con los cinco factores primos: a, b, c, d, e, donde: (a  b  c  de) 
 
A) 40 B) 45 C) 10 D) 60 E) 35 
SOLUCIÓN: 
 
Método 1: (Por conteo directo) 
 
 Se deben formar números de la forma P = x. y. z; 
 Donde x, y, z son números primos 
 
1er caso: Los tres factores son iguales; es decir: x = y = z, 
 
 Los productos serán: 
 P1 = a a a; P2 = b b b; P3 = c c c; P4 = d d d; P5 = e e e 
 Son 5 casos posibles 
 
 
2do caso: Dos factores son iguales y uno es diferente; 
 
 Es decir: x = y; con z diferente, los productos serán: 
 P6 = a a b;….. Hasta P25 = e e d 
 Son 20 casos posibles 
 
 
3er caso: Los 3 factores son diferentes; es decir: x  y  z 
 
 Los productos serán: 
 P26 = a b c; P27 = a b d; P28 = a b e; 
 P29 = a c d; P30 = a c e 
 P31 = a d e; P32 = b c d; P33 = b c e; 
 P34 = b d e; P35 = c d e 
 Son 10 casos posibles ( ) 
Finalmente se tendrá: 5 + 20 + 10 = 35 formas posibles 
 
Método 2: (Aplicando combinación con repetición) 
 
En este caso aplicamos: 
Con n = 5 y k = 3, es decir: 
 
 RPTA. E 
( )5
5
1
C
( 2 )20102
5
3
 xC
10
5
3
C
35
!3
)25)(15(5135
3
5
3




CCR
 
 
31 
PROBABILIDAD 
Denominaremos experimento determinístico, a aquel que, repetido en las 
mismas condiciones, da siempre el mismo resultado, en caso contrario lo 
llamaremos aleatorio. 
 
Denominamos suceso o evento a, a cualquier subconjunto de . 
 
Ejemplo 
 
Sea el experimento aleatorio “tiro un dado” Su espacio muestral es = {1, 2, 3, 
4, 5, 6} Son posibles sucesos (1)= que salga 1; (1,2) = quesalga 1 o 2; (1, 2, 3, 4, 
5, 6) = que salga 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6. 
 
Del ejemplo anterior es evidente que hay sucesos más “posibles” o “probables” 
que otros. Es necesario definir entonces probabilidad de un suceso. 
 
Existe el azar electrónico. Las calculadoras científicas tienen una tecla que dice 
“RAM· (random = azar). Al terminar, sale en la pantalla números del intervalo [0,1], 
pero al azar, como si hubiera en la máquina un bolillero con todos los números 
posibles del 0 al 1 y al oprimir la tecla RAN sacáramos uno. 
 
En los equipos de audio, si ponemos un disco y oprimimos el botón “RANDOM”, 
los temas se irán sucediendo al azar, y no en el orden en el que están en el disco. 
 
El conjunto de todos los resultados posibles en un experimento aleatorio se llama 
espacio muestral. 
 
Un suceso puede ser seguro, probable, improbable. Por ejemplo: 
 
Tenemos una caja de lápices, ¿Cuál es la probabilidad de que saquemos un lápiz? 
Este es un suceso seguro. 
 
I. Tenemos una bolsa con caramelos. ¿Cuál es la probabilidad de que 
saquemos un lápiz? 
Este es un suceso imposible o improbable, ya que nunca sucederá. 
II. Si abro mi mochila, ¿cuál es la probabilidad de encontrar mi guía del 
CEPRUNSA? 
Este es un suceso probable. 
Mediante una formula podemos calcular la probabilidad de que se produzca un 
suceso. Este número se conoce con el nombre de probabilidad teórica: 
 
 Si el suceso es seguro, la probabilidad es 1, porque el número de casos 
favorable es igual al número de casos posibles. 
 Si el suceso es imposible la probabilidad es 0, porque el número de casos 
favorables es 0, y este dividido por cualquier número es 0. 
 En el caso de que la probabilidad no sea ni imposible ni segura, 
obtendremos un número comprendido entre 0 y 1. 
. 
Definición clásica: Llamaremos probabilidad des suceso A al cociente entre el 
número de resultados o casos “favorables” a A y el número de resultados o casos 
“posibles” o totales. 
 
