EI20140703

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PROBABILIDAD y ESTAD́ISTICA (61.06 - 81.09)
Evaluación Integradora. Primer cuatrimestre – 2014
Duración: 4 horas. 3/VII/14 –14 hs.
Apellido y Nombres:
Padrón:
1. En la urna I hay 12 bolas rojas y 8 blancas, en la urna II hay 12 bolas rojas y 88
blancas. Se arroja un dado equilibrado: si el resultado es 1 se elige la urna I, en otro caso
se elige la urna II. Se realizan dos extracciones con reposición de la urna elegida: calcular
la probabilidad de que la segunda bola extráıda sea roja sabiendo que la primera lo fue.
2. Se tienen dos máquinas para producir varillas. La longitud (en metros) de las varillas
producidas por la máquina I es una variable aleatoria con distribución normal de media 10
y varianza 1, la de las varillas producidas por la máquina II se distribuye uniformemente
sobre el intervalo [8, 12]. La máquina I produce el 70% de las varillas y la otra el resto. La
producción de varillas se deposita en un galpón. Se extrae una varilla al azar del galpón
y resulta que mide 11 metros. Calcular la probabilidad de que haya sido producida por la
máquina II.
3. Desde que se ingresa en la fila de un cajero automático hasta que se extrae el dinero
transcurre un tiempo aleatorio X. El tiempo que se espera en la fila hasta llegar al cajero
es una variable aleatoria Y . En minutos la densidad conjunta de X e Y es
fX,Y (x, y) = e
−x
1{0 < y < x}.
Calcular la covarianza entre X e Y .
4. A una dirección de correo electrónico arriban mensajes que son spam y otros que no
lo son. Los tiempos de arribo de los spam siguen un proceso de Poisson de intensidad 3
por hora. Los tiempos de arribo de los que no son spam siguen un proceso de Poisson de
intensidad 4 por hora. Los dos procesos de Poisson son independientes. Sea T el tiempo
de espera hasta que arriba el tercer spam después de las 16:00. Calcular la esperanza de T
sabiendo que entre las 16:00 y las 16:15 arribó exactamente un mensaje.
5. Se tienen dos monedas, una con probabilidad 0.5 de cara y la otra con probabilidad 0.7
de cara. En cada tirada se elige al azar una de las dos monedas. Calcular la probabilidad
de obtener más de 64 caras en 100 tiradas.
PROBABILIDAD y ESTAD́ISTICA (61.09 - 81.04)
Evaluación Integradora. Primer cuatrimestre – 2014
Duración: 4 horas. 3/VII/14 –14 hs.
Curso:
Apellido y Nombres:
Padrón:
1. Sean X e Y dos variables aleatorias con densidad conjunta
fX,Y (x, y) = (x+ y) 1{0 < x < 1, 0 < y < 1}
Hallar la función de distribución de Z = mı́n(X, Y ).
2. Una rata está atrapada en un laberinto. Inicialmente elige al azar una de tres sendas.
Cada vez que vuelve a su posición inicial elige al azar entre las dos sendas que no eligió la
vez anterior. Por la primera senda, retorna a la posición inicial en 5 horas, por la segunda
retorna a la posición inicial en 3 horas, por la tercera sale del laberinto en 2 horas. Hallar
la esperanza del tiempo que tardará en salir del laberinto.
3. A una dirección de correo electrónico arriban mensajes que son spam y otros que no
lo son. Los tiempos de arribo de los spam siguen un proceso de Poisson de intensidad 3
por hora. Los tiempos de arribo de los que no son spam siguen un proceso de Poisson de
intensidad 4 por hora. Los dos procesos de Poisson son independientes. Sea T el tiempo
de espera hasta que arriba el tercer spam después de las 16:00. Calcular la esperanza de T
sabiendo que entre las 16:00 y las 16:15 arribó exactamente un mensaje.
4. En una mesa electoral votaron 35 personas. Se extrajeron (sin reposición) 5 sobres al
azar de la urna, se examinaron y resultó que el candidato amarillo obtuvo exactamente
1 voto. Estimar por máxima verosimilitud la cantidad de votos por el candidato amarillo
que hab́ıa en la urna.
5. Un comprador decide adquirir un lote de pilas si el vendedor demuestra que la duración
media de las pilas es mayor que 135 horas. El comprador está dispuesto a correr un riesgo
de no más del 1% de adquirir un lote malo. Suponiendo que la duración de las pilas obedece
a una distribución normal y que en una muestra de tamaño 9 se observaron las siguientes
duraciones (en horas)
138, 143, 134, 145, 148, 132, 144, 143, 154,
determinar qué debe decidir el comprador.