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Los siguientes problemas se resuelven en forma idéntica: 
 
Problema 1: Un motoquero transita por una avenida. Las probabilidades de que al momento de 
llegar a un semáforo se encuentre en rojo, amarillo o verde son 0.45, 0.10 y 0.45 respectivamente. 
Los estados de los semáforos son independientes entre sí. El motoquero no se detiene ante ningún 
color y atraviesa cada semáforo viendo un solo color. Calcular la esperanza de la cantidad de 
semáforos que debería atravesar el motoquero hasta observar los tres colores. 
 
Problema 2: Un dado equilibrado tiene pintadas sus caras de la siguiente forma: rojo, amarillo, 
amarillo, verde, verde, verde. Calcular la esperanza de la cantidad de lanzamientos del dado que 
deberán realizarse para observar sus tres colores. 
 
Resolución del Problema 2: 
Se harán tiros del dado hasta que, por primera vez, se hayan obtenido los tres colores. Sea 𝑋: 
cantidad de tiros del dado hasta observar los tres colores. Uno de estos colores aparecerá en el 
primer tiro. Entonces es 𝑋 = 1 + 𝑌 + 𝑍 con 
𝑌: cantidad de tiros después del primero hasta observar el segundo color (es decir, un color distinto 
al obtenido en el primer tiro) 
𝑍: cantidad de tiros después de obtener el segundo color hasta observar el tercer color (es decir, un 
color distinto a los dos colores ya observados) 
Por lo tanto: 𝐸[𝑋] = 1 + 𝐸[𝑌] + 𝐸[𝑍] 
Definimos los sucesos: 
𝑅1: el color obtenido en el primer tiro es el rojo; 𝑃(𝑅1) = 1/6 
𝐴1: el color obtenido en el primer tiro es el amarillo; 𝑃(𝐴1) = 2/6 
𝑉1: el color obtenido en el primer tiro es el verde; 𝑃(𝑉1) = 3/6 
Si en el primer tiro salió rojo, se sigue tirando el dado hasta obtener el primer color distinto del rojo, 
por lo tanto 𝑌|𝑅1 es una variable geométrica cuya probabilidad de éxito es la de no rojo, es decir 
5/6. De la misma forma 𝑌|𝐴1~𝐺𝑒𝑜𝑚(4/6) y 𝑌|𝑉1~𝐺𝑒𝑜𝑚(3/6). Entonces 𝑌 es una mezcla de 
estas tres variables y su esperanza es 
𝐸[𝑌] = 𝐸[𝑌|𝑅1]𝑃(𝑅1) + 𝐸[𝑌|𝐴1]𝑃(𝐴1) + 𝐸[𝑌|𝑉1]𝑃(𝑉1) =
1
5
6
×
1
6
+
1
4
6
×
2
6
+
1
3
6
×
3
6
=
17
10
 
Definimos ahora los sucesos 
𝑅2: el segundo color obtenido es el rojo 
𝐴2: el segundo color obtenido es el amarillo 
𝑉2: el segundo color obtenido es el verde 
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Si en el primer tiro sale el rojo, el segundo color que se observará será amarillo o verde, es decir, 
dado 𝑅1, pueden ocurrir sólo 𝑅1 ∩ 𝐴2 o 𝑅1 ∩ 𝑉2. Entonces 𝑍|𝑅1 es una mezcla de las variables 
𝑍|𝑅1 ∩ 𝐴2 y 𝑍|𝑅1 ∩ 𝑉2 tal que 
𝑍|𝑅1 ∩ 𝐴2~𝐺𝑒𝑜𝑚(3/6) (cantidad de tiros hasta que sale verde dado que ya salieron rojo y amarillo) 
𝑍|𝑅1 ∩ 𝑉2~𝐺𝑒𝑜𝑚(2/6) (cantidad de tiros hasta que sale amarillo dado que ya salieron rojo y verde) 
Recordar que las probabilidades de los dos sucesos 𝑅1 ∩ 𝐴2 y 𝑅1 ∩ 𝑉2 que definen la partición 
asociada a la mezcla deben sumar 1. 
La probabilidad de 𝑅1 ∩ 𝐴2 es la probabilidad de obtener verde cuando sólo se está buscando 
amarillo o verde dado que ya salió el rojo y por lo tanto 
𝑃(𝑅1 ∩ 𝐴2) = 𝑃(𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒|𝑛𝑜 𝑟𝑜𝑗𝑜) =
3/6
5/6
=
3
5
 
donde “no rojo” significa que sólo miramos si sale amarillo o verde. De la misma forma, la 
probabilidad de 𝑅1 ∩ 𝑉2 es la probabilidad de obtener amarillo cuando sólo se está buscando 
amarillo o verde dado que ya salió el rojo y queda: 
𝑃(𝑅1 ∩ 𝑉2) = 𝑃(𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜|𝑛𝑜 𝑟𝑜𝑗𝑜) =
2/6
5/6
=
2
5
 
Por lo tanto 
𝐸[𝑍|𝑅1] = 𝐸[𝑍|𝑅1 ∩ 𝐴2]𝑃(𝑅1 ∩ 𝐴2) + 𝐸[𝑍|𝑅1 ∩ 𝑉2]𝑃(𝑅1 ∩ 𝑉2) =
1
3
6
×
3
5
+
1
2
6
×
2
5
=
12
5
 
En forma análoga hay que calcular 𝐸[𝑍|𝐴1] y 𝐸[𝑍|𝑉1] (hacerlos): 
𝐸[𝑍|𝐴1] = 𝐸[𝑍|𝐴1 ∩ 𝑅2]𝑃(𝐴1 ∩ 𝑅2) + 𝐸[𝑍|𝐴1 ∩ 𝑉2]𝑃(𝐴1 ∩ 𝑉2) =
1
3
6
×
3
4
+
1
1
6
×
1
4
= 3 
𝐸[𝑍|𝑉1] = 𝐸[𝑍|𝑉1 ∩ 𝑅2]𝑃(𝑉1 ∩ 𝑅2) + 𝐸[𝑍|𝑉1 ∩ 𝐴2]𝑃(𝑉1 ∩ 𝐴2) =
1
2
6
×
2
3
+
1
1
6
×
1
3
= 4 
Entonces 
𝐸[𝑍] = 𝐸[𝑍|𝑅1]𝑃(𝑅1) + 𝐸[𝑍|𝐴1]𝑃(𝐴1) + 𝐸[𝑍|𝑉1]𝑃(𝑉1) =
12
5
×
1
6
+ 3 ×
2
6
+ 4 ×
3
6
=
17
5
 
Finalmente: 
𝐸[𝑋] = 1 + 𝐸[𝑌] + 𝐸[𝑍] = 1 +
17
10
+
17
5
= 6,1 
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