P(a)= casos favorables/casos totales o posibles 
 
Así, en nuestro ejemplo, la probabilidad de sacar un dos en una tirada de un 
dado (A = 2) es P(A) = 1/6, la probabilidad de sacar un uno o un tres (B = (1,3)) 
es P(B) = 2/6 y la probabilidad de sacar cualquier número (C = (1, 2, 3, 4, 5, 6)) 
es P(C) = 6/6 = 1. 
 
La probabilidad de que ocurra un determinado suceso podría definirse como la 
cantidad de veces que ocurriría dicho suceso si se repitiese un experimento o una 
observación en un número grande de ocasiones bajo condiciones similares. 
 
Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado 
información adicional a la situación de partida: 
 
Ejemplo: Se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 
(probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien 
nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que 
el resultado sea el 2 ya no es 1/6. 
Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula: 
 
( )
( / )
( )
P A B
P B A
P A

 
 
 
 
32 
Entonces podemos afirmar que la probabilidad de que salga el número dos 
sabiendo que ha salido un número par es: 
SOLUCIÓN: 
𝑃(𝐵 ∧ 𝐴) =
1
6
 
𝑃(𝐴) =
1
2
 
𝑃(𝐵/𝐴) =
1
6
1
2
= 1/3. 
 
PROBLEMA 1 
 
¿De cuántas formas diferentes puede sentarse alrededor de una mesa circular un 
padre y sus 5 hijos? Si 2 de sus hijos no se llevan bien. ¿Cuál es la probabilidad 
que nunca se sienten juntos? 
 
A) 2/5 B) 2/3 C) 1/3 D) 3/5 E) 3/8 
 
SOLUCIÓN: 
 
Se trata de una permutación circular: 
Como uno se considera fijo: 
5! = 120 total de arreglos 
- Aplicando el evento complementario. 
 Si se supone 2 de los hijos siempre juntos: 4! x2 = 48 
 En consecuencia, 2 que no están nunca juntos: 
120-48=72 
P(A)= 72/120= 3/5 
 RPTA.D 
 
PROBLEMA 2 
 
Nueve personas se sientan al azar alrededor de una fogata. ¿Cuál es la 
probabilidad de que 3 personas queden contiguas? 
 
A) 3/25 B) 3/25 C) 4/7 D) 3/7 E) 3/2 
 
SOLUCIÓN: 
 
Sean A, B y C las personas que van a sentarse siempre juntas o contiguas, 
entonces: 
Calculamos el número total de formas en que se puedan sentar las 9 personas: 
(9-1)! = 8! 
Si las 3 personas (A, B y C), siempre están juntos, entonces las formas que se 
pueden ubicar es: 
3 x 2 x 1 = 6 formas 
Las 6 personas restantes se podrán ubicar de: 
6! formas 
Finalmente, la probabilidad (P(A)) de que las tres personas queden 
contiguas es: 
 
(P(A)) = 
28
3
!6x7x8
!6x6
!8
!6x6
 
 
RPTA. E 
 
PROBLEMA 3 
 
Se forma una comisión de bienvenida para la fiesta cachimbo 2020; integrada por 
5 alumnos seleccionados de la Escuela Profesional de Ingeniería Industrial. Si se 
considera 4 de 2do año; 4 de 3er año y 3 de 5to año, de tal forma que exista uno de 
cada año. 
 
A) 0.70 B) 0.74 C) 0.78 D) 0.82 E) 0.80 
 
SOLUCION: 
 
A: seleccione 1 de cada salón 
 
Salones Alumnos 
 1 → 4 
 2 → 4 
 3 → 3 
 
A = {seleccione 1 por salón} 
 
 
33 
#(A) = C3
4C1
4C1
3 + C2
4C2
4C1
3 + C1
4C2
4C2
3 + C1
4C3
2C1
3 + C1
4C1
4C3
3 + C2
4C1
4C2
3 
#(A) = 48 + 108 + 72 + 48 + 16 + 72 
#(A) = 48 + 108 + 72 + 48 + 16 + 72 
 
Comisión de 5 alumnos: 
#(A) = 364 
#(Ω) = C5
11 = 462 
p(1 x salon) =
#(A)
#(Ω)
=
364
462
= 0.78 
 
RPTA. C 
 
PROBLEMA 3 
 
Jesús, André, María, Teresa y Lucia intervienen en un torneo de tenis. Los del 
mismo sexo tienen igual probabilidad de ganar, pero cada hombre tiene el doble 
de posibilidades de ganar que una mujer. Si Jaime y María son casados, hallar la 
probabilidad que uno de ellos gane el torneo. 
 
