EI20160218

Vista previa del material en texto

PROBABILIDAD y ESTAD́ISTICA (61.06 - 81.09)
Evaluación Integradora Segundo cuatrimestre – 2015
Duración: 4 horas. 18/II/16 –18:00 hs.
Apellido y Nombres:
Padrón:
1. Se colocarán al azar 100 bolas numeradas del 1 al 100 en 100 urnas numeradas del 1
al 100 de manera que ninguna urna contiene más de una bola. Calcular la probabilidad de
que la bola 1 se encuentre entre las primeras 50 urnas y la bola 100 entre las 50 últimas.
2. Sea (X, Y ) un vector aleatorio con distribución uniforme sobre la región Λ = {(x, y) :
1 ≤ x + y ≤ 2,−1 ≤ x − y ≤ 1}. Mostrar que X + Y y X − Y son variables aleatorias
independientes.
3. Sean X e Y dos variables aleatorias tales que X tiene distribución uniforme sobre
el intervalo (0, 1) y para cada x ∈ (0, 1), Y |X = x tiene distribución uniforme sobre el
intervalo (x2 − x, 3x− 3x2). Calcular la esperanza de Y .
4. Un radioisótopo emite part́ıculas de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad
aleatoria λ por hora. La distribución de λ es una exponencial de media 0.5. Calcular la
probabilidad de que entre las 0:00 y las 0:30 el radioisótopo no haya emitido part́ıculas.
5. Se tienen dos dados de 4 caras numeradas 1,2,3,4, uno equilibrado y otro cargado con
probabilidad 0.5 de 1. En cada tirada se elige uno de los dos dados, y la probabilidad de
elegir el dado equilibrado es 0.25. Estimar la probabilidad de obtener más de 305 unos en
666 tiradas.
PROBABILIDAD y ESTAD́ISTICA (61.09 - 81.04)
Evaluación Integradora Segundo cuatrimestre – 2015
Duración: 4 horas. 18/II/16 –18:00 hs.
Apellido y Nombres:
Padrón:
1. Se colocan al azar 100 bolas numeradas del 1 al 100 en 100 urnas numeradas del 1 al
100 de manera que ninguna urna contenga más de una bola. Calcular la probabilidad de
que la bola 1 se encuentre entre las primeras 50 urnas y la bola 100 entre las 50 últimas.
2. Sean X e Y dos variables aleatorias tales que X tiene distribución uniforme sobre
el intervalo (0, 1) y para cada x ∈ (0, 1), Y |X = x tiene distribución uniforme sobre el
intervalo (x2 − x, 3x− 3x2). Calcular la esperanza de Y .
3. Un radioisótopo emite part́ıculas de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad
aleatoria λ por hora. La distribución de λ es una exponencial de media 0.5. Calcular la
probabilidad de que entre las 0:00 y las 0:30 el radioisótopo no haya emitido part́ıculas.
4. Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo [0, θ], θ > 0.
Hallar un estimador insesgado para θ basado en una muestra aleatoria X1, . . . , X5 de X.
5. La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias de la cantidad de accidentes
de tránsito por semana en la intersección de Paseo Colón y Estados Unidos durante 100
semanas
Cantidad de accidentes 0 1 2 3 4 5
Frecuencia 10 29 25 17 13 6
En base a esos datos analizar, con un nivel de significación del 5%, si la cantidad de acci-
dentes por semana en la mencionada intersección proviene de una distribución de Poisson
de media 3.