A) 3/5 B) 3/8 C) 4/7 D) 3/7 E) 3/4 
 
SOLUCIÓN: 
 
Como cada hombre tiene el doble de posibilidad. 
 
Jesús 2 casos 
André 2 casos 
María 1 caso 
Teresa 1 caso 
Lucia 1 caso 
total 7 casos 
 
𝑷(𝑨) =
𝑭𝒂𝒗𝒐𝒓
𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍
=
𝟑
𝟕
 
 
RPTA. D 
 
PROBLEMA 4 
 
En un salón de un colegio, se forma la directiva de padres de familia confirmada 
por 4 miembros con diferente jerarquía, si hay 5 candidatos varones y 6 mujeres. 
¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté conformado por más de 2 hombres? 
 
A) 13/55 B) 33/88 C) 4/17 D) 13/66 E) 3/14 
 
SOLUCIÓN: 
 
1º caso 
Comité: 3 hombres y 1 mujer 
11
2
)1(
11
4
6
1
5
3 
C
CC
P 
2º caso 
Comité: 4 hombres 
66
1
)2(
11
4
5
4 
C
C
P 
Como son eventos mutuamente excluyentes 
Probabilidad: 
66
13
66
1
11
2
P
 
RPTA. D 
 
PROBLEMA 5 
 
En los registros del Banco de la Nación se indica que, de un total de mil clientes, 
800 tienen cuentas de ahorro y quinientos tiene ambas cuentas. ¿Cuál es la 
probabilidad de que un cliente seleccionado al azar tenga cualquiera de las dos 
cuentas? 
 
A) 1/3 B) 1/4 C) 1/5 D) 1/2 E) 1/8 
 
 
 
34 
SOLUCIÓN: 
 
Los eventos de interés son: 
A: clientes con cuenta corriente 
B: clientes con cuenta de ahorros 
 
𝑃(𝐴) = 
800
1000
= 0,8; 𝑃(𝐵)
600
1000
= 0,6 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
500
1000
= 1/2 
 
 
Entonces, la probabilidad requerida es: 
 
Se tiene que escoger un comité de 4 personas entre 5 varones y 6 mujeres ¿Cuál 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,8 + 0,6 − 0,5 = 0.9 
 RPTA. D 
 
PROBLEMA 6 
 
En un estudio realizado para investigar entre el hábito de fumar y los ataques 
cardiacos, se tomó una muestra a mil hombres de más de cincuenta años y se 
obtuvieron los siguientes datos: 
 
 180 habían sufrido un ataque cardiaco. 
 300 fueron clasificados como fumadores. 
 100 habían sufrido un ataque cardiaco y fueron clasificados como 
fumadores. 
 80 habían sufrido un ataque cardiaco y fueron clasificados como no 
fumadores. 
 
Si se selecciona un hombre al azar, obtén las siguientes probabilidades. 
 
I. Queno sea fumador. 
II. Que no haya sufrido ataque cardiaco y sea clasificado como un fumador. 
III. Que haya sufrido ataque cardiaco y sea clasificado como fumador. 
SOLUCIÓN: 
 
El siguiente diagrama resume la información anterior. 
𝑛(Ω) = 1000 
 
Fuma = 300 
 
 
 
No fuma = 700 
 
 
La probabilidad de que el hombre seleccionado no fume es: 
 
𝑃(𝑛𝑜 𝑓𝑢𝑚𝑒) =
700
1000
= 0.7 
 
La probabilidad que el hombre seleccionado no haya sufrido ataque y no sea 
clasificado como no fumador es: 
 
𝑃 = (𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑓𝑟𝑖𝑜 𝑎𝑡𝑎𝑞𝑢𝑒 𝑦 𝑛𝑜𝑓𝑢𝑚𝑎) =
620
1000
= 0.62 
La probabilidad que haya sufrido ataque y sea clasificado como fumador es: 
𝑃(𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑓𝑟𝑖𝑜 𝑎𝑡𝑎𝑞𝑢𝑒 𝑦 𝑓𝑢𝑚𝑎) =
200
1000
= 0.20 
 
PROBLEMA 7 
 
En el siguiente cuadro, se muestra a los trabajadores de una entidad financiera 
 
 Hombres Mujeres Total 
Obreros 
Empleados 
Directores 
80 
33 
7 
115 
13 
2 
195 
46 
9 
Total 120 130 250 
 
El Ministerio de Trabajo hace una visita inopinada a la empresa y para ello decide 
seleccionar al azar uno de los trabajadores. Calcule la probabilidad de que la 
persona premiada sea empleado, sabiendo que es mujer. 
 
 100 
80 
200 
620 
Ataque 
 
 
35 
SOLUCIÓN: 
 
Consideremos los eventos: E: ser empleado 
M: ser mujer 
 
Asumiendo que sean equiprobables en la sección de las personas, las 
probabilidades de E y M son: 
 
46
( )
250
P E  y 
130
( )
250
P M  
 
Como se sabe que es mujer, entonces se trata de probabilidad condicional: 
 
)
( / )
( )
PE M
P E M
P M

 
Hallando: 
13
( )
250
P E M  
 Luego: 
13
) 250( / ) 10%
130( )
250
PE M
P E M
P M

   
 
MÉTODO DIRECTO 
 
En el cuadro respectivo vemos que de las 130 mujeres,13 son empleados: 
P = 13/130 equivalente a:1/10 
RPTA. E 
 
PROBLEMA 8 
 
La probabilidad que tiene Marcelino de ganar una partida de ajedrez a Fredy es 
de 1/3, juegue con blancas o negras.Cuál es la probabilidad que tiene Marcelino 
de ganar por lo menos una de las tres partidas? 
 
A) 6/9 B) 19/27 C) 1/3 D) 2/3 E) 1/27 
 
SOLUCIÓN: 
 
Suponiendo perdiera las 3 partidas de forma consecutiva: 
 
2/3x 2/3x2/3 = 8/27 
 
Probabilidad de que gane por lo menos una partida: 
 
1 - 8/27 =19/27 
 
Otro método 
 
Caso 1: gana una de las tres partidas. 
 
1/3x2/3x2/3 = 4/27 
 
Pero como puede ser la primera,segunda o tercera: 
 
3x4/27=12/27 
 
Caso 2: gana 2 de las 3 partidas 
 
1/3x1/3X2/3=2/27 
 
Pero como puede ganar la primera y la segunda o la primera con la tercera o la 
segunda con la tercera: 
 
2/27+2/27+2/27=6/27 
 
Caso 3: gana las 3 partidas 
 
1/3x1/3x1/3=1/27 
 
Finalmente aplicamos el principio de la adición: 
 
12/27+6/27+1/27=19/27 
 RPTA. B 
 
 
 
36 
CAPÍTULO X 
 
 
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA 
VARIABLES CUANTITATIVAS Y CUALITATIVAS 
TABLAS DE FRECUENCIAS - GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 
GRÁFICOS CIRCULARES - GRÁFICO DE BARRAS - 
HISTOGRAMAS PICTOGRAMAS 
 
 
CAPACIDAD 
Resuelve problemas del contexto real que implican la organización de datos a 
partir de fundamentos de la estadística descriptiva de manera autónoma y 
creativa que permitan obtener conclusiones y tomar decisiones adecuadas. 
 
SITUACIÓN 
 
 
Un maestro sustituto quiere 
saber cómo les fue a los 
estudiantes de la clase en su 
última prueba. El maestro 
les pide a los 10 estudiantes 
sentados en la primera fila 
que indiquen su puntaje más 
reciente en la prueba. 
Concluye de su informe que a 
la clase le fue 
extremadamente bien. ¿Cuál 
es la muestra? ¿Cuál es la 
población? ¿Puedes identificar algún problema con la elección de la muestra 
como lo hizo el maestro? 
 
 
 
1. FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA 
 
Las estadísticas están en todas partes 
Dondequiera que observes puedes encontrar estadísticas, ya sea que estés 
navegando en Internet, haciendo deporte o mirando las puntuaciones más altas 
de tu videojuego favorito. Pero, ¿qué es realmente una estadística? 
Las estadísticas son datos que bien recopilados, organizados y analizados nos 
posibilita cuantificar la realidad y disponer de los elementos que nos permitan 
tomar decisiones en cualquier ámbito. 
A modo de ejemplo, no tienes más que ver la tabla de posiciones del torneo local 
para saber, qué equipos tienen posibilidad de campeonar, cuáles pueden perder 
la categoría o saber cuál es les la posición en la liga de tu equipo favorito. En 
suma, una estadística te da rápidamente la información que necesitas. 
 
 
37 
El estudio de las estadísticas comprende de dónde provienen las estadísticas, 
cómo calcularlas y cómo puede usarlas de manera efectiva. 
 
¿Pero por qué aprender estadística? 
Comprender lo que realmente está sucediendo con las estadísticas te da poder. Si 
realmente obtienes estadísticas, podrás tomar decisiones objetivas, hacer 
predicciones precisas que parezcan inspiradas y transmitir el mensaje que deseas 
de la manera más efectiva posible. 
 
Las estadísticas son una forma conveniente de resumir verdades clave sobre los 
datos, pero también hay a veces un lado oscuro. 
 
Las estadísticas se basan en hechos, pero, aun así, a veces pueden ser engañosas. 
Se pueden utilizar para decir la verdad o para mentir. El problema es cómo 
determinar cuándo es veraz la información que brinda o cuándo no. 
Tener una buena comprensión de las herramientas estadísticas te coloca en una 
posición sólida. Estás mucho mejor equipado para saber cuándo las estadísticas 
que te muestran en los medios son inexactas o engañosas. En otras palabras, 
estudiar Estadística es una buena manera de asegurarse de que uno no será 
objeto de un engaño o embuste. 
 
Como ejemplo, eche un vistazo a las ganancias obtenidas por una empresa en la 
segunda mitad del año pasado. 
 
Meses Jul Ago Set Oct Nov Dic 
Ganancias (millones) 2.0 2.1 2.2 2.1 2.3 2.4 
 
Cuando se hace un estudio estadístico para saber si un grupo de vecinos está 
enfermo con Covid-19, estamos utilizando la estadística descriptiva para 
generalizar resultados a partir de una muestra. Se estudia en particular a un 
reducido número de individuos a los que tenemos acceso con la idea de poder 
generalizar los hallazgos a la población de la cual esa muestra procede. Este 
proceso de inferencia se efectúa por medio de métodos estadísticos basados en la 
probabilidad. 
 
1.1 Población 
 
Conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten 
información sobre el fenómeno que se estudia. 
Individuo: cualquier elemento que aporte información sobre el fenómeno que se 
estudia. Así, si estudiamos la estatura de los alumnos de CEPRUNSA, cada 
alumno es un individuo; si estudiamos el precio de la vivienda, cada vivienda es 
un individuo, o algo más abstracto como el carisma de un docente de RM, la 
certeza, la probabilidad o un intervalo de tiempo. 
Luego por tanto de cada elemento de la población podremos estudiar uno o más 
aspectos, cualidades o caracteres. 
 
Ejemplos 1.1: 
 
- El precio de la vivienda de un grupo de profesores de RM 
- Los carros deportivos de los docentes de la UNSA. 
- Las notas del último examen de admisión CEPRUNSA 2019. 
 
Población Finita 
Cuando la cantidad de elementos que lo forma se puede enumerar, por ejemplo, 
el número de alumnos de un centro preuniversitario, o un grupo clase. 
 
Población Infinita 
Cuando la cantidad de elementos que la forman no es posible numerarlo. Un 
ejemplo, si se realizase un estudio sobre la población de hormigas que hay en la 
amazonia del Perú. Existen tantos y de diversas características que esta población 
podría considerarse infinita. 
El análisis de esta, puede resultarnos difícil o imposible, entonces es preferible 
analizar solamente una parte pequeña de ésta población, que se llama muestra. 
 
1.2 MuestraEs un subconjunto de la población que seleccionamos aleatoriamente (al azar) 
para ser estudiada como parte representativa de la población y que se entienda 
que es suficientemente representativa. 
 
Ejemplos 1.2: 
 
- La estatura de 50 postulantes del CEPRUNSA FASE 2019 
- 10 autos deportivos del área de Ingenierías Alimentarias de la UNSA. 
- Los 10 primeros ingresantes a Medicina en el último examen de admisión. 
 
 
38 
1.3 Variables 
 
Las variables pueden ser clasificadas como cuantitativas (intervalares) o 
cualitativas (categóricas), dependiendo si los valores mostrados tienen o no un 
orden de magnitud natural (cuantitativas), o simplemente un atributo no sometido 
a cuantificación (cualitativa). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.1 Variables cuantitativas (intervalares) 
Son las variables que pueden medirse, 
cuantificarse o expresarse numéricamente. Las 
variables cuantitativas pueden ser de dos tipos: 
 
 
a) Variables cuantitativas continuas, si admiten tomar cualquier valor 
dentro de un rango numérico determinado (edad, peso, talla). 
 
Ejemplo 1.3: 
Puntajes obtenidos en los dos exámenes de 100 postulantes a Ingeniería 
Civil del CEPRUNSA 2019 II FASE 
Población: Postulantes del CEPRUNSA 2019 II FASE. 
Muestra: 100 postulantes del CEPRUNSA 2019 II FASE. 
Variable Continua: Puntajes obtenidos: 80.50; 85.51; 76.40, etc. (están 
dentro de un rango) 
 
b) Variables cuantitativas discretas, si no admiten todos los valores 
intermedios en un rango. Toman valores enteros (número de miembros de 
una vecindad, número de pacientes atendidos, etc.) 
 
Ejemplo 1.4: 
N° créditos que lleva un número de alumnos del área de Medicina de la 
UNSA. 
Población: alumnos del área de Medicina de la UNSA. 
Muestra: número de alumnos del área de Medicina de la UNSA. 
Variable discreta: N° de créditos: 1, 2, 3, 4 y 5 (cantidad entera) 
 
1.3.2 Variables cualitativas (categóricas) 
 
Este tipo de variables representan una cualidad o atributo que clasifica a cada 
caso en una de varias categorías. 
 
Una variable es una medida 
utilizando una escala de medición. 
La elección de la(s) escala(s) de medición a usar depende, en primer lugar, 
del tipo de variable en estudio, y, además, del manejo estadístico a la que 
se someterá la información. En la práctica, existe una correspondencia 
directa entre el concepto de variable y escala de medición. Un atributo 
corresponde a un valor específico de una variable, como es el caso de la 
variable sexo, la que posee solamente dos atributos: hombre o mujer. 
 
 
39 
Son datos dicotómicos o binarios: 
Es aquella en la que se clasifica cada caso en uno de dos grupos 
(hombre/mujer, enfermo/sano, vivo/muerto). Como resulta obvio, en muchas 
ocasiones este tipo de clasificación no es suficiente y se requiere de un mayor 
número de categorías 
 
Politómicas: (color de los ojos, grupo sanguíneo, estado civil, grado de 
instrucción obtenido profesión, etc.) 
 
NOTA: 
Las variables también se pueden clasificar en: 
 
Estas variables pueden ser a su vez: 
 
 
a) Variables cualitativas nominales: ésta es una forma de observar o medir 
en la que los datos se ajustan por categorías que no mantienen una 
relación de orden entre sí (nivel socioeconómico, raza, profesión, 
calificación previsional de usuarios para un crédito, etc.) 
 
Ejemplo 1.5: 
Marca de los coches que pasan en un día por un túnel de lavado. 
Población: Coches que pasan en un día por un túnel de lavado. 
Muestra: grupo coches que pasan en un día por un túnel de lavado 
Variable Nominal: Marca de los coches: Toyota, Mitsubishi, Datsun, 
Nissan, etc. (no necesita orden) 
 
b) Variables cualitativas ordinales: en las escalas utilizadas, existe un 
cierto orden o jerarquía entre las categorías (grados de desnutrición, 
reconocimientos de obtención de grado académico, etcétera). 
 
Ejemplo 1.6: 
Rendimiento de 50 alumnos en el curso de Estadística de la Facultad de 
Ingenierías de Procesos en la UNSA. 
Población: Alumnos del curso de Estadística de la Facultad de Ing. 
Procesos de la UNSA. 
Muestra: 50 Alumnos del curso de Estadística de la Facultad de Ing. 
Procesos de la UNSA. 
Variable Ordinal: Rendimiento de los alumnos: Deficiente, Regular, 
Bueno, Sobresaliente (necesita un orden) 
 
2. PRESENTACIÓN TABULAR DE DATOS ESTADÍSTICOS 
 
Al proceso de ordenar y clasificar un conjunto de datos para elaborar una tabla 
estadística, se le conoce también como tabulación de datos. Con el siguiente 
ejemplo se mostrará las diferentes etapas y conceptos que emplea la investigación 
estadística. 
 
Ejemplo 2.1: 
Un grupo de pacientes afectados por la pandemia del Covid-19, a nivel local tienen 
edades muy variadas, y estas son: 
31, 25, 40, 23, 36, 45, 33, 19, 28, 37, 
42, 21, 28, 27, 22, 43, 18, 23, 44, 48. 
 
•Sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo:
edad de los alumnos de una clase).
Variables unidimensionales:
•Recogen información sobre dos características de la población
(por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase).
Variables bidimensionales:
•Recogen información sobre tres o más características (por
ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase).
Variables pluridimensionales:
•Aquellas que sugieren una ordenación, (por ejemplo: el orden
de mérito de ingreso a la UNSA, el nivel de estudios, etc.
Ordenables:
•Aquellas que sólo admiten una simple ordenación alfabética,
pero no establece orden por su naturaleza, (por ejemplo el
color de ojos, sexo, grado de instrucción, etc.
No ordenables:
 
 
40 
Al realizar una tabla de frecuencia con 5 intervalos; determine el porcentaje de las 
personas que tienen entre 30 y 42 años de edad. 
Se observa que estos valores corresponden a una característica determinada 
(edades) de la muestra (20 determinaciones) expresado en forma cuantitativa. Se 
les denomina datos estadísticos cuantitativos. 
 
2.1 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 
 
Las tablas de frecuencia o de distribución son tablas estadísticas, que presentan 
los datos o conjunto de elementos agrupados o clasificados en las diversas 
categorías de la variable. 
 
Frecuencia Absoluta ( if ): 
 
Es el número de datos contenidos en un determinado intervalo de clase. La suma 
total de frecuencias absolutas debe corresponder al número total de elementos (n) 
es decir: 
 
Del ejemplo anterior, con los datos obtenidos y sus frecuencias respectivas se 
puede formar una tabla tal como se presenta a continuación. 
 
Cuadro 2.1 Datos del ejemplo 2.1 
 
DATO CONTEO FRECUENCIA (fi) 
21 
27 
33 
39 
 45 
IIII I 
 IIII 
II 
III 
IIII 
2 
6 
5 
6 
9 
 
 if n  i if h n 
 
Frecuencia Absoluta Acumulada ( iF ) 
Es la suma acumulada de cada frecuencia absoluta en forma sucesiva. Es decir: 
 
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2

 
  
   n n
F f
F f f
F f f f
F f f f n
 
i
j 1
ji F f 

  
 
Lo que significa que la última frecuencia absoluta acumulada (Fn) debe ser igual 
a número de elementos (n). 
Por ejemplo: 
Cuadro 2.2 Frecuencias Acumuladas del ejemplo 2.1 
 
DATO 
Frecuencia Absoluta 
Simple (fi) Acumulada (Fi) 
21 
27 
33 
39 
 45 
6 
4 
2 
3 
5 
6 
10 
12 
15 
20 
 
 6 + 4 = 10 
 10 + 2 = 12 
 12 + 3 = 15 
 15 + 5 = 20 
 
Frecuencia Relativa ( ih ) 
Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre el número total de elementos (n), 
indica que proporción del total corresponde a cada dato. Se calcula mediante: 
1 ih 
 ii
f
h
n 
 
Para el ejemplo 2.1 desarrollado anteriormente, el tamaño de la muestra es 20 
(determinaciones), luego: 
frecuencia del dato 45 5
frecuencia relativa del dato 45
total datos 20
  
 
 
41 
Así, para cada uno de los datos, se obtendrá una columna más en la tabla de 
frecuencias. 
Cuadro 2.3 Frecuencias relativas del ejemplo 2.1 
 
DATO 
Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa 
Simple (fi) Acumulada